수학으로 힐링하기

이 수 영 지음

수학으로 힐링하기

수영 쌤과 떠나는

색다른 수학 여행

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| 추천의 글 |

수영 쌤과 떠나는

색다른 수학 여행

오래 전부터 우리는 수학은 어려운 과목이며, 논리적이고 사고력

이 강한 사람은 수학을 잘 하는 머리 좋은 사람이라고 여기며 살고

있습니다. 이런 상식적인 생각에 얽매여서 대부분의 학부모나 학생

들, 즉 우리는 어려운 수학을 잘 하려고 갖가지 방법으로 노력하고

있습니다. 그러나 수학은 잘 하기가 쉽지 않은 과목이기 때문에 큰

좌절을 경험하기 일쑤입니다. 그러면서도 논리적이고 사고력이 강한

머리 좋은 사람이 되고 싶은 열망을 누구나 마음속에 간직하고 있

는 것이 사실입니다.

이번에 이수영 선생님이 쓰신 책 《수학으로 힐링하기》는 우리들

에게 많은 위로와 희망을 주는 책이라고 생각합니다. 자신의 닉네임

인 ‘수영 쌤’을 즐겨 사용하는 저자는 어려운 수학을 공부하느라고

힘든 시기를 겪는 청소년들에게 수학을 이용하여 위로와 격려의 메

시지를 전하고 있습니다.

한국상담대학원대학교에 재학 중인 ‘수영 쌤’은 상담자적인 이해

와 배려의 정신으로 ‘수학’과 ‘힐링’이라는 단어를 연결하여 청소년

에 대한 사랑과 열정을 표현하고 있습니다. 동시에 우리 사회에 만연

해 있는 ‘힐링’이라는 단어가 가진 참 메시지를 잘 설명하고 있습니

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다. ‘힐링’은 눈에 보이는 불편한 증상을 일시적으로 제거하는 데에

그치는 것이 아니라 인간의 내면에 잠재된 무궁무진한 잠재능력을

발굴하여 개발해 가면서 인간적으로 성숙해 가는 과정을 의미합니

다. 그러므로 힐링은 기쁨과 용기를 주는 개념입니다.

저자는 학과목 성적으로 인격 전체가 평가되는 세대, 특히 영어

수학 국어 등 중요 과목의 점수에 의해서 모든 것을 용서받거나, 아

무것도 용서받지 못하는 조직 속에 살고 있는 현대 우리나라의 청소

년들에게 그들 내부에는 누구도 함부로 할 수 없는 그 사람 만의 독

특한 능력과 개성이 있다는 사실을 어렵고 까다로운 수학적인 논리

를 활용하여 쉽게 설명하고 있습니다.

평소 ‘실력과 인성이 균형 잡힌 인재 양성’을 비전으로 갖고 있는

저자는 수학과 상담을 접목시켜 수학이 딱딱하고 어려운 과목이 아

니라 재미있고 따뜻한 과목임을 알게 하고, 이를 통하여 수학 실력

과 건강한 인성을 겸비한 청소년들이 되면 더없이 좋겠다고 희망하

고 있습니다.

저자의 순수한 열정과 비전으로 쓰여진 이 책은 여러 가지 면에

서 독자들에게 큰 힘을 준다고 확신합니다.

한국상담대학원대학교 총장

이혜성

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| 들어가며 |

이 땅의 모든 ‘수포자’들에게

전하는 희망의 메시지

“수학을 배워서 어디에 써요?”

이 시간에도 수학을 공부하는 학생들의 질문이다. 하지만 이 질

문은 대부분 무시되기 마련이다. 이미 학생들은 시험과 대학 진학을

위해 수학을 공부한다는 것을 알고 있기 때문이다. 이 질문은 소위

수학에서 ‘루저’라고 일컬어지는 ‘수포자’(수학을 포기한 자)가 수학

을 떠나면서 던지는 마지막 질문이기도 하다.

나는 공대 출신이며, IT회사에 다녔으며, 수학학원 원장이었기

에 오랫동안 수학을 접해 왔다. 하지만 ‘수학을 배워 어디에 쓰지?’

