國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文

指導教授：劉湘川 博士

郭伯臣 博士

國中數學科「相似形」單元電腦化測

驗與診斷模式研發

研究生：簡啟全 撰

中 華 民 國 一 百 年 七 月

謝詞 從進入碩士的日子以來，感謝支持我的家人爸爸、媽媽以及敏瑜，讓

我可以全力以赴衝刺學業和工作。自從唸書開始到決定論文題目與研究方

向、到國中進行施測研究、程式分析數據及撰寫論文，感謝我的指導教授

劉湘川、郭伯臣老師叮嚀與教誨；提供寶貴意見的口試委員黃玉臺、謝俊

逸老師，讓此篇論文更加嚴謹、完善。感謝長期指導的育隆學長、智為學

長，互相彼此討論幫忙的同窗瓊瑩、淑瑜、子晏、逸豪、珮慈、南逸、繼

成、亭堯、明宜、彥惠、俊榮、志強、啟得，有你們照顧與相伴，讓我能

夠完成論文。

感謝實驗室的學長姐，慧珉、佳樺、孟君、慧珊、典佑、暄博、智為、

彥鈞、俊華，總是適時地給我各方面的建議與協助；更感謝所上的助教政

軒，不厭其煩地給我提醒與建議並且處理一些瑣碎的問題，讓我順利地度

過這兩年在研究所裡的日子。

感謝敏瑜，在研究遇到困惑時，給我打氣加油，工作遇到困難時，給

我鼓勵，都感覺特別窩心，不時地聽我抱怨當我的投訴信箱，施測後幫忙

整理數據以及陪我一起改考卷，分擔了不少壓力；最後，還是要再次感謝

為我的論文勞心勞力的老師們劉湘川老師、郭伯臣老師、黃玉臺老師、謝

俊逸老師，以及劉育隆學長和我本人的努力。感謝大家。

本文謹獻給關心我、愛我的外婆與家人。

I

摘要

目前的教育體制目標朝向十二年國家教育為方向，學生在沒有升學壓力下，

教師能夠迅速的了解學生學習狀況，讓錯誤概念不會影響到學生的未來學習。

但是診斷測驗過程往往耗時費力，根據測驗的結果如何進行課後補救教學，教

師經常困擾如何執行。因此，本研究期望結合貝氏網路研發包含選擇題與建構

反應題之電腦化診斷測驗，利用電腦完整記錄學生解題過程，藉由自動化計分

模式，分析學生的作答反應，由此得到學生更多樣化的錯誤類型，以改善教師

閱卷的負擔。

根據本研究的實驗結果得到以下結論：

一、 本研究單元「相似形」之電腦化建構反應題可以診斷出學生的多種錯

誤類型，有助於學生知道自己的錯誤概念，也可幫助教師掌握學生的

錯誤類型，進行集體補救教學。

二、 本研究研發的建構反應題電腦化診斷系統，能夠自動偵測學生的錯誤

類型，其平均辨識率為 0.9218，成效良好。

三、 選擇題結合建構反應題後之貝氏網路模式 4 優於僅只有選擇題之貝氏

網路模式 1。

關鍵詞：貝氏網路、建構反應題、電腦化診斷測驗、錯誤類型、相似形

II

III

Abstract The goal of the current education system towards the direction of twelve

national education students under the pressure in the absence of studies, teachers can

quickly understand student learning, so that misconceptions do not affect students'

future learning. But the process is often time-consuming diagnostic tests, according

to test results for after-school remedial instruction, teachers often troubled by how to

perform. Therefore, this study combined with Bayesian network research and

development expectations include multiple-choice and constructed response

questions of the computer-based diagnostic tests, complete records of student use of

computer problem-solving process, by automating scoring model to analyze student

responses and answer, which get students more variety of types of errors, in order to

improve teachers' scoring burden.

According to the results of this study the following conclusions:

1. In this study, the “similar figures” unit, constructed response questions can be

computerized diagnostic students a variety error types to help students

know their own misconceptions, teachers can help students to master the error

type of collective remedial teaching.

2. Developed computer diagnostic system constructed response questions,

students were able to automatically detect the error type of the average

recognition rate is 0.9218, and the performance is well.

3. Constructed response questions with multiple choice questions after

the Bayesian network model 4 is better than only the only choice

Bayesian network model 1.

IV

Keywords: Bayesian Network, Constructed-Response Item, Computerized diagnosing

test, Error type, Similar figures

V

目錄 摘要 ................................................................................................................................. I

ABSTRACT ................................................................................................................ III

目錄 ................................................................................................................................ V

表目錄 ......................................................................................................................... VII

圖目錄 .......................................................................................................................... IX

第一章 緒論 ................................................................................................................. 1

第一節 研究動機 ...................................................................................................... 1 第二節 研究目的 ...................................................................................................... 2 第三節 名詞解釋 ...................................................................................................... 3

第二章 文獻探討 ......................................................................................................... 5

第一節 「相似形」教材與錯誤類型分析 .............................................................. 5 第二節 貝氏網路及建構反應題之教育相關研究 .................................................. 9 第三節 電腦化診斷測驗 ........................................................................................ 13

第三章 研究方法 ......................................................................................................... 27

第一節 研究流程 ...................................................................................................... 27 第二節 研究工具 ...................................................................................................... 29 第三節 研究對象 ...................................................................................................... 41 第四節 研究設計 ...................................................................................................... 41

第四章 研究結果 ......................................................................................................... 49

第一節 建構反應題之自動計分模式分析 ............................................................. 49 第二節 分析建構反應題診斷系統之效能 ............................................................. 54 第三節 結合建構反應題後之貝氏模式成效 ......................................................... 60

第五章 結論與建議 ..................................................................................................... 69

第一節 結論 .............................................................................................................. 69 第二節 建議 .............................................................................................................. 70

VI

參考文獻 ....................................................................................................................... 71

中文部分 ................................................................................................................... 71 英文部分 ................................................................................................................... 74

附錄一、電腦化測驗試題 .......................................................................................... 75

VII

表目錄 表 2-1 九年一貫課程綱要國中三年級「相似形」單元之相關能力指標 ........... 5

表 2-2 文獻相關研究學生可能發生之「相似形」錯誤解題類型整理 ............... 7

表 2-3 貝氏網路與建構反應題在教育上相關的研究 ......................................... 11

表 3-1 相似形單元子技能 ..................................................................................... 30

表 3-2 相似形單元錯誤類型 ................................................................................. 31

表 3-3 第一題建構題學生解題歷程 ..................................................................... 36

表 3-4 第二題建構題學生解題歷程 ..................................................................... 37

表 3-5 第三題建構題學生解題歷程 ..................................................................... 39

表 4-1 「相似形」單元建構反應題作答過程編碼舉例 ....................................... 51

表 4-2 施測學生於建構反應題題型所增加之錯誤類型 ..................................... 54

表 4-3 第 20 題全部學生解題錯誤類型人數統計表 ........................................... 55

表 4-4 第 21 題全部學生解題錯誤類型人數統計表 ........................................... 56

表 4-5 第 21 題之全部學生解題策略人數統計表 ............................................... 56

表 4-6 第 22 題全部學生解題錯誤類型人數統計表 ........................................... 58

表 4-7 第 22 題之全部學生解題策略人數統計表 ............................................... 58

表 4-8 比較模式 1 與模式 2 貝氏網路之差異 ..................................................... 61

表 4-9 比較模式 1 與模式 3 貝氏網路之差異 ..................................................... 61

表 4-10 四種模式之辨識率比較表 ......................................................................... 67

VIII

IX

圖目錄 圖 2-1 非循環的有向圖 ........................................................................................... 9

圖 2-2 攜手計畫系統學校登入介面 ..................................................................... 15

圖 2-3 系統測試展示試題 ..................................................................................... 15

圖 2-4 MFT 登入介面 ............................................................................................ 16

圖 2-5 MFT 測驗試題介面 .................................................................................... 17

圖 2-6 學習概況分析介面 ..................................................................................... 17

圖 2-7 學習概念診斷報告 ..................................................................................... 18

圖 2-8 登入介面 ..................................................................................................... 19

圖 2-9 測驗作答介面 ............................................................................................. 20

圖 2-10 系統診斷分析介面 ..................................................................................... 20

圖 2-11 測驗作答介面 ............................................................................................. 22

圖 2-12 適性診斷測驗介面 ..................................................................................... 23

圖 2-13 適性診斷分析結果 ..................................................................................... 23

圖 2-14 選擇測驗內容 ............................................................................................. 25

圖 2-15 選擇測驗方式 ............................................................................................. 25

圖 3-1 研究流程 ..................................................................................................... 28

圖 3-2 相似形單元專家知識結構 ......................................................................... 32

圖 3-3 相似形單元貝氏網路圖 ............................................................................. 33

圖 3-4 「相似形」單元選擇題介面 ..................................................................... 34

圖 3-5 建構題第一題介面 ..................................................................................... 35

圖 3-6 建構題第一題作答歷程 ............................................................................. 36

圖 3-7 建構題第二題作答歷程 ............................................................................. 38

圖 3-8 建構題第三題作答歷程 ............................................................................. 40

圖 3-9 第 20 題解題策略分析流程 ....................................................................... 42

圖 3-10 第 21 題解題策略分析流程 ....................................................................... 45

圖 3-11 第 22 題解題策略分析流程 ....................................................................... 46

X

圖 4-1 第 21 題之全部學生解題策略示意圖 ....................................................... 57

圖 4-2 第 22 題之全部學生解題策略示意圖 ....................................................... 59

圖 4-3 模式 1 貝氏網路圖 ..................................................................................... 62

圖 4-4 模式 2 貝氏網路圖 ..................................................................................... 63

