必修「数学Ⅰ」で統計を学ばせるための教材実践研究 ·...
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必修「数学Ⅰ」で統計を学ばせるための教材実践研究
一橋大学 経済学研究科 駒野誠
１．研究の動機
筆者は、「数学は、無限を掴む」が大テーマであると考
え、そのためには、「無限を有限化する行為が欠かせず、
また、逆に有限個を無限にするという、他に類を見ない
学ぶべき価値がある」と考え生徒・学生に指導してきた。
無限のなかに‘共通点’を見いだし、それによって、
無限から有限の世界に誘うことが可能となる。このこと
は人間の思考効率化の特徴といってよいだろう。これは、
AI そのものの考え方かもしれない。
しかし、現在の学校教育での統計指導は、多くの定義・
公式を適用するいわば暗記ものになりがちである。
（統計に関わらず、答を速く出す算術が主眼になってい
るように感じる。ここで、塩野直道の要目カス論：「要目
として羅列してある数学的な話題は，生徒が数学的な活
動をして後に残った食べカスに過ぎない。活動の質自体
が重要な教育的内容である。」を思い出す。）答えを出す、
答は一つが数学と思い込まされてはいないだろうか。
「見えなかったモノが観えるようになる」を狙った、
モノの見方に新たな視点をプラスする数学としての力
を生徒につけさせられるとの認識が持てないためか、現
場での統計授業に力が入っていない現状がある。入試で
も、2022 年度以降の高大連携で、すぐにでも実行可能
で効果あることとして、各大学の入試において、受験生
の自分のノート 1 冊持ち込み OK の決断で、入試は新た
な歩を踏み出せるだろう。
偏差の平方の平均、2 乗の平均から平均の 2 乗を引い
たもの、が分散だ！覚えて置けとヤクザ調になったりす
る。暗記はある意味、考えることを放棄し、考えないで
済むという利点があるともいえるが、数学科の存在意義
は、算数の「…算」のような答えを出すマニュアル的算
術方法の暗記ではない。これを問題解決だとの勘違いが
あるのかもしれない。公式の文字に数を代入することが
数学であると生徒に思わせていたらダメだろう。
２．学校数学の役割
｛‘かぞえる’， ‘くらべる’，‘はかる’，‘かえる’｝
を四面体構造の頂点とする学校での数学教授の中心的
な概念が学校教育での dependable(頼りになる)とする。
その内部で、困ったときの対処法に、portable(持ち運び
可能)な｛仲間をつくる，次元をあげる，相棒をみつける，
定義をする｝の実行を試みる。また、これら全体を通じ、
個々の数式・定理・公式らを従え、最上位にあるべきは、
‘共通点’を見出すことが sustainable(持続可能)と考え
る。数学教育という塀の中での村社会にならないような
生き生きとした学びが肝要である。
３．問題点
新学習指導要領では、‘データの分析’が引き続き「数
学Ⅰ」で、「数学 B」では、ベクトルを「数学 C」へ追い
出し、‘数列’，‘統計的な推測’，‘数学と社会生活’が入
る。必修の「数学Ⅰ」で統計を扱う際に、未習の’ベクト
ル’、’数列’の使用禁止の影響が大である。具体的には、
添え字とΣである。
＜箱ひげ図の扱い＞
2022 年からは、‘四分位数’や‘箱ひげ図’が中学校
へ移行となる。しかし、「数学 A」の‘数学と人間の活
動’の章の中の整数の性質の学習で、もっと数学的に扱
うべきことがある。
〇「数学 A」整数とリンクさせる指導例
中学校へ移行した理由は、簡単なことだから中学へ、
が理由だとするならば、それ
は誤りである。
その理由を示そう。四分位数
と 箱 ひ げ 図 （ box-plot
diagram）は、データを小さい値の順にソーティングし、
4 等分に分割し、その位置にくる数を「四分位数」とい
い、小さい方から「第１四分位数𝑄1」、「第 2四分位数𝑄2」
(中央値)、「第 3 四分位数𝑄3」と呼ぶ。
Q は Quartile （4 分の 1 は quarter）の頭文字で、
四分位数(quartile) first-, second-, third- ただし、
4 等分の位置にデータがない場合もあり、その時は両隣
のデータの平均値を四分位数とするなど、見た目ほど簡
単ではない。箱にはデータが均等に分布しているわけで
はないことは特にわかりにくい。
指導例 データの個数に関して、半分半分とするのだか