라는 질문에 속시원히 대답할 수 없었다. 아무리 어려운 수학 문제

를 잘 푼다 해도, 인생에는 풀리지 않는 문제들이 더 많다. 지금의 청

년실업 문제나 인간관계에서 파생되는 문제들이 오히려 더 어렵다

는 생각이 든다.

그러던 중 나는 상담을 공부하게 되었다. 상담이란 자기 자신을

수용하면서 이해하는 과정이었다. 그러면서 나 자신을 찾는 과정이

었고, 상대를 이해하는 과정이었으며, 이것을 토대로 세상을 헤쳐나

가는 방편이었다. 나의 감정은 소중한 것이며, 표현할 수 있는 것이

고, 누구나 자신의 감정이 지지받고 이해받기를 바란다는 사실을

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알게 되었다.

내가 상담을 공부하면서 깨달은 사실은, 어떤 상담가보다 수학

이 훌륭하고 멋진 상담가라는 것이다. ‘더하기’를 통해 현재에 감사

하라는 것을, ‘일차방정식’을 통해 나의 존재가 얼마가 소중한지를,

‘함수’를 통해 내가 말하는 대로 나의 모습이 이루어진다는 것을, 수

학은 나에게 원리로서, 개념으로서, 기호로서 알려 주었다.

나는 중고등학교 아이들이 배우는 수학을 이용해 그들에게 전하

고 싶은 메시지 요약했다. 실제 강의에서 아이들에게 전한 내용들이

다. 아이들에게 가장 힘있는 메시지는 ‘나도 그래봤어’였다. 아이들

과 공감하며 소통하기 위해 나 자신을 솔직하게 보여 주어야 했다.

아이들과 나는 다른 점이 많지만, 한 배를 타고 여행하는 동료이자

친구였다.

흔히 사람들은 자신의 소중함을 잘 깨닫지 못한다. 나 자신의 소

중함을 모르기 때문에 다른 조건으로 사랑받으려 한다. 학생들은

공부를 잘함으로써, 취업 준비생은 취직에 성공함으로써, 아빠들은

돈을 많이 벎으로써, 엄마들은 아이들의 학업 성취도로써 자신이

사랑받는다고 생각한다. 거꾸로 이야기하면, 공부를 잘 못하면, 취

직을 못하면, 돈을 못 벌면, 아이들의 학업 성취도가 낮으면, 나 자신

이 미천한 존재가 된 것마냥 여기게 된다. 우리는 장점도 있고 단점

도 있는 한 사람이다. 완벽할 수 없으며, 당연히 실수할 때도 있다. 이

를 통해 배우고 성장하는 존재인 것이다.

이 책을 수학 공부라 생각지 말고 관심 가는 부분을 찾아 읽어보

면 좋겠다. 그래서 마음이 따뜻해지고, 고개가 끄덕여지고, 다시 해

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보겠다는 마음의 힘이 올라온다면, 그것이 바로 ‘수학을 배우는 목

적’이라고 이야기해 주고픈 작은 소망을 가져 본다.

