有限群の表現，対称群の表現の基礎

本間 泰史 ∗

概 要

このノートでは有限群の表現論および対称群の表現論の基本的なことを論じる．

目 次

1 対称群 5

1.1 定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 生成元と関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 関係式とあみだくじ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 共役類と分割数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 符号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 対称式１（基本対称式） 15

3 有限群の表現論 21

3.1 定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 完全可約性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.1 有限可換群の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.2 ３次対称群の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 指標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5 自明表現への射影公式と応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6 表現の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.7 射影公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.8 指標や射影公式の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.9 行列成分，シューアの直交関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.10 群環 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.10.1 群環と畳み込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

∗理科大理工

1

3.10.2 群環と行列成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.10.3 群環と既約表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.11 フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.12 誘導表現とフロベニウス相互律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.13 実構造．四元数構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 対称群の表現論 65

4.1 既約表現の構成とヤング対称化作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 標準表現と交代テンソル積表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3 Frobenius formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.1 Frobenius forumla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.2 次元公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.3 hook length forumla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.4 応用例 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.5 応用例 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5 対称式２（シューア多項式） 98

5.1 定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2 対称式に対するいくつかの恒等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2.1 Giambelliの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2.2 Newtonの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.3 Pieriの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.4 発展：Littlewood-Richardson rule . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3 Kostka 数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.1 Kostka数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.2 コーシーの恒等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.3 応用：Frobenius forumlaへの補題 . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4 変数を増やす . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.4.1 involution ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.5 Skewシューア多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6 Frobenius 公式の証明と応用 138

6.1 Frobenius公式の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.2 応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2.1 応用１:Littelwood-Richardson ruleと誘導表現 . . . . . . . . 143

6.2.2 応用２:Pieri’s ruleと誘導表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.2.3 応用３:Murnaghan-Nakayama rule（指標の計算法） . . . . 149

6.2.4 応用４ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.2.5 テンソル積の既約分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.3 対称群の表現環と対称式の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2

6.3.1 Hopf代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.3.2 対称式空間のHopf代数構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7 交代群Adの表現 165

7.1 |G/H| = 2となる場合の制限表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.2 交代群の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8 Weyl構成 179

8.1 シューア Functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8.2 証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.3 応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

3

はじめにこのノートで述べることは，

1. 有限群の表現．

2. 対称式．

3. 対称群の表現論．

4. 交代群の表現論．

5. Weyl構成．

です．このノートを書いた動機は，いろいろな事情から「Fulton-Harrisの表現論の本 [1]の理解しよう」と思ったことです．この本は最初に有限群，対称群の表現論がありまして，その後リー群やリー環の表現論に入ります（扱うの古典群）．コンパクト群の表現論を理解するには，まず有限群の表現から勉強したほうが理解しやすく，対称群という有限群の表現論を学べば，U(n), SU(n)の表現へと繋がります（よってGL(n,C)，SL(n,C) の正則表現へも繋がる）．本当は，コンパクト群の表現を自由に扱えるようになることが目的で読み始めたのですが，このノートでは有限群，対称群の表現を扱います．（ノートの量が多くなってしまったので，SU(n)の表現論は，またべつの機会で）．このノートの読み方としては，そのまま，はじめから順に読むのがよいんでしょうが，有限群の表現論のみを勉強したいなら Section 3を読む．対称式を勉強したいなら Section 2と Section 5 を読む．対称群の表現論を勉強したいなら，すべて読む．という方法がよいかと思います．もとの本 [1]が演習問題ばかりなので，このノートは，話題がばらばらになって，まとまりがないです．逆に，演習問題をといたおかげで，このノートには具体例をたくさん書いてあります．その意味では，一般論と計算法のどちらの勉強にもなる．また，ほとんどに証明がついてますが，証明がついてないものは Littlewood-Ricahrdson ruleなどです（その証明は [2]を参照．このノートを読んだあとなら難しくないと思う）．シューア多項式などの対称式は，いろんなところでお見かけする重要な話題で，幾何へもいろいろと応用が利く話題です．そんなわけで，一回はまじめに勉強しなくてはと前から思っていただけに，このノートを作るのは，よい機会でした．このノートがあれば，Macdonaldの [2]の第一部はすらすら読めると思います．またFulton-Harrisの本 [1]の第一部の解説にもなっています．[1]は演習問題が多いので苦労するけど，表現論の具体的な計算のためにはよい本です．幾何，無限可積分系，数理物理をやる人には役立つ本だと思う．僕自身は幾何が専門と称しているので，間違いや勘違いはたくさんあることでしょう．数学的な間違いをみつけたら，ご一報を．

本間　泰史

4

1 対称群ここでは対称群についての基礎を学ぶ．

1.1 定義

集合Xに対する置換群とはXからXへの全単射（置換）写像の全体であり，写像の合成により群になるものである． 定義 1.1. X = 1, 2, · · · , dに対する置換群を d次対称群とよびSdと書く．そして恒等写像である単位元を 1, id, eなどと書く．

1. i = jに対して (i, j) ∈ Sdを i, jを入れ替えて，1, · · · , d \ i, jを動かさない置換とする．これを iと jの互換という（ここで (i, j) = (j, i)に注意）．

2. (i, i+ 1)のように．i, jが 1だけ異なるものを隣接互換とよぶ．

3. 互いに異なる l個の数 i1, · · · , ilに対して，(i1, i2, · · · , il) ∈ Sdを「i1をi2に，i2を i3に,・・・, il−1を ilに，ilを i1に移し，1, · · · , d\i1, · · · , ilを動かさない置換」と定義して l次の巡回置換とよぶ．

例 1.1. 次にような σ ∈ S6を考える．

σ =

(1 2 3 4 5 6

5 6 1 4 3 2

).

これは巡回置換 (1, 5, 3)と互換 (2, 6)の積である．

練習問題 1.2. 1. |Sd| = d!である．

2. σを l次巡回置換とすると，σl = 1である．特に (i, j)2 = 1である．

3.

σ =

(1 2 · · · i · · · j · · · d

k1 k2 · · · ki · · · kj · · · kd

)に対して，σ · (i, j)は

σ · (i, j) =

(1 2 · · · i · · · j · · · d

k1 k2 · · · kj · · · ki · · · kd

)

となる．

5

1.2 生成元と関係式

群GとGのいくつかの元g1, · · · , glがあって，Gの任意の元がg1, · · · , gl, g−11 , · · · , g−1l

の積で表せるとき g1, g2, · · · , glをGの生成元とよび，G = ⟨g1, · · · , gl⟩などと書く．次の目的は，対称群Sdの生成元をもとめることである． 命題 1.3. 対称群Sdは隣接互換 (1, 2), (2, 3),・・・,(d− 1, d)で生成される．簡単のため si = (i, i + 1)とすれば，Sd = ⟨s1, · · · , sd−1⟩である．またこれらの生成元は次の関係式を満たす．

s2i = 1 i = 1, · · · , d− 1

sisi+1si = si+1sisi+1 i = 1, · · · , d− 2

sisj = sjsi |i− j| ≥ 2

(1.1)

さらに，上の関係式でSdのすべての関係式をかくことができる．つまり

Sd =

⟨s1, · · · , sd−1

∣∣∣∣∣∣∣∣s2i = 1 i = 1, · · · , d− 1

sisi+1si = si+1sisi+1 i = 1, · · · , d− 2

sisj = sjsi |i− j| ≥ 2

⟩

Proof. まず，隣接互換が生成元となることを簡単な例で証明する．

σ =

(1 2 3 4

4 3 2 1

)∈ S4

を考える．まず隣接互換をかけて二行目の 4を最も後ろへ持って行く．例えば，(1 2 3 4

4 3 2 1

)(1, 2) =

(1 2 3 4

3 4 2 1

)(1 2 3 4

4 3 2 1

)(1, 2)(2, 3) =

(1 2 3 4

3 4 2 1

)(2, 3) =

(1 2 3 4

3 2 4 1

)(1 2 3 4

4 3 2 1

)(1, 2)(2, 3)(3, 4) =

(1 2 3 4

3 2 1 4

)となる．次に二列目の 3を 3番目にもっていく操作を行う．以下同様．すると(

1 2 3 4

4 3 2 1

)(1, 2)(2, 3)(3, 4)(1, 2)(2, 3)(1, 2) = 1 =

(1 2 3 4

1 2 3 4

)となる．よって

σ = (1, 2)−1(2, 3)−1(1, 2)−1(3, 4)−1(2, 3)−1(1, 2)−1 = (1, 2)(2, 3)(1, 2)(3, 4)(2, 3)(1, 2)

6

となり σは隣接互換の積でかけたことになる．生成元の関係式 (1.1)は直接証明すればよい．つぎにSdが隣接互換を生成元とし，関係式 (1.1)で生成される群であることを証明する．

Gd := ⟨s1, · · · , sd−1 | (1.1)⟩

とする．Gd ∋ si → (i, i + 1) ∈ Sdという写像を定義すれば，siの関係式はSd内の関係式と同じなので，これは準同形写像になる．さらに全射であることは隣接互換が生成元であることからしたがう．これが同型であることを証明するために次の補題を用いる．

補題 1.4. Gdの任意の元は

(s2, s3, · · · , sd−1 の積)s1s2 · · · sk, (0 ≤ k ≤ d− 1)

と書ける．

この補題を使って，帰納法により Gd∼= Sd であることを証明する．仮定から

Gd−1 ∼= Sd−1である．よって |Gd−1| = (d− 1)!である．上の補題からGdの位数は|Gd−1|×d = d!以下であることがわかる．一方Gd → Sdは全射準同形であるので，|Gd| ≥ d!である．よって |Gd| = d!であり，Gd

∼= Sdが成立する．

proof of lemma. 帰納法で証明する．s2, · · · , sd−1と関係式で生成される群をGd−1 ⊂Gdとする．仮定からGd−1の元は

σ = (s3, · · · , sd−1 の積)s2s3 · · · sk, (0 ≤ k ≤ d− 1)

と書ける．このとき sisi+1si = si+1sisi+1を使って，

s1((s3, · · · , sd−1 の積)s2s3 · · · sk)s1 = (s3, · · · , sd−1 の積)s1s2s1s3 · · · sk=(s3, · · · , sd−1 の積)s2s1s2s3 · · · sk = (s2, s3, · · · , sd−1 の積)s1s2s3 · · · sk

となる．さて Gdの元は gi ∈ Gd−1の元を使って，g1s1g2s1g3s1 · · · という形でかけている．例えば，g1s1g2s1g3 において，上の式を使って s1 の数を減らすことができ，g1s1g2s1g3 = g1(g

′2s1g

′′2)g3 = g′1s1g

′′2 と書ける．このようにして s1の数をへらすこ

とができ，最終的に s1は一個残るか消えることになる．s1が消える場合にはそれでよい．s1が一個残る場合には，ある g, g′ ∈ Gd−1が存在して gs1g

′と書ける．そこで g′を仮定を使って，書き換えれば，

gs1g′ = gs1(s3, · · · , sd−1 の積)s2s3 · · · sk = (g(s3, · · · , sd−1 の積))s1s2s3 · · · sk

となる．以上で補題が証明された．

7

例 1.5. 生成元のとりかたは，もちろん一つではないが，上の生成元はもっとも標準的なとり方である．他の生成元のとり方としては，例えば，

Sd = ⟨(1, 2), (1, 3), · · · , (1, d)⟩, Sd = ⟨(1, 2), (1, 2, · · · , d)⟩

などがある（二番目は，群Sdがたった二つの元から生成されることを意味する）．

Proof. 二番目を証明する．

(1, 2, · · · , d)(1, 2) = (1, 2)(2, 3)(3, 4) · · · (d− 1, d)(1, 2) = s1s2s3 · · · sd−1s1=s1s2s1s3 · · · sd−1 = s2s1s2s3 · · · sd−1

よって (1, 2, · · · , d)(1, 2)(1, 2, · · · , d)−1 = s2 = (2, 3)である．また s1(s1 · · · sd−1) =s2 · · · sd−1である．そこで

(1, 2)(1, · · · , d)(2, 3)(1, 2)(1, · · · , d)−1 = (s2s3s4 · · · sd−1)s2(sd−1 · · · s3s2)=s3s2s3s4 · · · sd−1sd−1 · · · s3s2 = s3

以下同様にすれば，すべての隣接互換を (1, 2), (1, 2, · · · , d), (1, 2, · · · , d)−1の積で書けることがわかる．また一番目の (1, 2), (1, 3), · · · , (1, d)が生成元になることは，

(1, k)(1, k − 1) · · · (1, 3)(1, 2) = (1, 2, · · · k)

であるので，(1, 2), (1, 2, · · · , d) ∈ ⟨(1, 2), (1, 3), · · · , (1, d)⟩となることからわかる．

1.3 関係式とあみだくじ

隣接互換の関係式の意味をしらべよう．そのために次の s2i = 1という関係式だけ除いた群を考える．

Bd =

⟨s1, · · · , sd−1

∣∣∣∣∣sisi+1si = si+1sisi+1 i = 1, · · · , d− 2

sisj = sjsi |i− j| ≥ 2

⟩.

これを組紐群とよぶ．（Bd は無限群であることに注意．たとえば B2 = ⟨s1⟩はB2 ∋ sk1 7→ k ∈ Zにより Zに同型である）．この幾何学的な意味を考えるよう．1, · · · , dからなる頂点を二組考えて，つぎのように捩れていてもよいが上から下へ向かう組紐で結ぶことにする（下はB3の元 s1s2s1s2s1を表している）．

8

1

1

2

2

3

3

s1

s2

s1

s2

s1

このような組紐の形をBdの元で表すのである．まず下右図に siを対応させる．ここで上下関係を入れていることに注意．このとき s−1i は下左図のようになる．実際，sis−1i は絡んでいない紐になる（ほどける）ことがわかり，sis

−1i = 1となる

（下左図）．

i

i

i

i

i+1

i+1

i+1

i+1s is i

-1

i

i

i

i

i+1

i+1

i+1

i+1

頂点1, · · · , dと頂点1, · · · , dを結ぶすべての組紐がs1, · · · , sd−1, s−11 , · · · , s−1d−1の積で表せることは直感的に明らかであろう．そして上でのべた関係式をみたすことがわかる．このように組紐群Bdはまさに組紐に対応しているのである．

練習問題 1.6. 他の関係式 sisi+1si = si+1sisi+1及び sisj = sjsi（|i− j| ≥ 2）を絵を書いて確かめよ．

さて，組紐群の場合には s2i = 1となる．この組紐群に s2i = 1という関係式いれたものがSdである．これは組紐を紐の上下関係をなくしたものである（平面へ射影する）．実際 si = s−1i であるので上下は関係ない．例えば，最初にあげた組紐の上下関係をなくせば，下左図ようになる．これを，あみだくじで書いたものが下右図である．（あみだくじの各横棒が隣接互換である）．

9

1

1

1

1

2

2 2

23

3 3

3

そして，上の図は置換

σ =

(1 2 3

1 3 2

)= (2, 3)

である．また上の図は σが隣接互換の積で書けることも表している．実際

σ = (1, 2)(2, 3)(1, 2)(2, 3)(1, 2)

である．一般の場合には

σ =

(1 2 · · · n

i1 i2 · · · in

)に対して，まず 1, · · · , nを上の段と下の段にかき，上の段の kと下の段の ik を各kに対して結ぶ．さらに，その図（組紐で上下関係がないものである）をあみだくじの形に綺麗に書き直す．あみだくじの横棒を互換とみなして上から順にかけていけば σを得ることができる．このように，あみだくじで書くことにより，Sdの任意の元が隣接互換の積で必ず書けることの別証明を得ることができる．さらにsiiの関係式は，あみだくじを次のように変換しても，i, i + 1, i + 2などの行き先は変化しないことを意味する．

10

i

i

i

i

i

i

i

i

i+1

i+1i+1

i+1

i+1

i+1

i+1

i+1

i+2

i+2

i+2

i+2

i

i

i+1

i+1

i+1i+1i

i

j

j

j

j

j+1

j+1

j+1

j+1

練習問題 1.7. あみだくじを使って，(1, 2, · · · , d − 1, d) = (1, 2)(2, 3) · · · (d − 1, d)

であることを証明せよ．

また，ちょっと面倒だが σ = si1 · · · sikと σ′ = sj1 · · · sjlが同じ置換なら，上のあみだくじ上の変換をもちいて σ′を si1 · · · sikの形にすることが直感的に理解できる（これはGd → Sdが単射であることを意味する．真面目な証明はすでに述べた）．

補足 1.8. わざわざ組紐群から考えたが，初めからあみだくじで考えてもかまわない．

1.4 共役類と分割数

次にSdの共役類について考える．

定義 1.2. 群G内で同値関係を定める．g, g′ ∈ Gに対して g ∼ g′とは g = xg′x−1

となる x ∈ Gが存在すること．これは同値関係であることがわかるので，同値類に分ける．この同値類のことをGの共役類とよぶ．

Sdの共役類をもとめてよう．σ ∈ Sdに対して，X = 1, · · · , dでの σによる軌道を求めてみる．k ∈ X に対してX は有限集合なので σl(k) = kとなるような最小の自然数 lが必ず存在する．つまり kの軌道は k, σ(k), · · · , σl−1(k)である．このようにしてXを軌道分解することができる．この軌道分解の意味するところは次のよう．

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 20 3 12 9 6 4 13 5 2 14 1 15 11 8

)の軌道は

1, 4, 7, 12, 2, 10, 3, 5, 9, 6, 8, 13, 15, 11, 14

11

である．そこで

σ = (1, 7, 4, 2)(8, 13, 15)(2, 10)(5, 9)(11, 14)(3)(6)

と巡回置換の積でかける．ここで (3)などは 3を 3にうつし，他を動かさないことを表しているが，単に恒等写像のことである．このように便宜上，1次巡回置換 (k)（=

恒等写像）も表しておく．また，上の巡回置換の積において互いに共通部分がないこともわかる．よって特に積の順序は関係ない．上のような表示をサイクル表示とよぶ．さらに巡回置換の長さは4, 3, 2, 2, 2, 1, 1であるが，これを並べて [4, 3, 2, 2, 2, 1, 1]

と書き σのサイクルタイプとよぶ．または順番を逆にして [1, 1, 2, 2, 2, 3, 4]と書くこともある．今の場合には 15の分割 15 = 4+3+2+2+2+1+1となっている．さて，同じサイクルタイプの元で

σ0 = (1, 2, 3, 4)(5, 6, 7)(8, 9)(10, 11)(12, 13)(14)(15)

なるものを考える．σ0を一行目に σを二行目に書いた次の置換を考える

τ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 7 4 2 8 13 15 2 10 5 9 11 14 3 6

)

このとき，σ = τσ0τ−1となることがわかる．つまり [σ0] = [σ]と同じ共役類に属

することがわかる．このようにサイクルタイプにより共役類は分類できる．

Proof. 任意の σ ∈ Sdに対して σ(k1, k2, · · · , kl)σ−1 = (σ(k1), σ(k2), · · ·σ(kl))であることが簡単にわかる．よって τσ0τ

−1 = τ(1, 2, 3, 4)τ−1τ(5, 6, 7)τ−1 · · · τ(15)τ−1 =σとなる．同様に，サイクルタイプが異なれば，互いに共役でないことも明らか．

さて，Sdにおいてサイクルタイプが [d]の共役類の代表元の個数は (d−1)! = d!/d

である．実際，2, · · · , dの数を適当に並べて k2, · · · , kdとすれば，(1, k2, · · · , kd)はサイクルタイプが [d]であり，互いに異なる元となる．またサイクルタイプが [d]

の元はかならずこの形である．よって代表元の個数は (d− 1)!である．一般の共役類を考える．kサイクルが ik個あるとする．つまり d =

∑dk=1 kikで，

サイクルタイプを

[d, · · · , d︸ ︷︷ ︸id

, d− 1, · · · , d− 1︸ ︷︷ ︸id−1

, · · · , k, · · · , k︸ ︷︷ ︸ik

, · · · , 1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸i1

]

とする．このサイクルタイプの代表元の個数は

d!

didid!(d− 1)id−1id−1! · · · kikik! · · · 1i1i1!

となる．

12

Proof. 具体例でのみ証明しておこう．サイクルタイプが [4, 3, 2, 2, 2, 1, 1]であるとする．このサイクルタイプの元を得るには

(k1, k2, k3, k4)(k5, k6, k7)(k8, k9)(k10, k11)(k12, k13)(k14)(k15)

と1, · · · , dまでの数字を適当に入れていけばよい．その入れ方は15!個ある．しかし重複するものがある．まず 4次巡回置換において (k1, k2, k3, k4)は (k2, k3, k4, k1)

などと同じものが 4つある．そこで 4で割る必要がある．3次巡回置換 (k5, k6, k7)

についても同様．次に 2次巡回置換（互換）(k8, k9)(k10, k11)(k12, k13)を見てみる．今，互換は 3個あるので，上と同様の理由により 23 で割る必要がある．さらに(k8, k9)(k10, k11)(k12, k13) = (k10, k11)(k8, k9)(k12, k13)なので，3個の順列の数 3!で割る必要もある．1次巡回置換（恒等写像）についても同様である．よってサイクルタイプが [4, 3, 2, 2, 2, 1, 1]の共役類の代表元の数は

15!

(411!)(311!)(233!)(112!)

となる． 命題 1.9 (対称群の共役類). Sdの共役類はサイクルタイプで決定できる．よって共役類の全体と dの分割は一対一に対応する．特に共役類の個数は dの分割数 p(d)（箱の数が dのヤング図形の数）に等しい．ここで dの分割数とは dの分割 d = λ1 + · · · + λd（λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λd ≥ 0）の数である（ヤング図形との対応は後述）．さらに，サイクルタイプが

i = [d, · · · , d︸ ︷︷ ︸id

, d− 1, · · · , d− 1︸ ︷︷ ︸id−1

, · · · , k, · · · , k︸ ︷︷ ︸ik

, · · · , 1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸i1

]

の共役類をCiとすれば，

|Ci| =d!

didid!(d− 1)id−1id−1! · · · kikik! · · · 1i1i1!.

また i ⊢ dで iが dの分割であることを表せば，

d! =∑i⊢d

|Ci|

が成立する． 補足 1.10. かなり後の系 3.29 で d! =

∑λ⊢d(dimVλ)

2なる式を証明する．ここでVλは λに対応するSdの既約表現である．かなり似た式だが，d2λと |Cλ|は一致するわけではない．

13

1.5 符号

対称群Sdの元は互換の積でかならずかけるのであった．そこで

定義 1.3 (符号). 偶数個の積でかけるものを偶置換，奇数個の積で書けるものを奇置換という．そして σ ∈ Sdに対して，その符号を

sgn(σ) =

1 σが偶置換

−1 σが奇置換

として定義する．

これがwell-definedであることを確かめよう．実際，互換の積への分解は一通りではないので，偶奇が変わらないことを確かめる必要がある．

Proof. sgn : Sd → Z2 = ±1という群準同形を次で定義する．生成元si = (i, i+1)

に対して ϵi = sgn(si) = −1とする．ϵiは関係式 (1.1)を満たすことがわかるので，sgnは準同形として矛盾無く定義でき，Sd全体へ拡張できる．さて互換は，siの奇数個の積でかならず書けることがわかる．実際あみだくじを使えば，

(i, j) = (i, i+ 1) · · · (j − 2, j − 1)(j − 1, j)(j − 2, j − 1) · · · (i+ 1, i+ 2)(i, i+ 1)

となるので奇数個の積でかける．そこで sgn((i, j)) = −1である．よって準同形sgn : Sd → Z2が well-definedなので (i, j)はどのように siの積で表示しても奇数個の積となる．同様に，一般の元を互換の積であらわしたとき偶数，奇数は変化しない．そして準同形 sgn : Sd → Z2は先に与えた符号と一致する．

補足 1.11. 符号は，あみだくじ表示を行って，交点数を数えればよい（交点は隣接互換であったので）．

例 1.12. l次の巡回置換の符号は (−1)l−1である． 定義 1.4 (交代群). 偶置換全体（つまり ker sgn）は正規部分群となる．それをAdと書き d次交代群とよぶ．明らかにSd = Ad∪ (1, 2)Adであり，|Ad| = d!/2．

交代群の表現は Section 7で扱う．

14

2 対称式１（基本対称式）ここでは，対称式に対する基本的な事柄を学ぶ．シューア多項式や完全対称式などについてのより深い話は Section 5で述べる．d次対称群Sdを d変数多項式環 C[x] = C[x1, · · · , xd]へ作用させる．まず座標

(x1, · · · , xd)に対して，σ(x1, · · · , xd) = (xσ−1(1), · · · , xσ−1(d))とする．また xの関数 f(x) = f(x1, · · · , xd)に対して，(σf)(x) = f(σ−1x)として作用させれば，これは関数空間への対称群の作用になる．（作用や表現については Section 3を見よ）．そこで，f(x) ∈ C[x]に対して，

(σf)(x1, · · · , xd) = f(xσ(1), xσ(2), · · · , xσ(d))

と作用させることになる．また，

(σfg)(x) = (σf)(x)(σg)(x)

であるので，作用は多項式空間の環構造も保つことに注意する．

定義 2.1 (対称式). f(x) ∈ C[x]が対称式または対称多項式とは，σf = f（∀σ ∈ Sd）となること．また対称式の全体（C[x]の部分環）を S[x] = S[x1, · · · , xd]と書く．

対称多項式の基本的な基底とし，基本対称式を導入する． 定義 2.2 (基本対称式). 基本対称式 e0(x) = 1, e1(x), · · · , ed(x)を

d∏i=1

(t− xi) =d∑

k=0

(−1)d−ked−k(x)tk

により定義する（解と係数の関係を思いだそう）．または，

d∏i=1

(1 + xit) =d∑

k=0

ek(x)tk

により定義する． 例えば．

e1(x) = x1 + · · ·+ xd,

e2(x) = x1x2 + x2x3 + · · · xd−1xd =∑i<j

xixj,

· · · · · ·ed(x) = x1 · · · xd

15

となり，一般には，er =

∑1≤i1<i2<···<ir≤d

xi1xi2 · · · xir

となる．この基本対称式が対称式の代数的な基底となることを証明したい．そこで，次の軌道和対称式を定義する．λ = (λ1, · · · , λd) ∈ (Z≥0)dに対して,

Mλ(x) =1

c(λ)

∑σ∈Sd

σxλ =1

c(λ)

∑σ∈Sd

σ(xλ11 · · · x

λdd ) =

1

c(λ)

∑σ∈sd

xλ1

σ(1) · · · xλd

σ(d)

とする．ここで 1/c(λ)は，ある定数で，xλ11 · · · x

λdd の係数が 1となるように調節し

ている．そこで，Mλ(x) =

∑α

xα11 · · · x

αdd

と定義してもよい．ここで和は (λ1, · · · , λd)のすべての異なる置換α = (α1, · · · , αd)

でとっているλ1 ≥ · · · ≥ λd ≥ 0となる λの全体を P+とすると，Mλ | λ ∈ P+は S[x]のベクトル空間の基底になる．

Proof. f を対称式として，f =∑aνx

ν11 · · · x

νdd とする．(ν1, ν2, · · · , νd)を辞書式順

序で並べたて，最初の項を aµxµ1

1 · · · xµd

d とする．このとき∑

σ σ(xµ)を考えるとこ

れは対称式である．これをさらに辞書式で並べれば，µ1 ≥ · · ·µd ≥ 0となる項が第一項であるので，これはMµ(x)である．f(x)− aµMµ(x)は対称式である．この第一項は aµ′x

µ′1

1 · · · xµ′d

d を考えるとき，µ > µ′である．よって，同じ議論を繰り返せば，f(x)は Mλ|λ ∈ P+の線形結合でかける．また Mλ|λ ∈ P+が一次独立であることは，明らかであろう． 定理 2.1 (対称式の基本定理). 基本対称式は S[x]の代数的に独立な基底である．つまり

1. 対称式は基本対称式の多項式でかける．

2. 基本対称式の間には多項式関係は存在しない．

別の言い方をすれば，

C[y1, · · · , yd] ∋ f(y1, · · · , yd) 7→ f(e1(x), · · · , ed(x)) ∈ S[x]

は環同型となる． 補足 2.2. 実は整数係数の多項式に対しても，同様の事実が成立する．

16

Proof. 軌道和対称式の λに辞書式順序をいれておく．λ ∈ P+に対して，

µi = λi − λi+1 (1 ≤ i ≤ d− 1), µd = λd

とする．つまり，

xλ = xλ11 · · · x

λdd = xµ1

1 (x1x2)µ2 · · · (x1 · · · xd)µd

とする．このときMλ(x)− e1(x)µ1e2(x)

µ2 · · · ed(x)µd

とすれば，これは対称式であるが，xλという項は含まない．また λより小さい軌道和対称式の線形和でかける．よって同じ議論を繰り返せば，軌道和対称式が基本対称式の多項式でかけることがわかる．軌道和対称式は対称式の基底であったので，任意の対称式は基本対称式の多項式でかける．次に代数的に独立であることを証明しよう．dについての帰納法で照明する．

f(e1(x), · · · , ed(x)) = 0であると仮定する．xd = 0とすれば，ed(x) = 0であり，ei(x1, · · · , xd−1, 0)はd−1次変数の基本対称式になる．実際，

∏(1+xit) =

∑ek(x)t

k

で xd = 0とすればよい．そこで

f(e1(x1, · · · , xd−1, 0), · · · , ed−1(x1, · · · , xd−1, 0), 0) = 0

となるが，帰納法の仮定から，d−1変数の基本対称式が代数的に独立であることからf(y1, · · · , yd−1, 0) = 0となる．よって fは ydを因子としてもつので f(y) = ydf

′(y)

となる．そこで，0 = f(e1, · · · , ed) = edf

′(e1, · · · , ed)

となり，f ′(e1, · · · , ed) = 0を得る．f ′の次数は fの次数より下がっているので，次数に関する帰納法から f = 0であることがわかる．

さて，冪和対称式 pkを k ∈ Z≥0に対して，

pk = xk1 + · · ·+ xkd

とする．（p0 = d）．このとき次の関係式が成立する．

命題 2.3 (Newtonの公式). 基本対称式と冪和対称式は次をみたす．

k∑j=0

(−1)jpk−jej = pk − e1pk−1 + · · ·+ (−1)kekp0 = (−1)k(d− k)ek 1 ≤ k ≤ d

d∑j=0

(−1)jpk−jej = pk − e1pk−1 + · · ·+ (−1)dedpk−d = 0 d ≤ k

さらに，この漸化式から，p1, · · · , pdがS[x]の代数的に独立な基底であることがわかる．

17

Proof. （より簡単な証明を subsection 5.2において行う）．k = dの場合にまず証明する．X を対角行列 diag(x1, · · · , xd)とする．このとき tr Xk = pk(x)である．また

0 =∏

(X − xi) =∑

(−1)jXd−jej(x)

となる．この両辺でトレースをとれば，

0 =d∑

j=0

(−1)jpk−jej = 0

を得る．また k > dの場合も上の式にX lをかけてトレースをとればよい．次に，1 ≤ k < dの場合を証明する．左辺は k次対称式なので，

αek(x) + (ei(x) (1 ≤ i ≤ k − 1)の多項式)

と書けるはずである．∑k

j=0(−1)jpk−jejにおいて，xk+1 = xk+2 = · · · xd = 0とすれば，先ほどの場合を使える．ただしp0 = dであるので，

∑kj=0(−1)jpk−jej|xk+1=···=xd=0 =

(−1)k(d− k)ek(x)をえる．一方，

αek(x) + (ei(x) (1 ≤ i ≤ k − 1)の多項式)

においてxk+1 = · · · = xd = 0としても，形はかわらない．よってα = (−1)k(d−k)であり，残りの部分は零でなくてはならない（ここで e1, · · · , ekが代数的に独立であることを用いた）．以上で証明できた．さて，p1, · · · , pdがS[x]を代数的に張ることは明らかである．実際，e1, · · · , edはp1, · · · , pdを使って書ける．そこで代数的に独立であることを証明する．ニュートンの公式から

pk(x) = (−1)k+1kek + (ei(x) (1 ≤ i ≤ k − 1)の多項式), (1 ≤ k ≤ d)

となることがわかる．そこで λ = (λ1, · · · , λd)に対して，λd, λd−1, · · · の順に比較していく辞書式順序を入れたとき，

P λ(x) = pλ11 (x) · · · pλd

d (x) = αeλ11 · · · e

λdd +辞書式で低い項

となる．よって，もし p1, · · · , pdが代数的に独立でないと仮定すれば，∑cλP

λ(x) = 0

となる．e1, · · · , edが代数的に独立であることから，もっとも順序が高い λについて cλ = 0がわかる．以下同様にして，すべての λに対して cλ = 0を得る．以上で p1, · · · , pdも代数的に独立であることが証明できた．

次に交代式について述べよう．

18

定義 2.3 (交代式). 多項式 f で (σf) = sgn(σ)f（∀σ ∈ Sd）となる多項式を交代式とよぶ．

定義から

f(x1, · · · , xi, · · · , xj, · · · , xd) = −f(x1, · · · , xj, · · · , xi · · · , xn)

であるのでf(x1, · · · , xi, · · · , xi︸︷︷︸

j

, · · · , xn) = 0

である．つまり (xi − xj)を因子としてもつ．よって差積∆ =∏

i<j(xi − xj)を因子にもち，f(x) = ∆(x)g(x)と分解できる．ここで g(x)は対称式である．逆に対称式 g(x)に差積をかければ交代式になることがわかる，つまり，

交代式の全体 =対称式の全体×∆.

最後に対称式の次元について述べておこう．多項式環のように，次数によって有限次元の空間に分かれる空間をを次数付きベクトル空間とよぶ．V = ⊕∞k=0Vk．このようなベクトル空間に対するポアンカレ級数とは，

PV (t) =∑k

(dimVk)tk

のことである．また

W = ⊕Wk, Wk =k∑

j=0

Uj ⊗ Vk−j

なら，PW (t) = PU(t)PV (t)が成立することは明らかである．

例 2.4. x = x1の場合にC[x]に対するポアンカレ級数は

P (t) =1

1− t= 1 + t+ t2 + · · ·

である．

例 2.5 (多項式空間のポアンカレ級数). 次数付き空間としては C[x1, · · · , xd] ∼=C[x1]dであるので，V = C[x1, · · · , xd]に対しては，

PV (t) = (1

1− t)d =

∞∑k=0

(d+ k − 1

k

)tk

となる．

19

例 2.6 (対称式空間のポアンカレ級数). S[x] = C[e1, · · · , ed]であり，deg(el) = lであるので，

PS(t) =d∏

l=0

1

1− tl

である．tsの項の係数を考える．(1+ t+ t2+ · · · )の項から tk1を，1+ t2+ t4+ · · ·の項から t2k2をとっていき，ts = tk1 · · · tdkdとなったとする．これを sの分割で

d+ · · ·+ d︸ ︷︷ ︸kd

+ · · ·+ 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸k1

= λ1 + · · ·+ λd

というものに対応させる．ヤング図形に対応させれば，次のような sの分割に対するヤング図形 λであり，行の長さ l(λ)が d以下のものである．

kd kd−1 k1

つまり，tsの係数である．よって

命題 2.7. d変数 s次対称式の次元は行の長さが d以下，箱の数が sののヤング図形の数に一致する．

20

3 有限群の表現論

3.1 定義

Gを有限群とする．つまりGは群で元の数 |G|が |G| <∞となるものである．

定義 3.1 (表現). Gの有限次元複素ベクトル空間 V への表現とは，準同形 ρ : G→GL(V )のことである．このV をG加群とよぶこともある．また表現のことをGがV へ作用しているということもある．

また，簡単のため ρ(g)vを gvと書くこともある．

練習問題 3.1. V , W をG加群とする．

1. V , W をG加群として ϕ : V → W をG線形写像とする．G線形写像とは任意の g ∈ Gに対してϕ(gv) = gϕ(v)となるもの．このとき kerϕ, imϕ, cokerϕ

はどれもG加群である．

2. また V ⊕W , V ⊗W，Λk(V ), Sk(V )などもG加群である．ここでΛk(V )はV の交代テンソル積．Sk(V )は対称テンソル積．

3. また V ∗ = Hom(V,C)に対して ρ∗ : G→ GL(V ∗)を次で定義する．

⟨ρ∗(g)(v∗), ρ(g)u⟩ = ⟨v∗, u⟩, ∀u ∈ V, ∀v∗ ∈ V ∗

この定義により ρ∗はGの表現になる．つまり

ρ∗(g) = tρ(g−1) : V ∗ → V ∗

である．この表現を双対表現とよぶ．

4. また，Hom(V,W ) = V ∗⊗W もG加群となる．つまり ϕ ∈ Hom(V,W )に対して (gϕ)(v) = gϕ(g−1v)（∀v ∈ V）とすればよい．

定義 3.2. V とW の間のG線形写像全体は線形空間でありHomG(V,W )と書く．そしてHom(V,W )Gと一致する（Hom(V,W )へのGの作用で不変な元全体）．

Proof. ϕ ∈ Hom(V,W )への作用は (gϕ)(v) = gϕ(g−1v)であった．よって ϕが不変な元なら ϕ(gv) = gϕ(v)が任意の g ∈ Gに対して成立することを意味する．これはまさにG線形写像である．

定義 3.3 (同値な表現). V , W をG加群として，G線形な同型写像Φ : V → W が存在したとする．このとき V とW はG加群として同値であるという．またΦをintertwining 作用素（絡み作用素）という．

21

補足 3.2. 我々はG加群で同値なものを面倒なので区別しないことにする．本来なら，それなりに区別すべきである．例えば V , W がG加群として同値であっても，V , W には異なった付加的な構造が入るかもしれないし，幾何的，代数的に異なった意味がつけられるかもしれない．その意味でもΦを具体的に構成することは意味がある．つまり全く別の方法で構成した表現 V , W が同値であることを見るには，絡み作用素を作る必要がある．

さて，以下で基本的な表現の例を紹介する．

例 3.3. 一次元ベクトル空間 Cを考えて，ρ(g) = idとすれば，表現になる．これを自明表現と呼ぶ．

例 3.4. Xを有限集合として，Gが左から作用しているとする．つまり，ある準同形G → Aut(X)が存在しているとする．ここでAut(X)はX からX への全単射写像の全体．このとき x| ∈ x ∈ Xを基底として有限次元ベクトル空間 V を考えて，

g(∑x∈X

axx) =∑

axgx, ax ∈ C

とすれば表現になる．これを置換表現とよぶ．

例 3.5. GのG自身の左作用を考えるとG → Aut(G)を得る．そして，置換表現を得ることができる．つまり，

g(∑

ahh) =∑

ah(gh), ah ∈ C

である．これを左正則表現とよびRGと書く（表現空間もRGと書くことが多い．群環をベクトル空間とみなしたものである）．特に，RGはG上の複素値関数全体の空間C(G)と同一視できる（つまりG加群として同値）．ここで関数へのGの作用は (gα)(h) = α(g−1h)である．

Proof. Gは有限群なので関数全体に位相をいれたりする必要はない（Gの表現も連続とかいう必要ない）．RGがG上関数全体と一致することを確かめよう．f をG上の関数とすれば，各 h ∈ Gの値 f(h)で f は決定される．そこで任意の h ∈ Gに対して

eh(h′) =

1 h = h′

0 h = h′

となる関数をつくれば，上の f は

f =∑

f(h)eh

と書ける．よって f =∑f(h)eh →

∑f(h)hと対応させれば，RGはG上関数全

体とみなせる．また作用は

g(∑

f(h)h) =∑

f(h)gh =∑

f(g−1h)h 7→ gf =∑

f(g−1h)eh

であるので，(gf)(h) := f(g−1h)となる．

22

補足 3.6. L(g)(∑ahh) =

∑ahhg

−1とすれば，右正則表現が定義できる．

Φ :∑

ahh 7→∑

ahh−1

という線形写像を考える．これは全単射である．また

Φ(R(g)(∑

ahh)) = Φ(∑

ahgh) =∑

ah(gh)−1 =

∑ahh

−1g−1 = L(g)(Φ(∑

ahh))

とであるので，左正則表現と右正則表現は同値である．

3.2 完全可約性

有限群Gの表現が完全可約であることを見ていこう．

命題 3.7. G加群 V の部分G加群W を考える．このときW の補空間W ′でG不変空間となるものが存在（V = W ⊕W ′）．G不変とはGW ′ ⊂ W ′となること．

Proof. V に勝手なエルミート内積H0を入れておく，さらにそれを「積分」して，G不変内積をつくる．つまり

H(v, w) =∑g∈G

H0(gv, gw)

このときW のHに関する直交補空間W ′はG不変であることが確かめられる．

上の証明から有限群Gの表現はユニタリ表現にできることがわかる．ユニタリ表現とは表現空間 V に (gv, gw) = (v, w)となるエルミート内積が入ること．このとき ρ : G→ U(V ) ⊂ GL(V )という準同形を得ることになる．

定義 3.4. G加群が真のG不変部分空間をもたないとき既約表現とよぶ．また真のG不変部分空間をもつときは可約表現という．また完全可約とは表現が既約成分の直和に分解できること．

上の命題の系として次を得る． 系 3.8 (完全可約性). 有限群Gの任意の表現は完全可約である． 補足 3.9. この完全可約性は有限群やコンパクト群に特有な性質である．たとえば，RのC2への表現

a 7→

(1 a

0 1

)を考える（これは表現であることはあきらか）．このとき (x, 0)|x ∈ Cは不変部分空間である．しかし，G不変な補空間はもたない（これも明らか）．

23

補足 3.10. 有限体上のベクトル空間への表現などについても完全可約性は成立しない．また次の Schur’s lemmaも体はCとしなくてはならない．

つぎにシューアの補題は強力な武器である． 補題 3.11 (Schur’s lemma). V , W をGの既約表現とする．ϕ : V → W をG

線形写像とする．このとき，

1. ϕは同型または ϕ = 0

2. V = W なら ϕ = λidとなる λ ∈ Cが存在． Proof. kerϕ, imϕは不変部分空間であるので，V , W が既約であることをつかえば，最初の主張が成立する．次にCは代数閉体である．よって線形写像 ϕはある固有値 λをもつ．そして ϕ− λidは零でない kernelをもつ．この ϕ− λidに最初の主張を適用すれば，ϕ− λid = 0である．

次の主張は既約成分への分解が唯一つであることを述べている．

命題 3.12. 有限群Gの任意の表現 V は，

V = V ⊕a11 ⊕ · · · ⊕ V ⊕akk

と分解でき，各 Viは互いに異なる既約表現である．また V の上のような k個の成分への分解は唯一つである．また aiを Viの重複度という．

Proof. V の他の分解 V = ⊕W⊕bjj が存在したとする．id : ⊕V ⊕aii → ⊕W⊕bj

j を考えるとこれはG線形写像である．V1に制限すれば，Schur’s lemmaから id|V1は零または同型写像であるが，零はありえない．よって同型写像であり V1 ∼= W1なるものが存在する．idが単射であることから，⊕V a1

1 がW b11 に移り a1 = b1であるこ

とがわかる．以下同様．

補足 3.13. V = V ⊕aii （Viは既約）としたときに，この分解については一通りではないことに注意．例えば，V = Vi⊕Viとしたときに，diag(V ) = (a, a) ∈ Vi⊕Vi|a ∈Viは既約表現になり Viと同値である．このように分解の仕方はたくさんある．

この subsectionで述べたことから，有限群Gの表現に対して次のことが目標となる

1. すべての既約表現を分類する．

2. 勝手な表現に対する既約分解の方法を述べる．特に，重複度を調べる．

3. 与えられた V に対して⊗kV , V ⊗ V ∗, Sk(V )などを既約分解し表現の重複度を調べる．

24

3.3 例

簡単な群に対する表現について考え，一般化するためのアイデアを探ろう．

3.3.1 有限可換群の表現

まず可換群の表現を考えよう．Gを可換群とする．V を Gの既約表現とする．g ∈ Gに対して ρ(g) : V → V は，Gが可換よりG線形写像であり，シューアの補題から gの作用は λgidになる．V の勝手な一次元部分空間W を考えると，すべての g ∈ Gはスカラー λgで作用するので，W は不変部分空間である．よって V が既約なので V は一次元である．また λgλ

′g = λgg′である．そこで，すべての一次元

表現はある準同形ρ : G→ C∗

に対応する（これは後で述べる指標にもなっている）．また有限生成アーベル群の基本定理からGは巡回群の直和となる．G = ⊕Zki ⊕ Zl（ここで kiは素数のべき乗．堀田良之「代数入門」）．今の場合には有限群なのでG = ⊕Zkiとなる．例えば，G = Zpの表現を考えると，l = 0, 1, · · · , p− 1に対して，

ρl : G = Zp ∋ k 7→ exp(2πk)l

p∈ C∗

が既約表現になり，任意の既約表現はこの方法で与えられる．またG = Zp ⊕ Zp′

なら，

ρl,l′ : G ∋ (k, k′) 7→ exp(2πkl

p+

2πk′l′

p) ∈ C∗

が既約表現になり，任意の既約表現はこの方法で与えられる

3.3.2 ３次対称群の表現

次に対称群S3の表現論をみていく．まずS3には，1次元自明表現 U および 1

次元交代表現 U ′（既約）がある．ここで U ′は

gv = sgn(g)v

で与えられる．さらに自然に考えられるものとして，3次元置換表現がある．つまりC3の標準基底を e1, e2, e3としたときに，

gei = eg(i)

で作用させる表現である．座標 (z1, z2, z3)で書けば，

g(∑

ziei) =∑

zieg(i) =∑

zg−1(i)ei

25

となるので，g(z1, z2, z3) = (zg−1(1), zg−1(2), zg−1(3))

となる．この表現は可約であり，実際 2次元空間

V = (z1, z2, z3) ∈ C | z1 + z2 + z3 = 0

がS3の不変部分空間であり，さらに既約である．これをS3の標準表現とよぶ．

Proof. V が既約であることを証明しよう．L ⊂ V を不変部分空間とすると，

L = (z1, z2, z3) | az1 + bz2 + cz3 = 0, z1 + z2 + z3 = 0

と書けるがS3不変ということから a = b = c = 0となってしまう．

さて我々の目標の一つはS3の表現の分類である．次の subsectionで一般的な道具である指標を用いるが，ここではそのアイデアを見ていくことにする．アイデアは上の例で見たように「可換群の表現論はすべて一次元表現である」という事実に注目することである．τ = (1, 2, 3) ∈ S3をとり，

A3 = ⟨τ⟩ = Z3 ⊂ S3

という可換群A3を考える（３次交代群である）．W をS3加群とする．W を A3で一次元空間へ分解する．そして，τ に対する固有ベクトルを viとし，その固有値を λiとすれば，vi = τ 3vi = λ3i viであるのでλi = ωai（ai ∈ Z）となる．ここで ω = exp(2

3πi)．つまり

W = ⊕Vi, Vi = Cvi, τvi = ωaivi,

となる．さて σ = (1, 2) ∈ S3とすれば，S3 = ⟨σ, τ⟩であり関係式は στσ = τ 2である．そこで，

τ(σ(vi)) = στ 2(vi) = ω2aiσ(vi)

となるので，σ(vi)も τ に対する固有ベクトルで固有値は ω2aiである．

1. ωai = 1なら，ω2ai = ωaiであるので，vi, σ(vi)は独立であり，

Vi = Cvi, σ(vi) ⊂ W

は 2次元S3不変部分空間となる．さらに，この表現が標準表現と同値であることを述べる．まず標準表現 V の基底として

α = (ω, 1, ω2), β = (1, ω, ω2) ∈ C3

26

を選ぶ．このとき簡単な計算で

τα = ωα, τβ = ω2β, σα = β, σβ = α

よって，Viと標準表現 V が同値である（G線形同型写像 ϕ : Vi → V が存在）がわかる．

2. ωai = 1，つまり τvi = viなら，σ(vi)と viは一次独立または一次従属のどちらもありえる．

(a) 一次従属のとき：C(vi) ⊂ W はS3不変部分空間であり，σ(vi) = viなら自明表現．σ(vi) = −viなら交代表現になる．

(b) 一次独立のとき，C(vi + σ(vi))，C(vi− σ(vi))はどちらも不変部分空間でありC(vi + σ(vi))は自明表現，C(vi − σ(vi))は交代表現であることが直接確かめられる．

命題 3.14. S3の既約表現は，１次元の自明表現 U，交代表現 U ′，２次元の標準表現 V の三種類だけである．また勝手な表現W は

W = U⊕a ⊕ U ′⊕b ⊕ V ⊕c

と分解されるが，重複度はつぎのようにしてわかる．cは τ = (1, 2, 3)の固有値 ω

の重複度である（＝固有値 ω2の重複度）．また a+ cは σ = (1, 2)の固有値 1の重複度．b+ cは σの固有値−1の重複度．（a+ bは τ の固有値 1の重複度）．

例 3.15. V を標準表現とする．V ⊗ V などの既約分解も次のようにすればわかる．α, βを V の上で述べた基底とする．α⊗α, α⊗β, β⊗α, β⊗βは τの固有ベクトルで，固有値はω2, 1, 1, ωである．さらにσ(α⊗α) = β⊗βであり，σ(α⊗β) = β⊗αである．そこで

V = Cα⊗ α, β ⊗ β, U = C(α⊗ β + β ⊗ α), U ′ = C(α⊗ β − β ⊗ α)

であり V ⊗ V = U ⊕ U ′ ⊕ V となる．

以上から，群Gの表現を分解するには，まずG内のうまい可換群の作用により，一次元固有空間に分解する．さらに，それら固有空間への残りの元の作用を見ればよい．このアイデアはリー群に対するトーラス部分群に対して使えるものである．しかし，一般の有限群に対して，うまり可換群を選ぶことは難しい．そこで次の subsectionで指標を導入する（アイデアとしての固有値を考えるという部分は同じである）．

27

3.4 指標

有限群Gの表現を理解するためのよい方法は，指標である．アイデアとしては前subsectionで述べたように，すべての元の固有値を計算することである．実際，前subsectionの例において σ, τの固有値がわかればよかった．しかし，そこまでもとめなくてもよく，実はトレース（固有値の和）だけ考えればよい．例えば，g ∈ Gに対して表現空間を固有分解したときの固有値を λiとする．このとき gkの固有値は λkである．このとき

∑λki（k = 1, · · ·）がわかれば，gの固有値を知るこ

とができる（固有多項式の係数がわかればよいのであるが，固有多項式の係数は∑λki の多項式でかける．cf. Section 2 ）．よって，すべての g ∈ Gに対して，作

用 ρ(g)のトレースを考えればよいことになる．上記の理由により，次の指標を導入する． 定義 3.5. V をG加群とする，このときG上の複素数値関数 χV を

χV (g) := tr (g)

として定義する．これを指標とよぶ．明らかに

χV (hgh−1) = χV (g)

を満たす．つまりGの共役類上で定数である，このように共役類上で定数の関数を類関数（class function）とよぶ．また指標は表現の同値類の代表元によらず同値類のみで定まる． 補足 3.16. 類関数は各共役類上の値で決まる関数である．また (Adgf)(h) = f(g−1hg)

と関数空間上に随伴表現を定義したとき，類関数は随伴作用で不変な関数のことである．

命題 3.17. V,W をG加群とする．このとき

χV⊕W = χV +χW , χV⊗W = χV χW , χV ∗ = χV , χΛ2V (g) =1

2[χV (g)

2−χV (g2)]

Proof. 最初の二つは問題ないであろう．三番目を証明する．g ∈ Gの orderを nとする．つまり gn = 1とする．このとき gの V 上での固有値を λiとすれば，V ∗

上の固有値は λ−1i iとなる．そして λni = 1であるので |λi| = 1となる．よってλ−1i = λiを得る．以上から χV ∗ = χV である．４番目の式を証明する．Λ2V の固有値は λiλj|i < jとなる．また∑

i<j

λiλj =(∑λi)

2 −∑λ2i

2

であるので，χΛ2V (g) =12[χV (g)

2 − χV (g2)]を得る．

28

補足 3.18. 上の証明において，gの固有値 λiiは |λi| = 1を満たすことがわかった．この事実をたまに使う．これは積分して表現空間にエルミート内積を入れたときに，作用がユニタリになることから導いてもよい．そして，コンパクトリー群のユニタリ表現でも，ユニタリ行列ということから固有値の絶対値は 1である．

練習問題 3.19. 次を証明せよ．

χS2(V )(g) =1

2[χV (g)

2 + χV (g2)]

例 3.20.

