Муниципальное автономное...

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Лицей ИГУ г. Иркутска (МАОУ Лицей ИГУ г. Иркутска)

ПРЕДМЕТНАЯ ОБЛАСТЬ «МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»

МАТЕМАТИКА

I. Рабочие программы учебных предметов, входящих в инвариантную часть учебного

плана:

1.1_РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ «Алгебра» для 10-11 классов

......................................................................................................................................................2

1.2_РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ «Геометрия» для 10-11

классов .......................................................................................................................................31

II. Рабочие программы учебных предметов, входящих в вариативную часть учебного

плана (обязательные предметы):

2.1_РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ «Алгебра (обязательный

лицейский компонент)» для 10-11 классов. ...........................................................................44

2.2_РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ «Дискретная математика» для

10-11 классов. ...........................................................................................................................68

III. Рабочие программы учебных предметов, входящих в вариативную часть учебного

плана (курсы по выбору):

3.1_РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО КУРСУ «Нестандартные задачи элементарной

математики» для 10-11 классов .............................................................................................77

3.2_РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО КУРСУ «Нестандартные задачи элементарной

математики» для 10-11 классов физико-математического профиля ..................................92

3.3_РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО КУРСУ «Решение олимпиадных задач по математике»

для 10-11 классов ....................................................................................................................108

3.4_РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО КУРСУ «Геометрический практикум» для 11 классов

..................................................................................................................................................122



Утверждено приказом директора МАОУ Лицея

ИГУ г. Иркутска

от 30.08.2016 г. № 136/7

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРЕДМЕТА «АЛГЕБРА»,

инвариант, 10 - 11 классы

Срок реализации программы 2 года

Составители программы: Кузьмина Е.Ю., учитель математики

Коваленок И.Л., учитель математики

г. Иркутск, 2016 год

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного

образовательного стандарта среднего общего образования по математике (базовый уровень)

с учетом особенностей организации образовательного процесса Лицея ИГУ:

- введение в 10-11 физико-математических, информационно-математических,

экономико-математических классах углубленного обучения математике, в 10-11

профильных естественнонаучных и лингво-математических классах – обучения математике

на профильном уровне;

- раздел программы «Элементы комбинаторики, статистики и теории

вероятностей» изучаются учащимися 10-11 физико-математических, экономико-

математических, информационно-математических и лингво-математических классов Лицея в

курсе «Дискретная математика», в 10-11 естественнонаучных классах - во втором полугодии

11 класса.

Количество учебных часов, на которые рассчитана программа: 10 класс 11 класс Всего

Физико-

математичес

кий

Экономико-


кий

Информацио

нно-


кий

Лингво-

математиче

ский

Естественно

-научный

Физико-


кий

Экономико-


кий


нно-


кий

Лингво-


ский


-научный

Физико-


кий

Экономико-


кий


нно-


кий

Лингво-


ский


-научный

Количес

тво

учебных

недель

34 34 33 33 67 67

Количес

тво

часов в

неделю

2 ч/нед 2 ч/нед 3 ч/нед 3 ч/нед

Количес

тво

часов в

год

68 68 99 99 167 167

Уровень подготовки учащихся - базовый

Место предмета в учебном плане – инвариант

Учебник - Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала анализа,

учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений, - М.: Просвещение, 2012, 2013

Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на

достижение следующих целей:

формирование представлений о математике, как универсальном языка науки, средстве

моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической

культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе

по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности;

овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной

жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для

получения образования в областях, не требующих углубленной математической

подготовки;

воспитание средствами математики культуры личности, отношения к математике как

части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики,

эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного

прогресса.

В рабочую программу включены содержание программы, тематическое планирование,

требования к математической подготовке учащихся к концу десятого и одиннадцатого

классов, в качестве приложения 1 программы включены оценочные материалы, приложения 2

– методические материалы.

Содержание программы в 10-11 физико-математическом, экономико-математическом,

информационно-математическом и лингво-математическом классах

10 классы

I. Повторение с элементами углубления (14 часов) Равносильность уравнений. Уравнения, равносильные на множестве. Переход к

следствию. Применение понятия равносильности на множестве и следствия при решении

иррациональных уравнений и уравнений, содержащих знак модуля.

Метод замены переменных. Решение иррациональных уравнений методом замены

переменных.

Решение дробно-рациональных неравенств. Метод интервалов. Решение неравенств,

содержащих знак модуля. Решение иррациональных неравенств.

II. Многочлены (6 часов) Многочлены одной переменной. Корни многочлена. Деление многочлена с остатком.

Деление многочлена "уголком". Отыскание рациональных корней многочлена.

Многочлены от двух переменных. Изображение на координатной плоскости множества

решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Решение систем

алгебраических уравнений.

III. Теория функций (12часов)

Понятие функции. Числовая функция. Способы задания функций. Область определения

и множество значений функции. График функции. Нули функции. Промежутки

знакопостоянства. Четность функции, свойства четных и нечетных функций.

Монотонность функции. Ограниченность функции. Периодичность функции.

Различные элементарные методы построения графиков функций.

Понятие сложной функции, обратной функции.

IV. Тригонометрические функции (18 часов) Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х, у = tg х, у =ctg х, их свойства и графики.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа. Преобразование

тригонометрических выражений.

Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Основные методы

решений тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения с выборкой корней

на отрезке. Тригонометрические уравнения с выборкой корней на тригонометрическом круге.

V. Показательная и логарифмическая функции (12 часов).

Показательная функция, ее свойства и график. Понятие логарифма числа. Основное

логарифмическое тождество. Свойства логарифмов. Число е. Логарифмическая функция, ее

свойства и график. Построение графиков логарифмической и показательной функций.

Основные методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

VI. Закрепление с элементами углубления (6 часов) Решение иррациональных уравнений и неравенств. Обобщенный метод интервалов для

решения трансцендентных неравенств.

11 классы

I. Элементы теории пределов. Производная (33 часов)

Определение предела последовательности, предела функции. Односторонние пределы.

Первый и второй замечательные пределы. Вычисление пределов функции. Исследование

функции на непрерывность. Асимптоты графика функции.

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной функции.

Производные элементарных функций. Производная суммы, разности, произведения, частного.

Вычисление производных. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

Производные обратных тригонометрических функций. Вычисление производных.

Производные высших порядков. Физический смысл производной второго порядка.

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

Физический смысл производной.

II. Применение производной (21 час) Исследование функции на монотонность. Отыскание точек локального экстремума.

Необходимое и достаточные условия. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Отыскание точек локального экстремума. Направление выпуклости функции. Точки перегиба.

Исследование функций с помощью производных. Построение графиков функций.

Решение прикладных задач с использованием производной.

III. Первообразная и интеграл (21/18 часов) Первообразная и ее свойства. Первообразные элементарных

функций. Понятие о неопределенном интеграле. Свойства неопределенного интеграла.

Нахождение первообразных простейших элементарных функций. Непосредственное

интегрирование. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование заменой

переменной.

Геометрические и физические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Вычисление

площади плоских фигур.

IV. Обобщающее повторение (24/27 часов) Преобразование иррациональных и тригонометрических выражений. Решение

уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств. Решение тригонометрических

уравнений и их систем. Решение логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

Решение показательных уравнений, неравенств и их систем.

Решение задач на применение понятий производной и интеграла.

Содержание программы в 10-11 естественнонаучных классах

10 класс

I. Повторение с элементами углубления (14 часов) Равносильность уравнений. Уравнения, равносильные на множестве. Переход к





Решение дробно-рациональных неравенств. Метод интервалов. Решение неравенств,

содержащих знак модуля. Решение иррациональных неравенств.


Деление многочлена "уголком". Отыскание рациональных корней многочлена.

Многочлены от двух переменных. Изображение на координатной плоскости множества

решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Решение систем

алгебраических уравнений.


Понятие функции. Числовая функция. Способы задания функций. Область определения

и множество значений функции. График функции. Нули функции. Промежутки

знакопостоянства. Четность функции, свойства четных и нечетных функций.

Монотонность функции. Ограниченность функции. Периодичность функции.

Различные элементарные методы построения графиков функций.

Понятие сложной функции, обратной функции.

IV. Тригонометрические функции (18 часов) Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х, у = tg х, у =ctg х, их свойства и графики.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа. Преобразование

тригонометрических выражений.

Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Основные методы

решений тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения с выборкой корней

на отрезке. Тригонометрические уравнения с выборкой корней на тригонометрическом круге.

V. Показательная и логарифмическая функции (12 часов).

Показательная функция, ее свойства и график. Понятие логарифма числа. Основное

логарифмическое тождество. Свойства логарифмов. Число е. Логарифмическая функция, ее

свойства и график. Построение графиков логарифмической и показательной функций.


VI. Закрепление с элементами углубления (6 часов) Решение иррациональных уравнений и неравенств. Обобщенный метод интервалов для


11 класс

I. Элементы теории пределов. Производная (33 часов)

Определение предела последовательности, предела функции. Односторонние пределы.

Первый и второй замечательные пределы. Вычисление пределов функции. Исследование

функции на непрерывность. Асимптоты графика функции.

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной функции.

Производные элементарных функций. Производная суммы, разности, произведения, частного.

Вычисление производных. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

Производные обратных тригонометрических функций. Вычисление производных.

Производные высших порядков. Физический смысл производной второго порядка.

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

Физический смысл производной.

II. Применение производной (21 час) Исследование функции на монотонность. Отыскание точек локального экстремума.

Необходимое и достаточные условия. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Отыскание точек локального экстремума. Направление выпуклости функции. Точки перегиба.

Исследование функций с помощью производных. Построение графиков функций.

Решение прикладных задач с использованием производной.

III. Первообразная и интеграл (18 часов) Первообразная и ее свойства. Первообразные элементарных

функций. Понятие о неопределенном интеграле. Свойства неопределенного интеграла.

Нахождение первообразных простейших элементарных функций. Непосредственное

интегрирование. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование заменой


Геометрические и физические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Вычисление

площади плоских фигур.

IV. Элементы теории вероятностей и математической статистики. (11 часов)

Подсчет элементов в конечном множестве. Вычисление вероятности событий.

Представление статистической информации и вычисление числовых характеристик.

V. Обобщающее повторение (17 часов) Преобразование иррациональных и тригонометрических выражений. Решение

уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств. Решение тригонометрических

уравнений и их систем. Решение логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

Решение показательных уравнений, неравенств и их систем.

Решение задач на применение понятий производной и интеграла.

Тематическое планирование

10 физико-математический класс

Номер

урока Название разделов и тем

Кол-во

часов Контроль

I. Повторение с элементами углубления 14

1 Целые уравнения. 1

2 Дробно-рациональные уравнения. 1

3 Дробно-рациональные неравенства, метод интервалов. 1

4 Решение систем неравенств. 1

5 Модуль действительного числа и его свойства. 1

6 Алгебраические уравнения, содержащие знак модуля. 1

7 Алгебраические неравенства, содержащие знак модуля. 1

8 Подготовка к контрольной работе. 1

9 Контрольная работа по теме «Решение

рациональных уравнений и неравенств» 1

10 Основные виды иррациональных уравнений. 1

11 Решение иррациональных уравнений. 1

12 Основные виды иррациональных неравенств. 1

13 Решение иррациональных неравенств. 1

14 Решение систем иррациональных уравнений. 1

II. Многочлены 6

15 Многочлены одной переменной. Корни многочленов.

Деление многочленов с остатком. 1

16 Деление многочленов "уголком". Схема Горненра. 1

17 Отыскание рациональных корней многочленов. 1

18 Решение алгебраических уравнений и неравенств

высших степеней. 1

19

Многочлены от двух переменных. Изображение на

координатной плоскости множества решений

уравнений и неравенств с двумя переменными и их

систем.

1

20 Решение систем алгебраических уравнений. 1

III. Теория функций 12

21 Понятие функции. Способы задания функции. Понятие

о сложной функции. 1

22 Область определения и множество значений функции. 1

23 Четность функции. Свойства четных и нечетных

функций. 1

24 Монотонность функции. Точки экстремума. 1

25 Ограниченность функции. 1

26 Элементарные преобразования графиков. 1

27 Периодические функции и их свойства. 1

28 Понятие обратной функции и ее свойства. 1

29 Использование свойств и графиков функций при

решении уравнений и неравенств. 1

30 Итоговая контрольная работа за первое полугодие 1

31 Работа над ошибками 1

32

Применение математических методов для решения

содержательных задач из различных областей науки и

практики.

1

IV. Тригонометрические функции 18

33 Синус, косинус, тангенс и котангенс числа и их

свойства. 1

34 Основные тригонометрические формулы. Формулы

приведения. 1

35 Формулы сложения. Формулы двойного угла.

Формулы половинного угла. 1

36 Преобразования суммы тригонометрических функций

в произведение и в сумму. 1

37 Тригонометрические функции y = sin x,

y = co sx их свойства и графики. 1

38 Тригонометрические функции y = tg x,

y = ctg x, их свойства и графики. 1

39 Тригонометрические уравнения. 1

40 Арксинус, арккосинус числа. 1

41 Решение простейших тригонометрических уравнений

sin x=a и cos x=a. 1

42 Арктангенс и арккотангенс числа. 1

43 Решение простейших тригонометрических уравнений

sin x=a и cos x=a. 1

44 Основные методы решения тригонометрических

уравнений. 1

45,46 Решение тригонометрических уравнений. 2

47,48 Отбор корней тригонометрического уравнения. 2

49 Решение тригонометрических уравнений. 1

50 Контрольная работа по теме «Решение

тригонометрических уравнений и неравенств» 1

V. Показательная и логарифмическая функции 12

51 Показательная функции, её свойства и график. 1

52 Решение простейших показательных уравнений и

неравенств. 1

53 Понятие логарифма числа. Десятичные и натуральные

логарифмы. Число е. 1

54 Основные логарифмические тождества. Свойства

логарифмов. 1

55 Логарифмическая функция, её свойства и график. 1

56 Основные методы решения логарифмических




58 Решение логарифмических неравенств. 1

59 Решение систем логарифмических уравнений. 1

60 Решение систем логарифмических и показательных



62 Контрольная работа по теме «Показательная и

логарифмическая функции» 1

VI. Закрепление с элементами углубления 6

63 Решение алгебраических уравнений. 1

64 Решение алгебраических неравенств. 1

65 Метод интервалов для решения трансцендентных


66 Решение уравнений и неравенств с использованием

свойств функций. 1

67 Решение тригонометрических уравнений и неравенств 1

68 Решение логарифмических и показательных уравнений

и неравенств. 1

Итого часов 64 4

10 информационно-математический, экономико-математический, лингво-математический и

естественнонаучный классы

Номер

урока Наименование разделов и тем уроков

Кол-во

часов

Контрол

ь

I. Повторение с элементами углубления. 14

1 Целые уравнения. 1

2 Дробно-рациональные уравнения. 1

3 Дробно-рациональные неравенства, метод интервалов. 1

4 Решение систем неравенств. 1

5 Модуль действительного числа и его свойства. 1

6 Алгебраические уравнения, содержащие знак модуля. 1

7 Алгебраические неравенства, содержащие знак модуля. 1

8 Контрольная работа № 1. 1

9 Основные виды иррациональных уравнений. 1


11 Основные виды иррациональных неравенств. 1



14 Обобщающее занятие. 1

II. Многочлены. 6

15 Многочлены одной переменной Деление многочлена

«уголком». 1

16 Целые и рациональные корни многочлена с целыми

коэффициентами. 1



18

Изображение на координатной плоскости множества

решений уравнений и неравенств с двумя

переменными и их систем.

1

19 Методы решения систем алгебраических уравнений. 1


III. Теория функций. 12

21 Понятие функции. Способы задания функции. Графики

функции. 1

22 Область определения и множество значений функции. 1

23 Монотонность функции. 1

24 Чётность функций, свойства чётных и нечётных

функций. 1

25 Ограниченность функции. Периодичность функции. 1

26, 27 Элементарные преобразования графиков. 2

28 Понятие обратной функции и ее свойства. 1

29 Решение задач на свойства функций. 1

30 Контрольная работа № 4 (итоговая за 1-й семестр) 1



32

Применение математических методов для решения

содержательных задач из различных областей науки и

практики.

1



свойства. 1



35 Формулы сложения. 1

36 Формулы двойного угла. Формулы половинного угла. 1

37 Преобразования суммы тригонометрических функций

в произведение и в сумму. 1


39 Тригонометрические функции y = sinx, y = cosx их

свойства и графики. 1

40 Тригонометрические функции y = tgx, y = ctgx, их

свойства и графики. 1

41 Арксинус, арккосинус числа. 1

42 Арктангенс и арккотангенс числа. 1


44 Решение простейших тригонометрических уравнений. 1




47, 48 Отбор корней тригонометрического уравнения. 2

49 Решение тригонометрических неравенств. 1


V. Показательная и логарифмическая функции. 12

51 Степень с действительным показателем и ее свойства. 1

52 Показательная функции, её свойства и график. 1

53 Основные методы решения показательных уравнений. 1

54 Основные методы решения показательных неравенств. 1

55 Понятие логарифма числа. Десятичные и натуральные

логарифмы. Число е. 1

56 Основные логарифмические тождества. Свойства

логарифмов. 1









VI Закрепление с элементами углубления. 6



65 Метод интервалов для решения трансцендентных




67 Контрольная работа № 9. (итоговая) 1

68 Итоговое занятие. 1

62 6


Н

омер

урока

Разделы, темы уроков Ч

асы

К

онтроль

I. Теория пределов. Производная 3

3

1 Числовые последовательности. Монотонные и

ограниченные последовательности. 1

2

Бесконечно большие и бесконечно малые

последовательности. Понятие о пределе

последовательности.

1

3 Существование предела монотонной ограниченной

последовательности. 1

4 Длина окружности и площадь круга как пределы

последовательностей. 1

5 Бесконечно убывающая геометрическая

последовательность и ее сумма. 1

6 Вычисление предела последовательности. 1

7 Понятие предела функции. Основные теоремы о

пределах. 1

8 Методы раскрытия неопределённостей. 1

9 Первый и второй замечательные пределы. 1

10 Вычисление пределов функций. 1

11 Односторонние пределы. Понятие о непрерывности

функции. 1

12 Асимптоты графика функции. 1

13 Нахождение асимптот. 1

14 Самостоятельная работа. 1

15 Понятие производной. Производные основных

элементарных функций. 1

16 Производные суммы, разности, произведения, частного. 1

17 Нахождение производных. 1

18 Нахождение производной в точке. 1

19 Физический и геометрический смысл производной.

Уравнение касательной к графику функции. 1

20 Нахождение скорости для процесса, заданного

формулой или графиком. 1

21 Решение задач на геометрический смысл производной. 1

22 Производные композиции данной функции с линейной. 1

23 Производная сложной функции. 1

24 Вычисление производных. 1

25 Производная обратной функции. 1

26 Производная обратных тригонометрических функций. 1

27 Вторая производная и ее физический смысл. 1

28 Решение задач на геометрический и физический смысл

производной. 1

29 Дифференциал и его геометрический смысл. 1

30 Связь непрерывности и дифференцируемости функций 1

31 Решение задач по теме «Производная». 1


33 Контрольная работа по теме «Теория пределов.

Производная» 1

II. Применение производной 2

1

34 Теорема Ферма. 1

35 Теорема Лагранжа. Признак постоянства. 1

36 Признак монотонности функции. 1

37 Отыскание точек локального экстремума. 1

38 Исследование функций с помощью первой


39 Наибольшее и наименьшее значения функции. 1

40 Наибольшее и наименьшее значения функции на

отрезке. 1

41 Правило Лопиталя. 1

42 Направление выпуклости функции. 1

43 Точки перегиба. 1

44 Исследование функций с помощью второй


45 Построение графиков функции с помощью


46 Полное исследование функции и построение графика. 1

47 Полное исследование функции и построение графика. 1

48 Решение прикладных задач с использованием


49

Использования производной для нахождения

наилучшего решения в социально-экономических

задачах.

1

50 Использования производной для нахождения

наилучшего решения в прикладных задачах. 1

51 Геометрические задачи на применение производной 1

52 Физические задачи на применение производной. 1


54 Контрольная работа по теме «Применение

производной» 1

III. Первообразная и интеграл 2

1

55 Первообразная и её свойства. Первообразные

элементарных функций. 1

56 Неопределенный интеграл и его свойства. 1

57 Основные методы интегрирования. 1

58 Табличное интегрирование. 1

59 Интегрирование рациональных дробей. 1

60 Интегрирование заменой переменной. 1

61 Интегрирование по частям. 1

62 Различные методы интегрирования. 1

63 Понятие об определенном интеграле как площади

криволинейной трапеции. 1

64 Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-

Лейбница. 1

65

-66 Вычисление определённого интеграла 2

67 Примеры применения интеграла в геометрии. 1

68 Примеры применения интеграла в физике 1

69

-70 Вычисление площадей плоских фигур 2

71 Применение интегралов для вычисления объемов тел

вращения 1

72 Использование интеграла в физических задачах. 1


74 Контрольная работа «Первообразная и интеграл». 1

75 Работа над ошибками. 1

IV. Обобщающее повторение 2

4

76 Свойства и графики основных элементарных функций. 1

77 Построение графиков элементарными

преобразованиями. 1

78 Построение графиков сложной функции. 1

79 Построение геометрических мест точек на плоскости. 1

80 Графическое решение уравнений и неравенств. 1

81 Решение уравнений функциональными методами 1

82 Решение трансцендентных уравнений. 1

83

-84 Решение трансцендентных неравенств. 2

85 Решение систем трансцендентных уравнений. 1

86 Решение систем трансцендентных неравенств. 1

87 Отбор корней в тригонометрических уравнениях 1

88 Решение систем тригонометрических уравнений. 1

89

-90

Применение производной к решению прикладных

задач. 2

91 Неопределенный интеграл. 1

92 Геометрический смысл определенного интеграла. 1

93 Аналитические методы решения задач с параметрами. 1

94 Функциональные методы решения задач с параметрами 1

95 Геометрические методы решения задач с параметрами 1

96 Квадратный трехчлен в задачах с параметрами. 1

97

-99 Решение задач ЕГЭ 3

Всего

часов 9

6 3

11информационно-математический, экономико-математический и лингво-математический

классы

Номер


Кол-во


I. Теория пределов. Производная. 33

1 Повторение понятия функции и основных свойств

функции.

1

2 Повторение: графики элементарных функций,

преобразование графиков.

1

3 Повторение: элементарные методы исследования

функций.

1

4

Понятие о пределе последовательности.

Существование предела монотонной ограниченной


1


последовательностей

1

6 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее

сумма.

1


8 Понятие предела функции. Основные теоремы о пределах. 1




12 Односторонние пределы. 1

13 Исследование функции на непрерывность, 1



16 Задачи, приводящие к понятию производной. 1

17 Понятие производной. Основные правила

дифференцирования

1

18 Производные основных элементарных функций. 1



21 Производная композиции функций. 1


23 Производные обратных тригонометрических функций. 1


25 Физический смысл производной. 1

26 Производная второго порядка и ее физический смысл. 1

27 Производные высших порядков. 1

28 Решение задач на физический смысл производной. 1

29 Геометрический смысл производной. Уравнение

касательной к графику функции.