2016년 2월

| 차 례 |

추천의 글 수영 쌤과 떠나는 색다른 수학 여행 5

들어가며 이 땅의 모든 ‘수포자’들에게 전하는 희망의 메시지 7

수학이 널 응원해

수와 연산1. 더하기와 빼기 꿈을 꿀 수 있음에 감사하는 것 16

2. 몫과 나머지 나머지는 세상에 돌려주자 20

3. 등호와 부등호 감당할 수 있는 만큼의 시련만 온다 24

4. 약수와 배수 우리는 같으면서도 다른 존재 29

5. 순환소수 반복되는 나쁜 습관의 원인 33

6. 실수와 허수 존재감 없는 나 자신 37

방정식과 부등식7. 일차방정식 네 안에 있는 진짜 너 42

8. 항등식과 미정계수 친구를 살리는 한마디 48

9. 공통부분의 치환 이 무거운 걸 혼자서 짊어졌구나 52

10. 부정방정식 네가 싫은 건 싫은 거란다 56

11. 절대부등식 어떤 선택이든 얻는 것이 있어 61

함수와 그래프12. 일차함수 남의 평판에 의지하지 말자 66

13. 대칭함수 불편한 감정에 귀 기울여봐 71

14. 합성함수 스스로 나의 미래를 불러 주자 75

15. 역함수 행동을 보고 마음을 이해하자 79

16. 부등식의 영역 나의 영역은 어디일까? 83

17. 도형의 이동 어느 자리에서나 나만의 모습으로 존재하기 88

도형과 벡터18. 정의와 정리 너의 존재를 세상에 증명하려고 애쓰지 마 92

19. 도형의 닮음 그땐 어렸지만 지금은 달라 97

20. 포물선과 타원과 쌍곡선 성장이란 직면과 돌봄의 조화 101

21. 평면의 결정 조건 괜찮아, 네 잘못 아냐 104

22. 공간좌표 정면으로 바라보고, 하늘에서 내려다보자 107

23. 벡터와 스칼라 굽이굽이 흐르는 강이 많은 생명을 이롭게 해 112

집합과 수열24. 집합의 연산 함께 모이면서도 서로 독립적인 가족 118

25. 충분조건과 필요조건 그냥 너 하나로 충분해 122

26. 귀류법 나 자신을 조금 더 기다려 주자 125

27. 항등원과 역원 듣고 싶은 말을 듣고 싶은 우리 129

28. 등비수열 남과 비교하지 말고 내 목표에 시선을 고정하자 133

29. 수학적 귀납법 하나부터 시작하고, 한 번 더 일어나자 139

30. 수렴과 발산 내 작은 것을 내어준다는 의미 143

31. 무한급수 불안은 받아들일수록 작아진다 148

32. 지수와 로그 서로에게 의미가 되는 관계 152

미분과 적분33. 함수의 연속과 중간값 정리 한 번은 만나야 하는 나 자신 158

34. 미분계수와 도함수 차이가 있다는 것의 감사함 162

35. 극대값과 극소값 새벽은 어둠이 가장 짙을 때 온단다 166

36. 정적분 ‘지금’과 ‘여기’를 살자 170

37. 속도와 가속도 꿈을 향해 나아가는 행동 174

확률과 통계38. 대표값과 평균 너의 됨됨이를 자랑하렴 178

39. 여사건 좋아서 선택한 길, 싫어서 피해 온 길 183

40. 분산과 표준편차 넘버원보다 온리원이 되렴 187

41. 확률의 곱셈정리 이겨놓고 싸운다 191

42. 통계적 추정 점수보다 실력을 쌓자 196

수영 쌤의 힐링톡

1. 정말 억울하고 힘들었겠구나 202

2. 너 자신에게 잘하고 있다고 이야기해 줘 206

3. 첫 마음을 잊지 마세요 210

4. 넌 가진 것이 많은 아이야 214

5. 나에겐 네가 합격이야 218

6. 얼마나 힘들면 게임만 하겠니? 222

7. 정말로 원하는 것이 무엇이니? 226

8. 너를 이해해 주는 사람이 필요했구나 229

9. 실패를 이겨야 진짜 성공이야 232

10. 네가 본 것이 맞는 거야 236

덧붙이며수학으로 풀어 본 성경 242

수학을 잘한다는 의미 245

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수학이 널 응원해

수와 연산

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더하기와 빼기 | 꿈을 꿀 수 있음에 감사하는 것 |

나에게 부족한 것에 집중하는 것이 아니라,

내가 가진 것으로 지금 할 수 있는 일을 감사하며 실행했으면 합니다.

축복은 내가 가진 것으로부터 시작합니다.

수학을 배우게 되면 처음 접하게 되는 것이 사칙연산이지. 사칙

연산은 ‘더하기+’, ‘빼기-’, ‘곱하기×’ 그리고 ‘나누기÷’를 말하지.

그중 더하기와 빼기에 대해 생각해 보자.

Q. 3+2의 값을 구하라

답은 5. 사탕 3개에 2개를 더하면 사탕이 총 5개라고 할 수도

있지.

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Q. 5-3의 값을 구하라

답은 2. 5에서 3을 덜어내면 2가 남는 거지. 혹은 5가 되려면 지금

의 3에서 2가 부족하다고 해석할 수도 있어. 더하기와 빼기를 보면,

우리가 세상을 바라보는 법을 이야기하는 것 같아.

