「分数の計算のくふう」徹底攻略

このプリントでは，

１ １ １ １ １＋ ＋ ＋ ＋

１０×１１ １１×１２ １２×１３ １３×１４ １４×１５

というような複雑な計算を，くふうして楽に解いてしまう方法を学習します。

すぐる学習会

- 1 -

分数の計算のくふう

基本テクニックを理解する

このプリントでは，

１ １ １ １ １＋ ＋ ＋ ＋

１０×１１ １１×１２ １２×１３ １３×１４ １４×１５

というような複雑な計算を，くふうして楽に解いてしまう解き方を学習します。

解くための基本となることがらは 基本１ と 基本２ の２つあり，この２つを理解できたら，

あとは問題練習あるのみです。

基本１

突然ですが，次の例題１を暗算でやってみましょう。

例題１： ４３７８－１２５６＋１２５６－１３７８

この例題は，ふつうに暗算で求めるのはキツいです。

でも，例題をよ～く見ると，"－１２５６" というところと，"＋１２５６" というところが，引き算と足し算の違いはあっても，まったく同じ数になっています。つまり，「１２５６を

引いて」，「１２５６を足す」ということです。

たとえば，「３０円使ってから」，「３０円もらう」と，手持ちのお金は変わりませんね。

それと同じように，「１２５６を引いてから足す」というのは，「何もしない」ことと同じで

す。

よってこの計算は，

４３７８－１２５６＋１２５６－１３７８

何もしない

＝４３７８－１３７８

＝３０００

となるのです。

では，次の例題２を暗算でやってみて下さい。

例題２： ３０００－７２８＋７２８－８７４＋８７４－９０２＋９０２－１０００

（答えは次のページ）

- 2 -

分数の計算のくふう

例題２の答えは２０００です。

今回は，何もしないところが結構ありましたね。

計算は，次のようになります。

３０００－７２８＋７２８ －８７４＋８７４ －９０２＋９０２ －１０００

何もしない 何もしない 何もしない

＝３０００－１０００

＝２０００

次のような，分数の計算の場合でも，考え方は同じです。

７ ９ ９ １７ １７ ７ ７ ４例題３： － ＋ － ＋ － ＋ －

１７ ２３ ２３ ６３ ６３ １５ １５ １７

７ ９ ９ １７ １７ ７ ７ ４－ ＋ － ＋ － ＋ －

１７ ２３ ２３ ６３ ６３ １５ １５ １７

何もしない 何もしない 何もしない

７ ４＝ －１７ １７

３＝１７

余計なカッコがついていても，無視して計算しましょう。

１ １ １ １ １ １ １ １例題４： － ＋ － ＋ － ＋ －

１５ ９１ ９１ １７ １７ ３６ ３６ ３０

１ １ １ １ １ １ １ １－ ＋ － ＋ － ＋ －

１５ ９１ ９１ １７ １７ ３６ ３６ ３０

１ １ １ １ １ １ １ １＝ － ＋ － ＋ － ＋ －１５ ９１ ９１ １７ １７ ３６ ３６ ３０

何もしない 何もしない 何もしない

１ １＝ －１５ ３０

２ １＝ －３０ ３０

１＝３０

これで，基本１ は終了です。次のページの，基本２ に進みましょう。

- 3 -

分数の計算のくふう

基本２

ここでは，分子が１の分数どうしの引き算を学習します。

１ １例題５： －

４ ５