1

30, 31 Решение задач на геометрический смысл производной. 2


33 Контрольная работа №1. 1

II. Применение производной. 21

34 Экстремумы функции. 1

35 Необходимое и достаточные условия экстремума. 1

36 Исследование функции на экстремум. 1

37 Необходимое и достаточное условия монотонности

функции.

1

38 Исследование функции на монотонность. 1


40 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 1

41 Выпуклость графика функции, точки перегиба. 1

42 Правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей. 1

43 Схема полного исследования функции. 1

44 - 47 Полное исследование функции и построение графика. 4

48 Использования производной для нахождения наилучшего

решения в прикладных задачах.

1


решения в социально-экономических задачах.

1

50 Решение текстовых задач с использованием производной. 1


производной.

1

52 Решение геометрических задач с использованием


1

53 Нахождение скорости для процесса, заданного формулой

или графиком.

1


III. Первообразная и интеграл. 18

55 Понятие первообразной и её свойства. Первообразные

элементарных функций.

1






61 Решение задач на первообразную. 1

62 Площадь криволинейной трапеции. Определение

определенного интеграла.

1


Лейбница.

1

64, 65 Вычисление определённого интеграла. 2

66 Применение интегралов для вычисления площадей. 1

67 Вычисление площадей плоских фигур. 1


вращения.

1

69, 70 Использование интеграла в физических задачах. 2



IV. Обобщающее повторение, подготовка к экзаменам. 27

73, 74 Преобразование тригонометрических выражений. 2


76 Системы тригонометрических уравнений. 1

77 Решение тригонометрических уравнений и систем

уравнений.

1

78 Тригонометрические неравенства и их системы. 1

79, 80 Преобразование иррациональных выражений. 2

81 Показательные уравнения и системы уравнений. 1

82 Показательные неравенства. 1

83 Преобразование логарифмических выражений. 1

84 Логарифмические уравнения. 1

85 Системы логарифмических уравнений. 1

86 Логарифмические неравенства. 1

87 Системы логарифмических неравенств. 1

88 Производная и ее применение. 1

89 Геометрический смысл производной. 1

90 Уравнение касательной к графику функции. 1


92 Первообразная функция. 1

93 Интеграл 1

94 Решение задач из ЕГЭ 1

95 Итоговая работа по части В. 1

96/ Итоговая работа по части С. 1

97 Анализ итоговой работы. 1


99 Итоговое занятие. 1

11 естественнонаучный класс

Номер


Кол-во


I. Теория пределов. Производная. 33

1 Повторение понятия функции и основных свойств

функции.

1

2 Повторение: графики элементарных функций,

преобразование графиков.

1

3 Повторение: элементарные методы исследования

функций.

1

4

Понятие о пределе последовательности.

Существование предела монотонной ограниченной


1


последовательностей

1

6 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее

сумма.

1


8 Понятие предела функции. Основные теоремы о пределах. 1




12 Односторонние пределы. 1

13 Исследование функции на непрерывность, 1



16 Задачи, приводящие к понятию производной. 1

17 Понятие производной. Основные правила

дифференцирования

1

18 Производные основных элементарных функций. 1



21 Производная композиции функций. 1


23 Производные обратных тригонометрических функций. 1



26 Производная второго порядка и ее физический смысл. 1

27 Производные высших порядков. 1

28 Решение задач на физический смысл производной. 1

29 Геометрический смысл производной. Уравнение

касательной к графику функции.

1

30, 31 Решение задач на геометрический смысл производной. 2



II. Применение производной. 21


35 Необходимое и достаточные условия экстремума. 1

36 Исследование функции на экстремум. 1

37 Необходимое и достаточное условия монотонности

функции.

1

38 Исследование функции на монотонность. 1


40 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 1

41 Выпуклость графика функции, точки перегиба. 1

42 Правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей. 1

43 Схема полного исследования функции. 1

44 - 47 Полное исследование функции и построение графика. 4


решения в прикладных задачах.

1


решения в социально-экономических задачах.

1

50 Решение текстовых задач с использованием производной. 1



1

52 Решение геометрических задач с использованием


1

53 Нахождение скорости для процесса, заданного формулой

или графиком.

1


III. Первообразная и интеграл. 17

55 Понятие первообразной и её свойства. Первообразные

элементарных функций.

1






61 Решение задач на первообразную. 1

62 Площадь криволинейной трапеции. Определение

определенного интеграла.

1


Лейбница.

1

64, 65 Вычисление определённого интеграла. 2

66 Применение интегралов для вычисления площадей. 1

67 Вычисление площадей плоских фигур. 1


вращения.

1

69 Использование интеграла в физических задачах. 1



VI. Элементы теории вероятностей и математической

статистики. 11

72 Основные схемы подсчета элементов в конечном

множестве. 1

73 Основные понятия теории вероятностей. 1

74. 75 Классическое определение вероятностей. Геометрическая

вероятность. 2

76 Сложение вероятностей. 1

77 Условная вероятность. Формула полной вероятности. 1

78 Формула Бернулли. 1

79 Основные понятия математической статистики. Способы

представления статистической информации. 1

80, 81 Числовые характеристики статистического ряда 2

82 Контрольная работа № 4 1

V. Обобщающее повторение, подготовка к экзаменам. 17

83 Преобразование тригонометрических выражений. 1


85 Преобразование иррациональных выражений. 1

86 Показательные уравнения и системы уравнений. 1

87 Показательные неравенства. 1

88 Преобразование логарифмических выражений. 1

89 Логарифмические уравнения. 1

90 Логарифмические неравенства. 1

91 Системы логарифмических неравенств. 1

92 Производная и ее применение. 1

93 Геометрический и физический смысл производной. 1

94 Первообразная функция. Интеграл 1

95 Решение задач из ЕГЭ 1

96 Итоговая работа по части В. 1

97 Итоговая работа по части С. 1



Требования к математической подготовке учащихся к концу десятого класса

По разделу «Повторение с элементами углубления»

Иметь представление:

- о равносильности уравнений и неравенств;

- о возможных подходах к решению иррациональных неравенств;

- о различных подходах к решению алгебраических и дробно-рациональных неравенств.

Знать

- понятие модуля действительного числа, его основные свойства;

- основные равносильные преобразования для простейших неравенств, содержащих знак

модуля;

- метод интервалов для решения рациональных неравенств, дробно-рациональных

неравенств.

Уметь:

- выполнять равносильные преобразования на множестве;

- переходить к уравнению-следствию;

- решать иррациональные уравнения посредством перехода к равносильной

системе условий;

- решать иррациональные уравнения заменой переменной;

- дробно-рациональные неравенства методом интервалов;

- решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля, используя его свойства и

переход к равносильным системам и совокупностям.

По разделу «Многочлены»


- о записи многочлена с помощью знака суммирования;

- о схеме Горнера;

- об основных подходах к решению задачи отыскания действительных корней

многочлена.

Знать:

- стандартный вид многочлена;

- алгоритм деления с остатком;

- формулировку теоремы о рациональных корнях многочлена с целыми

коэффициентами.

Уметь:

- производить действия с многочленами;

- раскладывать многочлен на множители;

- делить многочлен «уголком»;

- находить рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами;

- решать алгебраические системы уравнений методами подстановки, алгебраического

сложения, деления уравнений, заменой переменных.

По разделу «Теория функций»


- о роли переменных величин в изучении процессов;

- о способах задания функции;

- о понятии монотонности функции;

- об ограниченных снизу и ограниченных сверху функциях;

- о графических методах решения уравнений и неравенств;

- о композициях функций.

Знать:

- терминологию, связанную с теорией функций;

- свойства четных и нечетных функций;

- построение графиков функций элементарными преобразованиями;

- расположение графика квадратного трехчлена на координатной плоскости в

зависимости от его корней;

- свойства ограниченных функций;

- свойства периодических функций;

- свойства обратной функции;

- достаточный признак существования обратной функции на промежутке.

Уметь:

- находить область определения изученных ранее функций;

- строить графики функций элементарными преобразованиями;

- находить нули функции;

- исследовать известные элементарные функции на монотонность, ограниченность,

четность.

По разделу «Тригонометрические функции»


- о различных мерах угла и соответствии между ними;

- о соизмеримости периодов тригонометрических функций;

- об обратных тригонометрических функциях;

- о различных видах записи корней тригонометрических уравнений.

Знать:

- основные тригонометрические формулы, формулы приведения, формулы сложения,

формулы двойного и половинного аргумента;

- терминологию, связанную с тригонометрическими функциями;

- основные свойства тригонометрических функций;

- решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств;

- основные методы решения тригонометрических уравнений.

Уметь:

- преобразовывать тригонометрические выражения;

- вычислять обратные тригонометрические величины;

- решать простейшие тригонометрические уравнения;

- применять тригонометрические формулы при решении уравнений и неравенств;

- применять основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств;

- осуществлять выборку корней тригонометрических уравнений на промежутке.

По разделу «Показательная и логарифмическая функции»


- о расширении понятия степени числа: степень с действительным показателем;

- об операциях над действительными числами, обратных возведению в степень;

- о равносильности применения свойств логарифма произведения, частного, степени;

- о десятичных и натуральных логарифмах, способах их приближенного

вычисления.

Знать:

- терминологию, связанную с данным разделом;

- свойства степени с действительным показателем;

- свойства логарифмов, основное логарифмическое тождество;

- свойства показательной функции;

- свойства логарифмической функции;

- связь между показательной и логарифмической функциями;

- основные методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Уметь:

- производить действия над степенями с различными показателями;

- преобразовывать выражения, содержащие степени, используя их свойства;

- вычислять значения некоторых логарифмов по определению;

- преобразовывать выражения, содержащие логарифмы, используя их свойства;

- переходить к логарифмам по другому основанию;

- решать простейшие логарифмические и показательные уравнения и неравенства;

- строить графики показательных и логарифмических функций.

По разделу «Закрепление с элементами углубления»


- об общих, универсальных подходах к решению алгебраических и

трансцендентных уравнений и неравенств;

- о функциональных способах решения уравнений и неравенств;

- о возможностях применения обобщенного метода интервалов к

различным алгебраическим и трансцендентным неравенствам.

Знать:

- основные универсальные и специальные методы решения уравнений и неравенств;

- обобщенный метод интервалов.

Уметь:

- решать иррациональные уравнения и неравенства равносильными преобразованиями

выражений, содержащихся в уравнениях и неравенствах, используя свойства функций,

содержащихся в них.

Требования к математической подготовке учащихся к концу одиннадцатого класса

По разделу «Элементы теории пределов. Производная»


- о понятии бесконечно малых и бесконечно больших величинах;

- о классификации точек разрыва функции;

- о различных подходах к определению предела функции в точке;

- о геометрической интерпретации понятия предела функции;

- об основных вычислительных алгоритмах, связанных с вычислением пределов;

- о непрерывности функции;

- о возможности записи различными способами производной;

- об интерпретации производной функции как скорости ее изменения;

- о геометрическом смысле производной.

Знать:

- терминологию, связанную с теорией пределов и дифференцированием;

- теорему о существовании предела;

- основные свойства пределов;

- геометрический смысл производной;

- основные правила вычисления производной;

- вид уравнения касательной к графику функции.

Уметь:

- вычислять пределы функций;

- исследовать функцию на непрерывность;

- находить асимптоты графика функции;

- вычислять производные различных функций, в том числе сложных;

- вычислять производные высших порядков;

- составлять уравнение касательной к графику функции.

По разделу «Применение производной»


- о понятиях локального экстремума, глобального экстремума;

- об алгоритме исследования функции с помощью производной.

Знать:

- достаточное условие монотонного изменения функции на промежутке;

- необходимое и достаточные условия существования локального

экстремума;

- алгоритм исследования функции на направление выпуклости.

Уметь:

- находить промежутки монотонного изменения функции;

- находить критические точки и локальные экстремумы функции;

- определять множество значений функции;

- строить график функции по ее свойствам.

По разделу «Интеграл»


- о независимости неопределенного интеграла от замены переменной;

- о понятии площади криволинейной трапеции;

- о понятии интегральной суммы.

Знать:

- терминологию, связанную с теорией интегрирования;

- свойства первообразной;

- первообразные элементарных функций;

- основные методы нахождения неопределенных интегралов;

- формулу Ньютона - Лейбница;

- свойства определенного интеграла;

- геометрический смысл определенного интеграла.

Уметь:

- находить первообразные элементарных функций;

- проводить непосредственное интегрирование;

- вычислять определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница и через их

геометрическую интерпретацию;

- вычислять площади плоских фигур/

По разделу «Элементы теории вероятностей и математической статистики»


- о методах решения простейших комбинаторных задач;

- о методах решения вероятностных задач;

- о простейших статистических методах обработки эмпирических данных.

Знать:

- основные комбинаторные соотношения;

- основные формулы теории вероятностей.

Уметь:

- решать простейшие комбинаторные задачи при помощи правил суммы и произведения;

- решать простейшие задачи, связанные с нахождением вероятностей случайных

событий и характеристик случайных величин

По разделу «Обобщающее повторение»



трансцендентных уравнений и неравенств, систем уравнений и


Уметь:

- осуществлять общие подходы к решению алгебраических и


неравенств;

- различать универсальные и специфические для каждого вида уравнений и неравенств

методы решения, систем уравнений и неравенств;

- решать уравнения и неравенства методом разложения на множители, заменой

переменной, равносильными преобразованиями выражений, содержащихся в уравнениях и

неравенствах, используя свойства функций, содержащихся в них.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Оценочные материалы

10 класс

Контрольная работа по теме “Решение рациональных уравнений и неравенств»

1. Решить уравнения:

1) ;91

21

72

2

xx

xx 2) ;0242735273 42222 xxxxxx

3) ;956 2 xxx 4) .4862 xxx

2. Решите неравенства:

1)

;0

4132

325635

3254

xxx

xxxx 2) .143137

22 xxxx

3) ;1274 2 xxx 4) ;2142 xxx 5) 42

12

x

x.

Контрольная работа по теме «Решение иррациональных уравнений и неравенств».

Решите уравнения: 1. ;0352 xxx 2. ;42 xx

3. ;6315 xx 4. .7353 22 xxxx

Решите неравенства: 1. ;24

3

x

x 2. ;32 xx

3. ;342 xxx 4. .121 xx

Контрольная работа по теме «Функции и графики»

1. Найдите область определения функции 22 3104 xxxy .

2. Найдите нули функции 442 xxy .

3. Найдите множество значений функции 542 2 xxy .

4. Чётная функция )(xfy определена на всей числовой прямой и является периодической

с периодом 7. Найдите значение выражения )37()86()114( fff , если 5)2( f .

5. Построить графики функций: 1) ;342 xxy 2) ;22 xy 3) .2

32

x

xy

Контрольная работа по теме «Преобразование тригонометрических выражений».

1. Доказать тождество .cos

2

2

3cos1

)3cos(

)sin(1

2

9sin

aa

a

a

a

2. Упростить выражение 1cos2cos

3cos2coscos12

aa

aaa и вычислить при .

3

2a

3. Вычислить .97cos157cos7cos23sin

98cos158cos8cos22sinoooo

oooo

4. Вычислить ,cossin 44 aa если .2

2cossin aa

Контрольная работа по теме «Тригонометрические и обратные

тригонометрические функции.

1. Построить графики функций:

1. 3

sincos3

cossin

xxy , 2. xxy 22 sincos ,

3. 12

sin3 x

y , 4.

4

xtgy , 5. ctgxy .

2. Вычислить:

1. 3

3arctg , 2. 1arcctg , 3.

2

1arcsinsin ,

4.

2

2arcsincos , 5.

5

1arcsincos , 6.

7

3arccos

3sin

Контрольная работа по теме «Решение тригонометрических уравнений».

1. Решить уравнение 2

2

33cos

x

и найти его наибольший отрицательный корень.


2sin

x и найти его корни из промежутка 2;2 .


а) ;03cos3sin2 xx б) ;0cos3sin3 xx

в) ;2cossin3 xx г) ;2cos2sin3 xx

д) ;0cos4cossin3sin 22 xxxx е) .2cossinsin3 2 xxx

4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение 5

13cos

a

ax не имеет

решений.

Контрольная работа по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений

и неравенств».

Решите уравнения:

1) ;2781

1243 2

23

x

x

2) ;042322 xx 3) ;622325 11 xxx

4) ;1log2log 33 xx 5) ;06lg5lg2 xx 6) .3

21log1log 27

91 xx

Решить неравенства:

1) ;2,025

1 1

42

x

x

2) ;6445,0 112 xx 3) ;022522 2 xx

4) ;083log5 x 5) ;27log3

1 x 6) /32log13log 33 xx

Контрольная работа за первое полугодие.

ЧАСТЬ 1

А1. Найдите сумму корней уравнения .03852 2 xx

А2. Найдите множество значений функции .2 2xy

А3. Найдите область определения функции .3 xy

А4. Решите неравенство .025

x

x

ЧАСТЬ 2

В1. Решите уравнение .043834 234 xxxx

В2. Найдите сумму целых решений неравенства .54 2 xxx

В3. Найдите точки пересечения графиков функций 6 xy и .952 xxy

ЧАСТЬ 3

С1. Найдите наименьшее значение функции 322 xxy на отрезке 5;2 .

С2. Решите систему уравнений

.2

,222 yx

xyyx

С3. Решите неравенство 012

ax

ax и найдите все значения параметра а, при которых

множество его решений содержит отрезок .2;1

Итоговая контрольная работа за 10-й класс.

В1. Найдите значение выражения .32 6log3

В2. Упростите выражение .2sin3

cossin4

x

xx

В3. Найдите множество значений функции 3sin2 xy .

В4. Решите неравенство .025

x

x

В5. Решите уравнение .0cos2cos2 xx

В6. Найдите область определения функции .5

15 37 xy

В7. Решите уравнение .4824 1 xx

В8. Решите неравенство .log12log82log 333 xx В ответе запишите длину полученного

промежутка.

В9. Решите уравнение .4421 xx

В10. Найдите значение выражения .105cos15cos35 22 oo

В11. Найдите значение выражения .108log36216log 36

35

С1. Решите уравнение .071

412

xx

С2. Найдите область определения функции .25,99log 2xy x


.0)14(47

,5,1log5,1log52

33

yxx

xxy

11 класс

Контрольная работа по теме «Производная».

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону 135,22)( 23 tttts (м).

а) Найдите её скорость в момент времени 1t с.

б) В какой момент времени ускорение будет равно2

19с

м?

2. Найдите:

а) )4(//f , если 2

232)(

x

xxxf

,

б) ),0(/f если

x

xexf

x

cos

3)(

2

;

в) ),1(/f если .1)( 2 arctgxxxf

3. Найти абсциссы всех точек графика функции ,sin2sin2

1xxy касательные в

которых параллельны прямой .01 xy

4. Составить уравнение касательной к графику функции 723

1)( 23 xxxxf в точке

с абсциссой хо = -1

Контрольная работа 2 по теме «Применение производной»

1. Укажите промежутки возрастания и убывания функции .xey x

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 293 23 xxxy

на отрезке .2;2

3. Найдите экстремумы функции .2

3 2

x

xy

4. Исследовать функцию и построить её график 24 24

1xxy .

Контрольная работа по теме «Первообразная и интеграл».

1. Найдите ту первообразную функции xxxf 23)( 2 , график которой проходит через

точку М(-1;81).

2. Найдите неопределённый интеграл:

1) ;246 2 dxxx 2) ;5 dxxx 3) ;4

sin4

3cos

4cos

4

3sin

dx

xxxx

4) ;5

sin dxx

5) ;3 dxe x 6) ;

52 x

dx 7) .

4cos

4sin3 dx

xx

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции 32 xy

и прямой х = 2.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями ,xy x

y1

и .3

1x

Итоговая контрольная работа.

Часть 1

1 При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 3%. Терминал

принимает суммы, кратные 10 рублям. Месячная плата за интернет составляет 350 рублей.

Какую минимальную сумму положить в приемное устройство терминала, чтобы на счету

фирмы, предоставляющей интернет-услуги, оказалась сумма, не меньшая 350 рублей?

2 На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый

месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в

градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная

температура не превышала 14 градусов Цельсия.

3 Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего

многоугольника равна 144. Найдите площадь большего многоугольника.

4 Из множества натуральных чисел от 58 до 82 включительно наудачу выбирают одно число.

Какова вероятность того, что оно делится на 6?

5 Найдите корень уравнения 2

116 9 x .

6 В треугольнике ABC угол C равен 900, CH − высота, AC=3, 6

35sin A . Найдите BH.

7 Прямая 85 xy является касательной к графику функции y= cxx 152

4 . Найдите c.

8 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки ABFA1 правильной

шестиугольной призмы ADCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 9, а

боковое ребро равно 12.

Часть 2

9 Найдите значение выражения 175

3:

7

51

7

63

.

10 Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется

по формуле 22

20

)(

p

pAA , где — частота вынуждающей силы (в c-1), A0 — постоянный

параметр, 1360 cp — резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую

резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A0 не более чем на

одну пятнадцатую. Ответ выразите в c-1 .

11 Дима, Андрей, Саша и Гоша учредили компанию с уставным капиталом 2000000 рублей.

Дима внес 17% уставного капитала, Андрей - 360000 рублей, Саша — 0,2 уставного капитала,

а оставшуюся часть капитала внес Гоша. Учредители договорились делить ежегодную

прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли

500000 рублей причитается Гоше? Ответ дайте в рублях.

12 Найдите наибольшее значение функции 222168 ххy .

Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте отдельный лист. Запишите

сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное

решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

13 а) Решите уравнение .03

1cos2

tgx

x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

2

7;2

14 Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6.

Основание высоты SО этой пирамиды является серединой отрезка SS1, М – середина ребра

АS, точка L лежит на ребре ВС так, что ВL: L С = 1:2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1 L М – равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

15 Решите неравенство .01

25,0962 3212

x

xx

16 Первая окружность с центром О вписанная в треугольник KLM, касается стороны KL в

точке В, а основания ML – в точке А. Вторая окружность с центром О1 касается основания ML

и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что треугольник ОLО1 прямоугольный.

б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой окружности равен 6

и АК = 16.

17 По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму,

имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» - увеличивать эту сумму на 5% в первый

год и на одинаковое целое число п процентов и за второй и за третий годы. Найдите

наименьшее значение п, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее

вклада «А» при одинаковых суммах первоначального взноса.

18 Найдите все значения параметра α, при каждом из которых система уравнений

{(𝑥 − 3𝑎 + 1)2 + (𝑦 + 2𝑎)2 = 𝑎 − 1

4𝑥 + 3𝑦 = 𝑎 + 1 имеет более одного решения.

19 Будем называть четырехзначное число интересным, если среди четырех цифр в его

десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трех других из них.

Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырехзначных чисел, разность между которыми

равна трем.

б) Найдутся ли два интересных четырехзначных числа, разность между которыми равна 111?

в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного

четырехзначного числа.


МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Разработка урока по теме

«Интегрирование «сложных» функций».

Автор – Коваленок И.Л.