우리는 성장하면서 바라는 것이 생기는데, 그것이 내가 ‘되고 싶

은 것’일 수도 있고, ‘갖고 싶은 것’일 수도 있어. 어떤 친구는 그것을

‘꿈’이라 부르기도 하고, 어떤 사람은 ‘목표’ 혹은 ‘바람’이라는 표현

을 쓰기도 해. 간혹 꿈과 목표가 없다고 하는 아이들이 있지만, 그 친

구들과 한참 이야기를 나누다 보면, 하고 싶은 것들을 대부분 가지

고 있어.

지금 너의 모습이 숫자 3이라고 생각해 보자. 그런데 네 앞에 2라

는 친구가 나타난 거야. 그렇다면 너와 네 친구가 합을 이루어 5를 함

께 바라볼 수 있는 거야. 서로의 장점을 칭찬하고, 서로의 부족한 점

을 도와가면서 서로 힘을 합쳐 5라는 목표로 나아가는 거야. 이것을

더하기라고 할 수 있어.

이때 5라는 친구가 나타났다고 해보자. 나보다 더 똑똑하고 멋져

보이는 친구지. 그와 함께 있으면 더 큰 목표를 그릴 수 있을 것 같아.

그와 함께 새로운 꿈을 꾸게 되면, 3+5=8이 되지.

반면, 빼기의 관점에서 보자. 3이라는 나에게, 5라는 친구가 나

타났어. 5를 보니까 나보다 더 똑똑하고 잘생기고 인기가 많은 것 같

아. 이때 그와 나 사이에 차이가 나는 2를 자꾸 불평하게 될 수 있는

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거야.

‘저 친구는 나보다 공부를 잘해.’

‘저 아이는 맨날 놀면서도 백점이야.’

‘쟤는 외국에 살았어서 영어도 잘하는데 난 이게 뭐야.’

내 부족한 면만 계속 생각하는 거지. 내가 왜 이렇게 부족한지,

내가 왜 이렇게 못하는지. 그러면서 조금씩 나 자신을 원망하게 되

고, 그 친구를 미워하기 시작해. 이것이 5-3=2라고 할 수 있어.

어느 날 3인 나에게 2라는 친구가 나타났어. 나보다 1이 부족한

친구야. 문득 나 자신이 그 아이보다는 낫다는 우월감이 들기 시작

해. 2밖에 되지 못하는 그 아이가 형편없어 보이고 불쌍해 보였어. 그

러고는 나보다 부족한 아이들만 찾아 스스로 잘났다는 생각으로 살

기 시작하지.

현재 내 모습이 3이야. 2를 더 가지면 5를 이룬다는 것을 그림으

로 그려 보자.

너에게 물어보고 싶어. 0에서 3까지 어떻게 왔니? 힘들진 않았

어? 감사할 일은 없었어? 맞아. 네가 3으로 오기까지 분명 참 감사했

던 일이 있었을 거야. 오늘 아침 해가 뜬 것. 잠에서 깨어난 것. 눈이

스스로 떠진 것. 에이~ 그게 뭐 대단한 일이냐고? 생각해 보자. 잠을

자는 것이 얼마나 소중한 일일까? 불면증처럼 힘든 일이 없거든. 잠

을 자고 싶어도 잠을 잘 수 없는 경우 말이지. 그리고 오늘 아침 해가

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떴다는 거야. 지구가 자전을 하면서 해가 뜨고 진다는데, 너무 신기

하지 않니? 또 태양이 주는 에너지를 우리는 늘 공짜로 받고 있잖아.

이밖에 등교할 학교가 있다는 것. 소중한 가족이 있다는 것. 글자를

읽을 줄 알고, 그것을 통해 지식을 얻을 수 있고, 눈이 건강하게 사물

을 볼 수 있고, 귀는 소리를 들을 수 있어. 생각할수록 얼마나 크고

감사한 일이야?

이제 빼기를 보자. 내가 3인데 목표인 5가 되기 위해서는 2가 부

족하지.

현재 자리까지 오게 된 것은 바라보지 않고, 내가 가지지 못한 오

로지 부족한 부분만 바라보는 거야.

