제11장 형식언어와오토메타의 - yonsei...

제 11장. 형식언어와 오토메타의Hierarchy

학습목표

TM과 연관된 형식언어/문법에 대해 알아보고언어 사이의 포함관계를 총정리 해본다

개념적인 내용의 비중이 커집니다. 세부사항 보다도전체적인 관계와 흐름에 주의를 기울입시다.

개요

cf) valid only for L-{λ}

• Recursive and Recursively Enumerable Languages

• Unrestricted Grammars

• Context-Sensitive Grammars and Languages

• The Chomsky Hierarchy

CFL에서와 마찬가지로 편의상Empty string이 없는 언어를 가정

합니다

TM이 accept하는 언어와그 언어를 생성하는 문법

Linear Bounded Automata와연관된 문법과 언어

RecursiveRecursively Enumerable

• Def 1

210,L

it accepting TM a if

enumerabley recursivel : L

xqxwqw fM

*

├∈∀

∃

Languages

?L∉∀w

• Def 2+Σ

∃

in every on halting &L accepting TM a if recursive : L

walg.) membership(

비슷해 보이지만 그 차이를 명확히 이해할 것

Enumeration Procedure

orderproper in in strings all generating TM :M̂

Lin membershipgdetermininTM : M +Σ

⋅

Lin if tapeˆ,, 21

↓

→

M

Mww L

? Lin not L r.efor

jw"

순서 다르게

⎯→⎯

⎯→⎯

⎯→⎯2

1 move one ˆw

w MM

• 결론: enumeration procedure가 존재하는 언어는 recursively enumerable

• enumeration procedure for recursive language L

p. 277 처럼 M이 생성된 스트링을 한 스텝씩만 처리

Halt하지 않는 스트링 때문에 진전되지 않는 문제해결

r.e language를 위해서는열거하는 방법에 좀 신경을써야…

Thm S : infinite countable set → 2 s : not countable

diagonalization

(fewer TM than lang.r.e.하지 않은 언어가 존재)

Thm for Σ . ∃ lang. not r. e.

×→→Σ Σ

countablenot 2 ofsubset :lang.pf)

**

pf) t1 1t2 1t3 0

0...

① Recursively enumerable 하지 않은 언어의 존재여부

② Recursive enumerable 하지 않은 언어의 예

Thm ∃ a r.e. L whose complement is not r.e.

③ Recursive 이지만 recursively enumerable 하지는 않은 언어도 존재함

∋

실제 예들실제 보이기 어려운 개념적인 언어이므로수학의 힘을 빌려 개념적으로 이해합니다

Homework : Exercises 11.1

• 7 : 답은 Yes이고, 6번의 해답을 이용해볼 것.

• 10 : 이것도 답은 Yes인데… nondeterminism을 이해하면 쉽게 해결가능.

Unrestricted Grammars

• Def

vuPSTVG

→= if edunrestrict :),,,(

) no()(

λ

+∪TV *)( TV ∪

.R.E.L.U.G ←→

Thm 11.6 (→) systematic enumeration

S ⇒ w

S ⇒ x⇒ w

아무런 제약이 없는 문법

Recursively Enumerable언어를 생성하는 문법

Unrestricted Grammar로부터한 스텝에 얻어지는 스트링,두 스텝에 얻어지는 스트링,…결국 체계적으로 enumeration할 수 있으므로 r.e. 언어 생성가능

Unrestricted Grammars : 증명(1)

Thm 11.6-1 (←) T.M. by U.G.

produce G L(G) = L(M)

wyxqwqS f**

0* ⇒⇒⇒

? 2 copies of w by Vab & Vaib

∀ a, b, i

① S → V□□S | SV□□ | T

T → TVaa | Va0a ∀ a ∈ Σ

② VaicVpq → VadVpjq for δ(qi, c)=(qj, d, R)

VpqVaic → VpjqVad for δ(qi, c)=(qj, d, L)

∋

역으로 r.e. 언어를 생성하는 문법이 unrestricted grammar임을 보입시다

TM의 작동을 UG로 흉내내기

시작부터 w를 두개갖고 acceptance를따진다! 변수로

표현

일단 q0w를 만든다.