Методическая цель урока

Интегрирование занимает важное место в математике и её применении в других областях

знаний. При этом возникает необходимость интегрировать достаточно сложные выражения. В

существующих учебниках разбираются только функции линейного аргумента, этого не

достаточно для решения некоторых задач. Особые трудности табличного интегрирования

сложных функций состоят в выборе промежуточного аргумента. Попробуем найти алгоритм

интегрирования «сложных» функций (фактически он представляет собой в неявном виде

метод замены переменной), составить таблицу интегралов для «сложных» функций и

научиться применять её для непосредственного интегрирования. В процессе решения

поставленной задачи повторяются формулы дифференцирования основных элементарных

функций и способ нахождения производной сложной функции.

В ходе урока вырабатывается умение сопоставлять и сортировать данные, анализировать,

делать обобщения, доказывать правильность выводов (индуктивный подход).

Ход урока 1. Повторение. Найти следующие интегралы:

1. ,32 2

dxx

x 2. ,

2

1

dx

x

x 3. ,

2sin2

dxx

4. ,2

xdxtg 5. ,4

4

4

222

dx

xx

6. ,4

4

4

122

dx

xx 7. ,2

3 2

dxx

ee

xx 8. .52

10

dxx ???

2. Задание: Повторить определение неопределённого интеграла и первообразной

функции и подобрать выражение для каждого из записанных интегралов.

1) dxx10

52 , 1) ,32 Cx .3

132

xx

2)

,3 x

dx 2) ,49

4

1 2 Cx .49

8

8

149

4

12

2

x

xx

3)

,49 2x

dx 3) ,2 2 Ce

x

.2

122 22

xx

ee

4)

,49 2x

xdx 4) ,1ln Cex .

11ln

x

xx

e

ee

5) ,2sin xdx 5) ,cos2ln Cx .cos2

sincos2ln

x

xx

6) ,2dxex

6) ,cos2ln 2 Cx .cos2

2sincos2ln 2

x

xx

7) ,2

1dx

xe x 7) ,

2

cos

2

1C

xarctg .

cos2

sin

2

cos

2

12 x

xxarctg

8) ,

1x

x

e

dxe 8) ,Ce x .

2

1

xee xx

9) ,

12x

x

e

dxe 9) ,2cos

2

1Cx .2sin2cos

2

1xx

10) ,

cos2

sin

x

xdx 10) ,

3

2arcsin

2

1C

x .

49

2

2

1

3

2arcsin

2

12x

x

11) ,

cos2

sin2 x

xdx 11)

,

22

5211

Cx

.252

2

1

22

52 1011

x

x

12) ,

cos2

2sin2 x

xdx 12) ,Carctgex

.

12

x

xx

e

earctge

Итак, в каком случае можно проинтегрировать сложную функцию?

Очевидно, если её можно представить в виде uuf )( , где ).(xuu

3. Обобщая наш опыт, получим таблицу для интегрирования сложных функций

аналогично тому, как мы это делали при выводе основных формул интегрирования.

uufuuFxuF )()()( CxuFdxuuf )()(

1) 1,1

1

muum

u mm

1,

1

1

mCm

udxuu

mm

2) uu

u 1

2

Cuu

dxu2

3) uu

u 1

ln Cuu

dxu

ln

4) uaa

a uu

ln C

a

adxua

uu

ln

5) uee uu

Cedxue uu

6) uuu

cossin Cudxuu sincos

7) uuu

sincos Cudxuu cossin

8) uu

tgu

2cos

1

Ctgu

u

dxu2cos

9) uu

ctgu

2sin

1

Cctgu

u

dxu2sin

10) uaua

uarctg

a

22

11

Ca

uarcctg

a

Ca

uarctg

aau

dxu1

,1

22

11) uuaa

u

22

1arcsin

Ca

u

Ca

u

ua

dxu

arccos

,arcsin

22

12) uauau

au

a

22

1ln

2

1

C

au

au

aau

dxuln

2

122

13) uau

auu

2

2 1ln

Cauu

au

dxu 2

2ln

4. Попробуем применить эту таблицу для нахождения интегралов. При этом

подынтегральную функцию удобно привести к такому виду, чтобы чётко выделялась

функция и(х); u должно либо присутствовать в виде множителя перед dx, либо должна

быть функция, отличающаяся от u лишь постоянным множителем. Недостающий

множитель можно легко добавить, не забыв его компенсировать. Компенсирующий

множитель выносится за знак интеграла.

Задание: Найти следующие неопределённые интегралы:

1) C

xC

xC

udxuudxxdxx

18

23

6

23

3

1

6323

3

123

6665

55

,

2) Cx

Cudxuudxx

dxx

2sin2sincos

2

1

2cos2

2cos ,

3)

CxxCu

u

dxu

xx

dxx53lnln

53

32 2

2,

4) CxCuu

dxu

x

xdx

x

xdx

94ln

8

1ln

94

8

8

1

94

2

22,

5) Cx

arctgCx

arctgCa

uarctg

aau

dxu

x

dx

x

dx

3

2

6

1

3

2

3

1

2

11

3)2(

2

2

1

94 22222,

6) CeCedxuedxxexdxe xuuxx coscoscos sinsin ,

7) Cexdxedxxe xxx 222

2

12

2

1,

8) Cx

Ca

u

ua

dxu

x

dx

xx

dx

2

12arcsin

2

1arcsin

)12(2

2

2

1

443 22222,

9)

CxCxCuu

dxu

x

xdx

x

xdx3sin4

3

23sin42

3

12

3sin4

3cos3

3

1

3sin4

3cos



Утверждено приказом директора МАОУ Лицей


от 30.08.2016 г. № 136/7

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРЕДМЕТА «ГЕОМЕТРИЯ»,

10 - 11 классы



Осипенко Л.А., учитель математики


Пояснительная записка

Программа составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного

образовательного стандарта среднего общего образования по математике (базовый уровень).

Количество учебных часов, на которые рассчитана программа:

10 класс 11 класс

Количество учебных недель 34 33

Количество часов в неделю 2 ч/нед 2 ч/нед

Количество часов в год 68 66 134 часа

Уровень подготовки учащихся - базовый

Место предмета в учебном плане – инвариант

Учебник - Атанасян Л.С., Бутусов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: 10-11 классы:

Учебник для общеобразовательных учреждений: Базовый и профильный уровни – М:

Просвещение, 2014, 2015





СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

10 класс

I. Планиметрия. Повторение с элементами углубления (24 часа)

Метрические соотношения в треугольнике. Замечательные линии и точки в

треугольнике. Четырехугольники. Формулы площадей плоских фигур.

Окружность. Измерение вписанных углов. Вневписанная окружность. Описанные и

вписанные многоугольники. Теорема Птолемея. Пропорциональные отрезки в круге и

треугольнике. Правильные многоугольники.

II. Аксиомы стереометрии (2 часа)

Аксиомы стереометрии и их следствия. Понятие о неевклидовой геометрии.

Простейшие задачи на построение сечений тетраэдра и куба.

III. Параллельность прямых и плоскостей (12 часов)

Параллельные прямые. Параллельность прямой и плоскости. Взаимное расположение

прямой и плоскости в пространстве. Параллельность плоскостей.

IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей (14 часов)

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между

прямой и плоскостью. Расстояние от точки до фигуры. Двугранные углы. Перпендикулярность

плоскостей.

V. Многогранники (12 часов)

Понятия многогранника Призма и параллелепипед. Свойства граней и диагоналей

параллелепипедов. Пирамида. Свойства параллельных сечений в пирамиде. Боковая

поверхность призмы и пирамиды. Правильные многогранники.

VI. Повторение. Решение задач (4 часа)

11 КЛАСС.

I Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве (20 часов)

Понятие вектора в пространстве. Линейные операции над векторами. Компланарные

векторы. Декартова система координат в пространстве. Координаты точки и вектора в

пространстве. Скалярное произведение векторов. Движения.

II Тела вращения (18 часов) Конические поверхности. Прямой круговой конус. Сечения конуса плоскостью.

Развертка цилиндра. Площадь поверхности цилиндра.

Сфера. Шар. Взаимное расположение шара и плоскости. Уравнение сферы. Свойства

касательных и секущих к сфере. Площадь сферы.

III Объемы тел (24 часов)

Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямой и наклонной призмы. Объем

цилиндра. Объем пирамиды, усеченной пирамиды. Объем конуса. Объем шара, шарового

сегмента, шарового сектора и шарового слоя.

IV Решение задач (6 часа)

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

10 класс

Номер

урока

Наименование разделов и тем уроков Кол-во

часов

Контро

ль

I.Планиметрия. Повторение с элементами углубления. 24

1, 2 Метрические соотношения в треугольнике 2

3 - 5 Замечательные линии и точки в треугольнике 3

6 Четырехугольники. 1

7 Параллелограмм. Свойства параллелограмма. 1

8, 9 Свойства четырехугольников. 2

10 Формулы площадей плоских фигур. 1

11, 12 Метод площадей. 2

13 Окружность. 1

14 - 16 Пропорциональные отрезки в круге. 3

17 - 19 Описанные многоугольники. 3

20 - 22 Вписанные многоугольники 3

23 Решение задач. 1


II Аксиомы стереометрии. 2

25 Аксиомы стереометрии 1

26 Следствия из аксиом стереометрии 1

III Параллельность прямых и плоскостей. 12

27 Параллельные прямые. 1

28 Параллельность прямой и плоскости. 1

29 Взаимное расположение прямых в пространстве. 1

30 Угол между прямыми. 1

31 Контрольная работа за 1-е полугодие. 1

32 Параллельность плоскостей. 1

33 Тетраэдр и параллелепипед. 1

34 Построение простейших сечений. 1

35, 36 Параллельность прямых и плоскостей. 2



IV Перпендикулярность прямых и плоскостей. 14

39, 40 Перпендикулярность прямой и плоскости. 2

41 Перпендикуляр и наклонные плоскости. 1

42 Теорема о трех перпендикулярах. 1

43 Расстояние от точки до плоскости. 1

44 Расстояние от точки до прямой. 1

45, 46 Угол между прямой и плоскостью. 2

47 Двугранные углы. 1

48 Перпендикулярность плоскостей. 1

49 - 51 Решение задач. 3


V.Многогранники. 12

53 Призма и параллелепипед. 1

54 Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. 1

55 Боковая поверхность призмы. 1

56 Площадь поверхности призмы 1

57 Пирамида. 1

58 Свойства параллельных сечений в пирамиде. 1

59 Боковая поверхность пирамиды. 1

60, 61 Площадь поверхности пирамиды. 2

62 Контрольная работа №4 1

63, 64 Правильные многогранники. 2

Повторение 4

65, 66 Решение задач. 2

67 Итоговая контрольная работа. 1


11 класс

Номер

урока


часов

Контро

ль

Тема I. Векторы и координаты в пространстве 20

1, 2 Векторы в пространстве. Линейные операции над

векторами. 2

3, 4 Компланарные векторы. Разложение по базису. 2

5 Декартова система координат в пространстве. 1

6, 7 Простейшие задачи в декартовой системе координат. 2

8 Решение задач в координатной плоскости. 1

9 Скалярное произведение векторов. 1

10 Свойства скалярного произведения. 1

11 - 14 Применение скалярного произведения к решению задач

по стереометрии. 4

15, 16 Движения. 2

17 - 19 Применение метода координат к решению задач. 3


Тема II. Круглые тела 18

21, 22 Цилиндр. Поверхность цилиндра. 2

23, 24 Конус. Поверхность конуса. 2


27, 28 Усеченный конус. Поверхность усеченного конуса. 2

29, 30 Шар. Сечения шара плоскостью. Плоскость касательная к

шару 2

31, 32 Свойства касательных и секущих к шару. 2

33, 34 Поверхность шара. 2



Тема III. Объемы многогранников 24

39 Понятие объема тела. 1

40 Объем прямого параллелепипеда. 1

41, 42 Объем прямой призмы. 2

43, 44 Объем наклонной призмы. 2

45, 46 Объем цилиндра 2


49, 50 Объем пирамиды. 2

51, 52 Объем конуса 2

53, 54 Объем усеченной пирамиды. Объем усеченного конуса. 2

55, 56 Объем шара и его частей. 2


61, 62 Контрольная работа №3 2

Тема IV. Повторение 4

63 - 66 Решение задач ЕГЭ 4

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ 10 КЛАССА

В результате изучения геометрии 10 класса ученик должен

иметь представление:

о параллельном и центральном проектировании, ортогональном

проектировании, их свойствах, роли при выполнении чертежей в черчении;

о структуре построения курса геометрии;

о доказательстве методом от противного;

знать/понимать:

смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности

математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации;

универсальный характер законов логики математических рассуждений, их

применимость во всех областях человеческой деятельности;

вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

уметь:

доказывать изученные в курсе теоремы;

изображать на рисунках и чертежах пространственные геометрические фигуры

и их комбинации, задаваемые условием теорем и задач;

решать задачи на вычисление геометрических величин, приводя необходимую

аргументацию;

применять аппарат алгебры, анализа, тригонометрии к решению

геометрических задач;

решать несложные задачи на доказательство;

строить сечения геометрических тел;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и

повседневной жизни для:

рационального применения формул для нахождения площадей поверхности

различных стереометрических тел; расстояний между точками, прямыми,

плоскостями в пространстве;

ориентации в пространстве;

оценки правдоподобности результатов при решении практических задач по

геометрии.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ 11 КЛАССА

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

доказывать изученные в курсе теоремы;

изображать на рисунках и чертежах пространственные геометрические фигуры и их

комбинации, задаваемые условием теорем и задач;

решать задачи на вычисление геометрических величин, приводя необходимую

аргументацию;

применять аппарат алгебры, анализа, тригонометрии к решению геометрических

задач;


строить сечения геометрических тел.

владеть ключевыми, общепредметными и предметными компетенциями:

коммуникативной, рефлексивной, личностного саморазвития, ценностно-

ориентационной, смыслопоисковой.


ОЦЕНОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

10 класс

Контрольная работа

1. В треугольнике со сторонами АВ = 4, ВС = 2, АС = 3 вписана окружность. Найти

площадь треугольника AMN, где M, N — точки касания этой окружности со сторонами АВ

и AC соответственно.

2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты CD и АP. Известно, что АС = 1

и DCP = . Найти площадь круга, описанного около треугольника DBP.

3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВD, BЕ ВС,

BD: DC=2:1. Площадь треугольника DЕС равна 20 см2. Найдите площадь треугольника AВС.

4. AВСD — прямоугольник. АВ == 4, BС = 6, ВЕ АС. Через точку Е проведена прямая,

параллельная АD, до пересечения в точке Р со стороной СD. Найдите ЕР.

5. В треугольнике ABС проведена биссектриса AР. Известно, что BР== 16, РС= 20 и что

центр окружности, описанной около треугольника АВР, лежит на отрезке АС. Найти длину

стороны АВ

6. В треугольнике ABC известны длины высот m, n и p. Найдите радиус вписанной в

треугольник окружности.


1. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна 28, а площадь

основания равна 4. Найти длину бокового ребра призмы.

2. Через диагональ нижнего основания куба и противоположную вершину его верхнего

основания проведена плоскость. Найти площадь получившегося сечения, если сторона куба

равна а.

3. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если

диагональ основания равна 22 , а длина бокового ребра равна 5

4. Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости.

Найти расстояние от точки М до плоскости ромба, если, АВ=4, ВАD= 60 и точка М удалена

от прямой AD на расстояние, равное длине стороны ромба.


1. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120 , а боковые стороны 10 см.

Вне треугольника дана точка, удаленная от всех его вершин на 26 см. Найдите расстояние от

этой точки до плоскости треугольника

2. Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости.

Найти расстояние от точки М до плоскости ромба, если, АВ=4, ВАD= 60 и точка М удалена

от прямой AD на расстояние, равное длине стороны ромба.

3. КО - перпендикуляр к плоскости , КМ и КР - наклонные к этой плоскости, ОМ и ОР -

проекции наклонных, причем сумма их длин равна 15. Найдите расстояние от точки К до

плоскости , если КМ=15, 310KP .

4. Через центр О квадрата ABCD проведен перпендикуляр OF к плоскости квадрата.

Вычислить угол между плоскостями BCF и ABCD, если FB=5, BC=6.

11 класс

Контрольная работа № 1 (на 20 мин)

1. Найдите координаты вектора AB , если А (5; -1; 3), В (2;-2; 4).

2. Даны векторы b (3; 1; -2) и c (1; 4; -3). Найдите cb2 .

3. Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку А (1; -2; -4). Найдите расстояния от

этой точки до координатных плоскостей.

Контрольная работа № 2

1. Вычислите скалярное произведение векторов m и n , если

2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AD1 и ВМ, где M - середина ребра

DD1.

3. При движении прямая b отображается на прямую b1, а плоскость - на плоскость 1 , и b

1 . Докажите, что 1b .


1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, площадь основания цилиндра равна 16 см2. Найдите

площадь поверхности цилиндра.

2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите:

а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между

которыми 30°;

б) площадь боковой поверхности конуса.

3. Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему.

Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.


1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании

равен 60°. Найдите объем пирамиды.

2. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет

которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30°. Диагональ большей боковой грани призмы

составляет с плоскостью ее основания угол в 45°. Найдите объем цилиндра.


1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью

основания угол в 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара.

2. Объем цилиндра равен 96 см3, площадь его осевого сечения 48 см2. Найдите площадь

сферы, описанной около цилиндра.


1. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а плоский угол при вершине пирамиды

равен . Найдите объем пирамиды.

2. Основанием прямого параллелепипеда 1111 DCBABCDA служит параллелограмм ABCD,

BD=6, 90ABD , 30BDA . Плоскость сечения, проходящая через большие два ребра

оснований, составляет с основанием угол в 30 . Найдите объем параллелепипеда.

3. Угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120 .Площадь боковой поверхности

конуса равна 3 . Найдите объем конуса

4. В наклонной треугольной призме высота равна 210 , а боковые ребра составляют с

плоскостью основания угол в 45 . Площади двух граней равны 100 и 200, а угол между ними 120 . Найдите объем призмы.


1. Дан куб с основанием ABCD и боковыми ребрами AA1, BB1, CC1, DD1 длина ребра куба

равна 1. Каждая из двух сфер одинакового радиуса 2

3R касается ребра AB основания и

боковых ребер AA1 и CC1 , не принадлежащих одной грани. Найти расстояние между

центрами этих сфер.

2. Дан куб с ребром 1. На ребре AD как на диаметре построена сфера. Вторая сфера, лежащая

внутри куба, касается первой сферы и граней трехгранного угла с вершиной B1 .Определить

радиус второй сферы.



Материалы к урокам по теме

«Вневписанная окружность и ее свойства»

Автор – Осипенко Л.А.

Вневписанной окружностью называется окружность, касающаяся одной из сторон

треугольника и продолжений двух других сторон. Центром вневписанной окружности

является точка пересечения биссектрис внешних углов и биссектрисы внутреннего угла

треугольника при третьей вершине.

Рис. 1

Задача 3.1. Докажите, что отрезок от вершины треугольника до точки касания

вневписанной окружности, расположенной на продолжении стороны, равен

полупериметру.

Решение. Пусть дан треугольник ABC, где BC=a, AC=b и AB=c, N и P – точки касания

вневписанной окружности с продолжениями сторон AB и AC (рис. 1). Тогда

AN=AB+BN=c+BQ; AP=AC+CP=b+QC (BN=BQ, CP=QC, как отрезки касательных,

проведенных из одной точки). Так как AN=AP, то 2AN=b+c+BQ+QC=b+c+a=2p.

Следовательно, AN=p. Что и требовалось доказать.

Задача 3.2. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в

точке K, а вневписанная - в точке L. Докажите, что CK=BL=(a+b-c)/2, где a, b, c – длины

сторон треугольника.

Решение. Пусть M и N – точки касания вписанной окружности со сторонами AB и AC

(рис. 2).

Рис. 2

Тогда BK+AN=BM+AM=AB, поэтому CK+CN=a+b-c. Пусть P и Q – точки касания

вневписанной окружности с продолжениями сторон AB и AC (рис. 2). Тогда

AP=AB+BP=AB+BL и AQ=AC+CQ=AC+CL. Поэтому AP+AQ=a+b+c. Следовательно,

BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

Задача 3.3. Вычислите радиус вневписанной окружности, если известны площадь,

полупериметр и сторона треугольника, которой касается эта окружность.

Решение. Пусть дан треугольник ABC, где BC=a, AC=b и AB=c. Точка M – центр

вневписанной окружности, касающейся стороны a. Обозначим радиус вневписанной

окружности через . Чтобы вычислить радиус вневписанной окружности рассмотрим

площади треугольников ABC, ABM, ACM, BCM (рис.1). Тогда

где p – полупериметр треугольника ABC. Следовательно,

.

Аналогично доказывается, что

.

Точка Нагеля. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания

соответственных вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке, называемой

точкой Нагеля (рис.3).

ar

),(2

)(

222

apracbr

arbrcrSSSS

aa

aaaBCMACMABMABC

ap

Sra

cp

S ; r

bp

Sr cb

Рис. 3

Доказательство. Так как AF=AF’=BF’-BA=p-c, CK=p-b, BL=p-a, FC=p-a, KB=p-c,

LA=p-b, то (по теореме Чевы). Следовательно, прямые AK, BF и CL

пересекаются в одной точке.

Задача 3.4. Доказать, что AP=BR, AN=CS и OB=CQ, где O, R, P, N, Q, S – точки

касания вневписанных окружностей с продолжениями сторон треугольника ABC (рис.

4).

Решение.

Рис. 4

Заметим, что NA=AK, AP=AM, CM=CQ, CS=CL, BL=BR, BK=OB (как отрезки

касательных, проведенных из одной точки).

PA+AK+KB=BL+LC+CQ

и AK+KB+BR=AM+MC+CS

или

AP+AK+KB=BL+LC+CQ

и AK+KB+BR=AM+CL+CQ.

Вычтем из первого равенства второе. Получим: AP-BR=BL-AM или AP-BR=BR-AP.

Следовательно, AP=BR. Аналогично доказывается, что AN=CS и OB=CQ.

Задача 3.5. Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекают

описанную окружность в точке M; O – центр вписанной окружности, - центр

вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и

лежат на окружности с центром в точке M (рис. 5).

1LA

BL

KB

CK

FC

AF

bI

bI

Рис. 5

Решение. Так как

и , то MA=MO. Аналогично

доказывается, что MC=MO. Так как треугольник прямоугольный и

, то , а значит, . Аналогично

доказывается, что .

Задача 3.6. Пусть , и - центры вневписанных окружностей треугольника

ABC. Докажите, что точки A, B и C- основания высот треугольника (рис. 6).

Рис. 6

Решение. Лучи и - биссектрисы внешних углов треугольника при вершине C,

поэтому C лежит на прямой и . Так как - биссектриса угла BCA, то

. Складывая эти равенства, получаем , то есть - высота

треугольника . Аналогично доказывается, что и - высоты этого треугольника.

Задача 3.7. Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из центра O

вписанной окружности под углом , а из центра вневписанной окружности

под углом .

Решение. Ясно, что:

, а

, так как .

