從數學文化的脈絡...

從數學文化的脈絡觀看愛麗絲的創生

李國偉

中央研究院數學研究所

第11屆週日閱讀科學大師國立科學工藝博物館（2013年11月17日）

什麼是數學文化？

斯諾 (Charles P. Snow, 1905–1980)

英國科學家、文學家斯諾(C. P. Snow)在1959年曾說「文化」的涵義為：生活於同一環境，由共同習慣、想法和生活方式聯結起來的群體。

斯諾的《兩種文化》

懷爾德 (Raymond Wilder, 1896–1982)

懷爾德 (Raymond Wilder, 1896–1982)

在1950國際數學家大會演講「數學的文化基底」裡提出：數學家之間共享一種「數學的文化」，我們大家受到它的影響，同時也影響了它。…數學發展的情況及方向由一種普遍綜合的文化張力決定，這種張力既產自數學內部，也來自數學外部。

香港大學數學系退休教授蕭文強

數學文化：邊界的相互滲透

數學知識

數學家

文化

社

會

歷

史

民族

數學教育

數學教育的視域

培育數學家

如果優良數學成績，是在如此讓學生感覺痛苦、無用、又挫折的情境中達成，是不是得不償失呢？

TIMSS 2011: 四年級共有50地區、八年級共有42地區

近年一些國際數學學習評比發現，台灣學

生在數學內容的認知層面表現不俗，但情

意態度明顯低落。如果數學教育的目的停

留在解題的工具性層次，瞭解數學文化似

乎缺乏迫切性。但如果將數學視為現代公

民基本的素養，則認識數學文化有助於讓

數學學習從工具性的層次延伸到智識性的

層次，也更能讓社會大眾瞭解數學學習超

脫校園之外的價值。

是誰創造了愛麗絲？

1856年左右自拍

查爾斯·路特維奇·道奇森（Charles Lutwidge Dodgson, 1832–1898）

牛津大學基督堂學院至今懸掛的道奇森肖像

英國牛津大學基督堂學院數學講師，英格蘭聖公會執事，身高消瘦，有口吃，但是社交活動並不貧乏。他的政治、宗教以及哲學信念均較傾向保守。自幼就喜歡寫詩文，1856年他在雜誌上發表一首詩，首次使用了筆名Lewis Carroll。1862年7月4日道奇森帶著學院院長三位女兒划船時，編織了小女孩奇遇的故事。在1864年11月完成親筆書寫並繪製插圖的Alice‘s Adventures Under Ground送給院長二女Alice Liddell。後經增補後，於1865年正式出版為Alice's Adventures in Wonderland。道奇森日後多次否認故事裡的小英雌是任何真人的化身。

查爾斯·路特維奇·道奇森

因為 Charles Lutwidge 的拉丁文翻譯是Carolus Lodovicus，再轉化為央格魯式的Carroll Lewis，然後前後顛倒。

道奇森的筆名為什麼是Lewis Carroll?

Photo taken by Lewis Carroll (1858)

愛麗斯本尊

Alice Pleasance Hargreaves née Liddell, 1852 –1934

《阿麗思漫遊奇境記》譯者:趙元任(18921982)

趙元任說: 是一部給小孩子看的書是一部笑話書是一本哲學的和論理學的參考書我相信這書的文學的價值，比起莎士比亞最正經的書亦比得上。趙元任：著名語言學家，哲學家和作曲家。在中國語言學界被尊為「漢語言學之父」。1910年美國康奈爾大學，主修數學，1914年獲理學士，1918年獲哈佛大學哲學博士。

卡羅透過《愛麗絲夢遊仙境》一書諷刺時代的社會亂象，法庭、黨團賽跑、瘋茶會等等場景與對話都可以被解釋為政治的荒謬與弱勢者的無助，運用童話的形式書寫他對現實社會的不滿和譏嘲。更深一步探討主角愛麗絲的行為與思想，可以發見卡羅的內心並不平靜、單純，相反的，可能看破當權者的虛偽，充滿著對生命的困惑、對禮教的厭倦。卡羅塑造了愛麗絲好奇、勇敢的形象，愛吃愛玩，就像大部分孩子。卻同時賦予愛麗絲冷酷性格，我猜想這與潛藏於卡羅心中的悲觀有關。也許卡羅本不想將情緒帶入故事，但當他在組織情節時自然將其情感投射在愛麗斯身上，而由此類意象表達時的不刻意來推想，他可能不自覺。他的不自覺使他的悲觀更加赤裸裸地呈現在讀者眼底。