V의 처음 indices는 copy해둔 w임을 이해할 것.

Unrestricted Grammars : 증명(2)

③ Vajb → a

cVab → ca

Vabc → ac

□ → λ

□□□□□□□□

□□├ ├ ├

VVVVTVTVSVSaaqaaqaaqaaq

aaL

aaaaaa 0

1000

*)(

⇒⇒⇒⇒

예)

aaaaaVaVVVVVVVVVVVVVV

aaaa

aaaaaaaaaaaaaaaa

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

□□□□

□□□□□□□□ 1000

Accept를 확인하면 복사해둔 w를 출력하기위해 변수의 처음 index를 출력한다.

①번 규칙을 사용하여 초기 스트링 q0aa□를 생성

②번 규칙을 사용하여 TM을 흉내내고 ③번 규칙으로원래 w를 출력 변수들의 첫 index는 초기 w를 기억!

)(grammaredunrestrictlanguageenumerableyrecursivelThm

GLLGL

=∋∃∀

ywqyewqe

yexeyx

*00 iff)()(

inductionbyshow

)()(pf

├

├

∗

⇒

⋅

⇒→

Unrestricted Grammars : 총정리

Unrestricted grammar로 생성되는 언어는 recursively enumerable언어!


- 1 : 답도 있고 하니 잘~ 풀어볼 것.

- 6 : 좀 tedious한 맛은 있지만, 이 절에서 배운 constructive한 메커니즘을제대로 이해하기 위해서 한번 풀어볼 것.

Context-Sensitive G & L

|||| and )( re whe

are sproductionif sensitive-Context:),,,( Def.

yxTV x, y yx

PSTVG

≤∪∈

→=

+

• properties

– noncontracting

– why context-sensitive ?

xAy → xvy

UG와 CFG 사이의 다양한 문법 중에서 LBA와 연관된 문법에 대해 검토

A의 좌우에 x와 y가 있을때 A를 v로 규칙적용

CSL and Linear Bounded Automata

}{)(or)(grammarsensitivecontextifsensitivecontext: Def.

λ∪==∋−∃−

GLLGLLGL

?sensitivecontext:}1:{.ex −≥= ncbaL nnn

aaAaaaBBbbBBbccAcbAAb

aAbcabcS

|

|

→→→→→

aaabbbcccaaBbbbcccaabBbbccc

aabbBbcccaabbAccaabAbccaaAbbccaBbbcc

abBbccabAcaAbcS

⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒

⎯⎯←⎯→⎯B

Acbcaa

CFL는 CSL의 proper subset 이구나!

CSL and LBA : 증명

)(automatonboundedlinear},{CSL.Thm

MLLML

=∋∃∀ λ

pf. Show that derivations in CSG can be simulated by LBA

• two tracks : input string w + sentential forms derived using G

– possible sentential form | w |

– LBA is nondeterministic

≤

LML generateCSGLBAbyaccepted:.Thm ∃→

올바른 production을 늘 guess할 수 있다

Thm 11.6의 과정을 초기 w의 길이만큼만 사용해서 할 수 있다LBA로 할 수 있다!

Recursive 언어와 CSL의 관계

recursiveisCSLEvery.Thm L

pf. CSG : noncontracting → ∃membership algorithm

check all derivations of length up-to |w|m(|w|)

sensitivecontextnotisthatlanguagerecursive.Thm −∃

LBA가 TM보다 덜 강력하다!


- 일반적으로 CF가 아닌 언어의 CSG를 구하는 것은 매우 어려운 문제

이기 때문에 대부분의 문제를 쉽게 해결할 수는 없다. 그 중에서 가장

쉬운 1 (a)와 1 (b)를 한번 시도해 볼 것.

Chomsky Hierarchy

LRE (Type 0)

LCS (Type 1)

LCF (Type 2)

LREG (Type 3)

LREC

LDCF

LCF

LLIN LDCFLREG

}{}{ 2nnnn baba ∪ )}()({ wnwn ba =

다양한 형식언어의 포함관계 이해

TM이 할 수 있는 능력에 대해서 알아보았는데, 다음 주에는 마지막으로 TM이할 수 없는 일은 무엇인지 살펴보고, 계산이론으로의 도입을 시도합니다.

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