ら、mod 4 つまり 4 で割った余りが０，１，２，３の 4
通りを考えさせることで、すべてを掴んだことになる。
データの個数を𝑛 としたときの図の記号は、｜が両隣の
平均を四分位数とするとき、●はデータそのもの
𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4) 〇 ｜ 〇 ｜ 〇 ｜ 〇
𝑛 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) 〇 ｜ 〇 ● 〇 ｜ 〇
𝑛 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) 〇 ● 〇 ｜ 〇 ● 〇
𝑛 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) 〇 ● 〇 ● 〇 ● 〇
よくある問題
問題 データの数と箱ひげ図が与えられたとき、4 等分
のところにデータが存在しているか否かが重要であり、
また、𝑄2が箱の中を仕切っているが、𝑄1と𝑄2の間にカー
テンℓを入れたとき、ℓよりも小さい数がどのように分布
しているかは不問である。そのため、ℓより小さいデー
タの最小値と最大値という問題が生じる。 そこで、す
べてを把握するために、データの個数で分類するのが数
学である。
30 人のデータの箱ひ
げ図が下図である。
30 個の分布 30≡2(mod 4) カーテンℓより小さいデー
タの個数 N は、8≦N≦15 なぜなら、⑦の 7 個が、
箱内でℓより左に全部あるときが最大個数で 15 個、⑦
の 7 個全部が箱内ℓの右かつ𝑄2の左にあるときが最小個
数の 8 である。
４．現状認識
(1) 教科書のあり方
繰り返すが、必修の「数学Ⅰ」では、新「数学 C」の
‘ベクトル’ で学習するベクトルの大きさや内積、新
「数学 B」で学ぶ‘数列’でのΣ記号などを用いること
はできないことを前提に教材を構成する必要がある。そ
のため、「数学Ⅰ」での、‘データの分析’における式変
形は、数学が得意な生徒たちにはΣ記号を導入して済ま
せられるが、数学が苦手な生徒たちにはΣ記号を短時間
で差し挟むことは指導上無理があり、Σは使えないため
に、平均のたびに、𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛
𝑛 のように（ +…+ ）/ 𝑛
を多用しなければならず先生方は指導に苦労している
現状がある。
筆者がこの打開策を模索していて、共通点の‘平均’
に気が付いたとき、ワクワク感は最高潮であった。やは
り、‘共通点’は思考の根幹に位置づけられる。
(2) 定義と式変形
統計の代表値である、‘最頻値’、‘中央値’などは、デ
ータの和とは無関係であり、小中学校で済む内容である。
その後の代表値としての「数学Ⅰ」での内容は、‘分散’、
‘標準偏差’、‘共分散’、‘相関係数’だが、、‘回帰直線
の傾き(回帰係数)’なども学ばせたい。ここで暗記モノ
ではない、数学としての統計をしたいものである。
「数学Ⅰ」での‘データの分析’における共通点は、
平均を利用した値の処理であることである。
この‘共通点’を見出すことこそ、数学学習の最大の課
題ともいえる。純粋数学においても、共通点から同値関
係を考え、分類作業が始まる。この論文の肝は、いかに
して、Σを使わずに指導できるのか模索していたところ、
平均を計算する式たちに‘共通点’があり、Σを使わず
に種々の公式を変形することが容易にできたので、高校
生、大学生、教員に実践してみた結果、好評であったの
で報告する。この論考では、念のためΣなど一部両方併
記しておく。
0 1 1 7 ⑦ 7
7
min 第一 第二 第三 max
０ ０ ０ １ １
１ １
min 第一 第二 第三 max
０ ０ 1 １ １
１ １
min 第一 第二 第三 max
1 1 ０ １ １
１ １
min 第一 第二 第三 max
1 1 1 １ １
１ １
５．表現方法
(1) データの表現
数学として、最初に困るのが、資料、データ𝑥という
表現である。集合なのか、順序対なのか、不明であるこ
と。集合ならば、データ𝑥 = {𝑥𝑖}（𝑖 = 1,2,3,・・・, 𝑛）,y =
{𝑦𝑖}（𝑖 = 1,2,3,・・・, 𝑛）とするのだろう。集合よりも、