賴姵璇（北一女中高二讓班）愛麗絲夢遊仙境─卡羅與愛麗絲的自我探索之行

不可能的事，想多了也許就可能了！

一張紙能對摺多少次？

一般20磅的紙厚度為0.1毫米，對摺

50次（如果做得到的話），厚度就有

米，再摺一次厚度就會超

過地球到太陽的距離。通常認為一張

紙不可能對摺超過八次。

一張紙對摺12次

Britney Gallivan 在2001年12月算出對摺的限制公式，2002年1月實際對摺4000英尺長的衛生紙12次，當時他是高二學生。本張照片是摺完第11次時拍的。

對摺的限制

同方向對摺n次，紙的厚度為t，紙的長度最少需要L：

交替方向對摺，紙的寬度最少需要W：

愛麗絲 March Hare Hatter

Nearly all Carroll’s jokes are jokes either in pure

or in applied logic. And this is one of the reasons

why the books make such an appeal to children.

When a child has learnt that a form of words is

used in one particular context, he is surprised to

find that it cannot be used in some other context;

and the attractiveness of Carroll lies in the fact

that his use of a phrase in an apparently correct

but really nonsensical way appears as plausible

to him as to the child.

R. B. Braithwaite, Lewis Carroll as logician

The Mathematical Gazette, Vol. 16, No. 219 (Jul., 1932),

pp. 174-178.

卡洛爾熱愛歐幾里得幾何

惠維爾 (William Whewell, 1794–1866)

There is no [other] study by which the Reason

can be exactly and rigorously exercised. In

learning Geometry the student is rendered

familiar with the most perfect examples of strict

inference . . . He is accustomed to a chain of

deduction in which each link hangs from the

preceding, yet without any insecurity in the

whole: to an ascent, beginning from the solid

ground, in which each step, as soon as it is made,

is a foundation for the further ascent, no less

solid than the first self-evident truths.

William Whewell

歐幾里得幾何的嚴密邏輯結構，對一般初學者來說，感覺十分生澀難懂，只好死記活背囫圇吞棗。據說在牛津大學一次考試中，某位學生把歐幾里得的證明默寫得一字不漏，但是卻把所有的三角形都畫成了圓形。 1869年英國科學促進會會長數學家James Joseph Sylvester公開主張不要再用歐幾里得《幾何原本》做為教材，接著有「反歐幾里得協會」成立，並於1871年組成「幾何教學改革協會」編寫新型的幾何教科書。

詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特 (James Joseph Sylvester, 1814–1897)

"The early study of Euclid made me a hater of geometry"

道奇森是歐幾里得的強力支持者

歐幾里得幾何的起源與特色

希臘文明分期（依數學史觀點）

古典期：

公元前600年–公元前300年

亞力山大期或稱希臘化期：

公元前200年–公元600年

公元前700年紙草文獻開始在希臘流通，帶來埃及的數學。

希臘數學的重要原始文獻，現在都已不存於世。反而不如巴比倫與埃及數學文獻更可徵信。

希臘數學知識保存於：

拜占庭抄本書（成書於希臘原著500–1500年後，並且經過編輯注疏。）

由希臘文翻為阿拉伯文的譯本，以及由阿拉伯文翻為拉丁文的譯本。（有可能並未忠實於原文，而且原文版本也有可能遭受竄改。）

愛奧尼亞學派：

創始人是泰勒斯（Thales，約公元前624–約公元前546）

首先引入了證明幾何命題的思想，從而把一些看似彼此不相干的幾何事實，串連成有系統的知識脈絡。

畢達哥拉斯學派（約公元前569–約公元前475）：

把抽象的「數」當做萬物的本質，因此研究數的目的不是為了實際應用，而是想揭露宇宙永恆的真理。

不可公度量的發現

一種傳說是Hippasus（公元前五世紀）發現正五邊形的邊長，不論單位長度怎麼選，對角線的長度都無法以整倍數度量。

畢達哥拉斯學派的信仰因不可公度量的發現，而遭遇致命性的打擊。

輾轉相除法(Anthyphairesis)