χΛk(V )(g)

を計算してみよう．gの固有値をλiiとすれば，λi1 · · ·λik |1 ≤ i1 < · · · < ik ≥ nが固有値である．よって，その和は k次基本対称式である．つまり，

tr Λk(V )(g) = ek =∑

1≤i1<···<ik≤n

λi1 · · ·λik

となる．そこで，ニュートンの公式を思い出す．pk = λk1 + · · ·λknとすれば，

k∑j=0

(−1)jpk−jej = (−1)k(n− k)ek

となるので，

k∑j=0

(−1)jχV (gk−j)χΛj(V )(g) = (−1)k(n− k)χΛk(V )(g)

となる．例えば，

χV (g2)− χV (g)χV (g) + nχΛ2(V )(g) = (n− 2)χΛ2(V )(g)

χV (g3)− χV (g

2)χV (g) + χV (g)χΛ2(V )(g)− nχΛ3(V )(g) = −(n− 3)χΛ3(V )(g)

となるので，

χΛ3(V )(g) =1

6(2χV (g

3)− 3χV (g2)χV (g) + χV (g)χV (g)

2)

となる．以下同様に漸化式を解いていけばよい．実際，ニュートンの公式から冪和対称式を基本対称式の多項式と具体的に書くことができるが，その公式は

ed =∑

i1+2i2+···+did=d

(−1)∑d

k=1(ik−1)

i1!1i1i2!2i2i3!3i3 · · · id!didpi11 p

i22 · · · p

idd

（証明は section 5）

29

例 3.21. 有限群Gが有限集合Xの作用しているとする．このときの随伴した置換表現を考える．このとき χV (g)は gで固定されるXの元の数の等しい（これは不動点定理（fixed-point formula）のもっとも単純な場合である）．

Proof. g ∈ Gによる軌道分解を行う．点 x ∈ Xを gの作用によって動かす．xの軌道の元の数が l個（l = 1）とする．つまり軌道は x, gx, g2x, · · · , gl−1x（glx = x）である．これに対応した部分空間Cex, · · · , egl−1xを考える．これは ⟨g⟩の作用で不変である．さらにこの基底に関する gに作用を書けば

g =

0 0 · · · 0 1

1 0 · · · 0 0

0 1 · · · 0 0...

... · · · ......

0 0 · · · 1 0

となる．このトレースは零である．また不動点の場合（軌道の元の数が 1個）には，gex = exであるので，固有値は 1である．そして gの V への表現はこれらブロックをあわせたものである．よって tr gはXの不動点の数に等しい．（トレースは基底の取り方によらないのであった）．

さて，指標は類関数であるので，その共役類での値がわかればもとまる．それを表にしたものが指標表（character table）である．ここでは Section 3.3.2 での結果から，S3の表現に対する指標表を書いてみる．

　共役類の元の数　 1 3 2

S3の共役類の代表元 1 σ = (1, 2) τ = (1, 2, 3)

自明表現 U の指標 1 1 1

交代表現 U ′の指標 1 −1 1

標準表現 V の指標 2 0 −1 = ω + ω2

この表をみてわかるように χU , χU ′ , χV は独立な関数である．そこでS3の表現W がW = U⊕a ⊕ U ′⊕b ⊕ V ⊕cとなったときに，χW = aχU + bχU ′ + cχV となる．そして独立な関数であるので，この表し方はただ一つである．つまり指標がわかれば，既約表現の重複度がわかる（一般の証明は後述）．例えば，V ⊗ V の指標(χV )

2は，指標表から (4, 0, 1)である．

(4, 0, 1) = (2, 0,−1) + (1, 1, 1) + (1,−1, 1)

となるので V ⊗ V = V ⊕ U ⊕ U ′となることがわかる．

30

3.5 自明表現への射影公式と応用

表現空間から自明表現空間への射影公式を作る．

定義 3.6. V をG加群とする．このときGの固定点集合を

V G = v ∈ V | gv = v, ∀g ∈ G

とする．これは V 内のすべての自明表現の和に一致することは明らか．

命題 3.22 (自明表現への射影公式). 次のような G上で V への作用を平均したEnd(V )の元を考える．

ϕ =1

|G|∑g∈G

g ∈ End(V ).

このとき ϕは V から V G（自明表現へ）の射影である．

Proof. ϕはG線形写像である．実際，任意の h ∈ Gに対して，∑g =

∑hgh−1で

ある．そこで自明表現への射影であることをみたい．任意の h ∈ Gに対して hϕ(w) =

ϕ(w)であること確かめる．

hϕ(w) =1

|G|∑g∈G

hgw =1

|G|∑g′∈G

g′w = ϕ(w)

である．よって ϕ(V ) ⊂ V Gとなる．逆に v ∈ V Gに対して，

ϕ(v) =1

|G|∑g∈G

gv =1

|G|∑g∈G

v = v

である．よって V G ⊂ imϕとなる．以上から ϕ : V → V Gは全射である．さらに，ϕ(ϕ(w)) = ϕ(w)であるので ϕ2 = ϕである．よって射影である．

さらに，上の ϕのトレースを取ってみると，自明表現の重複度がわかる．

系 3.23. 自明表現の重複度をmとすれば，

m = dimV G = tr (ϕ) =1

|G|∑g∈G

tr (g) =1

|G|∑g∈G

χV (g)

となる．

例 3.24. 有限群Gがベクトル空間V へ作用しているとする．このときS =∑

k Sk(V )

（Sk(V )は V の k次対称テンソル積）として，G不変元の全体 SGのポアンカレ級数を計算しよう．つまり

PSG(t) =∑k

dimSk(V )Gtk,

31

を計算する．gの V への作用を ρ(g)として，その固有値を λ1, · · · , λnとする．このとき，Sk(V )の固有値は

λi11 · · ·λinn |i1 + · · ·+ in = k

となる．そこで

PSG(t) =∑k

dim(Sk(V )G)tk =∑k

(1

|G|∑g∈G

tr k(g))tk

=1

|G|∑g

∑k

∑i1+···+in=k

λ1(g)i1 · · ·λn(g)intk

となる．一方，

1

det(id− ρ(g)t)=

n∏i=1

1

1− λi(g)t

=∑

(1 + λ1t+ λ21t2 + · · · ) · · · (1 + λnt+ λ2nt

2 + · · · ) =∑k

∑i1+···+in=k

λ1(g)i1 · · ·λn(g)intk

である．よって，

命題 3.25 (Molienの定理). 有限群Gのベクトル空間 V への表現を考える．このとき SG = ⊕Sk(V )Gのポアンカレ級数は

PSG(t) =1

|G|∑g∈G

1

det(id− ρ(g)t)

となる．

さて，V , W を既約G加群としてHom(V,W )に対して射影公式を適用してみる．まずHom(V,W )G = HomG(V,W )であったことを思い出す．そしてシューアの補題から，

dimHomG(V,W ) =

1 if V ∼= W

0 if V ≇ W

である．そこで

1

|G|∑

χHom(V,W )(g) =1

|G|∑

χV ∗⊗W (g) =1

|G|∑

χV (g)χW (g)

=dimHom(V,W )G = dimG Hom(V,W ) =

1 if V ∼= W

0 if V ≇ W

この式を書き換えるために内積などを定義しよう．

32

定義 3.7. 類関数が成すベクトル空間を

Cclass(G) := class functions on G

とする．またG上のC値関数空間C(G)に内積を

(α, β) :=1

|G|∑

α(g)β(g)

として導入する．（このノートでは，手前の方に複素共役を入れていることに注意）．

以上をまとめれば 命題 3.26 (指標の正規直交性). V , W を既約G加群とする．このとき次が成立する．

(χV , χW ) =1

|G|∑g∈G

χV (g)χW (g) =

1 if V ∼= W

0 if V ≇ W

となる．つまり既約表現たちの指標はノルム 1であり互いに直交する．特に，独立である． 系 3.27. 1. 任意の表現はその指標で決定できる．

2. 表現 V が既約であるための必要十分条件は (χV , χV ) = 1となること．

3. 表現 V 内で既約表現 Viの重複度 aiは ai = (χV , χVi)で与えられる．そして，

(χV , χV ) =∑a2i となる．

Proof. V = a1V1+· · · akVkと既約分解されたとする．このとき指標はχV =∑aiχVi

であり，χViは互いに独立であったので．

他の主張も簡単．

3.6 表現の分類

Gの左正則表現RGを考える．g(= e) ∈ Gに対してRGに固定点はない．一方e ∈ GのGへの作用の固定点はRG全体である．よって

補題 3.28. 左正則表現の指標は次のようになる．

χR(g) =

0 g = e

|G| = dimRG g = e

33

左正則表現の指標と任意の既約表現の指標を考える．

(χVi, χR) =

1

|G|∑

χVi(g)χR(g) =

1

|G|χVi

(e)|G| = dimVi

となる．つまり，任意の既約表現がRGの部分表現となっているのである． 系 3.29. Gの任意の既約表現 Viは左正則表現の中に重複度 dimViで現れる．特に，既約表現の数は有限個である．また

dimRG = |G| = χR(e) = (χR, χR) =∑i

dimV 2i

が成立する．ここで右辺の和は既約表現全体で和をとっている． 補足 3.30. χR =

∑(dimVi)χVi

であるので g = eに対して，

0 = χR(g) =∑i

(dimVi)χVi(g)

が成立する．

既約表現の個数が有限個であることがわかった，実はGの共役類の個数と一致することを見てみよう．

命題 3.31. α : G→ CをG上の関数とする．表現 V に対して，

ϕα,V =∑g

α(g)g : V → V

を考える．このとき ϕα,V がすべての表現 V に対してG線形であることと αが類関数であることは同値である．

Proof. αが類関数とする．このとき

ϕα,V (hv) =∑g

α(g)g(hv) =∑hgh−1

α(hgh−1)(hgh−1)(hv) =∑g

α(hgh−1)(hgh−1)(hv)

=h∑g

α(hgh−1)gv = h∑g

α(g)gv = hϕα,V (v)

となる．逆を証明する．すべての表現について ϕα,V がG線形であるとする．そこでGの左正則表現を考える．f(h) ∈ RGとする．G線形であることから∑

α(g)f(h−1g−1h′) =∑

α(g)(ghf)(h′) = ϕα,R(hf)(h′)

=h(ϕα,Rf)(h′) = (

∑α(g)gf)(h−1h′) =

∑α(g)f(g−1h−1h′) =

∑α(h−1gh)f(h−1g−1h′)

34

となる（最後のところで和のとり方を gから h−1ghに変えた）．そこで，∑g

(α(g)− α(h−1gh))f(h−1g−1h′) = 0

が成立する．例えば，f(h−1g0) = 1で他が零となる関数をとれば，∑g

(α(g)− α(h−1gh))f(h−1g−1) = α(g0)− α(h−1g0h) = 0

となる．そこで，fは任意のG上関数であるので，任意の g, h ∈ Gに対してα(g) =

α(h−1gh)がわかる．以上から αは類関数である． 定理 3.32. Gの既約表現の数とGの共役類の個数は一致する．また既約表現の指標全体は類関数全体Cclass(G)の正規直交基底となる．

Proof. α : G → Cを類関数として，すべての既約表現 V に対して (α, χV ) = 0とする．つまり α ∈ Cclass(G)を指標全体の空間に直交すると仮定する．このときϕα,V : V → V を考える．αは類関数であるのでG線形である．そして V は既約であるのでシューアの補題から ϕα,V = λである．さらに

(dimV )λ = tr (ϕα,V ) =∑

α(g) tr (g) =∑

α(g)χV (g) = |G|(α, χV ∗) = 0

となる．よって λ = ϕα,V = 0である．そこで左正則表現RGに対しても ϕα,R = 0

である．よって e ∈ RG に ϕα,R を作用させれば∑α(g)ge =

∑α(g)g = 0を得

る．gg∈GはRGの基底なのでα(g) = 0を得る．よってα = 0となる．以上から，Cclass(G)内での指標全体の空間の直交補空間は零である．また χV V が正規直交であることはすでに述べた．このように χV V は類関数全体の正規直交基底である．（これらはCclass(G)が有限次元だから成立する．コンパクト群などに対しては無限次元になるので，それなりに位相が必要であり，Peter-Weylの定理の系としてわかる）．さて，既約表現の指標たちがCclass(G)の正規直交基底になることがわかったので．Gの既約表現の個数はdimCclass(G)に一致することがわかる，そこでCclass(G)

の次元が共役類の数に一致することを確かめよう．共役類 [g]に対して

f[g](g′) =

1 g′ ∈ [g]

0 g′ /∈ [g]

とすれば類関数である．逆に，すべての類関数はこれらの線形結合でかける．

上の定理の書き換えるため，表現環を導入しよう．

35

定義 3.8. 群Gの表現環R(G)とは，Gのすべての表現により生成される自由アーベル群を考えて，V +W − (V ⊕W )で生成される部分群で割ったものである．完全可約性から，任意の元は∑

aiVi, Viは既約, ai ∈ Z

と書ける（マイナスも許すので仮想表現とよばれる）．さらに環構造をテンソル積で入れる． 次が先ほどの定理の書き換えである．

命題 3.33. 表現環の元から指標を対応させる次の写像は同型である．

χC : R(G)⊗ C→ Cclass(G)

さて，既約表現の数と共役類の数が一致した．それらの数をN と書けば，指標表はN ×N 行列になる．共役類を C1, · · · , CN，既約表現を V1, · · · , VNとし，対応する指標を χ1, · · · , χNとする．このとき，

δij = (χi, χj) =1

|G|∑g

χi(g)χj(g) =1

|G|∑k

|Ck|χi(Ck)χj(Ck)

となる．そこで，重み |Ck|/|G|をつけて考えれば，指標表の各行はユニタリ直交する．つまり，

cik =

√|Ck||G|

χi(Ck)

とすれば，∑

ij cikcjk = δij =∑cikcjk．一般にAA∗ = idならA∗A = idであるの

で，∑

k ckickj = δijとなり，指標表の各列がユニタリ直交となる．つまり，

δij =∑k

√|Ci||G|

χk(Ci)

√|Cj||G|

χk(Cj) =

√|Ci||Cj||G|

∑k

χk(Ci)χk(Cj)

よって，

命題 3.34 (指標表の直交性). g ∈ Gに対する共役類をC(g)とする．このとき，∑i

χi(g)χi(g) =|G||C(g)|

となる（和はすべての既約表現に対してとっている）．また g, h ∈ Gに対してC(g) = C(h)とすれば， ∑

i

χi(g)χi(h) = 0

となる．

36

3.7 射影公式

Section 3.5において，自明表現への射影公式を述べた．それを一般の既約表現の直和への射影公式へと一般化しよう．W を既約G加群として指標 χW は類関数である．そこで，G加群 V のG線形変換

ψ =1

|G|∑g

χW (g)g ∈ End(V )

を考える．特に V が既約なら ψ = λidであり，

λ =1

dimVtr ψ =

1

|G| dimV

∑χW (g)χV (g)

=

1

dimV= 1

dimWV ∼= W

0 V ≇ W

となる．よって，

命題 3.35 (射影公式). G加群 V に対して，既約分解を V = ⊕iV⊕aii とすれば，

πi :=dimVi|G|

∑χVi

(g)g ∈ End(V )

は V から V ⊕aii への射影である．

3.8 指標や射影公式の応用

指標や射影公式の応用を述べる．次の例は，何故テンソル積表現を考えるかに対する一つの答えである．

例 3.36. V を忠実な表現とする．つまり ρ : G→ GL(V )が単射．このときGのすべての既約表現は V ⊗n（n十分大）に含まれる．

Proof. ϕをある既約表現W の指標とする．また χを V の指標とする．また an =

(ϕ, χn)とする．つまり V ⊗n内の既約表現W の重複度．さらに，

∞∑n=0

antn =

1

|G|

∞∑n=0

∑C

|C|ϕ(C)χ(C)ntn =1

|G|∑C

|C|ϕ(C)1− χ(C)t

を考える．ここでCは共役類を表している．さて，V は忠実な表現であることから χ(C) = dimV となるのは C = [e]の時だけである．実際 g ∈ Gに対して χ(g) = tr gを考える．gの固有値を λ1, · · · , λn（n = dimV）とすれば |λi| = 1であった．そこでχ(C) =

∑ni=1 λi = n = dimV とな

るとすれば，|∑λi| ≤

∑i |λi| = nであり，等号が成立するにはλi = riλ1（ri ∈ R）

37

となるときであり，|λi| = 1から ri = ±1である．よって χ(C) =∑n

i=1±λ1 = n

となるには，すべての固有値が 1となるときのみであり，忠実な表現であることから g = eとなる．よって，

∞∑n=0

antn =

1

|G|dimW

1− (dimV )t+

1

|G|∑C =[e]

|C|ϕ(C)1− χ(C)t

となるが，右辺第二項において 11−dimV t

となるものは現れない．つまりこれは非自明な tの有理関数である．よって，すべての anが零ということはない．

例 3.37. 次に二つの有限群の直積群の表現がどうなるかを考察する．有限群G1, G2およびGi加群 Viを考える．V1 ⊗ V2へのG1 ×G2の作用を

(g1, g2)(v1 ⊗ v2) = g1v1 ⊗ g2v2

を線形に拡張したものとして定義する．この表現空間を V1 ⊠ V2と書くことにする（有限群Gのテンソル積表現と区別するため）．さて Viの指標を χiと書けば，G1 ×G2加群 V1 ⊠ V2に対する指標は

χ((g1, g2)) = χ1(g1)χ2(g2)

となる．

Proof. 一般に，線形変換A, Bに対して，tr(A⊗B) = trAtrBが成立する．よって

tr ((g1, g2)) = tr (g1) tr (g2)

である．

命題 3.38. V1 と V2 を既約とすれば，V1 ⊠ V2 は G1 × G2 の既約表現である．またすべてのG1 ×G2の表現はこの方法で得られる．特に，表現環の言葉でかけばR(G1 ×G2) = R(G1)⊗R(G2)となる．

Proof. V1と V2を既約とすれば，V1 ⊠ V2であることを見てみる．既約であることは (χ, χ) = 1であることを見ればよいのであった．

(χ, χ) =1

|G1 ×G2|∑

(g1,g2)∈G1×G2

χ((g1, g2))χ((g1, g2))

=1

|G1||G2|∑g2∈G2

∑g1∈G1

χ1(g1)χ1(g1)χ2(g2)χ2(g2)

=1

|G2|∑g2∈G2

(χ1, χ1)χ(g2)χ(g2)

=(χ1, χ1)(χ2, χ2) = 1.

38

次に，すべての既約表現が V1 ⊠ V2と書けることを証明する．G1×G2の左正則表現を考える．このとき V1 ⊠ V2は重複度 dimV1 ⊠ V2 = dimV1 dimV2で現れる．また

|G1||G2| = (∑i

(dimV i1 )

2)(∑j

(dimV j2 )

2) =∑i,j

(dimV i1 dimV j

2 )2 =

∑i,j

(dimV i1⊠V j

2 )2

である．一方，G = G1×G2とすれば，|G| =∑

k(dimWk)2となるが，|G1||G2| =

|G|であるので， ∑i,j

(dimV i1 ⊠ V j

2 )2 =

∑k

(dimWk)2

が成立する．明らかに V i1 ⊠V j

2 は互いに同値でない（指標を計算すればわかる）ので，Wkは V i

1 ⊠ V j2 と書ける．

次は有用である（[8]の page 164から引用）． 命題 3.39. 有限群Gの有限次元表現 V（既約とは限らない）とする．このとき指標 χV (g)は代数的整数である．ここで代数的整数とは，λ ∈ Cで，整数a1, · · · , an ∈ Zが存在して，

λn + a1λn−1 + a2λ

n−2 + · · ·+ an = 0

となるものである（leading termの係数が 1であることに注意）． まず，代数的整数について少し説明する．まず，代数的整数の和，積は代数的整数である．つまり代数的整数全体は可換環になる．

√−2や

√−1は代数的整数であ

る．しかし，πは代数的整数でない．また，有理数が代数的整数であるのは整数のときのみである．

Proof. λ = p/qを有理数として，p, qは互いに素かつ q = 1（整数でない）とする．このとき，

(p

q)n + a1(

p

q)n−1 + · · ·+ an = 0

であるので qnして，

pn = −q(a1pn−1 + a2pn−2q + · · ·+ anq

n−1)

となる．これは p, qが互いに素であることに矛盾する．

そこで，命題を証明しよう．

Proof. gの V への作用を考えて，その固有値を µ1, · · · , µN とする．有限群なのでg|G| = eとなる．そこで，µ1, · · · , µN は (µi)

|G| = 1を満たす．よって，µiは代数的整数であり，χV (g) = µ1 + · · ·+ µN も代数的整数である．

39

上の命題の応用を与えよう．

系 3.40. 有限群Gの任意の既約表現 V の次元は |G|の約数である．

補題 3.41. Section 3.10で定義するが，関数の畳み込みを

(f ∗ f ′)(g) =∑g∈G

f(gh−1)f ′(h)

として定義する．このとき既約表現の指標 χV に対して，

χV ∗ χV =|G|

dimVχV

が成立する．

Proof. Section 3.10で示すように，既約表現 V の行列成分を ρkl(g)k,lとすれば，ρkl ∗ ρpq = |G|

dimVδlpρkqとなる．この事実を使えばすぐにわかる．

Proof of 系. χV ∗ χV = |G|dimV

χV を繰り返して使えば，

χV ∗ · · · ∗ χV︸ ︷︷ ︸m+1

=|G|m

(dimV )mχV

となる．両辺の単位元での値を考えると，左辺は指標の和と積でかけるので，代数的整数である．よって

|G|m

(dimV )m−1

も代数的整数である．よって有理数 |G|m(dimV )m−1 は整数でなくてはならない．またm

は任意の自然数であるので，|G|, dimV を素因数分解して考えれば，dimV が |G|の約数であることがわかる．

3.9 行列成分，シューアの直交関係

すべての既約表現の行列成分たちが G上関数の基底となることを証明したい．そこで次の補題を必要とする．

補題 3.42. V , W を既約G加群とする．また L0 : V → W を勝手な線形写像とする．このとき

L(v) =1

|G|∑g∈G

g−1L0(gv)

としてL : V → W を定める．このとき．V ≇ W ならL = 0であり，V ∼= W ならL = tr (L0)/ dimV となる．

40

Proof. LがG線形であることを証明する．

L(hv) =1

|G|∑g∈G

g−1L0(ghv) =1

|G|∑

gh−1∈G

(gh−1)−1L0(gv)

=1

|G|h(∑g∈G

g−1L0(gv)) = hL(v).

よってシューアの補題から V ≇ W なら L = 0である．V ∼= W なら L = λidとなる．また

λ(dimV ) = tr L =1

|G|∑g∈G

tr (g−1L0g) = tr L0

となる． 命題 3.43 (シューアの直交関係). V , V ′を既約G加群とする．有限群なのでG不変エルミート内積を入れて，Gの作用がユニタリであるとする．そして表現の行列成分を ρij, ρ

′klとする（1 ≤ i, j ≤ dimV , 1 ≤ k, l ≤ dimV ′）．この

とき，

1. V ≇ V ′とすれば，

(ρij, ρ′kl) =

1

|G|∑g∈G

ρij(g)ρ′(g)kl = 0.

2. V = V ′のとき，

(ρij, ρ′kl) =

1

|G|∑g∈G

ρij(g)ρ′(g)kl =

δikδjldimV

Proof. V ≇ V ′として，V , V ′のユニタリ基底をeii, e′kkとする．補題でL0(v) =

⟨v, ei⟩e′kとする．このとき，

0 = ⟨L(ej), e′l⟩ = (1

|G|∑g∈G

ρ′(g)−1⟨ρ(g)ej, ei)e′k, e′l⟩

=1

|G|∑g∈G

⟨ρ(g)ej, ei⟩⟨ρ′(g)−1e′k, e′l⟩ =1

|G|∑g∈G

⟨ρ(g)ej, ei⟩⟨e′k, ρ′(g)e′l⟩

=1

|G|∑g∈G

⟨ρ(g)ej, ei⟩⟨ρ′(g)e′l, e′k⟩ = (ρ′lk, ρji)

となる．また V = V ′のときは，L0(v) = ⟨v, ei⟩ekとすれば，

tr L0 =∑j

⟨L0(ej), ej⟩ =∑j

⟨ej, ei⟩⟨ek, ej⟩ =∑j

δjiδkj = δki

41

となる．そこで

δkiδjldimV

=tr L0

dimVδjl = ⟨L(ej), el⟩ = (ρji, ρlk)

となる．

上の命題は，すべての既約成分の行列成分たちが互いに直交していることを述べている．特にG上の関数として一次独立であることもわかる．さらにG上関数全体の次元は

dimRG =∑i

(dimVi)2

であったので，行列成分がG上関数の直交基底となることがわかる． 系 3.44 (Peter-Weylの定理の有限群バージョン). すべての既約成分の行列成分がG上関数の直交基底となる（正規化すれば正規直交基底）． 補足 3.45. 上の命題は有限群の話なので，難しいことは必要としない．コンパクト群に対するPeter-Weylの定理は Stone-Weierstrassの定理という大道具が必要（難しくはない．大島・小林に詳しい証明が載っている）．

3.10 群環

いままでの話を有限群上関数のフーリエ変換という立場でみていこう．そこでまず．群環を定義する．

3.10.1 群環と畳み込み

有限群Gに対する群環CGについて考える． 定義 3.9. 有限群Gに対する群環CG（group algebra）とは，基底 g|g ∈ GをもつC上ベクトル空間で，環構造を

(∑g∈G

agg) · (∑h∈G

bhh) :=∑gh

agbhgh, ag, bh ∈ C

で入れたものである（よってC上代数）．ベクトル空間としては正則表現の表現空間．また群環の V 上への表現とは環準同形

CG→ End(V )

のことである． 42

例 3.46. Gの表現 ρ : G→ GL(V )があれば，自然に群環の表現 ρ : CG→ End(V )

へ拡張できる．またCG加群をGへ制限すれば，Gの表現である．またCGを左CG加群とみたものは左正則表現に対応している．

命題 3.47. 群環 CGを G上 C値関数全体 C(G)と見たとき，積は畳み込み「∗」（convolution）となる．ここで f ∗ f ′は，

(f ∗ f ′)(g) :=∑g∈G

f(gh−1)f ′(h)

とする．またG上C値関数全体C(G)は畳み込みに対して（非可換）C上代数になる．これを (C(G), ∗)と書く．

Proof. f, f ′に対応するものは∑f(h)h,

∑f ′(h)hである．これらの積は

(∑h

f(h)h)(∑k

f ′(k)k) =∑h,k

f(h)f ′(k)hk =∑g,k

f(gk−1)f ′(k)g

=∑g

∑k

f(gk−1)f ′(k)g 7→∑g∈G

f(gh−1)f ′(h).

次に代数になることみたい．結合律だけのべておこう．

((f1 ∗ f2) ∗ f3)(g) =∑h

(f1 ∗ f2)(gh−1)f3(h) =∑h,k

f1(gh−1k−1)f2(k)f3(h)

=∑k

∑h

f1(gk−1h−1)f2(h)f3(k) =

∑k

∑h

f1(gk−1(hk−1)−1)f2(hk

−1)f3(k)

=∑h,k

f1(gh−1)f2(hk

−1)f3(k) = (f1 ∗ (f2 ∗ f3))(g).

補足 3.48. G上関数 f に対して，

f ∗(g) := f(g−1)

と定義する．このとき (f ∗)∗, (f ∗ g)∗ = g∗ ∗ f ∗が成立する．このような性質を満たす複素歪線形写像 f 7→ f ∗が定義されている代数を ∗代数とよぶ．CG内で書けば，∑

f(g)f 7→∑

f(g−1)g =∑

f(g)g−1

となる．

43

定理 3.49. 次の環同型が成立する．

(C(G), ∗) ∼= CG ∼=⊕

End(Wi)

ここで右辺はGのすべての既約表現に対して和をとっている．また対応は次で与えられる，

f 7→∑g

f(g)g 7→∑i

∑g

f(g)ρi(g).

Proof. 最初の環同型はすでに述べた．二番目の環同型を証明する．Wiを既約G加群とする．これを群環の表現へ拡張して ρi : CG → End(Wi)という環準同形を得る．このとき (g, g′) ∈ G×Gに対して

CG ∋ h 7→ (g, g′)h = ghg′−1 ∈ CG,End(Wi) ∋ f 7→ (g, g′)f = ρi(g)fρi(g

′−1) ∈ End(Wi)

とすれば，どちらもG×Gの表現になる．さらに．

ρi : CG→ End(Wi)

はG×G線形である．またWiは既約なので EndWi = Wi ⊗W ∗i はG×Gの表現

として既約である．よってシューアの補題から ρiは零でないので全射となることがわかる．以上をすべての既約表現Wiについて考えれば，

ϕ : CG→⊕

End(Wi)

という全射環準同形を得る．CGは正則表現空間とベクトル空間として同型なので，次元は

∑(dimWi)

2である．よって dimCG = dim⊕End(Wi)である．全射で次元が等しいので同型となる．また環準同形であることは ϕ : CG → ⊕End(Wi)が ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h)をみたすことからわかる．

補足 3.50. 上の証明をみてわかるように，CG ∼=⊕

End(Wi)という分解はG×Gに関する群環の既約分解である．また群環の行列代数としての実現が

⊕End(Wi)

である．End(Wi)は単純であるので，群環CGが半単純代数であることがわかる．単純とは非自明な両側イデアルが存在しないこと．半単純とは単純の直和になること．

系 3.51. 群環の中心（すべての元と可換な元全体）は ∑

g α(g)g | α ∈ Cclass(G)からなる．いいかえるとCG ∼= C(G)とすれば，Cclass(G) ⊂ C(G)が畳み込みに関して中心になる．

44

Proof. 群環の中心はGの随伴作用による不変元であることは明らか．そこで

h(∑

a(g)g)h−1 =∑

a(g)hgh−1 =∑

a(h−1gh)g =∑

a(g)g

よって．a(h−1gh) = a(g)となり，a(g)は類関数である．

3.10.2 群環と行列成分

上の命題および系のいろいろな見方を述べよう．

1. まず既約表現Wiの行列成分 ρkli ∈ C(G)を考える（すべてユニタリ表現としておく）．これを

⊕End(Wi)へ対応させると，

C(G) ∋ ρkli 7→∑

ρkli (g)gϕ−→∑j

∑g

ρkli (g)ρj(g) ∈⊕j

End(Wj)

となる．ここで ρj =∑ρpqj E

jpq（Epqは (p, q)成分が 1で他が零の行列）と表

示する．またWiの双対表現の行列成分を ρpqi∗ (g) = ρqpi (g−1) = ρpqi (g)とする（最後はユニタリであることから．またW ∗

i の基底としてはWiの基底の双対基底を取っていることに注意．その基底に関して行列成分を書いている）．そこで，行列成分の直交関係式から，

ρkli 7→∑j

∑g

ρkli (g)ρj(g) =∑p,q

∑g

ρkli (g)ρpqi∗ (g)E

i∗

pq =|G|

dimWi

∑p,q

δkpδqlEi∗

pq

=|G|

dimWi

Ei∗

kl ∈ End(W ∗i ) ⊂

⊕j

End(Wj)

となる．このようにして，既約表現Wiの行列成分 ρkli (g)は行列環End(W ∗i )

の基底であるEklに対応していることがわかる．

例えば，行列成分同士の畳み込みは計算しなくてもわかる．

ρkli ∗ ρpqi =

|G|dimWi

δlpρkqi 7→ (

|G|dimWi

Ei∗

kl)(|G|

dimWi

Ei∗

pq) =|G|

dimWi

δlpEi∗

kq.

本当に畳み込みが上のようになるかを見ておこう．

ρkli ∗ ρpqi (g) =

∑h

ρkli (gh−1)ρpqi (h) =

∑h

∑s

ρksi (g)ρsli (h−1)ρpqi (h)

=∑h

∑s

ρks(g)iρlsi (h)ρpqi (h) =

|G|dimWi

∑s

ρksi (g)δlpδsq =|G|

dimWi

ρkqi (g)δlp

となる．

45

2. 中心についても見ておこう．上の系からわかるように Cclass(G)は畳み込みに関してC(G)の中心になる．よって α, β ∈ Cclass(G), f ∈ C(G)とすれば，

α ∗ β ∈ Cclass(G),

α ∗ f = f ∗ α

が成立する．つまり類関数全体は畳み込みで閉じていて，すべての関数と可換である．また，α∗f = f∗αはα(g) = α(hgh−1)であることと同値である．また命題3.31を思い出そう．

∑α(g)g ∈ CGに対して，すべての既約表現に対して

G線形であることとαが類関数であることは同値であった．そこでαを類関数の⊕

End(Wi)への像は，シューアの補題を使えば，∑λiidWi

∈⊕

End(Wi)

となることを意味する．これは，まさに行列環⊕

End(Wi)の中心である．

3. 類関数として指標を考える．指標 χWjに対して，以前見たように

πj :=dimWj

|G|∑g

χWj(g)g

はWjへの射影行列である．よってW ∗j に対する指標 χW ∗

jは⊕

End(Wi)内でWjへの射影行列となっている．

また補題 3.41で述べたように，χWj∗ χWj

= |G|dimWj

χWjが成立した．これよ

り πj ∗ πj = πjとなることもわかる．またχWi∗χWj

= 0（i = j）となる．つまり V , W を既約とすれば，

χV ∗ χW =

0 V ∼= W|G|

dimVV ∼= W

が成立する．

3.10.3 群環と既約表現

群環CG内にはすべての既約表現が現れるのであった．W をCG内の任意の部分表現とすれば，それはCGW ⊂ W と同値なので，部分表現W はCG内の左イデアルに対応する．完全可約性から

CG =W ⊕W ′

と左イデアルの分解が存在する．単位元 e ∈ Gを，この分解に対して，

e = w + w′ ∈ W ⊕W ′

と分解する．直和なので，このような分解は唯一つである．つまりw,w′は唯一つである．左イデアルであることから，x ∈ CGに対して，

x = xw + xw′ ∈ W ⊕W ′

46

となる．よって x ∈ W なら x = xwが成立する．特にw = w2，ww′ = 0 = w′wとなる．以上から，wは冪等であり，W は左イデアルCGwとなる．また

CG ∋ x 7→ xw ∈ W

は射影を与える．逆に冪等元wがあるとする．このときW = CGwとすれば，Gの表現空間である．そして

e = w + (e− w)

とすれば，(e−w)2 = e+w2 − 2w = e−wであるので e−wは冪等元である．そして

CG = CGw + CG(e− w)

となる．（冪等元でなくても，勝手なa ∈ CGに対してCGaはGの表現空間である）．またW が既約表現ならW は最小の左イデアルであることを意味する．そこで，対応する冪等元wは直交冪等元の和に分解されない．つまり

w = w1 + w2, w21 = w1, w2

2 = w2, w1w2 = w2w1 = 0

ならw = w1またはw = w2となる．このような冪等元を原始的とよぶ． このように有限群の G内の既約表現を求める問題は，CG内の最小イデアルをもとめる問題に同値であり，CG内の原始的冪等元をもとめる問題に同値である． 例 3.52. a =

∑agg ∈ CGに対して，

a∗ =∑

agg−1

と定義すれば，これはCG内の自己歪同型（b∗a∗ = (ab)∗）であるが，w ∈ CGを（原始）冪等元とすれば，w∗も（原始）冪等元である．対応するイデアルをCGw, CGw∗に対して，双線形形式を

⟨a, b⟩ = ab∗における eの係数

と定めれば非退化であり，(CGw)∗ = CGw∗ であり，⟨ga, b⟩ = ⟨a, g−1b⟩となる．よってG加群としても双対的になる．

例 3.53. wをCGの冪等元として，対応する表現をW = CGwとする．E = wCGwとすると，これは代数となる．このとき代数として，

E = wCGw ∼= HomCG(W,W ) = HomG(W,W )

となる．

47

Proof. ϵ, ϵ′ ∈ E = wCGwとすると，wが冪等元なので，ϵϵ′ ∈ Eであることがわかる．よって代数である．またWE ⊂ W もわかるので，W は右 E加群である．特に，E ⊂ Hom(W,W )であり，GとEの作用は，

(G× E)×W ∋ ((g, ϵ), v) 7→ gvϵ ∈ W

となるので，Gの作用と Eの作用は可換である．よって E ⊂ HomG(W,W )となる．具体的には次のようにする．ϵ ∈ Eに対して，ϕϵ ∈ HomG(W,W )を，

ϕϵ(x) = xϵ

として定める．さらに，ϕϵϕϵ′(x) = xϵ′ϵ = ϕϵ′ϵ(x)

であるので，E ∋ ϵ 7→ ϕϵ ∈ HomG(W,W )

は歪準同形である．逆に ϕ ∈ HomG(W,W )に対して，ϕ(w) = ϵ ∈ CGwとする．このとき，x ∈ W = CGwに対して，x = xwであるので，

ϕ(x) = ϕ(xw) = xϕ(w) = xϵ

となる．特に，ϵ = ϕ(w) = wϵ ∈ wCGwとなる．つまり, ϵ ∈ E となる．また，ϕ(w) = ϵ, ψ(w) = ϵ′とすれば，

ϕψ(w) = ϕ(ϵ′) = ϕ(ϵ′w) = ϵ′ϕ(w) = ϵ′ϵ = ψ(w)ϕ(w)

であるので，HomG(W,W )→ Eも歪準同形である．さらに，上で作った写像は互いに逆写像であることがわかるのでHomG(W,W ) ∼= Eとなる．次のように証明してもよい：CG = CG⊗CG CGであるので，

E = wCG⊗CG CGw = W ∗ ⊗CG W

となるのでE = HomG(W,W )である．ここで，wCG ∼= W ∗であることを見ておこう．先ほどの例を考えると，

Φ : wCG ∋∑

ahh 7→∑

ahh−1 ∈ CGw∗

という写像を考えると，これはG線形同型であることがわかる．実際，

gΦ(∑

ahh) =∑

ahgh−1 =

∑ah(hg

−1)−1 = Φ((∑

ahh)g−1)

であるので．

上で述べたように，既約表現を探すには，原始的冪等元をもとめる問題になるのであった．一般の有限群では，そう簡単にはいかないが，対称群Sdに対してはそれを実行することができる（Section 4）．

48

3.11 フーリエ変換

この subsetionの話は後で必要ないので，飛ばして読んでかまわない．環同型CG ∼=

⊕End(Wi)のフーリエ変換としての見方を論ずる．まず，ふつう

のフーリエ変換を思い出そう．

例 3.54 (S1の場合). S1を可換群とみなす．この既約ユニタリ表現はすべて 1次元表現であり，

ρn : S1 ∋ eiθ 7→ einθ ∈ C∗, n ∈ Z

で与えられる（練習問題）．群Gの既約ユニタリ表現全体（正確には同値類全体）を Gと書く（Gのユニタリ双対とよぶ）ことにすれば，

S1 = Z = ρn|n ∈ Z

となる．また，すべて一次元表現であるので，既約表現の行列成分＝既約表現の指標となる．そして行列成分の直交関係（指標の直交関係）は，

(χm, χn) =1

2π

∫ 2π

0

einθe−imθdθ =

1 (n = m)

0 (n = m)

このとき L2(S1)のフーリエ変換とは

f 7→ f(n) =1

2π

∫ 2π

0

f(θ)e−inθdθ = (χn, f)

である．（このこと及び先ほどの直交関係から einθn∈Zが L2(S1)の正規直交基底になることを意味する）．このフーリエ変換は

f : G ∋ n 7→ f(n) ∈ C

とかけば，フーリエ変換したものは G上の関数である．またフーリエ逆変換公式（フーリエ展開）は

f(θ) =∑n∈Z

f(n)einθ

となる．さらにPlancherel（プランシュレル）の公式

1

2π

∫ 2π

0

|f(θ)|2dθ =∑n∈Z

|f(n)|2

が成立した．上のフーリエ変換は，前 subsectionのC(G)→ ⊕End(Wi)という写像で用いた，

f 7→∑g∈G

f(g)ρi(g), （ρiはWiの表現）

49

に非常に似ている．特にトレースを取れば，

G ∋ ρi 7→∑g∈G

f(g) tr (ρi(g)) =

∫G

f(g)χWi(g)dg ∈ C.

となりユニタリ双対上の関数を得る．ただし，S1のフーリエ変換は双対を取っていることに注意．つまり

S1 ∋ n 7→∫S1

f(θ)χn(θ)dθ

2π∈ C

となっている．

例 3.55 (R1の場合). R1を可換群とみなす．既約ユニタリ表現は 1次元表現であり，ξ ∈ R1に対して，

ρξ : R ∋ x 7→ eixξ ∈ U(1) ⊂ C∗

として与えられる．よってRのユニタリ双対は

R = ξ ∈ R ∼= R

となる．行列成分の直交関係（指標の直交関係）は，

(χξ, χη) =1

2π

∫Reixξe−ixηdx = δ(ξ − η) =

1 (ξ = η)

0 (ξ = η)

R上の急減少関数全体を S(R)と書けばR上のフーリエ変換は

S(R) ∋ f 7→ f(ξ) =1

2π

∫Rf(x)e−ixξdx = (χξ, f) ∈ S(R)

である．またフーリエ逆変換公式は

f(x) =

∫Rf(ξ)eixξdξ

となる．さらに Plancherelの公式

1

2π

∫R|f(x)|2dx =

∫R|f(ξ)|2dξ

が成立する．

上の例をみればわかるように，フーリエ変換とは，ある関数をユニタリ双対上の関数へと変換するものである．そして，フーリエ逆変換とは，関数をすべての既約成分の行列成分らで展開するものである．上の場合には，既約表現は 1次元表現であったので行列成分は指標に一致した．そして指標は表現の同値類のみで定

50

まる関数である．その意味ではフーリエ展開は唯一つである．さて，これを有限群上関数のフーリエ変換に拡張したいが，少し問題がある．すでに見たようにG

上関数全体C(G)の正規直交基底としては，すべての既約表現の行列成分である．よって可換群でないなら指標で展開することは出来ない（可換群なら指標と行列成分が一致した）．ただし，類関数は指標を基底として持っていたので，類関数は指標で展開できる（可換群ならすべての関数が類関数である）．また，既約表現は1次元以上であることもあるので，それなりに工夫する必要がある．そこで次のようにフーリエ変換を定義する． 定義 3.10 (作用素値フーリエ変換). Gの表現 ρ : G→ GL(V )を考える．またf ∈ C(G)とする．このとき End(V )値フーリエ変換とは

f(ρ) :=∑g∈G

f(g)ρ(g).

特に，V として既約表現 (ρi,Wi)をとれば，

f(ρi) :=∑g∈G

f(g)ρi(g) ∈ End(Wi)

となり，さらにすべての既約表現の和 (⊕ρi,⊕Wi)の場合には

C(G) ∋ f 7→ f(⊕ρi) =∑i

∑g∈G

f(g)ρi(g) ∈⊕

End(Wi)

となる．これは定理 3.49 で与えたものに一致している． さらに，フーリエ変換がユニタリ双対 G上の関数となるように次のようなフーリエ変換を定義する． 定義 3.11 (スカラー値フーリエ変換). G上の関数 f のスカラー値フーリエ変換をつぎのように定義する．

f 7→ f(ρi) =∑g∈G

f(g)χWi(g) ∈ C

（これは同値類の代表元のとり方によらず，well-definedである）． 例 3.56. C(G) ∼= ⊕End(Wi)の対応から，作用素値フーリエ変換に対して次が成立することはすでに証明した．

f ∗ f ′(ρ) = f(ρ)f ′(ρ).

51

例 3.57. f として既約表現W の指標 χW (g)をとる．このとき

χW ([Wi]) =

|G| Wi

∼= W ∗

0 Wi ≇ W ∗

よって，

χW (g) =1

|G|∑i

χW ([Wi])χW ∗i(g)

となる．もちろんこれは類関数に対しても成立する．これが S1やR1のフーリエ逆変換に対応するものである．

一般の関数に対する逆変換公式を得るたい．そこで，スカラー値フーリエ変換をユニタリ双対 G上で「重み（次元）をつけて積分」したものを考える．∑

i∈G

dimWi

∑g∈G

f(g)χWi(g) =

∑i∈G

dimWif([Wi]).

（この重みつきの測度をプランシュレル測度という）．このとき，左正則表現の指標 χR(g)を使って，∑

g∈G

f(g)∑i

dimWiχWi(g) =

∑g

f(g)χR(g) = |G|f(e)

となる．さらに，この f(g)を fh(g) := f(gh)という関数で置き換えれば，

f(h) =1

|G|∑g∈G

f(gh)∑i

dimWiχWi(g) =

1

|G|∑i

dimWi

∑g∈G

f(gh)χWi(g)

=1

|G|∑i

dimWi

∑k∈G

f(k)χWi(kh−1) =

1

|G|∑i

dimWi tr (∑k

f(k)ρi(k)ρi(h−1))

=1

|G|∑i

dimWi tr (ρi(h−1)f(ρi))

となる．これが有限群上の関数に対するフーリエ逆変換公式となる．ここで最後の項における f は作用素値フーリエ変換である．作用素値フーリエ変換は同値類の代表元の取り方に依存するし，ρiそのものもとり方に依存する．しかし，上ではトレースを取っているので，上の展開は代表元のとり方に依存しない．さらにプランシュレル公式も導いておこう．f ∗(g) = f(g−1)とする．このとき

f ∗ f ∗(e) =∑

f(g)f ∗(g−1) =∑

f(g)f(g) =∑g

|f(g)|2

一方，上のフーリエ逆変換公式で f を f ∗ f ∗に置き換えれば

f ∗ f ∗(e) = 1

|G|∑i

dimWi tr (ρi(e)f ∗ f ∗(ρi)) =1

|G|∑i

dimWi tr (f(ρi)f ∗(ρi))

52

以上から次の有限群上の関数に対するプランシュレルの公式を得る．∑g

|f(g)|2 = 1

|G|∑i

dimWi tr (f(ρi)f ∗(ρi))

補足 3.58. すべての既約表現の行列成分は正規化すればC(G)の直交基底になるのであった（(ρij, ρkl) = δikδjl/ dimV）．そこで先ほどとの対応を見ておけば，

f(h) =1

|G|∑i

dimWi

∑kl

∑g

ρkli∗(g)f(g)ρkli∗(h) =

∑i

dimWi

∑kl

∑g

ρlki (g−1)f(g)ρlki (h

−1)

=∑i

dimWi

∑kl

∑g

ρkli (g)f(g)ρlki (h

−1) =∑i

dimWi

∑g

f(g) tr (ρi(g)ρi(h−1))

=∑i

dimWi tr (ρi(h−1)f(ρi))

となる．この式の一行目の展開は，行列成分による展開であるが，この展開はWi

の基底の取り方（よって同値類の代表元のとり方にも）依存している．しかし，最後の等式では，同値類の代表元のとり方に依存していない．その意味で展開はただ一つである．

3.12 誘導表現とフロベニウス相互律

有限群Gの部分群Hを考える．V をGの表現として，これをHへ制限したものをResGHV とかく．この章では，逆にHの表現からGの表現を構成する方法を紹介する．G加群 V を考えてW ⊂ V をH不変な部分空間とする．つまりHW ⊂ W とする．gW = gw|w ∈ Wとしたとき，gHW = gW であるので，G/H の元 σを取ってきて，gW を σW と書くことにする．

定義 3.12. 表現 V がW から誘導される（誘導表現）とは，

V =⊕

σ∈G/H

σW

となること．つまり V の任意の元は σWσ∈G/H の元の和として書け，その書き方は唯一つであること．このとき V = IndG

HW = IndW と書く．

補足 3.59. V = IndGHW = ⊕σW となるとき，これをHへ制限したとしてもW の

直和になるとは限らない．実際 σW へHを左からかけても不変とは限らない．もちろん，少なくも一つはH加群W が現れることはわかる．

例 3.60. G/H へのGの作用を考えて，随伴した置換表現 V を考える．これはH

の自明表現から誘導される．

53

Proof. 表現空間 V の基底は eσ|σ ∈ G/Hである．またW = CeH とする．このとき eσ = σeH であるので，V = ⊕σ∈G/HσW となる．

例 3.61. Gの正則表現RGはHの正則表現RH から誘導される．

Proof. RGの基底は eg|g ∈ Gであった．一方，RHの基底は eh|h ∈ Hである．そこで g ∈ Gに対して，eg ∈ gRH = σRH である．これより誘導されることがわかる．

命題 3.62. 有限群Gの部分群Hを考える．Hの表現W に対して，あるGの表現V が存在して V = IndG

HW となる．さらにこのような V は（同型を除いて）唯一つである．群環の言葉を使って書けば，

IndW = CG⊗CH W

である．ここでGの作用は g(g′ ⊗ w) = gg′ ⊗ wで定義している．また，W = ⊕Wiなら IndW = ⊕IndWiとなる．

Proof. まず構成からみる．σ ∈ G/Hの代表元 gσ ∈ Gを選んでおく．H ∈ G/Hの代表元は eとしておく．各 coset σ ∈ G/Hに対してW のコピーW σを考える．つまりW ∋ w 7→ gσw ∈ W σと対応させる．さて V = ⊕W σというベクトル空間を考える．V の元は v =

∑gσwσ（wσ ∈ W）という表示をもち，この表示は唯一つ

である．g ∈ Gに対して，[ggσ] = τ ∈ G/Hとしたとき ggσ = gτhとなる h ∈ Hが存在する（ここで gτ はすでに選んであるので，このような h ∈ Hは唯一つに決まる）．そこで

g(gσwσ) := gτ (hwσ) ∈ W τ ⊂ W

と定義する．これが V への作用になることを確かめよう．g′ ∈ Gに対して g′gτ =

gρh′とする．このとき

g′(g(gσwσ)) = g′(gτ (hwσ)) = gρ(h′(hwσ))

一方，(g′g)gσ = g′(ggσ) = g′gτh = gρh′hであるので，

(g′g)(gσwσ) = gρ((h′h)wσ) = gρ(h

′(hwσ))

となる．以上から V = IndGHW が構成できた．

次に唯一つであることを証明する．V ′ = IndGHW とする．このとき V ′の任意の

元は v =∑gσwσ（wσ ∈ W）という形をしている．もちろん gσは上で選んだ代表

元である．そこで g ∈ Gに対して，ggσ = gτhと書ける．そして，

g(gσwσ) = (ggσ)wσ = (gτh)wσ = gτ (hwσ)

となる．これは上で構成した V の作用と全く同じである．よって IndGHW は唯一

つである．またW = ⊕Wiなら IndW = ⊕IndWiであることは明らか．

54

補足 3.63. 任意のGの表現 V が誘導表現とはかぎらないことに注意．また誘導表現の存在は IndW ⊕W ′ = IndW ⊕ IndW ′がわかっているなら，次のようにして証明できる．RH =

∑W⊕ dimWi

i とする．RG = IndRH はすでにのべた．

RG = IndRH = Ind⊕i W⊕ dimWii = ⊕i(IndWi)

⊕dimWi

であるので，任意のHの既約表現Wiに対する誘導表現の存在がわかる．よって任意のHの表現に対する誘導表現の存在がわかる．（これは，RG内には任意の既約表現Viが含まれるが，それが誘導表現となるとは言っていない．例えば，IndW = Vi⊕Vjとなることがありえる）

例 3.64. H ⊂ K ⊂ Gという部分群の列を考える．またW をHの表現とする．このとき

IndGH(W ) = IndG

K(IndKHW )

が成立する．

Proof. IndKH = CK ⊗CH W である．よって

IndGH(W ) = CG⊗CH W = CG⊗CK (CK ⊗CH W ) = IndG

K(IndKHW )

となる．

例 3.65. 誘導表現は次のようにして幾何学的に構成できる．W をH ⊂ Gの表現空間とする．このとき

IndW ∼= HomH(CG,W ) ∼= f : G→ W | f(gh) = h−1f(g), h ∈ H, g ∈ G

ここで，作用は F ∈ HomH(CG,W )への作用は (g′F )(∑agg) = F (

∑aggg

′)である．また，H同変W 値関数空間への作用は (g′f)(g) = f(g′−1g)である．

補足 3.66. 右辺は次のような意味である．G/H上のベクトル束として，

SW = G×H W 7→ G/H.