Соотношения между элементами треугольника и радиусами вневписанных

окружностей

(1)

(2)

(3)

2

BAABOBAOAOM

22

BACBM

ACAMOACOAM

bOAI

MAOAOM 90AMIMAI bb bMIMA

bMIMC

aI bI cI

cba III

aCI bCI

baII CAICBI ba cCI

cc ACIBCI bcca CIICII CIc

cba III AIa BIb

2/A90 aI

2/A90

2/2/2/ A90CB180BCOCBO180BOC

BOC180CBIa 90OCIOBI aa

rRrrr cba 4

cba rrrrS

cba rrrr

1111

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Где: a, b и c – стороны треугольника;

, , - высоты, проведенные из вершин треугольника к

сторонам a, b и c соответственно;

, , - радиусы вневписанных окружностей, касающихся

сторон a, b и c соответственно;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности;

S – площадь треугольника;

p – полупериметр треугольника.

)(2

1 222 cbarrrr cba

accbba rrrrrrp 2

p

rrrS cba

rr

arrS

a

a

a

rrrrS cba )(

rr

rrRrrS

a

aa

4

cb

cb

rr

rarS

ba

ba

rr

rrbaS

)(

c

c

rr

rrbaS

)(

))(( cpbprra

cba rrrrp 2

))((2cba rrrra

111

4

1

r

r

r

r

r

r

r

R cba

c

ba

b

ac

a

cb

r

rrr

r

rrr

r

rrrp

acba hhhr

1111

caabcb hhhhhh

p

r

R

2

2

)( cba rrrap

ah bh ch

ar br cr



Утверждено приказом директора

МАОУ Лицей ИГУ г. Иркутска

от 30.08.2016 г. № 136/7

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРЕДМЕТА «АЛГЕБРА»,

обязательный лицейский компонент, 10 - 11 классы



Коваленок И.Л., учитель математики


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа составлена в соответствии с федеральным компонентом

государственного образовательного стандарта среднего общего образования по математике

с учетом особенностей организации образовательного процесса Лицея ИГУ:

- введение в 10-11 физико-математических, информационно-математических,

экономико-математических классах углубленного обучения математике, в 10-11

профильных естественнонаучных и лингво-математических классах – обучения математике

на профильном уровне;

Количество учебных часов, на которые рассчитана программа: 10 класс 11 класс Всего

Физико-


кий

Экономико-


кий


нно-


кий

Лингво-


ский


-научный

Физико-


кий

Экономико-


кий


нно-


кий

Лингво-


ский


-научный

Физико-


кий

Экономико-


кий


нно-


кий

Лингво-


ский


-научный

Количес

тво

учебных

недель

34 34 33 33 67 67

Количес

тво

часов в

неделю

3 ч/нед 2 ч/нед 2 ч/нед 1 ч/нед

Количес

тво

часов в

год

102 68 66 33 168 101

Уровень подготовки учащихся - с углубленным изучением.

Место предмета в учебном плане – обязательные предмет вариативной части (лицейского

компонента).

Учебник - Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала анализа,

учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений, - М.: Просвещение, 2012, 2013

Программа дополняет программу, соответствующую государственному стандарту

среднего (полного) общего образования по математике базового уровня обучения, до

углубленного/профильного уровня с учетом особенностей учебного заведения:

- введение с 10 класса углубленного/профильного обучения;

- раздел программы «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей»

изучаются учащимися профильных классов в курсе «Дискретная математика».

- некоторые разделы, например, «Делимость целых чисел», «Решение задач с

параметрами» более детально изучаются в рамках спецкурсов, дополняющих и

углубляющих содержание основного предмета.





Содержание программы

10 классы

I. Повторение с элементами углубления (21 час) Равносильность уравнений. Уравнения, равносильные на множестве. Переход к




переменных. Решение алгебраических уравнений методом замены переменных.

Решение дробно-рациональных неравенств. Метод интервалов. Решение неравенств

методом замены переменной. Решение неравенств, содержащих знак модуля.


Схема Горнера. Теорема Безу и ее следствия. Отыскание рациональных корней многочлена.

Многочлены от двух переменных. Симметрические многочлены от двух переменных,

применение к решению задач. Однородные многочлены от двух переменных. Решение

однородных алгебраических уравнений. Решение систем алгебраических уравнений.

Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств с двумя

переменными и их систем.


Понятие функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Четность функции,

свойства четных и нечетных функций.

Различные элементарные методы построения графиков функций. Монотонность

функции, свойства монотонных функций. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее

значения функции на отрезке.

Построение графиков функций с модулем.

Ограниченность функции. Периодичность функции, свойства периодических функций.

Понятие сложной функции, обратной функции и их свойства.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений.

IV. Тригонометрические функции (27 часов) Преобразование тригонометрических выражений. Преобразование графиков

тригонометрических функций. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа.

Обратные тригонометрические функции их свойства и графики. Основные тождества на

обратные тригонометрические функции.

Решение простейших тригонометрических неравенств. Основные методы решений

тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения с выборкой корней на

отрезке. Тригонометрические уравнения с выборкой корней на тригонометрическом круге.

Решение систем тригонометрических уравнений.

V. Показательная и логарифмическая функции (18 часов). Преобразование выражений, содержащих степени. Показательная функция, ее свойства и

график. Понятие логарифма числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства

логарифмов. Число е. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Построение графиков

логарифмической и показательной функций.


VI. Закрепление с элементами углубления (12 часов) Решение иррациональных уравнений и неравенств. Решение трансцендентных и

алгебраических уравнений и неравенств с модулем. Обобщенный метод интервалов для



I. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств (32 часа) Решение уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств. Решение

тригонометрических уравнений и их систем. Решение тригонометрических неравенств.

Решение логарифмических уравнений, неравенств и их систем. Решение трансцендентных

уравнений и неравенств.

II. Комплексные числа (10 часов) Алгебраическая форма комплексного числа. Сопряженные комплексные числа.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая

интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Действия над

комплексными числами в алгебраической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами

в тригонометрической форме. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра.

Извлечение корня из комплексного числа.

III.Решение задач с параметрами (24 часа) Линейные уравнения и неравенства с параметрами. Системы линейных уравнений с

параметрами. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.

Графические методы решения задач с параметрами. Метод сечений и метод областей.

Отбор корней графическим методом сечений семействами линий у=с, y=x+b, y=kx. Решение

задач методом сечений. Решение задач методом областей. Решение текстовых задач с

параметрами.

11 информационно-математический и экономико-математический

/естественнонаучный и лингво-математический классы

I. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств (32/16 часов) Решение уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств. Решение

тригонометрических уравнений и их систем. Решение тригонометрических неравенств.

Решение логарифмических уравнений, неравенств и их систем. Решение трансцендентных


II.Решение задач с параметрами (34/17 часов) Линейные уравнения и неравенства с параметрами. Системы линейных уравнений с

параметрами. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.

Графические методы решения задач с параметрами. Метод сечений и метод областей.

Отбор корней графическим методом сечений семействами линий у=с, y=x+b, y=kx. Решение

задач методом сечений. Решение задач методом областей. Решение текстовых задач с

параметрами.



Номер


Кол-во



1 Решение алгебраических уравнений методом замены

переменной. 1

2 Решение однородных уравнений. 1

3 Решение возвратных уравнений. 1

4, 5 Решение алгебраических неравенств методом

замены переменной. 2

6 Решение совокупностей неравенств. 1

7 Геометрическая интерпретация модуля. 1

8 Решение уравнений, содержащих знак модуля. 1

9 Метод интервалов для раскрытия знака модуля. 1

10 Решение неравенств, содержащих знак модуля. 1

11 Решение уравнений и неравенств, содержащих знак

модуля. 1

12 Решение алгебраических уравнений и неравенств. 1

13, 14 Решение иррациональных уравнений. 2

15, 16 Решение систем иррациональных уравнений. 2

17 - 19 Решение иррациональных неравенств. 3

20 Решение систем иррациональных неравенств. 1

21 Контрольная работа по теме «Повторение с

элементами углубления» 1


22 Метод неопределенных коэффициентов. Разложение

многочленов на множители. 1

23 Теорема Безу и ее следствия. 1

24 Отыскание рациональных корней многочленов. 1



26 Многочлены от двух переменных. Симметрические

многочлены 1

27 Решение симметрических систем алгебраических


28

Однородные многочлены от двух переменных.

Решение систем однородных уравнений и

приводящихся к ним.

1

29 Решение систем уравнений. 1

30 Контрольная работа по теме «Многочлены» 1


31 Множество значений функции 1


отрезке. 1

33 Нули функции. Промежутки знакопостоянства. 1

34 Свойства монотонных функций. 1

35 Применение монотонности к решению задач. 1


37, 38 Построение графиков функции 2


40 Обратная функция и ее график 1

41 Периодические функции. Решение задач. 1






46 Контрольная работа (итоговая за 1-й семестр) 1




IV. Тригонометрические функции, 27

49 Единичная окружность. 1


свойства. 1



52 - 56 Преобразование тригонометрических выражений. 5

57 Контрольная работа по теме «Преобразование

тригонометрических выражений» 1

58 Преобразование графиков тригонометрических

функций. 1

59, 60 Обратные тригонометрические функции, их

свойства и графики 2

61, 62 Решение простейших тригонометрических


63, 64 Основные тождества на обратные

тригонометрические функции. 2


66 Контрольная работа по теме

«Тригонометрические и обратные

тригонометрические функции»

1

67 - 69 Решение тригонометрических уравнений. 3

70 Отбор корней тригонометрического уравнения. 1

71, 72 Решение систем тригонометрических уравнений. 2


74, 75 Решение тригонометрических уравнений и



76 Степень с действительным показателем и ее

свойства. 1

77, 78 Преобразование выражений, содержащих степени. 2

79 Построение графиков показательной функции 1

80 Решение показательных уравнений. 1

81 Решение показательных неравенств. 1

82 - 84 Преобразование выражений, содержащих

логарифмы. 3

85 Построение графиков логарифмической функции. 1

86, 87 Решение логарифмических уравнений. 2

88 - 90 Решение логарифмических неравенств. 3

91 Решение логарифмических и показательных


92 Решение логарифмических и показательных



VI. Закрепление с элементами углубления, 9

94 Решение алгебраических уравнений и неравенств с

модулем. 1

95 Решение трансцендентных уравнений с модулем. 1

96 Решение трансцендентных и неравенств с модулем. 1

97 Решение трансцендентных неравенств методам

интервалов. 1

98, 99 Решение уравнений и неравенств с использованием


100, 101 Итоговая контрольная работа 2


10 информационно-математический и экономико-математический классы

Номер


Кол-во

часов Конт-

роль




1

2 Решение однородных уравнений. 1

3 Решение возвратных уравнений. 1

4, 5 Решение алгебраических неравенств методом

замены переменной.

2



8 Решение уравнений, содержащих знак модуля. 1

9 Метод интервалов для раскрытия знака модуля. 1



модуля.

1


13, 14 Решение иррациональных уравнений. 2


16 - 18 Решение иррациональных неравенств. 3


20 Решение систем иррациональных неравенств. 1



22 Схема Горнера. Теорема Безу и ее следствия. 1

23 Разложение многочлена на множители. 1


высших степеней.

1

25


решений уравнений с двумя переменными и их

систем.

1

26


решений неравенств с двумя переменными и их

систем.

1


и однородные многочлены от двух переменных.

1






отрезке.

1

32 Нули функции. Промежутки знакопостоянства. 1

33 Периодичность функции. 1

34 Свойства монотонных функций. 1

35 Применение монотонности к решению задач. 1


37, 38 Построение графиков с модулем. 2

39 Понятие сложной функции и ее свойства. 1

40 Определение свойств сложных функций. 1






46 Анализ ошибок контрольной работы. 1


решении уравнений.

1

48 Применение математических методов для решения

задач из различных областей науки и практики.

1



50, 51 Основные тригонометрические формулы. Формулы

приведения.

2



функций.

1

59, 60 Решение простейших тригонометрических


2

61, 62 Обратные тригонометрические функции, их

свойства и графики

2



2



67 - 69 Решение тригонометрических уравнений. 3


71, 72 Решение систем тригонометрических уравнений. 2


74, 75 Решение тригонометрических уравнений и


2


76, 77 Преобразование выражений, содержащих степени. 2

78 Построение графика показательной функции. 1

79 Решение показательных уравнений. 1


81 Решение систем показательных уравнений. 1

82 - 84 Преобразование выражений, содержащих

логарифмы.

3




89, 90 Решение логарифмических неравенств. 2

91, 92 Решение логарифмических уравнений и неравенств. 2




модулем.

1

95 Решение трансцендентных уравнений с модулем. 1

96 Решение трансцендентных и неравенств с модулем. 1


интервалов.

1


монотонности функций.

1


ограниченности функций.

1

100 Решение систем уравнений и неравенств. 1

101 Контрольная работа № 9. (итоговая) 1


10 лингво-математический и естественнонаучный классы

Номер

урока


часов

Контроль


1 Решение алгебраических уравнений методом


1

2 Решение однородных и возвратных уравнений. 1

3 Решение алгебраических неравенств методом


1



6 Решение уравнений, содержащих знак модуля.

Метод интервалов для раскрытия знака модуля.

1



модуля.

1



11, 12 Решение иррациональных неравенств. 2

13, 14 Решение систем иррациональных уравнений. 2


15 Схема Горнера. Теорема Безу и ее следствия. 1

16 Разложение многочлена на множители. 1


и однородные многочлены от двух переменных.

1

18 Изображение на координатной плоскости

множества решений уравнений и неравенств с

двумя переменными и их систем.

1





отрезке.

1

22 Нули функции. Промежутки знакопостоянства.

Периодичность функции.

1

23 Свойства монотонных функций. Применение

монотонности к решению задач.

1


25 Построение графиков с модулем. 1

26 Понятие сложной функции и ее свойства. 1

27 Определение свойств сложных функций. 1



30/ Решение систем уравнений. 1


решении уравнений и неравенств.

1

32/ Применение математических методов для решения

содержательных задач из различных областей науки

и практики.

1




приведения.

1



функций.

1

40 Решение простейших тригонометрических


1

41 Обратные тригонометрические функции, их

свойства и графики

1



2


45, 46 Решение тригонометрических уравнений. 2




50 Решение тригонометрических уравнений и


1


51 Преобразование выражений, содержащих степени. 1

52 Построение графика показательной функции. 1

53 Решение показательных уравнений и неравенств 1

54 Решение систем показательных уравнений. 1

55, 56 Преобразование выражений, содержащих

логарифмы.

2



60 - 62 Решение логарифмических неравенств. 3



модулем.

1

64 Решение трансцендентных уравнений и неравенств

с модулем.

1


интервалов.

1


монотонности, ограниченности функций.

1

67 Решение систем алгебраических уравнений и


1

68 Решение систем трансцендентных уравнений и


1


№

урока

Разделы, темы уроков Часы Контроль

1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и





3-4 Решение уравнений, содержащих знак модуля.

Решение неравенств, содержащих знак модуля. 2

5-6 Решение уравнений и неравенств, содержащих знак

модуля. 2

7 Иррациональные уравнения. 1

8 Иррациональные неравенства. 1


10 Решение иррациональных уравнений и неравенств. 1

11-12 Решение систем алгебраических уравнений.

Решение систем алгебраических уравнений. 2




15 Отбор корней тригонометрических уравнений. 1


17-18 Решение систем тригонометрических неравенств. 2

19 Основные методы решения показательных уравнений



21 Методы решения логарифмических уравнений и


22 Решение логарифмических уравнений. 1




25-26 Функционально-графические методы решения. 2

27-28 Решение трансцендентных неравенств обобщённым

методом интервалов. 2


30 Контрольная работа по теме «Уравнения,

неравенства, системы уравнений и неравенств» 1

31-32 Анализ контрольной работы. 2

2. Комплексные числа 10

33 Алгебраическая форма комплексного числа. 1

34 Действия над комплексными числами в

алгебраической форме. 1

35 Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Модуль и аргумент. 1

36 Построение гмт на комплексной плоскости. 1

37 Тригонометрическая форма комплексного числа 1


тригонометрической форме. 1


алгебраической и тригонометрической формах. 1


41 Контрольная работа «Комплексные числа» 1


3. Задачи с параметрами 24

43 Решение линейных уравнений с параметрами. 1

44 Решение систем линейных уравнений с параметрами. 1

45 Решение линейных неравенств с параметрами. 1

46 Решение систем линейных неравенств с параметрами. 1

47 Решение задач с использованием теоремы Виета. 1

48 Отбор корней квадратного трёхчлена. 1

49-51 Решение задач с параметрами, сводящихся к

исследованию квадратного трёхчлена. 3

52 Решение тригонометрических уравнений с

параметрами. 1

53-54 Решение неравенств с параметрами. 2

55 Графические методы решения задач с параметрами. 1

56 Отбор корней графическим методом сечений

семействами линий у=с. 1


семействами линий у=кх. 1

58 Решение задач методом сечений. 1

59 Метод областей. 1

60-61 Решение неравенств методом областей. 2

62-63 Аналитические методы решения задач с


64 Контрольная работа по теме «Задачи с

параметрами» 1

65-66 Решение задач из ЕГЭ. 2

11 информационно-математический и экономико-математический классы

Номер


Кол-во

часов

Контроль

I. Уравнения, неравенства, системы уравнений и

неравенств 32




3 - 6 Решение уравнений и неравенств, содержащих знак

модуля. 4

7 - 10 Решение иррациональных уравнений и неравенств. 4

11, 12 Решение систем алгебраических уравнений. 2






17 Решение систем тригонометрических неравенств. 1







22 Решение логарифмических уравнений. 1




25, 26 Функционально-графические методы решения. 2

27, 28 Решение трансцендентных неравенств обобщённым




31, 32 Анализ контрольной работы. 2

I I. Задачи с параметрами 34

33 Решение линейных уравнений с параметрами. 1

34 Решение систем линейных уравнений с параметрами. 1

35 Решение линейных неравенств с параметрами. 1

36 Решение систем линейных неравенств с параметрами. 1

37, 38 Решение задач с использованием теоремы Виета. 2

39, 40 Отбор корней квадратного трёхчлена. 2

41 - 44 Решение задач с параметрами, сводящихся к


45, 46 Решение тригонометрических уравнений с


47, 38 Решение неравенств с параметрами. 2

49 Графические методы решения задач с параметрами. 1




семействами линий у=х+в. 1



53, 54 Решение задач методом сечений. 2

55, 56 Аналитические методы решения задач с параметрами. 2

57 - 59 Решение задач с параметрами. 3


61, 62 Анализ контрольной работы. 2

63 - 66 Решение задач из ЕГЭ. 4

11 лингво-математический и естественнонаучный классы

Номер


Кол-во

часов

Контроль

I. Уравнения, неравенства, системы уравнений



2, 3 Решение уравнений и неравенств, содержащих знак

модуля. 2

4, 5 Решение иррациональных уравнений и неравенств. 2





9 Решение систем тригонометрических неравенств.

Решение систем тригонометрических уравнений. 1







13 Функционально-графические методы решения. 1

14 Решение трансцендентных неравенств обобщённым



16 Анализ контрольной работы. 1

I I. Задачи с параметрами. 17

17 Решение линейных уравнений и неравенств с


18 Решение систем линейных уравнений и неравенств с


19 Решение задач с использованием теоремы Виета. 1

20 Отбор корней квадратного трёхчлена. 1

21, 22 Решение задач с параметрами, сводящихся к


23 Решение тригонометрических уравнений с


24 Решение неравенств с параметрами. 1

25

Графические методы решения задач с параметрами.

Отбор корней графическим методом сечений



семействами линий у=х+в. 1




29 Аналитические методы решения задач с параметрами. 1

30 Решение задач с параметрами. 1


32 Анализ контрольной работы. 1

33 Решение задач из ЕГЭ. 1


По разделу «Повторение с элементами углубления»


- о равносильности уравнений и неравенств;

- о возможных подходах к решению иррациональных уравнений;

- о различных способах к решению алгебраических и дробно-

рациональных неравенств.

Знать

- понятие совокупности, системы условий;

- понятие модуля действительного числа, его геометрическую интерпретацию,

его основные свойства;

- основные равносильные преобразования для простейших неравенств, содержащих

знак модуля;

- метод интервалов для решения рациональных неравенств, дробно-рациональных


Уметь:

- выполнять равносильные преобразования на множестве;

- переходить к уравнению-следствию;

- решать иррациональные уравнения посредством перехода к равносильной

системе условий;

- решать иррациональные уравнения заменой переменной;

- применять метод замены переменной в различных алгебраических

уравнениях;

- решать иррациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов;

- решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля, используя его свойства и

переход к равносильным системам и совокупностям.

По разделу «Многочлены»


- о записи многочлена с помощью знака суммирования;

- о схеме Горнера;

- об основной теореме алгебры;

- об основных подходах к решению задачи отыскания действительных корней

многочлена;

- о теореме Безу и ее следствиях .

Знать:

- стандартный вид многочлена;

- алгоритм деления с остатком;

- теорему Безу и ее следствия;

- формулировку теоремы о рациональных корнях многочлена с целыми

коэффициентами.

Уметь:

- производить действия с многочленами;

- раскладывать многочлен на множители;

- делить многочлен «уголком»;

- находить рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами;

- решать симметрические и однородные системы уравнений с двумя переменными;

- решать алгебраические системы уравнений методами подстановки,

алгебраического сложения, деления уравнений, заменой переменных.

По разделу «Теория функций»


- о роли переменных величин в изучении процессов;

- о способах задания функции;

- о понятиях соответствия между множествами, отношения на множестве;

- о понятиях монотонности функции;

- о глобальных и локальных экстремумах функции;

- об ограниченных снизу и ограниченных сверху функциях;

- о графических методах решения уравнений и неравенств.

- о композициях функций.

Знать:

- терминологию, связанную с теорией функций;

- свойства монотонных функций;

- свойства четных и нечетных функций;

- построение графиков функций элементарными преобразованиями;

- расположение графика квадратного трехчлена на координатной плоскости в

зависимости от его корней;

- свойства обратной функции;

- достаточный признак существования обратной функции на промежутке.

Уметь:

- находить область определения изученных ранее функций;

- строить графики функций элементарными преобразованиями;

- находить нули функции;

- исследовать известные элементарные функции на монотонность, ограниченность,

четность;

- находить множество значений функции на отрезке при помощи использования свойств

квадратичной функции;

- исследовать функцию на периодичность по определению и через ее

свойства;

- применять свойства монотонности, ограниченности и периодичности при решении задач.

По разделу «Тригонометрические функции»


- о потребности в расширении понятия угла (на примере формул поворота);

- о способах задания острого угла, положительного угла, отрицательного угла;

- о различных мерах угла и соответствии между ними;

- о соизмеримости периодов тригонометрических функций;

- о различных видах записи корней тригонометрических уравнений.

Знать:

- терминологию, связанную с тригонометрическими функциями;

- основные свойства тригонометрических функций;

- основные обратные тригонометрические тождества;

- решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств;

- основные методы решения тригонометрических уравнений.