正五邊形的邊與對角線不可公度

ABAD=ABAE=BE

ADBE=AEAF=EF

BEEF=EG-EF

‧‧‧ ‧‧‧

芝諾的悖論

第二個悖論稱為 Achilles 與烏龜：雖然 Achilles 是史詩《Iliad》中的英雄人物，但若要他與烏龜賽跑，只要烏龜先跑一段路，他就永遠追不上烏龜了，因為當他跑到原先烏龜所在的位置，烏龜已經又跑到他的前方。

第三個悖論稱為飛矢 (arrow) ：在任一時刻，飛矢總是佔據與其等長的空間，因此在那時刻飛矢總是不動的。因為在任一時刻總是不動，所以從頭到尾，飛矢總是不動的。

芝諾（Zeno of Elea, ca. 490 BC–ca. 430 BC）

芝諾向年輕人顯示通往真或偽（ Veritas et Falsitas ）之門 Fresco in the Library of El Escorial, Madrid

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3b/Zeno_of_Elea_Tibaldi_or_Carducci_Escorial.jpg

亞里斯多德 (Aristotle, 384 BC–322 BC)

亞里斯多德學派

1、討論「定義」的重要性，提出「無定義詞」（undefined term）的必須性。也指出定義本身並不保證存在性，存在性必須以建構法達成。

2、區分公理（axiom，或稱 common notion）與公設（postulate）。

（An axiom is a self-evident truth. A postulate is a geometrical fact so simple and obvious that its validity may

be assumed.）

亞里斯多德學派

3、區分「潛無限」（potential infinity）與「實無限」（actual infinity）。

4、以科學的方式建立「邏輯學」。

矛盾律：一命題不可能同時為真又為假。

排中律：一命題必須或者為真或者為假。

5、強調「演繹法證明」是獲得數學真理的唯一基礎。

三段論(Syllogism)

三段論在亞里斯多德邏輯中，是一個

命題（結論）必然從另外兩個命題（

前提）中得出的一種推論法。三段論

由三個部分組成：大前提、小前提、

結論。大前提是一般性的原則。小前

提是一個特殊陳述。結論是從應用大

前提於小前提之上得到的。

三段論(Syllogism)

如果所有人（M）都會死（P），（大前提）並且所有希臘人（S）都是人（M），（小前提）那麼所有希臘人（S）都會死（P）。（結論）

如：

所有人都會死。（普遍原理）蘇格拉底是人。（特殊陳述）蘇格拉底會死。 [把特殊（小）代換入一般（大）]

人們需要檢討哪些幾何命題的真確性

是極端明顯而無庸置疑的，然後推導

出其他看似複雜命題的真確性。這種

思維方法漸次發展成公設方法，而在

歐幾里得(Euclid, ca. 325 BC– ca. 265

BC)手上集其大成，完成巨著《幾何

原本》。

歐幾里得

（約公元前300年活躍於亞歷山大城）

9世紀希臘文《幾何原本》

《幾何原本》

Campanus 1255年翻譯為拉丁文，1482 年在威尼斯出版的第一個印刷本。

克里斯托佛·克拉烏（丁先生） (Christopher Clavius, 1538–1612)

1574年丁先生的拉丁文《幾何原本》

利瑪竇與徐光啟

徐光啟(1562－1633)

《刻〈幾何原本〉序》：蓋不用為用，眾用所基，真可謂萬象之形囿、百家之學海。《〈幾何原本〉雜議》：此書為益，能令學理者怯其浮氣，練其精心；學事者資其定法，發其巧思，故舉世無一人不當學。