圖 4-5 模式 3 貝氏網路圖 ..................................................................................... 64

圖 4-6 模式 4 貝氏網路圖 ..................................................................................... 65

1

 

第一章 緒論 本章分別為第一節說明研究動機；第二節說明研究目的；第三節說明本研究

重要之名詞釋義。

第一節 研究動機

政府近年來持續提倡十二年國教，而現今國中教育的改革後，也代表著需要

有一個能夠診斷學生能力並且取代舊有的紙筆測驗，又能夠以電腦網路的優勢來

幫助教師。以目前的電腦化診斷測驗正好可以幫助教師在有限的時間和人力資源

下，檢測學生的單元學習概念為目標，並且經過系統的判斷結果能夠讓教師短時

間內了解學生的錯誤類型，立即給予適當的課後補救教學（鄭涵，2010）。

目前研發的診斷系統是利用貝氏網路的原理。貝氏網路是在人工智能方面大

量的被運用，它被用於預測結果與診斷能力，除了醫學、工程方面之外，近來也

應用在教育方面。因此，利用貝氏網路的優點，將其應用到電腦化診斷測驗，同

時具有原本電腦化診斷測驗的優點並且加上貝氏網路的推論性後，能夠針對學生

的錯誤類型及子技能來再加以推論（李俊儀，2005）。

評量是檢驗教學效果的過程，教師應透過各種評量方式，來改善自己的教學

（教育部，2003）。診斷學生能力一直是各界所重視的一種參考方法，但是最困

難之處就是需要耗費人力與物力，藉由不同的試題測驗後，記錄下該對象的答案

作為依據，以此來進行適當的補救教學，當如果改以電腦化診斷測驗則可以清楚

記錄學生之解題過程，可讓教師清楚學生之錯誤概念，不僅可得知學生更多的錯

誤類型，亦可以降低教師閱卷的時間（吳任婕，2009）。現今網路科技發達的基

礎下，我們可以增加電腦系統操作的測驗，讓學生在網路也可以直接進行線上測

驗，並增加自動化記分機制（巫靜宜，1999）。現階段已經發展出不同的數學電

腦化診斷測驗，但是大部分還是多以選擇題或是填充題的測驗方式，也因此無法

2

從受試者的選答判斷學生是否藉由猜測而答對，縱然不同受試者選擇了同一個錯

誤選項但其解題歷程並不一定相同。選擇題能夠檢測的內容大多是以事實知識與

程序技巧為主的例行性問題，此類題目較不能區分出學生的數學推理、理解、分

析等認知能力，只能客觀的判斷學生演練或熟練的程度（林孟君，2010）。

本研究者教導國中三年級數學有數年，發現許多國三學生在學習「相似形」

單元時，許多情況是不具概念而任意猜測選項，對於幾何題型中有關輔助線的解

題上容易發生此種狀況。張佩琦（2007）認為在過往的教學經驗中察覺，幾何單

元裡又以相似形概念最為學生感到困難。本研究參考康軒版課本與國中基測試題

後，以此修改成為數學「相似形」單元測驗試題，將此單元之試題電腦化並發展

建構反應題型，針對學生的選擇題結果與建構反應題之解題過程進行診斷以及自

動化分析，期望依據貝氏網路為基礎，分析學生的錯誤類型，診斷學生的概念是

否完整，除了可以降低教師的閱卷負擔，也能讓教師快速的取得補救教學的依

據。

第二節 研究目的

基於上述動機的想法，我們欲探討以下三個部分：

一、 發展國中三年級「相似形」單元的建構反應題題型開發與系統建置。

二、 分析電腦化建構反應題診斷系統之效能。

三、 以貝氏網路為模式下，電腦化建構反應題與電腦化選擇題之成效比較。

3

第三節 名詞解釋

壹、 錯誤類型

本研究之錯誤類型分為學生解題時，學生所具備的單元知識不足所產生的錯

誤解答；另一方面則是專家或教學者公認的學生可能會發生的錯誤解答過程。錯

誤類型制定的過程是根據文獻、教材、教師手冊與專家學者意見之資料蒐集，定

義出常見的錯誤類型，並進行分類。

貳、 建構反應題

建構反應題（constructed-response items）即非選擇題，主要是測量受試者較

高層次能力，其中包含說明、整合、應用、分析、評估和傳達科學資訊的能力

（National Assessment Governing Board, 2004；引自吳任婕, 2009）。Linn與Gronlund

（2000）亦認為，建構反應試題能測量學生運用思考、解決問題、組織統整、和

表達想法的能力，即透過學生獨立思考、自我批判、組織整合、系統評鑑、並呈

現成果（教育部，2004）。建構反應題的答案由學生產生和提供，需要人工閱卷

計分，常見的建構反應題有填充題和論文題。

叄、區塊分析

本研究為了達成自動化分析分析建構反應題的目標。吳任婕(2009)認為將學

生解題過程以計算過程之特徵或是符號分隔為區塊，每區塊與錯誤類型進行比對，

此稱為「區塊分析」。

4

肆、 錯誤類型偵測率

本研究評估自動化分析建構反應題型中針對單一錯誤類型的精準度，稱為

「錯誤類型偵測率」。以專家判定具有此錯誤類型的受試者，並與電腦系統建置

的自動化分析建構反應題模式進行比對，若前後者判定之錯誤類型皆相同的人數

除以專家判斷具有此錯誤類型的人數。其計算公式如下：

偵測率 = 專家判斷與電腦診斷皆相同錯誤類型的人數÷專家判斷具有此錯

誤類型的人數

伍、 建構反應題的辨識率

本研究評估自動化分析建構反應題型之結果成效數值，稱為「建構反應題的

辨識率」。將全部受試者之解題歷程輸入自動化分析建構反應題模型，並電腦分

析出的錯誤類型與專家判斷的錯誤類型進行比對，比對結果相同的人數除以全部

受試者人數。其計算公式如下：

辨識率 = 專家判斷與電腦診斷之錯誤類型相同的總人數÷總施測人數

5

第二章 文獻探討 本研究以國中三年級康軒版「相似形」單元為研究範圍，建置以貝氏網路為

基礎包含選擇題與建構反應題型的電腦化診斷系統。本章節分為以下三節：「相

似形教材與錯誤類型分析」、「貝氏網路與教育相關研究」、「電腦化診斷測驗」。

第一節 「相似形」教材與錯誤類型分析

本節主要目的是希望藉由探討「相似形」教材與錯誤類型相關文獻，以協助

貝氏網路之建構與測驗之編製。「相似形」的相關概念在數學教育中屬於高層次

的概念，本研究針對國中數學課程中的「相似形」做探討。依據教育部民國92年

頒布「國民中小學九年一貫課程綱要」數學學習領域國中三年級相關的能力指標

如下表2-1：

表 2-1 九年一貫課程綱要國中三年級「相似形」單元之相關能力指標

能力指標 內容 對照指標

9-s-01

能根據平行線截線性質作推理。 說明：

經過三角形一邊的中點且平行於另一邊的直線，一定通過第三邊中點，且此線

段長為底邊長度的一半。 比例線段性質：當四個線段中，兩個線

段的比等於另兩個線段的比時，我們稱

這四個線段為比例線段。 兩個等高的三角形面積比，等於其底的

比。

S-4-11 S-4-15

6

表 2-1 九年一貫課程綱要國中三年級「相似形」單元之相關能力指標 (續)

9-s-02

能對簡單的相似多邊形指出對應邊成比

例、對應角相等性質。 說明：

不論其大小是否相等，只要形狀相同，這兩個圖形相似。

能理解兩個同邊數的多邊形，若對應角相等且對應邊成比例時，則這兩個多邊

形叫做相似多邊形，記作符號 ～。 能利用座標、比例線段來做相似形的圖

形。

S-4-12

9-s-03

能理解三角形的相似性質。 說明：

理解三角形的 AA、SAS、SSS 或平行線截相似三角形等相似性質。

理解兩相似三角形中，對應邊長之比＝對應邊高之比＝對應分角線之比＝對

應中線之比，及對應面積之比＝對應邊

長平方比。

S-4-13

9-s-04

能理解平行線截比例線段性質。 說明： 平行線截比例線段性質：設一直線平行

於三角形的一邊，且與另兩邊相交，則

此直線把這兩邊截成比例線段。 判別性質：若一直線把一個三角形的兩

邊截成比例線段，則這直線必平行於此

三角形的第三邊。 連接三角形兩邊中點的線段必平行於

第三邊，且長度等於第三邊的一半。 計算公式：在△ABC 中D在 AB 上，E 在

AC 上，且DE 平行於 BC ，則 ECAEDBAD :: = ， ACAEABAD :: = ，

ECACDBAB :: = ， BCDEABAD :: = 。

S-4-13

7

表 2-1 九年一貫課程綱要國中三年級「相似形」單元之相關能力指標 (續)