を考える．このとき切断全体の空間を Γ(SW )とすれば，

Γ(SW ) = f : G→ W | f(gh) = h−1f(g), h ∈ H, g ∈ G

となる．

Proof. まず，F ∈ Hom(CG,W )への Gの作用は (g′F )(∑agg) = F (

∑aggg

′)と定義する．実際，このとき (g′F )(h

∑agg) = F (

∑aghgg

′) = hF (∑aggg

′) =

h((g′F )(∑agg))となり g′F ∈ HomH(CG,W )となる（このように右からの作用

で行う必要がある）．

55

また，二番目の対応は，F : CG → W に対して f(g) := F (g−1)とすればよい．このとき f(gh) = F ((gh)−1) = h−1F (g−1) = h−1f(g)を満たす．逆に条件を満たす f : G→ W に対して，F (

∑agg) :=

∑agf(g

−1)とすれば，

h(F (∑

agg)) =∑

aghf(g−1) =

∑agf(g

−1h−1) =∑

agF (hg) = F (h∑

agg)

となる．そこで IndW ∼= HomH(CG,W )であることを確かめよう．各 σ ∈ G/H に対して代表元 gσ ∈ Gを選んでおく．このとき F ∈ HomH(CG,W )に対して，

Φ : HomH(CG,W ) ∋ F 7→∑

σ∈G/H

gσ ⊗ F (g−1σ ) ∈ CG⊗CH W = IndW

という線形写像を定義する．まず，これが well-definedであることを証明しよう．他の代表元をとった場合には g′σ = gσhと書けるので，∑

σ∈G/H

g′σ ⊗ F ((g′σ)−1) =∑

σ∈G/H

gσh⊗ F (h−1g−1σ )

=∑

σ∈G/H

gσ ⊗ hF (h−1g−1σ ) =∑

σ∈G/H

gσ ⊗ F (g−1σ ).

となり，well-definedである．次にΦがG線形であることを見てみる．

Φ((g′F )) =∑

gσ ⊗ (g′F )(g−1σ ) =∑

gσ ⊗ F (g−1σ g′)

そこで g′gσ = gτhとすれば，

g′Φ(F ) =∑σ

g′gσ ⊗ F (g−1σ ) =∑τ

gτh⊗ F ((g′−1gτh)−1) =∑τ

gτ ⊗ F (g−1τ g′)

となる．以上からΦはG線形であることもわかる．このΦの逆写像を作ろう．v =

∑gσ⊗wσに対して，Ψ(v)(hg−1σ ) := Fv(hg

−1σ ) =

hwσと定義する．これより Fv ∈ Hom(CG,W )へ拡張できる．実際，g ∈ σとすれば，g = gσhとかけるので g−1 = h−1g−1σ となる．よって，任意の元 g′は g′ = hg−1σ

という表示をもつ．このとき Fv(h

′hg−1σ ) = (h′h)wσ = h′(hwσ) = h′Fv(hg−1σ ) となるので Fv ∈

HomH(CG,W )である．さらに

Φ(Ψ(v)) =∑

gσ ⊗ Fv(g−1σ ) =

∑gσ ⊗ wσ,

であるのでΦΨ = id．また

(ΨΦ(F ))(hg−1σ ) = Ψ(∑

gσ ⊗ F (g−1σ ))(hg−1σ ) = hF (g−1σ ) = F (hg−1σ )

であるのでΨΦ = idである．

56

さて，次に誘導表現の指標を考えたい．H加群Wに対する表現行列をTとして，上のように代表元gσi

σi∈G/H（|G/H| =n）を選んでおく．また g−1σi

ggσj/∈ Hのときに T (g−1σi

ggσj) = 0と定めておく．この

とき誘導表現の表現行列は

g 7→

T (g−1σ1ggσ1) · · · T (g−1σ1

ggσn)...

. . ....

T (g−1σnggσ1) · · · T (g−1σn

ggσn)

となる．この表示から IndW の指標を計算してみよう．g−1σi

ggσi∈ Hとなるための

必要十分条件は gσi = σiである．そこで，

χIndW (g) =∑

i such that gσi = σi

χW (g−1σiggσi

),

となる．具体的には次のようになる（後で有用）． 命題 3.67 (誘導表現の指標). C をGのある共役類とする．また C ∩ H がH

の共役類D1, · · · , Drに分解されたとする．W をHの表現とする．このとき

χIndW (C) =|G||H|

r∑i=1

|Di||C|

χW (Di)

が成立する．特に，W が自明表現なら

χIndW (C) =|G/H||C|

· |C ∩H|

Proof. まず，c ∈ Cとすれば，gcg−1 ∈ Cである．よって c ∈ C∩Hに対して，c ∈ Cにより，hch−1 ∈ C（∀h ∈ H）であり，c ∈ Hよりhch−1 ∈ Hである．よってC∩HにHが随伴で作用することができる．そこで軌道を考えれば，C∩H = D1∪· · ·∪Dr

である．C ∩H = ∅の場合には，g ∈ Cとして，g−1σ ggσ ∈ Cであるが，g−1σ ggσ ∈ Hとなることは無いので，上の行列表示において T (g−1σ ggσ) = 0となる．この場合にはχIndW (C) = 0となる．そこで C ∩H = ∅の場合を考える．上のことから C ∩H = D1 ∪ · · · ∪Drとする．またG/H = H, gσ1H, · · · , gσnHとする．指標は類関数であるので，共役類上での値は変わらない．よって，

χIndW (C) =1

|C|∑g∈C

χIndW (g) =1

|C|∑g∈C

∑i such that gσi = σi

χW (g−1σiggσi

),

57

となる．またg−1σiggσi∈ Hのときのみ和をとるのであるが，このときは g−1σi

ggσi∈ C

であるので，g−1σiggσi∈ H ∩Cとなる．つまり，g−1σi

ggσi∈ Dkとなる kが存在する．

また g−1σiggσi

/∈ Hのときは，g−1σiggσi∈ Cとなるが，g−1σi

ggσi/∈ Dk（∀k）となる．

さて，χW はDkで同じ値をとる．そこで，和を∑g∈C

∑i such that gσi = σi

でとったときに，何回 g−1σiggσi

∈ Dk（i = 1, · · · , n, g ∈ C）となるかを数える，その数は n|Dk| = |G|

|K| |Dk|である．実際，σiを固定して g−1σiggσi|g ∈ Cを考えた

とき，C ∋ g 7→ g−1σi

ggσi∈ C

は全単射であるので，|Dk| = #(g−1σiggσi|g ∈ C ∩ Dk)である．さらに，これを

i = 1, · · · , nと動かすので，n倍すれば，上の和においてχW (Dk)という値をn|Dk|回とることになる．よって，

1

|C|∑g∈C

χIndW (g) =1

|C|∑g∈C

∑i such that gσi = σi

χW (g−1σiggσi

) =|G||H|

1

|C|

r∑k=1

|Dk|χW (Dk)

となる．またW が自明表現のときは χW (Dk) = 1であり，∑|Dk| = |C ∩H|であ

るので，

χIndW (C) =|G/H||C|

· |C ∩H|

となる．

次にフロベニウスの相互律について述べたい．フロベニウス相互律とは誘導表現と制限表現と関係をのべたものである．W に対して IndW が唯一つ定まり，W = ⊕Wiなら IndW = ⊕IndWiであるので，表現環の群準同形

Ind : R(H) ∋ W 7→ IndGHW ∈ R(G)

を得たことになる（一般に環準同形にはなるとは限らない）．さらに逆方向の写像（逆写像ではない）は環準同形

Res : R(G) ∋ V 7→ ResGHV ∈ R(H)

である．

例 3.68. Gの表現 U 及び，Hの表現W を考える．このとき

U ⊗ IndW = Ind(Res(U)⊗W )

が成立する．特に，W を自明表現とすれば，Ind(Res(U)) = U ⊗ P となる．ここで P はGのG/Hへの作用に随伴した置換表現である．

58

Proof. 線形同型写像

Φ : U ⊗ IndW ∋ u⊗ gσ · wσ 7→ gσ · (g−1σ u⊗ wσ) ∈ Ind(Res(U)⊗W )

がG線形であることを確かめばよい．g ∈ Gを [ggσ] = τ ∈ G/Hとすれば，ggσ =

gτhとなる hがただ一つ定まる．そして誘導表現への作用を

gΦ(u⊗ gσ · wσ) = g(gσ · (g−1σ u⊗ wσ)) = gτ · (hg−1σ u⊗ hwσ)

と定めるのであった．一方，

g(u⊗ gσ · wσ) = gu⊗ gτ · hwσ

となる．そこで

Φ(g(u⊗ gσ · wσ)) = Φ(gu⊗ gτhwσ) = gτ · (g−1τ gu⊗ hwσ) = gτ · (hg−1σ u⊗ hwσ)

以上からG線形であることがわかった．

誘導表現で重要なフロベニウスの相互律を述べるために次の命題が必要である．

命題 3.69. W をH加群として．U をG加群とする．このとき，ベクトル空間としての同型

HomH(W,ResU) = HomG(IndW,U)

が成立する．つまりH線形写像ϕ : W → U = Res(U)はG線形写像 ϕ : IndW → U

へと一意的に拡張できる（拡張とはW ⊂ IndWへ制限したらϕになることである）．

Proof. IndW = ⊕σ∈G/HσW とする．ϕ ∈ HomH(W,ResU)を考える．この写像をIndW → U へと拡張する．σW 上で ϕを

ϕ : σWg−1σ−−→ W

ϕ−→ Ugσ−→ U, (ϕ(gσw) = gσϕ(w))

として定義する．ここで [gσ] = σ ∈ G/H．このとき，これが gσのとり方に依らないこと，G線形であること，一意性を証明すればよい．まず g′σ = gσhとして，ϕ′ = g′σϕ(g

′σ)−1とすれば，

ϕ′(gσw) = gσhϕ((gσh)−1gσw) = gσhh

−1ϕ(gσw) = ϕ(gσw)

となるので代表元のとり方によらない．またG線形であることは，ggσ = gτhとすれば，

ϕ(ggσw) = gτϕ(g−1τ gτhw) = gτϕ(hw) = gτhϕ(w) = ggσϕ(w) = gϕ(gσw)

となることからわかる．

59

次に拡張の一意性．ϕ : W → U の拡張 ϕ′ : IndW → U が存在したとする．しかし ϕ′(gσw) = gσϕ

′(w) = gσϕ(w)となるので，これは ϕと一致する．よって拡張は一意的である．またϕ : W → U , ϕ′ : W → Uが在ったときに，その拡張が ϕ = ϕ′ : IndW → Uであるとする．このときWへ制限すればϕ = ϕ′となる．以上からHomH(W,ResU)→HomG(IndW,U)が単射であることがわかった．全射はG線形写像Φ : IndW → U

に対して，Φ|W : W → Uを考えれば，この拡張が存在するが一意性からΦである．

系 3.70 (Frobenius Resiprocity（フロベニウス相互律）). W をH加群，U をG加群とする．このとき

(χIndW , χU)G = (χW , χResU)H

が成立する．これは，W，U を既約とすれば，IndW 内のU の重複度はResU

内でのW の重複度に一致することを意味する． Proof. Ind⊕Wi = ⊕IndWi, Res⊕Ui = ⊕ResUi及び直和表現の指標の公式を使えば．W,Uをどちらも既約として構わない．既約とすれば，左辺は dimHomG(IndW,U)

に一致し，右辺は dimHomH(W,Res(U))に一致する．よって前命題から成立する．

例 3.71. S2 ⊂ S3を考える．S2の既約表現は自明表現 U2及び，一次元交代表現U ′2である．またS3の既約表現は自明表現 U3, 交代表現 U ′3, 基本表現 V2である．ResU3 = U2, ResU

′3 = U ′2, ResV3 = U2 ⊕ U ′2である（これは単に作用を考えてもい

いし，指標を使ってもわかる）．そこで，フロベニウス相互律から

(χIndU2 , χU3) = (χU2 , χResU3) = 1, (χIndU ′2, χU3) = (χU ′

2, χResU3) = 0,

(χIndU2 , χU ′3) = (χU2 , χResU ′

3) = 0, (χIndU ′

2, χU ′

3) = (χU ′

2, χResU ′

3) = 1,

(χIndU2 , χV3) = (χU2 , χResV3) = 1, (χIndU ′2, χV3) = (χU ′

2, χResV3) = 1,

となり，誘導表現は

IndU2 = U3 ⊕ V3, IndU ′2 = U ′3 ⊕ V3

3.13 実構造．四元数構造

今まではGの複素ベクトル空間への表現について考えてきた．ここでは実ベクトル空間への表現について考える．

60

定義 3.13 (実構造，四元数構造). 1. Gの実ベクトル空間V0への表現を考える．V = V0 ⊗ Cは複素ベクトル空間であり，Gの表現空間になるが，このような表現 V を実とよぶ．言い方を変えれば，表現 V にGの作用と可換な実構造が入ることであり，V0 = V ℜがGの表現空間となるものである．

2. Gの（複素）表現V が四元数表現とは，Gと可換な歪線形写像 J ;V → V で，J2 = −idとなるものが入ることである（このとき，dimC V は偶数であり，Jが四元数構造を与えることがわかる）.

補題 3.72. V を既約G加群とする．これが実であるための必要十分条件はGで保存される非退化対称形式Bが入ることである．また四元数であるための必要十分条件はGで保存される非退化交代形式Bが入ること

Proof. BをGで保存される非退化対称形式とする．一方，V には必ずGで保存される非退化エルミート形式は入るのであった．そこで

ϕ : VB−→ V ∗

H−→ V

というGの作用と可換な複素歪線形同型写像 ϕが得られる．つまり x ∈ V に対してB(x, y) = H(ϕ(x), y)を満たすものである．非退化性からこのような ϕ(x) ∈ Vは唯一つであるのでwell-definedである．さらに，ϕ2はG線形同型であり V 既約より，ϕ2 = λid（λ ∈ C∗）となる．また

H(ϕ(x), y) = B(x, y) = B(y, x) = H(ϕ(y), x) = H(x, ϕ(y))

となる．よってH(ϕ2(x), y) = H(ϕ(x), ϕ(y)), H(x, ϕ2(y)) = H(ϕ(x), ϕ(y))であるので，

λH(x, y) = H(ϕ2(x), y) = H(x, ϕ2(y)) = λH(x, y)

となるので λ = λである．よって λは零でない実である．また

λH(x, x) = H(ϕ2(x), x) = H(ϕ(x), ϕ(x))

となることからλ > 0である．そこで適当にHを正規化してϕ2 = idとなる．よってϕはGと可換な実構造である．逆に実構造 ϕがある場合にはB(x, y) = H(ϕ(x), y)

とすれば，非退化対称形式が定まる．BをGで保存される非退化交代形式とすれば，先ほどと異なるのは

λH(x, x) = H(ϕ2(x), x) = B(ϕ(x), x) = −B(x, ϕ(x)) = −H(ϕ(x), ϕ(x))

のところである．つまりHを正規化して ϕ2 = −idとできる．つまり ϕはGの作用と可換な四元数構造である．

61

例 3.73. Gの既約表現 V を考える．これが実構造を持つとする．このとき実表現V0は既約である．実際，可約であるとすると不変部分空間W0 ⊂ V0が存在するがW0 ⊗ Cは V の不変部分空間になってしまい矛盾する．

上の例とは逆に，一般には実既約表現は複素表現に拡張しても既約とは限らない．

例 3.74. Zn（n > 2）のR2への次のような表現を考える．

ρ : k 7→

(cos 2πk

n− sin 2πk

n

sin 2πkn

cos 2πkn

)これは既約である．実際これは回転に対応するので，R2内にこの作用で不変な原点を通る直線は存在しない．しかしR2⊗C上へ拡張すれば，可換群であるので既約表現はすべて一次元である．よって，C2は可約となる．

実既約表現は複素へ拡張しても既約とは限らないが，次のようなことがわかる．

命題 3.75. V0を実表現として既約と仮定する．このとき V = V0 ⊗ Cに対して次のいずれかが成立する．

1. V は既約．

2. V は二つの既約成分へ分解され，それらは互いに複素共役な表現である．

Proof. V が既約でないと仮定する．このとき既約なG不変部分空間W ⊂ V が存在する．ここで注意すべきはもとの表現行列は V0からくる基底をとって書けば実行列になるが．いまW の基底は実基底からつくったわけではないので表現行列は複素行列になる可能性がある．もう少し詳しく見てみる．viiを V0の基底とし表現行列を (gij)（gij ∈ R）とする．wi =

∑j vj ⊗ α

jiをW の基底として表現行列

をGijとする．このとき

gwi =∑j,l

gjlvl ⊗ αji =

∑l

vl ⊗ (dimV∑j=1

gjlαji )

=∑p

Gipwp =∑p,l

Gipvl ⊗ αlp =

∑l

vl ⊗ (dimW∑p=1

Gipαlp)

となる．よってdimW∑p=1

Gipαlp =

dimV∑j=1

gjlαji

をみたすような Gipが表現行列である．このように gjlが実だからといって，Gip

は実とは限らないのである．さて V = V0 ⊗ C内で複素共役写像があるので, W := w | w ∈ Wを定義できる．そして，

W ∋ z(v ⊗ α) 7→ z(v ⊗ α) ∈ W

62

であるので互いに複素共役である．また

g(wi) = g(∑

vi ⊗ αji ) =

∑gvi ⊗ αj

i ∈ W

であるのでW もG不変部分空間であり，∑gvi ⊗ αj

i =∑p

Gipwp =∑p

Gipwp

となるので，これはW の複素共役表現となる．よってW が既約なのでW も既約である．またW ∩W = 0と仮定すると，これは不変部分空間でありW が既約であることに反する．よってW ⊕W ⊂ V となる．そこで

Wℜ := w + w | w ∈ W ⊂ W ⊕W

とする．これは実ベクトル空間であり実次元は 2 dimCW である．実際，実基底として wp +wp, iwp + iwpが取れる．よってWℜ ⊂ V0である．またGの実表現空間となる，実際Gip = Gℜip +

√−1Gℑipとすれば，

g(wi + wi) =∑p

Gipwp +Gipwp

=∑p

Gℜipwp +√−1Gim

ip wp +Gℜipwp −√−1Gℑipwp

=∑p

Gℜip(wp + wp) +Gℑip(√−1wp +

√−1wp) ∈ Wℜ

などとなる．V0が既約なのでWℜ = V0であり，W ⊕W = V となる．

V を既約G加群とする．V 内に実構造，四元数構造が入る場合には，V ∼= V ∗

が成立することをみた．逆に V ∼= V ∗が成立した場合を考えると，これは V 上に非退化なG不変な双線形形式Bが入ることを意味する．

B±(x, y) = B(x, y)±B(y, x)

とすれば，B+(x, y)はGと可換な非退化対称形式であり，B−(x, y)はGと可換な非退化交代形式となる．シューアの補題を使えば，HomG(V, V

∗) = HomG(V, V ) = Cである．HomG(V, V )は非退化G不変双線形形式の全体である．よってB+, B−のいずれかは消えることになる．以上から，V が既約で V ∼= V ∗なら，G不変な非退化対称形式か非退化交代形式のいずれかが唯一つ入ることになる．次に，指標について考えよう．また一般に χV ∗(g) = χV (g

−1) = χV (g)が成立したので，実構造および四元数構造が入るなら指標は実値である．逆に V を既約として，指標が実値なら V ∼= V ∗が成立するので，実構造または四元数構造が入る．以上をまとめると

63

定理 3.76. V を既約なG加群とする．このとき次のいずれかが成立する．

1. χV は実値でなく．V 上にはG不変な非退化双線形形式が入らない．

2. χV は実値であり，V 上にGと可換な実構造が入る．また V 上にはG不変な非退化対称形式が入る．

3. χV は実値であり，V 上にGと可換な四元数構造が入る．また V 上にはG不変な非退化交代形式が入る．

例 3.77. V を既約とする．このとき次が成立する．

1

|G|∑g∈G

χV (g2) =

0 V にはG不変な実構造も四元数構造も入らない

1 V は実

−1 V は四元数

Proof. 以前見たように，

χΛ2V (g) =1

2(χV (g)

2 − χV (g2)), χS2V (g) =

1

2(χV (g)

2 + χV (g2))

である．また

(χV ∗ , χV ) =1

|G|∑g∈G

χV ∗(g)χV (g) =1

|G|∑g∈G

χV (g)2

である．さらに，Λ2V ∗を分解したときに自明表現があれば，それが交代形式に対応し，S2(V )を分解したときの自明表現があれば，それが対称形式に対応する．以上のことがらを使えば証明できる．

練習問題 3.78. 1. V , W が実表現なら，V ⊗W は実である．

2. V , W が四元数表現なら V ⊗W は実である．

3. V に対して V ∗ ⊗ V は実である．

4. V が四元数ならΛkV は kが偶数なら実，kが奇数なら四元数（ヒント：J1, J2を V,W 上の実または四元数構造として J1 ⊗ J2を考えよ． ）

Proof. V ∗ ⊗ V が実であることのみ証明しておこう．

B : (V ∗ ⊗ V )× (V ∗ ⊗ V ) ∋ (f1 ⊗ v1, f2 ⊗ v2) 7→ ⟨f1, v2⟩⟨f2, v1⟩ ∈ C

として対称形式を入れれば，これはG不変であり，G加群として V ∗ ⊗ V = (V ∗⊗V )∗ = V ∗ ⊗ V である．そこでB(x, y) = H(ϕ(x), y)により実構造 ϕを定めればよい．例えば，eiiを V のユニタリ基底として e∗i iを双対基底とする．これがユニタリ基底となるような内積をいれれば，G不変であることがわかる．この基底によって J を具体的に書けば，J2 = 1であることがわかる．

64

4 対称群の表現論Section 3.10.3で見たように，群環内の原始的冪等元を見つければ，既約分解をえることができる．これを対称群で行ってみる．

4.1 既約表現の構成とヤング対称化作用素

Sdを d次対称群とする．これは有限群なので，既約表現の数は共役類の個数と一致する．そして共役類の個数は dの分割 d = λ1 + · · ·+ λk（λ1 ≥ · · ·λk ≥ 1）の個数と対応することはすでにみた．（共役類一つに対して dの分割が一つ対応する．see Section 2）．この分割の個数を p(d)と書き分割数とよぶ．この p(d)に対して次の母関数表示がある．

∞∑d=0

p(d)td =∞∏n=1

(1

1− tn

)= (1+ t+ t2+ · · · )(1+ t2+ t4+ · · · )(1+ t3+ t6+ · · · ) · · ·

これは |t| < 1で収束する．

Proof. 例えば tdを考える．右辺の 1 + t+ t2 + · · · から tk1，1 + t2 + t4 + · · · からt2k2と取って行き，td = tk1t2k2 · · · tlklとなったとする（l ≥ d）．これを

l + · · ·+ l︸ ︷︷ ︸kl

+ · · ·+ 2 + · · ·+ 2︸ ︷︷ ︸k2

+1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸k1

という分割に対応させればよい．収束することは，解析入門などを参照にすればわかる．（この

∑p(d)tdの漸近挙動などの研究もある）．

さて，dの分割 λ = (λ1, · · · , λk)に対して，i行目に λi個の箱を並べるて，あるヤング図形を対応させる．ヤング図形とは，左側と上側に壁があると思って，その角に箱を幾つかつめていったものである．ただし，下に行くほど箱の数は同じまたは減っていくとしている．（下図を参照）．よって逆に箱の数が dのヤング図形に対して，dの分割が定まる．ヤング図形に対して，行数を（λ = (λ1, · · · , λk)なら k）l(λ)とかき，分割 λの長さとよぶ．また dの分割 λに対するヤング図形に 1, · · · , dまでの数を入れていったものをヤング盤とよぶ．また各行において左から右に数が増加し，各列で上から下に数が増加したようなヤング盤を標準ヤング盤という．下の図は 9の分割 9 = 3 + 3 + 2 + 1の図である．また右下図はある標準ヤング盤を書いている．

65

λ1

λ2

λ3

λ4

1 2 3

654

7 8

9

1 2 4

853

6 7

9

図 1

また，分割 λに対して，その共役な分割とはヤング図形 λに対して，行と列を入れ替えた図形に対応するものである．例えば (3, 3, 2, 1)の共役は (4, 3, 2)である．箱の数は変わらないので，同じ数 dに対する分割になっている．さて，この subsectionでは，ヤング図形を使ってSdの正則表現から，ある既約表現への射影を与えることが目標である．（Section 3で論じた射影公式は，既約表現の直和への射影であり，既約表現を一つ取り出すものではなかった）．分割 λ1 + λ2 + · · ·+ λkに対するあるヤング盤 T を考える．このとき次の二つの部分群が定義できる．

P =Pλ = g ∈ Sd | gは T の各行を保存する ∼= Sλ1 × · · ·Sλk,

Q =Qλ = g ∈ Sd | gは T の各列を保存する ∼= Sµ1 × · · ·Sµl.

ここで µは共役なヤング盤に対する分割である．例えば図１の真ん中のヤング盤でいえば (1, 2, 3)(4, 5) ∈ P などとなる．これらの部分群を使って，群環CSdに二つの元を定義する

aλ =∑g∈P

g, bλ =∑g∈Q

sgn(g)g.

補足 4.1. これら二つの元の幾何学的な意味を調べよう（詳しいことは Section 8）．V を勝手なベクトル空間とする．Sdは V ⊗dへ置換として作用する．つまり，

g : V ⊗d ∋ v1 ⊗ · · · ⊗ vd 7→ vg−1(1) ⊗ · · · ⊗ vg−1(d) ∈ V ⊗d

とする．

Proof. w1 ⊗ · · · ⊗ wd = vg−1(1) ⊗ · · · ⊗ vg−1(d)とすれば，

g′(w1 ⊗ · · · ⊗ wd) = wg′−1(1) ⊗ · · · ⊗ wg′−1(d)

となる．そこでwi = vg−1(i)であるので，

vg−1(g′−1(1)) ⊗ · · · ⊗ vg−1(g′−1(d))

となり表現になる．

66

このとき aλ ∈ CSd → End(V ⊗d)に対して aλ(V⊗d)は．部分空間

Sλ1V ⊗ Sλ2V ⊗ · · · ⊗ SλkV ⊂ V ⊗d

となる．そして，bλ(V ⊗d)は

Λµ1V ⊗ Λµ2V ⊗ · · · ⊗ ΛµlV ⊂ V ⊗d

である．ここで (µ1, · · · , µl)は λの共役である．

Proof. まず簡単な例から見ていこう．話を簡単にするため，分割 λに対して図１の真ん中の図のようなもっとも標準的なヤング盤を考えることにする．

1. (d)という分割があるなら，対応するヤング盤は一行に 1から dまでの数がならんでいるものである．そして aλ =

∑g∈Sd

gであり，これは対称化作用素である．よって

aλ(v1 ⊗ · · · ⊗ vd) = v1 ⊙ · · · ⊙ vd

（正規化はせず v1 ⊙ v2 = v1 ⊗ v2 + v2 ⊗ v1としている）．よってｋの像はSd(V ) ⊂ V ⊗dとなる．またQは各列を保存するものであるが，これは e ∈ Sd

しかない．よって imaga bλ = V ⊗dとなる．

2. また，(1, 1, · · · , 1)という分割を考えると．P = eであり，imageaλ = V ⊗d

である．一方Q = Sdとなる．そこで∑

g∈Sdsgn(g)gは交代化作用素であり，

bλ(v1 ⊗ · · · ⊗ vd) = v1 ∧ · · · ∧ vd

3. 一般の場合に考えてみる．簡単のためにλ = 3+3+2+1で考える．このときP は 1, 2, 3を不変，4, 5, 6を不変，7, 8を不変，9を不変にする部分群である．これは集合 1, 2, 3に対する置換群，4, 5, 6に対する置換群, 7, 8に対する置換群，9に対する置換群の積である．よってS3 ×S3 ×S2 ×S1となる．これに対応する aλを考えると，最初のS3の部分で (V ⊗ V ⊗ V )⊗ V ⊗6

からS3(V )⊗V ⊗6になり，これを繰り返して S3(V )⊗S3(V )⊗S2(V )⊗V を得る．bλに対しても同様である．ただし，順番が異なるので，

v1 ⊗ v2 ⊗ v3 − v3 ⊗ v2 ⊗ v1 7→ (v1 ∧ v3)⊗ v2

などの同型写像を使っている．

以上のことの一般論は Section 8で行う．

67

我々の目的はSdの既約表現の構成であった．そのため群環の冪等元となるヤング対称化作用素を導入する． 定義 4.1. 分割 λに対して，あるヤング盤 T を考える（標準的に限る必要はない）．そして上のようにして aλ, bλを定義する．このとき

cλ = aλbλ ∈ CSd

を考える．これをヤング対称化作用素とよぶ． 例 4.2. (d)という分割を考えれば，c(d) = a(d)である．また (1, · · · , 1)という分割を考えれば c(1,··· ,1) = b(1,··· ,1)である． 定理 4.3 (対称群の既約表現の構成). 上で定義したヤング対称化作用素 cλに対して，ある定数 nλが存在して c2λ = nλcλとなる．よって正規化すれば群環CSdにおける射影（冪等元）である．また右から CSdへ cλを作用させた像Vλ := (CSd)cλは，Sdの既約表現となる（cλは原始的冪等元である）．そしてSdのすべての既約表現はこの方法で作ることができ，dの分割と一対一対応する．また，cλは λに対するヤング盤のとり方依存するが，他のヤング盤をとっても得られる表現は同値である．

例 4.4. 1. λ = (d)を考え，もっとも標準的なヤング盤を考える．このとき，

c(d) =∑gであるので

V(d) = CSd(∑g∈Sd

g) = C∑g∈Sd

g

である．そこで g′(c(d)) = c(d)となり，自明表現を得る．

また λ = (d)に対して，他のヤング盤を考えたとしても c(d) =∑gである．

2. λ = (1, · · · , 1)として，もっとも標準的なヤング盤を考える．このとき，c(1,··· ,1) =∑sgn(g)gであるので

(∑

ahh)(∑

sgn(g)g) =∑h

ah∑g′

sgn(h)sgn(g′)g′ = (∑h

ahsgn(h))∑g′

sgn(g′)g′

となり．V(1,··· ,1) = CSd(

∑g∈Sd

sgn(g)g) = C∑g∈Sd

sgn(g)g

さらに，Sdの作用を考えると，

g′(∑

sgn(g)g) = sgn(g′)∑

sgn(g)g

68

となるので，これは交代表現になる．

また，この場合も λ = (1, · · · , 1)に対するほかのヤング盤を考えても，cλ =∑sgn(g)gとなる．

3. S3の表現をすべてつくってみよう．3の分割は1+1+1, 2+1, 3の三つであるので，共役類の個数は三つある．よって，既約表現は三つある．上の例から自明表現はV(3)に対応し，交代表現はV(1,1,1)に対応する．また6 = |S3| =

∑dimV 2

i

であるので，CS3の中には，標準表現 V があり，CS3 = U ⊕U ′⊕ V ⊕ V となるはずである．ここで dimV = 2となる．

そこで分割 (2, 1)に対応する表現 V(2,1) が標準表現 V であることをみたい．まず，もっとも標準的なヤング盤 T0を考える．このとき，aλ = 1 + (1, 2),

bλ = 1− (1, 3)であるよって

cλ = (1 + (1, 2))(1− (1, 3)) = 1 + (1, 2)− (1, 3)− (1, 3, 2)

となる．そして

(1, 2)cλ = cλ

(1, 3)cλ = (1, 3) + (1, 2, 3)− 1− (2, 3)

(2, 3)cλ = (2, 3) + (1, 3, 2)− (1, 2, 3)− (1, 2) = −cλ − (1, 3)cλ

(1, 2, 3)cλ = (1, 3)(1, 2)cλ = (1, 3)cλ

(1, 3, 2)cλ = (1, 3)(2, 3)cλ = −(1, 3)cλ − cλ

となるので，V(2,1) = Ccλ, (1, 3)cλ

となる．さらに作用をみると既約二次元表現であるので標準表現となる．

さて，別の標準ヤング盤 T ′0を考えることもできる．最初の行に (1, 3)，二番目の行に 2を入れたものである．このとき

c′λ = (1 + (1, 3))(1− (1, 2)) = 1− (1, 2) + (1, 3)− (1, 2, 3)

となる．また，

(1, 3)c′λ = c′λ

(1, 2)c′λ = (1, 2)− 1 + (1, 3, 2)− (2, 3)

(2, 3)c′λ = (2, 3)− (1, 2, 3) + (1, 2, 3)− (1, 3) = −c′λ − (1, 2)c′λ

(1, 2, 3)c′λ = (2, 3)(1, 3)c′λ = −c′λ − (1, 2)c′λ

(1, 3, 2)c′λ = (1, 2)(1, 3)c′λ = (1, 2)c′λ

となる．よってV ′(2,1) = Cc′λ, (1, 2)c′λ

69

さらに V ′(2,1) ∩ V1,2 = 0であることもわかる．

ヤング盤が変わる場合には，次のように考えるのがよい．T0, T ′0の関係は 2と3が入れ替わっている．そこで，g = (2, 3)として，a′λ = gaλg

−1, b′λ = gbλg−1,

c′λ = gcλg−1となる．言い換えると，P ′λ = gPλg

−1，Q′λ = gQλg−1である．そこ

で，V ′λ = CSdc′λ = CSdgcλg

−1 = Vλg−1となる．さらに，Vλ ∋ v 7→ vg−1 ∈ V ′λ

はG線形同型写像であり，Vλ ∼= V ′λである．このことは d次対称群でもどうようであり，分割 λに対するヤング盤をどのように選んでも，同値な既約表現を得ることができる．

実際，上の例において，他のヤング盤（上記以外は標準ヤング盤ではない）を考えても同様に標準表現が得られることがわかる．しかし，その表現空間は Vλ ⊕ V ′λに含まれることがわかる（これは同値な表現の直和の分解の仕方が一通りでないことを意味している）．CSd内には Vλは dimVλ個の直和に分かれるが，λに対する，すべての標準ヤング盤を考えれば，その直和分解を得ることが出来る．特に，ヤング図形 λに対する標準ヤング盤の数が dimVλと一致する．（補足 4.9）

以下で定理 4.3 の証明を行う．dの分割 λの対するあるヤング盤 T 固定して，

P =Pλ = g ∈ Sd | gはヤング盤 T の各行を保存する Q =Qλ = g ∈ Sd | gはヤング盤 T の各列を保存する

として，aλ =

∑g∈P

g, bλ =∑g∈Q

sgn(g)g

とした．簡単のためA = CSdと書く．また a = aλ, b = bλ, c = ab = cλと書く．まずP ∩Q = eであることがわかる．実際，ヤング盤の各行，各列を保存するものは単位元だけである．P ∩Q = eであることからSdの p · q（p ∈ P , q ∈ Q）となる元の，このような書き方は一通りである．つまり pq = p′q′なら p = p′, q = q′

である．そこで c =∑±gとなるが，g = pqとなり，その係数は sgn(q)である．

特に，単位元 eの係数は 1であり，c = 0であることがわかる．

補題 4.5. 1. p ∈ P に対して，pa = ap = a.

2. q ∈ Qに対して， sgn(q)qb = b sgn(q)q = b.

3. 任意の p ∈ P , q ∈ Qに対して，pc sgn(q)q = cであり，Aの中でこのような元はスカラー倍を除いて cのみである．

Proof. 最初の二つは明らかである．三番目のみを証明する．c = ab =∑

p∈P,q∈Q sgn(q)pq

であり．pc sgn(q)q = cは明らかである．そこでスカラー倍を除いて唯一つである

70

ことを証明する．∑nggが条件をみたすとする．このとき，∑

ngpg sgn(q)q =∑

np−1gq−1 sgn(q)g

であるので，任意のg, p, qに対してnpgq = sgn(q)ngを満たす．特に，npq = sgn(q)ne

となる．そこで，g /∈ PQならば，ng = 0を証明すれば十分である．実際，これがわかれば，

∑ngg =

∑sgn(q)nepq = ne

∑sgn(q)pq = necとなる．また g /∈ PQ

に対して，互換 tで t = p ∈ P かつ q = g−1tg ∈ Qとなるものが見つかれば，g = pgq−1となり，ng = npgq−1 = sgn(q−1)ng = sgn(g−1tg)ng = sgn(t)ng = −ng

となるので ng = 0となる．以上から，g /∈ PQに対して．互換 tで t = p ∈ P かつq = g−1tg ∈ Qとなるものを見つければよい．ヤング盤 T に対して，T ′ = gT を考える．これは T の成分 iを g(i)に換えたものである．また t = (i, j) ∈ P（i = j）かつ，q = g−1tg = (g−1(i), g−1(j)) ∈ Qとは，T のある一行に i, jが在り，T ′のある一列に i, jがある（⇐⇒ T のある列にg−1(i), g−1(j)がある）ことを意味する．そこで，T のある行かつ T ′ = gT のある列に自然数 i, j（i = j）が存在しないと仮定したとき，g ∈ PQとなってしまうことを証明すればよい．T のある行かつT ′ = gT のある列に自然数 i, j（i = j）が存在しないと仮定する．

1 2 3

654

7 8

9

1

5

8 3

6

4

9

7

2

T T ′ = gT

例えば上の図のようになる．そこで p1 ∈ P 及び q′1 ∈ Q′ = gQg−1（Q′は T ′の列を保存する部分群）が存在して，p1T と q′1T

′の第一行が一致するようにできる．例えば，下図のようになる．

71

2 1 3

654

7 8

9

8

5

1 3

6

2

9

7

4

(1, 2)T (4, 2)(1, 8)T ′

これを残りの行に対して繰り返していけば，p ∈ P , q′ ∈ Q′で pT = q′T ′となるようにできる．よって pT = q′gT であり，p = q′gとなる．そこで q′ = gqg−1となる q ∈ Qが存在するので p = (gqg−1)g = gqとなり，g = pq−1 ∈ PQとなる．以上で証明された．

さて，分割に次のような辞書式順序をつける．

定義 4.2 (辞書式順序). 分割 λ, µに対して，λ > µとは「最初の零でない λi − µi

が正」として順序付けする．例えば (3, 3, 2, 1) > (3, 3, 1, 1, 1)である．

補題 4.6. 1. λ > µなら，すべての x ∈ A = CGに対して，aλxbµ = 0 = bµxaλとなる．特に λ > µなら cλcµ = 0である．

2. すべての x ∈ Aに対して cλxcλは cλの定数倍である（= 0もありえる）．特に cλcλ = nλcλとなる nλ ∈ Cが存在する．

Proof. 1. x = g ∈ Sdとしてよい．bµに対するヤング盤を T ′とすれば，gbµg−1

はヤング盤 gT ′（ヤング図形はµ）に対応する．そこでλに対するあるヤング盤からきまる aλ，µに対するあるヤング盤から決まる bµに対して aλbµ = 0

を証明すればよい．λ > µとすれば，下の図のように，異なる自然数 i, jで，T のある行にあり，T ′のある列にあるようなものが存在する（ちょっと考えれば，この事実が成立することはすぐわかる．λi = µi（1 ≤ i ≤ l− 1）として λl > µlとなるところを考えればよい．下図では 8, 10である）．

2 1 3

654

7 8

9

8

5

1 3

6

2

9

7

4

T T ′

10

10

72

t = (i, j)とすれば，aλt = aλ, tbµ = −bµである．よって aλbµ = aλttbµ =

−aλbµとなる．よって aλbµ = 0を得る．同様に，taλ = aλ, bµt = −bµであるので，bµaλ = 0となる．これは次のように示すこともできる．A ∋ x =∑agg 7→ x∗ =

∑agg

−1 ∈ Aは歪 involutionである．また，定義からa∗λ = aλ,

b∗µ = bµである．よって，aλxbµ = 0がわかっているなら，bµx∗aλ = 0となる．

さて，λ > µなら，aλxbµ = 0であるので，x = (bλaµ)とすれば，cλcµ =

aλ(bλaµ)bµ = 0となる．

2. 前補題 (1)(2)から p ∈ P , q ∈ Qに対して pcλxcλ sgn(q)q = cλxcλとなる．よって前補題 (3)から cλxcλは cλの定数倍である．

系 4.7. λ = µなら cλxcµ = 0（∀x ∈ A）である．特に cλcµ = 0である．

Proof. λ > µのとき，aλxbµ = 0においてxをbλxaµとすれば，cλxcµ = aλ(bλxaµ)bµ =

0 λ < µ場合には bλxaµ = 0となるので，cλxcµ = aλ(bλxaµ)bµ = 0となる．

補足 4.8. λ > µのときに aλxbµ = 0を示したが，aµxbλ = 0 とは限らない．実際µ = (1, · · · , 1)のとき aµ = 1であるので，aµbλ = bλとなる．

補足 4.9. 分割 λに対して，標準盤 T , T ′（T = T ′）をとる．標準盤という条件から，上の証明での (i, j)が存在し，aT bT ′ = 0がわかる．よって，cT cT ′ = 0を得ることがわかる．つまり VT ∩ VT ′ = 0である．ただし，T = gT ′なる gが存在するので，aTgbT ′g−1 = 0となる．つまり任意の x ∈ Aに対して aTxbT ′ = 0となるわけではないことに注意する．さて，CSd =

∑V ⊕ dimVλλ と分解したとき，Vλの重

複度は λに対する標準盤の数以上であることがわかる．さらに∑λ

(λに対する標準盤)2 = d! = |Sd|

であることがわかる（これをロビンソン-シェンステッド対応という．詳しくは [5]

を参照）．よって，Vλの重複度は λに対する標準盤の数と一致する．特に，dimVλと標準盤の数は一致する（別証明を例 5.38で与える）．

補題 4.10. 1. Vλ = CGcλはSdの既約表現である．

2. λ = µなら Vλと VµはSd加群として同型でない．

Proof. 1. まず cλAcλ = cλVλ ⊂ C(cλ)であることがわかる．W ⊂ Vλを部分表現とすれば，cλW はC(cλ)または 0である．

まず，cλW = C(cλ)であるとする．W が表現であるので，AW ⊂ W であるので，

Vλ = Acλ = A(cλW ) = (Acλ)W ⊂ W.

73

となり，Vλ =W である．一方 cλW = 0であるとすると，W ·W ⊂ Vλ ·W ⊂AcλW = 0となる．さて，群環のところで見たように（Section 3.10.3），部分表現への射影 A → W は，ϕ = ϕ2となる ϕ ∈ W の右から積により与えることができる．つまり，Aϕ = W となる ϕが存在する．ϕ ∈ W でありϕ = ϕ2 ∈ WW = 0であるので射影 ϕは 0である．よってW = 0を得る．以上から Vλは既約表現であることがわかる．

また cλ = 0であるので Vλ = Acλ = 0である．上の議論においてW = Vλとすれば，Vλ = 0であるので，cλVλ = C(cλ)が成立する．

2. λ > µと仮定してよい．cλVλ = C(cλ) = 0であるが，系 4.7 より cλVµ =

cλAcµ = 0である．よって Vλと VµはCSd加群として同型でない．実際，同型ならCSd線形同型 Φ : Vλ → Vµが存在するが，cλx = 0である x ∈ Vλが存在する．そこで，0 = Φ(cλx) = cλΦ(x) ∈ cλVµ = 0となり矛盾．

補題 4.11. 任意の λに対して，

cλcλ =d!

dimVλcλ

となる．

Proof. Rcを cλによる右からの掛け算とする．前補題からRc : A → Vλは（正規化すれば）射影である．つまりRcは，Vλ上では nλidであり，Vλの補空間上では零である． tr (Rc) = nλ dimVλとなる．一方 cλ =

∑±gと書いたとき，eの係数

は 1であった．よって任意の g ∈ Sdに対してRcg = gcλにおける gの係数は 1である．よって tr(Rc) = |Sd| = d!となる．以上から nλ dimVλ = d!である．

さて，Sdは有限群であるのでSdの既約表現の個数はSdの共役類の個数と一致するのであった．また共役類はあるヤング図形に対応した．以上から，すべての既約表現はあるヤング図形に対応することがわかった．また λに対する任意のヤング盤が同値な表現を与えることは，例 4.4 の最後に書いたようにして証明できる．以上で定理 4.3 の証明を終える．

例 4.12. 分割 λに対する既約表現を Vλとする．λと共役な分割を λ′とする．またU ′を一次元交代表現とする．このとき

Vλ′ = Vλ ⊗ U ′

が成立する．

Proof. λに対して a = aλ, b = bλ, c = cλを作れば Vλ = Ac = Aabである．さて，

Ra : Aab ∋ x 7→ xa ∈ Aba, Rb : Aba ∋ y 7→ yb ∈ Aba

74

を考える．このとき x ∈ Aabに対して，x = zabと書けるので，RbRax = zabab =

zc2 = nλzc = nλxである．一方，定理の証明をみれば，c′ = baに対しても，同様の性質が成立することがわかる．つまり (c′)2 = nλc

′である．よってRaRb = nλid

となる．このようにAab ∼= Abaである．またSd線形は明らかなので，表現空間として同値であることがわかる．さて，

A ∋∑

a(g)g 7→∑

a(g) sgn(g)g ∈ A

という写像を考えると準同形である．そこで∑g∈Sd

a(g)gba =∑

g∈Sd,p∈P,q∈Q

a(g) sgn(q)gqp

7→∑

a(g) sgn(p) sgn(g)qp =∑

a(g) sgn(g)g∑

q∑

sgn(p)p

となる．ここで∑

q∈Q qおよび∑

p∈P sgn(p)pは λと共役なヤング図形 λ′に対するaλ′ , bλ′である．つまり上の式で右辺の像は Vλ′ = Aaλ′bλ′である．また明らかにベクトル空間としてAba ∼= Aaλ′bλ′である．AbaへのSdの作用を sgn(g)gとすれば，上の写像はSd線形になることもわかる．よって Vλ ⊗ U ′ ∼= Vλ′である．

4.2 標準表現と交代テンソル積表現

Sdの標準表現を構成しよう．まずSdのCdへの自然な表現

g(z1, z2, · · · , zd) = (zg−1(1), · · · , zg−1(d))

を考える．これは座標で書いた場合である．Cdの標準基底を eiとすれば，g(ei) =eg(i)という表現のことである．

U = C(e1 + · · ·+ ed)

を考えると，これは自明表現になる．そこでこの U の補空間として，次の部分空間を定義する

V = ∑

ziei ∈ Cd | z1 + · · ·+ zd = 0.

この d− 1次元の表現を標準表現とよび，以下で見るように既約表現である．vl =el − el−1（l = 2, · · · , d）とすれば，

a2v2 + · · ·+ advd = a2(e2 − e1) + a3(e3 − e2) + · · ·+ ad(ed − ed−1)= −a2e1 + (a2 − a3)e2 + (a3 − a4)e3 + · · ·+ (ad−1 − ad)ed−1 + aded

であるので,

−a2 + (a2 − a3) + (a2 − a4) + · · ·+ (ad−1 − ad) + ad = 0

となるので，V = Cv2, · · · , vdとなる．

75

命題 4.13. 標準表現 V へのSdの表現は既約表現である．また k次交代テンソル積表現ΛkV（0 ≤ k ≤ d− 1）も既約表現である．

Proof. Cd = V ⊕ U である．また

Λk(Cd) = (Λk(U)⊗ Λ0U)⊕ Λk−1V ⊗ Λ1U = ΛkV ⊕ Λk−1V

となる．そこで，これらの表現の指標 χを考えて (χ, χ) = 2であることがわかれば，帰納法によりΛkV が既約であることがわかる．まず，練習としてCdの指標を計算する．g ∈ Sdに対して，

gk =

0 g(k) = k

1 g(k) = k

とする．このとき tr g =∑d

k=1 gkである．そこでCdに対する指標 χは

(χ, χ) =1

d!

∑g∈Sd

(∑k

gk)(∑l

gl)

=1

d!

∑k,l

∑g(k)=k and g(l)=l

1

=1

d!(∑k

∑g(k)=k

1 +∑k =l

∑g(k)=k and g(l)=l

1)

=1

d!(d× (d− 1)!+ 2

(d

2

)(d− 2)!) = 2

となる．よって V は既約である．次にΛkCdの指標を計算しよう．A = 1, · · · , dとして，B ⊂ Aを#B = k（kはΛkV の k）とする．このとき g ∈ Sdに対して，

gB =

0 if g(B) = B

1 if g(B) = Bで g|Bで偶置換−1 if g(B) = Bで g|Bは奇置換

とする．このとき，B = i1, · · · , ikとして g(B) = Bなら

g(ei1 ∧ ei2 ∧ · · · ∧ eik) = eg(i1) ∧ · · · ∧ eg(ik) = gB(ei1 ∧ · · · ∧ eik)

となる．また eB = ei1 ∧ · · · ∧ eikとすれば，eB|B ⊂ A, #B = kがΛkCdの基底

76

になるので，χ = χΛkCd(g) = tr (g) =∑

B gBとなる．そこで

(χ, χ) =1

d!

∑g∈G

(∑B

gB

)2

=1

d!

∑g∈G

∑B,C

gBgC

=1

d!

∑B,C

∑g(B)=B,g(C)=C

sgn(g|B) sgn(g|C)

となる．そこで g(B) = Bかつ g(C) = C となる置換を考えると，これは次のいずれかである．(1) B ∩ C の置換 (2) B \ B ∩ C の置換．(3) C \ B ∩ C の置換．A \B ∪ Cの置換．そこで#B ∩ C = lとすれば，

(χ, χ) =1

d!

∑B,C

∑a∈Sl

∑b∈Sk−l

∑c∈Sk−l

∑h∈Sd−2k+l

( sgna)2 sgnb sgnc

=1

d!

∑B

∑C

l!(d− 2k + l)!∑

b∈Sk−l

sgnb∑

c∈Sk−l

sgnc

最後の∑

b∈Sk−lsgnbにおいて，Sk−lの奇置換と偶置換の数は k − l = 0, 1なら同

じなので，k − l = 0, 1の場合を考えればよい．k = lの場合には，B = Cのときであり，

1

d!

∑B

∑C

k!(d− k)! = 1

d!

(d

k

)k!(d− k)! = 1

となる．また l = k − 1の場合には，

1

d!

∑B

(d− k1

)(k

k − 1

)(k − 1)!(d− k − 1)! =

1

d!