Уметь:

- строить графики тригонометрических функций с применением свойств четности и

периодичности;

- вычислять периоды функции по ее основному периоду;

- вычислять обратные тригонометрические величины;

- применять основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств;

- осуществлять различными способами выборку корней тригонометрических

уравнений на промежутке;

- использовать свойство ограниченности тригонометрических функций

синус и косинус при решении тригонометрических уравнений и

нахождении множества значений функции.

По разделу «Показательная и логарифмическая функции»


- о расширении понятия степени числа: степень с действительным

показателем;

- об операциях над действительными числами, обратных возведению в степень;

- о равносильности применения свойств логарифма произведения,

частного, степени;

- о десятичных и натуральных логарифмах, способах их приближенного

вычисления.

Знать:

- терминологию, связанную с данным разделом;

- свойства степени с действительным показателем;

- свойства логарифмов, основное логарифмическое тождество;

- свойства показательной функции;

- свойства логарифмической функции;

- связь между показательной и логарифмической функциями;

- основные методы решения показательных и логарифмических


Уметь:

- производить действия над степенями с различными показателями;

- преобразовывать выражения, содержащие степени, используя их

свойства;

- вычислять значения некоторых логарифмов по определению;

- преобразовывать выражения, содержащие логарифмы, используя их

свойства;

- переходить к логарифмам по другому основанию;

- решать простейшие логарифмические и показательные уравнения и неравенства;

- строить графики показательных и логарифмических функций, в том числе и содержащие

знак модуля.

По разделу «Закрепление с элементами углубления»




- о функциональных способах решения уравнений и неравенств;


различным алгебраическим и трансцендентным неравенствам.

Знать:



Уметь:




методы решения;




Требования к математической подготовке учащихсяк концу одиннадцатого класса

По разделу «Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств»





- о функциональных способах решения уравнений и неравенств, систем

уравнений и неравенств;


различным алгебраическим и трансцендентным уравнениям и

неравенствам;

- о возможностях применения элементов дифференциального исчисления к решению

уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств;

- о возможности переформулировки задачи с целью привлечения методов решения задач

с параметрами.

Знать:


систем уравнений и неравенств;


Уметь:





методы решения, систем уравнений и неравенств;




По разделу «Решение задач с параметрами»


- о различных видах постановки задачи с параметром;

- о возможности решения задачи с параметром принципиально

различными способами;

- об основных методах решения задач с параметрами.

Знать:

- знать расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси в зависимости от

значений его коэффициентов;

- форму записи ответа в задачах с параметрами различного вида.

Уметь:

- решать линейные уравнения и неравенства с параметрами аналитическими и

графическими способами;

- исследовать системы линейных уравнений с параметрами на существование

решений;

- аналитическими методами решать простейшие задачи на исследование квадратного

трехчлена;

- применять метод сечений семействами линий для определения числа корней;

- применять метод областей для решений задач с параметрами.

По разделу «Комплексные числа» (в физико-математическом классе)


- о различных способах задания комплексного числа;

- о применимости комплексных чисел.

Знать:

- терминологию, связанную с комплексными числами;

- алгебраическую форму записи комплексного числа;

- тригонометрическую форму записи комплексного числа;

- определение операций над комплексными числами в алгебраической и

тригонометрической формах комплексных чисел;

- свойства сопряженных комплексных чисел.

Уметь:

- изображать комплексные числа на координатной плоскости точками и радиус-

векторами;

- производить действия над комплексными числами в алгебраической и

тригонометрической формах.



10 класс

Контрольная работа по теме «Многочлены»

1. Разложить на множители многочлен .2356 23 xxx

2. Решите уравнение .060925112 234 xxxx

3. Решите неравенство .19

92

9

2224

x

x

xx

x

Контрольная работа по теме «Тригонометрические и обратные


3. Построить графики функций:

1. 3

sincos3

cossin

xxy , 2. xxy 22 sincos ,

3. 12

sin3 x

y , 4.

4

xtgy , 5. ctgxy .

4. Вычислить:

1. 3

3arctg , 2. 1arcctg , 3.

2

1arcsinsin ,

4.

2

2arcsincos , 5.

5

1arcsincos , 6.

7

3arccos

3sin

Итоговая контрольная работа за 10-й класс.

В12. Найдите значение выражения .32 6log3

В13. Упростите выражение .2sin3

cossin4

x

xx

В14. Найдите множество значений функции 3sin2 xy .

В15. Решите неравенство .025

x

x

В16. Решите уравнение .0cos2cos2 xx

В17. Найдите область определения функции .5

15 37 xy

В18. Решите уравнение .4824 1 xx

В19. Решите неравенство .log12log82log 333 xx В ответе запишите длину

полученного промежутка.

В20. Решите уравнение .4421 xx

В21. Найдите значение выражения .105cos15cos35 22 oo

В22. Найдите значение выражения .108log36216log 36

35

С3. Решите уравнение .071

412

xx

С4. Найдите область определения функции .25,99log 2xy x


.0)14(47

,5,1log5,1log52

33

yxx

xxy

11 класс

Контрольная работа по теме « Уравнения, неравенства и их системы».

А1. Решите уравнение .3)5(log2 x

А2. Решите уравнение .0cos3cos2 2 xx

А3. Найдите область определения функции .27

1

3

152

x

y

В1. Найдите сумму целых решений неравенства .1)3,19,1(log 4,0 x

В2. Решите уравнение .015323 2 x

x

В3. Найдите меньший положительный корень уравнения .0363

3

xtg

С1. Решите неравенство .01log323 32 xxx

С2. Решите уравнение 021cos-1sin32cos xxx .


12sin2

41sin4 2

yx

yx.


5y217x3

04tgy3ytg2

sin.

С5. Решите неравенство 02x

1x22 x

)(log.

Контрольная работа по теме «Задачи с параметрами»

1. При каких значениях параметра а ровно один из корней уравнения

011 2 axaxa расположен на (0 , 3)?

2. При каких значениях параметра а система неравенств

0245

05)52(

2

22

xx

aaxax

не имеет решений?

3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых наибольшее значение

функции y(x) = – x2 – 6ax + (– a2 + 2a + 4) на отрезке 0 х 3 равно 5 .

4. При каких значениях параметра а уравнение axx 1 имеет единственное

решение?

5. Сколько решений в зависимости от параметра b имеет уравнение 24 bxx ?

6. При каких значениях параметра а уравнения xx 2sin2sin и

0sin)2(sin)1(2sin4 23 xaxax равносильны?

Итоговая контрольная работа.

Часть 1

1 При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 3%. Терминал

принимает суммы, кратные 10 рублям. Месячная плата за интернет составляет 350 рублей.

Какую минимальную сумму положить в приемное устройство терминала, чтобы на счету

фирмы, предоставляющей интернет-услуги, оказалась сумма, не меньшая 350 рублей?

2 На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый

месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в

градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная

температура не превышала 14 градусов Цельсия.

3 Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего

многоугольника равна 144. Найдите площадь большего многоугольника.

4 Из множества натуральных чисел от 58 до 82 включительно наудачу выбирают одно число.

Какова вероятность того, что оно делится на 6?

5 Найдите корень уравнения 2

116 9 x .

6 В треугольнике ABC угол C равен 900, CH − высота, AC=3, 6

35sin A . Найдите BH.

7 Прямая 85 xy является касательной к графику функции y= cxx 152

4 . Найдите c.

8 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки ABFA1 правильной

шестиугольной призмы ADCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 9, а

боковое ребро равно 12.

Часть 2

9 Найдите значение выражения 175

3:

7

51

7

63

.

10 Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется

по формуле 22

20

)(

p

pAA , где — частота вынуждающей силы (в c-1), A0 — постоянный

параметр, 1360 cp — резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую

резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A0 не более чем на

одну пятнадцатую. Ответ выразите в c-1 .

11 Дима, Андрей, Саша и Гоша учредили компанию с уставным капиталом 2000000 рублей.

Дима внес 17% уставного капитала, Андрей — 360000 рублей, Саша — 0,2 уставного

капитала, а оставшуюся часть капитала внес Гоша. Учредители договорились делить

ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма

от прибыли 500000 рублей причитается Гоше? Ответ дайте в рублях.

12 Найдите наибольшее значение функции 222168 ххy .

Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте отдельный лист. Запишите

сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное

решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

13 а) Решите уравнение .03

1cos2

tgx

x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

2

7;2

14 Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6.

Основание высоты SО этой пирамиды является серединой отрезка SS1, М – середина ребра

АS, точка L лежит на ребре ВС так, что ВL: L С = 1:2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1 L М – равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

15 Решите неравенство .01

25,0962 3212

x

xx

16 Первая окружность с центром О вписанная в треугольник KLM, касается стороны KL в

точке В, а основания ML – в точке А. Вторая окружность с центром О1 касается основания ML

и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что треугольник ОLО1 прямоугольный.

б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой окружности равен 6

и АК = 16.

17 По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму,

имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» - увеличивать эту сумму на 5% в первый

год и на одинаковое целое число п процентов и за второй и за третий годы. Найдите

наименьшее значение п, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее

вклада «А» при одинаковых суммах первоначального взноса.

18 Найдите все значения параметра α, при каждом из которых система уравнений

{(𝑥 − 3𝑎 + 1)2 + (𝑦 + 2𝑎)2 = 𝑎 − 1

4𝑥 + 3𝑦 = 𝑎 + 1 имеет более одного решения.

19 Будем называть четырехзначное число интересным, если среди четырех цифр в его

десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трех других из них.

Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырехзначных чисел, разность между которыми

равна трем.

б) Найдутся ли два интересных четырехзначных числа, разность между которыми равна 111?

в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного

четырехзначного числа.



Разработка урока на тему: «Решения рациональных неравенств методом замены

переменной»

Автор разработки Коваленок И.Л.

Цели урока:

1. Познакомить с новым методом решения неравенств, который будет необходим при

решении трансцендентных неравенств.

2. Закрепить уже знакомые методы решения рациональных неравенств, их систем и

совокупностей.

Ход урока:

1. Повторить решение квадратных и дробно рациональных неравенств.

2. Объяснить (на примерах) метод замены переменной.

3. Решение неравенств.

1. Повторение:

1) Решить систему неравенств

.01

3;01032

x

xxx

2) Решить совокупность неравенств

.4

;25

2xx

x

2. Решение неравенства методом замены переменной:

1) 105)34)(54( 22 xxxx .

Решение: Обозначим, например, txx 142 . Тогда неравенство примет вид

105)4)(4( tt , или 01212 t . Следует обратить внимание на то, что следует решить

полученное неравенство относительно новой переменой, и записать его решение с помощью

неравенств, а не промежутков. Последнее неравенство выполняется при 11;11t или

при t:

.11

;11

t

t Теперь можно вернуться к переменной х. Для этого подставим в полученную

систему вместо t выражение 142 xx . Получим систему неравенств

,0104

;01242

2

xx

xx

решение которой 2;6 x и будет решением исходного неравенства.

2) 5,23

32

2

x

x

x

x.

Решение: Обозначим tx

x

32

. Тогда неравенство примет вид 02

51

tt , или

0)2)(12(

t

tt, которое равносильно совокупности

2

102

t

tt

. Вернёмся к основной

переменной:

2

13

03

23

2

2

2

x

xx

xx

x

062

03

032

2

2

2

x

xxx

xx

xx

0)2)(32(

0)3)(3(

0)3)(1(

x

xxx

xx

x

xx

Решение этой совокупности6 ;32;30;15,1;3 x является искомым

решением.

3. Решить неравенства:

1) 01

15122

2

2

xx

xx ;

2) 6

1

32

1

22

122

xxxx

;

3) 3

5

)1)(6(

2

)4)(1(

3

xxxx.

Домашнее задание: решить неравенства: 1) 051

37

1

32

2

x

x

x

x;

2) 24)1)(2)(3)(4( xxxx ; 3) .012416

2

2

xx

xx

К сожалению, в учебниках нет рациональных неравенств подобного вида.





от 30.08.2016 г. № 136/7

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРЕДМЕТА

«Дискретная математика» для 10-11 классов


Составитель программы: Кузьмин О.В., учитель математики



Программа составлена в соответствии с федеральным компонентом

государственного образовательного стандарта среднего общего образования по математике с

учетом особенностей организации образовательного процесса Лицея ИГУ: раздел «Элементы

комбинаторики, статистики и теории вероятностей» изучается учащимися 10-11 физико-

математических, экономико-математических, информационно-математических и лингво-

математических классов Лицея в рамках этого предмета


10 класс 11 класс Всего

Количество учебных недель 34 33 67


Количество часов в год 34 33 67

Уровень подготовки учащихся - углубленный.

Место предмета в учебном плане – обязательный предмет вариативной части (лицейского


Учебники:

1. Кузьмин О.В. Комбинаторные методы решения логических задач:

учеб.пособ./О.В.Кузьмин.-М.: Дрофа, 2006

2. Кузьмин О.В. Перечислительная комбинаторика: учеб.пособ./О.В.Кузьмин.-М.:

Дрофа, 2005

Одной из основных целей предмета является привитие учащимся некоторых навыков

современного математического мышления и его точного, краткого и ясного выражения,

формирование математической культуры. Изложение материала построено на

систематическом использовании теоретико-множественных понятий. Одновременно с этим

достигается и повторение наиболее важных понятий школьной математики (числа, функции,

уравнения и др.) с новой точки зрения на более высоком уровне, а также уточнение логических

понятий математических построений (определения, обратного и противоположного

предложений, необходимого и достаточного условий, отношения эквивалентности и порядка

и др.), которые широко применяются в школьной математике на интуитивном уровне или в

неявном виде.






10 класс

Раздел I. Элементы теории конечных множеств (7 часов) Соответствие между множествами. График и граф соответствия. Связь с понятием

функции в курсе алгебры и начал анализа. Отношения на множестве. Примеры отношений.

Бинарные отношения, их свойства.

Раздел II. Элементы математической логики (8 часов) Понятие конечного графа. Полный граф, обход графа, цикл. Связный граф, понятие

дерева. Решение логических задач с помощью графов. Высказывания. Истинные и ложные

высказывания. Алгебра высказываний. Операции алгебры высказываний. Сложные

высказывания.

Раздел III. Элементы перечислительной комбинаторики (19 часов)

Дискретное восприятие мира. Предмет комбинаторики. Комбинаторные модели в

физике и естествознании. Правило суммы и произведения. Метод включения-исключения.

Подмножества конечных множеств. Сочетания. Упорядоченные подмножества. Перестановки

и размещения. Основные соотношения. Мультимножества и их подмножества. Сочетания с

повторениями. Размещения с повторениями. Перестановки с повторениями и разбиения.

Основные соотношения. Бином Ньютона и его свойства.

11 класс

Раздел I. Повторение основных соотношений перечислительной комбинаторики

(8 часов)

Подмножества конечных множеств. Основные соотношения для числа сочетаний,

размещений и перестановок без повторений. Подмножества конечных мультимножеств.

Основные соотношения для числа сочетаний, размещений и перестановок с повторениями.

Раздел II. Элементы теории вероятностей (25 часов)

Стохастическое восприятие мира. Предмет теории вероятностей и математической

статистики. Понятие стохастической модели. События и их вероятности. Случайные события

и операции над ними. Алгебра событий. Классическое определение вероятности. Применение

комбинаторики к подсчёту вероятностей. Геометрическое определение вероятности. Теоремы

сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности. Формулы полной вероятности

и Байеса. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Случайные величины. Дискретные случайные

величины и их распределения. Многоугольник распределении. Понятие непрерывной

случайной величины и её распределения. Числовые характеристики случайных величин.

Основные свойства математического ожидания и дисперсии. Неравенство Чебышева и закон

больших чисел. Основные понятия математической статистики.


10 класс

Раздел I. Элементы теории конечных множеств (7 часов) 1. Соответствие между множествами. График и граф соответствия.

2. Связь с понятием функции в курсе алгебры и начал анализа.

3. Отношения на множестве. Примеры отношений.

4-5. Бинарные отношения, их свойства.

6. Решение задач.

7. Контрольная работа № 1.

Раздел II. Элементы математической логики (8 часов) 8-9. Понятие конечного графа. Полный граф, обход графа, цикл. Связный граф, понятие

дерева.

10-11. Решение логических задач с помощью графов.

12-13. Высказывания. Истинные и ложные высказывания. Алгебра высказываний. Операции

алгебры высказываний. Сложные высказывания.



Раздел III. Элементы перечислительной комбинаторики (19 часов) 16. Дискретное восприятие мира. Предмет комбинаторики. Комбинаторные модели в физике

и естествознании.

17. Правило суммы и произведения.

18. Метод включения-исключения.


20. Подмножества конечных множеств. Сочетания.

21-22. Упорядоченные подмножества. Перестановки и размещения. Основные соотношения.



25-26. Мультимножества и их подмножества. Сочетания с повторениями.

27-28. Размещения с повторениями.

29-30. Перестановки с повторениями и разбиения. Основные соотношения.

31. Бином Ньютона и его свойства.

32-33. Решение задач.


11 класс

Раздел I. Повторение основных соотношений перечислительной комбинаторики

(8 часов)

1. Подмножества конечных множеств.

2-3. Основные соотношения для числа сочетаний, размещений и перестановок без повторений.

1. Подмножества конечных мультимножеств.

5-7. Основные соотношения для числа сочетаний, размещений и перестановок с

повторениями.


Раздел II. Элементы теории вероятностей (25 часов)

9. Стохастическое восприятие мира. Предмет теории вероятностей и математической

статистики. Понятие стохастической модели.

10-11. События и их вероятности. Случайные события и операции над ними. Алгебра событий.

12. Классическое определение вероятности.

13-14. Применение комбинаторики к подсчёту вероятностей.

15. Геометрическое определение вероятности.


17-18. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

19-20. Условные вероятности. Формулы полной вероятности и Байеса.



23-24. Схема Бернулли. Формула Бернулли.

25. Случайные величины. Дискретные случайные величины и их распределения.

Многоугольник распределении.

26. Понятие непрерывной случайной величины и её распределения.


28-29. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического

ожидания и дисперсии.


31. Неравенство Чебышева и закон больших чисел.


33.. Основные понятия математической статистики.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ 10 КЛАССА,

По разделу I. Элементы теории конечных множеств


о способах задания множеств и их подмножеств; о бесконечных множествах и их

свойствах; о понятиях операции и алгебры.

Знать:

основные термины, связанные с теорией множеств;

Уметь:

записывать конечные числовые множества, указывать их элементы, производить

простейшие операции над ними;

записывать бесконечные числовые множества, производить простейшие операции над

ними;

выделять подмножества и отдельные элементы по какому-либо признаку и

устанавливать простейшие соответствия между множествами и отношения на

множестве.

По разделу II. Элементы математической логики


о специфике логических задач; о методах решения простейших логических задач;

Знать:

основные термины, связанные с элементарным введением в математическую логику.

Уметь:

строить простейшие графы, решать логические задачи при помощи графов.

переводить предложения на язык алгебры высказываний;

оперировать формулами алгебры высказываний.

По разделу III. Элементы перечислительной комбинаторики


о специфике комбинаторных задач; о методах решения простейших комбинаторных

задач;

Знать:

основные термины, связанные с комбинаторикой;

основные комбинаторные соотношения;

формулу бинома Ньютона.

Уметь:

решать простейшие комбинаторные задачи при помощи правил суммы и

произведения, метода включения-исключения;

оперировать с неупорядоченными и упорядоченными подмножествами конечных

множеств и мультимножеств;

находить число сочетаний, размещений и перестановок без повторений и с

повторениями;

использовать при вычислениях бином Ньютона.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ 11 КЛАССА,

По разделу I. Повторение основных соотношений перечислительной

комбинаторики Иметь представление:

о специфике комбинаторных задач;

о методах решения простейших комбинаторных задач

Знать:

основные термины, связанные с комбинаторикой;

основные комбинаторные соотношения;

формулу бинома Ньютона.

Уметь:

решать простейшие комбинаторные задачи при помощи правил суммы и произведения,

метода включения-исключения;

оперировать с неупорядоченными и упорядоченными подмножествами конечных

множеств и мультимножеств;

находить число сочетаний, размещений и перестановок без повторений и с повторениями;

использовать при вычислениях бином Ньютона.

По разделу II. Элементы теории вероятностей


о специфике вероятностных задач;

о случайном эксперименте и о случайных событиях в окружающем мире;

о методах решения простейших вероятностных задач;

о простейших статистических методах обработки эмпирических данных.

Знать:

основные термины, связанные с теорией вероятностей;

основные формулы теории вероятностей.

Уметь:

пользоваться основными понятиями и элементарными сведениями дискретной теории

вероятностей;

решать простейшие задачи, связанные с нахождением вероятностей случайных событий и

характеристик случайных величин



10 класс

Контрольная работа №1

1. Запишите определения: пустое множество, подмножество, мультимножество.

2. Запишите множество, состоящее из двух элементов; из трех элементов.

3. Найдите декартово произведение отрезка ]3;1[ на отрезок ].4;2[

4. Найдите пересечение множеств A и B , если: а) };1,6,4,5{};4,3,2,1{ BA б) A –

множество целых чисел, B – множество натуральных чисел.

5. Выпишите все подмножества множества }.,,,{ edbaC


1. Инспектору стало известно, что был ограблен ювелирный магазин. Он знал, что это

мог совершить либо матерый уголовник по кличке Лось, либо молодой воришка по

кличке Малой, либо работник этого магазина Балалайкин, у которого возникли

финансовые трудности. Инспектору из разных источников стало известно, что: магазин

ограбил не Балалайкин; магазин ограбил Малой. Оказалось, что одно сообщение

верно, а другое – ложно. Кто совершил кражу?

2. Один из пяти братьев – Никита, Глеб, Игорь, Андрей или Дима – испек маме пирог.

Когда она спросила, кто сделал ей подарок, братья ответили следующее: Никита:

«Пирог испек Глеб или Игорь». Глеб: «Это сделал не я и не Дима». Игорь: «Вы оба

шутите». Андрей: «Нет, один из них обманул, а другой сказал правду». Дима: «Нет,

Андрей, ты не прав». Мама знает, что трое из сыновей всегда говорят правду. Кто

испек пирог?

3. Комната площадью 12м2 покрыта тремя коврами. Площадь первого ковра 5м2,

второго – 4м2, третьего – 3м2. Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5м2,

причем 0,5м2 из этих 1,5м2 закрыты всеми тремя коврами. Найдите площадь пола

не покрытую коврами. Покрытую лишь первым ковром.


1. Напишите формулу: а) перестановок; б) размещений; в) сочетаний.

2. Число сочетаний из n по 2 равно 21. Найдите n.

3. Сколько способов существует, чтобы рассадить 6 человек за круглым столом?

4. Сколькими способами можно выбрать 31 карту из колоды в 36 карт?

5. В коробке 7 шаров, пронумерованных от 1 до 7. Из коробки вынимаются друг за другом

4 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных

чисел можно таким образом записать?


1. ).2,5(~

10P

2. Вычислите количество сочетаний с повторениями из девяти по семь.

3. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «параметр»?

4. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 6, 4, 1, 3, 8?

5. Сколькими способами можно разложить 12 открыток с рисунками по разным

конвертам, если по три открытки имеют одинаковые рисунки?