9-s-05

能利用相似三角形對應邊成比例的觀念，

應用於實物的測量。 說明： 理解比例計算公式：在△ABC 中 D 在

AB 上， E 在 AC 上，且 DE 平行於 BC ，

則 ECAEDBAD :: = ， ACAEABAD :: = ， ECACDBAB :: = ， BCDEABAD :: = 。

S-4-13

本研究「相似形」單元之選題題與建構反應題參考康軒版課本及國中基測試

題後修改自編之試題，建構反應題題型之建置流程是從與選擇題相同之概念試題

中，選出適合建構反應題題型的概念，將這些概念進行分析後命題，命題時以開

放式題型為主，以引導學生回應出各式各樣之解題歷程與使用工具。診斷測驗的

任務在於分析學生的錯誤概念，了解受試者的想法與藉由觀察解題歷程，使教師

更清楚的掌握學生的心理運作，對於課後的補救教學有相當大的益處，幫助學童

能做更有效率的學習。然而國中「相似形」單元研究文獻並不多，除了與專家學

者討論外並搜尋「相似形」相關學者研究歸納的錯誤類型或迷思概念，整理如下

表2-2：

表 2-2 文獻相關研究學生可能發生之「相似形」錯誤解題類型整理

研究者 解題錯誤概念

林福來

（1984） 認為學生使用加法策略主要是為了克服題目的障礙、逃避使用乘

法、不會求比值或不作分數計算所造成。

陳姿妍

（1996） 在處理有輔助線需求的幾何問題時所可能發生的情況：

圖形外的輔助線對中學生而言較困難。 學生有針對問題附圖解題的傾向。 學生所學的是一個相關組集，並沒有邏輯序列。 直覺支持所引用的性質為合法。

8

表 2-2 文獻相關研究學生可能發生之「相似形」錯誤解題類型整理 (續) 魏宗明 （2003）

對於相似的概念，學生雖顧及「形狀相同、大小不同」的概念，但是實際上卻有極高機會導致錯誤的「加法相似」概念以及「面

積相同」概念。 「加法相似」概念會誤認「擴大」是「加法」上的關係，而不

是倍數關係，以致於採用了錯誤的「加法策略」解題。 「面積相同」概念會忽略「形狀相同、大小不同」的相似假定，

以致於使用「面積法」，而成為「大小相同、形狀不同」現象，

無法通過解題。 康木村

（2004） 在處理例行題時，偏向使用教師上課教導的概念，若是遭遇非例行

題，則偏向使用自己所了解的相似形定義，以圖像做為思考的依據，

而忽略了相似形所需要檢驗的性質。 會誤用對應邊成比例與對應角相等兩個條件。題目所給定的條件應

該是使用對應邊成比例來證明兩個三角形相似，但學生會使用對應

角相等作為證明兩個三角形相似的依據；反之亦然。 對於相似形的檢驗會出現一律使用對應邊成比例或是對應角相等作

為判斷的標準，而不是依據題目所給的條件做判斷。 學生認為題目中只要出現平行線就代表對應邊成比例及對應角相

等，因此就斷定兩個圖形相似。 學生會使用切割的方式將多邊形分割成多個三角形，學生認為三角

形相似則多邊形就相似。 對於熟悉的圖形（如：直角三角形、長方形）偏好使用數據，對較

不熟悉的圖形則會透過圖形直觀判斷。 學生認為面積放大的過程中，應該是長、寬等倍數放大，所以圖形

間應該是相似的。 張珮琦

（2007） 學生在處理非例行題，則偏向使用自己所了解的相似形定義，以圖

像作為思考的依據。

綜合上表的錯誤類型，可以發現學生在「相似形」單元的「對應邊成比例」、

「對應角相等」、「根據圖形直接目測來計算當答案」等部分，這些能力都比較不

足。也可得知「相似形」單元對學生是比較容易混淆的單元。

9

第二節 貝氏網路及建構反應題之教育相關研究

近年來貝氏網路的應用相當廣泛，也因此本研究利用貝氏網路的優點，將優

點運用於電腦化診斷測驗系統，期望能夠結合自動化分析建構反應題的優點，針

對學生的子技能、錯誤類型做更有效的分析。

壹、 貝氏網路

「貝氏網路」為一種機率性專家系統，使用網路圖型模式來說明變數間互相

影響程度的機率關係，又稱為機率網路（Probabilistic Network）、因果網路（Causal

Network）與知識地圖（Knowledge Map）等（蘇俊和，2002）。

基於貝氏定理與圖形理論的概念，貝氏網路同時從質與量兩個向度表徵一組

變項之間的關係。從質的向度來看，貝氏網路是一種由節點與連結所組成的非循

環的有向圖（directed acyclic graphs，簡稱 DAGs），如圖 2-1 所示，其中節點代

表所欲研究的變項，連結代表變項間的影響關係，透過圖形模式，我們可以很清

楚了解變項間的依賴及條件獨立關係。就量的向度而言，影響的強度可以用條件

機率的方式表徵，並能計算所有變項的各種狀態之聯合機率分布，進而根據貝氏

定理進行以證據為基礎的推論（林孟君，2010）。

圖 2-1 非循環的有向圖

X1

X2

X4

X3

10

貳、 建構反應題型

目前根據教育部所制定九年一貫課程的評量方式分為：（1）選擇式反應測驗

題；（2）填充式反應測驗題；（3）實作評量。大部分的國內外線上測驗大多以選

擇題型式的測驗，但是選擇題皆有可能受到猜測答對所影響。H. Berlak（1992）

認為評量不應該只有選擇題，而應包含建構反應題等開放性試題。然而許多國際

類型的考試目前除了選擇題並且也新增加建構反應題或實作評量測驗，故本節將

建構反應題之題型與教育相關的研究做討論，藉由分析優缺點來當作本次建構反

應題之研究參考。建構反應試題主要目的是瞭解學生如何作答過程，瞭解學生的

思考邏輯，故需要將做法寫出來。不同於選擇題形式的試題，建構反應試題在命

題的原則上會有所不同（林碧珍、蔡文煥，2005）。

盧雪梅（2009）研究文章中提到，建構反應題分為填充題與論文題。論文題

有時也稱作開放式問題（open-ended question），填充題通常要求學生發表明確答

案，而開放式問題則允許學生自由建構思考，經過思考組織並呈現想法。開放式

問題又可分為兩大類：限制反應題（restricted-response question）和擴展反應題

（extended-response question）。限制反應題的特徵為學生的反應形式有限制，可

用來測量學生應用與分析的能力，可避免被猜測因素影響。擴展反應題相對於限

制反應題有更大的答題空間。申論題則就是擴展反應題的常見類型，所以學生會

花較多時間思考因果關係，而學習到比較分析的觀念與問題解決的技巧（盧雪梅，

2009）。

參、 貝氏網路與建構反應題的教育相關應用

國內外目前已經不少學者研究貝氏網路與建構反應題的文獻，經過文獻匯整

如表 2-3，發現有部分的文獻已經將貝氏網路加入建構反應題，而這些研究範圍

多屬於國小數學科領域和國中小自然科領域，而缺乏國中數學科領域的文獻。因

11

此本研究希望研發一套以貝氏網路為基礎的建構反應題的分析診斷系統，以改善

目前只有選擇題型之診斷測驗。

表 2-3 貝氏網路與建構反應題在教育上相關的研究

研究者 研究內容摘要 張玲婉

（2008） 本研究是應用貝氏網路，來設計國小六年級數學領域「分數的

乘法」單元之多元評量活動，根據教學目標、子技能、錯誤類

型建立專家知識結構，融入 NAEP、PISA 的評量架構以及能力指標建立評量活動完整的貝氏網路圖，並發展一套適用於本單

元的電腦化測驗。最後探討學生對於本研究之資訊融入數學多

元評量的態度與看法、教師使用本研究之資訊融入數學多元評

量的接受度與建議。 吳任婕

（2009） 本研究依據張玲婉（2008）研究「分數的乘法」數學單元之試題，挑選適合的試題電腦化，透過實際施測的結果，初步分析

建構反應題之錯誤類型，並建立自動化分析模型及建置診斷系

統。本研究發現透過診斷系統可詳細記錄學生解題反應，及學

生計算過程，並藉由電腦所診斷出學生的錯誤類型以減輕教師

閱卷負擔，學生也可獲得立即的學習回饋，幫助教師掌握學生

的迷思概念及學習狀況。 周麗莉

（2009） 本研究是以國小五年級數學領域「整數四則」能力指標為研究

範圍，以貝氏網路為推論工具，結合知識結構理論，根據能力

指標、子技能、錯誤類型等，建立「整數四則」單元的專家知

識結構及貝氏網路結構模型，並設計以貝氏網路為基礎的多元

評量活動，完成活動後再將學生分成兩組進行選擇題型及包含