(d

k

)k!(d− k)! = 1

となる．以上から (χ, χ) = 2であることがわかる．

さて，上の標準表現 V がどのヤング図形と対応しているかをみたい．

命題 4.14. dの分割として (d−1, 1)を考える．この分割に対応する既約表現V(d−1,1)はSdの標準表現 V である．

Proof. d = (d− 1) + 1に対して，最も標準的なヤング盤を考える．このとき

P = g ∈ Sd | g(d) = d ∼= Sd−1, Q = g ∈ Sd | g(1), g(d) = 1, d ∼= S2

である．そこでaλ =

∑g(d)=d

g, bλ = e− (1, d)

77

であり，cλ = aλbλ =

∑g(d)=d

g −∑

h(1)=d

h

となる．さて，次のようなベクトルで張られるベクトル空間を考える．

ej =∑

g(d)=j

g −∑

h(1)=j

h, j = 1, 2, · · · , d

ここで cλ = edである．このとき g′(j) = iなら g′ej = eiであることがわかる．実際，

g′ej =∑

g(d)=j

g′g −∑

h(1)=j

g′h =∑

g′′(d)=i

g′′ −∑

h′′(1)=i

h′′ = ei

である．よって，Acλ = Aed = spanCe1, · · · , edである．また，g(e1+ · · ·+ ed) =e1 + · · ·+ ed（∀g ∈ Sd）であるが，部分表現は存在しないので，e1 + · · ·+ ed = 0

となる．よって

spanCe1, e2, · · · , ed = spanCe2 − e1, · · · , ed − ed−1

であり，これは作用の仕方から標準表現と一致する．

補足 4.15. 分割 λ = (d − s, 1, · · · , 1)に対する既約表現 Vλが Λs(V )になるが，この事実の証明は後で（section 4.3.5）

指標を計算してみよう．指標は共役類で決まるので，サイクルタイプが

[d, · · · , d︸ ︷︷ ︸id

, d− 1, · · · , d− 1︸ ︷︷ ︸id−1

, · · · , 1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸i1

]

なものを考える．これを i = (i1, · · · , id)と書き，共役類をCiと書く．Cd上の表現を考えたとき，g ∈ Sdに対して，

gk =

0 g(k) = k

1 g(k) = k

であったので，g ∈ Ciなら g(k) = kなる kは i1個ある．そこで， tr Cdg = i1である．またC = V ⊕ U となるが，χU(g) = 1であるので， tr V (Ci) = i1 − 1である．次に，ΛkCdに対する指標を計算する．g ∈ Sdとして，B ⊂ 1, · · · , dで#B = k

なものを考える．このとき

gB =

0 if g(B) = B

1 if g(B) = Bで g|Bで偶置換−1 if g(B) = Bで g|Bは奇置換

78

とすれば χ = χΛkCd(g) = tr (g) =∑

B gBとなるのであった．そこで指標を計算するには gに対して g(B) = BとなるBの選び方を考えればよい．g ∈ Ciとする．まず Λ2Cdに対して考えると，(1)(2) · · · (i1)から二個選ぶ場合と，i2個の互換から一つ選ぶ場合が考えられる（それぞれ，2 = 1 + 1, 2 = 2に対応）．互換の場合は符号がマイナスなので，

tr (g) =

(i12

)− i2

となる．よって， tr (g) = tr Λ2(V )(g) + tr V (g)であるので，

χΛ2V (g) =

(i12

)− i2 − (i1 − 1) =

1

2(i1 − 1)(i1 − 2)− i2 =

(i1 − 1

2

)− i2

となる．次に，Λ3Cdに対しては，3 = 3, 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 1 + 1が考えられる．そこで

tr (g) =

(i13

)− i1i2 + i3

となるので，

χΛ3(V )(g) =

(i13

)− i1i2 + i3−

1

2(i1− 1)(i1− 2)− i2 =

(i1 − 1

3

)− (i1− 1)i2 + i3

Λ4Cdに対しては，4 = 4, 4 = 3 + 1, 4 = 2 + 2, 4 = 2 + 1 + 1, 4 = 1 + 1 + 1 + 1が考えられる．よって

tr (g) =

(i14

)−(i12

)i2 + i3i1 +

(i22

)− i4

となるので，

χΛ4(V )(g) =

(i1 − 1

4

)−(i1 − 1

2

)i2 +

(i22

)+ (i1 − 1)i3 − i4

となる．このように規則性がわかるので，帰納法により一般の公式を導くことが出来る（ΛkV に対してなら kの分割を考えよ（演習問題. c.f. Section 6.2.3））．

例 4.16. 例として g = (1)(2) · · · (d− 2)(d− 1, d) ∈ Sdの場合を考えよう．つまりサイクルタイプが i = (d − 2, 1) = [2, 1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸

d−2

]である．Λk(Cd)の指標は，上で述

べたようにして．k = 1 + · · · + 1, k = 2 + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸k−2

の場合を考えればよい．そ

こで，

χΛkCd(g) =

(d− 2

k

)−(d− 2

k − 2

)79

となる．ただし，k = 1のときは指標は d− 2であり，k = 0のときは 1である．そこで，

χΛkV (g) =χΛk(Cd) − χΛk−1(V )

=χΛk(Cd) − χΛk−1(Cd) + χΛk−2(Cd) + · · ·+ (−1)k−1χV + (−1)kχU

=k∑

s=0

(−1)s(d− 2

k − s

)− (−1)s

(d− 2

k − s− 2

)=

(d− 2

k

)−(d− 2

k − 1

)=d− 1− 2k

d− 1

(d− 1

k

)となる．よって，g = (1) · · · (d− 2)(d− 1, d)の時に，

χΛk(V )(g) = −χΛd−1−k(V )(g)

となることがわかる．（dimV = d− 1）．特に，d− 1− 2k = 0なら，χΛkV (g) = 0

となり，Λk(V ) ∼= Λd−1−k(V )となる．

4.3 Frobenius formula

4.3.1 Frobenius forumla

さて，分割 λに対して既約表現 Vλを構成したが，この表現の指標及び次元をもとめよう．Sdの共役類は，分割と対応していた，その分割（サイクルタイプ）をここでは

i = (i1, i2, · · · , id),∑k

kik = d, ik ≥ 0

と書く．つまりd+ · · ·+ d︸ ︷︷ ︸

id

+ · · ·+ 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸i1

である．この分割に対応する共役類をCiと書く．分割 λのヤング図形の行数 l(λ)以上の変数 x1, · · · , xkを用意する．そして，冪和対称式 pj(x)（1 ≤ j ≤ d）を

pj(x) = xj1 + xj2 + · · ·+ xjk

とし，差積∆(x)を∆(x) =

∏i<j

(xi − xj)

とする．

80

さて，f(x) = f(x1, · · · , xk)を形式的冪級数として

[f(x)]l=(l1,··· ,lk) = xl11 · · · xlkk の係数

とする．分割 λ = λ1 + · · ·+ λk（λ1 ≥ · · · ≥ λk ≥ 0）に対して，

l1 = λ1 + k − 1, l2 = λ2 + k − 2, · · · , lk = λk

とする．これは l1 > l2 > · · · > lk ≥ 0を満たす．このとき次が成立する． 定理 4.17 (Frobeniusの公式). λに対する既約表現 Vλの指標 χλを考える．この共役類Ci上での値は次のよう．

χλ(Ci) =

[∆(x)

∏1≤j≤d

pj(x)ij

](l1,··· ,lk)

.

補足 4.18. ∆(x)

∏pj(x)

ij の次数は

k(k − 1)/2 +d∑

k=1

kik = k(k − 1)/2 + d

である．一方，xl11 · · · xlkk の次数も

∑li = d+ (k − 1)k/2である．

また λ1 ≥ · · · ≥ λk ≥ 0としているが λl = · · · = λk = 0の場合でも構わない．逆に言えば，k = l(λ)だとしても．0 = λk+1 = λk+2 = · · · = λk+s として拡張してもよい．つまり，Frobeniusの公式において変数の数を増やしても値は変化しない．実際，変数を増やしたときには，lk+1 = s − 1,・・・, lk+s = 0となるが，xlk+1

k+1 · · · xlk+s

k+s = xs−1k+1 · · · x0k+sについては，∆(x1, · · · , xk+s)からの寄与のみを考えればよいからである．つまり，次のよう：

∆(x1, · · · , xk+s)∏

pj(x)ij

=(x1 − x2) · · · (x1 − xk)(x1 − xk+1)(x1 − xk+s)

(x2 − x3) · · · (x2 − xk)(x2 − xk+1) · · · (x2 − xk+s)

· · ·(xk − xk+1) · · · (xk − xk+s)

(xk+1 − xk+2) · · · (xk+1 − xk+s)

· · ·(xk+s−2 − xk+s−1)(xk+s−2 − xk+s)

(xk+s−1 − xk+s)

(x1 + · · · xk + xk+1 + · · · xk+s)i1 · · · (xd1 + · · · xdk + xdk+1 + · · · xdk+s)

id

81

において，xλ1+k+s−11 xλ2+k+s−2

2 · · · xλk+sk xs−1k+1 · · · x0k+sの係数を考えるのだが，∆(x)

から，xs1xs2 · · · xskxs−1k+1 · · · x0k+sをとらねばならず，残りは，

(x1 − x2)(x1 − x3) · · · (x1 − xk)(x2 − x3) · · · (x2 − xk)

· · ·(xk−1 − xk)

(x1 + · · · xk + xk+1 + · · · xk+s)i1 · · · (xd1 + · · · xdk + xdk+1 + · · · xdk+s)

id

となる．ここから，xλ1+k−11 xλ2+k−2

2 · · · xλkk の係数を拾えばよいことになり，変数が

x1, · · · , xkの場合と一致する．

補足 4.19. Section 5で導入するシューア多項式 Sλを使えば，

P i = P (i1,i2,··· ,id) =∏

1≤j≤d

pj(x)ij =

∑λ

χλ(Ci)Sλ

となる（λは dの分割である）．これを使ってFrobenius公式を証明する（Section

6）．つまり，冪和対称式をシューア多項式で表せば指標がわかる．

証明は Section 6で行う（シューア多項式が必要）．この Sectionの残りでは例や応用をいくつか述べる．

例 4.20. ３次対称群の場合に確かめてみよう．S3の共役類は

C(3,0,0), C(1,1,0), C(0,0,1)

の三つである．代表元はそれぞれ 1 ∈ C(3,0,0), (1)(2, 3) ∈ C(1,1,0), (1, 2, 3) ∈ C(0,0,1)

である．変数として x1, x2, x3を用意する．このとき

pj(x) = xj1 + xj2 + xj3 ∆(x) = (x1 − x2)(x2 − x3)(x1 − x3)

であるので，

1. C(3,0,0)に対して，∆(x)∏

j pj(x)ij は

f(x) = ∆(x)(x1 + x2 + x3)3(x21 + x22 + x23)

0(x31 + x32 + x33)0

よって，

χ(3)(C(3,0,0)) = [f(x)](3+3−1,0+3−2,0+3−3) = [f(x)](5,1,0) = 1

χ(1,1,1)(C(3,0,0)) = [f(x)](1+3−1,1+3−2,1+3−3) = [f(x)](3,2,1) = 1

χ(2,1)(C(3,0,0)) = [f(x)](4,2,0) = 2

となる．idC(3,0,0)なので，指標は表現空間の次元であることに注意．

82

2. C(1,1,0)に対して，

f(x) = ∆(x)(x1 + x2 + x3)(x21 + x22 + x23)

であり，

χ(3)(C(1,1,0)) = [f(x)](5,1,0) = 1

χ(1,1,1)(C(1,1,0)) = [f(x)](3,2,1) = −1χ(2,1)(C(1,1,0)) = [f(x)](4,2,0) = 0

3. C(0,0,1)に対してはf(x) = ∆(x)(x31 + x32 + x33)

なので，

χ(3)(C(0,0,1)) = [f(x)](5,1,0) = 1

χ(1,1,1)(C(0,0,1)) = [f(x)](3,2,1) = 1

χ(2,1)(C(0,0,1)) = [f(x)](4,2,0) = −1

以上は以前計算した結果と一致する（see Section 4）

　共役類の元の数　 1 3 2

S3の共役類の代表元 1 σ = (1, 2) τ = (1, 2, 3)

自明表現 U の指標 1 1 1

交代表現 U ′の指標 1 −1 1

標準表現 V の指標 2 0 −1 = ω + ω2

例 4.21. Sdの標準表現を考える．V(d−1,1)である．ヤング図形の長さ l(λ)は 2であるので，変数としては x1, x2のみを考えればよい．そして l1 = d− 1 + 2− 1 = d,

l2 = 1 + 2− 2 = 1である．そこで

χ(d−1,1)(C(i1,i2,··· ,id)) = [(x1 − x2)(x1 + x2)i1(x21 + x22)

i2 · · · (xd1 + xd2)id ](d,1)

= [(x1 − x2)(xi11 + i1xi1−11 x2 + · · ·+ xi12 )(x

21 + x22)

i2 · · · (xd1 + xd2)id ](d,1) = i1 − 1

となる．（Section 4.2 ですでに計算した）．

4.3.2 次元公式

さて，フロベニウスの公式を認めて，次元公式を導いてみよう．次元はχλ(e)を求めればよい．そして，eに対する共役類はC(d,0,··· ,0)となる．そこで，

dimVλ = χλ(C(d,0,··· ,0)) = [∆(x)(x1 + · · ·+ xk)d](l1,··· ,lk)

83

となる（kは十分大）．この [∆(x)p1(x)d]lを計算したい．

まず∆(x)はファンデルモンデ行列式を使って，

∆(x) =

∣∣∣∣∣∣∣1 xk · · · xk−1k...

......

1 x1 · · · xk−11

∣∣∣∣∣∣∣ =∑σ∈Sk

sgn(σ)xσ(1)−1k · · · xσ(k)−11

となる．

Proof. ∆(x)が行列式で書けることは，(xi− xj)を因子にもち，次数を比べて，定数倍であることがわかるので，最後に xk−11 · · · xk−1の係数を比べればよい．二番目の等式は，行列式の定義から∑

τ∈Sk

sgn(τ)a1τ(1) · · · akτ(k) =∑τ∈Sk

sgn(τ)xτ(1)−1k · · · xτ(k)−11

となることから従う．

次に

(x1 + · · ·+ xk)d =

∑r1+···+rk=d

d!

r1! · · · rk!xr11 · · · x

rkk

である．よって，

∆(x)(x1 + · · ·+ xk)d =

∑σ∈Sk

sgn(σ)xσ(1)−1k · · · xσ(k)−11

∑r1+···+rk=d

d!

r1! · · · rk!xr11 · · · x

rkk

=∑

σ∈Sk,r1+···+rk=d

sgn(σ)d!

r1! · · · rk!xr1+σ(k)−11 · · · xri+σ(k−i+1)−1

i · · · xrk+σ(1)−1k

である（x1, · · · , xkの d+ k(k−1)2次斉次式）．そして，xl11 · · · x

lkk（これも d+ k(k−1)

2

次式）の係数は ∑sgn(σ)

d!

(l1 − σ(k) + 1)! · · · (lk − σ(1) + 1)!

となる．ここで和は σ ∈ Skで lk−i+1 − σ(i) + 1 ≥ 0（1 ≤ ∀i ≤ k）となるものでとっている．（or lj − σ(k − j + 1) + 1 ≥ 0（1 ≤ j ≤ k））．これを書き換えると，

d!

l1! · · · lk!∑σ∈Sk

sgn(σ)k∏

j=1

lj(lj − 1) · · · (lj − σ(k − j + 1) + 2)

=d!

l1! · · · lk!

∣∣∣∣∣∣∣1 lk lk(lk − 1) · · ·...

......

...

1 l1 l1(l1 − 1) · · ·

∣∣∣∣∣∣∣ =d!

l1! · · · lk!∏i<j

(li − lj)

84

Proof. 直接証明すればよい．∑sgn(σ)

d!

(l1 − σ(k) + 1)! · · · (lk − σ(1) + 1)!

=d!

l1! · · · lk!∑

sgn(σ)l1(l1 − 1) · · · (l1 − σ(k) + 2) · · · lk(lk − 1) · · · (lk − σ(1) + 2)

=d!

l1! · · · lk!∑σ∈Sk

sgn(σ)l1(l1 − 1) · · · (l1 − σ(k) + 2) · · · lk(lk − 1) · · · (lk − σ(1) + 2)

となる．ここで，二番目の式の和は σ ∈ Skで lk−i+1 − σ(i) + 1 ≥ 0（1 ≤ ∀i ≤ k）となるものでとっているが，三番目の式に移れる理由は，すべての σ ∈ Skで和をとっても，lk−i+1 − σ(i) + 1 = 0なる項が含まれるなら零となるからである．また，∣∣∣∣∣∣∣1 lk lk(lk − 1) · · · lk(lk − 1) · · · (lk − k + 2)...

......

......

1 l1 l1(l1 − 1) · · · l1(l1 − 1) · · · (l1 − k + 2)

∣∣∣∣∣∣∣ =∑

sgn(σ)a1σ(1) · · · akσ(k)

=∑

sgn(σ)lk(lk − 1) · · · (lk − σ(1) + 2) · · · l1(l1 − 1) · · · (l1 − σ(k) + 2)

となる．この行列式において li = ljとすれば零になるので，因子として (li−lj)を持つことがわかる．よって

∏i<j(li− lj)を因子としてもつ．さらに，これは k(k−1)/2

次式であるが，行列式も k(k− 1)/2次である．よって det = c∏

i<j(li− lj)となる．lk−11 lk−22 · · · lkの次数を比べれば，c = 1であることがわかる．

以上から 命題 4.22 (次元公式). 分割 λ = λ1 + · · ·+ λkに対するSdの既約表現を Vλとすれば，

dimVλ =d!

l1! · · · lk!∏i<j

(li − lj), li = λi + k − i

4.3.3 hook length forumla

次元公式の計算方法としては，ヤング図形の中の鉤型（hook）の長さを計算することによるものがある．それについて見ていこう．ヤング図形のある箱に対する「hookの長さ」とは，その箱の右，下及びそれ自身の箱の数である．例えば，下の図では hook lengthは４である．また下右図は各箱の hook lengthを書いている．

85

6 4 3 1

124

1

このとき， 命題 4.23 (hook length formula).

dimVλ =d!∏

each box(hook lengths) 例えば，上の例なら

dimVλ =8!

6 · 42 · 3 · 2= 70

となる．

Proof. 分割を λ1 + · · · + λkとする．このときのヤング図形は l(λ) = k行である．ヤング図形の第一列の hook lengthは

l1 = λ1 + k − 1, l2 = λ2 + k − 2, · · · , lk = λk

になる．そこで第一行の長さについての帰納法で証明する．まず第一行の長さが 1の場合を考える．つまり，一列しかなくて l(λ) = dの場合を考えると，λ = 1+ · · ·+1

である．次元公式を使えば，表現空間の次元は

Vλ =d!

d!(d− 1)! · · · 1!∏

1≤i<j≤d

(1 + d− i− (1 + d− j))

=d!

d!(d− 1)! · · · 1!∏i<j

(j − i) = 1

である．一方，hook length 公式に代入しても 1となる．よってこの場合には hook

length公式は成立する（λ = 1 + · · ·+ 1は 1次元交代表現）．第一行の長さが p− 1のヤング図形に対して，

d!

l1! · · · lk!∏i<j

(li − lj) =d!∏

each box(hook lengths)

が成立したと仮定する．分割 λ = λ1 + · · ·+ λkを考える，ヤング図形 λの第一行の長さが pであるとする．このヤング図形から第一列を取り去った d− kの分割 λ′

86

を考える，λ′の長さ l(λ′)は k以下である．また第一行の長さが p− 1であるので，仮定から，

(d− k)!(l1 − 1)! · · · (lk − 1)!

∏i<j

(li − lj) =(d− k)!∏

each box in λ′(hook lengths)

さらに，

dimVλ =d!

l1! · · · lk!∏i<j

(li − lj) =d!

(d− k)!1

l1l2 · · · lk(d− k)!

(l1 − 1)! · · · (lk − 1)!

∏i<j

(li − lj)

=d!

(d− k)!1

l1l2 · · · lk(d− k)!∏

each box in λ′(hook lengths)

=d!∏

each box in λ(hook lengths)

4.3.4 応用例 1

フロベニウスの公式や次元公式の応用について考えよう．Section 4.3.2 において，i = (d)に対して，χλ(Ci) = χλ(e) = dimVλを計算した．ここでは，

i = (d−m, 0, · · · , 0, 1︸︷︷︸m

, 0, · · · , 0)

に対する χλ(Ci)を計算する．つまり g = (1, · · · ,m) ∈ Sdに対する指標 χλ(g)である．手法は次元公式のときと同様である．求めるべきは

[∆(x)(x1 + · · ·+ xk)d−m(xm1 + · · ·+ xmk )]l

である．そこで，

∆(x)(x1 + · · ·+ xk)d−m

∑i

xmi

=∑i

∑σ∈Sk,r1+···+rk=d−m

sgn(σ)(d−m)!

r1! · · · rk!xr1+σ(k)−11 · · · xri+σ(k−i+1)−1+m

i · · · xrk+σ(1)−1k

であるので，xl11 · · · xlkk の係数は∑

i

∑Si

k

sgn(σ)(d−m)!

(l1 − σ(k) + 1)! · · · (li − σ(k − i+ 1) + 1−m)! · · · (lk − σ(1) + 1)!

87

となる．ここでSikは σ ∈ Skで lj − σ(k − j + 1) + 1 ≥ 0（j = i）かつ li − σ(k −

i+ 1) + 1−m ≥ 0となるものである．よって，次元公式の証明と同様にして，∑i

(d−m)!

l1! · · · lk!∑Sk

sgn(σ)

∏j =i

lj(lj − 1) · · · (lj − σ(k − j + 1) + 2)

× li · · · (li −m)(li − 1−m)(li − 2−m) · · · (li − σ(k − i+ 1) + 2−m)

=∑i

(d−m)!

l1! · · · lk!li · · · (li −m+ 1)

∑Sk

sgn(σ)∏j =i

lj(lj − 1) · · · (lj − σ(k − j + 1) + 2)

× (li −m) · · · (li − σ(k − i+ 1) + 2−m)

そこで∑

Skの中は∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 lk lk(lk − 1) · · · lk · · · (lk − k + 2)...

......

......

1 li −m (li −m)(li −m− 1) · · · (li −m) · · · (li − k + 2−m)...

......

......

1 l1 l1(l1 − 1) · · · l1 · · · (l1 − k + 2)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣となる．s = i, t = iに対して，ls = ltとすれば，この行列式は消えるので (ls− lt)という項をもつ．また s = iに対して，ls = li −mとしても行列式は消えるので，(li − ls −m)という項をもつ．そこで，

c×∏

s<t(ls − lt)∏k

s=1(li − ls −m)

−m∏

s =i(li − ls), cは定数

となる．行列式の lk−1l2k−2 · · · lk−11 の係数は1であり，一方，上の式の lk−1l

2k−2 · · · lk−11

の係数も 1である．よって定数 c = 1であり，

χλ(g) =(d−m)!

−m× l1! · · · lk!∑i

m∏s=1

(li − s+ 1)

∏s<t(ls − lt)

∏ks=1(li − ls −m)∏

s=i(li − ls)

=1

−m2 d!(d−m)!m

d!∏

s<t(ls − lt)l1! · · · lk!

∑i

∏ks=1(li − ls −m)

∏ms=1(li − s+ 1)∏

s =i(li − ls)

=dimVλ−m2hm

k∑i=1

ψ(li)

ϕ′(li)

となる．ここで，

ϕ(x) =k∏

s=1

(x− ls), ψ(x) = ϕ(x−m)m∏s=1

(x− s+ 1)

であり．hm =d!

(d−m)!mは g = (1, · · · ,m) ∈ Sdと共役な元の数（m > 1）で

ある．

88

命題 4.24. g = (1, · · · ,m)とする．このとき，

χλ(g) =dimVλ−m2hm

k∑i=1

ψ(li)

ϕ′(li).

さらに，∑k

i=1 ψ(li)/ϕ′(li)は，ψ(x)/ϕ(x)を x = ∞の周りでローラン展開したと

き，∑cn/x

nの x−1の係数等しい．

Proof. 二番目の主張を証明する．留数については下の補足を見よ．まず，留数定理から，rが十分大として

Res(∞) = − 1

2πi

∫|z|=r

f(z)dz = −c1

となる．一方，1

2πi

∫|z|=r

f(z)dz =∑i

Res(ai)

となる．そこで，ψ(z)/ϕ(z)の各極 z = li（1位の極）での留数を計算すると，

Res(li) = (z − li)ψ(z)

ϕ(z)

∣∣∣∣z=li

=

∏ks=1(li − ls −m)

∏ms=1(li − s+ 1)∏

s=i(li − ls)

となることがわかる．以上をあわせれば，∑k

i=1 ψ(li)/ϕ′(li)は，ψ(z)/ϕ(z)をロー

ラン展開したときの z−1の係数となる．

補足 4.25. z =∞に対する留数には注意が必要である．まず z = a（a =∞）f(z)が k位の極を持つとき，

f(z) =c−k

(z − a)k+ · · ·+ c−1

z − a+∞∑n=0

an(z − a)n

と展開できる．そして留数をRes(a, f) = c−1として定義する．または，

c−1 =1

2πi

∫|z−a|=r

f(z)dz =1

(k − 1)!

dk−1

dzk−1(z − a)kf(z)|z=a

として定義する．このとき，留数定理とは∫C

f(z)dz =∑i

Res(ai, f)

であった．ここでCは極 a1, · · · , asを囲む閉曲線である．これを z =∞の極まで拡張するには，C∪∞ = P 1(C)だとして，微分形式 f(z)dzの積分を考える必要がある（微分形式で考えるのが本当の留数）．そこで，

f(z)dz = f(1/w)d(1/w) = −f(1/w)w−2dw

89

となる．f(z)の z =∞におけるローラン展開

f(z) = c−kzk + · · ·+ c−1z +

∑cn/z

n

を考えたとき，

−f(1/w)w−2 = −c−kwk+2 − · · · − c−1/w3 − c0/w2 − c1/w −∑

cn/zn

となるので，留数は−c1となる．そして閉リーマン面である P 1(C)上の有理型関数に対する留数定理は ∑

Res(ai, fdz) = 0

となる．

さて，上の命題 4.24の公式を別の形で書いてみよう．分割λに対して，対角成分にある箱の数を分割 λの rankとよぶ．さらに下のようにして，対角成分の横側にある箱を下から各行ごとに数えて，b1, · · · , brと書く．また，対角成分の下側にある箱の数を右から各列ごとに数えて a1, · · · , arとする．ここで，a1 < a2 < · · · < ar,

b1 < b2 < · · · < brとなる．

rank= 4

b4 = 9b3 = 7b2 = 6b1 = 0

a4 = 6a3 = 4a2 = 3a1 = 2

この数を (a1 a2 · · · arb1 b2 · · · br

)と書き分割 λの特性（characteristics）とよぶことにする．上の例の特性は(

2 3 4 6

0 6 7 9

)である．

補題 4.26. 分割 λに対する特性を考えたとき，次の集合は一致する．

l1, · · · , lk, k − 1− a1, · · · , k − 1− ar = 0, 1, · · · , k − 1, k + b1, · · · , k + br

ここで li = λi + k − iである．

90

Proof. まず，rankが rであるとすると，l1 = k+ br, l2 = k+ br−1,・・・, lr = k+ b1が成立する．そこで，我々は

lr+1, · · · , lk, k − 1− a1, · · · , k − 1− ar = 0, 1, · · · , k − 1

を確かめればよい．それは次の図から明らかであろう．つまり，ヤング図形の左下端から右上へ淵に沿って番号をつける．このとき箱の下側に書いた数が順にk − 1 − ar, k − 1 − ar−1, · · · , k − 1 − a1 に一致して，箱の右側に書いた数が順に lk, lk+1, · · · , lr+1に一致することがわかる．

0 123 4 5

67

8

k − 1− ai

li = λi + k − i

この補題から，

f(y) =

r∏i=1

(y − bi)

r∏i=1

(y + ai + 1)

, g(y) = f(y −m)m∏j=1

(y − j + 1)

とすれば，ψ(x)/ϕ(x) = g(y)/f(y), y = x− k

が成立する．よって∑k

i=1 ψ(li)/ϕ′(li)は g(y)/f(y)を y = ∞でローラン展開した

ときの y−1の係数である．（y =∞の話なので y = x− kのずらしは関係ない）．

Proof. まず補題から，

k∏i=1

(x− li)r∏

i=1

(x− k + 1 + ai) =k∏

i=1

(x− i+ 1)r∏

i=1

(x− k − bi)

91

が成立する．よって

ϕ(x) =k∏

i=1

(x− li) =∏(x− i+ 1)

∏(x− k − bi)∏

(x− k + 1 + ai)=

k∏i=1

(x− i+ 1)f(x− k)

となる．そこで，

ψ(x)/ϕ(x) = ϕ(x−m)m∏j=1

(x− j + 1)/ϕ(x)

=

∏ki=1(x−m− i+ 1)f(x−m− k)

∏mj=1(x− j + 1)∏k

i=1(x− i+ 1)f(x− k)

=f(y −m)

f(y)

k∏i=1

(x−m− i+ 1)m∏

i=k+1

(x− i+ 1)

=f(y −m)

f(y)

m∏l=m−k+1

(x− k − l + 1)m−k∏l=1

(x− k − l + 1) =g(y)

f(y)

以上まとめると，

命題 4.27. g = (1, 2, · · · ,m)とし，分割 λに対する表現の指標を χλとする．またf(y), g(y)を上で定義した λの特性およびmに依存した関数とする．このとき

χλ(g) =dimV

−m2hm(−Res(∞, g(y)/f(y)))

が成立する．またRes(∞, g(y)/f(y))は y =∞における g(y)/f(y)の留数であり，g(y)/f(y) =

∑cn/y

nとy =∞においてローラン展開したとき，Res(∞, g(y)/f(y)) =−c1となる．

例 4.28. m = 2のとき，つまり g = (1, 2)の場合に具体的に計算してみると，

χλ(g) =dimVλd(d− 1)

r∑i=1

(bi(bi + 1)− ai(ai + 1))

となる．

Proof. この証明は単なる面倒な計算なので，認めて先に行ったほうがよい．（または，もう少し簡単に計算する方法があるかもしれないど，かなり直接的に証明した）．まず，

χλ(g) =dimV

2d(d− 1)Res(∞, g(y)/f(y))

92

となるので，Res(∞, g(y)/f(y))を計算する．y =∞での留数の定義から，y = 1/w

としたとき，

g(y)

f(y)=

∏(y − 2− bi)∏(y + ai − 1)

∏(y + ai + 1)∏(y − bi)

y(y − 1)

=

∏(1− 2w − biw)∏(1 + aiw − w)

∏(1 + aiw + w)∏

(1− biw)(1− w)(1/w)2

となるので，このw1の係数をひろう必要がある．つまり

1

3!

d3

dw3

(∏(1− 2w − biw)∏(1 + aiw − w)

∏(1 + aiw + w)∏

(1− biw)(1− w)

)|w=0

=1

6

(∏(1− 2w − biw)∏(1 + aiw − w)

∏(1 + aiw + w)∏

(1− biw)

)′′′|w=0

−3(∏

(1− 2w − biw)∏(1 + aiw − w)

∏(1 + aiw + w)∏

(1− biw)

)′′|w=0

を計算すればよい．簡単のために

H1(w) =∏

(1−2w−biw)∏

(1+aiw+w), H2(w) =∏

(1+aiw−w)∏

(1−biw)

とし，A = −r +∑

(ai − bi)とする．このとき，

H1(0) = 1, H2(0) = 1

H ′1(0) =r∑

i=1

(−2− bi) + ai + 1 = −r +r∑

i=1

(ai − bi) = A

H ′2(0) =∑

ai − 1− bi = −r +∑

(ai − bi) = A

H ′′1 (0) =∑i

(−2− bi)(2 + bi +∑j

(aj − bj − 1)) + (ai + 1)(−ai − 1 +∑j

(aj − 1− bi)),

=A2 −∑i

(2 + bi)2 + (ai + 1)2

H ′′2 (0) =∑i

(ai − 1)(−ai + 1 +∑j

(aj − bj − 1))− bi(bi +∑j

(aj − bj − 1))

=A2 −∑i

(ai − 1)2 + b2i

93

H ′′′1 (0) =∑i=j

(bi + 2)(bj + 2)(4 + bi + bj + A)−∑i,j

2(bi + 2)(aj + 1)(bi − aj + 1 + A)

+∑i=j

(ai + 1)(aj + 1)(−ai − aj − 2 + A)

=−∑i

(bi + 2)2(4 + 2bi + A)−∑i

(ai + 1)2(−2ai − 2 + A)

+∑i,j

(bi + 2)(bj + 2)(4 + bi + bj + A)

− 2(bi + 2)(aj + 1)(bi − aj + 1 + A) + (ai + 1)(aj + 1)(−ai − aj − 2 + A)

H ′′′2 (0) =∑i=j

bibj(bi + bj + A)− 2∑i,j

bi(aj − 1)(bi − aj + 1 + A)

+∑i =j

(ai − 1)(aj − 1)(−ai − aj + 2 + A)

=−∑i

b2i (2bi + A)−∑i

(ai − 1)2(−2ai + 2 + A)

+∑i,j

bibj(bi + bj + A)− 2bi(aj − 1)(bi − aj + 1 + A)

+ (ai − 1)(aj − 1)(−ai − aj + 2 + A)

となる．そこで，

(H1(w)H2(w)−1)′′′|w=0

=H ′′′1 (0)H2(0) + 3H ′′1 (0)(H2(0)−1)′ + 3H ′1(0)(H2(0)

−1)′′ + (H2(0)−1)′′′H1(0)

=H ′′′1 (0)− 3H ′′1 (0)H′2(0) + 3H ′1(0)(2H

′2(0)

2 −H ′′2 (0))−H2(0)′′′ + 6H ′2(0)H

′′2 (0)− 6H ′2(0)

3

=H ′′′1 (0)−H ′′′2 (0) + 12A∑

1 + bi + ai

=8∑i,j

(1− aiaj + 2bi + bibj)−∑

(bi + 2)2(4 + 2bi + A)−∑

(ai + 1)2(−2ai − 2 + A)

+∑

b2i (2bi + A) +∑

(ai − 1)2(−2ai + 2 + A) + 12A∑

1 + bi + ai

=8∑i,j

(1− aiaj + 2bi + bibj) + 4∑

(1 + ai + bi)(3ai − 3bi + 2A− 3)

また

− 3(H1(w)H2(w)−1)′′|w=0 = −3(H ′′1 (0)− 2H ′1(0)H

′2(0) + 2(H ′2(0))

2 −H ′′2 (0))

=− 3(A2 −∑i

(2 + bi)2 + (ai + 1)2 − A2 +

∑i

(ai − 1)2 + b2i ) = 12∑

1 + bi + ai

94

なので，求める値は

8∑i,j

(1− aiaj + 2bi + bibj) + 4∑

(1 + ai + bi)(3ai − 3bi + 2A− 3) + 12∑

1 + bi + ai

=8∑i,j

(1− aiaj + 2bi + bibj) + 4∑

(1 + ai + bi)(3ai − 3bi + 2A)

=12∑

(1 + ai + bi)(ai − bi) = −12∑

(bi(bi + 1)− ai(ai + 1))

となる．よって，

χλ(g) =dimV

d(d− 1)

∑(bi(bi + 1)− ai(ai + 1))

となる．

4.3.5 応用例 2

補題 4.29. g = (1, 2, · · · , d) ∈ Sdとする．このとき λが鉤型なら χλ(g) = ±1であり，λが鉤型でないなら χλ(g) = 0となる．実際，

χλ(g) =

(−1)s if λ = (d− s, 1, · · · , 1), 0 ≤ s ≤ d− 1

0 otherwise

となる．

Proof. Frobenius公式において変数の数を dとしても構わない．Frobenius公式から∆(x)(xd1+ · · ·+xdd)の xl11 x

l22 · · · x

ldd の係数を考えればよい．ここで li = λi+d− i

であり l1 > l2 > · · · ld ≥ 0である．

∆(x) =∑

sgn(σ)xσ(1)−1d · · · xσ(d)−11

であるので，

∆(x)(xd1 + · · · xdd) =d∑

p=1

∑σ

sgn(σ)xσ(1)−1d · · · xσ(d)−11 xdp

となる．よって xl11 xl22 · · · x

ldd の係数が零でない場合は，l1 > l2 > · · · ld ≥ 0により，

sgn(σ)xσ(1)−1d · · · xσ(d)−11 xd1

の場合を考えればよい．そして，σとしては，

σ =

(d d− 1 d− 2 · · · t t− 1 · · · 1

t d d− 1 · · · t+ 1 t− 1 · · · 1

)

95

となるときであり，

sgn(σ)xd+t−11 xd−12 x

(d−1)−13 · · · x0d = (−1)d−txd+t−1

1 xd−12 x(d−1)−13 · · · x0d

となる．l1 = λ1 + d − 1 = d + t − 1であるので λ1 = tであり，t = d − sとすれば，λ = (d− s, 1, · · · , 1, 0, · · · , 0)であり，係数は (−1)sになる．

このλ = (d−s, 1, · · · , 1)に対する既約表現が何であるか見てみよう．V（dimV =

d − 1）を標準表現とすれば ΛsV は既約表現であったが，実は，これが λ = (d −s, 1, · · · , 1)に対する既約表現になるのである．以下で，この事実を証明する．（ただし，かなり面倒である．よりよい方法は section 6で与える）．まず g = (1, 2, · · · , d)のΛqCd = ΛqV ⊕Λq−1V の指標は零（q ≥ 1）であるので，帰納的にχΛqV (g) = (−1)qであることがわかる．よって，補題からV(d−s,1··· ,1) ∼= ΛqV

となる qが存在する．さらに，次元公式を考えれば，dimV(d−s,1··· ,1) = dimΛsV =

dimΛd−1−sV であることもわかるので，

V(d−s,1,··· ,1) ∼= ΛsV, or V(d−s,1,··· ,1) ∼= Λd−1−sV

である．そして，dが偶数なら，g = (1, 2, · · · , d)の指標を考えれば χΛsV (g) =

(−1)s = (−1)d−1−s = χΛd−1−sV (g)であるので，V(d−s,1,··· ,1) ∼= ΛsV となる．しかしdが奇数のときは，これだけでは区別できない．そこで，別の元に対する指標を計算することにより，ΛsV とΛd−1−sV を区別しよう．既約表現 ΛsV に対する指標は，すでに計算した（section 4.2）．我々は g =

(1)(2) · · · (d− 2)(d, d+ 1)という元の指標を考える．このとき

χΛs(V )(g) =d− 1− 2s

d− 1

(d− 1

s

)= −χΛd−1−s(V )(g)

となるのであった．一方，χ(d−s,1,··· ,1)(g)を Frobeniusの公式を使えば，

χ(d−s,1,··· ,1)(g) =d− 1− 2s

d− 1

(d− 1

s

)となることがわかる．

証明 1. 先ほどの Section 4.3.4の結果

χλ(g) =dimVλd(d− 1)

r∑i=1

(bi(bi + 1)− ai(ai + 1))

に代入すればよい．

96

証明 2. 別証明を与える．ただし，対称式の関係式や Kostska数などを使うので，つぎの section 5 を読み終わった後で見て欲しい．まず，計算すべきは，

[∆(x1, · · · , xs+1)(x1 + · · ·+ xs+1)d−2(x21 + · · ·+ x2s+1)](d,s,s−1,··· ,1)

である．p1 = h1であり，p2 = −h21 + 2h2となる（hiは完全対称式）．そこでHλ = hλ1 · · ·hλk

としたとき，

pd−21 p2 = hd−21 (−h21 + 2h2) = −H(1, 1, 1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸) + 2H(2, 1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸d−1

)

よって，Kostska数Kλµ = [∆(x)Hµ(x)]l（li = λi + k − i．また kは多項式の変数の数）を計算すればよい．今の場合には，ヤング図形を書けば計算することが可能であり（c.f. Section 5.3.1）

[−∆H(1,··· ,1) + 2∆H(2,1,··· ,1)](d,s,s−1,··· ,1) = −K(d−s,1,··· ,1),(1,1,··· ,1) + 2K(d−s,1,··· ,1),(2,1,··· ,1)

=−(d− 1

s

)+ 2

(d− 2

s

)=d− 1− 2s

d− 1

(d− 1

s

)となる．

以上の考察から 命題 4.30. Sdの標準表現を V とする．既約交代テンソル積表現 ΛsV に対応する分割は鉤型

λ = (d− s, 1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸s

)

である．またΛsV に対する分割とΛd−1−s(V )に対する分割は共役となる．

97

5 対称式２（シューア多項式）前 sectionのFrobenius公式において，冪和対称式が現れた．実際，Frobenius公式を証明するには，対称式に関する知識を必要とする．また，Frobenius公式の具体的な計算や応用には，対称式は必須である．そこで，この sectionでは対称式について学ぶことにする．Section 2において対称式の基本的なことを述べたが，より詳しく見ていこう多項式の変数は x1, · · · , xkとする．また，ここで，考える多項式の多くは次数 dの斉次多項式である．また，dの分割 λ = λ1 + λ2 + · · ·+ λkは λ1 ≥ λ2 ≥ · · ·λk ≥ 0を満たすとする．つまり l(λ) ≤ kとなるとする．

5.1 定義

以前導入し対称式は，冪和対称式pj : j = 0, 1, 2, · · · 及び基本対称式e0, · · · , ekである．まず，これらは次のようにして定義できる．冪和対称式を

P (t) =∞∑j=1

pjtj−1 =

k∑i=1

xi1− xit

=k∑

i=1

d

dtlog

1

1− xit

により定義できる．また基本対称式は

E(t) =k∏

i=1

(1 + xit) =∑j=0

ejtj

はである．これら以外にもいくつかの対称式を定義しておく． 定義 5.1. 完全対称式 hj | j = 0, 1, · · · を

H(t) =k∏

i=1

1

1− xit=∞∑j=0

hjtj

によりで定義する． たとえば，３変数の場合には，

h1 = x1 + x2 + x3, h2 = x21 + x22 + x23 + x1x2 + x1x3 + x2x3

となる．一般にはhd =

∑i1+···+ik=d

xi11 · · · xikk

となるので，hd =

∑|λ|=d

Mλ(x)

98

と書ける．ここで和は dのすべての分割について和をとっている．ここでMλはSection 2 で導入した軌道和対称式である．

定義 5.2. k ∈ Z≥0を固定する．dの分割 λで l(λ) ≤ kなるものを考える．つまり，d = λ1 + λ2 + · · ·+ λk（λ1 ≥ λ2 ≥ · · ·λk ≥ 0） を考える．このとき，d次対称式Hλを

Hλ := hλ1 · · ·hλk(5.1)

で定義する．また d次対称式Mλ（軌道和対称式）を

Mλ =∑

Xα (5.2)

ここで和は (λ1, · · · , λk)のすべての異なる置換 (α1, · · · , αk)でとっている（下の例をみよ）．また，kを固定して，k ≥ µ1 ≥ · · · ≥ µl ≥ 0となる dの分割 µ1 + · · · + µlを考える（つまり第一行の箱の数が k以下のものであり，l > kでも構わない）．このような µに対して，d次対称式Eµを

Eµ := eµ1 · · · eµl

とする．

例 5.1. ３変数の場合に考えてみよう．まず完全対称式は

H(1,1) = h1h1 = (x1+x2+x3)2, H(2,0) = h2h0 = x21+x

22+x

23+x1x2+x1x3+x2x3

などとなる．次に，M(1,1) =M(1,1,0)は x11x

12x

03のすべての異なる置換を考えたものなので

M(1,1) = x11x12x

03 + x01x

12x

13 + x11x

02x

13 =

1

2!1!

∑σ∈S3

x1σ(1)x1σ(2)x

0σ(3) = x1x2 + x1x3 + x2x3

同様に，

M(2,0,0) =1

1!2!

∑σ∈S3

x2σ(1) = x21 + x22 + x23

となる．さらに，

E(1,1) = e1e1 = (x1 + x2 + x3)2, E(2,0) = e2e0 = x1x2 + x1x3 + x2x3

次にシューア多項式を導入する．

99

定義 5.3 (シューア多項式). 行列 (aij)i,jに対して，その行列式を |aij|と書くことにする．分割 λ = (λ1, · · · , λk)に対して，

Sλ =|xλi+k−i

j ||xk−ij |

=|xλi+k−i

j |∆

=1

∆

∣∣∣∣∣∣∣∣∣xλ1+k−11 xλ2+k−2

1 · · · xλk1

xλ1+k−12 xλ2+k−2

2 · · · xλk2

......

. . ....

xλ1+k−1k xλ2+k−2

k · · · xλkk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

∆

∣∣∣∣∣∣∣∣∣xl11 xl21 · · · xlk1xl12 xl22 · · · xlk2...

.... . .

...

xl1k xl2k · · · xlkk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣とする．ここで li = λi + k − iとしている．分子，分母が交代式なので Sλは対称多項式である．また次数は d =

∑λiである．この d次対称式 Sλをシュー

ア多項式と呼ぶ． 補足 5.2. a ∈ Nkとした場合でも，Saは定義可能である．ただし，この場合にはa = (a1, · · · , ak)として，(a1 + k − 1, a2 + k − 2, · · · , ak) ∈ (Z≥0)k以外の時は 0とする．またある σ ∈ Skおよびある分割 λが存在して，λ+ δ = σ(a+ δ)となるが，このときは Sa = sgn(σ)Sλである．

例 5.3. ３変数で考える．このとき

S(1,1) = S(1,1,0) =1

(x1 − x2)(x1 − x3)(x2 − x3)

∣∣∣∣∣∣∣x31 x21 x01x32 x22 x02x33 x23 x03

∣∣∣∣∣∣∣ = x1x2 + x1x3 + x2x3

となる．またS(2,0,0) = x21 + x22 + x23 + x1x2 + x1x3 + x2x3

となる．シューア多項式を計算するのは面倒な感じだが，実は半標準盤を使うことで計算できる．（後述．系 5.34 ）． 命題 5.4. l(λ) ≤ kの dの分割の全体 λλを考える．Sλλは k変数 d次対称式の基底になる．

Proof. まず d次対称式の全体に差積をかければ，d+ k(k−1)2次交代式の全体になる．

シューア多項式の分子 |xλi+k−ij |は d+ k(k−1)

2次の交代式であり，辞書式順序で最高

次の項は xλ1+k−11 · · · xλk

k である．そこで，λを動かしたとき交代式は独立であることがわかる．つまり， ∑

λ

aλ|xλi+k−ij | = 0

100

とすれば，辞書式に順に眺めていけば，aλ = 0（∀λ）であることがわかる．さらに次元を考えれば，d+ k(k−1)

2次交代式の次元と一致するので，|xλi+k−i

j | |λは交代式の基底になる．よって Sλλは基底になる．

さて，上の例をみるといくつかの関係式があることがわかる．例えば，

S(1,1) = E(2,0) = h21 − h2 S(2,0) = H(2,0) = e21 − e2, S(1,0)S(1,0) = S(1,1) + S(2,0)

が成立する．では，一般の場合に同様の関係式が成立するのであろか？次の sub-

sectionでは，そのような関係式を議論する．

5.2 対称式に対するいくつかの恒等式

まず，基本対称式に対して次が成立する．多項式の変数はもちろん x1, · · · , xkである．

∏ki=1(t− xi) =

∑ks=0(−1)k−sek−s(x)tsに xiを代入すれば，次を得る．

命題 5.5.

xpj − e1xp−1j + e2x

p−2j − · · ·+ (−1)kekxp−kj = 0, 1 ≤ j ≤ k, p ≥ k (5.3)

この命題から xpj（p ≥ k）は e1, · · · , ekの多項式と xlj（l = 0, · · · , k − 1）を使って表せることがわかる．さて，E(−t)H(t) = 1であるので，

1 =k∑

j=0

ej(−t)j∞∑l=0

hltl =∑

(−1)jejhltj+l =∞∑p=0

(k∑

j=0

(−1)jejhp−j)tp

となる．ただし，hs = 0（s < 0）としている．よって，

命題 5.6.

hp − e1hp−1 + e2hp−2 + · · ·+ (−1)kekhp−k = 0, p > 0

5.2.1 Giambelliの公式

まず，最初の目的は，上の二つの命題を使って，シューア多項式を完全対称式または基本対称式で表すことである．そこで，上の命題を後で使う形に直しておくと，

hp−m−e1hp−m−1+e2hp−m−2+· · ·+(−1)kekhp−m−k = 0, 0 ≤ m < k, p ≥ k (5.4)

が成立する．(5.3)のときと同様に，hp−m（0 ≤ m < k ≤ p）は e1, · · · , ekの多項式と hk−m−l（l = 1, · · · , k）を使って表せる．

101

そこで，(5.3), (5.4)の漸化式は一致しているので，e1, · · · , ekを変数とする多項式A(p, q)が存在して，

xpj = A(p, 1)xk−1j + A(p, 2)xk−2j + · · ·+ A(p, k) p ≥ k

hp−m = A(p, 1)hk−m−1 + A(p, 2)hk−m−2 + · · ·+ A(p, k)h−m, 0 ≤ m < k, p ≥ k

となる．非負整数 λ1, · · · , λkに対して，

xλ1+k−1j = A(λ1 + k − 1, 1)xk−1j + · · ·+ A(λ1 + k − 1, k)

xλ2+k−2j = A(λ2 + k − 2, 1)xk−1j + · · ·+ A(λ2 + k − 2, k)

· · ·xλkj = A(λk, 1)x

k−1j + · · ·+ A(λk, k)

が j = 1, · · · , kについて成立するので，次の行列表示（k × k行列）を得る．

(xλi+k−ij )ij = (A(λi + k − i, r))ir · (xk−rj )rj

同様に，

hp−m = A(p, 1)hk−m−1 + A(p, 2)hk−m−2 + · · ·+ A(p, k)h−m, 0 ≤ m < k, p ≥ k

において，p = λi + k − i（i = 1, · · · , k）とすれば，p−m = λi + (k −m)− iとなるので，j = k −mとすれば，

(hλi+j−i)ij = (A(λi + k − i, r))ir · (hj−r)rj

という行列表示（k × k行列）を得ることができる．また，(5.4)から次のこともわかる．

補題 5.7. 行列 (hq−p)pq 及び ((−1)q−peq−p)pq は下三角行列であり，対角成分は 1．そして互いに逆行列である．ここで i < 0に対して ei = 0, hi = 0としている．

(hq−p)pq =

1 0 0 0 · · · 0

h1 1 0 0 · · · 0

h2 h1 1 0 · · · 0...

......

. . ....

...

hk−1 hk−2 · · · · · · · · · 1

,

((−1)q−peq−p)pq =

1 0 0 0 · · · 0

−e1 1 0 0 · · · 0

e2 −e1 1 0 · · · 0...

......

. . ....

...

(−1)k−1ek−1 (−1)k−2ek−2 · · · · · · · · · 1

102

である．特に，

(A(λi + k − i, r))ir = (hλi+p−1)ip · ((−1)r−per−p)pr

となる．

この補題から

(xλi+k−ij )ij = (hλi+p−1)ip · ((−1)r−per−p)pr · (xk−rj )rj

となる．この式で行列式をとれば，真ん中の行列式は 1であるので，

det((xλi+k−ij )ij) = det((hλi+p−1)ip) det((x

k−rj )rj)

となる．よって， 命題 5.8 (determinantal formula 1 : Jacobi-Trudy恒等式 or Giambelliの公式). d次シューア多項式と完全対称式の関係は次で与えられる．

Sλ =|xλi+k−i

j ||xk−ij |

= |hλi+j−i| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣hλ1 hλ1+1 · · · hλ1+k−1

hλ2−1 hλ2 · · · hλ2+k−2...

......

...

hλk−k+1 · · · · · · hλk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣特に

hl = S(l), l ≥ 0

が成立する． 次にシューア多項式が基本対称式の多項式として書き表せることをみたい．目的は次． 命題 5.9 (determinantal formula 2 : Giambelliの公式). d次シューア多項式と基本対称式の関係は次で与えられる．λと共役な分割を µ = (µ1, · · · , µl)とすれば，

Sλ = |eµi+j−i| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣eµ1 eµ1+1 · · · eµ1+l−1

eµ2−1 eµ2 · · · eµ2+l−2...

......