11 класс


1. В группе 14 девушек и 12 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для

выполнения различных заданий, двух учеников различного пола? Одного пола?

2. Сколькими способами можно расставить на полке 6 разных книг?

3. Сколькими способами можно разместить 15 человек на 20 стульях?

4. Сколькими способами можно выбрать из группы в 25 человек 6 человек для участия

в соревнованиях?

5. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4?


1. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число

очков.

2. В группе 15 студентов, среди которых 5 отличников. По списку наудачу отобраны

10 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 3

отличника.

3. Найти вероятность того, что сумма двух наудачу взятых положительных

правильных дробей не больше 0,5.

4. Дети бросают мяч диаметром 0,2 м в квадратный щит со стороной 2 м и круглым

отверстием диаметром 0,8 м. Какова вероятность того, что мяч пролетит в это

отверстие, если в щит они попадают всегда?

Вероятность попадания по вражескому бункеру на основе данных разведки из

первого орудия 0,4, а из второго 0,6. При попадании из первого орудия вероятность

загорания бункера 0,7; из второго – 0,4. По бункеру произвели выстрел из одного

орудия. Найдите вероятность того, что бункер загорится.


1. Вероятность того, что в коробке лежит синий шарик, равна 0,6. Найдите вероятность

того, что при выборе восьми коробок в четырех будут синие шары.

2. Найдите числовые характеристики XXX DM ,, случайной величины ,X постройте

многоугольник и функцию распределения, если ряд распределения имеет

следующий вид:

X -1 2 3

P 0,3 0,4

3. Случайная величина X принимает значение равное 5 с вероятностью 0,3. Найдите

второе значение этой величины, если .7XM

4. Вероятность того, что процессор бракован, равна 0,001. Найти вероятность того, что

в партии из 1000 процессоров окажется пять бракованных.



Подборка задач по теме: Подмножества конечных множеств. Сочетания

1. В классе 40% мальчиков. Математический кружок посещают 40% учеников, при

этом 40% участников математического кружка составляют девочки. Какая часть мальчиков

посещает математический кружок?

2. Учитель задал на уроке замысловатую задачу. В результате количество

мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным числу девочек, ее не решивших. Кого в

классе больше – решивших задачу или девочек?

3. 25 лицеистов, встретившись перед уроком дискретной математики, обменялись

рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

4. Сколько диагоналей имеется в выпуклом n-угольнике?

5. На плоскости даны n точек, никакие три из которых не расположены на одной

прямой; сколько имеется треугольников с вершинами в этих точках?

6. На ЕГЭ предлагается тест из 10 вопросов. Известно, что на половину из них

следует ответить «да», а на вторую половину – «нет». Сколькими способами можно ответить

на вопросы теста при данном условии?

7. В турнире по игре в «крестики-нолики» на первенство лицея Ваня С. и Сережа

И. сыграли одинаковое количество партий, заболели и выбыли из турнира. Остальные

участники доиграли турнир до конца. Всего было сыграно 28 партий. Играли ли Ваня и Сережа

в этом турнире между собой.

8. Шестеро ребят во дворе большого дома часто играли в лапту «трое на трое».

Однажды один из мальчиков уехал, и наши друзья остались впятером. Стали играть вдвоем

против троих. А чтобы никому не было обидно, стали составлять команды всеми возможными

способами. Сколько различных команд по три участника и сколько – по два участника можно

составить из пяти человек?

9. В первой подгруппе 10 физико-математического класса Лицея ИГУ 12 человек

(включая старосту, Володю Ш.). Из них решено выбрать пять человек – делегацию в лицей №

2. Сколькими способами это можно сделать?

10. Докажите, что

а) kn

nkn CC ,

б) .111

kn

kn

kn CCC



Утверждено приказом директора МАОУ Лицея

ИГУ г.Иркутска от 30.08.2016 г. № 136/7

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА

«Нестандартные задачи элементарной математики»

для 10-11 классов






Рабочая программа разработана на основе федерального компонента

государственного образовательного стандарта (ФК ГОС 2004) для классов с углубленным

изучением математики.





Количество часов в год 34 33 67 часов

Уровень подготовки учащихся - расширенный, с углубленной подготовкой

Место предмета в учебном плане – предмет по выбору вариативной части (лицейского


В рабочую программу включены содержание программы, тематическое

планирование, требования к математической подготовке учащихся к концу десятого и

одиннадцатого классов, в качестве приложения 1 программы включены оценочные

материалы, приложения 2 – методические материалы.


10 класс

I Действительные числа (12 часов)

Целые числа. Делимость целых чисел. Признаки делимости. Деление целых чисел с

остатком. Решение уравнений в целых числах. Решение текстовых задач на составление

уравнений и неравенств в целых числах. Метод математической индукции.

Рациональные и иррациональные числа. Замкнутость множества рациональных чисел.

Доказательство существования иррациональных чисел. Действительные числа. Модуль

действительного числа и его свойства. Доказательство числовых неравенств.

II Уравнения и неравенства (11 часов)

Решение алгебраических уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Решение

линейных уравнений и систем линейных уравнений с параметрами. Квадратный трехчлен в

задачах с параметрами. Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси. Отбор

корней квадратного трехчлена. Решение алгебраических уравнений с параметрами

аналитическими методами.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функции. Тригонометрические

уравнения с параметрами.

III Графики и графические методы (11 часов)

Построение графиков функций и геометрических мест точек, удовлетворяющих заданным

условиям. Решение уравнений и неравенств с параметрами методом сечений. Решение

уравнений и неравенств с параметрами методом областей.

11 класс


Делимость целых чисел. Решение уравнений в целых числах.

Доказательство числовых неравенств. Неравенство Коши-Буняковского, использование

неравенств для оценки значений функции.


Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений и иррациональных

уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений с параметрами. Квадратный

трехчлен в задачах с параметрами. Функциональные методы решения.

Решение трансцендентных уравнений и неравенств и их систем. Решение трансцендентных

уравнений и неравенств с параметрами.


Построение графиков сложных функций. и геометрических мест точек, удовлетворяющих

заданным условиям. Решение уравнений и неравенств с параметрами методом сечений.

Решение уравнений и неравенств с параметрами методом областей.


10 класс

Номер

урока


часов

Контроль

I Действительные числа. 12

1 Метод математической индукции. 1

2 Суммирование. 1

3 Доказательство числовых неравенств. 1

4 Применение метода математической индукции. 1

5 Делимость целых чисел. 1


7 Решение уравнений в целых числах 1

8 Иррациональные числа. 1


10 Решение текстовых задач. 1

11, 12 Текстовые задачи с целочисленными данными. 2

II Решение уравнений и неравенств. 11

13 Решение алгебраических уравнений с модулем. 1

14 Решение алгебраических неравенств с модулем. 1

15 Расположение корней квадратного трехчлена на

числовой оси. 1

16 Отбор корней квадратного трехчлена. 1

17, 18 Решение алгебраических уравнений с

параметрами аналитическим методом. 2

19 Тригонометрические уравнения с параметрами. 1

20 Определение количества корней

тригонометрических уравнений с параметрами. 1


свойств функции (монотонность) 1


свойств функции (ограниченность) 1

23 Зачетная работа. 1

III Графики и графические методы. 11

24 Построение графиков функции инверсией

относительно оси OX. 1

25 Решение задач на построение. 1

26. 27

Построение геометрических мест точек, заданных

алгебраическими уравнениями и неравенствами,

содержащими знак модуля.

2

28 Метод сечений для решения задач с параметрами. 1

29 Применение метода сечений для решения

уравнений, содержащих параметры. 1

30 Метод областей в задачах с параметрами. 1

31 Решение простейших задач методом областей. 1

32 Решение задач методом областей. 1



11 класс

Номер

урока


часов

Контроль

Тема 1. Действительные числа 5

1 Делимость чисел 1

2 Решение уравнений в целых числах. 1


4 Неравенство Коши-Буняковского 1


Тема 2. Решение уравнений и неравенств 15

6 Нестандартные способы решения

тригонометрических уравнений. 1

7 Применение ограниченности тригонометрических

функций. 1

8 Нестандартные способы решения иррациональных


9 Функциональные методы решения

иррациональных уравнений. 1

10, 11 Решение иррациональных уравнений с


12 Решение трансцендентных уравнений с


13 Квадратный трёхчлен в задачах с параметрами. 1

14 Решение задач с параметрами с использованием

четности функций. 1


монотонности функций. 1


ограниченности функций. 1


периодичности функций. 1

18 Решение текстовых задач. 1

19 Текстовые задачи с параметрами. 1


Тема 3. Графики и графические методы 13

21, 22 Построение графиков сложных функций. 2

23 Построение графиков инверсией относительно оси

Ох. 1

24 - 26 Построение геометрических мест точек, заданных

трансцендентными уравнениями и неравенствами. 3

27 Применение метода сечений семействами линий

у = ах . 1


у = (х + а)2 1


х2 + у2 = а2 1


31 Применение метода областей для решения задач с


32 Решение задач с параметрами. 1

33 Зачетная работа 1

Требования к математической подготовке учащихся к концу 10-го класса

По разделу «Действительные числа»

Учащиеся должны знать:

основную теорему арифметики;

признаки делимости;

основные числовые неравенства;

свойства модуля действительного числа;

метод математической индукции.

Учащиеся должны иметь представление:

об использовании в задачах основной теоремы арифметики и признаков

делимости;

о сравнении целых чисел по их остаткам при делении на некоторое

натуральное число;

об использовании неравенства Коши (Евклида) и свойств модуля

действительного числа

о различных применениях метода математической индукции в

алгебраических задачах.

Учащиеся должны уметь:

решать задачи с использованием основной теоремы арифметики и

признаков делимости;

сравнивать целые числа по их остаткам при делении на некоторое

натуральное число;

доказывать числовые неравенства с использованием неравенства Коши

(Евклида) и свойств модуля действительного числа;

применять метод математической индукции в задачах на делимость,

суммирование и доказательство неравенств.

По разделу «Уравнения и неравенства»


определение модуля действительного числа;


вид графика квадратичной функции в зависимости от значения ее коэффициентов;

определение алгебраических и трансцендентных чисел;

классификацию элементарных функций;

основные свойства элементарных функций;


о методах решения уравнений и неравенств с модулем;

о различных подходах к отбору корней квадратного уравнения;

об основных типах задач с параметрами;

о различных подходах к решению простейших трансцендентных уравнений и систем

уравнений с параметрами;

об оценке переменной;

об использовании свойств монотонности, четности, ограниченности и периодичности

функции при решении уравнений и неравенств.


решать уравнения и неравенства с модулем с использованием свойств модуля;

проводить отбор корней квадратного уравнения графическим методом (расположение

параболы на координатной плоскости);

формулировать условие существования решений простейших трансцендентных урав-

нений и систем уравнений с параметрами;

производить оценку переменной;

использовать свойства монотонности, четности, ограниченности и периодичности


По разделу «Графики и графические методы»


правила построения геометрических мест точек;

понятие инверсии;

о семействах линий у = а, у = |x+a|.


о различных методах построения геометрических мест точек на координатной

плоскости, задаваемых алгебраическими уравнениями, неравенствами, содержащими


о возможных применениях метода инверсии к построению графиков функций у = 1/f(x);

о методе сечений семейством линий у = а, у = |x+a|.


строить геометрические места точек, задаваемые алгебраическими уравнениями, не-

равенствами, содержащими знак модуля;

строить графики функций у = 1/f(x) методом инверсии;

решать алгебраические уравнения и неравенства с параметрами методом сечений

семейством линий у = а, у = |x+a|;

решать простейшие задачи с параметром методом областей;











основные свойства элементарных функций.





о различных подходах к решению трансцендентных уравнений и систем уравнений с

параметрами;













решать трансцендентные уравнения с параметрами, сводящиеся к задаче на иссле-

дование квадратного трехчлена;

определять количество решений системы в зависимости от параметра, используя

свойства симметричности системы относительно переменных





о семействах линий у = ах, у = (х + а)2, х2 + у2 = a2.



плоскости, задаваемых трансцендентными уравнениями, неравенствами;

о возможных применениях метода построения графиков сложных функций;

о методе сечений семейством линий у = ах, у = (х + а)2, х2 + у2 = a2.


строить геометрические места точек, задаваемые трансцендентными уравнениями,

неравенствами;

строить графики сложных функций;

производить отбор корней уравнений с параметрами методом областей;


семейством линий у = ах, у = (х + а)2, х2 + у2 = a2.






10 класс

Первый срез знаний.

1. При каких значениях параметра а система неравенств не имеет решений?

2. Найти все значения параметра а, для каждого из которых числа х и у, удовлетворяющие

системе неравенств , удовлетворяют также неравенству .

3. Решить уравнение .

Контрольная работа № 1.


расположен на интервале ?

2. При каких значениях параметра а система неравенств не имеет

решений?

3. При каких значениях параметра а уравнение axx 12 имеет решение?

5

3

x

ax

52

7

yx

ayx2 yx

322 xax

0)1()1( 2 axaxa

)3;0(

0245

05)52(2

22

xx

aaxax

4. Решите уравнение и найдите все значения а, при

которых это уравнение на отрезке [a , a + 5] имеет ровно три различных корня.


1. Найдите все положительные значения параметра а , при каждом из которых уравнение

имеет ровно два корня.

3. Найдите все значения параметра а , при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

4. Найти все значения параметра а , при которых справедливы оба утверждения:

а) уравнение имеет ровно одно решение;

б) неравенство имеет хотя бы одно решение.

11 класс



2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

0cossin342 222 xxaa выполняется при всех х?

3. Найдите все значения х, которые удовлетворяют неравенству 63)519()72( 2 axaxa при

любом значении параметра а, принадлежащем промежутку (4 , 5).

4. Найдите все значения параметра а , при каждом из которых неравенство 1062 axx не

имеет решений на отрезке 6 , aa .


1. Найти все значения параметра а , при каждом из которых система

25)6()4(

1

22 yx

axу имеет ровно три различных решения.

2. Множество М состоит из всех точек плоскости, координаты которых

удовлетворяют системе неравенств:

02

2)2(2

ayx

yxax . Определите, при каких значениях

параметра а множество М содержит отрезок [-1 , 0] оси Ох .

3. Найдите все значения параметра а , при каждом из которых уравнение

024101 2 xxaxa имеет чётное число решений.



Подборка задач по теме «Действительные числа»

10 класс

1. Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами равняться 23?

2. Длины всех сторон прямоугольного треугольника - целые числа. Могут ли длины катетов быть

нечетными числами?

3. Доказать, что при любом целом n выражение делится на 6.

023

cos53

cos2)12( 2

xxx

)(351 axx

074

|144|1232

axay

yxyx

01 xax

0182 axx

nnn 732 23

4. Доказать, что если a+b+c делится на 6, то и делится на 6..

5. Из трех различных цифр получают шесть трехзначных чисел, всевозможным образом

переставляя эти цифры. Доказать, что если среди этих шести чисел найдется число, делящееся

на 37, то обязательно среди них будут и еще два числа, делящиеся на 37.

6. Есть только два двузначных числа, обладающих следующим свойством: каждое число равно

неполному квадрату суммы своих цифр. Требуется найти эти числа, если известно что второе

число на 50 единиц больше первого.

7. Задумано целое положительное число. К его цифровой записи приписана справа какая-то

цифра. Из получившегося нового числа вычли квадрат задуманного числа. Какое число

задумано и какая цифра была приписана?

8. В цифровой записи некоторого задуманного положительного числа приписали справа еще

какое-то положительное однозначное число. Из получившегося таким образом нового числа

вычли квадрат задуманного числа. Эта разность оказалась больше задуманного числа во

столько раз, сколько составляет дополнение приписанного числа до 11. Требуется доказать,

что так будет получаться тогда и только тогда, когда приписанное число равно задуманному.

9. Какое двузначное число меньше суммы квадратов его цифр на 11 и больше их удвоенного

произведения на 5?

10. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3 и в

остатке 8. Если число, составленное из тех же цифр, но записанных в обратном порядке,

разделить на произведение цифр, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найти это число.

11. Принятых в институт первокурсников первоначально распределили поровну по учебным

группам. В связи с сокращением числа специальностей количество групп уменьшилось на 9,

всех первокурсников перераспределили по новым группам, причем так, что группы снова

получились равные по численности. Известно, что всего 1512 первокурсников и число

студентов в группе стало меньше 28. Сколько стало групп?

12. Четыре школьника сделали в магазине канцелярских товаров следующие покупки: первый

купил пенал и ластик, заплатив 40к.; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12к.; третий

купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 к.; четвертый купил пенал и тетрадь.

Сколько заплатил четвертый школьник?

13. В детский сад привезли мороженое четырех видов. Каждый ребенок должен получить только

одну порцию мороженого. Ребята сами выбирали мороженое. Оказалось, что число

выбранных порций каждого вида равно цене в копейках одной порции этого же вида. Число

выбранных порций второго вида больше числа выбранных порций первого вида на столько,

на сколько число выбранных порций четвертого вида больше числа выбранных порций

третьего вида. Порций первого и третьего видов вместе было выбрано на 4 меньше, чем

порций второго и четвертого видов. За выбранное детьми мороженное уплатили 4 рубля 20

копеек. Сколько ребят в детском саду?

14. Две группы людей покупали лотерейные билеты. Каждый человек из первой группы купил

столько билетов, сколько было людей в группе. Во второй группе было меньше человек, и

каждый из членов второй группы купил в 2 раза больше билетов, чем число людей во второй

группе. Если бы каждый человек первой группы купил столько билетов, сколько купил один

человек из второй группы и, наоборот, каждый член второй группы купил бы столько билетов,

сколько покупал член первой группы, то общее число купленных билетов уменьшилось бы на

3. Сколько было куплено билетов?

15. Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на один

лист, то ему не хватит альбома, если по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист

останется пустым. Если школьнику подарить еще такой же альбом, на каждом листе которого

наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

16. Докажите, что если , то .

17. Докажите, что при любых

333 cba

1222 cba 3 cba

052

34

42

2

2

2

a

b

b

a

a

b

b

a.0,0 ba

18. Докажите, что ,



21. Докажите неравенства

22. Докажите неравенства:


11 класс

23. Зная длины сторон треугольника, ученик выразил его площадь, и обратил внимание на то, что

значениями длин сторон и площади этого треугольника являются целые числа. Какие размеры

сторон были у треугольника?

24. Найти трехзначное число, зная, что число его десятков есть среднее геометрическое числа

сотен и единиц. Если в его записи поменять местами цифры сотен и единиц и вычесть новое

число из искомого, то разность будет равна 297.

25. Искомое трехзначное число оканчивается цифрой 1. Если ее стереть и затем ее же приписать

в качестве первой цифры числа, то полученное новое трехзначное число будет меньше

искомого на 90. Найти число.

26. Сумму всех четных двузначных чисел разделили на одно из них, кратное 9. Остатка не было.

Получившееся частное отличается от делителя только порядком цифр. Какое двузначное

число являлось делителем?

27. Доказать, что если , то

28. Доказать, что , если x+y+z=1.

29. Доказать неравенство: .

30. Доказать, что если a+b+c=1, то .

31. Группу людей попытались построить в колонну, по 8 человек в ряд, но 1 ряд оказался

неполным. Тогда ту же группу людей построили по 7 человек в ряд; все ряды оказались

полными, а число рядов оказалось на 2 больше. Если бы тех же людей попытались построить

по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на 7 больше, прием 1 ряд был бы неполным. Сколько

людей было в группе?

32. Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км. от А , с постоянной скоростью v

км/ч выходит автобус. Через 30 минут вслед за ним из А со скоростью 20 км/ч выезжает

автомобиль, который догнав в пути автобус, поворачивает обратно и движется с прежней

скоростью. Определите все те значения v, при которых автомобиль возвращается в А позже,

чем автобус приходит в В.

2

1

2

1

2

1

1

1

nnn .2, nNn

nn

1

3

1

2

11 .2, nNn

1)1(

1

32

1

21

1

nn .Nn

ayx 1211 .2ayx

21141414 zyx

3

15log3log2log

2

30

2

30

2

30

15121212 cba

.

;352

;121

aa

aa

.0524222

;064222

22

yxxyyx

yxyx

33. Пункты A, B и C соединены прямолинейными дорогами. К отрезку дороги AB примыкает

квадратное поле со стороной равной 1/2 AB; к отрезку дороги BC примыкает квадратное поле

со стороной, равной BC, а к отрезку дороги AC примыкает прямоугольный участок леса с

длиной, равной AC , а шириной 4 км. Площадь леса на 20 кв.км. больше суммы площадей

квадратных полей. Найдите площадь леса.

34. Автобаза выделила автобусы для перевозки детей в два лагеря отдыха. Часть этих автобусов

повезла детей в один лагерь отдыха, а другая часть, в которой было на 4 автобуса больше, - во

второй. В первом лагере отдыха было 195 детей, а во втором - 255. Известно, что для любых

двух автобусов, везших детей в один лагерь отдыха, количество перевезенных детей

отличалось не более чем на 1, а наибольшая разница в количестве перевезенных детей в двух

автобусах для разных лагерей равна 5. Сколько было автобусов?

35. Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов. Для сборки 6-

квартирного дома необходимо 30 деталей первого и 40 деталей второго вида для 10-

квартирного дома требуется 40 и 60 деталей, а 14-квартирного дома нужно 90 и 120 деталей

первого и второго видов соответственно. Всего имеется 600 деталей первого и 800 деталей

второго вида. Сколько и каких домов надо построить, чтобы общее количество квартир было

наибольшим?

36. Группа студентов решила купить магнитофон ценой от 170 до 195 рублей. Однако в последний

момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из оставшихся пришлось

внести на один рубль больше. Сколько стоил магнитофон?

37. Несколько человек должны были принять участие в экскурсии. Однако в последний момент 2

человека от участия в ней отказались, поэтому каждому из оставшихся экскурсантов пришлось

уплатить за участие в экскурсии на 3 рубля больше, чем планировалось первоначально.

Сколько должен был заплатить каждый экскурсант первоначально, если стоимость экскурсии

больше 70 рублей, но не более 75 рублей?

38. Доказать, что если x+y+z=1, то .

39. Доказать, что , .

40. Доказать, что .


Разработка урока-соревнования

«Математический бой» (для 11-ых классов)

учитель - Осипенко Л.А.

I Предварительная подготовка:

Класс разбивается на две команды (приблизительно равные по силе). В каждой команде

выбирается капитан.

Роль капитана: правильно организовать работу команды, распределить ответственных за

решение каждой задачи. В самом «бое» участие не принимает, а является членом жюри.

II Ход урока (продолжительность 2 часа 40 минут)

1. (3 - 5 минут). Разыгрывается очередность вызова на бой: первой вызывает противника на бой

та команда, чей капитан первым правильно решит предложенную задачу.

2. (2 - 3 минуты). Капитанам раздаются правила проведения боя, система оценки и условия

задач.

3. (1 час - 1час 15 минут). Команды решают предложенные задачи (в разных кабинетах).

4. (1 час - 1час 15 минут). «Математический бой».

5. (5 - 10 минут). Подведение итогов.