順序対のほうがよいのではないか。
順序対𝑥 = (𝑥1, 𝑥2,・・・, 𝑥𝑛),𝑦 = (𝑦1, 𝑦2,・・・, 𝑦𝑛)
といっても、𝑥𝑖という、「数学 B」の数列で学習する添
え字付きの数(関数)の前に使用しているという、
そこで、ベクトルに似せて、𝑥 = (𝑥1, 𝑥2,・・・, 𝑥𝑛)など
と書き、𝑥のメンバーたちと呼ぶことにする。
異なる種類のデータを扱うときやそこから組を作る
には順序が肝心となる。また、後に学ぶ、ベクトル、数
列につながるものでなければならない。リンクで見出す
’共通点’を有する知識でなければ、portable なモノに
ならず、社会に出て役に立たない。
(2) 平均をとる操作 bar
ここでは、これを‘平均化’と呼ぶことにする。
Bar は、否定としてド・モルガンの法則𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵
は、bar の配下にある 3 つを個々に否定したような、使
い勝手がよい法則である。次のような括弧の代用として
の使い方もある。例）𝑥2 = (𝑥 − 𝑝 + 𝑝)2 = (𝑥 − 𝑝)2 +
2𝑝(𝑥 − 𝑝) + 𝑝2 のようにテーラー展開では活躍する。
平均化では、bar を使うことの凄さは、添え字を使う
ことなく、Σも使う必要がないことである。
データ𝑥の平均 𝑥 =𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛
𝑛 ・・・
1
𝑛∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 を
1 文字𝑥で表現できることである。凄い！
ことばに直せば、この「𝑥の平均」とは「𝑥のメンバーた
ちの平均をとる」ことをいう。平均値とは、和をとるこ
とが前提で、足した個数で割って得られる数のこと。
平均化の公式（bar）線形である：
この等式は後に度々使用するので、ここで 1 度だけ1
𝑛(…+ ⋯+⋯)を用いて証明しておく：
証明）① 通常の証明は、Σを利用して、
左辺＝𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 =1
𝑛∑ (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 + 𝑐) =
𝑎1
𝑛∑ 𝑥𝑖 + 𝑏𝑛𝑖=1
1
𝑛∑ 𝑦𝑖 +
1
𝑛∑ 𝑐𝑛𝑖=1 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦𝑛
𝑖=1 + c = 右辺
◎シグマを使わない指導による証明
1
𝑛{(𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐) + (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐) + ⋯+ (𝑎𝑥𝑛 + 𝑏𝑦𝑛 + 𝑐)}
= 𝑎 ×𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛
𝑛+ 𝑏 ×
𝑦1+𝑦2+⋯+𝑦𝑛
𝑛+
𝑐+𝑐+⋯+𝑐
𝑛
= 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + c //
② 𝑥 = 𝑦より、任意の𝑖で𝑥𝑖 = 𝑦𝑖であるから、平均 𝑥と
𝑦 は等しい。
③ 平均すると、1 つの定数になるので、平均しても変
化なし。//
よく知られている確率変数の変換である公式：
期待値 E(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑥) + 𝑏 ,
分散 𝑉(𝑎𝑥) = 𝑎2𝑉(𝑥)
この証明は、期待値 E(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ,
𝑥の分散がV(𝑥) = (𝑥 − 𝑥)2 であるから、
𝑎𝑥の分散 V(𝑎𝑥) = (𝑎𝑥 − 𝑎𝑥)2＝{𝑎(𝑥 − 𝑥)}2
= 𝑎2(𝑥 − 𝑥)2 = 𝑎2V(𝑥) //
などにも容易に対応できる。
また、教科書(「数研出版」研究‘変量の変換’)で、変
量𝑥から変量𝑦への変数変換：𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏の平均と分散の