...

eµl−l+1 · · · · · · eµl

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ただし，s < 0及び s > kに対して es = 0としている．特に，

ed = S(1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸d

), 0 ≤ d ≤ k

が成立する． 103

前の命題を使えば，次を証明すればよいことになる． 命題 5.10. d次完全対称式と基本対称式の間には次の関係式が成立する．

|hλi+j−i| = |eµi+j−i| (5.5) この命題 5.10を証明するために補題を二つ用意する．

補題 5.11. dの分割 λ = (λ1, · · · , λk)と µ = (µ1, · · · , µl)を互いに共役とする．このとき，

A = λi + k + 1− i | 1 ≤ i ≤ k, B = k + j − µj | 1 ≤ j ≤ l

は交わらず，A ∪B = 1, · · · , k + lとなる．

Proof. まず，λ1 ≥ λ2 ≥ · · ·λk であるので，A内で i = j なら λi + k + 1 − i =λj + k + 1− jとなる．Bでも同様である．また，また l = λ1 ≥ · · ·λk > 0であり，k = µ1 ≥ · · · ≥ µl > 0である．そこで

A ⊂ 1, · · · , k + l, B ⊂ 1, · · · , k + lである．また λ1 + k + 1 − 1 = k + l ∈ Aであり，k + 1− µ1 = 1 ∈ Bとなることに注意する．ヤング図形に対して，右上の箱の横から順に辺にそって，下図のように，k+lから

1まで番号をうつことができるが，これが i行目の右側に書いたものがλi+k+1− iであり，j列目の下側に書いたものが k + j − µjであることがわかる．

λ1 = 5

λ2 = 5

λ3 = 4

λ4 = 4

λ5 = 4

λ6 = 2

λ7 = 1

λ8 = 1

µ1 = 8µ2 = 6

µ3 = 5

µ4 = 5µ5 = 2

13

12

1110

9

8

765

43

2

1

よって，A ∪B = 1, · · · , k + lとなる．

104

次に，r × rの行列A = (aij)を考える．また S = (s1, · · · , sk), T = (t1, · · · , tk)を，si = sj, ti = tjで，si, ti ∈ 1, · · · , rとする．このときAS,T を成分が (asi,tj)ijの k × kの小行列の行列式とする．

補題 5.12. A, Bを r× rの行列でAB = cIrとする．また (S, S ′), (T, T ′)を，それぞれ (1, · · · , r)を置換したものとして，S, T は k個の数からなり，S ′, T ′を r − k個の数からなるものとする．このとき，

cr−kAS,T = sgn

(S, S ′

1, · · · , r

)sgn

(T, T ′

1, · · · , r

)det(A)BT ′,S′

が成立する．

Proof. Cij = id−Eii −Ejj +Eij +Ejiとする．このときA 7→ ACijはAの i列とj列を入れ替える操作である，またA 7→ CijAが i行と j行を入れ替える操作である．また detCij = −1である．そこで，この操作を行っていけば，ある P,Qが存在して

PAQ =

(A1 A2

A3 A4

). AS,T = detA1

とすることができる．つまり

P ↔

(1, · · · , rs1, · · · , sr

)Q↔

(1, · · · , rt1, · · · , tr

)と対応させている．また，この P,Qを使えば，

Q−1BP−1 =

(B1 B2

B3 B4

), BT ′,S′ = detB4

となることがわかる．またAB = cidrなので，

(PAQ)(Q−1BP−1) =

(A1 A2

A3 A4

)(B1 B2

B3 B4

)=

(cidk 0

0 cidr−k

),

となり， (A1 A2

A3 A4

)(idk B2

0 B4

)=

(A1 0

A3 cidr−k

)が成立する．この行列式をとれば，det(PAQ) det(B4) = cr−k detA1となる．よって，

cr−kAS,T = sgn

(S, S ′

1, · · · , r

)sgn

(T, T ′

1, · · · , r

)det(A)BT ′,S′

が成立する．

105

上の二つの補題を使って，(5.5)を証明しよう．

proof of 命題 5.10. まず命題 5.6 を使えば，r × r = (k + l) × (k + l)行列，A :=

(hq−p)pq, B := ((−1)q−peq−p)pqとしたときに，これらは互いに逆行列であることがわかる．ただし，s < 0に対して hs = 0, es = 0．また s > kに対して es = 0としている．上の補題 5.12を適用したい．そこで

T = (λ1 + k, λ2 + k − 1, · · · , λk + 1)

T ′ = (k + 1− µ1, k + 2− µ2, · · · , k + l − µl)

S = (k, k − 1, · · · , 1)S ′ = (k + 1, k + 2, · · · , k + l)

とする．ここで補題 5.11から T ∪ T ′ = 1, · · · , k + lであることに注意．また，

sgn

(S, S ′

1, · · · , r

)= (−1)

k(k−1)2

は明らか．一方

sgn

(T, T ′

1, · · · , r

)= (−1)

k(k−1)2

+d,

となる．実際，下の図において点線の交点を数えれば，

sgn

(λk + 1 λk−1 + 2 · · · λ1 + k k + 1− µ1 k + 2− µ2 · · · k + l − µl

1 2 · · · k k + 1 k + 2 · · · k + l

)= (−1)d

であることがわかる．

13

12

1110

9

8

765

43

2

1

13

12

10

9

8

5

3

2

1 4 6 7 11

106

よって，

sgn

(T, T ′

1, · · · , r

)= (−1)

k(k−1)2

+d,

となる．さて，

AS,T = det((asjti)ji) = det(hti−sj) = det(h(λi+k+1−i)−(k+1−j)) = |hλi+j−1|

となり，

BT ′,S′ =det(bt′js′i) = det((−1)s′i−t′jes′i−t′j) = |(−1)µj+i−jeµj+i−j|

= (−1)∑

µj−j(−1)∑

i|eµi+i−j| = (−1)d|eµi+i−j|

となる．ここで d =∑µj =

∑λiを用いた．よって補題 5.12を使えば，

|hλi+j−1| = 1r−kAS,T = (−1)d(detA)BT ′S′ = (−1)d × 1× (−1)d|eµi+i−j| = |eµi+i−j|

が成立する．

基本対称式と完全対称式の関係式

|hλi+j−1| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣hλ1 hλ1+1 · · · hλ1+k−1

hλ2−1 hλ2 · · · hλ2+k−2...

......

...

hλk−k+1 · · · · · · hλk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣eµ1 eµ1+1 · · · eµ1+l−1

eµ2−1 eµ2 · · · eµ2+l−2...

......

...

eµl−l+1 · · · · · · eµl

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |eµi+i−j|

の特別な場合を考えてみる．µ = (d, 0, · · · , 0)（0 ≤ d ≤ k）とすれば，右辺は edである．そこで µと共役な分割は

λ = (1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸d

)

となるので，

ed =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

h1 h2 h3 · · · hd1 h1 h2 · · · hd−10 1 h1 · · · hd−2...

.... . . . . .

...

0 0 · · · 1 h1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= |(h1−i+j)1≤i,j≤d|

同様に λ = (l)（lは任意の非負整数）となるものを考える．この共役は

µ = (1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸l

)

107

であり，

hl =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3 · · · el1 e1 e2 · · · el−10 1 e1 · · · el−2...

.... . . . . .

...

0 0 · · · 1 e1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= |(e1−i+j)1≤i,j≤l|

補足 5.13. 公式∑k

i=0(−1)ihp−iei = 0を思い出す．上の行列式表示が成立すると仮定して，第一行の余因子展開を使えば，帰納法で上の式を証明もできる．

系 5.14. 多項式の変数を x1, · · · , xkとし，基本対称式と完全対称式を考える，このとき次の関係式が成立する．

ed = |(h1−i+j)1≤i,j≤d| (1 ≤ d ≤ k), hl = |(e1−i+j)1≤i,j≤l| (l ≥ 1)

ここで es = ks = 0（s < 0）．es = 0（s > k）としている．また，このことからh1, · · · , hkが k変数対称式の代数的な基底になっていることもわかる．

Proof. e1, · · · , ekは代数的な基底であった．この eiは h1, · · · , hkの多項式として書くことが出来る．よって h1, · · · , hkは代数的生成元であることがわかる．また h1, · · · , hkが代数的に独立であることは section 2の冪和対称式の独立性と同様に証明すればよい．

5.2.2 Newtonの公式

次に，冪和対称式と基本対称式，完全対称式の関係を見ていこう．それぞれの定義であるE(t), H(t), P (t)を思い出す（see subsection 5.1）．まず，

d

dtlogH(t) =

k∑i=1

d

dtlog

1

1− xit= P (t)

となる．よって，H(t)P (t) = H ′(t)であるので，

∑l=0

(l + 1)hl+1tl =∑r≥0

hrtr∑s≥1

psts−1 =

∑hrpst

r+s−1 =∑l=0

l+1∑s=1

pshl+1−stl

となるので，

108

命題 5.15. 完全対称式と冪和対称式の関係は

lhl =l∑

s=1

pshl−s

である．また

H(t) = exp(∑r≥1

prtr

r)

が成立する． 系 5.16. 完全対称式と冪和対称式は次の行列式表示で関係する．

(−1)l−1pl =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣h1 1 0 · · · 0

2h2 h1 1 · · · 0...

......

...

lhl hl−1 hl−2 · · · h1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , hl =1

l!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

p1 −1 0 · · · 0

p2 p1 −2 · · · 0...

......

...

pl−1 pl−2 pl−3 · · · −l + 1

pl pl−1 pl−2 · · · p1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Proof. 証明は帰納法で行う．まず p1 = h1であることはよいであろう．そこで，l以下に対して上の式が成立すると仮定する．このとき，∣∣∣∣∣∣∣∣∣

h1 1 0 · · · 0

2h2 h1 1 · · · 0...

......

...

(l + 1)hl+1 hl hl−1 · · · h1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)l(l + 1)hl+1 + (−1)l+1hlh1 + (−1)l+2hl−2

∣∣∣∣∣ h1 1

2h2 1

∣∣∣∣∣+ · · ·+ (−1)2lh1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣h1 1 0 · · · 0

2h2 h1 1 · · · 0...

......

...

lhl hl−1 hl−2 · · · h1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)l(l + 1)hl+1 + (−1)l+1hlp1 + (−1)l+2hl−2(−1)p2 + · · ·+ (−1)2lh1(−1)l−1pl=(−1)l((l + 1)hl+1 − hlp1 − hl−2p2 − · · · − h1pl) = (−1)lpl+1

109

次に，∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

p1 −1 0 · · · 0

p2 p1 −2 · · · 0...

......

...

pl pl−1 pl−2 · · · −(l + 1) + 1

pl+1 pl pl−1 · · · p1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)lpl+1(−1)ll! + (−1)l+1pl

(−1)ll!p1(−1)1!

+ (−1)l+2pl−1(−1)ll!(−1)22!

∣∣∣∣∣p1 −1p2 p1

∣∣∣∣∣+ · · ·

+ (−1)2lp1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

p1 −1 0 · · · 0

p2 p1 −2 · · · 0...

......

...

pl−1 pl−2 pl−3 · · · −l + 1

pl pl−1 pl−2 · · · p1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=l!(pl+1h0 + plh1 + pl−1h2 + · · ·+ p1hl) = l!(l + 1)hl+1 = (l + 1)!hl+1

となる．以上で証明された．

次に基本対称式と冪和対称式の関係を考えよう．上と同様にして，

d

dtlog

1

E(−t)=E ′(−t)E(−t)

= P (t)

であるので，E(−t)P (t) = E ′(−t)が成立する．よって，

k−1∑l=0

(l + 1)e(l+1)(−1)ltl =k∑

r=0

er(−1)rtr∑s≥1

psts−1 =

∑(−1)rerpstr+s−1

=∑l≥0

l−1∑r=0

(−1)rerpl+1−rtl

となる．（Newtonの公式は前に別の方法で証明した）． 命題 5.17 (Newtonの公式). 冪和対称式と基本対称式の関係は次のよう．

(−1)l(−l)el =l−1∑r=0

(−1)rerpl−r (1 ≤ l ≤ k),l∑

r=0

(−1)rerpl−r = 0 (k ≤ l)

また，

E(t) = exp(−∑r≥1

pr(−1)rtr

r).

110

系 5.18. 基本対称式と冪和対称式は次の行列式表示で関係する．

pl =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣e1 1 0 · · · 0

2e2 e1 1 · · · 0...

......

...

lel el−1 el−2 · · · e1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , el =1

l!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

p1 1 0 · · · 0

p2 p1 2 · · · 0...

......

...

pl−1 pl−2 pl−3 · · · l − 1

pl pl−1 pl−2 · · · p1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Proof. 完全対称式のときと同様に帰納法で行えばよい．

H(t), E(t)を冪和対称式の指数写像として表したが，もう少し具体的に書いてみよう．

H(t) = exp(∑r≥1

prtr

r) = 1 + (

∑prtr

r) +

1

2!(∑

prtr

r)2 +

1

3!(∑

prtr

r)3 + · · ·

となるが，tdの係数を求めるには，各項が pstsの形をしているので，ps | s ≤ d

のみを考えればよい．そこで，

1

l!(

d∑r=1

prtr

r)l =

1

l!(p1t+

p2t2

2+p3t

3

3+ · · ·+ pdt

d

d)k

=∑

i1+i2+···+id=l

1

i1!1i1i2!2i2i3!3i3 · · · id!didpi11 p

i22 · · · p

idd t

i1+2i2+···+did

となる．よって tdの係数は∑i1+i2+···+id=l, i1+2i2+···+did=d

1

i1!1i1i2!2i2i3!3i3 · · · id!didpi11 p

i22 · · · p

idd

この lを動かして和をとればH(t)の tdの係数となるので， 命題 5.19. 完全対称式と冪和対称式の間につぎの関係が成立する．

hd =∑

i1+2i2+···+did=d

1

i1!1i1i2!2i2i3!3i3 · · · id!didpi11 p

i22 · · · p

idd

同様に，基本対称式と冪和対称式の間には次の関係が成立する．

ed =∑

i1+2i2+···+did=d

(−1)∑d

k=1(ik−1)

i1!1i1i2!2i2i3!3i3 · · · id!didpi11 p

i22 · · · p

idd

補足 5.20. これとは逆に− log(1 − x) =

∑∞n=1

xn

nを使って pdを eiiの多項式と

して，または hiiの多項式として表すことができる（演習問題. [2]の page 33).

111

5.2.3 Pieriの公式

次に，Pieriの公式について見ていこう． 命題 5.21 (Pieriの公式). λを dの分割とする．またSλをシューア多項式とする．そして S(m) = hm（m ≥ 0）を考える．このとき，

Sλ · S(m) =∑

Sν . (5.6)

ここで和は λに m個の箱を各行の後ろにつけたもので，各列には二つ以上の箱をつけないようなヤング図形の全体で和をとっている．つまり

∑νj =∑

λj +m = m+ dであり，

ν1 ≥ λ1 ≥ ν2 ≥ λ2 ≥ · · · νk ≥ λk ≥ 0

となる νに対して和をとっている． 以下の図は，どれも駄目な図を描いている．

この命題を証明するために次の補題を使う．

補題 5.22. l = (l1, · · · , lk)を l1 > l2 · · · > lk ≥ 0とする．このとき

|xlij |k∏

j=1

(1− xj)−1 =∑|xmi

j |

が成立．ここで和はm = (m1, · · · ,mk)でm1 ≥ l1 > m2 ≥ l2 ≥ · · · > mk ≥ lkとしてとっている．

Proof. 変数の数 kに対する帰納法で証明する．まず一変数のとき，

xl11 (1− x1)−1 = xl11 (1 + x1 + x21 + · · · ) =∑m1≥l1

xm11

112

となる．練習のため二変数の場合も証明しておこう．余因子展開と一変数の時の結果を使えば，∣∣∣∣∣xl11 xl12

xl21 xl22

∣∣∣∣∣ (1− x1)−1(1− x2)−1=− (xl21 (1− x1)−1)(|xl12 |(1− x2)−1) + (xl22 (1− x2)−1)(|xl11 |(1− x1)−1)

=−∑k=0

xl2+k1 (

∑m1≥l1

|xm12 |) +

∑k=0

xl2+k2 (

∑m1≥l1

|xm22 |)

=∑k=0

∑m1≥l1

−xl2+k1 |xm1

2 |+ xl2+k2 |xm2

2 | =∑m2≥l2

∑m1≥l1

−xm21 |xm1

2 |+ xm22 |xm2

2 |

=∑

m1≥l1>m2≥l2

∣∣∣∣∣xm11 xm1

2

xm21 xm2

2

∣∣∣∣∣+ ∑m1≥l1,m2≥l1

∣∣∣∣∣xm11 xm1

2

xm21 xm2

2

∣∣∣∣∣となる．第二項はm1とm2を入れ替えても同じ値であるが，行列式の性質から．∑

m1≥l1,m2≥l1

∣∣∣∣∣xm11 xm1

2

xm21 xm2

2

∣∣∣∣∣ = ∑m1≥l1,m2≥l1

∣∣∣∣∣xm21 xm2

2

xm11 xm1

2

∣∣∣∣∣ = − ∑m1≥l1,m2≥l1

∣∣∣∣∣xm11 xm1

2

xm21 xm2

2

∣∣∣∣∣となる．よって第二項は零である．以上で二変数の場合が証明できた．さて，一般の場合（k変数の場合）を証明しよう．第 k行に関する余因子展開を使って，

|xlij |k∏

j=1

(1− xj)−1 =∑j

(−1)k+j−1xlkj

∣∣∣∣∣∣∣∣xl11 · · · xl1j · · · xl1k...

......

......

xlk−1

1 · · · xlk−1

j · · · xlk−1

k

∣∣∣∣∣∣∣∣k∏

j=1

(1− xj)−1

=∑j

(−1)k+j−1xlkj (1− xj)−1∑

m1≥l1>···>mk−1≥lk−1

∣∣∣∣∣∣∣∣xm11 · · · xm1

j · · · xm1k

......

......

...

xmk−1

1 · · · xmk−1

j · · · xmk−1

k

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∑m1≥l1>···>mk≥lk

|xmij |+

∑m1≥l1>···>mk−1≥lk−1, mk≥lk−1

|xmij |

さらに第二項は∑m1≥l1>···>mk−1≥lk−1, mk≥lk−1

|xmij |

=∑

(m1,··· ,mk−1) lk−2>mk≥lk−1

|xmij |+

∑(m1,··· ,mk−1), lk−1>mk≥lk−2

|xmij |+ · · ·+

∑(m1,··· ,mk−1), mk≥l1

|xmij |

となる．(m1, · · · ,mk−1)はm1 ≥ l1 > · · · > mk−1 ≥ lk−1の略記である．二変数の場合を参照にして，左辺の第一項ではmk−1とmkを取り替えることから零，同様

113

にしてmiとmkを取り替えることから左辺の各項は零となる．以上から

|xlij |k∏

j=1

(1− xj)−1 =∑

m1≥l1>···>mk≥lk

|xmij |

Proof of 命題 5.21. 分割 λを考える．λ1 ≥ λ2 ≥ · · ·λkであるので，

λ1 + k − 1 > λ2 + k − 2 > · · · > λk

が成立する．また分割 νに対しても同様である．そして，

ν1 ≥ λ1 ≥ ν2 ≥ λ2 ≥ · · · νk ≥ λk ≥ 0

⇐⇒ ν1 + k − 1 ≥ λ1 + k − 1 > ν2 + k − 2 ≥ λ2 + k − 2 > · · · > νk ≥ λk ≥ 0

となる．よって，補題において li = λi + k − i, mi = νi + k − iとすれば，

Sλ

k∏j=1

(1− xj)−1 =|xλi+k−i

j |∆(x)

k∏j=1

(1− xj)−1 =∑ |xνi+k−i

j |∆(x)

=∑

Sν

となる．hm = S(m)であるので，上で次数 d+mの部分を取り出せばよい．

例 5.23. 再び３変数の場合を考える．（行の数は３以下）．このとき

S(2,1)S(2) = S(4,1) + S(3,2) + S(3,1,1) + S(2,2,1)

となる．ヤング図形を描いて考えると，次のよう．

114

5.2.4 発展：Littlewood-Richardson rule

Pieriの公式の一般化として，シューア多項式の積を展開した

SλSµ =∑

NλµνSν

という式が考えられる．ここで λは dの分割．νはmの分割とすれば，和は d+m

の分割でとっている（つまり d次式× m次式は d+m次式である）．また，それぞれの行数は高々kとする．この係数Nλµνを求める方法をLittlewood-Richardson

法則とよぶ．ここでは証明はしないで結果だけを述べよう．（証明は [2]を見よ）． 定理 5.24 (Littlewood-Richardson rule). SλSµ =

∑NλµνSνにおける係数Nλνµ

はヤング図形 λから νへ拡張する方法で，狭義 µ拡張（strict µ-expansion）となるものの数である．

1. まず µ拡張とは µ = (µ1, · · · , µk)とすると，最初に µ1個の箱を Pieriの公式のようにつけて，次に，µ2個の箱を同様につけて，これを µkに対してまで行うことである．

2. さらに，最初の µ1個の箱に 1を書き，次の µ2個の箱に 2を書き，これを µkまで繰り替えす．このとき，箱に書いた数は各行で左から右へ非減少であり，各列で上から下へ増加することがわかる．

3. このように数を書いたとき，「狭義」とは，1行目を「右から左」に，2行目を右から左に，これをm行まで繰り返して, m個の数の列を得るが，それが格子順序をみたすものである．ここで格子順序とは i1, i2, · · · , imを任意のところで切った列 i1, · · · , irに対して，

#1 ≥ #2 ≥ · · ·

を満たすときをいう．例えば，1, 2, 3, 1, 1, 2, 4, 3である． 例 5.25. Pieriの公式はもっとも簡単な場合である．もう少し複雑な場合について考えよう．4変数以上の場合を考えよう．このとき

S(2,1)S(2,1) = S(4,2) + S(4,1,1) + S(3,3) + 2S(3,2,1) + S(3,1,1,1) + S(2,2,2) + S(2,2,1,1)

となる．これが 3変数の場合には行数が 4以上のヤング図形は除くので，

S(2,1)S(2,1) = S(4,2) + S(4,1,1) + S(3,3) + 2S(3,2,1) + S(2,2,2)

となる．4変数以上の場合の上の例に対するヤング図形を描いておけば，

115

1 12

2

1 1 121

11

2

12

1

1

12

121

112

5.3 Kostka 数

5.3.1 Kostka数

dの分割 λに対して (5.1)において，

Hλ := hλ1 · · ·hλk

として定義した．これをシューア多項式によって表してみよう．それにはPieriの公式を繰り返し使えばよい．つまり

Hλ = S(λ1)S(λ2) · · ·S(λk) =∑

KµλSµ

となる．ここでPieriの公式から，係数Kµλはヤング図形µの箱にλ1個の 1を，λ2個の 2を，・・・λk個の kを詰めていき，各行が非減少であり，各列が増加となるものの数である．また，そのような数をつめたヤング図形を型 λの µに対する半標準盤とよぶ．（本当はもう少し一般化したものを半標準盤と呼ぶ（後述））．

定義 5.4. 上で定義したKµλをKostka数とよぶ．

例 5.26. λ = (1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸d

)に対して，Kµ(1,··· ,1)は µに対する標準盤の数である．

補題 5.27. Kµλは非負の整数であり，

Kλλ = 1, Kµλ = 0 (λ > µ)

また，Kµλ > 0となるため必要十分条件は

λ1 + λ2 + · · ·+ λi ≤ µ1 + µ2 + · · ·+ µi

がすべての iに対して成立することである．

116

Proof. 最初の主張Kλλ = 1は λに対して型 λの半標準盤は 1行目はすべて 1で, 2

行目はすべて 2と埋めていくものしかないからである．また二番目の主張も λ > µ

なら半標準盤はある列で増加とはならないからである．また三番目の主張も条件をみたさないなら，ある列に対して増加とはならないから． 系 5.28. Hλλは k変数 d次対称式の基底になる．

Proof. 上の補題からHλ = Sλ +

∑µ>λ

KµλSµ

となる．また Sλλは k変数 d次対称式の基底であった．そこで，∑aλHλ = 0

としたとき，辞書式で下のほうから順に考えれば，aλ = 0（∀λ）であることがわかる．よって Hλλは基底になる．

補足 5.29. h1, · · · , hkは代数的な基底であった．上では hs（s > k）などという項も現れていることに注意．この hsは h1, · · · , hkの多項式として表せる．

5.3.2 コーシーの恒等式

対称式の空間に内積をいれるためコーシーの恒等式を述べよう．

命題 5.30 (コーシーの恒等式). 変数 x1, · · · , xk及び別の変数 y1, · · · , ykを用意する．このとき

det

(1

1− xiyj

)ij

=∆(x)∆(y)∏i,j(1− xiyj)

が成立する．

Proof. 各行から第一行を引くと1

1−x1y11

1−x1y2· · · 1

1−x1ykx2−x1

1−x1y1

y11−x2y1

x2−x1

1−x1y2

y21−x2y2

· · · x2−x1

1−x1yk

yk1−x2yk

......

......

xk−x1

1−x1y1

y11−xky1

xk−x1

1−x1y2

y21−xky2

· · · xk−x1

1−x1yk

yk1−xkyk

ここで，

1

1− xiyj− 1

1− x1yj=

xi − x11− x1yj

yj1− xiyj

117

をつかった．よって，

(x2 − x1)(x3 − x1) · · · (xk − x1)(1− x1y1)(1− x1y2) · · · (1− x1yk)

1 1 · · · 1y1

1−x2y1

y21−x2y2

· · · yk1−x2yk

......

......

y11−xky1

y21−xky2

· · · yk1−xkyk

となる．さらに各列から第一列を引けば，

(x2 − x1)(x3 − x1) · · · (xk − x1)(1− x1y1)(1− x1y2) · · · (1− x1yk)

1 0 · · · 0y1

1−x2y1

y2−y11−x2y1

11−x2y2

· · · yk−y11−x2y1

yk1−x2yk

......

......

y11−xky1

y2−y11−xky1

11−xky2

· · · yk−y11−xky1

11−xkyk

ここで

yj1− xiyj

− y11− xiy1

=yj − y11− xiy1

1

1− xiyjを使った．そこで

(x2 − x1)(x3 − x1) · · · (xk − x1)(1− x1y1)(1− x1y2) · · · (1− x1yk)

(y2 − y1) · · · (yk − y1)(1− x2y1) · · · (1− xky1)

1 0 · · · 0y1

1−x2y11

1−x2y2· · · yk

1−x2yk...

......

...y1

1−xky11

1−xky2· · · 1

1−xkyk

この行列の行列式を計算すればよいのであるが，あとは帰納法で証明できる．

命題 5.31 (コーシーの恒等式２).

1∏i,j(1− xiyj)

=∑λ

Sλ(x)Sλ(y)

ここで和は l(λ) ≤ kのすべての分割についてとっている．

Proof. コーシーの恒等式から，

det( 11−xiyj

)ij

∆(x)∆(y)=

1∏i,j(1− xiyj)

となる．そこで行列式を展開すればよい．行列の i, j成分を展開すると

1

1− xiyj= 1 + xiyj + x2i y

2j + x3i y

3j + · · ·

118

となる．よって，∑σ∈Sk

sgn(σ)(1 + xσ(1)y1 + x2σ(1)y21 + · · · ) · · · (1 + xσ(k)yk + x2σ(k)y

2k + · · · )

=∑

l1,l2,··· ,lk

∑σ∈Sk

sgn(σ)yl11 yl22 · · · y

lkk (xσ(1))

l1(xσ(2))l2 · · · (xσ(k))lk

=∑

l1,l2,··· ,lk

|xlij |yl11 y

l22 · · · y

lkk

となる．lp = lqとなる場合には，|xlij | = 0となってしまうので，l1, · · · , lkは異なる数としてよい．そこで l1, · · · , lk = p1, · · · pk（p1 > p2 > · · · > pk）となる(l1, · · · , lk)についての和を考える．このとき |xlij |の性質から∑

l1,··· ,lk=p1,··· ,pk

|xlij |yl11 y

l22 · · · y

lkk = |xpij ||y

pij |

となることがわかる．よって，

det(1

1− xiyj)i,j =

∑l1>l2>···>lk

|xlij ||ylij |

この式の両辺を∆(x)∆(y)で割れば，

1∏i,j(1− xiyj)

=∑λ

Sλ(x)Sλ(y)

を得る．

さて，∏i,j

1

1− xiyj= (∏i

1

1− xiy1) · · · (

∏i

1

1− xiyk) = (

∑m

hmym1 ) · · · (

∑m

hmymk )

=∑

i1,··· ,ik

hi1hi2 · · ·hikyi11 · · · y

ikk =

∑λ

Hλ(x)Mλ(y)

となる．ここでMλは (5.2)において定義した軌道和対称式である．よって，∑λ

Hλ(x)Mλ(y) =∑λ

Sλ(x)Sλ(y)

を得る．これを使って，Sλλが正規直交基底になることを証明しよう．

定義 5.5 (内積). k変数の d次斉次対称式において，すべての l(λ) ≤ kなる dの分割 λを考えると Hλλはベクトル空間としての基底である．また Mλλも基底となる．よって，このベクトル空間に（非退化）双線形形式 ⟨ , ⟩を次を満たすように定義することができる：

⟨Hλ,Mµ⟩ = δλ,µ

119

命題 5.32. 上で定義した双線形形式は内積になり，シューア多項式の全体Sλλは対称式のベクトル空間としての正規直交基底になる．つまり，

⟨Sλ, Sµ⟩ = δλ,µ

が成立する． Proof. Hλλ, Mλλは基底であるので，Sλ =

∑γ aλγHγ =

∑γ bγλMλとする（こ

こで和は dの分割 γ全体でとっている）．双線形形式の定義から，

⟨Sλ, Sµ⟩ =∑γ

aλγbγµ

となる．一方，∑Sλ(x)Sλ(y) =

∑aλγHγ(x)bρλMρ(y) =

∑Hγ(x)Mγ(y)

となる．Hγ(x)Mρ(y)γ,ρは x, y変数の対称式の基底であるので，∑λ

bρλaλγ = δρ,γ

となる（和は dの分割全体）．よって∑

γ aλγbγµ = δλµとなり，⟨Sλ, Sν⟩ = δλνとなる．この式から双一次形式が非退化対称形式となることもわかり，Sλは正規直交基底になる．

さて，Kostka数の定義はHλ =∑KµλSµであった．上の証明における aλγ, bγλを

用いれば，Hλ =∑

(a−1)µλSµ =∑bµλSµとなるので，Kµλ = bµλとなる．よって．

Sµ =∑

KµλMλ

が成立する．そこで，これをKostka数の定義として採用してもよい．

Mλ =1

c

∑σ∈Sd

σ(xλ11 · · · x

λkk ) = xλ1

1 · · · xλkk + · · ·

であるので，Xλ = xλ1

1 · · · xλkk

とすれば，

命題 5.33. Kostka数 Kµλは Sµにおける，Xλの係数である．

120

系 5.34 (シューア多項式の計算法). シューア多項式 Sλは次のように表せる．

Sλ =∑

KλaXa, Xa = xa11 · · · x

akk

ここでKaλは a = (a1, · · · , ak) ∈ (Z≥0)kおよびヤング図形 λに対して，a1個の 1，・・・， ak個の kを詰めていったヤング盤で各行が非減少で各列が増加するものの数である．このようなヤング盤を半標準盤という．

Proof. a = µのとき．つまり a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ akとなる場合には，前命題からKλµ

は Sλ =∑KλµMµと表示したときXµの係数である．またKλµはヤング図形 λの

箱に µ1個の 1,・・・，µk個の kを詰めていったヤング盤で各行が非減少で各列が増加するものの数であった．次に一般の a = (a1, · · · , ak)について考える．Pieriの公式を使って，

Ha = ha1ha2 · · ·hak = Sa1 · · ·Sak =∑

KλaSλ

となる．ここで Pieriの公式からKλaは，ヤング図形 λに対して，a1個の 1，・・・，ak個の kを詰めていったヤング盤で各行が非減少で各列が増加するものの数である．aを置換して aτ(1) ≥ · · · ≥ aτ(k) ≥ 0となるようにして，µ = τ(a)とすれば，∑

KλµSλ = Hµ = Ha =∑

KλaSλ

となるが Sλは基底なのでKλµ = Kλaが成立する．そして，Sλ =∑KλµMµとい

う表示からXaの係数はKλµ = Kλaとなることがわかる．

例 5.35. 3変数で S(2,1)(x)を考えてみる．

1 2

3 2

1 3 1 1

2 3

1 1 1 2

2 3

2 2

3

1 3 2 3

3

よって，

S(2,1)(x)

=x1x2x3 + x1x2x3 + x1x1x2 + x1x1x3 + x1x2x2 + x2x2x3 + x1x3x3 + x2x3x3

=2x1x2x3 + x21x2 + x21x3 + x1x22 + x22x3 + x1x

23 + x2x

23

121

例 5.36. シューア関数 Sλ(x) = Sλ(x1, · · · , xk)に対して，xi = xi−1とする．このとき

Sλ(1, x, x2, · · · , xk−1) =

∏i<j

xλi+k−i − xλj+k−j

xj−1 − xi−1

となる．さらに，x→ 1とすれば，

Sλ(1, · · · , 1) =∏i<j

λi − λj + j − ij − i

となる．

Proof. まず∆(1, x, · · · , xk−1) =∏

i<j(xi−1 − xj−1)である．また

Sλ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1λ1+k−1 1λ2+k−2 · · · 1λk

xλ1+k−1 xλ2+k−2 · · · xλk

......

. . ....

(xk−1)λ1+k−1 (xk−1)λ2+k−2 · · · (xk−1)λk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ /∆

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(1λ1+k−1)0 (1λ2+k−2)0 · · · (1λk)0

(xλ1+k−1)1 (xλ2+k−2)1 · · · (xλk)1

......

. . ....

(xλ1+k−1)k−1 (xλ2+k−2)k−1 · · · (xλk)k−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ /∆=(−1)k(k−1)/2

∏i<j

xλi+k−i − xλj+k−j

xi−1 − xj−1=∏i<j

xλi+k−i − xλj+k−j

xj−1 − xi−1

となる．さらに x→ 1としたときにはロピタルの定理を使えば，

Sλ(1, · · · , 1) =∏i<j

λi − λj + j − ij − i

=1

1!2! · · · (k − 1)!

∏i<j

(λi − λj + j − i)

となることもわかる（Sλは多項式なので微分可能関数である）．

さらに，命題 5.8, 5.9を使えば，

Sλ(1, · · · , 1) = |hλi+j−i|, where∑

hjtj =

1

(1− t)k,

Sλ(1, · · · , 1) =∣∣∣∣( k

µi + j − i

)∣∣∣∣ , µは λの共役

また，Sλ =∑KµaX

aと書けた．ここでKµaは a = (a1, · · · , ak) ∈ (Z≥0)kに対して，ヤング図形 λに対して，a1個の 1，・・・， ak個の kを詰めていったヤング盤で各行が非減少で各列が増加するものの数である．つまり半標準盤である．この式で x = (1, · · · , 1)とすれば，

Sλ(1, · · · , 1) = #半標準盤 (5.7)

となることがわかる．

122

補足 5.37. シューア多項式は U(k) or GL(k,C)の既約表現の指標に対応する．ここで x = (x1, · · · , xk)が極大トーラスの座標に対応する．そこで x→ (1, · · · , 1)にすることは，表現空間の次元を与えるWeylの次元公式である．

5.3.3 応用：Frobenius forumlaへの補題

さて，P を任意の k変数の d次対称式とする．また λを dの分割で l(λ) ≤ kなるものとする．このとき

ψλ(P ) = [P ]λ = Xλの係数

とする．また

ωλ(P ) = [∆ · P ]l, l = (λ1 + k − 1, λ2 + k − 2, · · · , λk)

とする．上のように定義したとき，

P =∑

ψλ(P )Mλ, P =∑λ

ωλ(P )Sλ

となる．よって，⟨P,Hλ⟩ = ψλ(P ), ⟨P, Sλ⟩ = ωλ(P )

となる．

Proof. 第一式はMλの定義から明らかである．第二式を証明する．まず

Sλ =|xλi+k−i

j |∆

=|xlij |∆

であるので，∆SλにおいてX lの係数は 1である．また他の項は xi11 · · · xikk となる

が，i1 > i2 > · · · > ik となるものは存在しない．そこで，Sλλは基底なので，P =

∑aλSλ とかける．∆P =

∑aλ∆Sλ において，ωλ(P ) = [∆P ]l = aλ とな

る．

そこで Sµ =∑KµλMλより，

Kµλ = ψλ(Sµ) = [Sµ]λ

であり，Hλ =∑KµλSµであるので，

Kµλ = ωµ(Hλ) = [∆Hλ]l

となる．

123

例 5.38. Kλ(1,··· ,1)はヤング図形 λに対する標準盤の数である．そこで，

KΛ(1,··· ,1) = [∆(x)H(1,··· ,1)]l = [∆(x)hd1]l = [∆(x)(x1 + · · ·+ xk)d]l

は対称群Sdの既約表現 Vλの次元である（フロベニウス公式はまだ証明してないけど）．よって，dimVλとヤング図形 λに対する標準盤の数は一致する．

以下の二つの補題を Frobenius公式を証明するために用いる．

補題 5.39. k変数 d次対称式 P に対して，

ψλ(P ) =∑µ

Kµλωµ(P ) = ωλ(P ) +∑µ>λ

Kµλωµ(P )

が成立．（任意の対称式に対して，上を満たすような定数KµλをKostka数の定義としてもよい）．

Proof. ∑λ

ψλ(P )Mλ = P =∑

ωµ(P )Sµ =∑

ωµ(P )KµλMλ

であり Mλλは基底なので ψλ(P ) =∑

µKµλωµ(P )となる．

さて，冪和対称式 pj = xj1 + · · ·+ xjkとして，i = (i1, · · · , id)で∑αiα = dとな

るものに対して，P i = pi11 p

i22 · · · p

idd

とする．さらに，ωλ(i) := ωλ(P

i)

とする．つまり ωλ(i)を

P i =∑

ωλ(i)Sλ or ωλ(i) = ⟨Sλ, Pi⟩

により定義する．この ωλ(i)に対して次が成立する．

補題 5.40. dの分割 λ, µに対して，

∑i1+2i2+···did=d

1

z(i)ωλ(i)ωµ(i) =

1 if λ = µ

0 otherwise

となる．ここでz(i) = 1i1i1! · · · didid!.

124

Proof. 以前見たように， ddtlogH(t) = P (t) =

∑pjt

j−1であるので，

log∏ 1

1− xit=∑ pj

jtj

であるので，

log(∏i,j

(1− xiyj)−1) =∞∑j=1

1

jpj(x)pj(y)

となる．よって，命題 5.19の証明と同様にして，

∑λ

Sλ(x)Sλ(y) =1∏

(1− xiyj)=∞∏j=1

exp(1

jpj(x)pj(y))

=∑

i1+2i2+···did=d

1

1i1i1! · · · didid!p1(x)

i1 · · · pidd (x)p1(y)i1 · · · pidd (y) =

∑i

1

1i1i1! · · · didid!P i(x)P i(y)

=∑i

1

1i1i1! · · · didid!∑λ

ωλ(i)Sλ(x)∑µ

ωµ(i)Sµ(y)

=∑i,λ,µ

1

1i1i1! · · · didid!ωλ(i)ωµ(i)Sλ(x)Sµ(y)

となる．Sλ(x)Sµ(y)λ,µは基底であるので，補題が証明できる．

系 5.41. k ≥ dとすれば，冪和対称式 P iiは内積に関して直交し，さらに

⟨P i, P i⟩ = z(i) = 1i1i1! · · · didid!

となる．よって．

Sλ =∑ 1

z(i)ωλ(i)P

i.

この式は k < dに対しても成立する．実際，d変数のときにこの式が成立するので，xk+1 = · · · = xd = 0とすればよい（λの長さ l(λ)は k以下として）．

Proof. 変数 kが k ≥ dであるとすれば，λは dの分割すべてを動く．一方 iに対して，

λ1 = i1 + · · ·+ id, λ2 = i2 + · · ·+ id, · · · , λd = id, λd+1 = 0, · · · , λk = 0.

とすれば，i1 +2i2 + · · ·+ did = dであるので，dの分割に対応する．つまり iの数も dの分割の個数と同じである．そこで，P i =

∑aiλHλ =

∑biλMλとする．こ

のとき⟨P i, P j⟩ =

∑λ

aiλbjλ

125

となる．一方，∑λ

Hλ(x)Mλ(y) =∑λ

Sλ(x)Sλ(y) =∑i

1

z(i)P i(x)P i(y) =

∑i,λ,µ

1

z(i)aiλbiµHλ(x)Mµ(y)

となる．よって， ∑i

1

z(i)aiλbiµ = δλµ

となる．行列 (aiλ)は逆行列をもつことになり，

⟨P i, P j⟩ = δijz(i)

となる．また，これより P iiが直交基底になることもわかる．次に，Sλ =

∑aiP

iとすれば，

ωλ(j) = ⟨Sλ, Pj⟩ = ajz(j)

となるので，

Sλ =∑i

ωλ(i)

z(i)P i

を得る．この表示は d変数 d次対称式に対して成立するが，この表示においてxk+1 = · · · = xd = 0とすれば，

P i(x1, · · · , xk) = P i(x1, · · · , xk, 0, · · · , 0), Sλ(x1, · · · , xk) = Sλ(x1, · · · , xk, 0, · · · , 0)

が成立する（ただし λの長さは k以下としている）．

上の系をみると，k < dのときにPλ = pλ1 · · · pλkがk変数d次対称式の基底になる

か？という疑問がわく．それについて答えよう．ここで，上で述べたSλ =∑

iωλ(i)z(i)

P i

におけるP iのことではないことに注意しよう．この表示だと l(λ) > kとなる分割も含んでいることになる．変数を x1, · · · , xkとして，λを l(λ) ≤ kの dの分割とする．このとき

Pλ := pλ1 · · · pλk

とする．これは k変数 d次対称式である．ちゃんと書くと，

Pλ = (xλ11 + · · ·+ xλ1

k ) · · · (xλk1 + · · ·+ xλk

k ) =∑

i1,··· ,ik

xλ1i1· · · xλk

ik

となる．これを軌道和対称式によって表示する．つまり

Pλ =∑

LλµMµ

126

とする．たとえば，Pλは xd1という項を含み対称式であるので，M(d,0,··· ,0)を含むことになる．またMλという項も含むことがわかる．同様に，dの分割 µで各成分 µiが λjの部分和，各部分和が同じ λjを含まないようなものとすれば，PλはMµという項を含む．つまり，µに対して，各成分 µiの分割を λ(i)とすれば，λは∪iλ

(i)の形をしている．一方，λ > µとなる場合を考えると，µの各成分を λjの部分和として書くことができないことがわかる（ちょっと考えるとすぐにわかる）．つまりLλµは三角行列であり，対角成分はゼロでない．よって，Lλµは逆行列をもつので，Mµは Pλの線形和で書くことができる．以上から

命題 5.42. Pλ | λ, l(λ) ≤ kは k変数 d次対称式の基底である．

例 5.43. 3変数で λ = (3, 2, 1)の場合を考える．このとき

P(3,2,1) =M(6) +M(5,1) +M(4,2) + 2M(3,3) +M(3,2,1)

となる．ここでM(3,3)の係数が 2である理由は µ = (3, 2 + 1), µ = (2 + 1, 3)の二通りのとり方があるからである．

5.4 変数を増やす

これまで k変数 d次対称式について扱ってきた．変数を増やして議論してみよう．つまり変数の数が十分大きいとする．まずm ≥ nに対して，

ρm,n : Λm = S[x1, · · · , xm] ∋ f(x)→ f(x1, · · · , xn, 0, · · · 0) ∈ Λn = S[x1, · · · , xn]

という写像は準同形である．また

ρm,n(Mλ(x1, · · · , xm)) =

Mλ(x1, · · · , xn) l(λ) ≤ n

0 l(λ) > n

であるので，ρm,nは全射である．さらにΛm = ⊕Λdmと次数付き環の形で書いたと

きに，ρdm,n : Λd

m → Λdn

も全射であり，m ≥ n ≥ dなら全単射になる（基底はどちらも dの分割 λに対する Mλ|λである．命題 2.7 から次元が一致）．このΛd

n, ρdm,nに対する逆極限を

Λd := lim←

Λdn

とする．つまり f = (fn)n≥0 ∈ Λdとは，fn = fn(x1, · · · , xn)が次数 dで変数 nの斉次対称式であり，m ≥ nなら ρm,n(fm) = fnをみたすものである．また，ρdm,nはm ≥ n ≥ dに対して同型写像なので，

ρdn : Λd ∋ f = (fn)→ fn ∈ Λdn

127

は n ≥ dなら同型写像となる．特にΛdの基底として，

ρdn(Mλ) =Mλ(x1, · · · , xn), ∀n ≥ d, (λは dの分割)

により定義されるもの全体を考えればよい．よって Λdの次元は分割数 p(d)である．また

Λ := ⊕d≥0Λd

として，これを対称関数の環とよぶ．これは，すべての分割 λに対するMλで生成される自由加群である．また

ρn = ⊕ρdn : Λ→ Λn

は全射準同形となる．このΛは次数付き環であり，ρnは環準同形になる．

補足 5.44. Λnに対して逆極限（環の圏で）をとってしまうと，無限積∏(1 + xi)

などを含んでしまい，Mλの有限和でかけないので lim← Λn ⊃ Λとなっている．

このように変数を無限個だと思っても，変数が有限個の場合の話を得ることができる．例えば，上の ρnは全射環準同形であるので，Λに対して成立する関係式は ρnによりΛnへ移しても成立することがわかる．例えば，変数が k ≥ 2の時に，S2(1) = S(2)+S(1,1)が成立する．そこで k = 1の場合を得るには，x2 = x3 = · · · = 0

とすればよく．S(1,1) = 0となるので，変数が k = 1の場合には S2(1) = S(2)が成立

する．このように変数が無限個の場合（または変数が次数の数より大きい場合）の議論をしておけば，有限個の場合へ落とすことができるので便利．さて，上の設定で，

Λ = C[e1, e2, · · · ] = C[h1, h2, · · · ] = C[p1, p2, · · · ]

となることがわかる．

補足 5.45. 実は Z係数の対称式ΛZでも

ΛZ = Z[e1, e2, · · · ] = Z[h1, h2, · · · ]

が成立する．しかし，Z[p1, p2, · · · ]は同型にならない．実際，hdなどはQ[p1, · · · ]に入る（hdを piを使ってあらわしてみよ）．つまり，

ΛQ = Q[e1, e2, · · · ] = Q[h1, h2, · · · ] = Q[p1, p2, · · · ]

5.4.1 involution ω

さて，対合 or involution

ω : Λ→ Λ

128

をω(er) = hr

を環準同形として拡張したものとして定義する．このとき 命題 5.46. ωは ω2 = idをみたす．また ω(pd) = (−1)d−1pd（d ≥ 1）であり，

ω(Pλ) = (−1)d−kPλ, (ω(P i) = (−1)d−∑d

q=1 iqP i)

となる．ここで Pλ = pλ1 · · · pλkであり，λは dの分割で l(λ) = kとなるもの

である．さらにω(Sλ) = Sλ′ , λ′は λの共役

Proof.∑k

d=0(−1)dhp−ded = 0が成立していた．まず h1 = e1であるので，ω(h1) =ω(e1) = h1 = e1である．次に，

ω(h2)− ω(e1)ω(h1) + ω(e2) = ω(h2)− h1e1 + h2 = 0

となるので，ω(h2) = e2である，以下同様にしていけば，ω(hr) = erであることがわかる．よって ω2 = idである．次に ω(Sλ) = Sλ′ となることは，Sλ = |hλi+j−i| に ω を当てれば，ω(Sλ) =

|eλi+j−i| = Sλ′となる．次に ω(pd) = (−1)d−1pdを証明するには，

(−1)l(−l)el =l−1∑r=0

(−1)rerpl−r, lhl =l∑

s=1

pshl−s

を用いればよい．

命題 5.47. involution ωは内積に関して等長的である．つまり，

⟨ω(P ), ω(Q)⟩ = ⟨P,Q⟩

となる．

Proof. 基底 Sλλについて確かめればよい．

⟨ω(Sλ), ω(Sµ)⟩ = ⟨Sλ′ , Sµ′⟩ = δλ′,µ′ = ⟨Sλ, Sµ⟩

となる．

例 5.48. Hλ =∑KλµSµに対して ωを作用させると，

Eλ =∑

KµλSµ′

を得る．

129

例 5.49. 次は Pieriの公式の双対版である． 系 5.50 (Pieriの公式の双対版).

SλS(1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸m

) = Sλem =∑

Sµ

ここで左辺は，λにm個の箱をつけるが，同じ行には二つ以上の箱をつけないようなヤング図形で和をとっている．

Proof. Pieriの公式はSλS(m) = Sλhm =

∑Sµ

となる．ここで左辺は，λにm個の箱をつけるが，同じ列に二つ以上の箱をつけないようなヤング図形で和をとっている．この式において，ωをとれば，

Sλ′em =∑

Sµ′

となる．ここで箱の形が共役になるので和は，λ′にm個の箱をつけるが，同じ行に二つ以上の箱をつけないようなヤング図形で和をとっていることになる．

例 5.51. Section 5.3.2 及び補題 5.40　において次のことを証明した．∏i,j

1

(1− xiyj)=∑i

1

z(i)P i(x)P i(y) =

∑Hλ(x)Mλ(y)

=∑

Mλ(x)Hλ(y) =∑

Sλ(x)Sλ(y)

これらに式において x変数に対して ωを作用させる．∏i

(1 + xiyj) =∑

ekykj ,

∏i

1

(1− xiyj)=∑

hkykj , ω(ek) = hk

であることから，∏i,j

(1 + xiyj) =∑i

1

ziω(P i(x))P i(y) =

∑ω(Hλ(x))Mλ(y) =

∑ω(Sλ(x))Sλ(y)

となる．よって，次の恒等式が成立する．∏i,j

(1 + xiyj) =∑i

(−1)d−∑

iq

z(i)P i(x)P i(y) =

∑Eλ(x)Mλ(y)

=∑

Mλ(x)Eλ(y) =∑

Sλ(x)Sλ′(y)

130

5.5 Skewシューア多項式

シューア多項式の一般化である Skewシューア多項式について学ぶ．

定義 5.6. ヤング図形 λと µを考える．また µi ≤ λi（∀i）とする．このとき λ/µ

により，λから µを引いた図形とする．これを Skewヤング図形とよぶ．

例 5.52. λ = (3, 3, 1), µ = (2, 1)とする．このとき λ/µはつぎのよう．

以下では，ヤング図形の行の数は k以下とする（よって，k変数で考える）．

定義 5.7. λ/µに対する Skewシューア多項式 Sλ/µとは，次で定義されるものである．さらに次の定義はすべて同値．また λを d+mの分割 µをmの分割とすれば，Sλ/µの次数は dである．

1. Sλ/µ = |hλi−µj−i+j|

2. Sλ/µ = |eλ′i−µ′

j−i+j|

3. Sλ/µ =∑max

a11 · · · x

akk ．ここで，maは λ/µの箱に，行に関しては非減少，

列に関して増加しているように a1個の 1, a2個の 2,・・・ak個の kをつめる方法の数である．

4. Sλ/µ =∑

ν NµνλSν．ここでNµνλはLittlewood-Richardson数である．（νは d

の分割である）．

5. ⟨Sλ/µ, Sν⟩ = ⟨Sλ, SµSν⟩がすべての ν（dの分割で l(ν) ≤ k）に対して成立．

また Sλ/0 = Sλである．

Proof. まず 4と 5の定義が同値であることを確かめよう．Littelwood-Ricardson

ruleにより，SµSν =

∑λ

NµνλSλ

が成立していた（d+m =∑µi + νiに対する分割で l(λ) ≤ kとなるものすべてに

対して和をとっている）．そこで，5が成立するとすれば，

⟨Sλ/µ, Sν⟩ = Nµνλ

131

となる．また Sννが k変数 d次対称式の正規直交基底であることから，

Sλ/µ =∑

NµνλSν

となり 4の定義と一致する．4から 5も同様．つぎに 4と 1が同値であることを証明する．∑

λ

Sλ/µ(x)Sλ(y) =∑λ,ν

NµνλSν(x)Sλ(y) =∑ν

Sν(x)Sµ(y)Sν(y)

=Sµ(y)∑ν

Hν(x)Mν(y)(5.8)

となる．νは dの分割で l(ν) ≤ kとなるもので和をとっている．ここで軌道和対称式の定義を思い出す．Mν(y) =

∑yα11 · · · y

αkk で和は (ν1, · · · , νk)のすべての異な

る置換 (α1, · · · , αk)に対してとっている．そこで，(5.8)を使って，∑λ

Sλ/µ(x)∑σ∈Sk

sgn(σ)yλσ(1)+k−σ(1)1 · · · yλσ(k)+k−σ(k)

k

=∑λ

Sλ/µ(x)|yλi+k−ij | =

∑ν

Hν(x)Mν(y)|yµi+k−ij |

=∑ν

∑σ∈Sk

Hν(x)Mν(y) sgn(σ)yµσ(1)+k−σ(1)1 · · · yµσ(k)+k−σ(k)

k

=∑

α1+···+αk=d

Hα(x)∑σ∈Sk

sgn(σ)yα1+µσ(1)+k−σ(1)1 · · · yαk+µσ(k)+k−σ(k)

k

となる（Hα = hα1 · · ·hαk）．命題 5.4 のようにしていけば，yλ1+k−1

1 · · · yλkの係数を比較すればよいので，

α1 = λ1 + k − 1− (µσ(1) + k − σ(1)), · · · , αk = λk − (µσ(k) + k − σ(k))

となるので，

Sλ/µ(x) =∑σ∈Sk

sgn(σ)hλ1−µσ(1)−1+σ(1) · · ·hλk−µσ(k)−k+σ(k) = |hλi−µj−i+j|

となる．よって定義 4から定義 1が従う．1から 4を示すには，上の証明を逆にたどっていけばよい．2が同値であることを証明しよう．これには inovlution ωを使えばよい．まず

⟨ω(Sλ/µ), Sν′⟩ = ⟨ω(Sλ/µ), ω(Sν)⟩ = ⟨ω(Sλ), ω(Sµ)ω(Sν)⟩ = ⟨Sλ′ , Sµ′Sν′⟩

となるので，ω(Sλ/µ) = Sλ′/µ′ = |hλ′

i−µ′j−i+j| = ω(|eλ′

i−µ′j−i+j|)

となる．よって，2が成立する．定義 3が同値であることを証明するにはもう少し準備が必要なので，後で証明する．

132

上の証明において，次のことがわかる（直接，証明することも可能 [2]）．

系 5.53. 完全対称式と基本対称式の間に次の関係が成立する．

|hλi−µj−i+j| = |eλ′i−µ′

j−i+j|.