《幾何原本》共13卷，利瑪竇與徐光啟在1607年翻譯了前6卷。

科學人2009年第93期11月號

《幾何原本》卷首說：「凡立法、地理、樂律、算章、技藝、工巧諸事，有度有數者皆依賴十府中幾何府屬。」由此可推知，因為書裡講的是「有度有數者」，屬於「十府」中涉及「若干、多少」的「幾何府」，所以書名才使用了「幾何」二字。「十府」是什麼呢？亞里斯多德在邏輯學著作〈範疇篇〉裡，把人所能理解的事項劃分為十類：實體、數量、性質、關係、地點、時間、位置、狀態、主動、被動。利、徐兩人的用語「十府」，便是現在所謂的十範疇。與利、徐同時代的傅汎際（Francisco Furtado）和李之藻在翻譯亞里斯多德著作時，稱十範疇為「十倫」。他們編譯的《明理探》裡，便稱「數量」那一倫為「幾何」，而另外音譯geometria為「日阿默第亞」。

歐幾里得《幾何原本》

全書共13卷，包括5條公設、5條公理、119條定義、465條命題。

第一卷：幾何基礎篇

23條定義、 5條公設、5條公理、48條命題。以後各卷沒有再加入公設與公理。

第二卷：幾何代數

以幾何方式研究代數公式，例如 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 。


第三卷：圓形

討論圓的性質。

第四卷：正多邊形

討論在圓內接或外切三角形的作圖法，以及三角形與正多邊形內切與外接圓的作圖法。

第五卷：比例論

依據 Eudoxus 理論編寫，當中比例的定義對後世數學影響深遠。

第六卷：相似圖形

討論相似三角形、相似圖形及其應用。


第七、八、九卷：數論

討論最大公因數、偶數、奇數、質數、完全數等性質。

第十卷：不可公度量

共有115條命題，是最冗長、最富爭議性，但也最精彩的一章。

第十一、十二卷：立體幾何

探討立體幾何中的命題，並證明只存有五種正多面體。

1. 點是沒有部分的。

2. 線只有長度而沒有寬度。

3. 一線的兩端是點。

4. 直線是它上面的點一樣地平放著的線。

5. 面只有長度與寬度。

6. 面的邊緣是線。

歐幾里得《幾何原本》的定義

1. 由任意一點到任意一點可作直線。

2. 一條有限直線可以繼續延長。

3. 以任一點為圓心及任意的距離可以畫圓。

4. 凡直角都相等。

5. 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於二直角，則這二直線經無限延後在這一側相交。

藍紀正、朱恩寬譯：歐幾里得《幾何原本》，九章出版社，1992年。

歐幾里得《幾何原本》的公設

利瑪竇與徐光啟的譯文

比現代譯文更忠於原著

歐幾里得《幾何原本》的公理

1. 等於同量的量彼此相等。

2. 等量加等量，其和仍相等。

3. 等量減等量，其差仍相等。

4. 彼此能重合的物體是全等的。

5. 整體大於部分。

卡洛爾的幾何「困局」

88的棋盤變成513的棋盤！？

無中生有

憑空消失

每個三角形都是等腰三角形

過BC中點D作垂線DE，作角A分角線。若分角線與DE平行，則分角線垂直於BC邊，於是 AB＝AC，得證。若分角線與DE相交於F，則由F作AB及AC的垂線FH及FG。直角三角形AFH與AFG全等，所以AH＝AG。直角三角形BDF與CDF全等，所以BF＝CF。 BH2＝BF2FH2＝CF2FG2＝CG2，所以BH＝CG。於是AB＝AHBH＝AGCG＝AC，得證。

卡洛爾的邏輯「困局」

A Logical Paradox

By Lewis Carroll Mind, vol. 3, n˚ 11, July 1894, pp.

436-438.

A Logical Paradox


436-438.

Allen, Brown, and Carr are three barbers.

Hypothetical propositions:

If Carr is out, then if Allen is out, Brown is in.

If Allen is out, Brown is out.

Can Carr go out?

A Logical Paradox


436-438.

(1)If C, then if A, then B.

(2) If A, then not B.

Can C be true ?