建構反應題型的電腦化測驗，並探究學生對多元評量的態度及

看法。 陳宗楹

（2009） 本研究目的在以國小五年級「長方體和正方體」單元教材，設

計電腦化建構反應試題之診斷測驗系統。傳統的電腦化線上診

斷測驗，測驗題型多為是非題或選擇題，在學生作答完畢之後，

只能依據答題結果，判斷學生答案之正確與否，無法詳細得知

學生的作答情形，因此，就算學生對於試題不了解，他還是有

50%（是非題）或 25%（選擇題）的機率來猜對相關試題之答案。讓學生動手操作的建構反應試題，不但可以真實呈現學生對於

試題方面了解的程度，避免學生使用猜測的方式，系統施測完

畢之後，不但記錄學生的答題結果，將學生作答歷程記錄下來，

透過分析學生的作答歷程，可以了解學生真正的錯誤類型所在。

12

表 2-3 貝氏網路與建構反應題在教育上相關的研究 （續） 莊峰魁

（2010） 傳統紙筆測驗或電腦化測驗，往往受到侷限而無法給予教師更

多的資訊來幫助學生學習：選擇題型，只能針對學生最後的答

案，予以計分，無法確認學生是 猜對的或是真正學到正確的概念；開放題型，閱卷曠日費時，

且計分不夠客觀。因此，本研究欲設計理化科之電腦化建構反

應題，詳細紀錄學生的解題歷程，並根據解題過程之規則，對

學生的錯誤類型進行自動化診斷與分類，並自動計分，使學生

測驗完畢，可以即時獲得回饋。本研究依據文獻教學經驗及教

材特性，設計適合的建構反應試題後，成功地建立自動化分析

模型及建置診斷系統，透過診斷系統可詳細記錄學生解題過

程，並藉由電腦診斷出學生的錯誤類型，教師閱卷無負擔，學

生也可獲得立即的學習回饋，並使教師獲得學生的迷思概念及

學習狀況等完整資訊。 巫俊杰

（2010） 本研究試著以國中自然生活科技八年級之「聲音」單元作為探

討，結合了貝氏網路、順序理論為基礎的教學內容，尤以透過

電腦呈現建構適性題庫，這是傳統紙筆測驗所無法表達出來的

迷思概念，就可以透過這一連串的設計，教師可以透過這一連

串的實驗過程，分析學生的迷思概念以及需要補強的部分，於

是針對缺點進行補強的工作。研究結果顯示，使用建構反應試

題得以有效評估學生之技能。 張永鑫

（2010） 運用建構反應試題進行測驗能測量學生運用思考、解決問題、

組織統整和表達想法的能力，而電腦化診斷測驗則能節省測驗

時間與快速計分。本研究希望結合建構反應試題與電腦化診斷

測驗的優點，開發建構反應題題型及計分模式並建置以建構反

應題題型為基礎之診斷系統，而後評估其成效。 林孟君

（2010） 在教學中藉由評量診斷學生學習困難之處，並進而進行補救教

學，一直是教師掌握學生學習狀況的最佳利器。但是診斷測驗

的編製相當費時費力，施測後測驗的計分和記錄、教師如何根

據測驗結果進行適當的補救教學等問題，常造成教師實施上的

困難。因此，本研究期望結合貝氏網路研發兼具選擇題與建構

反應題之電腦化診斷測驗，利用電腦詳細紀錄學生解題過程，

藉由系統自動化計分並分析學生作答反應，由此得到學生更多

元的錯誤類型及解題策略，以改善教師閱卷上的負擔。

13

表 2-3 貝氏網路與建構反應題在教育上相關的研究 （續） 李炯璉

（2010） 本研究嘗試研發自然與生活科技領域之電腦化建構反應題與診

斷模式，依據「空氣與燃燒」單元之子技能以設計適合運用電

腦化測驗的試題，結合貝氏網路為基礎的數位教材之教學內

容，將資訊融入教學課程內容當中，尤以透過電腦呈現建構適

性題庫，這是傳統紙筆測驗所無法表達出來的迷思概念，就可

以透過這一連串的設計，教師可以透過這一連串的實驗過程，

分析學生的迷思概念以及需要補強的部分，針對缺點進行補強

的工作。 鄭涵（2010） 教學現場常需藉由評量來診斷學生的學習成效，進而進行補救

教學。但診斷過程往往費時費力，一份測驗施測後的計分，以

致於如何根據測驗的結果進行補救教學，常令教師捉襟見肘，

造成施行上的困難。因此，本研究希望能結合貝氏網路研發出

一套兼具選擇題與建構反應題之電腦化診斷測驗，利用電腦將

學生的解題歷程詳細記錄下來，再藉由系統自動化計分並分析

學生作答之反應，由此得到學生的錯誤類型與解題策略，以協

助老師閱卷與補救教學的實施。

第三節 電腦化診斷測驗

壹、 電腦化診斷測驗的優點 一、 電腦化線上測驗可以提供以下優點（周文正，1998）：

1. 能蒐集學生反應資訊，利於測驗分析。

2. 提升測驗與計分效率。

3. 降低人工出錯的機會。

4. 可反覆練習，並給予學生即時回饋。

5. 可進行適性測驗。

6. 試題製作具一致性，使施測更趨標準化。

7. 可利用網路進行施測。

14

二、 線上診斷測驗對教學者有以下的優點（王榕榆，2006）：

1. 提供回饋給受試者，藉著測驗的結果去明瞭受試者學習時的錯誤概念，幫助

受試者能改進自己的學習方法。

2. 提供回饋給教學者能夠立即知道學生的錯誤類型，有助於實施課後補救教學，

調整教學策略，進而改善教學的成效。

3. 提供教師進行課程編製的依據，依據學生的學習狀況與常發生的錯誤概念，

則考慮是否調整教材內容順序，或降低學習的難度，以利學習者學習。

本節主要目的是介紹國內外已開發之電腦化數學評量，並且以各系統之優缺

點來作為本研究開發電腦化診斷測驗之參考依據。

貳、 教育部攜手計畫電腦化測驗系統

一、 網址：http://asaptbt.nutn.edu.tw/cda/

二、 特色：

系統分為以下兩部分，（一）成就測驗：在數學成就測驗中，測驗

前有作答說明及例題，測驗類型皆為選擇題。（二）學習情意評量：在

數學成就測驗結束後，直接進入數學情意評量畫面。

三、 系統操作方式：

點選網頁系統登入介面圖2-2，由於需要身分驗證，因此以「測驗

DEMO入口」來進行操作登入，進入測驗系統後看到「教師測試用試題」

圖2-3，選擇認為正確之選項後，接著再按確定即可進行下一題。

四、 限制：

將紙筆測驗試題電腦化成選擇題，但試題本身並無設計適性診斷測

驗之相關功能，且目前並無建構反應題題型與自動化分析流程。

15

圖2-2 攜手計畫系統學校登入介面

圖2-3 系統測試展示試題

參、 MFT 數學線上健檢

一、 網址：http://www.mft.com.tw/

二、 特色：

MFT（Mathematics for Taiwan）是針對台灣的文化特色與教育背景，

16

對每一個不同的主題做出適合的數學健檢。系統已於2007年由本校臺中

教育大學與台電通股份有限公司簽訂產學合作計畫「國小五、六年級數

學領域題庫建置」，並技術轉移「線上診斷測驗與適性學習系統」。此

系統主要在設計上以精簡的題幹敘述，搭配適度的圖形，去除可能因為

文字上造成誤解所形成的錯誤診斷，以此為目標所設計之選擇題題庫。

三、 系統操作方式：

此測驗系統的測驗方式，在進入測驗首頁如圖2-4後輸入帳號與密碼，

選擇診斷單元進行檢測如圖2-4，檢測完畢可獲得詳盡的診斷報告如圖

2-6、2-7所示。

圖2-4 MFT登入介面

17

圖2-5 MFT測驗試題介面

圖2-6 學習概況分析介面

18

圖2-7 學習概念診斷報告

四、 限制：

由於MFT系統僅只有選擇題，因此無法記錄下學生的解題歷程，所

以假若有學生並未具有此錯誤概念，卻也有可能選到沒有包含此錯誤類

型之選項。

肆、 九年一貫數學領域電腦準備度測驗系統

該測驗系統提供數學科相關的學習訊息，診斷出學生是否已經掌握前一學期

的學習知識，藉此方式彌補之前學習不足，進而學習新的數學知識與技能，測驗

系統設計為可修改過去的答案。透過此測驗系統來了解七年級學生數學學習的情

況，並有效診斷出學生需要加強的基礎能力（饒育宗，2008）。以下介紹測驗方

式與限制：

19

一、 測驗方式：

此測驗系統的測驗方式為先進入測驗登入介面，圖2-8後，輸入資料

後進入檢測，此測驗將所有答題卡至於左側以供輸入，圖2-9，考試注意

事項顯示於試卷上方，作答完成後選擇交卷，系統則將各單元的作答結

果呈現出來圖2-10，並顯示各單元學習狀況百分比，以診斷的結果給予

適當的建議。

二、 限制：

此系統目前測驗方式並不屬於適性診斷測驗，試題的部分僅只將測驗試

題電腦化。

圖2-8 登入介面