特に µ = 0とした場合には，以前証明した (5.5) である．

定義 1について，もう少し考察してみよう．

Sλ/µ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

hλ1−µ1 hλ1−µ2+1 hλ1−µ3+2 · · · hλ1−µk+k−1

hλ2−µ1−1 hλ2−µ2 hλ2−µ3+1 · · · hλ2−µk+k−2

hλ3−µ1−2 hλ3−µ2−1 hλ3−µ3 · · · hλ3−µk+k−3...

......

. . ....

hλk−µ1−k+1 hλk−µ2−k+2 · · · · · · hλk−µk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣となる．そこで，すべての iに対して µi ≤ λiでない場合には，Sλ/µ = 0となる．これは µ ⊂ λとならない場合に相当する．たとえば，µ2 > λ2とすれば，

Sλ/µ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

hλ1−µ1 hλ1−µ2+1 hλ1−µ3+2 · · · hλ1−µk+k−1

0 0 hλ2−µ3+1 · · · hλ2−µk+k−2

0 0 hλ3−µ3 · · · hλ3−µk+k−3...

......

. . ....

0 0 hλk−µ3−k+3 · · · hλk−µk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

となる．次に，µ ⊂ λとなるが，µr ≥ λr+1となる rが存在するとする．このとき，µr−1 ≥

µr ≥ λr+1 ≥ λr+2 ≥ · · · ≥ λkとなるので r + 1 ≤ s ≤ k, 1 ≤ t ≤ rに対して，

hλs−µt−s+t = h−(µr−λs)−(s−t) = 0

となるので，

(hλi−µj−i+j) =

hλ1−µ1 · · · hλ1−µr−1+r hλ1−µr+1+r · · · hλ1−µk+k−1...

......

......

...

hλr−µ1−r+1 · · · hλr−µr hλr−µr+1+1 · · · hλr−µk−r+k

hλr+1−µ1−r · · · hλr+1−µr−1 hλr+1−µr+1 · · · hλr+1−µk−(r+1)+k

......

......

......

hλk−µ1−k+1 · · · hλk−µr−k+r hλk−µr+1−k+r+1 · · · hλk−µk

=

hλ1−µ1 · · · hλ1−µr−1+r hλ1−µr+1+r · · · hλ1−µk+k−1...

......

......

...

hλr−µ1−r+1 · · · hλr−µr hλr−µr+1+1 · · · hλr−µk−r+k

0 · · · 0 hλr+1−µr+1 · · · hλr+1−µk−(r+1)+k

......

......

......

0 · · · 0 hλk−µr+1−k+r+1 · · · hλk−µk

133

となる．よって，この場合には，Sλ/µは splitする．これをヤング図形で考えてみれば，µr ≥ λr+1は次のように Skew ヤング図形が二つの連結成分に分解することを意味する．

連結成分は二つ 連結成分は三つ

λ = (5, 4, 4, 2, 1) λ = (5, 4, 4, 2, 1)

µ = (4, 3, 1) µ = (4, 4, 1, 1)

上で述べたことを解釈すれば次のようになる．

補題 5.54. Sλ/µは µ ⊂ λとならないならゼロである．また µ ⊂ λとなる場合には，Sλ/µは Skew ヤング図形にのみ依存する．そして，θiを λ/µの連結な Skewヤング図形の成分とすれば，Sλ/µ =

∏i Sθi となる．ここで Sθi は Skewヤング図形

に対するシューア多項式で．定義は θi = ν(i+1)/ν(i)となる ∃ν(i+1), ∃ν(i)に対してSθi := Sν(i+1)/ν(i)としている．（この補題の意味は以下であげる例をみればわかるであろう）．

例 5.55. 上の図の λ = (5, 4, 4, 2, 1), µ = (4, 3, 1)の場合に考えてみる．定義に従えば，

Sλ/µ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

h5−4 h5−3+1 h5−1+2 h5−0+3 h5−0+4

h4−4−1 h4−3 h4−1+1 h4−0+2 h4−0+3

h4−4−2 h4−3−1 h4−1 h4−0+1 h4−0+2

h2−4−3 h2−3−2 h2−1−1 h2−0 h2−0+1

h1−4−4 h1−3−3 h1−1−2 h1−0−1 h1−0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

h1 h3 h6 h8 h90 h1 h4 h6 h70 h0 h3 h5 h60 0 h0 h2 h30 0 0 h0 h1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= h1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣h1 h4 h6 h7h0 h3 h5 h60 h0 h2 h30 0 h0 h1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣一方，λ = (5, 5, 3, 2, 1), µ = (4, 2, 1, 1)とする，

134

Sλ/µ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

h5−4 h5−2+1 h5−1+2 h5−1+3 h5−0+4

h5−4−1 h5−2 h5−1+1 h5−1+2 h5−0+3

h3−4−2 h3−2−1 h3−1 h3−1+1 h3−0+2

h2−4−3 h2−2−2 h2−1−1 h2−1 h2−0+1

h1−4−4 h1−2−3 h1−1−2 h1−1−1 h1−0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

h1 h4 h6 h7 h9h0 h3 h5 h6 h80 h0 h2 h3 h50 0 h0 h1 h20 0 0 0 h1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=h1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣h1 h4 h6 h7h0 h3 h5 h60 h0 h2 h30 0 h0 h1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣となるので，Sλ/µと一致することがわかる．これが Skewヤング図形にのみ依存するということである．もうひとつの図である λ = (5, 4, 4, 2, 1), µ = (4, 4, 1, 1)の場合に考えてみると，

Sλ/µ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

h5−4 h5−4+1 h5−1+2 h5−1+3 h5−0+4

h4−4−1 h4−4 h4−1+1 h4−1+2 h4−0+3

h4−4−2 h4−4−1 h4−1 h4−1+1 h4−0+2

h2−4−3 h2−4−2 h2−1−1 h2−1 h2−0+1

h1−4−4 h1−4−3 h1−1−2 h1−1−1 h1−0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

h1 h2 h6 h7 h90 h0 h4 h5 h70 0 h3 h4 h60 0 h0 h1 h30 0 0 0 h1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= h1h0(h3h1 − h4h0)h1

同様にして，次もいえる．

補題 5.56. ある iに対して，λ′i − µ′i > kとなるなら Sλ/µ(x1, · · · , xk) = 0である．

Proof. λ′i − µ′i > kと仮定する．このとき ek+1 = ek+2 = · · · = 0である．よって，

Sλ/µ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

eλ′1−µ′

1eλ′

1−µ′2+1 · · · eλ′

1−µ′i+2 = 0 · · · 0

eλ′2−µ′

1−1 eλ′2−µ′

2· · · eλ′

2−µ′i+1 = 0 · · · 0

......

......

......

eλ′i−µ′

1−2 eλ′i−µ′

2−1 · · · eλ′i−µ′

i= 0 · · · 0

......

......

. . ....

eλ′k−µ

′1−k+1 eλ′

k−µ′2−k+2 · · · · · · · · · eλ′

k−µ′k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

となる．

さて，∑λ,µ

Sλ/µ(x)Sλ(z)Sµ(y) =∑λ,µ

NµνλSν(x)Sλ(z)Sµ(y) =∑µ

Sν(x)Sµ(z)Sν(z)Sµ(y)

=∑µ

Sµ(y)Sµ(z)∏i,l

1

1− xizl=∏i,l

1

1− xizl

∏j,l

1

1− yjzl

135

となる．そこで Sλ(x, y) := Sλ(x1, x2, · · · , y1, y2, · · · )とすれば，∑λ,µ

Sλ/µ(x)Sλ(z)Sµ(y) =∑λ

Sλ(x, y)Sλ(z)

となるので，

Sλ(x, y) =∑µ

Sλ/µ(x)Sµ(y) =∑µ,ν

NµνλSµ(y)Sµ(x)

を得る．一般に次が成立する

補題 5.57.

Sλ/µ(x, y) =∑ν

Sλ/ν(x)Sν/µ(y) (5.9)

が成立する．ここで ν は µ ⊂ ν ⊂ λとなるものについて和をとっている．特にµ = 0とすれば，

Sλ(x, y) =∑µ

Sλ/µ(x)Sµ(y)

が成立する．

Proof. 上で証明したことを使えば，∑µ

Sλ/µ(x, y)Sµ(z) = Sλ(x, y, z) =∑ν

Sλ/ν(x)Sν(y, z) =∑µ,ν

Sλ/ν(x)Sν/µ(y)Sµ(z)

となる．よって，Sλ/µ(x, y) =∑

ν Sλ/ν(x)Sν/µ(y)となる．

上の補題を繰り返して使ってみる．x, y, z, · · · の変わりに x(1), x(2), x(3) · · · ,とする．このとき，

Sλ/µ(x(1), · · · , x(k)) =

∑(ν)

k∏i=1

Sν(i)/ν(i−1)(x(i))

となる．ここで (ν) = (ν(0), ν(1), · · · , ν(k))は µ = ν(0) ⊂ ν(1) ⊂ · · · ⊂ ν(k) = λとなる分割の列である．各成分 x(i)がひとつの変数 xiの場合を考える．まず，ただひとつの変数 xしかない場合を考える．補題 5.56 から，λ/µが長さ２以上の列を持つ場合には Sλ/µ = 0になる．それ以外の場合には Sλ/µ(x) = x|λ−µ|である（行の長さが 1以上でも定義できることに注意）．たとえば，

136

なら，Sλ/µ = x1x1x2x1 = x5となる．そこで，

Sλ/µ(x1, · · · , xk) =∑(ν)

k∏i=1

Sν(i)/ν(i−1)(xi)

において∏k

i=1 Sν(i)/ν(i−1)(xi) = xα11 · · · x

αkk となる．ここで αi = |ν(i)/ν(i+1)|．そ

こで，Sλ/µ(x1, · · · , xk) =

∑(ν)

xα11 · · · x

αkk

となる．このようにして，定義 5.7 の３番目の定義となる．つまり，

Sλ/µ =∑

maxa11 · · · x

akk .

ここで，maは λ/µの箱に，行に関しては非減少，列に関して増加しているようにa1個の 1, a2個の 2,・・・ak個の kをつめる方法の数である．

例 5.58. λ = (3, 2, 1), µ = (1, 1)の場合を考える．上の方法で考えれば，

1 22

1 12

1 13

1 33

2 33

2 23

1 23

1 32

となるので，

Sλ/µ = (x1x22 + x21x2 + x21x3 + x1x

23 + x2x

23 + x22x3 + 2x1x2x3)(x1 + x2 + x3).

次に，λ = (3, 2, 1), µ = (1)の場合を考えると,

1 22

1 12

1 13

1 33

2 33

2 23

1 23

1 32

12

12

12

12

12

12

12

12

他に，この二つを 1, 3に変えたものと，2, 3に変えたものよって，

Sλ/µ = (x1x22 + x21x2 + x21x3 + x1x

23 + x2x

23 + x22x3 + 2x1x2x3)(x1x2 + x2x3 + x1x3)

となる．

137

6 Frobenius 公式の証明と応用Frobeniusの公式とは次である．dの分割 λに対するSdの既約表現 Vλの指標 χλを考える．この共役類 Ci上での値は，

χλ(Ci) =

[∆(x)

∏1≤j≤d

pj(x)ij

](l1,··· ,lk)

.

で与えられる．以下で Frobeniusの公式を証明する．

6.1 Frobenius公式の証明

dの分割を λ = λ1 + · · · + λkとする．このときヤング部分群と呼ばれる部分群を次で定義，

Sλ = Sλ1 ×Sλ2 × · · · ×Sλk⊂ Sd

これはヤング対称化作用素 cλ = aλbλの aλに対応した部分群P のことである．aλは冪等元なので，Uλ = CSdaλはSdの表現を与える．さらに，このUλはSλの自明表現からの誘導表現であることがわかる．特に，dimUλ = |Sd|/|Sλ|となる．

Proof. ヤング部分群Sλは aλへ自明に作用する．よってW = C(aλ)はSλの自明表現である．そして，

IndW = CSd ⊗CSλW = CSdaλ = Uλ

となる．

次に Vλ = CSdaλbλと Uλ = CSdaλの関係を見てみよう．Uλの指標を ψλとし，Vλの指標を χλとする．まず，Vλは Uλの部分表現である．実際，

Uλ = CSdaλ ∋ x 7→ xbλ ∈ Vλ = CSdaλbλ

はSd線形な全射で Vλは既約なので，Vλ ⊂ Uλとなる．

例 6.1. λ = (d− 1, 1)とする．Uλ = IndW である．U を自明表現とすれば，フロベニウス相互律から

(χIndW , χU) = (χW , χResU) = 1

となる．よって Uλ の中には自明表現が存在する．また dimUλ = dim IndW =

|Sd|/|Sλ| = dである．また上で述べたように V(d−1,1)が存在するが，これは標準表現であるので d− 1次元である．以上から，

U(d−1,1) = V(d−1,1) ⊕ V(d)

138

となる．別証明：命題 4.14のようにして，Uλ = CSdaλがSdのCdへの表現と同値であることがわかるので，U(d−1,1) = V(d−1,1) ⊕ V(d)を得る．

上の例では，Uλ が Vλ を重複度１で含んでいる．また，辞書式順序に関して，µ > λとなる Vµという既約表現を含んでいることがわかる．実は，この事実は一般にも成立する．以下で，それを見ていこう．i = (i1, · · · , id)を

∑αiα = dとなる非負整数の組として，対応する共役類をCi

と書く．つまり，i1個の 1-cycle, i2個の 2-cycle,・・・となるものである．subsection

1.4で見たように，

|Ci| =d!

1i1i1!2i2i2! · · · didid!となる．さらに誘導表現の指標の公式から，ψλ = χUλ

に対して，

ψλ(Ci) =|Sd||Sλ|

|Ci ∩Sλ||Ci|

=d!

λ1! · · ·λk!1i1i1!2

i2i2! · · · didid!d!

∑ k∏p=1

λp!

1rp1rp1! · · · drpdrpd!

となる．ここで和は rpq : 1 ≤ p ≤ k, 1 ≤ q ≤ d ⊂ (Z≥0)kdで

iq = r1q + r2q + · · ·+ rkq, λp = rp1 + 2rp2 + · · ·+ drpd

を満たすものでとっている．

Proof. Sλ ⊂ SdはSλ = Sλ1 × · · · ×Sλk

となる．g ∈ Sλをg = g1 · · · gk ∈ Sλ1 × · · · ×Sλk

とする．この各 gp ∈ Sλpをサイクル表示して，サイクルタイプが

(rp1, · · · , rpd), λp =∑

αrpα

とする．そこで gのサイクルタイプは

(k∑

p=1

rp1,

k∑p=1

rp2, · · · ,k∑

p=1

rpd)

となる．そして，このサイクルタイプをもつ元の個数は

k∏p=1

λp!

1rp1rp1! · · · drpdrpd!

139

となる．よって |Ci ∩Sλ|の個数は

∑ k∏p=1

λp!

1rp1rp1! · · · drpdrpd!

となる．和は上で述べたものである．

そこで

ψλ(C) =d!

λ1! · · ·λk!1i1i1!2

i2i2! · · · didid!d!

∑ k∏p=1

λp!

1rp1rp1! · · · drpdrpd!

=∑ d∏

q=1

iq!

r1q!r2q! · · · rkq!

となる（和のとり方は上で述べたもの）．これは，対称式

P i = (x1 + · · ·+ xk)i1(x21 + · · ·+ x2k)

i2 · · · (xd1 + · · ·+ xdk)id

における，Xλ = xλ11 · · · x

λkk の係数に一致する．よって，

ψλ(Ci) = [P i]λ = P iのXλにおける係数

となる．

Proof.

(x1 + · · ·+ xk)i1(x21 + · · ·+ x2k)

i2 · · · (xd1 + · · ·+ xdk)id

=∑

r11+···+rk1=i1

i1!

r11! · · · rk1!xr111 xr212 · · · x

rk1k · · ·

∑r1d+···+rkd=id

id!

r1d! · · · rkd!xdr1d1 xdr2d2 · · · xdrkdk

=∑

r11+···+rk1=i1

· · ·∑

r1d+···+rkd=id

d∏q=1

i1!

r1q! · · · rkq!x1r11+2r12+···dr1d1 xr21+2r22+···dr2d

2 · · · xrk1+2rk2+···drkdk

であるので，Xλの成分は λp = rp1 + 2rp2 + · · ·+ drpq（1 ≤ p ≤ k）となるものを考えればよい．

以上で，Uλの指標 ψλがもとめることができた．さて，我々の目標は χλ(Ci) = χVλ

(Ci)が

ωλ(i) := [∆P i]l, l = (l1, · · · , lk) = (λ1 + k − 1, λ2 + k − 2, · · · , λk)

と一致することをみることである．

140

補題 5.39 からψλ(Ci) = ωλ(i) +

∑µ>λ

Kµλωµ(i) (6.1)

が成立する．さらに，補題 5.40 から，∑i

1

1i1i1! · · · didid!ωλ(i)ωµ(i) =

1

d!

∑i

|Ci|ωλ(i)ωµ(i) = δλ,µ

が成立する．この式は ωλ : Ci → ωλ(i)として ωλを類関数だとみなしたときに，ωλλが類関数全体の直交基底となることを意味する．実際に，ωλ = χλとなることを証明しよう．

命題 6.2. Sdの λに対応する既約表現を考える．この指標をχλとし，サイクルタイプが i = (i1, · · · , id)の共役類をCiと書く．このとき，

χλ(Ci) = ωλ(i) = [∆P i]l

となる．ここで li = λi + k − iである．

Proof. まず表現 Uλは既約表現 Vλを少なくも一つは含むことを見た．よって，

ψλ =∑

nλµχµ, nλλ ≥ 1, nλµ ≥ 0 (6.2)

となる．さて，ωλは類関数であり，指標全体 χµµが類関数の基底なので，

ωλ =∑

mλµχµ

と書ける．さらに，(6.1)と (6.2)はすべての λに対して成立していたので，辞書式順序に対して帰納的に考えると，Kµλ, nλµが整数なので，上の係数mλµは整数でなければならないことがわかる．そして，ωλλ, χλλが正規直交基底であることから，

1 = (ωλ, ωλ) =∑µ

m2λµ

となる．よって，∃µ0に対して，ωλ = ±χµ0となる．辞書式順序に対する帰納法を行う．µ > λとなる，すべての µに対して，χµ = ωµであると仮定する．すると，

ψλ = ωλ +∑µ>λ

Kµλχµ = ±χµ0 +∑µ>λ

Kµλχµ =∑

nλµχµ

となる．nλλ ≥ 1であるので，χµµの一次独立性から，µ0 = λであり，ωλ = χλ

が成立する．

以上で Frobenius公式が証明できた．

141

系 6.3. 表現 Uλ = CSdaλを考えると，次が成立する．

Uλ∼= Vλ ⊕

⊕µ>λ

KµλVµ, ψλ = χλ +∑µ>λ

Kµλχµ

ここでKµλはKostka数である（Kostka数の計算の仕方は Section 5.3.1を参照）

例 6.4. λ = (1, · · · , 1)に対して aλ = idとなり，Uλは左正則表現になる．よってUλの中に Vλは dimVλ個現れる．上の系からKλ(1,··· ,1)に一致する．また，この数はヤング図形 λに対する標準盤の数に一致した．以上から，

dimVλ = #ヤング図形 λに対する標準盤

（これは，すでに例 5.38において述べた）．

例 6.5. λ = (d− a, a)とする．このとき

U(d−a,a) = ⊕ai=0V(d−i,i)

が成立する．

Proof. µ > (d − a, a)の場合のみを考えればよい．３行以上のヤング図形に 1をd−a個，2を a個詰めると，列が増加にならないので，考えるべきヤング図形は２行または 1行のものである．つまり µ = (d− i, i)（i = 0, · · · , a）である．(d− i, i)のヤング図形に 1を d− a個，2を a個詰めるとき，列が増加でなくてはならないので，一通りの詰め方したかない．つまりK(d−i,i)(d−a,a) = 1である．

例 6.6. 以下で述べるのは例 4.12の別証明である．U ′を一次元交代表現とする．l次の巡回置換の符号は (−1)l−1である．そこで

χU ′(Ci) = (−1)(d−1)id+(d−2)id−1+···+1i2

でとなる．χλχU ′ = χVλ⊗U ′を考えると

χλ⊗U ′(Ci) = (−1)(d−1)id+(d−2)id−1+···+1i2 [∆(x)∏j

pj(x)ij ](l1,··· ,lk) = [∆(x)ω(

∏j

pj(x)ij)](l1,··· ,lk)

ここでωはSection 5.4で導入した対称式上の involutionである．またP i =∑ωλ(i)Sλ

が成立した．よって，

ω(P i) =∑

ωλ(i)ω(Sλ) =∑

ωλ(i)Sλ′ =∑

ωλ′(i)Sλ

となる．ここで λ′は λの共役．よって，

χλ⊗U ′(Ci) = ωλ′(i) = χλ′(Ci)

が成立し，Vλ ⊗ U ′ = Vλ′であることがわかる．

命題 6.7. λに対する既約表現を Vλとし，λの共役 λ′に対する既約表現を Vλ′とする．また一次元交代表現をU ′とする（(1, · · · , 1)に対する既約表現である）．このとき，

Vλ ⊗ U ′ ∼= Vλ′ , dimVλ = dimVλ′

が成立する．

142

6.2 応用

6.2.1 応用１:Littelwood-Richardson ruleと誘導表現

まず, 既約表現 Vλの指標 χλを表現 Uµの指標 ψµの多項式として表す公式を与えよう．まず ψλの定義を拡張しよう．a = (a1, · · · , ak) ∈ Zkに対して,

ψa :=

ψλ aを非増加な列に並べ替えたときに λとなる場合

0 ある aiに対して ai < 0となる場合

とする．以前みたように，この ψaは，

Sa1 × · · · ×Sak ⊂ Sd

としたときの，Sa1 × · · · ×Sak の自明表現からの誘導表現 IndU に対する指標であった．また

ψλ(Ci) = [P i]λ = χλ(Ci) +∑µ>λ

Kµλχµ(Ci) = [∆P i]lλ +∑

Kµλ[∆Pi]lµ

が成立した．一方，対称式の間の関係式として，

Hλ = Sλ +∑µ>λ

KµλSµ, Sλ = |hλi+j−1|

が成立した．この式と先ほどの式は

ψλ(Ci) = [P i]λ = ⟨Hλ, Pi⟩ = ⟨Sλ, P

i⟩+∑µ>λ

Kµλ⟨Sµ, Pi⟩

で関係しあっている．そこで，Sλ = |hλi+j−1|に対して P iとの内積をとれば，

χλ(Ci) = ⟨Sλ, Pi⟩ = ⟨|hλi+j−1|, P i⟩

=∑τ∈Sk

sgn(τ)⟨hλ1+τ(1)−1hλ2+τ(2)−2 · · ·hλk+τ(k)−k, Pi⟩

=∑τ∈Sk

sgn(τ)⟨H(λ1+τ(1)−1,λ2+τ(2)−2,··· ,λk+τ(k)−k), Pi⟩

=|ψλi+j−1|(Ci)

となる．以上から

143

命題 6.8. 対称群Sdの既約表現 Vλの指標を χλ，表現Uµの指標を ψµとする．このとき，

χλ = |ψλi+j−1| =∑τ∈Sk

sgn(τ)ψ(λ1+τ(1)−1,λ2+τ(2)−2,··· ,λk+τ(k)−k)

が成立する．つまり χλは ψµµの線形結合でかける（どちらも類関数である）．

例 6.9. S4の場合に具体的に見ていこう．S4の既約表現は

U = (4), V = (3, 1), W = (2, 2), Λ2V = V ⊗U ′ = (2, 1, 1), U ′ = (1, 1, 1, 1).

の５つある．そして，

(4) > (3, 1) > (2, 2) > (2, 1, 1) > (1, 1, 1, 1)

となる．Kostka数を計算すると

K(4)(3,1) = 1, K(4)(2,2) = 1, K(4)(2,1,1) = 1, K(4)(1,1,1,1) = 1,

K(3,1)(2,2) = 1, K(3,1)(2,1,1) = 2, K(3,1)(1,1,1,1) = 3,

K(2,2)(2,1,1) = 1, K(2,2)(1,1,1,1) = 2,

K(2,1,1)(1,1,1,1) = 3.

となる．よって，

U(4) = V(4) = U

U(3,1) = V(3,1) + V(4)

U(2,2) = V(2,2) + V(4) + V(3,1)

U(2,1,1) = V(2,1,1) + V(4) + 2V(3,1) + V(2,2)

U(1,1,1,1) = V(1,1,1,1) + V(4) + 3V(3,1) + 2V(2,2) + 3V(2,1,1)

となる．特にU(1,1,1,1) = CS4である．さて，一方で，上で与えた公式を考えると，

χ(4) = |ψ4| = ψ(4)

χ(3,1) =

∣∣∣∣∣ψ3 ψ4

ψ0 ψ1

∣∣∣∣∣ = ψ(3,1) − ψ(4)

χ(2,2) =

∣∣∣∣∣ψ2 ψ3

ψ1 ψ2

∣∣∣∣∣ = ψ(2,2) − ψ(3,1)

χ(2,1,1) =

∣∣∣∣∣∣∣ψ2 ψ3 ψ4

ψ0 ψ1 ψ2

ψ−1 ψ0 ψ1

∣∣∣∣∣∣∣ = ψ(2,1,1) + ψ(4) + 0− 0− ψ(3,1) − ψ(2,2)

χ(1,1,1,1) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ψ1 ψ2 ψ3 ψ4

ψ0 ψ1 ψ2 ψ3

ψ−1 ψ0 ψ1 ψ2

ψ−2 ψ−1 ψ0 ψ1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ψ(1,1,1,1) − ψ(2,2) − ψ(2,1,1) + ψ(4)

144

となる．このように χλ を ψµ の線形結合としてかけるのである．さらに表現環R(S4)を考えれば，これは類関数の空間と同一視できた．つまり，上の式は，例えば，

V(2,1,1) = U(2,1,1) + U(4) − U(3,1) − U(2,2)

となることを述べている．実際，先ほど計算した式を代入すれば

U(2,1,1) + U(4) − U(3,1) − U(2,2)

=2V(4) + V(2,1,1) + 2V(3,1) + V(2,2) − (2V(3,1) + 2V(4) + V(2,2))

=V(2,1,1)

となることがわかる．

上では，Sa1 × · · · ×Sak（∑ak = d）の自明表現からの誘導表現を考えた．よ

り一般にSa1 × · · · ×Sakの表現 V1 ⊠ · · ·⊠ Vkからの誘導表現を考えよう．その誘導表現を V1 · · · Vkと書くことにする．この積「」は結合律をみたす．つまり各 Viを既約分解して Vi = ⊕Wisとしたときに結合律をみたす．そこで Viは既約としてよい．またSd ×Sm ⊂ Sd+mの場合について考えれば十分である．そこで，次のような問題を考える．λをdの分割としてSdの既約表現Vλを考える．またµをmの分割としてSmの既約表現Vµを考える．このときVλ⊠Vµから導かれるSd+mの誘導表現VλVµ ∼= VµVλを考える．これは，先ほどと異なり既約とは限らない．そこで，この既約分解や指標はどうなるのであろうか？この問題に対する解答が次の命題である． 命題 6.10. Littlewood-Richardson rule （定理 5.24）における，SλSµ =∑NλµνSνの係数Nλµν使えば，

Vλ Vµ = IndSd+m

Sd×SmVλ ⊠ Vµ =

∑NλµνVν

となる．

Proof. 部分群Sd × Sm ⊂ Sd+mの意味はSdは 1, · · · , dの置換．Smは d +1, · · · , d +mの置換とみなすことである．誘導表現の指標の公式 3.67 を思い出す．Sd+mの共役類CiとSd×Smの共通部分を考える必要がある．まず簡単な例で考えてみよう．d = 4, m = 4で考えてみる．g ∈ S8として，

g = (1)(2)(3, 4)(5)(6)(7, 8) ∈ S4 ×S4 ⊂ S8

を選ぶと，この gが入る共役類はC(4,2)となる．そしてC(4,2) ∩ (S4 ×S4)は

(1)(2)(3, 4)(5)(6)(7, 8), (1)(2)(3)(4)(5, 6)(7, 8), (1, 2)(3, 4)(5)(6)(7)(8)

145

を代表元とする三つの成分に分かれる．そこでSdの共役類をDαと書き，Smの共役類をEβと書くことにする．αd+1 = · · · = αd+m = 0, βm+1 = · · · = βm+d = 0

とすれば，∑d+m

k=0 kαk = d,∑d+m

k=0 kβk = mである．そして，

Ci ∩ (Sd ×Sm) =∑

α+β=i such that∑

kαk=d,∑

kβk=m

Dα × Eβ

となる．これを誘導表現の指標の公式へ代入すれば，

χVλVµ(Ci) =(d+m)!

d!m!

∑α+β=i such that

∑kαk=d,

∑kβk=m

d!

z(α)

m!

z(β)

z(i)

(d+m)!χλ(Dα)χµ(Eβ)

=∑

α+β=i such that∑

kαk=d,∑

kβk=m

z(i)

z(α)z(β)χλ(Dα)χµ(Eβ)

となる．さて，Frobenius公式において，考えている多項式の変数の数を増やしてもよいので，多項式の変数は x1, · · · , xd+mとしておく．Littlewood-Richardson ruleから，

⟨SλSµ, Pi⟩ =

∑Nλµν⟨Sν , P

i⟩ =∑

Nλµνχν(Ci)

となる．また，

Sλ =∑

α1+···+dαd=d

ωλ(α)

z(α)Pα =

∑α1+···+(d+m)αd+m=d

ωλ(α)

z(α)Pα,

Sµ =∑

β1+···+mβm=m

ωλ(β)

z(β)P β =

∑β1+···+(d+m)βd+m=m

ωλ(β)

z(β)P β

を使えば，系 5.41 を使って，

⟨SλSµ, Pi⟩ =

∑∑

kαk=d,∑

kβk=m

ωλ(α)ωµ(β)

z(α)z(β)⟨Pα+β, P i⟩

=∑

α,β such that∑

kαk=d,∑

kβk=m α+β=i

χλ(Dα)χµ(Eβ)z(i)

z(α)z(β)= χVλVµ(Ci)

以上をあわせれば，

χVλVµ(Ci) = χIndVλ⊠Vµ(Ci) =∑ν

Nλµνχν(Ci)

となり，Vλ Vµ =

∑ν

NλµνVν

を得る．

146

例 6.11. Sdの既約表現 VλとSmの交代表現 U ′ = V(1,··· ,1)を考える．このとき，

Vλ V(1,··· ,1) = ⊕Vµ

ここで左辺において，λにm個の箱を付け加え，同じ行には箱が二個以上こないようなヤング図形で和をとっている．（証明は 系 5.50 を使えばよい）

上の命題でm = 1で µ = (1)（自明表現）の場合を考えると，次を得る．

系 6.12. Sd ⊂ Sd+1という部分群及び，Sdの既約表現 Vλを考える．このとき，

IndSd+1

SdVλ =

∑µ

Vµ

となる．ここで左辺の和は λに対するヤング図形に箱を一個くっつけたヤング図形全体である．

補足 6.13. この系はLittlewood-Richardson ruleを使わなくても，Pieriの公式で証明できる．また今の場合にはS1 = idという自明な群である．一般に，Sd×Sm

の表現Vλ⊠V(m)を考える（V(m)は自明表現）．このとき Ind(Vλ⊠V(m)) = Vλ V(m)

と IndSd+m

SdVλは同型ではない．例えば，誘導表現の定義から次元も一致してない．

dim IndVλ ⊠ V(m) = dimVλ ×(d+m)!

d!m!= dimVλ ×

(d+m)!

d!= dim Ind

Sd+m

SdVλ

この違いは，左辺は，λのm個の箱を同じ列に二つ以上こないようにくっつけてヤング図形であり，右辺は，λに 1個づつくっつけてヤング図形にすることをm回続けるものである．（命題 6.16 を参照）

さらに上の命題の逆の操作を考えてみよう． 命題 6.14. Sd+mの既約表現 Vν を部分群Sd ×Smへ制限したとき，Vλ ⊠ Vµの重複度は Littewood-Ricardson ruleにおけるNλµν である．特に，m = 1でµ = (1)の場合には，いわゆる分岐則を得る．つまり

ResSd+1

SdVν =

∑Vλ

となる．ここで和は ν に対するヤング図形から箱を一個抜いたヤング図形でとっている．特に，各 Vλの重複度は 1である（multiplicity freeという）．

Proof. 上の命題の証明において，

χVλVµ(Ci) = χIndVλ⊠Vµ(Ci) =∑ν

Nλµνχν(Ci)

を証明した．Frobenius 相互律（系 3.70）から，

Nλµν = (χIndVλ⊠Vµ , χν)Sd+m= (χVλ⊠Vµ , χResVν )Sd×Sm

147

となる．さらにm = 1, µ = (1)の場合には，Sd+1の表現 Vν をSdへ制限したResVν における Vλの重複度は

(χλ, χResVν )Sd= (χIndVλ

, χν)Sd+1=∑κ

(χκ, χν)Sd+1=

1 κ = ν

0 κ = ν

となる．ここで右辺の和は λに箱を一つ加えたものである．つまり，νが λに箱を一つ加えたものなら重複度 1であり，それ以外は零となる．よって，ResVνには ν

から箱を一つ取り除いたヤング図形がそれぞれ重複度１で現れる．

例 6.15. V を標準表現とする．このときΛsV ∼= V(d−s,1,··· ,1)であることを証明しよう（面倒な証明を Section 4.3.5 で与えた．ここではもっと簡単な証明を与える）．dに対する帰納法で証明する．ΛsV ∼= V(d−s,1,··· ,1)であると仮定する．またSd+1の標準表現を V ′とする．これをSdへ制限したとき，箱を一個取り除いたヤング図形を考えればよいので，

ResV ′ ∼= V ⊕ U

となる．そこでResΛsV ′ = ΛsV ⊕ Λs−1V

となる．仮定から ΛsV = V(d−s,1,··· ,1), Λs−1V = V(d−s−1,1,··· ,1)である．そこで箱を

一つ取り除いて，このヤング図形ができるためには

ΛsV ′ ∼= V(d+1−s,1,··· ,1)

でなくてはならない．

6.2.2 応用２:Pieri’s ruleと誘導表現 命題 6.16 (Pieri’s rule). 部分群Sd ⊂ Sd+mを考える．またλを dの分割，νをd+mの分割とする．このとき Ind(Vλ)内での Vνの重複度は次のようになる．

1. ヤング図形 ν内に λが入らない場合は零．

2. ヤング図形 ν内に λが入る場合は，νから λを引いた斜めの図形を考えて，そこに行も列も増加するように 1からmまでの数を入れる方法が何通りあるか数えればよい．

Proof. Sd ⊂ Sd+1 ⊂ · · · ⊂ Sd+mという部分群の列を考える．このとき

IndSd+m

SdVλ = Ind

Sd+m

Sd+m−1Ind

Sd+m−1

Sd+m−2· · · IndSd+1

SdVλ

148

となる（Section 3.12を参照）．よって，IndSd+m

SdVλは λに対するヤング図形に箱

を一つづつ加えていったものすべてをかんがえればよい．m個の箱を加えてできたヤング図形が同じ形でも，箱を加えていく方法がことなれば，その数だけ重複度が存在する．以上のことから命題は容易に証明できる．

系 6.17. 上の補題において，d = 0の場合を考えれば，Vν の次元がヤング図形 ν

に対する標準盤の数に等しいことがわかる．

この系は例 6.4 で証明してある．

6.2.3 応用３:Murnaghan-Nakayama rule（指標の計算法）

次に，指標をうまく計算する方法であるMurnaghan-Nakayama ruleについて述べる．

命題 6.18 (Murnaghan-Nakayama rule). λを dの分割として，g ∈ Sdがmサイクル (1, 2, · · · ,m)と h ∈ Sd−mの積で書けたとする:

g = (1, 2, · · · ,m)h ∈ Sm ×Sd−m ⊂ Sd.

このときχλ(g) =

∑(−1)r(µ)χµ(h)

となる．ここで和は λから長さがmの（境界上の）skew hookを取り去って得られる d−mの分割 µのすべてに対して和をとっている．また r(µ)は skew hookの垂直な段の数であり，stepとよぶ．

Skew hookの説明をしよう．分割 λに対する（境界上の）skew hookとは，λより小さいヤング図形を取り去ったときにできる，境界にある箱の連結領域である．また λの hookらと λの skew hookらは一対一対応する（下図）．そして skew

hookの stepとは，対応する hook (k, 1, · · · , 1)における 1の数のことである．

hook length = 9, step = 4 hook length = 6, step = 3

例 6.19. 上の gに対して λが長さmの hookを持たないなら，χλ(g) = 0である．

149

例 6.20. g = (1, · · · , d) ∈ Sdとしたとき，長さ dの skew hookを持つのは，λ =

(d− s, 1, · · · , 1)のときのみである．そして長さ dの hookはヤング図形そのものに対応する．

χλ(g) =

(−1)s λ = (d− s, 1, · · · , 1)0 otherwise

となる．（これはすでに Section 4.3.5 において証明した）．

さらに，上の命題を帰納的に使えば，次が成立する． 定理 6.21 (指標の計算方法). g ∈ Sdがm1,m2, · · · ,mpという長さのサイクルの積で書けたとする（もちろん異なるサイクルに共通部分はない）．このとき

χλ(g) =∑s

(−1)r(s)

となる．λを長さm1, · · · ,mpの p個の skew hookらへと順に分解することを s

とすれば，和はそのようなすべての分解 sについてとっている．また r(s)は分解 sにおける hookの setp数の和である．（注意：m1, · · · ,mpの順番を変えても同じ値を与える） 例 6.22. Sdの標準表現 V = V(d−1,1)を考える．g ∈ Ciとする．特に，長さ 1のサイクルは i1個とする．λ = (d− 1, 1)の skew hookへの分解を考えたとき，長さが1より大きい skew hookは第１行目からしかとれないので一通りしかない（さらにstep 0）．残りのヤング図形は (i1− 1, 1)となる．これを長さ 1の skew hookへと分解する．ヤング図形 (i1− 1, 1)に 1から i1までの数を行，列が増加するように埋める方法を数えればよい．それは i1 − 1通りである．よって χV (g) = i1 − 1となる．次に，Λ2V = V(d−2,1,1)について考える．g ∈ Ci（i = (i1, i2, · · · )）とする．まず長さが 2 より大きい skew hookを順に取り除く方法は一通りであり，step 0である．残りは (i1 + i2 − 2, 1, 1)である．まず，ここから長さ 2の skew hookを除く方法を考える．

上の図のように，左のような取り除き方は i2通りであり，左のような取り除き方は 1通りである．さらに左図の場合には setpが 1であり，ここから長さ 1の skew

hookを除く方法は 1通りしかない．また右図の場合は setp 0であり，ここから長さ 1の skew hookを取り除く方法は

(i1−12

)である．よって，

χΛ2V (g) =

(i1 − 1

2

)− i2

150

となる．同様にして，

χΛ3V (g) =

(i1 − 1

3

)− (i1 − 1)i2 + i3,

と続けることが可能である（see section 4.2 ）．一般の場合にどうなるかはFrobe-

nius 「Uber die Charaktere der symmetrischen Gruppe」, Sitz. Konig Preuss

Akad. Wissen .(1900), 526-534;Gesammelte Abhandliungen III, Spirnger-Verlag,

Heiderlberg, (1968), 148-166に載ってるそうだけど見てない．　

例 6.23. もう少し具体的な例の場合についてみていこう．まず λ = (3, 1)として，g = (1)(2)(3, 4)の場合を考える．つまりm1 = m2 =

1,m3 = 2の場合である．skew hookに順に分解していく数を数えるのだが，分解の順序を逆にしてもよいので，つぎのようにすればよい．文字として a, a, b, cを考えて，下のように埋めていけばよい．ただし，埋めたときには skew hookの形でなければならない．

1

1

-1

χ(g) = 1

a a a a a a

a a a a

aa a

a aa

b bc

b bc

b cb

上の図の一番下の図は stepの長さが 1なので (−1)1 = −1となっている．よって，χ(g) = 1+1+ (−1) = 1となる．順番はどうでもよいので b, a, a, cで埋めた場合には次のようになる．（×印をつけたのは， skew hookになっていないので，駄目）．

b b a a b a ac

b aa

1

別の例として，λ = (8, 2), g = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8, 9, 10)の場合と，λ = (20, 2, 1)

で g = (1)(2, · · · , 9)(10, · · · , 20)（m1 = 1,m2 = 8,m3 = 9の場合）をあげておいた．

151

a a a a a

a a a aa

どちらの場合も bを skew hookで入れられない．

よって，χ(g) = 0

a bb bb

b b b c c c c

上の一通りしかない．χ(g) = (−1)2 = 1

さて，Murnaghan-Nakayama ruleの証明を与えよう．

補題 6.24. シューア多項式 Sµと冪和対称式 pmを考える．このとき，

Sµpm =∑λ

(−1)r(λ−µ)Sλ

ここで，λ−µが長さmの境界上の skew hookとなるような λに対して和をとっている．

Proof. まず，３変数の場合に考えると，∣∣∣∣∣∣∣xµ1+21 xµ2+1

1 xµ3

1

xµ1+22 xµ2+1

2 xµ3

2

xµ1+23 xµ2+1

3 xµ3

3

∣∣∣∣∣∣∣ (xm1 + xm2 + xm3 )

=(xµ1+21 xµ2+1

2 xµ3

3 + xµ3

1 xµ1+22 xµ2+1

3 + xµ2+11 xµ3

2 xµ1+23

− xµ3

1 xµ2+12 xµ1+2

3 − xµ2+11 xµ1+2

2 xµ3

3 − xµ1+21 xµ3

2 xµ2+13 )(xm1 + xm2 + xm3 )

=(xµ1+2+m1 xµ2+1

2 xµ3

3 + xµ3+m1 xµ1+2

2 xµ2+13 + xµ2+1+m

1 xµ3

2 xµ1+23

− xµ3+m1 xµ2+1

2 xµ1+23 − xµ2+1+m

1 xµ1+22 xµ3

3 − xµ1+2+m1 xµ3

2 xµ2+13 ) + (x1 ↔ x2) + (x1 ↔ x3)

=(xµ1+2+m1 xµ2+1

2 xµ3

3 + xµ3

1 xµ1+2+m2 xµ2+1

3 + xµ2+11 xµ3

2 xµ1+2+m3

− xµ3

1 xµ2+12 xµ1+2+m

3 − xµ2+11 xµ1+2+m

2 xµ3

3 − xµ1+21 xµ3

2 xµ2+1+m3 ) + · · ·

=

∣∣∣∣∣∣∣xµ1+2+m1 xµ2+1

1 xµ3

1

xµ1+2+m2 xµ2+1

2 xµ3

2

xµ1+2+m3 xµ2+1

3 xµ3

3

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣xµ1+21 xµ2+1+m

1 xµ3

1

xµ1+22 xµ2+1+m

2 xµ3

2

xµ1+23 xµ2+1+m

3 xµ3

3

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣xµ1+21 xµ2+1

1 xµ3+m1

xµ1+22 xµ2+1

2 xµ3+m2

xµ1+23 xµ2+1

3 xµ3+m3

∣∣∣∣∣∣∣となる．この式が一般に成立することを証明する．µ = µ1 + · · · + µkを dの分割

152

とする．このとき

|xµi+k−ij |pm = |xµi+k−i

j |(xm1 + · · ·+ xmk )

=k∑

q=1

|xµi+k−i+mδqjj |

=k∑

q=1

∑σ∈Sd

sgn(σ)xµσ(1)+k−σ(1)+mδq11 · · · xµσ(p)+k−σ(p)+mδqp

p · · · xµσ(k)+k−σ(k)+mδqkk

=∑σ∈Sd

k∑q=1

sgn(σ)xµ1+k−1+mδqσ(1)

σ(1) · · · xµp+k−p+mδqσ(p)

σ(p) · · · xµk+k−k+mδqσ(k)

σ(k)

=∑σ∈Sd

k∑q=1

sgn(σ)xµ1+k−1+mδσ−1(q)1

σ(1) · · · xµp+k−p+mδσ−1(q)p

σ(p) · · · xµk+k−k+mδσ−1(q)k

σ(k)

となるが qが 1, · · · , kと動くとき，σ−1(q)も 1, · · · , kを動くので，

=∑σ∈Sd

k∑s=1

sgn(σ)xµ1+k−1+mδs1σ(1) · · · xµp+k−p+mδsp

σ(p) · · · xµk+k−k+mδskσ(k) =

k∑s=1

|xµi+k−i+mδsij |

となる．さて，|xµi+k−i+mδqi

j |において，列が一致するとする．つまり，ある pが存在し

て µp + k− p = µq + k− q+mとなる場合を考えると |xµi+k−i+mδqij |はゼロになる．

そこで，p ≤ qに対して

µp−1+k−p+1 > µq+k−q+m > µp+k−p (⇐⇒ µp−1+1 > µq−(q−p)+m > µp)

となる場合のみ考えればよい．このとき列を取り替えて，

|xµi+k−i+mδqij | = (−1)q−p|xλi+k−i

j |

となる．ここで，

λ = (µ1, · · · , µp−1, µq + p− q +m,µp + 1, · · · , µq−1 + 1, µq+1, · · · , µk)

である．これがどのようなヤング図形に対応しているかを見てみる．上の λの第 p

成分から q成分目までが µと異なっている．第 s成分（p+1 ≤ s ≤ q）が µs−1 +1

になっている．これは µにおいて，s− 1行目の箱を下の行へ移して，箱を一つ足すことになっている．そこで，ヤング図形 µに対して，下の図のような操作を行えば λになる．ただし．加える箱の数はあわせてm個である．

153

case 1

case 2

行をひとつ落として，箱を一個たす．

行をひとつ落として，箱を一個たす．

第 p成分．

第 p成分のところは左図．

p

p− 1

このように λ− µは（境界上）の長さmの skew hookである．よって，

Sµpm =∑λ

(−1)r(λ−µ)Sλ

になる．ここで和は λ− µが長さmの skew hookとなるものでとっている．

この補題を使ってMurnaghan-Nakayama ruleを証明しよう．g = (1, · · · ,m)h ∈Sdとして，χλ(g)を計算する．hの共役類をCjとすれば，

χλ(g) = ⟨Sλ, pmPj⟩ = ⟨Sλ, pm∑µ

χµ(Cj)Sµ⟩ =∑µ

χµ(Cj)⟨Sλ, pmSµ⟩ =∑µ

′χµ(Cj)(−1)r(λ−µ)

となる．ここで∑

µ′は，λ− µが長さmの skew hookとなる µに対して和をとっ

ていることを意味する．以上でMurnaghan-Nakayama ruleが証明された．

6.2.4 応用４

dの分割 λに対して，aλ, bλ, cλ ∈ CSdを定義し，Uλ = CSdaλについて議論した．今度はCSdbλについて考えよう．bλの定義を思い出すと，

bλ =∑g∈Q

sgn(g)g

であり，Qは λに対するヤング盤の各列を保存する部分群である．そこで λと共役な分割 λ′を考えて，この λ′に対するヤング部分群

Sλ′ = Sλ′1× · · · ×Sλ′

r⊂ Sd

154

とすれば，Q = Sλ′である．さらに，bλの定義からこのSλ′は bλに交代表現として作用する．よって，

U ′λ := CSdbλ = CSd ⊗Sλ′Cbλ = IndU ′ ⊠ · · ·⊠ U ′

となる．この U ′λを既約分解すれば，

U ′λ =∑µ

Kµ′λ′Vµ

となる．

Proof. U ′λ = CSdbλの指標 ψ′λを考える．Uλのときと同様にすれば，

ψ′λ(Ci) =d!

λ′1! · · ·λ′l!z(i)

d!

∑(−1)

∑lp=1

∑dq=1(q−1)rpq

l∏p=1

λ′p!

1rp1rp1! · · · drpdrpd!

=(−1)d−∑d

q=1 iq∑ d∏

q=1

iq!

r1q! · · · rlq!