條件句的真值表

P Q 若P，則Q

真真真

真假假

假真真

假假真

What the Tortoise said to Achilles

By Lewis Carroll Mind, vol. 4, n˚ 14,

April 1895, p. 278-280.


By Lewis Carroll Mind, vol. 4, n˚ 14, April 1895, p. 278-280.

(A) Things that are equal to the same are

equal to each other.

（此為歐幾里得的公理1：等於同量的量彼此相等。） (B) The two sides of this Triangle are things

that are equal to the same.

(Z) The two sides of this Triangle are equal to

each other.



(B) The two sides of this Triangle are things



each other.

(C) If A and B are true, Z must be true.









each other.









each other.

(D) If A and B and C are true, Z must be

true.



(E) If A and B and C and D are true, Z

must be true.

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .



邏輯的數學化

邏輯是理性論辯的基礎，希臘人深刻體會出邏輯在哲學與數學上所發揮的作用，因而積極從事其研究。亞里斯多德的邏輯系統影響力貫穿了中世紀的哲學、科學與宗教。但是亞里斯多德的邏輯是用日常語言來表達，也就帶進了自然語言的曖昧性。哲學家為了澄清問題，逐漸嘗試模仿數學的方法，使用符號來討論邏輯。17世紀的萊布尼茲（Leibniz）可說是此一研究法的首創者。

萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646–1716)

19世紀英國邏輯的推手

迪摩根(Augustus De Morgan,1806 –1871)

迪摩根定律

非(P 且 Q)＝(非 P) 或 (非 Q) 非(P 或 Q)＝(非 P) 且 (非 Q)

形式邏輯中此定律表達形式：

在集合論中：


布爾(George Boole, 1815 –1864)

布爾的符號邏輯

1848年，布爾出版了 The Mathematical Analysis of Logic

1854年，他出版了 An Investigation of the Laws of Thought,

on Which are Founded the Mathematical

Theories of Logic and Probabilities

布爾代數

一個非空集合 A，兩個二元運算與，一個單元運算。以及兩個特別元素 0 與 1，滿足下列公設：

夏農(Claude Shannon, 1916－2001) 用電子開關模擬布爾代數運算是現代電子計算機的基本思路，也成為數位電路設計的理論基石。

布爾代數的應用


文恩(John Venn, 1834 –1923)

1880年7月，文恩發表論文 On the Diagrammatic and Mechanical

Representation of Propositions and

Reasonings

介紹了自創的文氏圖，隔年並應用在《符號邏輯》（Symbolic Logic）一書中。

文氏圖

文氏圖

劍橋大學岡維爾與凱斯學院餐廳

文氏圖

卡洛爾的邏輯工作

卡羅爾的《邏輯遊戲》


All new cakes are nice

Some new cakes are nice & No new cakes are not-nice

卡羅爾的《符號邏輯》

道奇森在其他方面的影響

行列式的展開法(Condensation method)


使用道奇森的 condensation 方法時會產生alternating sign matrix ，首先由 William Mills, David Robbins, Howard Rumsey 在1983年正式定義。



Alternating sign matrix 猜想斷言 alternating sign 矩陣的總數為

當 n = 0, 1, 2, 3, … 時，此數列為 1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, ….

此猜想在1992年由Doron Zeilberger 證明為真。


淘汰賽賽局安排法

1

八位選手依強弱排序為1、2、3 … 8。賽局排不好的話，5是第二名，但是真正第二強的是2。

Dodgson was way ahead of

his time; the subject of

ranking in tournaments was

not seriously taken up again

until the 1940s.

Robin Wilson


投票方法理論議會席次分配理論 It is a matter of the deepest regret that Dodgson never

completed the book that he planned to write on the

subject. Such were the lucidity of exposition and his

mastery of the topic that it seems possible that, had

he ever published it, the political theory of Britain

would have been significantly different.

Michael Dummett (1925–2011)


道奇森的數學與邏輯專業成就並不太突出，但他像跌進兔子洞的愛麗絲，撞見了許多引人思量的妙現象。

謝謝聆聽

從數學文化的脈絡...

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