20

圖2-9 測驗作答介面

圖2-10 系統診斷分析介面

21

伍、 以知識結構為基礎之適性化測驗系統

KSAT（Knowledge Structure based Adaptive Test, KSAT）測驗系統，或可稱

為「以知識結構為基礎之適性化測驗系統」，KSAT為國科會補助研究計畫「國

小數學科電腦化適性診斷測驗（I）（II）（III）（郭伯臣，2003, 2004, 2005）」

之技術轉移及國立台中教育大學、亞洲大學與階梯數位科技股份有限公司建教合

作計畫「以試題結構理論為基礎之國小五、六年級數學領域電腦適性診斷測驗與

適性補救教學模式」之共同研究成果，其中研發及技術轉移時間共計四年。以下

介紹測驗系統與限制：

一、 網址：http://ksat.ntcu.edu.tw/ksat/index.php

二、 特色：

（一） 「評量」、「診斷」與「補救教學」皆適性化、個別化，達到「因

材施測」、「因材施教」的目的（郭伯臣、謝友振、張峻豪、蔡坤穎，2005）。

（二） 與施測全部紙筆測驗試題情境比較，當預測精準度設定為0.95時，

KSAT平均可節省50%以上的施測題目（黃珮璇、王暄博、郭伯臣、劉湘

川，2006；楊智為、張雅媛、郭伯臣、許天維，2006）。

（三） 節省學生大量測驗時間，可把時間用於適性補救教學。（白曉珊、

劉育隆、郭伯臣、施慶麟，2006；許天維、楊智為、盧炎成、郭伯臣，2006）。

（四） 可診斷同分不同錯誤類型之學生，便於因材施教。

（五） 試題結構理論之電腦化適性測驗系統及動畫補救教學模組符合

SCORM2004規格（陳建岳，2004；李淑娟，2006）。

（六） 以知識結構為基礎之適性化測驗系統圖。

三、 系統操作方式：

此測驗系統的測驗方式，進入測驗後試題介面如圖2-11、2-12，檢測完

畢可獲得詳盡的診斷報告如圖2-13所示。

22

四、 限制：

此系統試題目前僅以選擇題形式測驗，以學生容易發生的錯誤概念來設

計誘答選項，受試者詳細的作答歷程卻無法得知，選項的排列順序或是選項

數量的限制所影響，某些選項的錯誤類型無法呈現錯誤概念。

圖2-11 測驗作答介面

23

圖2-12 適性診斷測驗介面

圖2-13 適性診斷分析結果

24

陸、 ThatQuiz 測驗系統

此網站建置者：Andrew Lyczak曾擔任六、七年級數學教師。此系統提供免

費的線上數學練習題目，協助教師出題、組卷、施測、管理學生成績。題型非常

豐富多樣：包含選擇題、配合題、填充題等。教師可自行建立題目之資料庫，並

且透過連結，使用其他教師命題之試卷（林孟君，2010）。

一、 網址：http://www.thatquiz.org/

二、 特色：

（一）答題者從首頁可選擇需要的測驗內容，如分數的計算如圖2-14所

示。

（二）答題者從頁面左方設定測驗長度、難易度、時間、整數、分數的

計算之題型等，如圖2-15所示。

三、 限制：

該系統並未依據測驗理論來設計，學生行為無法進行分析比較，也並無

適性診斷測驗，學生施測的題數固定，診斷報告不詳細，只能了解學生作對

哪些試題的對錯，無法藉由結果得知相對應之錯誤概念或是錯誤類型。

25

圖2-14 選擇測驗內容

圖2-15 選擇測驗方式

26

27

第三章 研究方法 本章節分為研究流程、研究工具、研究對象與限制、「相似形」單元建構反

應題之系統介面與建構反應題之解題策略分析流程五個部分來說明整個研究方

法。

第一節 研究流程

本研究為建置建構反應題之數學科診斷系統，確定研究主題後，並收集研究

相關文獻，予以改編試題，根據專家知識結構之子技能挑選學生易具有錯誤概念

之試題作為選擇題與建構反應題。讓少部分的學生實際進行紙筆預試，蒐集學生

選擇題與建構反應題之作答，並記錄學生所有的解題過程，接著根據紙筆測驗的

結果修改並設計建構反應題之電腦介面。正式於電腦系統上進行施測並收集學生

作答結果。依據錯誤類型的結果，進行計分模式的設計，並且建立電腦自動化判

斷分析模型。讓建構題型進行自動化之分析並且與選擇題之成效做比較後，建置

診斷系統。本單元的研究流程圖，如圖 3-1 所示。

28

圖 3-1 研究流程

文獻探討

文獻的錯

誤類型

確定研究主題

自編單元

試題

建構反應題

設計介面

計分模式探討

選擇題介面

設計

建立解題策略計

分模型

專家認定的

錯誤類型

線上診斷系統

建置

紙筆施測

修審題目

正式線上施測收

集作答結果

建構反應題作答

錯誤類型分析

專家知識

結構

成效分析

結論與建議

29

第二節 研究工具

壹、 MATLAB R2009a

由MathWorks公司於1984年推出的數學軟體「MATLAB」，是一套分析資料

進行數值運算，發展演算法與應用之程式語言。本研究將運用MATLAB軟體撰寫

自動化分析建構反應題模型與貝氏網路的程式。

貳、 貝氏網路工具箱

由郭伯臣、謝典佑(2007)以 Murphy(2004)所設計的 Bayes Net

Toolbox for Matlab 之相關函數，加上TASBN ( Test Analysis Software based

onBayesian Network)，前兩者工具箱與Matlab結合三者成為一完整程式，依施測

對象的單元目標、子技能、錯誤類型、試題等資料，以貝氏網路為基礎來計算錯

誤類型與子技能的辨識率。

參、 「相似形」單元試題編制流程

一、 歸納出本單元的子技能

根據教育部編訂之九年一貫數學領域課程綱要(2003)及專家學者研討，依其

教學目標可歸納出學生在本單元中應學得的目標子技能，見表 3-1，並利用子技

能建立本單元的專家知識結構。

30

表 3-1 相似形單元子技能 代號 子技能內容 S1 能具備基本比例線段概念 S2 了解兩平行線之間高度等距時，則面積比等於底邊長度比性質 S3 了解多邊形相似時，對應邊成比例且對應角相等性質 S4 了解平行線截比例線段性質 S5 能應用相似形的放大、縮小性質 S6 了解三角形兩邊中點連線性質

S7 了解相似三角形的 SSS 相似性質：若兩個三角形中有三組邊長對應成比例，則此兩個三角形必相似

S8 了解相似三角形的 SAS 相似性質：若兩個三角形中有一組對應角相等，且夾這組等角的兩組邊長對應成比例，則此兩個三角形必相似

S9 了解相似三角形的 AA 相似性質：若兩個三角形中有兩組對應角相等，則此兩個三角形必相似

S10 能應用相似形的性質來繪製幾何輔助線並且完成簡單的作圖題型 S11 了解兩相似三角形邊長比例關係的性質 S12 了解兩相似直角三角形母子相似性質 S13 了解在兩相似形中，面積比等於對應邊長平方比的觀念 S14 能應用相似形的各種性質來完成解題

二、 歸納出本單元的錯誤類型

根據各種文獻的錯誤概念，可以制訂出相關的錯誤類型。由於相關文獻中「相

似形」單元的篇幅較少，部份的錯誤類型則是與有國中教學之經驗專家學者共同

討論後制訂，為了避免錯誤概念與錯誤類型混淆，本研究將統一以錯誤類型來當

代表。錯誤類型是指學生在解決數學問題時，具備的相關知識概念不同於專家或

教學者公認的想法（張永鑫，2010）。綜合各種文獻與專家討論整理，如表3-2。

31

表 3-2 相似形單元錯誤類型 代號 錯誤類型內容 B1 不會使用作圖工具「直尺」正確畫輔助線 B2 不會使用作圖工具「圓規」正確畫輔助線 B3 不清楚比例線段的概念 B4 不知平行線的概念 B5 錯誤使用平行線截比例線段的性質 B6 粗心或任意以圖形目測組合結果

B7 兩三角形等高時，兩三角形面積比等於兩底邊比概念的缺乏或不

完整 B8 兩相似多邊形對應邊比例相等的觀念錯誤或是不完整 B9 兩相似多邊形對應角相等的觀念錯誤或是不完整 B10 三角形兩邊中點的連線性質概念缺乏或不完整 B11 無法根據條件判斷三角形 SSS 相似性質 B12 無法根據條件判斷三角形 SAS 相似性質 B13 無法根據條件判斷三角形 AA 相似性質 B14 不熟悉相似三角形的邊長比例關係 B15 不熟悉直角三角形母子相似性質 B16 相似形的面積比例等於邊長平方比的概念缺乏或不完整