더하기는 더 큰 목표에 시선을 두지만, 빼기는 나 자신에게만 시

선을 둔단다. 더하기는 지금 있는 것에 감사하지만, 빼기는 내가 갖

지 못한 것을 원망하지. 더하기는 다른 사람과 함께 사는 삶을 누리

지만, 빼기는 혼자서 모든 것을 하려고 하지.

너는 지금 더하고 있니, 아님 빼고 있니?

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몫과 나머지| 나머지는 세상에 돌려주자 |

나의 것과 너머지를 잘 구분하여, 나의 것은 감사히 누리고,

나머지는 세상에 돌려주는 여러분이 되기를 소망합니다.

이제는 나누기를 배울 차례야. 그러기 위해서는 곱하기를 배워야

하는데, 곱하기는 구구단에서 배웠지? 만약 2 곱하기 3이라고 하면,

기호로는 2×3이라 쓰고, 2를 3번 더한다는 의미지. 계산해 보면, 2

×3=2+2+2=6.

나누기는 그 반대지. 6÷2는 6을 2로 나누라는 뜻이고 답은 3이

야. ‘6개의 사탕을 2개씩 묶으면 몇 개의 묶음이 생길까’라는 질문으

로도 표현할 수 있어.

나누기에는 이렇게 숫자가 자연수1로 떨어지는 경우도 있지만,

자연수로 떨어지지 않는 경우도 있어. 예를 들어 7÷3을 보면, 7개의

1 하나하나 셀 수 있는 수. 1, 2, 3……을 자연수라 한다.

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사탕을 3개로 묶으면 2개의 묶음이 생기고 한 개의 사탕이 남지. 이

것을 기호로 표현해 보면, 7÷3=3×2+1.

나중에 분수를 배우게 되면, 이것을 가분수

2. 몫과 나머지 _나머지는 세상에 돌려주자

4. 약수와 배수 _우리는 같으면서도 다른 존재

× ×

× ×

× ×

× ×

×

× ×

× ×

× × ×

5. 순환소수 _반복되는 나쁜 습관의 원인

6. 실수와 허수 _존재감 없는 나 자신

=

(단, )

×

7. 일차방정식 _네 안에 있는 진짜 너

× ×

÷ ÷

∴

로 나타내기도 하

고, 대분수인

2. 몫과 나머지 _나머지는 세상에 돌려주자

4. 약수와 배수 _우리는 같으면서도 다른 존재

× ×

× ×

× ×

× ×

×

× ×

× ×

× × ×

5. 순환소수 _반복되는 나쁜 습관의 원인

6. 실수와 허수 _존재감 없는 나 자신

=

(단, )

×

7. 일차방정식 _네 안에 있는 진짜 너

× ×

÷ ÷

∴

로 나타내기도 해. 그리고 나누기에서 바로 몫과

나머지라는 용어를 배우게 돼.

Q. 7을 3으로 나눈 몫과 나머지를 구하시오.

① 7=3×1+4이며, 몫은 1이고 나머지는 4

② 7=3×3-2이며, 몫은 3이고 나머지는 -2

③ 7=3×2.3+0.1이며, 몫은 2.3, 나머지는 0.1

①, ②, ③ 중 어느 것이 맞을까? 세 가지 모두 이유가 있겠지만,

세 개 모두 답은 아니야. 어떤 식으로든 여러 가지 생각에 대해 규칙

을 정하고, 그것을 따르자는 거야.

7=3×2+1은 2가 몫, 나머지가 1이 되고, 그래서 대분수

2. 몫과 나머지 _나머지는 세상에 돌려주자

4. 약수와 배수 _우리는 같으면서도 다른 존재

× ×

× ×

× ×

× ×

×

× ×

× ×

× × ×

5. 순환소수 _반복되는 나쁜 습관의 원인

6. 실수와 허수 _존재감 없는 나 자신

=

(단, )

×

7. 일차방정식 _네 안에 있는 진짜 너

× ×

÷ ÷

∴

이 된단다.

중학교 수학에서는 몫과 나머지에 대해 문자로 이렇게 표현해.

자연수 a를 b로 나누어 다음 식이 성립한다면

a=b×(몫)+(나머지)

(1) 나머지는 b보다 작다.