計算を紹介している。
ここでは、平均化を用いて計算してみる。
平均は、𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏
分散は、𝜎𝑦2 = (𝑦 − 𝑦)2 = ((𝑎𝑥 + 𝑏) − (𝑎𝑥 + 𝑏))
2
={𝑎(𝑥 − 𝑥)}2 = 𝑎2(𝑥 − 𝑥)2 = 𝑎2(𝑥 − 𝑥)2 = 𝑎2𝜎𝑥2
1 ページを割いて掲載されたことが、たったの数行で計
算終了となるほど容易になった。
主たる統計量の表つくり
𝑥 = 3 , 𝑦 = 5 , (𝑥 − 𝑥)2 = 𝑠𝑥2 = σ𝑥
2 , (𝑦 − 𝑦)2 =
𝑠𝑦2 = σ𝑦
2 , (𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) = 𝑠𝑥𝑦 = σ𝑥𝑦 など。
定義 𝑥の分散とは、偏差の平方の平均
つまり、𝑠𝑥2 = σ𝑥
2 = (𝑥 − 𝑥)2 =1
𝑛∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)2𝑛𝑖=1
𝑥の標準偏差とは、𝑥の分散の平方根である。
① 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐＝𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + c ，
② 𝑥 = 𝑦ならば𝑥 = 𝑦 , ③ (𝑥) = 𝑥
データ
メンバー メンバー
A 1 4 -2 -1 2 4 1 4 1 16
B 2 5 -1 0 0 1 0 10 4 25 0
C 3 5 0 0 0 0 0 15 9 25 0 0
D 4 4 1 -1 -1 1 1 16 16 16
E 5 7 2 2 4 4 4 35 25 49
データ数 データ数 5 データ数 5 データ数 5 データ数 5 データ数 5 データ数 5 5 5
和 和 5 和 10 和 6 和 80 和 55 和 131 0 0
平均 3 5 0 0 1 2 1.2 16 11 26.2 0 0
分散
標準偏差 1
5
相関係数
y
x-¯x
1.41 1.10
(xの偏差)の平方 積 平方xの偏差 yの偏差 偏差の積 (ｙの偏差)の平方
5 5 5 5
15 25 0 0
平方
0
0
𝑥 − 𝑥 ｙ−y 𝑥 − 𝑥 𝑦− 𝑦 (𝑥 − 𝑥)2
(𝑥 − 𝑥)2
2
(ｙ −𝑥)2
(𝑦 − 𝑦)2𝑥 𝑦 𝑦 − 𝑦
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥
𝑥
𝑦1
𝑦2
𝑦3
𝑦
𝑦
𝑥1 −𝑥
𝑥2−𝑥
𝑥3−𝑥
𝑥 −𝑥
𝑥 −𝑥
𝑥 − 𝑥
𝑦1 −𝑦
𝑦2 −𝑦
𝑦3 −𝑦
𝑦 −𝑦
𝑦 −𝑦
1 2
𝑥1− 𝑥 2
𝑥2−𝑥 2
𝑥3−𝑥 2
𝑥 −𝑥 2
𝑥 −𝑥 2
𝑦1 −𝑦 2
𝑦2 −𝑦 2
𝑦3 −𝑦 2
𝑦 − 𝑦 2
𝑦 −𝑦 2
𝑥1− 𝑥 𝑦1 −𝑦
𝑥2− 𝑥 𝑦2 −𝑦
𝑥3− 𝑥 𝑦3 −𝑦
𝑥 −𝑥 𝑦 −𝑦
𝑥 − 𝑥 𝑦 −𝑦
xy
𝑥1𝑦1
𝑥2𝑦2
𝑥3𝑦3
𝑥 𝑦
𝑥 𝑦
𝑥2 𝑦2
𝑥12
𝑥22
𝑥32
𝑥 2
𝑥 2
𝑦12
𝑦22
𝑦32
𝑦 2
𝑦 2
𝑥
𝑥 − 𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥𝑦 𝑥2 𝑦2
𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥2 𝜎𝑦
2
𝜎𝑥= − = −
𝜎𝑦
𝑥 − 𝑥
𝜎𝑥
𝑦 − 𝑦
𝜎𝑦
𝑥 − 𝑥
𝜎𝑥×𝑦 −𝑦
𝜎𝑦
− 2
−1 2
1 2
2
− 5
− 5
2 5
5 3
− 5 2 3
2 5 3
5 5 2 3
5 2 3
𝑥𝑦 = 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑥2
= −
𝜎𝑦2
𝑠𝑥 = σ𝑥 = √(𝑥 − 𝑥)2 = √1
𝑛∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)2
𝑛
𝑖=1
𝑥, 𝑦の共分散とは、𝑥, 𝑦の偏差の積の平均である。
𝑠𝑥𝑦 = σ𝑥𝑦 = (𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) =1