三、 建立有效度的專家知識結構

本研究者為現場教學教師並與二位學者專家及三位現場教學教師討論，

建立出「相似形」單元的專家知識結構，如圖3-2，每個子技能節點分別代表

一個概念，每個概念皆設計命題。

「相似形」單元之貝氏網路圖，如圖3-3，節點分為三個層次，最右邊第

一層為子技能(Skill)，學生解題過程中需要的必要概念；第二層為錯誤類型

(Bug)，學生解題過程中時，可能具有的錯誤概念所形成的歸納；第三層為選

擇題型的試題。

32

圖 3-2 相似形單元專家知識結構

(S1)能具備基本比例線段概念

(S2)能了解兩平行線之間高度等距時，則面

積比等於底邊長比性

質

(S4)能了解平行線截比例線段性質

(S6)能了解三角形兩邊

中點連線性

質

(S9)能了解相似三角形的AA相似性質：若兩個

三角形中有兩

組對應角相

等，則此兩個三

角形必相似

(S11)能了解兩相似三角形邊長比例關

係的性質

(S3)能了解多邊形相似時，對應邊成比例

且對應角相等性質

(S14)能應用相似形的各種性質來完成解題。

(S5)能應用相似形的放大、縮小性質

(S12)能了解兩相似直角三角形母子

相似性質

(S13)能了解在兩相似形中，面積比等於

對應邊長平方比的觀

念

(S7)能了解相似三角形的 SSS 相似性質：若兩個

三角形中有三組

邊長對應成比

例，則此兩個三

角形必相似

(S8)能了解相似三角形的 SAS 相似性質：若兩個三角形中有一組對應

角相等，且夾這組等角

的兩組邊長對應成比

例，則此兩個三角形必

相似

(S10)能應用相似形

的性質來

繪製幾何

輔助線並

且完成簡

單的作圖

題型

33

圖 3-3 相似形單元貝氏網路圖

B3 不清楚比例線段的概念

B5 錯誤使用平行線截比例線段的性質

B6 粗心或任意以圖形目測組合結果

B11 無法根據條件來判斷三角形 SSS 相似性質

B12 無法根據條件來判斷三角形 SAS 相似性質

B13 無法根據條件來判斷三角形 AA 相似性質

S1 能具備基本比例線段概念

S2 了解兩平行線之間高度等距時，則面積比等於底邊長比性質

S4 能了解平行線截比例線段性質

S6 了解三角形兩邊中點連線性質

S9了解相似三角形的AA相似性質

S11 了解兩相似三角形邊長比例關係的性質

S3 了解多邊形相似時，對應邊成比例且對應角相等性質

S5 能應用相似形的放大、縮小性質

S12 了解兩相似直角三角形母子相似性質

S13 了解在兩相似形中，面積比等於對應邊長平方比的觀念

S7 了解相似三角形的 SSS 相似性質

S8 了解相似三角形的 SAS 相似性質

S14 能應用相似形的各種性質來完成解題

ITEM 10

ITEM 11

ITEM 12

ITEM 13

ITEM 15

ITEM 14

ITEM 08

ITEM 09

ITEM 04

ITEM 05

ITEM 06

ITEM 07

ITEM 01

ITEM 02

ITEM 03

ITEM 16

ITEM 17

ITEM 18

ITEM 19

B8 兩相似多邊形對應邊比例相等的觀念錯誤

或是不完整

B9 兩相似多邊形對應角相等的觀念錯誤或是

不完整

B14 不熟悉相似三角形的邊長比例關係

B15 不熟悉直角三角形母子相似性質

B7 兩三角形等高時，兩三角形面積比等於兩底

邊比概念的缺乏或不完

整

B10 三角形兩邊中點的連線性質概念缺乏或不

完整

B16 相似形的面積比例等於邊長平方比的概念

缺乏或不完整

試題 錯誤類型 子技能

四、

電腦

（一

題的

鈕，

選項

（二

以下

「相似形」

本研究結

腦化診斷測

一） 選擇題

本研究單元

的題幹，中間

如圖 3-4。

項後，才可進

二） 建構反

本研究單元

下分別介紹操

」單元電腦

結合選擇題與

測驗，以下敘

題操作方式

元之選擇題

間部分有四

。本系統特

進行下一題

反應題操作

元之建構反

操作工具以

腦化測驗介

與創新的方

敘述選擇題

式

題操作框架

四個選項

特徵為不可

題選擇題作

圖 3-4 「

作方式

反應題之系

以及資料庫

34

介面

方式設計的

題與建構題

架中主要分

，下方

可逆作答，

作答。

「相似形」

系統介面分

庫記錄畫面

的建構反應

題題型之介

分為三個部

也因此學

單元選擇

分為以下三

面說明。

應題題型，

介面操作與

部分，畫面

學生必需要點

擇題介面

三種，如圖

藉此方式

與說明。

面的上方為

有此

點選其中一

3-5、3-6、3

式進行

為選擇

此按

一個

3-7，

35

圖 3-5 建構題第一題介面

1. 建構題第一題介紹

：選點功能區

：繪圖工具

：點選後可利用滑鼠的前端尖點沿著直尺畫出直線。

：點選後可移動工具以及工具的旋轉。

：利用此兩個按鍵可操作圓規夾角大小。

：利用此兩個按鍵可操作圓規畫出所需之弧線。

：當繪圖整個需要塗改時，分別可清除整個作答區或是個

別清除單一直線或是弧線。

學生使用圓規與直尺進行作答後，其作答歷程將會詳細的記錄於系統中的資

36

料庫，為求說明方便以下列出簡化後之解題歷程，如表 3-3 所示，作答之結果可

利用系統播放學生作答畫面，如圖 3-6 所示。其中，「tool,div_tool_1」表示工具

1-直尺；「line,div_line」表示直線；「arcline,div_arcline」表示圓規所畫出的弧線；

「virtualtool,div_tool_3」表示工具 3-設定 P 點位置。

表 3-3 第一題建構題學生解題歷程

姓名 帳號 資料庫所記錄之學生解題歷程 31247 w845033124799 tool,div_tool_1,0,138,-308,250,50,311;

line,div_line_13,213,-118,364,-289; arcline,div_arcline_14,218,-120,72,299,31; arcline,div_arcline_15,241,-145,72,299,25; arcline,div_arcline_16,263,-172,72,292,32;

tool,div_tool_1,0,172,-278,250,50,43; line,div_line_19,280,-202,413,-122;

arcline,div_arcline_21,287,-198,72,21,142; arcline,div_arcline_23,265,-172,72,28,117;

arcline,div_arcline_27,264,-173,110,340,373; arcline,div_arcline_29,239,-148,110,345,388;

tool,div_tool_1,0,71,-257,250,50,43; line,div_line_31,258,-173,356,-117;

virtualtool,div_tool_3,347,-123

圖 3-6 建構題第一題作答歷程

37

2. 建構題第二題介紹

：作答選項

：記錄區顯示相對應的選項

：當選答錯誤需要修改時，可按此按鍵退回一上個步驟。

：整個作答需要修改時，可按此按鍵整個步驟消除。

學生進行答題後，其作答歷程將會詳細的記錄於系統中的資料庫，如表 3-4

所示。作答畫面如圖 3-7。

表 3-4 第二題建構題學生解題歷程

代號 帳號 資料庫所記錄之學生解題歷程

331245 w845033124599 D,I,M,N,O

331247 w845033124799 D,I,F,M,N,O

331252 w845033125299 A,C,F,H,N,O

38

圖 3-7 建構題第二題作答歷程

3. 建構題第三題介紹

：分數與線段輸入欄位

：當數字或是文字輸入欄位後，需要按此按鍵才可輸入「算式作答

區」。

：當輸入錯誤時，此按鍵即可恢復上一個步驟。

：輸入算式過長時，此按鍵可換行。

：算式顯示不清楚時，此按鍵即可讓算式重整顯示清楚。

：可將左側整個記錄欄內的計算過程全部清除掉。

39

此題建構題為計算類型的作答題目，學生使用右方的工具列輸入算式，本題

作答歷程詳細的記錄於系統中的資料庫，如表 3-5 所示。其中，「\overline{AG}」

代表線段 AG；「\frac」為分數，「{9}{2}」表示分子是 9、分母是 2，則「\frac{9}{2}」

代表分數29；「\\」代表換行。作答畫面如圖 3-8。

表 3-5 第三題建構題學生解題歷程

姓名 帳號 資料庫所記錄之學生解題歷程

331245 w845033124599 \overline{AG}:\overline{GC}=\overline{AF}:\overline{BC}=4:5\\\overline{AF}:\overline{FD}=4:1,\overline{FD}:\overline{BC}=1:5\\4:5=\overline{FG}:10,\overline{FG}=8\\\overline{EF}:（\overline{EF}+18）=1:5,\\\overline{EF}=\frac{9}{2}

331246 w845033124699 \overline{FG}:\overline{GB}=4:5\\\overline{BG}:\overline{GE}=4:5\\\overline{FG}:\overline{GB}:\overline{GE}=16:20:25\\\overline{GE}-\overline{GF}=25-16=9=\overline{EF}\\20/10=2\\9/2=4.5\\\overline{EF}=4.5

331247 w845033124799 \overline{AG}:\overline{GC}=4:5\\\overline{BG}:\overline{FG}=4:5\\10:\overline{FG}=5:4\\\overline{FG}=8\\\overline{AF}:\overline{FD}=4:1\\\overline{FB}:\overline{EF}=4:1,18:\overline{EF}=4:1\\\overline{EF}=\frac{9}{2}

331248 w845033124899 1:5=\overline{EF}:18+\overline{EF}\\5\overline{EF}=18+\overline{EF}\\4\overline{EF}=18\\\overline{EF}=4.5

331249 w845033124999 \overline{AG}:\overline{CG}=4:5\\\overline{AF}:\overline{BC}=4:5\\\overline{AF}:\overline{FD}=4:1\\\overline{EF}:\overline{EB}=1:5,\overline{EF}=X,\overline{FG}=8, \overline{EF}: \overline{EF}+18=1:5, \overline{EF}=\frac{9}{2}