となる．ここで和は rpq|1 ≤ p ≤ l, 1 ≤ q ≤ d ⊂ (Z≥0)ldで，

iq = r1q + · · ·+ rlq, λ′p = rp1 + 2rp2 + · · · drpd

を満たすものの和でとっている．さて，対称式上の involution Ω（区別するためここでは大文字を使う）を使えば，

Ω(P i) = Ω(pi11 pi22 · · · p

idd ) = (−1)

∑qiq−

∑iqP i = (−1)d−

∑iqP i

であるので，ψ′λ(Ci) = [Ω(P i)]λ′となる．また補題 5.39 を使えば，

[Ω(P i)]λ′ = ψλ′(Ω(P i)) = ωλ′(Ω(P i)) +∑µ>λ′

Kµλ′ωµ(Ω(Pi))

となる．また例 6.6のようにして，

Ω(P i) =∑

ωλ(i)Sλ′ =∑

ωλ′(i)Sλ

となる．よって，ωλ(Sµ) = ⟨Sµ, Sλ⟩ = δµλを使えば，

ωµ(Ω(Pi)) = ωµ′(i)

となるので，

[Ω(P i)]λ′ = ωλ(i) +∑µ>λ′

Kµλ′ωµ′(i) =∑µ′≥λ′

Kµ′λ′χµ(Ci) =∑µ

Kµ′λ′χµ(Ci)

を得る．よって，U ′λ =∑

µKµ′λ′Vµとなる．

155

さて，上で証明したことを用いれば，既約表現 Vλは Uλ = CSdaλおよび U ′λ =

CSdbλの両方に現れる唯一の表現であり，重複度１で現れる．

Proof. Uλ =∑KµλVµ及び U ′λ =

∑µKµ′λ′Vµを使えば，Vλが Uλ, U

′λの両方に重

複度１で現れることは明らかである．そこでUλ, U′λの両方に現れる既約表現は Vλ

のみであることを証明しよう．補題 5.27から，Kµλ > 0となるための必要十分条件は

λ1 + λ2 + · · ·+ λi ≤ µ1 + µ2 + · · ·+ µi

がすべの iに対して成立することである．そこで Uλ, U′λの両方に現れるためには

µがKµλ > 0, Kµ′λ′ > 0をみたす必要がある．ちょっと考えれば，上の条件を使えば，そのようなものは µ = λしかないことがわかる．

補足 6.25. 一般に CSdcλ = CSdaλ ∩ CSdbλであることに注意．実際，CSdcλ ⊂CSdaλとは限らない．

6.2.5 テンソル積の既約分解

対称群Sdの既約表現 Vλと Vµを考える．このとき

Vλ ⊗ Vµ =∑ν

CλµνVν

という既約分解について考えよう．このCλµνを求めるのが目的となるが方法はいろいろある．ここでは一つの方法を紹介する．その他の方法や dが小さい場合の分解の表は，G. James and A Kerber, The Representation Theory of the Symmetric

group, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications vol 16 (1981)などを参照．Vλ, Vµ, Vνの指標を χλ, χµ, χνとする．このとき

Cλµν = (χλχµ, χν)

となる．この値を計算すればよい．共役類Ci上で 1で他で零となる関数を ξiと書けば，χλ =

∑i ωλ(i)ξiとかける．

χλχµ =∑i,j

ωλ(i)ωµ(j)ξiξj =∑i

ωλ(i)ωµ(i)ξi

となる．そこで，類関数上の内積の定義に従えば，

(χλχµ, χν) =1

d!

∑i

d!

z(i)ωλ(i)ωµ(i)ων(i)

となる．以上から，

156

命題 6.26. テンソル積表現の既約分解 Vλ ⊗ Vν =

∑CλµνVν における，Vν の

重複度Cλµνは

Cλµν =∑i

1

z(i)ωλ(i)ωµ(i)ων(i)

で与えられる．ここで和は∑αiα = dをみたすすべての i = (i1, · · · , id)でとっ

ている．また z(i) = 1i1i1!2i2i2! · · · didd!であり，ωλ(i) = χλ(Ci)である．

特に，上の係数Cλµνは λ, µ, νの順番によらない．つまり

Cλµν = Cλνµ = Cµλν = Cµνλ = Cνλµ = Cνµλ

となる． 系 6.27. 1. Vλ ⊗ Vµの中に自明表現が含まれるのは λ = µのときのみである．

またこのときは重複度１である．つまり

Cλµ(d) =

1 if λ = µ

0 otherwise

2. Vλ ⊗ Vµの中に交代表現が含まれるのは λ′ = µのときのみである．また，このときは重複度１である．つまり

Cλµ(1,··· ,1) =

1 if λ′ = µ

0 otherwise

Proof. Cλµνの λµνの順はなんでもよいのであった．そこで Vλ⊗V(d)を考える．これは Vλである．つまり

Cλµ(d) = Cλ(d)µ =

1 if λ = µ

0 otherwise

となる．また Vλ ⊗ V(1,··· ,1) ∼= Vλ′であるので二番目の主張も従がう．

補足 6.28. Vλ ⊗ Vµの代わりに Vλ ⊗Uµを考える．ここでUµ = CSdaµである．ヤング部分群としてSµ = Sµ1 × · · · × Sµk

を考えれば，Vλ ⊗ Uµ∼= Ind(ResVλ)で

ある（例 3.68 を使えばよい）．ヤング部分群に対する IndおよびResは，Section

6.2.1で述べたようにLittlewood-Richardson ruleを用いて計算できる．さらにUµ =

Vµ⊕⊕µ>λKµλVµを使うことにより Vλ⊗ Vµの既約分解を帰納的に行うことが可能である．

157

6.3 対称群の表現環と対称式の関係

対称群Sdの表現環をRd = R(Sd)と書く．さらにR = ⊕∞d=0Rdとする．この表現環Rにホップ代数の構造を入れたい．

6.3.1 Hopf代数

余積やHopf代数について述べておこう．わざわざ代数の定義を述べる必要もないけど，念のため．

定義 6.1 (代数). C上ベクトル空間Aに対して，線形写像

m : A⊗ A→ A, u : C→ A

が次をの可換図式をみたすとき，(A,m, u)を代数とよぶ．

A⊗ A⊗ A m⊗id−−−→ A⊗ A

id⊗my ym

A⊗ A m−−−→ A

C⊗ A⊗ u⊗id−−−→ A⊗ A id⊗u←−−− A⊗ C∼=y ym

y∼=A

∼=−−−→ A∼=←−−− A

上の図式が可換であることをわかりやすく書けば，m(a⊗ b) = ab, u(1) = 1A ∈ Aとして，

(ab)c = a(bc), 1A · a = a = a · 1Aとなる．

余積とは上の積をすべて逆向きにしたものである．

定義 6.2 (余代数). C上ベクトル空間Cに対して，線形写像

∆ : C → C ⊗ C, ϵ : C → C

が次をの可換図式をみたすとき，(C,∆, ϵ)を余代数とよぶ．∆を余積とよぶ．

C ⊗ C ⊗ C ∆⊗id←−−− C ⊗ C

id⊗∆x x∆

C ⊗ C ∆←−−− C

C⊗ C⊗ ϵ⊗id←−−− C ⊗ C id⊗ϵ−−−→ AC ⊗ C∼=x x∆

x∼=C

∼=←−−− C∼=−−−→ C

158

これをわかりやすくかけば，c ∈ Cに対して∆(c) =∑c′i ⊗ c′′i とすれば，∑

i

∆(c′i)⊗ c′′i =∑

c′i ⊗∆(c′′i ),∑

ϵ(c′i)c′′i = c =

∑c′iϵ(c

′′i )

となる．さらに，oppositeな余積∆′を，

∆ = τ ∆, where τ(c⊗ c′) = c′ ⊗ c

とする．このとき (C,∆, ϵ)が余代数なら (C,∆′, ϵ)も余代数になる．また∆ = ∆′

のとき余可換とよぶ．

例 6.29. A,Bが代数ならA⊗Bは代数となる．またC,Dが余代数ならC ⊗Dは余代数になる．

定義 6.3 (双代数). ベクトル空間Bが代数 (B,m, u)の構造と余代数 (B,∆, ϵ)の構造をもち，∆ : B → B ⊗ B, ϵ : B → Cが代数準同形のとき，Bを双代数という．（ここで∆ : B → B ⊗ B, ϵ : B → Cが代数準同形であることとm : B ⊗ B → B,

u : C → Bが余代数準同形であることは同値であることに注意．余代数準同形とは余代数C,Dに対して，f ∈ Hom(C,D)が∆(f(c)) = (f ⊗ f)∆(c), ϵ(f(c)) = ϵ(c)

を満たすことである）．

定義 6.4 (Hopf代数). (H,m, u,∆, ϵ)を双代数とする．線形写像 S : H → Hが

m(S ⊗ id)∆ = u ϵ = m(id⊗ S)∆ : H → H

を満たすとき Sを対合とよぶ．わかりやすくかけば，∆(a) =∑a′i⊗ a′′i とすれば，∑

S(a′i)a′′i = ϵ(a)1H =

∑a′iS(a

′′i )

である．この対合をもつ双代数をホップ代数と呼ぶ．

補足 6.30. 対合は存在すれば唯一つであり，代数準同形かつ余代数準同形である．またHが可換，余可換なら S2 = idとなる．詳しいことは，ホップ代数の教科書をみよ．

例 6.31. Gを有限群としてG上の関数空間B = C(G)を考える．ベクトル空間としてB ⊗BはC(G×G)と同一視できる．このとき，

ff ′(x) = f ′(x)f(x)

として積をいれて 1B(x) = 1（∀x ∈ G）を単位元とすれば可換代数になる．さらに

∆(f)(x1, x2) = f(x1x2), ϵ(f) = f(e)

159

とすれば余代数になる．実際，余結合律はG内での結合律に対応し，余単位律はeがGの単位元であることに対応する．さらに双代数になることもすぐにわかる．また

S : H → H (Sf)(x) = f(x−1)

とすれば対合になる．実際，

f(x−1 · x) = f(e) = f(x · x−1)

となる．

例 6.32. gをリー環として，展開環 U(g)を考える．これは代数である．さらに余積および余単位射を

∆(X) = X ⊗ 1 + 1⊗X, ϵ(X) = 0, X ∈ g

を代数準同形∆ : U(g) → U(g) ⊗ U(g), ϵ : U(g) → Cへと拡張したものとし定義する．よって余（可換）代数になる．さらに双代数になることもわかる．またS(X) → −X をX ∈ gに定義して，S : U(g) → U(g)が反準同形になるように拡張する．これは対合であり，U(g)はホップ代数になる．V1, V2を gの表現すれば，余積を使って，テンソル積表現

U(g) ∋ X 7→ (π1 ⊗ π2)∆(X) = π1(X)⊗ 1 + 1⊗ π2(X) ∈ End(V1 ⊗ V2)

を定義できる．また Sを使って，双対表現

U(g) ∋ X 7→ tπ S(X) = −tπ(X) ∈ End(V ∗)

を定義できる．

6.3.2 対称式空間のHopf代数構造

例 6.33. Section 5.4でのZ係数の対称式の全体の空間Λを考える．Λは可換graded

代数であることは明らか．代数の定義に従って書けば次のよう．P,Q ∈ Λに対して，P (x)Q(y)を P ⊗Q ∈ Λ⊗Z Λとみなす．このように見たとき積は P (x)⊗Q(y) 7→P (x)Q(x)となる．次に，Λに余積の構造を入れよう．P (x) ∈ Λに対して，P (x, y) = P (x1, x2, · · · , y1, y2, · · · )とすれば，これは x, yに対して対称式であるので，Λ⊗Λの元とみなせる．つまり

(∆P )(x, y) = P (x, y)

とする．さらに余単位射 ϵ : Λ → Zを定義する．Λ = ⊕Λnと次数付けしたとき，n ≥ 1なら ϵ(P ) = 0として，a ∈ Λ0 = Zに対しては ϵ(a) = aとして余単位射を定義する．言い換えれば ϵ : P (x) → P (0) ∈ Zである．このようにして Λは余可換代数になる．

160

Proof. (∆P )(x, y) = P (x, y)に対して

((∆⊗ id)P )(x, y, z) = P (x, z, y) = P (x, y, z) = ((id⊗∆)P )(x, y, z)

であるので余結合律をみたす．また

((id⊗ ϵ)P )(x, y) = P (x, 0) = P (0, y) = ((ϵ⊗ id)P )(x, y)

である．余可換であることは明らかである．

さらに，対合を Section 5.4で与えた ωを使って S := (−1)nωと定義すれば，このΛはHopf代数である．

Proof. まず双代数であることをみる．∆(PQ) = ∆(P )∆(Q)およびϵ(PQ) = ϵ(P )ϵ(Q)

を確かめればよいが，これは明らかである．また ωが対合であることを確かめよう．まず，Λの基底である hkについて余積は

∆hn =∑

k+l=n

hk ⊗ hl

となる（後述）．そこで，対合の定義を確かめよう．

m(id⊗ ω)∆hn =∑

k+l=n

(−1)lhkel

m(ω ⊗ id)∆hn =∑

k+l=n

(−1)kekhl

u ϵ(hn) = 0

となる．E(−t)H(t) = 0を使えば，これらはすべて一致する．

さて，上の証明において∆hn =∑

k+l=n hk ⊗ hlを使ったが，このことを証明しておこう．実は次が成立する．

補題 6.34. Λの代数的基底に対して余積は次のようになる．（pdはQ上の基底）．

∆(hn) =∑

k+l=n

hk ⊗ hl, ∆en =∑

k+l=n

ek ⊗ el, ∆(pn) = pn ⊗ id + id⊗ pn.

Proof. 冪和対称式については明らかである．実際，

pn(x, y) = xn1 + xn2 + · · ·+ yn1 + yn2 = pn ⊗ id + id⊗ pn

となる．次に完全対称式についてみていくと，

H(t)(x, y) =∏ 1

1− xit∏ 1

1− yit=∑

hk(x)tk∑

hl(y)tl =

∑k+l=n

hk(x)hl(y)tn

となることから従う．enに対しても同様（または ωをあてればよい）

161

また，シューア多項式に対しては，(5.9)より，

補題 6.35. Sλに∆をあてると，

∆(Sλ) =∑µ⊂λ

Sλ/µ ⊗ Sµ

となる．

さて，話をもとにもどそう．対称群Sdの表現環を Rd = R(Sd)と書き，R =

⊕∞d=0Rdとする（R0 = Z）．まず，代数としての積であるが普通のテンソル積ではなく，Vλ Vµ = IndVλ ⊠ Vµ ∼= Vµ Vλを使う．つまり

Rn ⊗Rm ∋ Vλ ⊗ Vµ 7→ Vλ Vµ =∑

NλµνVν ∈ Rn+m

という積を定義する（結合律などを確かめよ．また u(1) = 1Rは 1R ∈ Z = R0としている）．そこで表現環Rは次数つき可換代数である．

例 6.36. Snの自明表現をHnとかけば，

Hλ1 Hλ2 · · · Hλk= Uλ = Vλ +

∑KµλVµ

である（次数は λ1 + · · ·+ λkとなる）．

また Section 6.2.1 で述べたことから，既約表現 Vλは

Vλ = |Hλi+j−1| =∑τ∈Sk

sgn(τ)Hλ1+τ(1)−1 Hλ2+τ(2)−2 · · · Hλk+τ(k)−k

とかける．特に Hii が R の代数的な生成元となる．また Hλ := Uλ = Vλ +∑µ>λKµλVµ という表示から Hii が代数的な基底になることもわかる．実際，∑aλHλ = 0であるとする．次数で分けて考えればよいので d次とする．この

とき∑aλUλ = 0となるが辞書式順序の下からの帰納法により，Vλλが独立であ

ることを考えれば aλ = 0を得る．よって，代数として，

R ∼= Z[H1, H2, · · · ]

となる．さらに例 6.33 における対称式の空間 Λと表現環Rは代数として同型になる．

Proof. Hiに hiを対応させればよい．

この対応R ∼= Λは次のような対応になる．

Hi 7→ hi

H ′i 7→ ei

Uλ 7→ Hλ = hλ1 · · ·hλk

U ′λ 7→ Eλ′ = eλ′1· · · eλ′

l

Vλ 7→ Sλ

162

ここでH ′iは一次元交代表現である．次に余積を導入しよう．Λにおいて∆Sλ =

∑µ Sλ/µ ⊗ Sµ =

∑µν NνµλSν ⊗ Sµ

となる．この余積に対応するようにしたい．部分群Sn ×Sn ⊂ Sn+mに対する制限写像

Res : Rn+m → Rn ⊗Rm ⊂ R⊗R

を思い出す．これを使って，余積 δ : R→ R⊗Rを次のように定義する．V ∈ Rn

に対して

δ(V ) :=n∑

k=0

ResSk×Sn−k(V )

とする．このResSk×Sn−k(V )は

∑aλµVλ⊠Vµとしてかける．そしてR(Sn×Sn) ∼=

Rn ⊗Rmであるので，δ(V ) ∈ R⊗Rとなる．具体的にいえば，命題 6.14 を使うと，

δ(Vλ) =∑µ,ν

NµνλVµ ⊗ Vν

である．また，ResSk×Sn−kHn = Hk ⊠Hn−kであるので，

δ(Hn) = Hn ⊗ 1 +Hn−1 ⊗H1 + · · ·+ 1⊗Hn

となる．このように定義した δ : R → R ⊗ Rが余結合律をみたすことは，Λにおける余積が余結合律を満たすことから明らかである．余単位射や対合も Λに対応して作ればよい．以上から，

定理 6.37. 表現環Rと対称式の空間ΛはHopf代数として同型である．またΛ上の ωはR上では一次元交代表現をテンソルすることに対応する．さらにR, Λに入る内積に関して等長同型となる．ここでRに入る内積は (Vλ, Vµ) = (χλ, χµ)で定義する．

Proof. 等長同型になることは ⟨Sλ, Sµ⟩ = δλµとなることから明らかである．またω(Sλ) = Sλ′ 及び Vλ′ = Vλ ⊗ U ′であることから，ωは交代表現をテンソルすることに対応する．

Rには，表現をテンソルするという積が定義できた．つまり，Section 6.2.5 における Vλ ⊗ Vµ =

∑CλµνVν のことである．この積が Λ上でどうなるかを見てい

こう．

命題 6.38. Rでのテンソル積をΛ上で P ∗Qと書くことにする．このとき，

1.

Sλ ∗ Sµ =∑

CλµνSν , P i ∗ P j = δijz(i)Pi.

163

2.

⟨P,Q⟩ = (P ∗Q)(1, 0, · · · , 0).

3. 変数として xiyji,jを変数とする多項式を Sλ(xy)とかく．このとき

Sλ(xy) =∑

CµνλSµ(x)Sν(y)

が成立する．

Proof. まず，三番目の主張を証明する．xiyjを変数として pd(xy)を考えると，

pd(x)pd(y) = (xd1 + xd2 + · · · )(yd1 + yd2 + · · · ) = ((x1y1)d + (x1y2)

d + · · · ) = pd(xy)

となる．また P i =∑ωλ(i)Sλ =

∑χλ(Ci)Sλであるので，∑

λ

χλ(Ci)Sλ(xy) = P i(xy) = P i(x)P i(y) =∑

χµ(Ci)χν(Ci)Sµ(x)Sν(y)

=∑

Cµνλχλ(Ci)Sµ(x)Sν(y)

となる．指標の独立性により，

Sλ(xy) =∑

CµνλSµ(x)Sν(y)

となる．また，最初の主張 Sλ ∗Sµ =

∑CλµνSνは，Vλ⊗Vµ =

∑CλµνVνから明らかであ

る．次に，P i =∑χλ(Ci)SλはR上では

F i :=∑λ

χλ(Ci)χλ ∈ Cclass(Sd) ∼= Rd ⊗ C

に対応する（指標で書いている）．そこで，命題 3.34から

F i(Cj) =∑λ

χλ(Ci)χλ(Cj) =1

z(i)δi,j

となる．よって，表現のテンソル積は指標の関数としての積に対応するので

F iF j(Ck) = F i(Ck)Fj(Ck) =

1

z(i)

1

z(j)δikδkj =

1

z(i)2δijδki

となる．よって F iF j = δijz(i)Fiであるので，これをΛへ移せば，

P i ∗ P j = δijz(i)Pi

となる．２番目の主張は内積の線形性からP = P i, Q = P jについて確かめればよい．そこで，

⟨P i, P j⟩ = z(i)δij = δijz(i)Pi(1, 0, · · · ) = (P i ∗ P j)(1, 0, · · · )

となる．

164

7 交代群Adの表現対称群の表現論を使って，交代群Ad = ker sgnの表現を論じる．

7.1 |G/H| = 2となる場合の制限表現

まず，一般の場合を考える．Gを有限群としてHを部分群で |G/H| = 2となるものとする．このときHは正規部分群であり，G/Hは群となる．G/H ∼= S2であり，表現としては自明表現と交代表現しかない．この一次元表現から得られるG

の表現をそれぞれU , U ′としておく．UはGの一次元自明表現であり，U ′は g ∈ Gに対して g ∈ Hなら自明に作用し g /∈ Hなら−1で作用する 1次元表現である．Gの任意の表現を V として，V ′ := V ⊗U ′とする．V の指標と V ′の指標を比較すれば，H上では同じであり，Hに入らない場合はマイナスをつければよい．またResGHV

′ = ResGHV である．W をH の任意の表現とする．このとき t /∈ H に対して，W の共役表現を作ることができる．|G/H| = 2であるので h ∈ Hに対して，tht−1 ∈ Hである．そこで

H ∋ h 7→ tht−1 ∈ GL(W )

とすれば，表現になることがわかる．W の指標を ψとすれば，共役表現の指標はψ(tht−1)であるが，一般にはこれらは一致しない．また t′ /∈ Hを使って共役表現を作った場合には

ψ(t′ht′−1) = ψ(t′t−1tht−1tt′−1) = ψ(t′t−1)ψ(tht−1)ψ(tt′−1) = ψ(tht−1)

となり h 7→ tht−1と h 7→ t′ht′−1に対する指標は一致する．つまり共役表現は同値類を除いてただひとつである．またW とその共役表現が同値になるとき自己共役とよぶ．Gの表現 V を考えて，そのHへの制限を考えると，

ψ(tht−1) = tr ρV (tht−1) = tr ρV (t)ρV (h)ρV (t

−1) = tr ρV (h) = ψ(h)

となる．よってResV は自己共役表現である．また W を H の表現空間として，誘導表現を考える．ベクトル空間としては

IndW = W ⊕ σW である．σ の代表元として t0 /∈ H を選んでおく．このときh ∈ Hに対して，W へはそのまま作用する．そして ht0 = t0(t

−10 ht0) ∈ σHである

ので，σW へはh(t0w) = t0(t

−10 ht0w)

として作用する．よって，ResIndW = W ⊕ W (7.1)

となる．ここで W はW の共役表現である．

165

命題 7.1. V をGの既約表現として，W = ResGHV とする．このとき次のどちらかひとつが成立する．

1. V は V ′ = V ⊗ U ′と同値でない．そしてW は既約であり，自己共役である．また IndG

HW = V ⊕ V ′となる．

2. V ∼= V ′となる．またW =W ′ ⊕W ′′であり，W ′とW ′′は互いに共役であり，W ′とW ′′は同値でない．また IndG

HW′ ∼= IndG

HW′′ ∼= V である．

さらに，Hのすべての既約表現はこの方法のどちらかひとつの方法で得られる． Proof. 既約表現 V の指標を χとする．このとき

1 = (χ, χ) =1

|G|∑|χ(g)|2

であるので，|G| = 2|H| =

∑h∈H

|χ(h)|2 +∑t/∈H

|χ(t)|2

となる．W = ResGHV とすれば，

|H|(χW , χW ) =∑h∈H

|χ(h)|2 ≤ 2|H|

となる，よって (χW , χW )は 1または 2であり，∑

h∈H |χ(h)|2は 2|H|または |H|に一致する．また，V と V ′が非同値なら，

0 = (χV , χV ′) =1

2|H|(∑h∈H

|χ(h)|2 −∑t/∈H

|χ(t)|2)

同値なら，

1 = (χV , χV ′) =1

2|H|(∑h∈H

|χ(h)|2 −∑t/∈H

|χ(t)|2)

が成立する．そこで

1. (1)∑

h∈H |χ(h)|2 = |H|となる場合．これは (χW , χW ) = 1であり，W が既約であることを意味する．また制限なので W は自己共役である．また∑

t/∈H |χ(t)|2 = |H|となる．よって，(χV , χ′V ) = 0となるので V と V ′ は

同値でない．さらに，例 3.68 から，

Ind(ResV ) = V ⊗ (U ⊕ U ′)

となるので，IndW = V ⊕ V ′となる．

166

2. (2)∑

h∈H |χ(h)|2 = 2|H|となる場合には (χW , χW ) = 2となり，W が二つの非同値な既約成分W ′とW ′′の和に分解することを意味する（同値な二つの既約成分の和になったら (χW , χW ) = 4となって矛盾）．また (χV , χV ′) = 1

となるので V ∼= V ′となる．また

Ind(ResV ) = IndW = IndW ′ ⊕ IndW ′′ = 2V

となり V が既約であるので，IndW ′ ∼= IndW ′′ ∼= V を得る．また (7.1)

W ′ ⊕ W ′ = Res(IndW ′) ∼= ResV = W ′ ⊕W ′′

となるので．W ′とW ′′は互いに共役であることがわかる．

またHのすべての既約表現が上の方法で得られることを見てみる．Mを既約表現として V = IndM を考える．

1. V がGの表現として既約であるとする．W = ResIndM =M ⊕ M であるので，W は既約でないので (2)の場合である．

2. V = IndM が Gの表現として可約であるとする．(7.1)より ResIndM =

M ⊕ M となるので，IndM は二つの既約成分に分解されることになる．その片方を V とすれば，ResV =M またはResV = M が成立する．よって制限が既約であるので (1)の場合に対応する．つまりM = ResV = M となる．

このように，Hのすべての既約表現は (1) or (2)のどちらかの方法で作れる．

補足 7.2. 上の事実は |G/H|が素数となるような正規部分群H の場合に一般化できる．

さて，Hには二種類の共役類Cがある．

1. CはGの共役類にもなる．また t /∈ Hに対してC ′ = tCt−1とすれば，C ′はHの共役類であるが，このときC ′ = Cとなる．

2. CはGの共役類とはならない．t /∈ Hに対してC ′ = tCt−1とすれば，C = C ′

である．そして，C ∪C ′がGの共役類となる．この共役類を split共役類とよぶ．また (C ′)′ = C，|C| = |C ′|であることに注意．

Proof. CをHの共役類とする．つまり，すべての h ∈ Cに対して hCh−1 = Cである．このCに対して，t /∈ HをとってC ′ = tCt−1を考える．これが tCt−1 = C

となるなら，CはGの共役類となる．一方 C ′ = tCt−1 = Cとする．このとき C

はGの共役類ではない．ht ∈ tHであるので ht = th′なる h′が存在する．よって，hC ′h−1 = htCh−1t−1 = th′Ch′−1t−1 = tCt−1 = C ′が成立する．つまりC ′はHの共役類である．そしてC ∪ C ′はGの共役類になることがわかる．

167

V をGの既約表現として，W = ResV とする．

1. Wが既約の場合．C,C ′を split共役類の組とする．χW (C) = χV (C) = χV (C′) =

χW (C ′)となり，CとC ′ = C上の値は一致する．もちろん splitしない共役類C = C ′上でも指標は一致．

2. W = W ′⊕W ′′となる場合．W ′とW ′′は互いに共役であるので，C = C ′なる共役類上ではχW ′(C) = χW ′′(C ′) = χW ′′(C) = 1

2χV (C)となる．一方，W ′と

W ′′は同値でないので，ある split共役類Cが存在して χW ′(C) = χW ′′(C)となる（このような split共役類は一つとは限らない．またχW ′(C) = χW ′′(C ′),

χW ′(C ′) = χW ′′(C)であることに注意）．このとき，誘導表現の指標公式から，χW ′(C) + χW ′′(C) = χW ′(C ′) + χW ′′(C ′)の値は χV (C ∪ C ′)の値に一致することはわかる．

そこで，Gの指標がすでに計算されているとすれば，Hの指標で問題となるのはW = W ′ ⊕W ′′となる場合で，さらに split共役類の pair上での値である．

命題 7.3. 次が成立する．

#Hの split共役類の pairの個数 =#Gの既約表現 V で V ∼= V ′となるもの =#Hの既約表現で自己共役でないものの

また

#Hの nonsplitな共役類 = #Gの共役類でHに含まれないもの

Proof. 類関数Cclass(H)の次元と共役類の数は一致するのであった．つまり類関数は共役類全体の集合上の関数である．共役類Cに対して，

fC(h) =

1 h ∈ C0 h /∈ C

とすることにより類関数が定まり，これが基底になる．split共役類はpairで現れるのでC1, C

′1, C2, C

′2 · · · , Ck, C

′kとする．また non-split共役類をD1 = D′1, · · · , Dl =

D′lとする．これらについて fCi, fC′

i, fDi

を作っておく．さて，W が自己共役とすれば，

χW =∑

aifCi+ bifC′

i+∑

cjfDj

と書いたときに，ai = bi を得る．つまり自己共役な表現全体の指標空間を考えると，fCi

+ fC′i ∪ fDj

の線形結合でかける．また既約で自己共役でない表現は互いに共役な表現と pairで現れるので W1, W1, · · · ,Wq, Wqとする．このとき

168

Wt ⊕ Wtは自己共役なので，fCi+ fC′

i ∪ fDj

の線形結合でかける．一方，Wt

は自己共役でないので χWtは fCi+ fC′

i ∪ fDj

とは独立である．そして，

fCi+ fC′

i ∪ fDj

∪ χWt

は独立であり，自己共役な表現の指標，自己共役でない表現の指標をこれらの線形結合で書くことができる．つまり類関数の基底である．よって k = qである．つまり split共役類の pairの数 kと自己共役でない表現の数 qは一致する．また命題7.1で述べたことから，Gの既約表現 V で V ∼= V ′となるものの数と一致する．Hの既約表現の数は共役類の個数なので 2k + lである．命題 7.1から，V ∼= V ′

とならない表現 V の個数は 2× (2k + l− 2k) = 2l個である（V と V ⊗ U ′nの pair

が l個）．また，V ∼= V ′となる表現の個数は k個であるので，Gの既約表現の数は k + 2l個となる．よって，Gの共役類の数は k + 2l個となる．またGの共役類でHに入るものの数は k + l個である（#(Ci ∪ C ′i ∪ Dj)）．よってGの共役類でHに入らないものの数は k + 2l− (k + l) = lとなり，non-splitな共役類の数と一致する．

7.2 交代群の表現

上での議論と対称群Sdの表現論を使って，交代群Adの表現について考えよう．λを dの分割とする．λ′を共役なヤング図形とすれば，

Vλ′ = Vλ ⊗ U ′

となるのであった．ここで U ′は交代表現である．命題 7.1に当てはめると，

1. λ′ = λの場合．Wλ = ResVλとすれば，これは既約である．また IndWλ =

Vλ ⊕ Vλ′，ResVλ = ResVλ′ = Wλとなる．

2. λ′ = λの場合．ResVλ = W ′λ ⊕W ′′

λ となり，W′λとW ′′

λ は非同値で互いに共役．またResVλ = W ′

λ ⊕W ′′λ となる．

また，

#Sdの自己共役表現 =#対称なヤング図形 =#Adの split共役類の pair=#Sdの共役類でAdの共役類として二つに分解するもの

である．さて，Adの共役類の代表元 gをサイクル表示しておく．この元 gが split共役類にはいるための必要十分条件は，gと可換な奇置換（符号がマイナスの元）が存

169

在しないことである．いいかえれば，gをサイクル表示したとき，各サイクルの長さは奇数であり，同じ長さをもつサイクルが存在しないことである．よって，自己共役な表現の数は，dの分割で互いに異なる奇数の和として書けるものの数に一致する．

Proof. まず，Adの元 gをサイクル表示しておき，この元のAdにおける共役類 C

が split共役類でないとする．つまり，t /∈ Ad に対して tCt−1 = C となるとする．tgt−1 = h−1ghとなる h ∈ Adが存在する．そこで，g = (ht)−1g(ht)となる．th /∈ Adであり，これは奇置換である．つまり，gの共役類が split共役類でないなら，gと可換な奇置換が存在する．逆に，g = tgt−1なる奇置換 tが存在するなら，thgh−1t−1 ∈ tCt−1に対して，Adは正規部分群なので th = h′tなる h′ ∈ Adが存在する．よって，thgh−1t−1 = h′tgt−1h′−1 = h′gh′−1 ∈ Cとなる．そこで tCt−1 = C

となる．つまり，tCt−1 = C となることと，可換な奇置換が存在することは同値である．よって，gが split共役類に入ることは，任意の奇置換が gと可換でないことは同値である．さて，gがすべての奇置換と可換でないとする．gのサイクル表示において，あるサイクル g0 = (i1, · · · , ik)の長さ kが偶数とする．この g0は奇置換であり，またサイクルは互いに交わらないのであった．つまり g = g0g1 · · · gsとすれば，gig0 = g0gi（i = 0）となる．よって，

g0gg−10 = g0g0g

−10 g0g1g

−10 · · · g0gsg−10 = g0g1 · · · gs

となるので可換となり，矛盾する．よって，gのサイクル表示において，サイクルの長さは奇数である．また，同じ長さのサイクルがあるとする，たとえば，gのサイクル表示が (1, 2, 3)(4, 5, 6)を含むとする．このときσ = (1, 4)(2, 3)(5, 6)すれば，これは奇置換であり，さらに gと可換である．よって，gは同じ長さの元を含まない．（長さ 1の元も二個以上は含まない．たとえばA5において (1, 2, 3) = (1, 2, 3)(4)(5)

は split共役類ではない）．逆に，gを g0 · · · gsとサイクル表示したとき，各サイクルの長さが奇数であり，同じ長さのサイクルがないとする．さらに，ある奇置換 σがあり，σgσ−1 = gと仮定する．Section 1でみたように，σgiσ−1のサイクルの長さは giと同じであり，σ(i1, · · · , ik)σ−1 = (σ(i1), · · · , σ(ik))となる．そこで，

g0 · · · gs = (σg0σ−1) · · · (σgsσ−1)

において，各サイクルの長さが異なることから σgiσ−1 = giとなる．（gp, gqが同じ

長さなら σgpσ−1 = gq となることはありえることに注意）．また，例えば，g0 =

(i1, i2, · · · , ik)とすれば，σg0σ−1は

(σ(i1), σ(i2), · · · , σ(ik)) = (il, il+1, · · · , ik, i1, i2, · · · , il−1)

という形，つまり，σはA0 := i1, · · · , ikをA0に移し，σ(i1) = il, σ(i2) = il+1,

· · · , σ(ik) = il−1となる．そこで，τ0 ∈ SdをA0をA0へ移し，1, · · · , n \ A0を

170

動かさないで，τ0(il) = i1, · · · , τ0(il−1) = ikとなるものとする．あみだくじを考えれば，A0 = i1, · · · , ikの個数が奇数なので，τ0は偶置換である．τ0σを考えれば，1, · · · , n \A0を 1, · · · , n \A0にうつし，A0には作用しない．この議論をg1, · · · , gsに対して繰り返していけば，τk · · · τ1τ0σ = 1となる．しかし σは奇置換なので矛盾．以上から，g ∈ Adに対して，「各サイクルの長さが奇数であり，同じ長さのサイクルがない」ことと「任意の奇置換と可換でない」が同値であることがわかった．

そこで，Sdの自己共役表現の個数は dの分割で異なる奇数の和で表せるものの数に一致する．また．これは対称なヤング図形の数と一致した．実際，次のように対応をつけることができる：対称ヤング図形を λ = λ1 + λ2 + · · · とする．このとき各対角成分に対する hook

lengthは q1 = 2λ1 − 1, q2 = 2λ2 − 3, q3 = 2λ3 − 5, · · · qr = 2λr − (2r− 1)となる．そこで (q1, · · · , qr)が対応する split共役類のサイクル表示になる．

ここで rは対角成分の箱の数であり，q1 + q2 + · · · + qr = λ1 + λ2 + · · · = dとなる．

例 7.4. A5の共役類をもとめよう．まず，S5の共役類の代表元は

1 =(1)(2)(3)(4)(5), (1, 2)(3)(4)(5), (1, 2, 3)(4)(5), (1, 2, 3, 4)(5)

(1, 2)(3, 4)(5) (1, 2)(3, 4, 5), (1, 2, 3, 4, 5)

である．これらのうち，偶置換であるものは，

1 = (1)(2)(3)(4)(5), (1, 2, 3)(4)(5), (1, 2)(3, 4)(5), (1, 2, 3, 4, 5)

となる．しかし，A5の共役類としては splitするものがあり，今の場合には (1, 2, 3, 4, 5)

である．つまり (1, 2, 3, 4, 5)と (2, 1, 3, 4, 5)はA5内で異なる共役類に入る．これは(1, 2, 3, 4, 5)に対して，奇置換σ0 = (1, 2) /∈ A5をとれば，(2, 1, 3, 4, 5) = σ0(1, 2, 3, 4, 5)σ

−10

となるからである．もちろん任意の奇置換 σに対して，σ(1, 2, 3, 4, 5)σ−1を考えると，これは (2, 1, 3, 4, 5)と同じ共役類に入る．このように，split共役類の組をサイクル表示したとき，サイクルタイプは同じである．一方，(1, 2, 3) = (1, 2, 3)(4)(5)と (2, 1, 3)は同じ共役類に入る．たとえば σ =

(1, 2)(4, 5)をとれば，σ ∈ A5であり，

σ(1, 2, 3)σ−1 = (2, 1, 3)

171

となるのである．

さて，以上の準備のもとで，Adの既約表現の指標を計算しよう．対称なヤング図形をλとする．これには自己共役なSdの表現が対応する（V ∼= V ′ = V ⊗U ′）．これをAdへ制限すれば，二つの既約表現に分解する．それぞれW ′

λ, W′′λ とする．ま

た，その指標をχ′λ, χ′′λとする．またλに対応するAdの split共役類のpairを c, c′と

する．c∪c′はSdの共役類となり，その代表元をサイクル表示すれば，q1 > · · · > qrとなる．このとき次が成立する． 命題 7.5 (交代群の表現の指標). 1. c, c′が λに対応していないなら，

χ′λ(c) = χ′λ(c′) = χ′′λ(c) = χ′′λ(c

′) =1

2χλ(c ∪ c′)

2. c, c′が λに対応した split共役類の pairとれば，

χ′λ(c) = χ′′λ(c′) = x, χ′λ(c

′) = χ′′λ(c) = y

となる．ここで x, yは

1

2((−1)m ±

√(−1)mq1 · · · qr)

であり，

m =1

2(d− r) = 1

2

∑(qi − 1) ≡ 1

2(∏

qi − 1) mod 2

である（このmはヤング図形の対角線より上にある箱の数である）． 以下でこの命題を証明していく．q = (q1, · · · , qr)を q1 > · · · > qr,

∑qi = dとなる正奇数の列とする．これに対

応する Adの split共役類の pairを c = c(q), c′ = c′(q)とする．また λを自己共役な dの分割として，対応するAdの既約表現の指標を χ′λ, χ

′′λとする．（λが qに対応

しているとは仮定してない）．[Step 1-1]：まず，χ′λ χ′′λが c = c(q)および c′ = c′(q)に対してのみ値が異なり，他のAdの共役類に対しては値が一致すると仮定する（以下 Step2に行くまで仮定）．またW ′

λとW ′′λ が共役な表現であることから，χ

′λ(c) = χ′′λ(c

′)となるが，これを uと書く．同様に v = χ′λ(c

′) = χ′′λ(c)とする．このとき，mが偶数なら u, v

は実数であり，mが奇数なら u = vとなる．

Proof. 双対表現の指標を考えると χλ(g−1) = χλ∗(g) = χλ(g)となるのであった．

そこで，cの逆元の共役類を考えてみよう．例えば，cの代表元 gが

g = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8)

172

とすれば，この逆元は(5, 4, 3, 2, 1)(8, 7, 6)

である（つまり各サイクルは可換なので，各サイクルで見ればよい．Sdの共役類とみれば同じ共役類を与える）．そこで，

σ0(5, 4, 3, 2, 1)σ−10 = (σ0(5), σ0(4), σ0(3), σ0(2), σ0(1)) = (1, 2, 3, 4, 5)

となるようにするには，σ0 = (5, 1)(4, 2)とすればよい．また (6, 7, 8)に対してはσ1 = (6, 8)とすればよい．しかし σ0 ∈ Adであるが，σ1 /∈ Adである．以上のことを考慮すれば，

m =1

2

∑(qi − 1)

が偶数ならσg−1σ−1 = gとなるσ ∈ Adが取れる．一方，mが奇数ならσg−1σ−1 = g

となる σは σ /∈ Adである．よって，mが偶数なら cの逆元のAdにおける共役類は cであり，χ′λ(c) = χ′λ(c

−1) = χ′λ(c)となる．つまり，u = u, v = vが成立する．一方，mが奇数なら u = χ′λ(c) = χ′λ(c

−1) = χ′λ(c′) = v となる．

[Step1-2]：θ = χ′λ − χ′′λとする．このとき，

(θ, θ) = (χ′λ, χ′λ) + (χ′′λ, χ

′′λ)− (χ′λ, χ

′′λ)− (χ′′λ, χ

′λ) = 2

となる．一方，仮定から，χ′λ, χ′′λは c, c′においてのみ値が異なるとしているので，

（大文字CでAdの共役類をあらわして）

2 =(θ, θ) =2

d!

∑C

|C||χ′λ(C)− χ′′λ(C)|2

=2

d!(|c||u− v|2 + |c′||v − u|2) = 2

d!|u− v|2|(c ∪ c′)|

=2

d!

d!

q1 · · · qr|u− v|2

となる．よって

|u− v|2 = |u|2 − 2(uv + vu) + |v|2 = q1 · · · qr

となる．[Step1-3]：λが p = (p1, · · · , pl)（p1, · · · , plは異なる奇数で

∑pi = d）に対応

しているとして，Sdの既約表現の指標を χλとする．また g ∈ c(p)とする．このとき

χλ(g) = (−1)d−l2

となる．

173

Proof. Murnaghan-Nakayama rule （定理 6.21 ）を使えば，

χλ(g) = (−1)p1−1

2 (−1)p2−1

2 · · · (−1)pl−1

2 = (−1)d−l2

[Step1-4]仮定が成立するには，λはqに対応した分割である．またu+v = (−1)m

であることがわかるので，u, vは

1

2((−1)m ±

√(−1)mq1 · · · qr)

となる．

Proof. λが p = qに対応した分割であるとする．このとき，仮定から χ′λ(c(p)) =

χ′′λ(c(p)) = χ′λ(c′(p)) = χ′′λ(c

′(p))となるので，これを w とする．Step1-3から，2w = χλ(c(p)) = ±1となる．w = ±1/2となるが，Section 3.8で見たように，有限群の有限次元表現に対する指標は代数的整数でなくてならならいので矛盾．そこで λは qに対応した分割である．そこで λが qに対応した分割としてよい．このとき，Step 1-3から

(−1)m = χλ(c ∪ c′) = χ′λ(c) + χ′′λ(c) = u+ v

となる．mが偶数なら u, vは実数であり，

(u− v)2 = q1 · · · qr, u+ v = 1

である．またmが奇数なら u = vであるので，

(u− u)2 = −q1 · · · qr, u+ u = −1

となる．よって，u, vは

1

2((−1)m ±

√(−1)mq1 · · · qr).

[Step 2]：命題を dに対する帰納法で証明したい．dより小さい d′に対して，命題が成立していると仮定する．[Step2-1]：r > 1（対角成分の箱の数が 2以上）の場合を考える．記号が紛らわしいけど，qr > · · · > q1と番号付けを変えておく．つまり q1は qの中で最小の奇数である．H = Aq1 × Ad−q1 ⊂ G = Adとする．q1に対応する Aq1 の表現をW ′

1,W′′1 とする．つまり対称な分割 (1

2(q1− 1), 1, · · · , 1)に対応するものである．ま

た (q2, · · · , qr)から決まる対称な分割に対する，Ad−q1の表現の一つをW ′2とする．

そして，X ′ = IndW ′1 ⊠W ′

2, X′′ = IndW ′′

1 ⊠W ′2とする．このときX ′, X ′′は互いに

174

共役な表現である．また，その指標を考えると χ′, χ′′は c(q), c′(q)以外の split共役類の組に対して同じ値になる．さらに，

χX′(c(q)) =(−1)m +

√(−1)mq1 · · · qr2

χX′(c′(q)) =(−1)m −

√(−1)mq1 · · · qr2

χX′′(c(q)) =(−1)m −

√(−1)mq1 · · · qr2

χX′′(c′(q)) =(−1)m +

√(−1)mq1 · · · qr2

Proof. pを pl > · · · > p1（∑pi = d）となる奇数次の列として，c(p), c′(p)を Ad

の split共役類の組とする（p = p1の場合も考慮する）．c(p) ∩ (Aq1 × Ad−q1)を考える．

pi1 + · · ·+ pis = q1

となるときのみ共通部分は空集合でない．空集合なら誘導表現の指標の公式から指標はゼロになる（例えば，p = p1となるときには，p1 = q1となることはないので空集合である）．そこで共通部分が空集合でないときを考える．この共通部分は，いくつかの集合に分割されるので，D1 × E1, · · · , Dt × Etとしておく．

χX′(c(p)) =|Ad|

|Aq1 ||Ad−q1 |∑ |Di × Ei|

|c(q)|χW ′

1(Di)χW ′

2(Ei)

となる．p = q のときには，c(q1) = Di, c(q2, · · · , qr) = Ei および c′(q1) = Di,

c′(q2, · · · , qr) = Eiとなることはない．よって．帰納法の仮定からW ′1,W

′′1 ,W

′2に

対する指標はすでにわかっているので，

χX′′(c(p)) =|Ad|

|Aq1 ||Ad−q1 |∑ |Di × Et|

|c(q)|χW ′′

1(Di)χW ′

2(Ei)

=|Ad|

|Aq1 ||Ad−q1 |∑ |Di × Et|

|c(q)|χW ′

1(Di)χW ′

2(Ei) = χX′(c(p))

となる．また c′(p) = tc(p)t−1として，t ∈ Sq1かつ t /∈ Aq1となる元をとってくる．このときも，同様にして考えれば，χX′(c(p)) = χX′(c′(p))となることがわかる．次に p = qの時を考える．このとき c(q) ∩ (Aq1 × Ad−q1)は，二つの集合に分割する．実際，c(p = q) ∩ (Aq1 × Ad−q1)を考えたとき，q1が最小であることから，p1 = q1の場合のみ考えればよい．そして，c(p = q) ∩ (Aq1 × Ad−q1)は，

c(q1)× c(q2, · · · , qr) c′(q1)× c′(q2, · · · , qr)

と二つに分解する．（これらがAdの元として同じ共役類 c(q)に入ることは，c(p1)を c′(p1)へ移すAq1の奇置換と，c(p2, · · · , pr)を c′(p2, · · · , pr)へ移すAd−q1の奇置

175

換の積は偶置換でAdの元であるので）．また，

|c(q1)| = |c(q1)| =q1!

2q1, |c(q2, · · · , qr)| = |c(q2, · · · , qr)| =

(d− q1)!2q2 · · · qr

|c(q)| = d!

2q1 · · · qr,

であるので，帰納法の仮定から

χX′(c(p)) =d!

2

2

q1!

2

(d− q1)!2q1 · · · qr

d!

q1!

2q1

(d− q1)!2q2 · · · qr

× χW ′1(c(q1))χW ′

2(c(q2, · · · qr)) + χW ′

1(c′(q1))χW ′

2(c(q2, · · · , qr))

=χW ′1(c(q1))χW ′

2(c(q2, · · · qr)) + χW ′

1(c′(q1))χW ′

2(c(q2, · · · , qr))

=ϵ1 +√ϵ1q1

2

ϵ′ +√ϵ′q2 · · · qr2

+ϵ1 −

√ϵ1q1

2

ϵ′ −√ϵ′q2 · · · qr2

=ϵ+√ϵq1 · · · qr2

となる．ここで ϵ1 = (−1)(q1−1)/2, ϵ′ = (−1)(d−q1−r+1)/2であり，

ϵ = ϵ1ϵ′ = (−1)(d−r)/2

同様に c′(q)にたいして c′(q) ∩ (Aq1 × Ad−q1)は

c′(q1)× c(q2, · · · , qr) c(q1)× c′(q2, · · · , qr)

であるので，

χX′(c′(p = q)) =ϵ−√ϵq1 · · · qr

2

χX′′(c(p = q)) =ϵ−√ϵq1 · · · qr

2

χX′′(c′(p = q)) =ϵ+√ϵq1 · · · qr2

となることがわかる．最後に，splitしない共役類 c = tct−1を考える．t ∈ Sq1 かつ t /∈ Aq1 としてよい．c∩ (Aq1 ×Ad−q1)を考えると，いくつかの集合に分割される．たとえば，Di =

c(q1), Ei = c(q2, · · · , qr)となることもありえる．このときD′i = c′(q1), E′i = Eiも

c∩ (Aq1 ×Ad−q1)内に存在する．そして，誘導表現の指標公式を使えば，χX′(c) =

χX′′(c)となることがわかる．そのほかの場合でも，帰納法の仮定と誘導表現の指標公式を使えば，χX′(c) = χX′′(c)となる．以上から cが c(q), c′(q)以外の共役類の場合には χX′(c) = χX′′(c) = χX′(c′) =

χX′′(c′)が成立する．また，指標の関係からX ′とX ′′は互いに共役であることがわかる．

176

[Step2-2]：θ = χ′ − χ′′とすれば，(θ, θ) = 2となる．そして，X ′, X ′′を既約分解すれば，X ′ = Y ⊕W ′

λ, X′′ = Y ⊕W ′′

λ となる．ここで Y は自己共役な表現，また λは対称な dの分割．

Proof. θ = χ′ − χ′′に対して．Step2-1の結果を使えば，

(θ, θ) = (χ′, χ′) + (χ′′, χ′′)− 2ℜ(χ′, χ′′)

=1

|Ad|∑C

|C||χ′(C)− χ′′(C)|2

=1

|Ad|(|c(q)|q1 · · · qr + |c′(q)|q1 · · · qr)

=2

d!

d!