𝑛∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)
𝑛
𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑦)
(3) 記号の表現方法
𝑥, 𝑦の共分散𝑠𝑥𝑦 のディメンジョンがわかるには、𝑥, 𝑥
の共分散が𝑥の分散と言い換えられることである。
そこで、𝑠𝑥𝑥 = 𝑠𝑥2 = 𝑠𝑥2 = σ𝑥
2 等と表記できるが、標
準偏差𝑠𝑥 = σ𝑥 = √𝑠𝑥𝑥 = √𝑠𝑥2 = √𝑆𝑥2 等と複数の表現
ができるが、どれも一長一短である。
(4) 平均の式変形
本稿では、言葉の代わりにΣ計算も書いたが、「数学
Ⅰ」の授業ではΣは使わずに、定義の言葉通りの計算
を bar だけの計算で処理できるので、これまでになく
画期的であると自負している。
①𝑥の偏差𝑥 − 𝑥の平均＝𝑥 − 𝑥＝𝑥 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0
②𝑥の分散＝偏差の平方(𝑥 − 𝑥)2の平均＝(𝑥 − 𝑥)2
𝑠𝑥2 = (𝑥 − 𝑥)2 = 𝑥2 − 2𝑥𝑥 + (𝑥)2
= 𝑥2 − 2𝑥 ∙ 𝑥 + (𝑥)2 = 𝑥2 − (𝑥)2
この変形は、数学が苦手な生徒にも、得意な生徒にも、
先生方にも好評である。
2変数変換𝑧 = 𝑥 + 𝑦の分散も容易に計算できる;
𝑠𝑧2 = {(𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑦)}
2
= {(𝑥 − 𝑥) − (𝑦 − 𝑦)}2
= {(𝑥 − 𝑥)2 − 2(𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) + (𝑦 − 𝑦)2}2
= (𝑥 − 𝑥)2 − 2(𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) + (𝑦 − 𝑦)2
= 𝑠𝑥2 − 2𝑠𝑥𝑦 + 𝑠𝑦
2
次に、相関係数や回帰直線を学ぶには、標準化の考えが
欠かせない。しかし、教科書では省かれ、相関係数が暗
記すべき公式となっている。しかし、barをとる計算に
よって、変換式などのチェックが容易になった。
(5) 「覧古考新」
「覧古」とは、Met Before(既習)のことであるが、そ
の後の成長によって、振り返ってみると、その当時は気
が付かなかったことが深く観えて、新たなことを考えだ
せる「考新」となること。
例）中学での直線 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏…①の学習が 2 点通過型
で、連立方程式による係数決定に偏っていることであ
る。それは、パラメータの消去方法として、通る点(1，
3)があれば、3 = 𝑎 × 1 + 𝑏…②
ここで、①－②で、パラメータの１つの𝑏を消去し、
𝑦 = 𝑎𝑥 + (3 − 𝑎) = 𝑎(𝑥 − 1) + 3 つまり、
通る点(1，3)の座標を‘見える化’した式： 𝑦 − 3 =
𝑎(𝑥 − 1) を紹介する指導がなされていないことに気付
かされる。後の接線の公式の指導で苦労することになる。
x 軸、y 軸上の両方に並べたデータをどうやって組に
するかという根本の問題である。
従来の「𝑥が 1のとき𝑦が 3、𝑥が 4のとき𝑦が 9である 1
次関数？」だけでなく、新種の問い「ある日、新芽 Aの
長さは1㎝で 1 週間後は 4 ㎝、新芽 B の長さは 3 ㎝で 1
週間後は 9㎝であった。」
データをどのように組にして、2次元座標平面上にプロ
ットするのか？
ここで、これらの芽の伸びが 1 次関数的だとすると、2
種 類 の 新 芽 A,B の 長 さ を 組 に し 、 点 (𝑥, 𝑦)
と見做したとき、ある日の長さは点(1，3)で、その 1週
間後は点(4，9)と見做して整理できる。
𝑦 − 3 =6
3(𝑥 − 1) ⇔
𝑦−3
6=
𝑥−1
3 ⇔ 𝑦 − 3 =
𝑡 , 𝑥 − 1 = 3𝑡(𝑡は実数) と表現できる。
(6) 標準化
‘標準化’とは、データを平均＝0，標準偏差＝１(分
散＝1)に変換することである。数学的には‘正規化’と
呼ぶのがよいだろう。異なる２種類のデータを扱うには、