40

圖 3-8 建構題第三題作答歷程

五、 「相似形」單元電腦化測驗試題之信度分析

本研究之施測選擇題型共 20 題，其測驗之 Cronbach’s α值達 0.771，顯

示本研究試題具有良好的信度，試卷內容請參閱附錄一。

41

第三節 研究對象

壹、紙筆預試對象

預試對象為九十九學年度國中三年級學生，包括2所南投縣立國中，共2個班

級，有效樣本共計32人。

貳、線上施測對象

正式線上測驗對象為九十九學年度國中三年級學生，共17個班級，有效樣本

共計397人。

第四節 研究設計

學生作答後由系統匯出解題歷程，經過專家判斷錯誤類型之後，利用電腦軟

體編寫自動化分析錯誤類型與自動化計分的程式，則稱之為「建構題的自動化分

析模式」。本研究建構反應題是以「區塊分析」將學生的作答分段後，取其重要

計算過程或是主要的錯誤作答行為，以此為方法進行分析。接著介紹「建構反應

題之解題分析流程」及「區塊分析法」之應用。

壹、 建構反應題解題分析流程

本研究共 3 題建構題反應題，經過系統所取得學生解題歷程，並採用「區塊

分析法」把作答分成不同的區塊比對，讓程式自動判別學生的錯誤類型。並舉例

題 20 介紹決策設計之流程。

一、 第 20 題解題策略分析流程

1. 題目：請利用直尺與圓規作圖，過 A 點在 AB上找到 P 點，使得 ABAP32

= 。

2. 分析流程圖，如下圖 3-9：

42

圖 3-9 第 20 題解題策略分析流程

全對

9

選擇直尺

畫直線 L

未

作

答

1

2 作答不完整

未選直尺

或圓規

選擇

圓規

3

直

接

於

AB上

作

中

垂

線

有作

直

接

於

AB上

畫

三

等

份

4

圓規於 L 上

畫非三等份

5

圓規於L上

畫三等份

直接畫直

線 L 直接 AB

圓規於 L 上

畫非三等份

8

未用直尺連

接畫直線

9

未用直尺連

接等分點找

AB 上 P 點

畫四次

圓弧線

畫圓弧

線缺一

個

未用直尺連接交

點找 AB 上 P 點

6 7

使用直尺

連接畫直

線

使用直尺

連接畫直

線

1

99

2 3

10

14

12 13

畫

四

次

圓

弧

線

畫

圓

弧

線

缺

一

個

連接交點找

AB 上 P 點

用

直

尺

連

線

找

AB上

P

點

4 5 6

用

直

尺

連

線

找

AB上

P

點

畫

圓

弧

線

缺

一

個

連接交點找

AB 上 P 點

8 7

11

圓規於L上

畫三等份

第 20 題

43

3. 設計決策之步驟

下列判斷方法為圖 3-9 中的節點：

1：判斷有無作答，作答記錄空白則視為「未作答」，編號為 99。檢測是否最後

結果有無「virtualtool,div_tool_3」，如沒有則代表「作答不完整」，編號為 1

〈B5〉；如果有「virtualtool,div_tool_3」則進入判斷2。

2：判斷是否選對適當工具，包含圓規、直尺、前兩者皆未選擇。若先選圓規進

入判斷3；選擇直尺進入判斷4；前兩者皆未選擇進入判斷5。

3：判斷於 AB上的作圖方式，分為直接畫出三等份及作出中垂線。若選「直接

於 AB上畫三等份」，編號為 2〈B5B6〉；選擇「直接於 AB上作中垂線」，編

號為 3〈B5〉。

4：判斷於直線 L 上的作圖方式，分為圓規於直線 L 上「畫弧三等份」或是「非

三等份」，且並使用直尺連接分點與 AB 線段。若「畫弧非三等份」則進入

判斷6；「畫弧三等份」則進入7。

5：判斷未使用工具時作圖方式，分為「直接 AB上找 P 點」或是「未用

直尺直接畫直線 L」。選擇「直接 AB上找 P 點」，編號為 10〈B5B6〉；選擇

「未用直尺直接畫直線 L」則進入判斷8。

6：判斷使用圓規或是直尺工具作圖方式，分為「用直尺連線找 AB上 P 點」或

是選擇圓規畫弧線是否步驟正確。若「用直尺連線找 AB上 P 點」，編號為 4

〈B2B4〉；選擇「畫圓弧線缺一個」並且「連接交點找 AB上 P 點」，編號為 5

〈B2〉；反之選「畫四次圓弧線」並且「連接交點找 AB上 P 點」，編號為 6

〈B2B5〉。

7：判斷使用工具是否正確畫輔助線，分為「用直尺連線找 AB上 P 點」或

44

是選擇「畫圓弧線缺一個」或是作答過程「全對」。若「用直尺連線找 AB上

P 點」，編號為 7〈B4〉；選擇「畫圓弧線缺一個」並且「連接交點找 AB上

P 點」，編號為 8〈B3〉；選擇作答過程「全對」，編號為 9〈KEY〉。

8：判斷圓規畫出「三等份」後，並且「未用直尺連接畫直線」則進

入判斷9；圓規畫出「五等分」，編號為 11〈B5〉。

9：判斷作圖是否利用圓規或是直尺。若先選「畫圓弧線缺一個」，編號為 12

〈B1B6〉；選「畫四次圓弧線」，編號為 13〈B1〉；選「未用直尺連接等分

點找 AB 上 P 點」，編號為 14〈B1B2B4〉。

二、 第 21 與 22 題題目介紹

1. 第 21 題：

請利用以下【尺規作圖的選項】，過 A 點在 AB上找到 P 點，使得 ABAP32

= ，

請參考以下的作法選項，並依照正確的順序選擇下方的選項按鈕。如圖 3-10

所示。

2. 第 22 題：

如圖，ABCD 為平行四邊形，請問若 AG ：GC=4：5， 10=BG ，求 EF 為

多少？如圖 3-11 所示。

三、 第 21 與 22 題建構反應題分析流程圖

1. 第 21 題分析流程圖：

45

圖 3-10 第 21 題解題策略分析流程

全

對

第 21

D 其他 B

1

23

BE B 其DE DI

DJ D 其

4

DIF

DIL

DIN

DIFL

DIFM

DIFN

DIF其

他

DINO

5DIM

DIMNO

DIMO

6 7

8

B5

B2

B5

B5B1

B2

B5B1

B2

B1

B2B2

DIFMO

DIFMN

DIFM

DIFMNO

B6

B4

B5 B1

B2

B1

B2

46

2. 第 22 題分析流程圖：

圖 3-11 第 22 題解題策略分析流程

第 22

作答

1

2

未作答

新增

B99

亂作答

B6B13

有結論EF無結論EF

○4○3

EF =12.5 EF =3.6 EF =5計算

過

程

不

完

整

沒

有

規

律

的

作

答

關

鍵

比

例

四

比

五

關

鍵

比

例

四

比

一

關

鍵

比

例

五

比

一

直

接

猜

測

寫

答

案

G

E

數

據

搭

配

已

知

條

件

線

段

比

例

值

符

合

比

例

搭

配

G

E

數

據

直

接

猜

測

寫

答

案

全對

EF =2.5EF =2

○5 ○6

G

F

數

據

搭

配

已

知

條

件

錯

誤

線

段

比

例

計

算

取

過

程

答

案

當

結

果

計

算

直

接

猜

測

寫

答

案

B

G

線

段

的

一

半

關

鍵

比

例

四

比

五

直

接

猜

○7 ○8 ○9

B12B13 B6B13 B6B13 B12

B13

B6B13

B6B13

B12

B13

B6

B13 B12

B13

B13

新增 B17

B13

直

接

猜

測

寫

答

案

47

貳、 區塊分析法

本研究將學生大量的解題歷程，經過研究者觀察後，根據每題解答歷程區分

成不同的區塊，根據區塊中的關鍵步驟，加以區塊比對後找出正確解答及錯誤類

型，此法稱為「區塊分析法」。

以第 20 題為例，原本的解題歷程是大量的資料，經過研究者將解題歷程按

照順序進行分割，先確定最常發生的錯誤類型，將其設定為關鍵步驟或是關鍵區

塊，在系統判讀的過程中有相似於此區塊內容，則將此區塊內容對應到系統設定

的錯誤類型。

第 20 題之作答資料為例，該生自系統中匯出之原始作答資料為以下內容

「tool,div_tool_1,0,138,-308,250,50,311;line,div_line_13,213,-118,364,-289;arcline,d

iv_arcline_14,218,-120,72,299,31;arcline,div_arcline_15,241,-145,72,299,25;arcline,d

iv_arcline_16,263,-172,72,292,32;tool,div_tool_1,0,172,-278,250,50,43;line,div_line_

19,280,-202,413,-122;arcline,div_arcline_21,287,-198,72,21,142;arcline,div_arcline_2

3,265,-172,72,28,117;arcline,div_arcline_27,264,-173,110,340,373;arcline,div_arcline

_29,239,-148,110,345,388;tool,div_tool_1,0,71,-257,250,50,43;line,div_line_31,258,-

173,356,-117;virtualtool,div_tool_3,347,-123」，以分號作為分割之依據，如範例中

可分割成以下 5 個區塊，以下分段說明。

【第 20 題】 區塊

分割 作答動作

名稱 作答動作

對應 錯誤類型

區塊 1

取 工 具 -1【直尺】 tool,div_tool_1,0,138,-308,250,50,311; B1

沿直尺過

A 點畫直線 L

line,div_line_13,213,-118,364,-289; B1

48

【第 20 題】（續）

區塊 2

使用圓規

於直線 L上畫弧線

畫出三等

份

arcline,div_arcline_14,218,-120,72,299,31; arcline,div_arcline_15,241,-145,72,299,25; arcline,div_arcline_16,263,-172,72,292,32;

B2、B3

區塊 3

取 工 具 -1【直尺】 tool,div_tool_1,0,172,-278,250,50,43; B1

沿直尺畫

直線連接

分點與 B點

line,div_line_19,280,-202,413,-122; B1

區塊 4

複製角度

的連續 4個步驟，形

成交點

arcline,div_arcline_21,287,-198,72,21,142; arcline,div_arcline_23,265,-172,72,28,117;

arcline,div_arcline_27,264,-173,110,340,373;arcline,div_arcline_29,239,-148,110,345,388;