ふつうは，次のように通分して求めます。

１ １－

４ ５

５ ４＝ －２０ ２０

１＝２０

では，次の計算はどうでしょう。

１ １例題６： －

１９ ２０

ふつうは，次のように通分して求めます。

１ １－

１９ ２０

２０ １９＝ －３８０ ３８０

１＝３８０

例題５と例題６の問題と答えを，もう一度書いてみます。

どうですか，簡単な解き方に気づきましたか？

１ １ １ １ １ １例題５： － ＝ 例題６： － ＝

４ ５ ２０ １９ ２０ ３８０

気づかなかった人は，分母だけに注目してみましょう。きっと気づきますよ。

例題５の問題の分母は４と５。答えの分母は２０。

例題６の問題の分母は１９と２０。答えの分母は３８０。

そう，答えの分母は，問題の分母をかけ算したものになっています。つまり，

- 4 -

分数の計算のくふう

１ １ １ １ １ １例題５： － ＝ 例題６： － ＝

４ ５ ４×５ １９ ２０ １９×２０

となっているのです。

ただし，例題５も例題６も，ちょっと仕組んだ問題であることに注意してください。

というのも，例題５の問題の分母は４と５で，１ちがい。

例題６の問題の分母は１９と２０で，やっぱり１ちがい。

１ １ １－ ＝

つまり， ○ △ ○×△ となるわけです。

（ 分母が１ちがいでない場合のことは，

１ちがい とりあえず考えないことにしましょう。）

では，考え方がちゃんと理解できたかどうか確かめるために，次の例題を解いてみてください。

暗算で解いてみてくださいね。

１ １例題７： －

９９ １００

分母は９９と１００で，確かに１ちがいです。

１分母の積は ９９×１００＝９９００ となるので，答えは です。

９９００

さあ実は，ここからが本番です。

例題８： 次の○と△にあてはまる数を求めなさい。

ただし，○と△は１ちがいです。

１ １ １－ ＝

○ △ ４９×５０

かなり簡単な問題でしたね。答えは，○が４９で，△が５０です。

次のように，問題の出し方をほんのちょっと変えても，簡単に解けますね。

例題９： 次の○と△にあてはまる数を求めなさい。

ただし，○と△は１ちがいです。

１ １ １＝ －

３７×３８ ○ △

答えは，○が３７で，△が３８です。

- 5 -

分数の計算のくふう

ではいよいよ，このプリントの表紙にもあった問題を考えてみましょう。

例題１０： 次の計算をしなさい。

１ １ １ １ １＋ ＋ ＋ ＋

１０×１１ １１×１２ １２×１３ １３×１４ １４×１５

１ １ １基本２ で学習したように，はじめの分数である は， － と

１０×１１ １０ １１

することができますね。

（なぜわざわざ引き算の形に直さなければならないのなどの文句は，なしにしてください。）

１ １ １ １次の は， － となります。

１１×１２ １１ １２

このように直していくと，

１ １ １ １ １＋ ＋ ＋ ＋

１０×１１ １１×１２ １２×１３ １３×１４ １４×１５

１ １ １ １ １ １ １ １ １ １＝ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋ －１０ １１ １１ １２ １２ １３ １３ １４ １４ １５