単位の統一が欠かせない。つまり、正規直交座標系に点
をプロットするためには、単位を統一する必要がある。
例）高校生の身長と体重では大方 3 桁、2 桁と異なる
ので、模式図となる見える化作業では、標準化が必要と
なる。エクセルでは、変換処理は容易である。
変換 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2,・・・, 𝑥𝑛) →
z= (𝑧1, 𝑧2,・・・, 𝑧𝑛) の定義をz =𝑥−𝑥
𝜎𝑥とする。
𝑥の平均が𝑥，標準偏差が𝜎𝑥であるデータを、𝑧の平均
が 0，標準偏差が 1（分散も 1）のデータに𝑥から𝑧へ線
形変換したものである。 ‘見える化’する。
これは、データの組P(𝑥, 𝑧),2 点 A(𝑥, 0) , B(𝑥 + 𝜎𝑥 , 1)を
通過する直線であり、その式は、
𝑥 = 𝑥 + 𝜎𝑥𝑡 , 𝑧 = 0 + 𝑡 ( 𝑡は実数 )であり、z − 0 =
1
𝜎𝑥(𝑥 − 𝑥) である。変換式は、𝐳 =
−
𝝈 は標準測度とも
呼ばれている。
zの平均＝z = (𝑥−𝑥
𝜎𝑥) =
𝑥−𝑥
𝜎𝑥= 0
zの分散 = (z − z)2 = (z − 0)2
= 𝑧2 = (𝑥−𝑥
𝜎𝑥)2
=(𝑥−𝑥)2
𝜎𝑥2 =
𝜎𝑥2
𝜎𝑥2 = 1
(7) 偏差値（標準化の一例）
Web 上でも、‘偏差値’についての公式を紹介してい
るが、変換の立場での記述はないようである。
ここでのキーワードは、‘標準化’と‘線形変換(一次
変換)’である。数学科の指導としては、生徒自身が
自分自身で公式が作れるような説明を有していること
が重要である。
標準化による変数変換の具体的な使用例が‘偏差値’
である。例）𝑥の平均 45
点、標準偏差 8 点のとき、
これに対応する𝑦の平均
を 50、標準偏差を 10 と
する線形変換が偏差値で
ある。 𝑥 = 45 + 8𝑡 , 𝑦 =
50 + 10𝑡 であり、対応す
るデータを組とし、平面
上の点と見做せば、これは 2点(45,50), (45 + 8,50 + 10)
を通る直線を求めることになる。𝑦 − 50 =10
8(𝑥 − 45)
つまり、 𝑦 = 50 + 10 ×𝑥−
8 である。
𝑧 =𝑥−
8で、標準化していることを確認してみよう：
zの平均 𝑧 = (𝑥−
8) = 0,
𝑧の分散= (𝑧 − 𝑧)2 = (𝑥−
8− 0)
2
= (𝑥−
8)2
=82
82= 1
∴ 𝑧の標準偏差＝１
ここで、𝑧 =𝑥−
8は、𝑥の平均 45 点、標準偏差 8 点を
zの平均 0、zの標準偏差１への線形変換である。
なぜなら、2 点(45,0), (45 + 8,0 + 1) を通る直線
𝑧 − 0 =1
8(𝑥 − 45) である。すなわち、 𝑧 =
𝑥−
8
(8) 相関係数
相関係数 =𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦 この定義はどのように見出した
のか？ ベクトルの内積の考えに依らず考えてみよう：
＜ア＞ 𝑧 =𝑥−𝑥
𝜎𝑥, 𝑤 =
𝑦−𝑦
𝜎𝑦 とおくとき、𝑤 = 𝑧の係数
の意味を考える
従来の計算は、誤差の平方の和、𝜖𝑖2 = ∑ (𝑤𝑖 − 𝑧𝑖)
2𝑛𝑖=1
の最小値を平方完成（または微分）で求めることでした。
この回帰変数 （回帰直線の傾き）を‘最小２乗法’を利
用して求めてみよう：しかし、そこでの計算にはΣがあ
り面倒になるので、平均の最小値を考えることにする。
ここが Point である。
＜数学の問題解決は、与えられたままや最初のままで処
理するのではなく、目的が同じ共通点を持つ仲間の式に
変形することを示すよい指導例でもある。＞
回帰直線の意味は、2 種類で一方の原因が他方に結果
を出させているような関係が見えるときに有効な見え
る化の一つである。実際に実行してみると、
標準化されたデータ第𝑖番目の組を zw 座標平面上の
点と見做したP𝑖(𝑧𝑖 , 𝑤𝑖) (𝑖 = 1,2,3・・・, 𝑛)と直線𝑤 =
𝑧と w 軸方向の乖離である誤差（ギャップ）を𝜀𝑖とする
とき、この誤差の平方の和が最小となる傾き を求める
（これを‘最小 2 乗法’という）ことと、誤差の平方の
平均が最小となるような回帰直線の傾き とは同じであ
る。それは、𝜀𝑖 = 𝑤𝑖 − 𝑧𝑖であり、 ∑ 𝜀𝑖2𝑛
𝑖=1 = ∑ (𝑤𝑖 −𝑛𝑖=1