III Правила игры

5141414 zyx

cbaacbcab 0,, cba

))(( dbcacdab

22 111 baab Rba ,

Подготовительный этап: за час необходимо решить шесть задач (одинаковые для обеих

команд), распределить, кто за какую задачу «отвечает» (по два человека на задачу), выработать

стратегию боя - то есть установить очередность задач для вызова на «бой».

Математический бой: игру начинает команда, капитан которой победил в

предварительном турнире: за ними право выбора «оружия», то есть задачи. Игра начинается

словами «Мы приглашаем на бой соперников с задачей №…» и зачитывается текст задачи.

После чего выходят представители команды соперников и решают предложенную задачу на

доске. Отвечающие за эту задачу в первой команде, выступают в роли оппонентов: их цель

либо найти ошибку в решении или обосновании решения задачи, либо доказать

нерациональность решения и предложить свое, более рациональное решение.

После «турнира» по первой задаче, вызов делает вторая команда и т.д.

Если вызванная на бой команда не решила данную задачу, то ее решает первая

(вызывающая) команда, вторая оппонирует и теряет «ход», то есть ее опять вызывают на бой.

Если ни одна из команд не может предложить решение какой-либо задачи, то с

вызывающей на бой команды (с этой задачей) снимаются штрафные очки (по решению жюри)

и ход переходит к следующей команде.

В ходе боя капитан имеет право взять один тайм-аут и поговорить с командой.

IV Система оценки

Каждая задача оценивается по десятибалльной системе. Эти баллы распределяются

между командами следующим образом:

если после предложенного командой решения оппоненты противника не смогли найти ошибок

в решении или доказать его нерациональность, все баллы присваиваются этой команде (счет

10: 0);

если оппонентам удалось найти и обосновать ошибку в объяснении решения, то им

присуждается 1-3 балла (счет 9:1, 8:2 или 7:3);

если оппонентам удалось доказать нерациональность решения, то им присуждается 3-5 баллов

(счет 7:3, 6:4 или 5:5);

если оппоненту удалось доказать, что в решении допущена ошибка или решение полностью

неправильное (в этом случае предлагается свое решение и противник автоматически

становится оппонентом), то им присуждается 5-10 баллов (счет 5:5, 4:6, 3:7, 2:8, 1:9 или 0:10).

Каждый из членов жюри заполняет свой протокол. Затем выводится средняя сумма

баллов. Побеждает тот, кто наберет больше баллов.

V Задачи

1. При каких а уравнение и неравенство равносильны?

2. Меньшая диагональ, сторона, и большая диагональ ромба являются последовательными

членами геометрической прогрессии. Найти углы ромба.

3. Решить уравнение


сотен и единиц. Если в его десятичной записи поменять местами цифры сотен и единиц и

вычесть новое число из искомого, то разность будет равна 297.

5. Если в двухмильном забеге жираф может выиграть у носорога 1/8 мили, а носорог способен

опередить гиппопотама на 1/4 мили, то на какое расстояние жираф мог бы опередить

гиппопотама?

6. Построить г. м. т.:

84 xax xx 82

.2)sin3(log2x

x

.sinsin xyxy

Задача для капитанов: Решить уравнение

VI Решение задач

VII Литература

1. Карп А.П. Даю уроки математики… Из опыта работы. - М.: Просвещение, 1992г.

2. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов.- М.:

Просвещение, 1995г.

3. Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов.- М.: Дрофа, 1995г.

Задачи по теме: "Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств."

I Ограниченность функций.

Решить уравнение.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Решиь неравенства.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0|1|)1( 22 xx

;544

sin 2 xxx

;146sin4cos3 2 xxxx

;01cos 22 xyyx

;11

2)()(

2

22

x

xyxctgyxtg

;01cos44 2 xyy

;09)sin(cos232 yxxy

;02)cos(sin22 yytgxxtg

;22

5cos3cos

xx

;1)4cos()cos( xx

;1,,2

sin2

sinsin1

nNnnxx

xn

;2)sin3(log2

xx

;2

3

2

sin

sin

22

2

xx

x

x

xx

;4

5)(arccos)(arcsin)333cos9cossin6sin5(2

222322 xxxxxxy

;1)1(coslog)34( 22

2 xxx

;1)24(log2 22

2

xx

x

;01cos 22 xyyx

;5

12cos)3sin4(log3

xx

;222

1 2

log2

xx

x

;3

sin)6cos4(log3

xx

Решить задачи с параметрами.

1. Найти все а при которых уравнение имеет решение.

2. Найти все целые k при каждом из которых уравнение имеет решения.

3. При каких а>0 уравнение имеет ровно одно решение?

4. Найти все значения параметра a из интервала (2,5), при каждом из которых существует хотя

бы одно число x из отрезка [2,3], удовлетворяющее уравнению

5. Докажите, что при всех a и b имеет место неравенство, и определите, при каких a и b

достигается равенство?

6. Определить, при каких целых k система имеет решения и

найти эти решения.

7. При каких значениях параметра p система имеет

единственное решение?

II Монотонность функций


1) 2) 3)

4) ; 5) 6) ;

7) , 8) ; 9) ;

10) .

2. Решить уравнения вида f(f(x))=x:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3. Решить системы уравнений:

1) 2) 3)

4. Решить уравнения с параметрами:

2)1(cos1 axa

kx

x 32

cos8sin45 22

xa xx sin224

20

,cos3sin44242 22

y

yypppxx

;341)1( 33 xxx ;1)3(7124 335 xxx ;511997 xx

4

513

xx ;21632 xxx 2123 2 xxx

x

x

23

4

3

2

04122)7(4 xx xx xxx 534

xxx

22154154

11 xx 33 1221 xx

1)ln1ln( xx 33 )12(21 xx

.22

,22

,22

23

23

23

xzzz

zyyy

yxxx

.023

,023

,023

3

3

3

zx

yz

xy

.22

77

22

22

yxyx

xyxy

;6

cos)sin3(log2

xax;2

5135

5 2

252

1 bb

a

a

16)(arcsinarccos

4)(arcsinarccos

42

22

xx

kxx

1) ; 2) ; 3) .

5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет три решения.



7. Найти значения параметра а, при каждом из которых число решений уравнения

не превосходит числа решений уравнения

III Четность, периодичность

1. Решить уравнение: .

2. Решить неравенства: а) , б) .

3. Найти все значения параметра а, при которых система

б) только одно решение.

3. При каких значениях а график функции имеет центр симметрии,

принадлежащий оси абсцисс?

4. При каких значениях параметра а число является периодом функции

5. При каких а уравнение имеет единственное решение?

6. При каких а функция является

периодической и имеет наименьший положительный период .

7. Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с

периодом 4 и на промежутке ее значения вычисляются по правилу f(x)=2x(x+2).

Решить уравнение .

555 2axaxa baxbxa 22 737 axax

0231

1log3)1|34(|log9

22|34|32

2

22

aaxx xxaa

0)2||2(log2)32(log43

122

3

|| 2

axxx xxax

xaax )29(1)(3 222

.32

13log)48(3)23( 3

32 xax aax

0|cos|2||3 xxtg

x

x

x

)2(log1

12

6 2

1

log2

12

6 3

x

x

x

;1sin

,cos)1|(|)

24 yx

xyaxa

1

,||222

2||

yx

axyxx

xaxaxy )2(63

2

?

2sin3

2cos

xa

xy

xax cossin1 2

53

1)99(

2

5sin

1

1)(

2

223

2

2

ax

axaaa

x

a

axf

5

4

02 x

04)64(3)16(2 xfxf




ИГУ г.Иркутска от 30.08.2016 г. № 136/7


«Нестандартные задачи элементарной математики»

для 10-11 физико-математических классов













Количество часов в год 68 66 134 часов

Уровень подготовки учащихся - профильный; с углубленной подготовкой.







Содержание программы для 10-11 физико-математических классов

10 класс


Целые числа. Делимость целых чисел. Признаки делимости. Деление целых чисел с

остатком. Решение уравнений в целых числах. Решение текстовых задач на составление

уравнений и неравенств в целых числах. Метод математической индукции.

Рациональные и иррациональные числа. Замкнутость множества рациональных чисел.

Доказательство существования иррациональных чисел. Действительные числа. Модуль

действительного числа и его свойства. Доказательство числовых неравенств.


Решение алгебраических уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Решение

линейных уравнений и систем линейных уравнений с параметрами. Квадратный трехчлен в

задачах с параметрами. Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси. Отбор

корней квадратного трехчлена. Решение алгебраических уравнений с параметрами

аналитическими методами.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функции. Тригонометрические

уравнения с параметрами.


Построение графиков функций и геометрических мест точек, удовлетворяющих заданным

условиям. Решение уравнений и неравенств с параметрами методом сечений. Решение

уравнений и неравенств с параметрами методом областей.

11 класс

I Действительные числа (10 часа)

Делимость целых чисел. Решение уравнений в целых числах.

Доказательство числовых неравенств. Неравенство Коши-Буняковского, использование

неравенств для оценки значений функции.

II Уравнения и неравенства (30 часа)

Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений и иррациональных

уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений с параметрами. Квадратный

трехчлен в задачах с параметрами. Функциональные методы решения.

Решение трансцендентных уравнений и неравенств и их систем. Решение трансцендентных

уравнений и неравенств с параметрами.

III Графики и графические методы (26 часа)

Построение графиков сложных функций. и геометрических мест точек, удовлетворяющих

заданным условиям. Решение уравнений и неравенств с параметрами методом сечений.

Решение уравнений и неравенств с параметрами методом областей.


10 класс

Номер


Кол-во

часов

Контроль

I Действительные числа 24

1, 2 Метод математической индукции. 2

3, 4 Суммирование. 2

5, 6 Доказательство числовых неравенств. 2

7, 8 Применение метода математической индукции. 2

9, 10 Делимость целых чисел. 2



13, 14 Сравнение целых чисел по их остаткам. 2

15, 16 Иррациональные числа. 2


19 - 22 Решение текстовых задач. 3

23 Текстовые задачи с целочисленными данными. 1


II Решение уравнений и неравенств 22

25, 26 Решение алгебраических уравнений с модулем. 2

27, 28 Решение алгебраических неравенств с модулем. 2

29, 30 Расположение корней квадратного трехчлена на

числовой оси. 2

31, 32 Отбор корней квадратного трехчлена. 2

33 - 36 Решение алгебраических уравнений с

параметрами аналитическим методом. 4


свойств функции (монотонность) 2


свойств функции (ограниченность) 2


свойств функции (четность, периодичность.) 1

42, 43 Тригонометрические уравнения с параметрами. 2

44, 45 Определение количества корней

тригонометрических уравнений с параметрами. 2


III Графики и графические методы 22

47, 48 Построение графиков функции инверсией

относительно оси OX. 2

49, 50 Решение задач на построение. 2

51 - 54

Построение геометрических мест точек, заданных

алгебраическими уравнениями и неравенствами,

содержащими знак модуля.

4

55, 56 Метод сечений для решения задач с параметрами. 2

57, 58 Применение метода сечений для решения

уравнений, содержащих параметры. 2

59, 60 Метод областей в задачах с параметрами. 2

61, 62 Решение простейших задач методом областей. 2

63 Решение задач методом областей. 1

64 - 66 Решение задач с параметрами 3

67 Итоговая контрольная работа. 1

68 Разбор ошибок. 1

11 класс,

Номер

урока


часов

Контроль

Тема 1. Действительные числа 10

1, 2 Делимость чисел 2

3, 4 Решение уравнений в целых числах. 2

5, 6 Доказательство числовых неравенств. 2

7, 8 Неравенство Коши-Буняковского 2

9 Решение задач по теме «Действительные числа» 1


Тема 2. Решение уравнений и неравенств 30

11, 12 Нестандартные способы решения

тригонометрических уравнений. 2

13, 14 Применение ограниченности тригонометрических

функций. 2

15, 16 Нестандартные способы решения иррациональных

уравнений и неравенств. 2

17, 18 Функциональные методы решения

иррациональных уравнений и неравенств. 2





23, 24 Решение трансцендентных уравнений с


25, 26 Квадратный трёхчлен в задачах с параметрами. 2

27, 28 Решение задач с параметрами с использованием

четности функций. 2


монотонности функций. 2


ограниченности функций. 2


периодичности функций. 2

35, 36 Решение текстовых задач. 2

37, 38 Текстовые задачи с параметрами. 2



Тема 3. Графики и графические методы 26

41 - 44 Построение графиков сложных функций. 4

45, 46 Построение графиков инверсией относительно оси

Ох. 2

47 - 51 Построение геометрических мест точек, заданных

трансцендентными уравнениями и неравенствами. 5

52, 53 Применение метода сечений семействами линий

у = ах . 2


у = (х + а)2 . 2


х2 + у2 = а2 2

58, 59 Решение задач методом сечений. 2

60 - 62 Применение метода областей для решения задач с




65, 66 Решение задач с параметрами. 2


По разделу «Действительные числа»


основную теорему арифметики;

признаки делимости;

основные числовые неравенства;

метод математической индукции.


об использовании в задачах основной теоремы арифметики и признаков делимости;

о сравнении целых чисел по их остаткам при делении на некоторое натуральное

число;

о различных применениях метода математической индукции в алгебраических

задачах.


решать задачи с использованием основной теоремы арифметики и признаков дели-

мости;

сравнивать целые числа по их остаткам при делении на некоторое натуральное число;

применять метод математической индукции в задачах на делимость, суммирование и

доказательство неравенств.






определение алгебраических и трансцендентных чисел;


основные свойства элементарных функций;




















о семействах линий у = а, у = |x+a|.



плоскости, задаваемых алгебраическими уравнениями, неравенствами, содержащими


о возможных применениях метода инверсии к построению графиков функций у =

1/f(x);

о методе сечений семейством линий у = а, у = |x+a|.


строить геометрические места точек, задаваемые алгебраическими уравнениями, не-

равенствами, содержащими знак модуля;

строить графики функций у = 1/f(x) методом инверсии;


семейством линий у = а, у = |x+a|;

решать простейшие задачи с параметром методом областей;








основные свойства элементарных функций.





о различных подходах к решению трансцендентных уравнений и систем уравнений с

параметрами;













решать трансцендентные уравнения с параметрами, сводящиеся к задаче на иссле-

дование квадратного трехчлена;

определять количество решений системы в зависимости от параметра, используя

свойства симметричности системы относительно переменных





о семействах линий у = ах, у = (х + а)2, х2 + у2 = a2.



плоскости, задаваемых трансцендентными уравнениями, неравенствами;

о возможных применениях метода построения графиков сложных функций;

о методе сечений семейством линий у = ах, у = (х + а)2, х2 + у2 = a2.


строить геометрические места точек, задаваемые трансцендентными уравнениями,

неравенствами;

строить графики сложных функций;

производить отбор корней уравнений с параметрами методом областей;


семейством линий у = ах, у = (х + а)2, х2 + у2 = a2.






10 класс

Первый срез знаний.

1. При каких значениях параметра а система неравенств не имеет решений?

2. Найти все значения параметра а, для каждого из которых числа х и у,

удовлетворяющие системе неравенств , удовлетворяют также

неравенству .

3. Решить уравнение .

Контрольная работа № 1.


расположен на интервале ?

6. При каких значениях параметра а система неравенств

не имеет решений?

5

3

x

ax

52

7

yx

ayx

2 yx

322 xax

0)1()1( 2 axaxa )3;0(

0245

05)52(2

22

xx

aaxax


8. Решите уравнение и найдите все значения а,

при которых это уравнение на отрезке [a , a + 5] имеет ровно три различных

корня.


2. Найдите все положительные значения параметра а , при каждом из которых

уравнение имеет ровно два корня.

3. Найти все значения а, при которых наибольшее значение функции

равно 3.

3. Найдите все значения параметра а , при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

4. Найти все значения параметра а , при которых справедливы оба утверждения:

а) уравнение имеет ровно одно решение;

б) неравенство имеет хотя бы одно решение.

11 класс



4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

0cossin342 222 xxaa выполняется при всех х?

3. Найдите все значения х, которые удовлетворяют неравенству

63)519()72( 2 axaxa при любом значении параметра а, принадлежащем

промежутку (4 , 5).

4. Найдите все значения параметра а , при каждом из которых неравенство

1062 axx не имеет решений на отрезке 6 , aa .

Зачетная работа № 2

1. Найти все значения параметра а , при каждом из которых система

25)6()4(

1

22 yx

axу имеет ровно три различных решения.

2. Множество М состоит из всех точек плоскости, координаты которых

удовлетворяют системе неравенств:

02

2)2(2

ayx

yxax . Определите, при каких

значениях параметра а множество М содержит отрезок [-1 , 0] оси Ох .

3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения

4. Найдите все значения параметра а , при каждом из которых уравнение

024101 2 xxaxa имеет чётное число решений.

023

cos53

cos2)12( 2

xxx

)(351 axx

13)432(log))432(log2()( 222

22 aaxxxxaxf

074

|144|1232

axay

yxyx

01 xax

0182 axx




10 класс

42. Доказать, что при делении квадрата натурального числа на 3 не может получиться остаток,

равный 2.

43. Доказать, что сумма нечетных степеней двух последовательных натуральных чисел, не

делящихся на 3, кратна 3.

44. Доказать, что при делении квадрата натурального числа на 3 не может получиться остаток,

равный 2.

45. Доказать, что сумма нечетных степеней двух последовательных натуральных чисел, не

делящихся на 3, кратна 3.

46. Найти натуральное число, если его квадрат оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.

47. Какие остатки могут давать точные квадраты при делении на 3 и 4?

48. Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами равняться 23?

49. Длины всех сторон прямоугольного треугольника - целые числа. Могут ли длины катетов

быть нечетными числами?

50. В десятичной записи 12-значного числа N цифры 2 и 9 встречаются по два раза, а

остальные - по одному разу. Может ли N быть точным квадратом?

51. В десятичной записи числа 300 единиц и несколько нулей (а других цифр нет). Может ли

это число быть точным квадратом?

52. На какие целые k можно сократить дробь где l -целое число.

53. Доказать, что при любом целом n выражение делится на 6.

54. Доказать, что если a+b+c делится на 6, то и делится на 6..

55. Даны два трехзначных числа, причем ни одно из них не делится на 37, а сумма их делится

на 37. Приписав одно из чисел к другому, получаем некоторое шестизначное число.

Докажите, что оно делится на 37.

56. Даны два трехзначных числа, дающие одинаковые остатки при делении на 7. Приписав

одно из чисел к другому, получаем некоторое шестизначное число. Докажите, что оно

делится на 7.

57. Из трех различных цифр получают шесть трехзначных чисел, всевозможным образом

переставляя эти цифры. Доказать, что если среди этих шести чисел найдется число,

делящееся на 37, то обязательно среди них будут и еще два числа, делящиеся на 37.

58. Есть только два двузначных числа, обладающих следующим свойством: каждое число

равно неполному квадрату суммы своих цифр. Требуется найти эти числа, если известно

что второе число на 50 единиц больше первого.

59. Задумано целое положительное число. К его цифровой записи приписана справа какая-то

цифра. Из получившегося нового числа вычли квадрат задуманного числа. Какое число

задумано и какая цифра была приписана?

60. В цифровой записи некоторого задуманного положительного числа приписали справа еще

какое-то положительное однозначное число. Из получившегося таким образом нового

числа вычли квадрат задуманного числа. Эта разность оказалась больше задуманного

числа во столько раз, сколько составляет дополнение приписанного числа до 11. Требуется

доказать, что так будет получаться тогда и только тогда, когда приписанное число равно

задуманному.

61. Какое двузначное число меньше суммы квадратов его цифр на 11 и больше их удвоенного

произведения на 5?

62. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3 и в

остатке 8. Если число, составленное из тех же цифр, но записанных в обратном порядке,

разделить на произведение цифр, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найти это число.

,13

15

l

l

nnn 732 23 333 cba

63. Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту цифру перенести с первого

места на последнее, сохранив порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число

будет в трое больше первоначального. Найти первоначальное число.

64. Принятых в институт первокурсников первоначально распределили поровну по учебным

группам. В связи с сокращением числа специальностей количество групп уменьшилось на

9, всех первокурсников перераспределили по новым группам, причем так, что группы

снова получились равные по численности. Известно, что всего 1512 первокурсников и

число студентов в группе стало меньше 28. Сколько стало групп?

65. Четыре школьника сделали в магазине канцелярских товаров следующие покупки: первый

купил пенал и ластик, заплатив 40к.; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12к.;

третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 к.; четвертый купил пенал и

тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?

66. 200г), и по 13 копеек (порция массой 100г), а стоимость находящегося на лотке

мороженного равна 28р. 99к., общая масса 21,1 кг. Сколько в лотке порций мороженого?

(Цены 1985 года.)

67. В детский сад привезли мороженое четырех видов. Каждый ребенок должен получить

только одну порцию мороженого. Ребята сами выбирали мороженое. Оказалось, что число

выбранных порций каждого вида равно цене в копейках одной порции этого же вида.

Число выбранных порций второго вида больше числа выбранных порций первого вида на

столько, на сколько число выбранных порций четвертого вида больше числа выбранных

порций третьего вида. Порций первого и третьего видов вместе было выбрано на 4 меньше,

чем порций второго и четвертого видов. За выбранное детьми мороженное уплатили 4

рубля 20 копеек. Сколько ребят в детском саду?

68. Две группы людей покупали лотерейные билеты. Каждый человек из первой группы купил

столько билетов, сколько было людей в группе. Во второй группе было меньше человек, и

каждый из членов второй группы купил в 2 раза больше билетов, чем число людей во

второй группе. Если бы каждый человек первой группы купил столько билетов, сколько

купил один человек из второй группы и, наоборот, каждый член второй группы купил бы

столько билетов, сколько покупал член первой группы, то общее число купленных билетов

уменьшилось бы на 3. Сколько было куплено билетов?

69. Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на

один лист, то ему не хватит альбома, если по 23 марки на лист, то по крайней мере один

лист останется пустым. Если школьнику подарить еще такой же альбом, на каждом листе

которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в

альбоме?

70. Докажите, что если , то .

71. Докажите, что при любых




75. Докажите неравенства

1222 cba 3 cba

052

34

42

2

2

2

a

b

b

a

a

b

b

a.0,0 ba

2

1

2

1

2

1

1

1

nnn .2, nNn

nn

1

3

1

2

11 .2, nNn

1)1(

1

32

1

21

1

nn .Nn

.44321

;2321

;352

;121

aaaa

aaa

aa

aa

76. Докажите неравенства:

Разработка урока-соревнования

«Математический бой» (для 11-ых классов)

учитель - Осипенко Л.А.

I Предварительная подготовка:

Класс разбивается на две команды (приблизительно равные по силе). В каждой команде

выбирается капитан.

Роль капитана: правильно организовать работу команды, распределить ответственных за

решение каждой задачи. В самом «бое» участие не принимает, а является членом жюри.

II Ход урока (продолжительность 2 часа 40 минут)

6. (3 - 5 минут). Разыгрывается очередность вызова на бой: первой вызывает противника

на бой та команда, чей капитан первым правильно решит предложенную задачу.

7. (2 - 3 минуты). Капитанам раздаются правила проведения боя, система оценки и

условия задач.

8. (1 час - 1час 15 минут). Команды решают предложенные задачи (в разных кабинетах).