となります。

１ １この式の中に， － ＋ という部分がありますね。

１１ １１

基本１で，この部分は「何もしない」ことと同じであることに気づきましたね？

よって，

１ １ １ １ １ １ １ １ １ １－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ －

１０ １１ １１ １２ １２ １３ １３ １４ １４ １５

何もしない 何もしない 何もしない 何もしない

１ １＝ －１０ １５

３ ２＝ －３０ ３０

１＝ となります。３０

例題１１： 次の計算をしなさい。

１ １ １ １＋ ＋ ＋

６×７ ７×８ ８×９ ９×１０

（答えは次のページ）

- 6 -

分数の計算のくふう

１ １ １ １＋ ＋ ＋

６×７ ７×８ ８×９ ９×１０

１ １ １ １ １ １ １ １＝ － ＋ － ＋ － ＋ －６ ７ ７ ８ ８ ９ ９ １０

何もしない 何もしない 何もしない

１ １＝ －６ １０

５ ３＝ －３０ ３０

２＝３０

１＝１５

では，マトモにやることは絶対無理な問題に取り組みましょう。

例題１２： 次の計算をしなさい。

１ １ １＋ ＋ …… ＋

１×２ ２×３ ９９×１００

１ １ １＋ ＋ …… ＋

１×２ ２×３ ９９×１００

１ １ １ １ １ １＝ － ＋ － ＋ …… ＋ －１ ２ ２ ３ ９９ １００

何もしない 何もしない 何もしない

１ １＝ －１ １００

９９＝１００

では，次のページに，問題をたくさん用意したので，ガンガンやりましょう。

１０問全部やっても，５分もかからない人がいるかも…。

- 7 -

分数の計算のくふう

１ １問題１ ＋ ＝

４×５ ５×６

１ １問題２ ＋ ＝

１８×１９ １９×２０

１ １ １問題３ ＋ ＋ ＝

２×３ ３×４ ４×５

１ １ １ １ １問題４ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝

１×２ ２×３ ３×４ ４×５ ５×６

１ １ １ １ １問題５ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝

４×５ ５×６ ６×７ ７×８ ８×９

１ １ １問題６ ＋ ＋ …… ＋ ＝

１×２ ２×３ ９×１０

１ １ １問題７ ＋ ＋ …… ＋ ＝

３×４ ４×５ １１×１２

１ １ １問題８ ＋ ＋ …… ＋ ＝

５×６ ６×７ ３９×４０

１ １ １問題９ ＋ ＋ …… ＋ ＝

１０×１１ １１×１２ ９９×１００

１ １ １問題 10 ＋ ＋ …… ＋ ＝

１００×１０１ １０１×１０２ １９９×２００

（答えは次のページ）

- 8 -

分数の計算のくふう

問題１～問題１０の解答

１ １ ３ ２ １問題１ － ＝ － ＝

４ ６ １２ １２ １２

１ １ １０ ９ １問題２ － ＝ － ＝

１８ ２０ １８０ １８０ １８０

１ １ ５ ２ ３問題３ － ＝ － ＝

２ ５ １０ １０ １０

１ １ ５問題４ － ＝

１ ６ ６

１ １ ９ ４ ５問題５ － ＝ － ＝

４ ９ ３６ ３６ ３６

１ １ １０ １ ９問題６ － ＝ － ＝

１ １０ １０ １０ １０

１ １ ４ １ ３ １問題７ － ＝ － ＝ ＝

３ １２ １２ １２ １２ ４

１ １ ８ １ ７問題８ － ＝ － ＝

５ ４０ ４０ ４０ ４０

１ １ １０ １ ９問題９ － ＝ － ＝

１０ １００ １００ １００ １００

１ １ ２ １ １問題 10 － ＝ － ＝

１００ ２００ ２００ ２００ ２００

- 9 -

分数の計算のくふう

次に，知らないと戸惑う問題をやりましょう。

例題１３： 次の計算をしなさい。

１ １ １ １ １＋ ＋ ＋ ＋

２０ ３０ ４２ ５６ ７２

通分が面倒な計算だなあと思うかも知れませんが，この問題にはウラがあるのです。

すでに，次の問題をやったことを覚えていますか？

１ １ １ １ １問題５ ＋ ＋ ＋ ＋

４×５ ５×６ ６×７ ７×８ ８×９

１ １この問題と，今の例題１３とをくらべてみると， と とは同じ分数，

２０ ４×５１ １

と とも同じ分数です。このように，例題１３は， 問題５とまったく同じ問題３０ ５×６

１ １だったのです。ただ，例題１３では などと書かずに， などと書いてあったの

４×５ ２０

で，わかりにくくなっているだけだったのですね。

結局 例題１３は，次のようにして解きます。

１ １ １ １ １＋ ＋ ＋ ＋

２０ ３０ ４２ ５６ ７２

１ １ １ １ １＝ ＋ ＋ ＋ ＋４×５ ５×６ ６×７ ７×８ ８×９

１ １＝ －４ ９

５＝３６

では練習をしてみましょう。

１ １ １ １ １ １問題１１ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝

３０ ４２ ５６ ７２ ９０ １１０

１ １ １問題１２ ＋ ＋ ＝

９０ １１０ １３２

１ １ １ １問題１３ ＋ ＋ ＋ ＝

２ ６ １２ ２０

１ １ １ １ １問題１４ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝

１１０ １３２ １５６ １８２ ２１０

（答えは次のページ）

- 10 -

分数の計算のくふう

問題１１～問題１４の解答

１ １ １ １ １ １問題１１ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝

３０ ４２ ５６ ７２ ９０ １１０

１ １ １ １ １ １＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋５×６ ６×７ ７×８ ８×９ ９×１０ １０×１１