𝑧𝑖)2 の最小性は、
1
𝑛∑ 𝜀𝑖
2𝑛𝑖=1 =
1
𝑛∑ (𝑤𝑖 − 𝑧𝑖)
2𝑛𝑖=1 とし
ても縦軸方向の縮小なので最小性は不変である。これを
支える「カバリエリの原理」の指導も大切である。
そこで、ε2 =1
𝑛∑ (𝑤𝑖 − 𝑧𝑖)
2𝑛𝑖=1 とおけるが、これは、
ε2= (𝑤 − 𝑧)2 のことであるから、
𝜀2= 𝑤2 − 2 𝑧𝑤 + 2𝑧2 = 𝑤2 − 2 𝑧𝑤 + 2𝑧2 …＊
ここで、𝑧, 𝑤は標準化されているので、
分散はそれぞれ𝑤2 = 1, 𝑧2 = 1であり、
𝑧𝑤 = (𝑥−𝑥
𝜎𝑥) (
𝑦−𝑦
𝜎𝑦) =
(𝑥−𝑥)(𝑦−𝑦)
𝜎𝑥𝜎𝑦=
𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦 であるから、
式＊は、
ε2 = 2 − 2𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦+ 1 = ( −
𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦)2
+ 1 − (𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦)2
…★
このε2 の最小値は、 =𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦 のときである。
言い換えると、相関係数は、標準測度の積の平均である。
＜イ＞ −1 ≦ ≦ 1について
𝜀2 = 2 − 2𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦+ 1 ≧ 0 であるから、
−20 20 40 60 80 100 x
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
y
O
A 45, 50( )
B 53, 60( )
★の最小値≧０⇔判別式＝(𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦)2
− 1 ≦ 0
すなわち ( )2 − 1 ≦ 0 よって、−1 ≦ ≦ 1 であ
ることもわかる。
＜ウ＞ 誤差の分散の最小値
誤差 𝜀𝑖 = 𝑤𝑖 − 𝑧𝑖の平均 ε = 𝑤 − 𝑧 = 0であるから、
式★は、誤差𝜀の分散
𝜎𝜀2 = (𝜀 − 𝜖)2 = 𝜀2 = ( −
𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦)
2
+ 1 − (𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦)
2
であるから、 =𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦のとき、誤差の分散ε2 が最小とな
ることを示している。これがデータの間を走る回帰直線
として最もフィットする(傾き)といえる。
＜最小 2 乗法という表現は、計算方法であり、目標を表
現してはいないので教育的ではない。回帰直線とは、デ
ータの点の間を走る代表直線で、「その傾きは、誤差(デ
ータの点と直線との縦軸方向のギャップ)の分散が最小
となるとき」、が教育的であろう。＞
これより、平均(𝑥, 𝑦)を原点(0，0)に平行移動し標準偏差
で割った標準化された座標系（正規直交座標系）におい
て、回帰直線の傾き(回帰変数)＝相関係数である。
𝑦−𝑦
𝜎𝑦=
𝑥−𝑥
𝜎𝑥 ・・・①
＜エ＞ 標準化以前の散布図おける回帰直線の傾き(回
帰係数)はどうなるのだろうか
𝑦−𝑦
𝜎𝑦=
𝑥−𝑥
𝜎𝑥…①は平均値の点(𝑥, 𝑦)を通る直線である。
では、点(𝑥, 𝑦)を通る直線 𝑦 − 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥)…② の傾き
𝑎は何だろうか。実は簡単で、
①から𝑦 − 𝑦 = 𝜎𝑦
𝜎𝑥(𝑥 − 𝑥) これが②であるから
𝑎 = 𝜎𝑦
𝜎𝑥
𝑥を説明変数、𝑦を目的変数と呼ぶことがある。𝑥が原因
で𝑦がその結果というときに、𝑥が𝑦に与える影響を直線
で見える化したものである。
このように、たとえば、薬の用量𝑥とその効果𝑦の関係
のように、2 つのデータ間に明確な因果関係があるとき