2q1 · · · qr(q1 · · · qr)× 2 = 2

となる．またX ′, X ′′は互いに共役であった．そこで，指標は

χ′ = (i1χ′1+· · ·+ilχ′l)+(jl+1χl+1+· · ·+jsχs), χ′′ = (i1χ

′′1+· · · ilχ′′l )+(jl+1χl+1+· · ·+jsχs)

とかける．ここで χil+1≤i≤sは自己共役な表現．よって，

χ′ − χ′′ = i1(χ′1 − χ′′1) + · · ·+ il(χ

′l − χ′′l )

となるので，2 = (θ, θ) = 2i1 + · · · 2il

となる．よって，i1 = 1で他はゼロとなる．以上から，X ′ = Y ⊕W ′λ, X

′′ = Y ⊕W ′′λ

となる．ここで Y は自己共役な表現，また λは自己共役な dの分割．

[Step2-3]：X ′ = Y ⊕W ′λ, X

′′ = Y ⊕W ′′λ であり，それぞれの指標 χ′, χ′′を考え

ると c(q), c′(q)でのみ値が異なるのであった．Y は自己共役なので，c(q), c′(q)での値は同じである．よってW ′

λ, W′′λ の指標が c(q), c′(q)に対してのみ値が異なる

ことになる．そこで Step 1を使うと，c(q), c′(q)に対してのみ値が異なることから，実は λは qの対応する自己共役な分割であることがわかる．以上から，自己共役分割 λで対角成分の箱が２以上の場合には，命題が成立することが証明された．（p = p1の場合にも，λの対角成分が２以上のときは指標が一致することも証明されている）．[Step2-4]：r = 1の場合を考える．r = 1で自己共役な分割となるのは hookの場合であり，λを (1

2(d+1), 1, · · · , 1)という場合である．q = q1 = 2m+1+ dとす

る．p = qを奇数の異なる列として，対応する分割を µとする．このとき，χ′µ, χ′′µ

の値はすでにわかっている．そこで，

0 = (χ′λ, χ′µ − χ′′µ) =

∑C

|C|χ′λ(C)(χ′µ(C)− χ′′µ(C))

= |c(p)|χ′λ(c(p))(χ′µ(c(p))− χ′′µ(c(p))) + |c′(p)|χ′λ(c′(p))(χ

′µ(c′(p))− χ′′µ(c′(p)))

= |c(p)|χ′λ(c(p))√

(−1)mp1 · · · pr − |c′(p)|χ′λ(c′(p))√(−1)mp1 · · · pr

= |c(p)|√(−1)mp1 · · · pr(χ′λ(c(p))− χ′λ(c′(p)))

177

となる．よって χ′λ(c(p)) = χ′λ(c′(p))である．同様に，χ′′λ(c(p)) = χ′′λ(c

′(p))．もちろん splitしない共役類でも χ′λ(C) = χ′′λ(C)となる．また，Step1-3から，χλ(c(q)∪c′(q)) = (−1)mとなる．よって，χ′λ(c(q))+χ′′λ(c(q)) =

(−1)mとなる．w = χ′λ(c(q)) = χ′′λ(c(q))とすると，w = (−1)m/2となるが，指標は代数的整数でなければならないので，このようなことは起こらない．よってχ′λ(c(q)) = χ′′λ(c(q))となる．そこで Step 1を利用することができ，r = 1となる自己共役分割 λに対しても命題が成立する．

178

8 Weyl構成Gを群（有限とは限らない）として，Gの表現空間を V とする．V の d次テンソル積表現 V ⊗dを考える．これはGの表現空間であり，さらに対称群も作用する．そこで，ヤング対称化作用素 cλを使って，SλV ⊂ V ⊗dというGの新しい表現空間を作ることができる．特に，Gがリー群の場合には，このアイデアは重要である．例えば，自然表現から SLn(C)のすべての表現を構成することが可能である．

8.1 シューアFunctor

V を有限次元複素ベクトル空間とする．このとき

V ⊗ V = S2V ⊕ Λ2V

となる．V をGL(V )の表現空間とみれば，これは既約分解になっている．さらに，

V ⊗ V ⊗ V = S3V ⊕ Λ3V ⊕ (another space)

となる．この残りの空間はなんであろうか？また，V ⊗dの場合にはどうなるであろうか？V ⊗dへSdを右作用で

(v1 ⊗ · · · ⊗ vd)σ = vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(d)

として作用させる．この作用はGL(V )の左作用と可換である．

Proof. gの作用は gvi = wiとすれば，

(g(v1 ⊗ · · · ⊗ vd))σ =(w1 ⊗ · · · ⊗ wd)σ = wσ(1) ⊗ · · · ⊗ wσ(d) = gvσ(1) ⊗ · · · ⊗ gvσ(d)=g((v1 ⊗ · · · vd)σ)

となる（注意：Sdを左作用で作用させても可換）．

そこで群環CSdの元であるヤング対称化作用素 cλを使って，

SλV := im(cλ|V ⊗d)

とすれば，これはGL(V )の表現空間である．ここで cλの定義を思い出しておこう．分割 λ = λ1 + λ2 + · · ·+ λkに対するあるヤング盤 T を考える．このとき次の二つの部分群が定義できる．

P =Pλ = g ∈ Sd | gは T の各行を保存する ∼= Sλ1 × · · ·Sλk,

Q =Qλ = g ∈ Sd | gは T の各列を保存する ∼= Sλ′1× · · ·Sλ′

l.

179

ここで λ′は共役なヤング盤に対する分割である．これらの部分群を使って，群環CSdに二つの元を定義する:

aλ =∑g∈P

g, bλ =∑g∈Q

sgn(g)g.

そして，cλ = aλbλとするのであった．

定義 8.1 (シューア functor). λに対するシューア functorとは，functor V → SλV

のことである．これはWeyl加群とかWeylの構成などとも呼ばれる．

補足 8.1. ここでの functorという言葉は，ϕ : V →Wという線形写像があったときに，Sλ(ϕ) : SλV → SλW という写像が自然に定義され，Sλ(ϕψ) = Sλ(ϕ)Sλ(ψ),

Sλ(idV ) = idSλW となるという意味で使っている．

例 8.2. λ = dという分割を考える．このとき cλ = aλ =∑

σ∈Sdσとなる．そして，

(v1 ⊗ · · · ⊗ vd)cλ = v1 ⊙ · · · ⊙ vd

となる．つまり SλV = SdV となる．次に，λ = 1 + · · ·+ 1となる．cλ = bλ =

∑σ∈Sd

sgn(σ)σであるので，

(v1 ⊗ · · · ⊗ vd)cλ = v1 ∧ · · · ∧ vd

となる．つまり SλV = ΛdV となる．

例 8.3. 分割 3 = 2 + 1を考える．このとき，例 4.4で見たように，

c(2,1) = 1 + (1, 2)− (1, 3)− (1, 3, 2)

となる．そこで，

(v1 ⊗ v2 ⊗ v3)c(1,2) =v1 ⊗ v2 ⊗ v3 + v2 ⊗ v1 ⊗ v3 − v3 ⊗ v2 ⊗ v1 − v3 ⊗ v1 ⊗ v2=(v1 ⊗ v2 ⊗ v3 − v3 ⊗ v2 ⊗ v1) + (v2 ⊗ v1 ⊗ v3 − v3 ⊗ v1 ⊗ v2)

となる．つまり，これらで張られる部分空間が S(2,1)V となる．これは次のように考えることができる．まず，埋め込み写像 ι : Λ2V ⊗V → V ⊗3

を次で定義(v1 ∧ v3)⊗ v2 7→ v1 ⊗ v2 ⊗ v3 − v3 ⊗ v2 ⊗ v1

（ここで，添え字をずらしていることに注意．添え字のずらしはGL(V )の作用と可換．つまり ∃σ ∈ Sdを作用させてる）．このとき，S(2,1)V は

(v1 ∧ v3)⊗ v2 + (v2 ∧ v3)⊗ v1

により spanされるΛ2V ⊗ V の部分空間である．そして，

S(2,1)V = ker(Λ2V ⊗ V → Λ3V )

となることがわかる．

180

Proof. 例 4.4のように c(2,1)として，別のヤング盤に対するものをとる．つまり

c′(2,1) = 1− (1, 2) + (1, 3)− (1, 2, 3)

とする．このとき，

P(1,1,1) =1

6c(1,1,1), P(3) =

1

6c(3), P(2,1) =

1

3c(2,1), P ′(2,1) =

1

3c′(2,1)

とすれば，これは射影因子である．つまり P 2i = Pi,

∑Pi = id, PiPj = 0（i = j）

を満たす．これをV ⊗3に作用させる．GL(V )との作用とは可換であるので，V ⊗3Pi

はGL(V )の表現空間であり，V ⊗3は直和分解される．そこで，

S3V =

(n+ 2

3

), Λ3V =

(n

3

), dimV ⊗3c(2,1) = dimV ⊗c′(2,1)

であることから，

dimV ⊗3c(2,1) = dimV ⊗c′(2,1) =1

3n(n+ 1)(n− 1)

となる．さて，Λ2V ⊗ V → Λ3V の (v1 ∧ v3) ⊗ v2 + (v2 ∧ v3) ⊗ v1 の像は v1 ∧v3 ∧ v2 + v2 ∧ v3 ∧ v1 = 0となるので，S(2,1)V ⊂ ker(Λ2V ⊗ V → Λ3V )となる．Λ2V ⊗ V → Λ3V は全射であるので，

dimker(Λ2V ⊗ V → Λ3V ) =

(n

2

)n−

(n

3

)=

1

3n(n+ 1)(n− 1)

となる．よって S(2,1)V = ker(Λ2V ⊗ V → Λ3V )である．

上の証明における S′λV = V ⊗3c′(2,1)は

v1 ⊗ v2 ⊗ v3 − v2 ⊗ v1 ⊗ v3 + v3 ⊗ v2 ⊗ v1 − v2 ⊗ v3 ⊗ v1=(v1 ∧ v2)⊗ v3 + (v3 ∧ v2)⊗ v1

で spanされる部分空間である．Λ2V ⊗ V → V ⊗3への埋め込みを

(v1 ⊗ v2)⊗ v3 7→ v1 ⊗ v2 ⊗ v3 − v2 ⊗ v1 ⊗ v3

で定義すれば，この場合も S′λV = ker(Λ2V ⊗ V → Λ3V )とかける．

V の次元が低い場合には，SλV はゼロになることがある．実は，これは λの長さ（行の数）が V の次元より大きいとに起こる．（下の定理をみよ）．さて，g ∈ GL(V )は SλV へ作用するが，このトレースを計算しよう．つまり

GL(V )の表現としての指標 χSλV (g)である．dimV = kとして，x1, · · · , xkを gのV での固有値とする．

181

まず，λ = (d)の場合には，

S(d)V = SdV. χS(d)V (g) = hd(x1, · · · , xk)

となる．ここで hdは d次の完全対称式であり，

hd(x) =∑

i1+···+ik=d

xi11 · · · xikk .

Proof. gを対角化可能として，gei = xieiとする．このとき，SdV の基底は，

ei11 ⊙ · · · ⊙ eikk , i1 + · · ·+ ik = d

となり，この基底にはgはxi11 · · · xikk として作用する．よってトレースはhd(x1, · · · , xk)

となる．次に，GL(V )において，対角化可能な行列は稠密であることを証明しよう．g ∈ GL(V )に対して，すべての固有値が重複度 1となる場合は対角化可能である．対角化できない場合は，gの固有値に重複度がある（逆は不成立だが）．しかし，すこしずらせば重複度なしにすることができる（つまり重複がある場合に，その点の開近傍をとれば，重複度 freeにできる）．例えば，(

1 1

0 1

)→

(1 1

0 1 + ϵ

)

とすれば，左辺の行列は対角化可能でないが，右辺の行列は対角化可能である．このように，対角化可能な行列は稠密である．そこで，対角化可能な行列 gに対して χS(d)V (g) = hd(x1, · · · , xk)がいえるので，連続性から対角化不可能な行列に対しても χS(d)V (g) = hd(x1, · · · , xk)が成立する．

同様にして，λ = (1, · · · , 1)に対して，

S(1,··· ,1)V = ΛdV, χS(1,··· ,1)V (g) = ed(x1, · · · , xk)

となる．ここで edは d次基本対称式であり，

ed =∑

i1<i2<···<ir

xi1xi2 · · · xir

そこで一般の場合を考えよう．実は次が成立する．

182

定理 8.4. 1. k = dimV とする．このとき λk+1 = 0（長さが k以上なら）

SλV = 0である．また λ = λ1 + · · ·+ λkの場合には，

dim SλV = Sλ(1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸k

) =∏

1≤i<j≤k

λi − λj + j − ij − i

となる．

2. Sdの λに対する既約表現 Vλの次元をmλとすれば，

V ⊗d ∼=⊕λ

(SλV )⊕mλ .

より詳しく言えば，V ⊗dを左GL(V )，右Sd加群とみなせば，

V ⊗d =⊕λ

SλV ⊗C Vλ

という標準的な同型がある．

3. g ∈ GL(V )とする．gの固有値を x1, · · · , xkとすれば，

χSλV (g) = Sλ(x1, · · · , xk)

4. 各 SλV はGL(V )の既約表現である． 定理の証明は次の subsectionで与える．

系 8.5. 次元は次のように書くこともできる．

dimSλV =mλ

d!

∏(i,j)

(k − i+ j) =∏(i,j)

k − i+ j

hij

ここで積は λの箱の座標を (i, j)としてすべての箱に対して積をとっている（箱はd個なので，d個の積）．また hijは各 (i, j)で hookの数である．さらに (5.7)より，dimSλV は λに対する半標準盤の数に一致する．

Proof. まず，命題 4.22 により，

mλ = dimVλ =d!

(λ1 + k − 1)!(λ2 + k − 2)! · · ·λk!∏i<j

(λi − λj + j − i)

183

となる．そこで，

dimSλV =∏

1≤i<j≤k

λi − λj + j − ij − i

= mλ(λ1 + k − 1)!(λ2 + k − 2)! · · ·λk!

d!

∏i<j

1

j − i

=mλ

d!

(λ1 + k − 1)!(λ2 + k − 2)! · · ·λk!(k − 1)!(k − 2)! · · · 1!

となる．さて，各箱の座標を (i, j)として，k − i+ jを書いていくと，

kk k + 1 k + 2 k + λ1 − 1

k − 1 k k + 1 k + λ2 − 2

1 2 λk

となるので，∏(k − i+ j) =

(λ1 + k − 1)!

(k − 1)!

(λ2 + k − 2)!

(k − 2)!· · · λk!

1!

となる．よって，dim SλV =

mλ

d!

∏(k − i+ j)

となる．もう一つの式は命題 4.23 を使えばよい．

例 8.6. mλ = Vλは標準盤の数を数えればよいので，

V ⊗3 ∼= S3V ⊕ Λ3V ⊕ (S(2,1)V )⊕2,

V ⊗4 ∼= S4V ⊕ Λ4V ⊕ (S(3,1)V )⊕3 ⊕ (S(2,2)V )⊕2 ⊕ (S(2,1,1)V )⊕3.

となる．

次の系は．次の subsectionでの定理の証明を読めばすぐにわかる．

系 8.7. c ∈ CSdとして，Sdの表現として，(CSd)c = ⊕λV⊕rλλ となったとする．

このときGL(V )の表現空間として次の分解を得る：

V ⊗dc = ⊕λ(SλV )⊕rλ

また g ∈ GL(V )の V での固有値を x1, · · · , xkとすれば，

χV ⊗dc(g) =∑

rλSλ(x1, · · · , xk)

となる．

184

補足 8.8. 上の方法で，GL(V )のすべての表現が構成できるわけではない．実際，上で作った表現の双対表現は，上の構成には含まれない．しかし，残りの既約表現は次のように構成できる．dimV = kとして，ΛkV ∗ ∼= (ΛkV )∗という表現を考える．これは１次元表現である．このとき，

SλV ⊗ (ΛkV ∗)⊗a, a ∈ N

を考えると，残りの表現を構成することができる．逆にいえば，すべての既約表現は ΛkV を何回かテンソル積することにより SλV（∃λ）と同値にできるのである．また，後で述べる例 8.18 で見るように，

SλV ⊗ ΛkV ∼= S(λ1+1,··· ,λk+1)V

となる．そこで，λ = (λ1, · · · , λk)を λ ∈ (Z≥0)kから Zkへと拡張する．つまり，λは

λ = (λ1, · · · , λk) ∈ Zk, λ1 ≥ · · · ≥ λk (8.1)

を満たすものとする．λk ≥ 0なら，この λに対して既約表現 SλV を対応させる．また λk < 0の場合には，既約表現

S(λ1−λk,λ2−λk,··· ,λk−1−λk,0)(V )⊗ (ΛkV ∗)⊗(−λk)

を対応させる．このようにして，GL(V )の既約表現は (8.1)によってパラメタライズできる．（実は，λが highest weightに対応している）．また SL(V ) の既約表現を分類する場合には，ΛkV が自明表現と同値なので，

(ΛkV )⊗aを無視すればよい．つまり，次のようにしてパラメタライズできる．

λ = (λ1, · · · , λk) ∈ Zk mod (1, · · · , 1), λ1 ≥ · · · ≥ λk

この λに対応した既約表現を構成するには，GL(V )での λに対応した既約表現を作って SL(V )へ制限すればよい．

補足 8.9. 命題 5.33 において，

Sλ(x1, · · · , xk) =Mλ +∑µ<λ

KλµMµ

となり，Kλµは Sλにおける，Xµ = xµ1

1 · · · xµk

k の係数である．この係数はGL(V )

の表現空間 SλV をweight分解したときのweight µの重複度である．つまり，SλV

におけるweight µの重複度は，Kostka数Kλµである．つまり，ヤング図形 λにµ1個の 1，µ2個の 2，・・・・µk個の kを各行で非減少，各列で増加になるように埋めていく方法がいくつあるかかぞえればよい．特に，SλV において，λが highest

weightになるが，この重複度は１である．

185

8.2 証明

まず一般論からはじめる．Gを有限群とし，A = CGと書く．U をA = CG右加群として，

B = HomG(U,U) = ϕ : U → U | ϕ(vg) = ϕ(v)g, ∀v ∈ U, g ∈ G

とする．これは U へ左から作用してるとして，Aの右作用と可換である．これを交換子代数とよぶ．Gに関してUの既約分解をU = ⊕U⊕ni

i とすれば，シューアの補題から，

B = ⊕iHomG(U⊕nii , U⊕ni

i ) = ⊕iMni(C)

と，行列代数の直和になる．

補足 8.10. ちょっと具体的に書いてみよう．CGの既約表現をW として，W ⊕Wを考える．ここには CG ∋ X → (ρW (X), ρW (X)) ∈ End(W ⊕W )として作用する．つまり (

ρW (X) 0

0 ρW (X)

)となる．W が既約であることから定理 3.49 より，代数準同型CG→ End(W )は全射である．つまり End(W ) = ρ(X) |X ∈ CGとなる．また ∀A ∈ End(W )と可換なものはCIである．そこで，交換子代数Bは，

B =

(aI bI

cI dI

)| a, b, c, d ∈ C =M2(C)

である．実際，(ρW (X) 0

0 ρW (X)

)(aI bI

cI dI

)=

(aρ(W ) bρ(W )

cρ(W ) dρ(W )

)=

(aI bI

cI dI

)(ρW (X) 0

0 ρW (X)

)

となる．また，このBに対する交換子代数は，

(A 0

0 A

)| A ∈ End(W )

となる．一方，W ∼= W ′ ならW ⊕ W ′ という空間では，うまく基底をとってもρW (X) = ρW ′(X)となるXが存在する（存在しなかったら同値になってしまう）．よって，この場合に交換子代数Bは

B =

(aI 0

0 bI

)| a, b ∈ C ∼= C⊕ C

186

となる．またBに対する交換子環は，

(A 0

0 B

)| A ∈ End(W ), B ∈ End(W ′)

となる．

さて，W を任意の左A加群として，

U ⊗A W = U ⊗C W/ua⊗ w − u⊗ aw

を考える．これは b(u⊗ w) = (bu)⊗ wにより，左B加群である．

補題 8.11. U を有限次元右A加群とする．

1. 任意の c ∈ Aに対して，標準写像 U ⊗A Ac→ Ucは左B加群として同型．

2. W = Acが左 A加群として既約とすると，U ⊗A W = Ucは B加群として既約．

3. すべての既約左A加群を Wi = Aciiとして，dimWi = miとする．つまりA ∼= W⊕mi

i ．このとき，

U ∼= ⊕i(U ⊗A Wi)⊕mi ∼= ⊕i(Uci)

⊕mi

となる．さらに，詳しくいうと，U を左B-右A加群としてみれば，

U =⊕i

(U ⊗A Wi)⊗Wi

という標準的な既約分解を得る．

Proof. 1. まず，Gが有限群なので完全可約であった．そこでAcに対してAc⊕W ′ = AとなるW ′が存在する．つまりAcは直和因子である．

次の左B加群としての可換図式を考える．

U ⊗A A·c−−−→ U ⊗A Ac

ι−−−→ U ⊗A A

∼=y y y∼=U

·c−−−→ U · c ι−−−→ U

ここで垂直方向の写像は v⊗ a 7→ v · aとしたものである．左側の水平方向は全射であり，右側の水平方向は単射である．また，外側の垂直方向は同型である．よって，真ん中の垂直方向は同型となる．以上から，U ⊗A Ac→ Uc

は左B加群として同型．

187

2. まずU がA加群として既約の場合を考える．このときB = Cである．Bは可換となるので，Ucが既約を証明するには，dimUc ≤ 1を証明すればよい．定理 3.49 から，環として，

A = CG = ⊕ri=1End(Wi), dimWi = mi

とみなす．ここで右辺は Aのすべての既約表現で和をとっている．つまりA = ⊕r

i=1M(mi,C)となる．W = Acは既約なので，section 3.10.3で見たように，Aの最小左イデアルである．行列環M(n,C)の左イデアルは，ある列のみがゼロでないような行列の空間またはそれらの直和である．また，ある列のみがゼロでない空間，つまり各列は最小イデアルである．このように各列は既約表現を与え，互いに同値である．そこで，Aの左イデアルもそれらを組み合わせたものである．よってAの最小左イデアルは，ある iに対するM(mi,C)の ki列目のみゼロでない空間のことである．同様に，U はAの最小右イデアルとみなせるので，ある jに対するM(mj,C)の lj行目のみゼロでない空間である．そこで，U ⊗A W は U とW に対する iと jが一致するときは，M(mi,C)の第 (li, ki)成分のみゼロでない行列となる（1次元）．一致しないときはゼロである．よって dimUc = dimU ⊗A W ≤ 1となる．

補足 8.12. もう少し具体的に書いてみれば次のよう．i = jとして，M(mi,C)の li行目と ki列目のも取り出し書いている．

(a1, · · · , an)⊗M(n,C)t(b1, · · · bn)

=(1, 0, · · · , 0)

a1 · · · an0 · · · 0...

...

0 · · · 0

⊗M(n,C)

b1 0 · · · 0...

......

bn 0 · · · 0

1

0...

0

=(1, 0, · · · , 0)⊗M(n,C)

a1 · · · an0 · · · 0...

...

0 · · · 0

b1 0 · · · 0

......

...

bn 0 · · · 0

1

0...

0

=(∑

aibi)(1, 0, · · · , 0)⊗M(n,C)

1

0...

0

次に，U が既約でないときを考えよう．U = ⊕αU

⊕nαα と既約分解する．上

の議論から U ⊗A W = ⊕α(Uα ⊗A W )⊕nα = C⊕nβ（∃β）となる．これはB = ⊕αM(nα,C)の作用に関して既約である．

188

3. 三番目の主張を証明しよう．A ∼= ⊕W⊕mii とする．このとき

U ∼= U ⊗A A ∼= U ⊗A (⊕iW⊕mii ) = ⊕i(U ⊗A Wi)

⊕mi ∼= ⊕i(Uci)⊕mi

となる．さらに，定理 3.49 の証明にあるように，A = CGをG×G加群とみなす．つまり，(g, g′) ∈ G×Gに対して，

A ∋ h 7→ (g, g′)h = ghg′−1 ∈ A

とみなせば，左G×G加群として，A = ⊕iEnd(Wi) = ⊕Wi ⊗W ∗i と既約分

解されるのであった．これはG×G加群として，標準的な同型である．（G加群としてはA ∼= ⊕W dimWi

i という同型しかいえない）．そこで，

U = U ⊗A (⊕iWi ⊗C W∗i ) =

⊕(U ⊗A Wi)⊗C W

∗i

となる．左G加群W ∗i は右G加群としてはWiになるので，U =

⊕(U ⊗A

Wi)⊗C Wiとなる．

さて，定理を証明するために，上の補題を CSd加群 U = V ⊗dへ適用する．まず，B = EndSd

(U)である．またEnd(V )から引き起こされるEnd(U)への写像を考える．

ι : End(V ) ∋ A 7→ A⊗ · · · ⊗ A ∈ End(U)

これは線形写像ではない（A+Bの像を考えてみよ）．よって，線形空間ではない．この部分集合 ι(End(V ))はSdの作用と可換であるので，ι(End(V )) ⊂ B ⊂ End(U)

となる．実は，対称群に場合には次が成立する．

補題 8.13. B = EndSd(U) = spanCι(End(V ))となる．また V ⊗dの部分空間が

B加群となるための必要十分条件は，その部分空間がGL(V )により不変部分空間であること．

Proof. まず，End(V ⊗d) = (V ∗)⊗d ⊗ V ⊗d = (End(V ))⊗d

となるが，この同型はSdの作用と可換である．そこで，

B = EndSd(V ⊗d) = End(V ⊗d)Sd = (End(V )⊗d)Sd = Sd(End(V ))

となる．一般に，W を有限次元ベクトル空間とすれば，

Sd(W ) = spanCwd = w ⊗ · · · ⊗ w | w ∈ W ⊂ W⊗d

となる．そこで，W = End(V )とすれば，

B = spanCA⊗ · · · ⊗ A | A ∈ End(V ) = spanCι(End(V ))

189

となる．これで，第一の主張がいえた．また，V ⊗d の部分空間 X が B 加群とする．g ∈ GL(V ) ⊂ End(V )に対して，

g ⊗ · · · ⊗ g ∈ Sd(End(V )) = Bであるので，X はGL(V )の作用で不変部分空間である．逆にGL(V )の作用でX ⊂ V ⊗dが不変部分空間であるとする．GL(V )はEnd(V )は稠密であるので，End(V )でも不変部分空間である．つまりA ∈ End(V )

に対して，A⊗ · · · ⊗ Aで V ⊗dへ作用させたものに対して，不変部分空間である．よってB加群となる．

Proof of Theorem 8.4. まず，上の補題からV ⊗d内で左B加群であること，左GL(V )

加群であることは同値である（既約などの条件も同値）．そこで，補題 8.11をU = V ⊗d, G = Sd, A = CSdとして適用する．このとき B加群というところはGL(V )加群としてもかまわない．まず，λに対するヤング対称化作用素を cλ とすれば，Vλ = (CSd)cλ は Sd の

（左）既約表現である．よって，V ⊗dcλ = SλV は既約 GL(V )表現である．また，CSd = ⊕V ⊕mλ

λ であるので，

V ⊗d ∼= (SλV )⊕mλ

となる．さらに V ⊗dを左GL(V )-右Sd加群とみれば，

V ⊗d =⊕

SλV ⊗C Vλ

となる．次に指標を見ていこう．まず，

SλV ∼= V ⊗d ⊗CSdVλ

である．同様に，Uλ = (CSd)aλに対して考えると，

V ⊗daλ = Sλ1V ⊗ Sλ2V ⊗ · · · ⊗ SλkV ∼= V ⊗d ⊗CSdUλ

となる．また系 6.3 からUλ = Vλ ⊕µ>λ KµλVµ

であるので，

Sλ1V ⊗ Sλ2V ⊗ · · · ⊗ SλkV ∼= SλV ⊕µ>λ KµλSµV

となる．この両辺で指標を考えると，SλiV の指標は hλiであることはわかってい

るので，Hλ(x1, · · · , xk) = hλ1hλ2 · · ·hλk

=∑µ≥λ

KµλχSµV (g)

190

となる．また，補題 5.27 からHλとシューア多項式の関係がわかる．そこで，すべての分割を考えていけばKµλは逆行列をもつので，上の χSµV (g)はシューア多項式 Sµ(x)となる．よって，

χSλV (g) = Sλ(x1, · · · , xk)

となる．また λ = (λ1, · · · , λd)で d > kかつ λk+1 = 0の場合を考えると，指標は

Sλ(x1, · · · , xk, 0, · · · , 0) = 0

となる（命題 5.9 を使えばよい）．また，そうでない場合は，例 5.36 から，

dimSλV = χSλV (e) = Sλ(1, · · · , 1) =∏i<j

λi − λj + j − ij − i

となる．

この証明から系 8.7 が成立することは明らかであろう．また，次の系がわかる．

系 8.14. C上代数HomGL(V )(V⊗d, V ⊗d)はSdにより張られる．

補題 8.15. 補題 8.11 において，U がAの忠実な表現であるとする．またAの交換子代数をBとする．このときBの交換子代数はAとなる．また U が忠実でない場合には，AからBの交換子代数への標準的な写像は全射である．

Proof. Uが右A加群であることから代数準同形A→ End(U)を得る．さらにBの作用と可換であるので，A→ EndB(U)という写像を得る．また，U = ⊕iU

⊗nii とA

に関して既約分解すれば，B ∼= ⊕M(ni,C)という行列代数である．この章の始めにみたように，Bと可換なEnd(U)は，

⊕i End(Ui)である．よって，A =

⊕i End(Wi)

とあらわせば，Uiに対して，あるWkiがあって，A加群としてUi = Wkiとなるので，A→ EndB(U)は全射である．またU が忠実な表現ならA→ EndB(U) ⊂ End(U)

は単射であるので，全単射となり，EndB(U,U) = Aとなる．

この補題を適用する．B = EndSd(V ⊗d)に対する交換子環はGL(V )と可換なも

のである．よって，HomGL(V )(V⊗d, V ⊗d) = CSdとなり，Sdにより張られる．

8.3 応用

まず，GL(V )の表現のテンソル積分解の公式を考えよう．

191

命題 8.16. λを dの分割．µをmの分割とする．このとき,

SλV ⊗ SµV = ⊕νNλµνSνV

となる．ここで νは d+mに対する分割であり，NλµνはLittlewood-Richardson

ruleによる． 次の二つは特別な場合であり，Pieriの公式から従う． 系 8.17. µ = (m)の場合を考えると，

SλV ⊗ SmV ∼= ⊕νSνV

となる．ここで，νは，λの後ろにm個の箱を加えたもので，各列には二つ以上の箱をつけないようなヤング図形である．また，m = (1, · · · , 1)の場合には，

SλV ⊗ ΛmV = ⊕πSπV

となる．ここで πは，λにm個の箱を加えたもので，各行には二つ以上の箱をつけないようなヤング図形である． 例 8.18. dimV = mの場合を考える．ΛmV は一次元である．GL(V )の表現としては，

GL(V ) ∋ g 7→ det(g) ∈ GL(Λm(V ))

という determinant表現である. そして，

SλV ⊗ ΛmV = S(λ1+1,··· ,λm+1)V

となる．つまり，各行に箱を一つずつ足したものになる．さらに SL(V )の表現としてみれば，ΛmV は自明表現と同型であるので，SL(V )加群として SλV ∼=S(λ1+1,··· ,λm+1)V となる．

Proof of Proposition. cλ ∈ CSd, cµ ∈ CSmをとり，SλV = V ⊗dcλ, SµV = V ⊗mcµとする．群環の環としてのテンソル積CSd⊗CSmを考えると，これはC(Sd×Sm)

と同型であり，さらにC(Sd×Sm) ⊂ CSd+mと見なせる．そこで，c := cλ⊗ cµ ∈CSd+mと見なして，V ⊗d+mへ作用させることができる．つまり，

V ⊗dcλ ⊗ V ⊗mcµ = (V ⊗d ⊗ V ⊗m)(cλ ⊗ cµ) = V ⊗d+mc

となる．系 8.7 より，CSd+mc = ⊕νV⊕rνν とすれば，

V ⊗d+mc = ⊕ν(SνV )⊕rν

192

となり，さらに指標が∑rνSν(x1, · · · , xk)となる．そこで，CSd+mcの意味を考え

ると，CSd+m⊗CSd⊗CSm (CSdcλ⊠CSmcµ)であるので，これは Ind(Vλ⊠Vµ)を意味する．命題 6.10 より，

Vλ Vµ = Ind(Vλ ⊠ Vµ) =∑ν

NλµνVν

となる．よって，SλV ⊗ SµV = ⊕νNλµνSνV

を得る．別証明：すでにGL(V )の表現空間としてのSλV , SµV の指標はわかっている．つまりSλ, Sµである．テンソル積表現の指標は積になるので，Littlewood-Ricardson

ruleからSλSµ =

∑NλµνSν

となる．よって，SλV ⊗ SµV = ⊕νNλµνSνV

となる．

例 8.19. SdV ⊗ V = Sd+1V ⊕ S(d,1)V となる．よって,

S(d,1)V = ker(SdV ⊗ V → Sd+1V )

となる．またΛdV ⊗ V = Λd+1V ⊕ S(2,1,··· ,1)V となるので，

S(2,1,··· ,1)V = ker(ΛdV ⊗ V → Λd+1V )

となる．

例 8.20. SλV ⊕ SµV を既約分解したときに，ν = λ+µとすれば，SνV は重複度１で必ず現れる．これはNλµν = 1となることを確かめればよい．

193

命題 8.21. 1. まずは，よく知られた分解．GL(V )×GL(W )の表現として，

Sn(V ⊕W ) =⊕

a+b=n

SaV ⊗ SbW, Λn(V ⊕W ) =⊕

a+b=n

ΛaV ⊗ ΛbW

2. 上を一般化する．|ν| = nとすると，

Sν(V ⊕W ) =⊕

|λ|+|µ|=n

Nλµν(SλV ⊗ SµW )

ここで，和は |λ| + |µ| = nなるすべての λ, µに対して和をとっている．つまり， ⊕

a+b=n

⊕|λ|=a,|µ|=b

Nλµν(SλV ⊗ SµW )

である．

3. 次にテンソル積空間に対して考える．|ν| = dとする．GL(V )×GL(W )

の表現として，

Sν(V ⊗W ) =⊕

|λ|=d,|µ|=d

Cλµν(SλV ⊗ SµW ).

となる．（正確には，記号として「⊗」ではなく，「⊠」を使うべき）．

4. 上の分解の特別な場合を考えると，

Sd(V ⊗W ) =⊕λ

SλV ⊗ SλW

ここで λは dの分割で，行の長さ l(λ)が l(λ) ≤ mindimV, dimWとなるもの．またW をW ∗に変えれば，上の分解は，Hom(V,W )上の次数dの多項式の空間をGL(V ) × GL(W )に対して既約分解したものになっている．

5. 　同様に，Λd(V ⊗W ) =

⊕λ

SλV ⊗ Sλ′W

となる．ここで λは dの分割で，行の長さが dimV 以下であり列の長さが dimW 以下のものである．

Proof. まず Sn(V ⊕W ) = ⊕a+b=nSaV ⊗ SbW は

v1 ⊙ · · · ⊙ va ⊗ w1 ⊙ · · · ⊙ wb 7→ v1 ⊙ · · · ⊙ va ⊙ w1 ⊙ · · · ⊙ wb

194

を使えばよい．Λn(V ⊕W ) = ⊕a+b=nΛaV ⊗ ΛbW も同様．

次に，Sν(V ⊕W ) = ⊕λ,µNλµν(SλV ⊗ SµW )を証明する．まず練習として d = 3

の場合を考えよう．

(V ⊗W )⊗3

=V ⊗3 + V ⊗ V ⊗W + V ⊗W ⊗ V +W ⊗ V ⊗ V+ V ⊗W ⊗W +W ⊗ V ⊗W +W ⊗W ⊗ V +W⊗3

=V ⊗3 ⊗CS3 CS3 + (V ⊗2 ⊗W )⊗C(S2×S1) CS3

+ (V ⊗W⊗2)⊗C(S1×S2) CS3 +W⊗3 ⊗CS3 CS3

となる．そこで，一般の場合は，

(V ⊕W )⊗d = ⊕a+b=d(V⊗a ⊗W⊗b)⊗C(Sa×Sb) CSd

となる．この両辺にCSd左加群 Vν = CSdcνをテンソルすると，

Sν(V ⊕W ) = (V ⊕W )⊗dcν = ⊕a+b=d(V⊗a ⊗W⊗b)⊗C(Sa×Sb) ResSa×Sb

Vν

となる．ResSa×SbVνにおいて，命題 6.14 から，Vλ ⊠ Vµの重複度はNλµνである．

よって，

⊕a+b=d (V⊗a ⊗W⊗b)⊗C(Sa×Sb) ResVν =

∑λµ

Nλµν ⊕a+b=d (V⊗a ⊗W⊗b)cλ ⊗ cµ

=⊕

|λ|+|µ|=|ν|

Nλµν(SλV ⊗ SµW )

となる．次に，Sν(V ⊗ W ) = ⊕Cλµν(SλV ⊗ SµW )を証明しよう．まずSdをSd × Sd

へ対角に埋め込む．このときの誘導表現 IndVν を考える．Sd ×Sdの既約表現はVλ ⊠ Vν の形であり，ResVλ ⊠ Vν = Vλ ⊗ Vν であるので，フロベニウスの相互律より，

(χIndVν , χλ⊠ν) = (χν , χResVλ⊠Vµ) = (χν , χλχµ)

となる．よって，命題 6.26より，

(χIndVν , χλ⊠ν) = Cλµν , IndVν =⊕

CλµνVλ ⊠ Vν

となる．そこで，左CSd ⊗ CSd加群として，

(CSd ⊗ CSd)⊗CSdCSdcν =

⊕Cλµν(CSdcλ ⊗ CSdcµ)

をえる．一方，(V ⊗W )⊗d = V ⊗d ⊗W⊗dとして右CSd ⊗ CSd加群みれば，

Sν(V ⊗W ) = (V ⊗W )⊗dCSdcν

=(V ⊗d ⊗W⊗d)(CSd ⊗ CSd)⊗CSdCSdcν

=⊕

Cλµν(V⊗d ⊗W⊗d)(CSdcλ ⊗ CSdcµ)

=⊕

CλµνSλV ⊗ SµV

195

となる．残りは系 6.27 から従う．

例 8.22. V = Cn, W = C2として，Λd(V ⊗W )の分解を考える．λとしては，dの分割で，行の長さが dimV 以下，列の長さが dimW = 2以下のものを考えればよいので，ヤング図形としては，

λ = (2, · · · , 2︸ ︷︷ ︸a

, 1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸d−2a

), (λ′ = (d− a, a))

となる．上の λを (2a, 1d−2a)と書けば，

Λd(V ⊗W ) = ⊕0≤a≤[d/2]S(2a,1d−2a)V ⊗ S(d−a,a)W

を得る．また，Λ2W = S(1,1)W であるので，

S(d−a,a)W ∼= (Λ2W )a ⊗ S(d−2a)W ∼= (Λ2W )a ⊗ Sd−2aW

となる．よって，GL(V )× SL(W )加群として，

Λd(V ⊗W ) = ⊕0≤a≤[d/2]S(2a,1d−2a)V ⊗ Sd−2aW

となる．

次に，GLn+m(C)の表現を部分群GLn(C)へ制限したときに，どのように分解されるかを見てみる． 系 8.23. GLn(C)を

GLn(C) = GLn(C)× 1 ⊂ GLn(C)×GLm(C) ⊂ GLn+m(C)

とみなす．GLn+m(C)の既約表現 Sν(Cn+m)をGLn(C)へ制限すると，

Res(Sν(Cn+m)) =∑

(Nλµν dimSµ(Cm))Sλ(Cn)

となる．特に，m = 1の場合を考えると，Pieriの公式から，

Res(Sν(Cn+1)) =⊕

Sλ(Cn)

となる．ここで λは νから任意の個数の箱を同じ列から二つ以上とらないように抜いたヤング図形である．つまり，GLn+1(C)の既約表現 Sν(Cn+1)を

ν1 ≥ · · · ≥ νn+1 ≥ 0, (νn+2 = νn+3 = · · · = 0)

と表したとき，ν1 ≥ λ1 ≥ ν2 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn ≥ νn+1

となるものである．これを分岐則という． 196

Proof. 前命題より，GLn(C)×GLm(C)の表現として，

Sν(Cn ⊕ Cm) =⊕

NλµνSλ(Cn)⊗ Sν(Cm)

となる．これをGLn(C)× 1へ制限すればよい．

例 8.24. µ = (µ1, · · · , µr)を dの分割とする．このとき

Λµ1V ⊗ Λµ2V ⊗ · · · ⊗ ΛµrV ∼=⊕

KλµSλ′V

となる．ここでKλµはKostka数であり，λ′は λの共役．

Proof. 証明１：指標を計算する．ΛµiV の指標は，eµi(x1, · · · , xk)である．よって，

左辺の指標は，Eµ = eµ1 · · · eµr

である．これをシューア多項式であらわせばよい．そこで，例 5.48 を使えば，

Eµ =∑

KλµSλ′

となる．よって，証明された．証明２：ヤング対称化作用素 cµ = aµbµの bµの定義を思い出すと，

bµ =∑g∈Q

sgn(g)g

であった．ここでQは µに対するヤング盤の各列を保存する部分群であった．そこで，bµ′を考えれば，

Λµ1V ⊗ Λµ2V ⊗ · · · ⊗ ΛµrV = V ⊗dbµ′

となる．また，Section 6.2.4 から，

CSdbµ′ =∑

KλµCSdcλ′

が成立していた．よって，

V ⊗dbµ′ =∑

KλµV⊗dcλ′ =

⊕KλµSλ′V

を得る．

例 8.25. λ′を λの共役とする．このとき次の写像を考える．⊗i

(Λλ′iV )→

⊗i

(⊗λ′iV )→ V ⊗d →

⊗j

(⊗λjV )→⊗j

(SλjV ).

この合成写像の像は SλV となる．同様に，⊗i

(SλiV )→⊗i

(⊗λiV )→ V ⊗d →⊗j

(⊗λ′jV )→

⊗j

(Λλ′jV ).

の像も SλV となる．

197

Proof. CG = Aとする．Vλ = Acλ = Aaλbλとなるのであった．また Uλ = Aaλとする．このとき Vλは

Uλ = Aaλ×bλ−−→ Abλ

の像である．そこで，⊗i

(SλiV ) = V ⊗daλ×bλ−−→

⊗j

(Λλ′jV ) = V ⊗dbλ

の像は SλV となる．もう一つの式も例 4.12で述べた Vλ ∼= Abλaλからしたがう．

例 8.26. まず Pieriの公式（または Littlewood-Ricardson rule）から，

Sd(V )⊗ Sd(V ) =⊕

0≤a≤d

S(d+a,d−a)V

となることがわかる．実は，

S2(Sd(V )) = S(2d,0)V ⊕ S(2d−2,2)V ⊕ S(2d−4,4)V ⊕ · · ·Λ2(Sd(V )) = S(2d−1,1)V ⊕ S(2d−3,3)V ⊕ S(2d−5,5)V ⊕ · · ·

となる．同様に，

Λd(V )⊗ Λd(V ) =⊕

S(2, · · · , 2︸ ︷︷ ︸d−a

,1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸2a

)V

となる．これも実は，

S2(Λd(V )) =⊕a even

S(2, · · · , 2︸ ︷︷ ︸d−a

,1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸2a

)V, Λ2(Λd(V )) =⊕a odd

S(2, · · · , 2︸ ︷︷ ︸d−a

,1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸2a

)V

となる．

Proof. これは，Fulton-Harris [1]の演習問題になっていて，ヒントしか書いてない．（難しくないはずなんだけど，自分にはわからない．S(2d−2a,2a)V が S(2d−2a,2a)V ⊂S2(V ⊗d)と実現できることはわかるのだけど，そこから S(2d−2a,2a)V ⊂ S2(Sd(V ))

となることがわからない．わかる人がいたら教えてください）．そこで，[2]に載ってる，全く別の方法で証明する．Sd(V )の指標は hdである．よって，S2(Sd(V )), Λ2(S2(V ))の指標はそれぞれ，

1

2(hd(x1, · · · , xk)2 + hd(x

21, · · · , x2k)),

1

2(hd(x1, · · · , xk)2 − hd(x21, · · · , x2k))

となる．これらをシューア関数を使って分解する．

198

hd(x1, · · · , xk)の定義は，

k∏i=1

1

1− xit=∑

hjtj

における tdの係数であった．そこで，h(r)d := hd(xr1, x

r2, · · · )は,

k∏i=1

1

1− xri tr=

k∏i=1

r∏j=1

(1− xiωjt)−1

における trdの係数である．ここで ω = e2πi/rとなる．一方，コーシーの恒等式を思い出す．∏

i,j

1

(1− xiyj)=∑λ

Sλ(x)Sλ(y)

であった．これに代入すれば，に代入すれば，

k∏i=1

1

1− xri tr=∑λ

Sλ(x)Sλ(1, ω, ω2, · · · , ωr−1)t|λ|

となる．ただし，変数の数が異なるので，maxr, k変数で考えて，余りの変数をゼロにすればよい．また，例 5.36 より，

Sλ(1, ω, · · · , ωr−1) =∏

１≤i<j≤r

ωλi+r−i − ωλj+r−j

ωj−1 − ωi−1 =∏i<j

ωλi+r−i − ωλj+r−j

ωr−i − ωr−j .

この値は計算可能である．λ1+r−1 > · · · > λrであることを考慮すれば，l(λ) ≤ r

かつ，

(λ1+r−1, λ2+r−2, · · · , λr) = σ(r−1, r−2, · · · , 0) mod (rZ)r, for ∃σλ ∈ Sr

のとき，符号を除いて，分子，分母が一致することがわかる（つまりλ1+r−1, · · · , λrが mod pとして，すべて異なる場合である）．そして，符号は sgn(σλ)となる．つまり，Sλ(1, · · · , ωr−1) = sgn(σ)となることがわかる．それ以外では mod rで，λi + r − i ≡ λj + r − j（∃i, j）となるのでゼロとなる．よって，

h(r)d =

∑|λ|=dr, l(λ)≤r

sgn(σλ)Sλ

となる．これを r = 2の場合について考えると，|λ| = 2d, l(λ) ≤ 2となるのは，λ = (2d− j, j)の場合である．そして符号は

(2d− j + 1, j) ≡ (−j + 1, j) ≡ (j + 1, j) ≡

(0, 1) j = odd

(1, 0) j = evenmod (2Z)2

199

となるので， sgn(σ(2d−j,j)) = (−1)jとなる．よって，

h(2)d = hd(x

21, · · · , x2k) =

d∑j=0

(−1)jS(2d−j,j)(x1, · · · , xk)

を得る．次に，h2dを計算する．これはKostka数を計算すればよい．つまり，

H(d,d) = hdhd =∑µ

Kµ(d,d)Sµ =d∑

j=0

S(2d−j,j)

となる．よって，

1

2(hd(x1, · · · , xk)2 + hd(x

21, · · · , x2k)) =

∑a even

S(2d−a,a),

1

2(hd(x1, · · · , xk)2 − hd(x21, · · · , x2k)) =

∑a odd

S(2d−a,a)

となる．以上から

S2(Sd(V )) = S(2d,0)V ⊕ S(2d−2,2)V ⊕ S(2d−4,4)V ⊕ · · ·Λ2(Sd(V )) = S(2d−1,1)V ⊕ S(2d−3,3)V ⊕ S(2d−5,5)V ⊕ · · ·

となることがわかる．さて，次に S2(Λd(V )), Λ2(Λd(V ))の場合について，簡単に述べる．Ωを対称式空間上の involutionとすれば，

eded = ω(hdhd) =d∑

j=0

S(2d−j,j)′ =d∑

j=0

S(2, · · · , 2︸ ︷︷ ︸j

,1, · · · , 1︸ ︷︷ ︸2d−2j

)

となる．一方，h(2)d = hd(x21, · · · , x2k)に対しては，Ωをそのまま作用させることは

できない．しかし，例 5.51を使えばよい．

補足 8.27. 上はS2(Sd(V ))の既約分解であったが，より一般にSµ(SλV ))がどのように既約分解されるかという問題があるが，これは非常に難しい問題で，plethysm

問題とよばれる．特別な場合には，上のような公式があるが，一般の場合の公式はないみたい（see [2]）．

200

元本は [1]の第一章です．もう少し詳しくしりたいなら [2]の第一章や [1]に載ってる参考文献を参照．他の日本語の参考書は，たまに参考にしました．

参考文献[1] W. Fulton and J. Harris Representation theory, a first course GTM 129,

springer.

[2] I. G. Macdonald, Symmetric Fuctions and Hall Polynomials, second edition

Oxford Math, Mono. Oxford.

[3] 西山　亨, 和歌山大学集中講義のためのノート

[4] 西山　亨, 多項式のラプソディー　日本評論社.

[5] 寺田　至, ヤング図形の話, 日本評論社.

[6] 堀田　良之, 加群十話, 朝倉書店.

[7] 河添　健, 群上の調和解析, 朝倉書店.

[8] 小林俊行・大島利雄, Lie群と Lie環, 岩波書店.

[9] 佐竹一郎, 線形代数学. 　裳華房.

201

索 引[f(x)]l, 81

[P ]λ, 123

Ad, 14

∗, 43∆(x), 80

G, 49

Hom(V,W )G, 21

HomG(V,W ), 21

IndGH , 53

Λ, 128, 160

C(G), 22Cclass(G), 33

CG, 42Sλ, 179

ResGHV , 53

ω, 129

ωλ(i), 124, 140

ωλ(P ), 123

ψλ, 138

ψλ(P ), 123

ψa, 143

ρkl (or ρlk), 41

Sλ′ , 155

Sλ, 138

Sd, 5

sgn, 14

aλ, 66

bλ, 66

Bd, 8

Cλµν , 156

cλ, 68, 179

Ci, 13, 78, 80

E(t), 98

Eµ(x), 99

er(x), 15

H(t), 98

Hλ(x), 99

hj, 98

Kµλ, 116

l(λ), 65

Mλ(x), 16, 99

Nλµν , 115

p(d), 13, 65

P (t), 98

P = Pλ, 66

P i, 124

Pλ, 129

pj(x), 80

Q = Qλ, 66

R, 162

R(G), 36

RG, 22

Sλ, 100

U , 25

U ′, 25

Uλ, 138

U ′λ, 155

Vλ, 68

Vλ Vµ, 145V1 ⊠ V2, 38

intertwining作用素, 21

involution, 129

weightの重複度, 185

可換群, 25

可約, 23

絡み作用素, 21

完全可約, 23

完全対称式, 98

奇置換, 14

軌道和対称式, 16

202

基本対称式, 15, 98

既約, 23

Giambelliの公式, 103

共役な分割, 66

共役表現, 165

共役類, 11

行列成分, 41

偶置換, 14

組紐群, 8

群環, 42

原始的, 47

交換子代数, 186

交代群, 14

交代式, 19

交代表現, 25

コーシーの恒等式, 117, 118

互換, 5

Kostka数, 116, 120

固定点集合, 31

convolution, 43

サイクルタイプ, 12

サイクル表示, 12

差積, 19, 80

G加群, 21

G線形写像, 21

G不変, 23

次元公式, 85

四元数構造（表現空間上の）, 61

自己共役, 165

辞書式順序, 72

実構造（表現空間上の）, 61

指標, 28

指標の計算法, 150

指標表, 30, 36

自明表現, 22, 25

射影公式, 31, 37

シューア多項式, 100

シューア多項式の計算法, 121

シューアの直交関係, 41

シューアの補題（Schur’s lemma), 24

シューア functor, 180

巡回置換, 5

skewシューア多項式, 131

skew hook, 149

Skewヤング図形, 131

step（of skew hook）, 149

split共役類, 167

正規直交性, 33

生成元, 6

正則表現, 22

双代数, 159

双対表現, 21

対合, 129

対合（ホップ代数上の）, 159

対称群, 5

対称式, 15

対称式の基本定理, 16

対称多項式, 15

代数, 158

代数的整数, 39

畳み込み, 43

単純, 44

置換表現, 22, 25, 53

忠実な表現, 37

重複度, 24

deteminant表現, 192

同値な表現, 21

内積（C(G)上の）, 33

内積（対称式上の）, 119

長さ（ヤング図形の）, 65

203

Newtonの公式, 17, 110

半単純, 44

半標準盤, 116, 121

Peter-Weylの定理, 42

Pieri’s rule, 148

Pieriの公式, 112, 130

左正則表現, 22

表現, 21

表現環, 36

表現環（対称群の場合）, 162

標準表現, 26, 75

標準ヤング盤, 65

フーリエ逆変換, 52

フーリエ逆変換（S1の場合）, 49

フーリエ逆変換（Rの場合）, 50

フーリエ変換（S1の場合）, 49

フーリエ変換（Rの場合）, 50

フーリエ変換（スカラー値）, 51

フーリエ変換（作用素値）, 51

符号, 14

不動点定理, 30

プランシュレル測度, 52

プランシュレルの公式, 53

プランシュレルの公式（S1の場合）,

49

プランシュレルの公式（Rの場合）, 50plethsym, 200

フロベニウスの公式, 81

フロベニウス相互律, 60

分割数, 13, 65

分割の特性, 90

分割の rank, 90

分岐則, 147, 196

冪等元, 47

冪和対称式, 17, 80, 98

ポアンカレ級数, 19

hook length 公式, 86

hook length, 85

ホップ代数, 159

multiplicity free, 147

Murnaghan-Nakayama rule, 149

Molienの定理, 32

Jacobi-Trudy恒等式, 103

ヤング図形, 65

ヤング対称化作用素, 68

ヤング盤, 65

ヤング部分群, 138

誘導表現, 53

誘導表現の指標, 57

ユニタリ双対, 49

ユニタリ表現, 23

余可換, 159

余積, 158

余代数, 158

Littlewood-Richardson rule, 115

隣接互換, 5

類関数, 28

ロビンソン-シェンステッド対応, 73

Weyl構成, 180

204