１ １＝ －５ １１

６＝５５

１ １ １問題１２ ＋ ＋ ＝

９０ １１０ １３２

１ １ １＝ ＋ ＋９×１０ １０×１１ １１×１２

１ １＝ －９ １２

１＝３６

１ １ １ １問題１３ ＋ ＋ ＋ ＝

２ ６ １２ ２０

１ １ １ １＝ ＋ ＋ ＋１×２ ２×３ ３×４ ４×５

１ １＝ －１ ５

４＝５

１ １ １ １ １問題１４ ＋ ＋ ＋ ＋

１１０ １３２ １５６ １８２ ２１０

１ １ １ １ １＝ ＋ ＋ ＋ ＋１０×１１ １１×１２ １２×１３ １３×１４ １４×１５

１ １＝ －１０ １５

１＝３０

- 11 -

分数の計算のくふう

では，応用問題（といっても，基本問題をちょっと変えただけ）に取り組みましょう。

例題１４： 次の計算をしなさい。

５ ５ ５ ５＋ ＋ ＋

１×２ ２×３ ３×４ ４×５

５ １ ５ １は， ×５ のことです。 は， ×５ のことです。このように

１×２ １×２ ２×３ ２×３

考えると，

５ ５ ５ ５＋ ＋ ＋

１×２ ２×３ ３×４ ４×５

１ １ １ １＝ ×５ ＋ ×５ ＋ ×５ ＋ ×５１×２ ２×３ ３×４ ４×５

１ １ １ １＝ ＋ ＋ ＋ ×５

１×２ ２×３ ３×４ ４×５

１ １＝ － ×５

１ ５

４＝ ×５５

＝４

つまり，このような問題では，分子がいつも通り１だと思って計算していって，最後に分子が

５なら５倍する，という解き方でＯＫです。

ではちょっとだけ，練習してみましょう。

２ ２ ２問題１５ ＋ ＋ ＝

３×４ ４×５ ５×６

３ ３ ３ ３ ３問題１６ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝

４×５ ５×６ ６×７ ７×８ ８×９

２０ ２０ ２０問題１７ ＋ ＋ …… ＋ ＝

１×２ ２×３ ９９×１００

（答えは次のページ）

- 12 -

分数の計算のくふう

問題１５～問題１７の解答

２ ２ ２ １ １ １ １問題１５ ＋ ＋ ＝ － ×２ ＝ ×２ ＝

３×４ ４×５ ５×６ ３ ６ ６ ３

３ ３ ３ ３ ３問題１６ ＋ ＋ ＋ ＋

４×５ ５×６ ６×７ ７×８ ８×９

１ １＝ － ×３

４ ９

５＝ ×３３６

５＝１２

２０ ２０ ２０問題１７ ＋ ＋ …… ＋

１×２ ２×３ ９９×１００

１ １＝ － ×２０

１ １００

９９＝ ×２０１００

４＝１９

５

- 13 -

分数の計算のくふう

発展問題の学習

意欲のある人のみ取り組みましょう。

例題１５： 次の計算をしなさい。

１ １ １ １＋ ＋ ＋

１×３ ３×５ ５×７ ７×９

１ １この問題は，残念ながら － の計算では答えにはなりません。

１ ９

たとえば，前に学習した，

例題１１： 次の計算をしなさい。

１ １ １ １＋ ＋ ＋

６×７ ７×８ ８×９ ９×１０

１ １という問題ならば， － と計算してよいのです。

６ １０

１ １ １ １ １ １なぜなら， なら － ， なら － というようになっていくので，

６×７ ６ ７ ７×８ ７ ８

１ １ １ １＋ ＋ ＋

６×７ ７×８ ８×９ ９×１０

１ １ １ １ １ １ １ １＝ － ＋ － ＋ － ＋ －６ ７ ７ ８ ８ ９ ９ １０

何もしない 何もしない 何もしない

１＝ となるのでした。１５

１ １ １ところがこの問題では， は － とならないのです。

１×３ １ ３

１ １ １ １ ２ １なぜなら， は ですが， － は， となり， の２倍になってしまう

１×３ ３ １ ３ ３ ３

のです。ですから，２でわらなければ，正しい答えにならないのです。

よって，例題１５は，次のようにやります。

１ １ １ １ １ １ ８ ４＋ ＋ ＋ ＝ － ÷２＝ ÷２＝

１×３ ３×５ ５×７ ７×９ １ ９ ９ ９

１このように，たとえば の１と３のように２ちがいだったら２で割り，

１×３

１たとえば の２と５のように３ちがいだったら３で割るのです。

２×５

- 14 -

分数の計算のくふう

同じようにして，

例題１６： 次の計算をしなさい。

１ １ １ １＋ ＋ ＋ …… ＋

１０×１５ １５×２０ ２０×２５ ４５×５０

１０と１５は５ちがい，１５と２０も５ちがい，……と，すべて５ちがいになっていますから，

１ １ １ １＋ ＋ ＋ …… ＋

１０×１５ １５×２０ ２０×２５ ４５×５０

１ １＝ － ÷５

１０ ５０

２＝ ÷５２５

２＝１２５

さらに，次の問題をマスターすれば，もう「分数の計算のくふう」は文句なしです。

例題１７： 次の計算をしなさい。

１ １ １ １＋ ＋ ＋ …… ＋

１×２×３ ２×３×４ ３×４×５ ７×８×９

１ １ １これは， が － ÷２ となることを利用して解きます。

１×２×３ １×２ ２×３

１ １ １＋ ＋ …… ＋

１×２×３ ２×３×４ ７×８×９

１ １ １ １ １ １＝ － ÷２＋ － ÷２＋……＋ － ÷２

１×２ ２×３ ２×３ ３×４ ７×８ ８×９

１ １ １ １ １ １＝ － ＋ － ＋ …… ＋ － ÷２

１×２ ２×３ ２×３ ３×４ ７×８ ８×９

何もしない 何もしない 何もしない

１ １＝ － ÷２

１×２ ８×９

１ １＝ － ÷２

２ ７２

３５＝ ÷２７２

３５＝１４４