を想定したときに用いるものである。
𝑦−𝑦
𝜎𝑦=
𝑥−𝑥
𝜎𝑥 ・・・①を再考してみよう：
単純に平均を取ると、 0＝0 となり、新たな式はでてこ
ない。そこで、①の両辺に𝑥 − 𝑥を掛けて変形した、
(𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) = 𝜎𝑦
𝜎𝑥(𝑥 − 𝑥)2の両辺の平均を考える。
この式の平均は、(𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) = 𝜎𝑦
𝜎𝑥(𝑥 − 𝑥)2 これ
は、𝜎𝑥𝑦 = 𝜎𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑥
2 ゆえに、 =𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦
つまり、最小 2 乗法を使わずに‘平均化’で導出可能
であることが分かったので指導しやすい。
＜オ＞ 標準化していない散布図での回帰直線と最小 2
乗法
＜従来の方法＞ 最小２乗法で、∑ {𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏)}2𝑛𝑖=1
を最小にするような𝑎, 𝑏を平方完成または偏微分で求め、
𝑎 =𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥2 , 𝑏 = 𝑦 − 𝑎𝑥 であることを示す。結果、回帰直
線は平均点(𝑥, 𝑦)を通過することも示せる。しかし、従来
のままでは、Σを使わないと式が長くなり、平方完成も
辛くなる。だが、これも、データ第 𝑖番目の組を xy 座標
平面上の点と見做した P𝑖(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) (𝑖 = 1,2,3・・・, 𝑛)と、
直線𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏と y 軸方向の誤差（ギャップ）を𝜀𝑖とし、
∑ ε𝑖2𝑛
𝑖=1 = ∑ {𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏)}2𝑛𝑖=1 …＃
ここで、ε2 =1
𝑛∑ ε𝑖
2𝑛𝑖=1 とおくと、＃の最小値ではなく
＃の平均である ε2= {𝑦 − (𝑎𝑥 + 𝑏)}2 の最小値を調べれ
ばよい。理由は平均をとっても最小性は不変である。
ε2 − (𝜀)2＝𝜎𝜀2と分散との関係が気になる。
これは、ε2＝𝜎𝜀2 + (𝜺)2 ≧ 𝜎𝜀
2 …♭となり、
等号は、𝜺 = 𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑏 = 0 のときであるとわかり、
結局、ε2の最小は、𝜎𝜀2が最小となる𝑎, 𝑏を求めればよ
い。
𝜀 − 𝜀 = {𝑦 − (𝑎𝑥 + 𝑏)} − {𝑦 − 𝑎(𝑥 − 𝑥)} であるから、
𝜎𝜀2 = (𝜀 − 𝜀)2 = {(𝑦 − 𝑦) − 𝑎(𝑥 − 𝑥)}2
= (𝑦 − 𝑦)2 − 2𝑎(𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥)2
= 𝜎𝑦2 − 2𝑎𝜎𝑥𝑦 + 𝑎2𝜎𝑥
2 = 𝜎𝑥2 {(𝑎 −
𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥2)
2
−𝜎𝑥𝑦
2
𝜎𝑥 } + 𝜎𝑦
2
= 𝜎𝑥2 (𝑎 −
𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥2)
2
−𝜎𝑥𝑦
2
𝜎𝑥2 + 𝜎𝑦
2
これを最小にする𝑎は、𝑎 =𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥2 であることがわかった。
これが、回帰直線の傾き(回帰係数) 𝑎であり、♭の等号
成立が 𝜀 = 𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑏 = 0 のときより、切片は 𝑏 =
𝑦 − 𝑎𝑥 となり、回帰直線は平均点(𝑥, 𝑦)を通過するとい
う重要事項も同時に示せる。