B2、B4、B6

區塊 5

沿直尺過

分點連接

上一步驟

之交點，延

長 交 AB線段形成

交點

tool,div_tool_1,0,71,-257,250,50,43; B1

line,div_line_31,258,-173,356,-117; B1

移動 P 點工具至此

AB 線段之交點

virtualtool,div_tool_3,347,-123

錯誤類型 B5：按照順序比對區塊不符時，表示具有此錯誤類型。

解題歷程經過區塊分割後，將每位受試者的解答進行比對 5 個區塊，按照作

答順序區塊比對，即可知錯誤類型之結果。

49

第四章 研究結果 本章節依據研究目的，分別探究研究成果，以下介紹共分為三部分：「建構

反應題之自動計分模式分析」、「分析建構反應題診斷系統之效能」、「結合建

構反應題後之貝氏模式成效」。

第一節 建構反應題之自動計分模式分析

本研究主要為「相似形」單元，共設計 3 題建構題（第 20 題~第 22 題），下

面以第 20 題為例，說明如何分析學生作答過程，根據過程給予計分編碼，如表

4-1。

壹、 編碼規則：一共分為四碼，例如 0801。

一、 前兩碼：編碼前面兩位數為得分，如 02、04、06、08。此題滿分為 8 分，

計分規則為全對 8 分及按照步驟分段分別一個步驟給 2 分。

二、 後兩碼：編碼後面兩個位數，此為流程結果之編碼，如 01、02、03、…。

分別按照不同的作答流程賦予全對或是錯誤類型，則以此編號來對應。

貳、 範例說明：

一、 全對的編碼

依據施測作答顯示，本題正確解法歸納為一種，將其編碼為 0809

二、 部分答對的編碼

1. 編碼 0204，得分 2 分，代表學生具有「錯誤類型 2、4」，此類型推斷是繪圖

工具圓規不熟悉畫輔助線外且未具有平行線的概念。

2. 編碼 0205，得分 2 分，代表學生具有「錯誤類型 2」，此類型依據資料僅只能

推斷是繪圖工具圓規不熟悉畫輔助線。

3. 編碼 0206，得分 2 分，代表學生具有「錯誤類型 3」，此類型推斷是此題技能

50

概念不熟悉，因此影響等份概念錯誤。

4. 編碼 0407，得分 4 分，代表學生具有「錯誤類型 4」，此類型推斷是位具有平

行線的概念。

5. 編碼 0608，得分 6 分，代表學生具有「錯誤類型 2」，此類型推斷是繪圖工具

圓規不熟悉畫輔助線。

6. 編碼 0212，得分 2 分，代表學生具有「錯誤類型 1、2」，此類型推斷是繪圖

工具直尺與圓規皆不熟悉畫輔助線。

7. 編碼 0413，得分 4 分，代表學生具有「錯誤類型 1」，此類型繪圖工具直尺不

熟悉畫輔助線。

8. 編碼 0214，得分 2 分，代表學生具有「錯誤類型 1、2、4」，此類型推斷是繪

圖工具直尺與圓規皆不熟悉畫輔助線且未具有平行線概念。

三、 全部答錯的編碼

1. 編碼 9900，得分 0 分，代表學生具有「錯誤類型 1、2、5」，此類型因為沒有

作答，所以沒有任何記錄，判斷學生對於繪圖工具直尺與圓規皆不熟悉畫輔

助線並且沒有平行線截比例線段概念。

2. 編碼 0100，得分 0 分，代表學生具有「錯誤類型 5」，此類型推斷是沒有平行

線截比例線段概念。

3. 編碼 0200，得分 0 分，代表學生具有「錯誤類型 5、6」，此類型推斷是沒有

平行線截比例線段概念且任意繪圖形成作答結果。

4. 編碼 0300，得分 0 分，代表學生具有「錯誤類型 5」，此類型推斷是沒有平行

線截比例線段概念。

5. 編碼 1000，得分 0 分，代表學生具有「錯誤類型 5、6」，此類型推斷是沒有

平行線截比例線段概念且任意繪圖形成作答結果。

6. 編碼 1100，得分 0 分，代表學生具有「錯誤類型 5」，此類型推斷是沒有平行

線截比例線段概念。

51

表 4-1 「相似形」單元建構反應題作答過程編碼舉例 第 20 題 （8 分）

請利用直尺與圓規作圖，過 A 點在 AB上找到 P 點，使得 ABAP32

= 。

表 4-1 「相似形」單元建構反應題作答過程編碼舉例（續） 編碼 錯誤類型 作答過程 說明

0809全對

8 分

tool,div_tool_1 line,div_line_13

拿直尺，畫直線 L

arcline,div_arcline_14arcline,div_arcline_15arcline,div_arcline_16

直線 L 畫出三等份

tool,div_tool_1 line,div_line_19

拿直尺，經交點畫直線

arcline,div_arcline_21arcline,div_arcline_23arcline,div_arcline_27arcline,div_arcline_29

連續四次圓弧，前兩次取適當範圍畫

弧交於直線，後兩次複製夾角大小開

口，形成交點

tool,div_tool_1 line,div_line_31

拿直尺，等分點與交點連直線，交

AB 線段於 P 點

virtualtool,div_tool_3 移動 P 點至目標記錄，即為所求。

編碼 錯誤類型 作答過程 說明

0406 tool,div_tool_1 line,div_line_3

拿直尺，畫直線 L

52

B3

arcline,div_arcline_4; arcline,div_arcline_9; arcline,div_arcline_11;arcline,div_arcline_13;

使用圓規畫四等份，此為錯誤類型所

在。（應該為三等份）

tool,div_tool_1; line,div_line_24;

拿直尺，經交點畫直線

arcline,div_arcline_30;arcline,div_arcline_33;arcline,div_arcline_40;arcline,div_arcline_49;

連續四次圓弧，前兩次取適當範圍畫

弧交於直線，後兩次複製夾角大小開

口，形成交點

line,div_line_50; line,div_line_51; tool,div_tool_1;

拿直尺，等分點與交點連直線，交

AB 線段於 P 點

virtualtool,div_tool_3 移動 P 點至目標記錄，即為所求。

編碼 錯誤類型 作答過程 說明

0300全錯

B5

arcline,div_arcline_24arcline,div_arcline_25

tool,div_tool_1 line,div_line_27

AB 線段上畫出第一條中垂線 （開始時就已經作答錯誤）

tool,div_tool_1 arcline,div_arcline_28arcline,div_arcline_29

tool,div_tool_1 line,div_line_30

AB 線段上畫出第二條中垂線

53

tool,div_tool_1

arcline,div_arcline_33line,div_line_35

AB 線段上畫出第三條中垂線

virtualtool,div_tool_3 找出第三條中垂線與 AB 線的的交

點，P 點移動至此記錄

54

第二節 分析建構反應題診斷系統之效能

本研究經過電腦線上網路施測後，將學生的作答反應記錄針對建構反應題的

部分加以統整分析，可以發現建構反應題的題型中，有許多是選擇題原本沒辦法

那麼觀察的錯誤類型，透過解題歷程可發現部分會出現與原先預設的有所不一樣

之錯誤類型，如表 4-2。

本節分別呈現3題建構反應題之分析內容與系統診斷成效評估。本研究針對

錯誤類型辨識率與偵測率來進行建構反應題之效能分析，下列為辨識率及偵測率

之定義：

一、辨識率：

（專家判斷錯誤類型與程式偵測為相同人數） ÷ （總人數）

二、偵測率：

（專家判斷與程式偵測為具有相同錯誤類型的人數）÷（專家判斷具有此錯

誤類型的人數）

表 4-2 施測學生於建構反應題題型所增加之錯誤類型

編號 錯誤類型 B1 不會使用作圖工具「直尺」正確畫輔助線 B2 不會使用作圖工具「圓規」正確畫輔助線 B4 不知平行線的概念 B17 具有相似形概念，幾何圖形空間轉換的概念不足 B99 計算未作答

55

壹、 建構反應題的解題策略與錯誤類型分析

一、 第 20 題建構反應題分析

本題建構反應題一共具有 6 種錯誤類型，其中統計的數量表如表 4-3，與選

擇題型所共同涵蓋的錯誤類型作比較，如表 4-3 灰底所示。受試者在建構反應題

中作答的結果發現一共有 3 個錯誤類型必須要由此題才能夠做觀察，在此也把此

3 個錯誤類型視為新增錯誤類型。本題共 36 位學生作答全對、16 位學生未作答；

其中有 345 位作答未全對。根據測驗後訪談學生得知，許多學生對於「平行線截

比例線段性質」的概念模糊，並且對於繪圖實作並不熟悉，也因此錯誤類型 B5

的數量是占最大多數。本題錯誤類型的辨識率達 94.54%。

表 4-3 第 20 題全部學生解題錯誤類型人數統計表

編號 錯誤類型 學生的錯誤 類型之數量

偵測率

B1 不會使用作圖工具「直尺」正確畫輔助線 36 0.9167 B2 不會使用作圖工具「圓規」正確畫輔助線 75 0.7867 B3 不清楚比例線段的概念 19 0.8947 B4 不知平行線的概念 15 0.8 B5 錯誤使用平行線截比例線段的性質 255 0.7451 B6 粗心或任意以圖形目測組合結果 16 0.25

二、 第 21 題建構反應題分析

本題建構反應題一共具有 5 種錯誤類型，其中統計的數量表如表 4-4，與選

擇題型所共同涵蓋的錯誤類型作比較，如表 4-4 灰底所示。受試者在建構反應題

中作答的結果一共有 3 個錯誤類型可由此題才能夠做觀察，在此也把此 3 個錯誤

類型視為新增錯誤類型。本題共 66 位學生全對、0 位學生未作答；其中有 331 位

作答未全對。此題的設計方式是以作法為考量，因此屬於學生全部皆有作答。由

於本題在國中考試是屬於學生自己寫下繪圖的作圖方法，在此稱為「作法」。本

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題測驗解法本身只有唯一解法，也因此容易判斷學生錯誤概念，但是經過觀察學

生的作答歷程，發現有部分的學生增加了一個新的作法，經過與多年經驗的教師

討論後認為是答案新增一個選項也是正確的，所以本題有兩種解題策略。由於本

題的設計選項屬於不可逆，所以學生作答只要順序相反就算錯誤，本題把學生的

選項順序分成 13 種事件，經分組後分析錯類型，本題錯誤類型的辨識率達

93.80%。

表 4-4 第 21 題全部學生解題錯誤類型人數統計表

編號 錯誤類型 學生的錯誤 類型之數量

偵測率

B1 不會使用作圖工具「直尺」正確畫輔助線 31 1.0000 B2 不會使用作圖工具「圓規」正確畫輔助線 84 1.0000 B4 不知平行線的概念 12 1.0000 B5 錯誤使用平行線截比例線段的性質 276 1.0000 B6 粗心或任意以圖形目測組合結果 6 1.0000

全體受試者於第 21 題的解題策略，共可分成 3 種，解題策略圖如圖 4-1，解

題策略之使用人數統計表如表 4-5。本題策略於本次施測中原定僅有一種策略A1，

但經過受試者的作答結果顯示並與現場老師進行討論後發現，策略 A2 也是一種

正確解法。以上可得知 A1 策略答對率較高於 A2 策略。

表 4-5 第 21 題之全部學生解題策略人數統計表

策略 A1 A2 其他

答對 57 16 0

答錯 5 1 318

總人數 62 17 318

答對比例（%） 95 94.1 0