9. (1 час - 1час 15 минут). «Математический бой».

10. (5 - 10 минут). Подведение итогов.

III Правила игры

Подготовительный этап: за час необходимо решить шесть задач (одинаковые для обеих

команд), распределить, кто за какую задачу «отвечает» (по два человека на задачу), выработать

стратегию боя - то есть установить очередность задач для вызова на «бой».

Математический бой: игру начинает команда, капитан которой победил в

предварительном турнире: за ними право выбора «оружия», то есть задачи. Игра начинается

словами «Мы приглашаем на бой соперников с задачей №…» и зачитывается текст задачи.

После чего выходят представители команды соперников и решают предложенную задачу на

доске. Отвечающие за эту задачу в первой команде, выступают в роли оппонентов: их цель либо

найти ошибку в решении или обосновании решения задачи, либо доказать нерациональность

решения и предложить свое, более рациональное решение.

После «турнира» по первой задаче, вызов делает вторая команда и т.д.

Если вызванная на бой команда не решила данную задачу, то ее решает первая

(вызывающая) команда, вторая оппонирует и теряет «ход», то есть ее опять вызывают на бой.

Если ни одна из команд не может предложить решение какой-либо задачи, то с

вызывающей на бой команды (с этой задачей) снимаются штрафные очки (по решению жюри)

и ход переходит к следующей команде.

В ходе боя капитан имеет право взять один тайм-аут и поговорить с командой.

IV Система оценки

Каждая задача оценивается по десятибалльной системе. Эти баллы распределяются между

командами следующим образом:

если после предложенного командой решения оппоненты противника не смогли найти

ошибок в решении или доказать его нерациональность, все баллы присваиваются этой

команде (счет 10: 0);

если оппонентам удалось найти и обосновать ошибку в объяснении решения, то им

присуждается 1-3 балла (счет 9:1, 8:2 или 7:3);

если оппонентам удалось доказать нерациональность решения, то им присуждается 3-5

баллов (счет 7:3, 6:4 или 5:5);

.0524222

;064222

22

yxxyyx

yxyx

если оппоненту удалось доказать, что в решении допущена ошибка или решение

полностью неправильное (в этом случае предлагается свое решение и противник

автоматически становится оппонентом), то им присуждается 5-10 баллов (счет 5:5, 4:6,

3:7, 2:8, 1:9 или 0:10).

Каждый из членов жюри заполняет свой протокол. Затем выводится средняя сумма баллов.

Побеждает тот, кто наберет больше баллов.

V Задачи

7. При каких а уравнение и неравенство равносильны?

8. Меньшая диагональ, сторона, и большая диагональ ромба являются последовательными

членами геометрической прогрессии. Найти углы ромба.

9. Решить уравнение


сотен и единиц. Если в его десятичной записи поменять местами цифры сотен и единиц и

вычесть новое число из искомого, то разность будет равна 297.

11. Если в двухмильном забеге жираф может выиграть у носорога 1/8 мили, а носорог способен

опередить гиппопотама на 1/4 мили, то на какое расстояние жираф мог бы опередить

гиппопотама?

12. Построить г. м. т.:

Задача для капитанов: Решить уравнение

VI Решение задач

VII Литература

4. Карп А.П. Даю уроки математики… Из опыта работы. - М.: Просвещение, 1992г.

5. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов.-

М.: Просвещение, 1995г.

6. Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов.- М.: Дрофа, 1995г.


11 класс

77. Зная длины сторон треугольника, ученик выразил его площадь, и обратил внимание на то,

что значениями длин сторон и площади этого треугольника являются целые числа. Какие

размеры сторон были у треугольника?


сотен и единиц. Если в его записи поменять местами цифры сотен и единиц и вычесть

новое число из искомого, то разность будет равна 297.

79. Искомое трехзначное число оканчивается цифрой 1. Если ее стереть и затем ее же

приписать в качестве первой цифры числа, то полученное новое трехзначное число будет

меньше искомого на 90. Найти число.

80. Сумму всех четных двузначных чисел разделили на одно из них, кратное 9. Остатка не

было. Получившееся частное отличается от делителя только порядком цифр. Какое

двузначное число являлось делителем?

81. Доказать, что число есть квадрат некоторого числа. Найти .

82. Доказать, что сумма есть квадрат натурального числа.

83. Доказать, что если , то

84. Доказать, что , если x+y+z=1.

84 xax xx 82

.2)sin3(log2x

x

.sinsin xyxy

0|1|)1( 22 xx

nn

N 2222221111112

N

1

05100011111

mm

ayx 1211 .2ayx

21141414 zyx

85. Доказать неравенство: .

86. Доказать, что если a+b+c=1, то .

87. Группу людей попытались построить в колонну, по 8 человек в ряд, но 1 ряд оказался

неполным. Тогда ту же группу людей построили по 7 человек в ряд; все ряды оказались

полными, а число рядов оказалось на 2 больше. Если бы тех же людей попытались

построить по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на 7 больше, прием 1 ряд был бы

неполным. Сколько людей было в группе?

88. Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км. от А , с постоянной скоростью

v км/ч выходит автобус. Через 30 минут вслед за ним из А со скоростью 20 км/ч выезжает

автомобиль, который догнав в пути автобус, поворачивает обратно и движется с прежней

скоростью. Определите все те значения v, при которых автомобиль возвращается в А

позже, чем автобус приходит в В.

89. Пункты A, B и C соединены прямолинейными дорогами. К отрезку дороги AB примыкает

квадратное поле со стороной равной 1/2 AB; к отрезку дороги BC примыкает квадратное

поле со стороной, равной BC, а к отрезку дороги AC примыкает прямоугольный участок

леса с длиной, равной AC , а шириной 4 км. Площадь леса на 20 кв.км. больше суммы

площадей квадратных полей. Найдите площадь леса.

90. Автобаза выделила автобусы для перевозки детей в два лагеря отдыха. Часть этих

автобусов повезла детей в один лагерь отдыха, а другая часть, в которой было на 4 автобуса

больше, - во второй. В первом лагере отдыха было 195 детей, а во втором - 255. Известно,

что для любых двух автобусов, везших детей в один лагерь отдыха, количество

перевезенных детей отличалось не более чем на 1, а наибольшая разница в количестве

перевезенных детей в двух автобусах для разных лагерей равна 5. Сколько было

автобусов?

91. Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов. Для сборки 6-

квартирного дома необходимо 30 деталей первого и 40 деталей второго вида для 10-

квартирного дома требуется 40 и 60 деталей, а 14-квартирного дома нужно 90 и 120 деталей

первого и второго видов соответственно. Всего имеется 600 деталей первого и 800 деталей

второго вида. Сколько и каких домов надо построить, чтобы общее количество квартир

было наибольшим?

92. Группа студентов решила купить магнитофон ценой от 170 до 195 рублей. Однако в

последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из

оставшихся пришлось внести на один рубль больше. Сколько стоил магнитофон?

93. Несколько человек должны были принять участие в экскурсии. Однако в последний

момент 2 человека от участия в ней отказались, поэтому каждому из оставшихся

экскурсантов пришлось уплатить за участие в экскурсии на 3 рубля больше, чем

планировалось первоначально. Сколько должен был заплатить каждый экскурсант

первоначально, если стоимость экскурсии больше 70 рублей, но не более 75 рублей?

94. Доказать, что если x+y+z=1, то .




3

15log3log2log

2

30

2

30

2

30

15121212 cba

5141414 zyx

cbaacbcab 0,, cba

))(( dbcacdab

22 111 baab Rba ,

98. Доказать, используя неравенство Коши-Буняковского, что


100. Могут ли числа 10, 11, 12 быть членами одной геометрической прогрессии?

Задачи по теме: "Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств."

I Ограниченность функций.

Решить уравнение.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

Решиь неравенства.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Решить задачи с параметрами.

8. Найти все а при которых уравнение имеет решение.

9. Найти все целые k при каждом из которых уравнение имеет

решения.

10. При каких а>0 уравнение имеет ровно одно решение?

.5cos4sin3

1coscoscossinsinsin zyxzyx

;544

sin 2 xxx

;146sin4cos3 2 xxxx

;01cos 22 xyyx

;11

2)()(

2

22

x

xyxctgyxtg

;01cos44 2 xyy

;09)sin(cos232 yxxy

;02)cos(sin22 yytgxxtg

;22

5cos3cos

xx

;1)4cos()cos( xx

;1,,2

sin2

sinsin1

nNnnxx

xn

;2)sin3(log2

xx

;2

3

2

sin

sin

22

2

xx

x

x

xx

;4

5)(arccos)(arcsin)333cos9cossin6sin5(2

222322 xxxxxxy

;1)1(coslog)34( 22

2 xxx

;1)24(log2 22

2

xx

x

;01cos 22 xyyx

;5

12cos)3sin4(log3

xx

;222

1 2

log2

xx

x

;3

sin)6cos4(log3

xx

2)1(cos1 axa

kx

x 32

cos8sin45 22

xa xx sin224

11. Найти все значения параметра a из интервала (2,5), при каждом из которых существует

хотя бы одно число x из отрезка [2,3], удовлетворяющее уравнению

12. Докажите, что при всех a и b имеет место неравенство, и определите, при каких a и b

достигается равенство?

13. Определить, при каких целых k система имеет решения и

найти эти решения.

14. При каких значениях параметра p система

имеет единственное решение?

II Монотонность функций


2) 2) 3)

5) ; 5) 6) ;

8) , 8) ; 9) ;

11) .

4. Решить уравнения вида f(f(x))=x:

2) ; 2) ;

4) ; 4) .

5. Решить системы уравнений:

2) 2) 3)

8. Решить уравнения с параметрами:

2) ; 2) ; 3) .





11. Найти значения параметра а, при каждом из которых число решений уравнения

не превосходит числа решений уравнения

20

,cos3sin44242 22

y

yypppxx

;341)1( 33 xxx ;1)3(7124 335 xxx ;511997 xx

4

513

xx ;21632 xxx 2123 2 xxx

x

x

23

4

3

2

04122)7(4 xx xx xxx 534

xxx

22154154

11 xx 33 1221 xx

1)ln1ln( xx 33 )12(21 xx

.22

,22

,22

23

23

23

xzzz

zyyy

yxxx

.023

,023

,023

3

3

3

zx

yz

xy

.22

77

22

22

yxyx

xyxy

555 2axaxa baxbxa 22 737 axax

0231

1log3)1|34(|log9

22|34|32

2

22

aaxx xxaa

0)2||2(log2)32(log43

122

3

|| 2

axxx xxax

xaax )29(1)(3 222

.32

13log)48(3)23( 3

32 xax aax

;6

cos)sin3(log2

xax;2

5135

5 2

252

1 bb

a

a

16)(arcsinarccos

4)(arcsinarccos

42

22

xx

kxx

III Четность, периодичность

4. Решить уравнение: .

5. Решить неравенства: а) , б) .

6. Найти все значения параметра а, при которых система

б) только одно решение.

8. При каких значениях а график функции имеет центр симметрии,

принадлежащий оси абсцисс?

9. При каких значениях параметра а число является периодом функции

10. При каких а уравнение имеет единственное решение?

11. При каких а функция является

периодической и имеет наименьший положительный период .

12. Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с

периодом 4 и на промежутке ее значения вычисляются по правилу f(x)=2x(x+2).

Решить уравнение .

0|cos|2||3 xxtg

x

x

x

)2(log1

12

6 2

1

log2

12

6 3

x

x

x

;1sin

,cos)1|(|)

24 yx

xyaxa

1

,||222

2||

yx

axyxx

xaxaxy )2(63

2

?

2sin3

2cos

xa

xy

xax cossin1 2

53

1)99(

2

5sin

1

1)(

2

223

2

2

ax

axaaa

x

a

axf

5

4

02 x

04)64(3)16(2 xfxf



Утверждено приказом директора МАОУ Лицей ИГУ

г .Иркутска от 30.08.2016 № 136/7


«Решение олимпиадных задач по математике»

для 10-11 классов


Составитель программы: Кузьмин О.В., учитель математики



Рабочая программа разработана на основе федерального компонента государственного

образовательного стандарта (ФК ГОС 2004) для классов с углубленным изучением

математики.


10 класс 11 класс Всего

Количество учебных недель 34 33 67


Количество часов в год 68 66 134

Уровень подготовки учащихся - углубленный





классов, в качестве приложения 1 программы включены оценочные материалы, приложения

2 – методические материалы.


10 класс

Раздел I. Инварианты и принцип Дирихле (18 часов) Преобразования, инварианты преобразований. Четность и нечетность.

Делимость и остатки.

Принцип Дирихле. Метод раскрашивания.

Раздел II. Логические задачи (8 часов) Понятие графа. Решение логических задач при помощи графов.

Решение нестандартных логических задач.

Раздел III. Комбинаторика расположений (22 часа) Элементы комбинаторики расположений. Расположения и покрытия.

Решения задач, связанных с расположениями на шахматной доске.

Раздел IV. Аналитические и графические методы (20 часов) Решение текстовых задач.

Целая и дробная части числа. Решение уравнений с целой и дробной частями числа.

Неравенство Коши. Доказательство числовых неравенств.

Итоговый контроль. Итоговая олимпиада

11 класс

Раздел I. Аналитические методы (16 часов) Решение уравнений и неравенств в целых числах, с целой и дробной частями числа.

Неравенство Коши-Буняковского. Доказательство неравенств нестандартными методами.

Решение текстовых задач.

Раздел II. Инварианты и полуинварианты (18 часов) Инварианты и полуинварианты преобразований.

Использование метода раскрашивания при поиске инвариантов и полуинвариантов.

Исследование чисел на делимость и нахождение остатков при поиске инвариантов и

полуинвариантов.

Обобщенный принцип Дирихле.

Раздел III. Логические задачи (8 часов) Логические задачи на нахождение оптимальной стратегии.

Решение логических задач на переливания и взвешивания.

Раздел IV. Комбинаторика расположений (24 часа) Методы комбинаторики расположений.

Расположения и покрытия.

Решения задач, связанных с расположениями на шахматной доске.

Итоговый контроль. Итоговая олимпиада


10 класс

Номер


Кол-во

часов

Контроль

Раздел 1. Инварианты и принцип Дирихле 18

1 Понятие инварианта. Четность и нечетность. 1

2 Решение логических задач на инвариант. 1

3, 4 Решение задач на четность и нечетность. 2

5 Делимость и остатки. 1

6 - 8 Решение задач на делимость и остатки. 3

9 Принцип Дирихле. 1

10 - 14 Решение задач на принцип Дирихле. 5

15 Метод раскрашивания. 1

16 - 18 Решение задач на метод раскрашивания. 3

Раздел 2. Логические задачи 8

19 Нестандартные логические задачи. 1

20 - 22 Решение нестандартных логических задач. 3

23 Понятие графа. Основные свойства графа. 1

24 - 26 Решение логических задач с помощью графов. 3

Раздел 3. Комбинаторика расположений 22

27 - 32 Элементы комбинаторики расположений. 6

33 Расположения и покрытия. 1

34 -38 Задачи на расположения и покрытия. 5

39 Расположения на шахматной доске. 1

40 - 48 Задачи на расположения на шахматной доске. 9

Раздел 4. Аналитические и графические методы 20

49 Текстовые задачи. 1


53 Целая и дробная части числа. 1

54 Решение уравнений с целой частью. 1

55 Решение уравнений с дробной частью. 1

56 Уравнений с целой и дробной частями. 1

57 Неравенство Коши. 1

58 - 60 Решение задач на неравенство Коши. 3

61 Числовые неравенства. 1

62 - 64 Доказательство числовых неравенств. 3

65 - 68 Итоговая олимпиада 4

11 класс

Номер


Кол-во

часов

Контроль

Раздел 1. Аналитические методы 16


2 Решение неравенств в целых числах. 1

3 Решение уравнений с целой и дробной частями

числа. 1

4 Неравенства с целой и дробной частями числа. 1

5 Неравенство Коши-Буняковского. 1

6 - 8 Решение задач на неравенство Коши-

Буняковского. 3

9 Нестандартные методы доказательства неравенств. 1

10 - 12 Нестандартные доказательства неравенств. 3

13 Текстовые задачи. 1


Раздел 2. Инварианты и полуинварианты 18

17 Инварианты и полуинварианты. 1

18, 19 Решение задач с помощью инварианта. 2

20 Решение задач с помощью полуинварианта. 1

21 - 24 Использование метода раскрашивания при поиске

инвариантов и полуинвариантов. 4

25 Основные методы исследования чисел на

делимость и нахождение остатков при поиске

инвариантов и полуинвариантов.

1

26 Решение задач на делимость при поиске

инвариантов. 1

27 Решение задач на нахождение остатков при поиске

инвариантов. 1

28 Решение задач на делимость и нахождение

остатков при поиске полуинвариантов. 1

29 Обобщенный принцип Дирихле 1

30 - 34 Решение задач на обобщенный принцип Дирихле. 5

Раздел 3. Логические задачи 8

35 Логические задачи на нахождение оптимальной

стратегии. 1

36 - 38 Решение задач на оптимальные стратегии. 3

39 Задачи на переливание. 1

40 - 42 Решение задач на переливания. 3

Раздел 4. Комбинаторика расположений 24

43 - 48 Методы комбинаторики расположений. 6

49 - 51 Решение задач на расположения. 3

52 - 54 Решение задач на покрытия. 3

55 Расположения на шахматной доске. 1

56 - 64 Задачи на расположения на шахматной доске. 9

65, 66 Итоговая олимпиада 2

Требования к уровню подготовки учащихся


о специфике нестандартных и олимпиадных задач.

Знать:

основные методы решения задач, предлагаемых на школьном и районном этапах

Всероссийской олимпиады школьников по математике

Уметь:

анализировать условия олимпиадных задач, выявляя ключевые идеи и этапы их

предполагаемого решения;

применять изученные методы при решении заданий школьного и районного этапов

математической олимпиады школьников;

проводить последовательные логические умозаключения как при построении

решения заданий олимпиады, так и его оформлении.



Примерные задания для итоговой (лицейской) олимпиады

10 класс

1. Петя к числу 400 приписал справа четырехзначное число и в результате получил

полный квадрат. Какое число приписал Петя? Найдите все варианты.


1

1

11

1

1

2

1

ххххх.

3. Числа x, y и z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

Докажите, что (x + y + z)(x – y + z) = x2 + y2 + z2.

4. Через одну точку окружности проведены две хорды a и b. Их концы соединены.

Площадь полученного треугольника S. Найдите радиус окружности, если угол между хордами

тупой.

Примерные задания для итоговой (лицейской) олимпиады

11 класс

1. Сумма нескольких последовательных натуральных чисел равна 2003. Найдите

количество этих чисел (все возможные случаи).

2. Доказать неравенство baa

b

b

a

22

для всех положительных значений


3. Решите уравнение x2 – 2хsinxy + 1 = 0.

4. Около окружности радиуса r описан правильный 12-угольник А1А2 … А12.

Докажите, что А1А2 + А1А4 = 2r.



Примеры задач по темам курса

Поиск родственных задач

1. В угловой клетке таблицы 5 х 5 стоит плюс, а в остальных клетках стоят минусы.

Разрешается в любой строке или любом столбце поменять все знаки на противоположные.

Можно ли за несколько таких операций сделать все знаки плюсами?

2. Постройте общую внешнюю касательную к двум окружностям.

3. Легко распилить кубик 3 х 3 х 3 на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить

число распилов, если разрешается перекладывать части перед тем как их пилить?

4. Докажите, что в выпуклом n-угольнике сумма внутренних углов равна 180о(n – 2).

5. Докажите, что n(n + 1)(n + 2) делится на 6 при любом целом n.

6. Решите уравнение (x2 + x – 3)2 + 2x2 + 2x – 5 = 0.

7. Постройте окружность, касательную к трём данным.

Доказательство от противного

1. Существует ли самое большое число?

2. Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов

поровну.

3. Докажите, что не существует треугольной пирамиды, у которой к каждому ребру примыкает

тупой угол на одной из граней.

4. По кругу расставлены 100 чисел. Известно, что каждое число равно среднему

арифметическому двух соседних. Докажите, что все числа равны.

5. На плоскости отмечено несколько точек. Известно, что любые четыре из них являются

вершинами выпуклого многоугольника.

6. Докажите, что если (m – 1)! + 1 делится на m, то число m – простое.

7. Существует ли выпуклый многоугольник, у которого больше трёх острых углов?

8. Докажите, что не существует многогранника, у которого число граней нечётно и каждая

грань имеет нечётное число вершин.

Подсчёт двумя способами

1. Можно ли расставить числа в квадратной таблице 5 х 5 так, чтобы сумма чисел в каждой

строке была положительной, а в каждом столбце отрицательной?

2. В классе 27 человек. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка – с

пятью мальчиками. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?

Ответ: 15 мальчиков, 12 девочек.

3. Найдите сумму геометрической прогрессии S = 1 + 3 + 9 +…+ 3n.

4. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

5. Можно ли соединить 5 городов дорогами так, чтобы каждый город был соединён с тремя

другими?

6. В каждой клетке прямоугольной таблицы размером m x k клеток написано число. Сумма

чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 1. Докажите, что m = k.

7. Существует ли выпуклый 1978-угольник, все углы которого выражаются целым числом

градусов?

8. Найдите сумму коэффициентов многочлена (x3 – x + 1)100.

9. Докажите, что не существует многогранника, у которого

а) все грани – шестиугольники;

б) в каждой вершине сходятся 6 граней.

10. Треугольник разрезали на выпуклые четырёхугольники. Докажите, что хотя бы у одного

четырёхугольника есть угол не меньше 1200.

11. В городе отличников от каждой площади отходит ровно 5 улиц. Докажите, что число

площадей чётно, а число улиц делится на 5 (улицы соединяют площади).

12. В квадрате со стороной единица поместили несколько отрезков, параллельных сторонам

квадрата (квадрату принадлежит граница, а отрезкам принадлежат концы). Отрезки могут

пересекать друг друга. Сумма их длин равна 18. Докажите, что среди частей, на которые

квадрат разбит объединением отрезков, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.

Указание. Оцените двумя способами сумму периметров частей. Чем меньше площадь, тем

относительно больший периметр на неё приходится.

Соответствие

1. Найдите сумму чисел 1 + 2 + 3 +…+ 100.

Ответ: 5050.

2. Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с

центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная

стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше:

хорошего или плохого?

Ответ: Поровну.

3. В выпуклом n-угольнике никакие три диагонали не пересекаются в одной внутренней точке.

Сколько точек пересечения у этих диагоналей (не вершин)?

Ответ: С4n.

4. Докажите, что в числе первые 999 цифр справа после запятой – нули.

5. Докажите, что дроби 1000/1993 и 993/1993 имеют одинаковую длину периодов.

6. Докажите, что сумма номеров «счастливых» билетов делится на 13. Билет называют

«счастливым», если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних цифр.

7. По кругу расставлены 8 точек. Двое по очереди соединяют их отрезками. Первый отрезок

проводится произвольно, а каждый следующий отрезок начинается из конца предыдущего.

Проигрывает тот, кто не может провести новый отрезок (дважды проводить отрезок нельзя).

Предположим, что игроки не делают ошибок. Кто из них победит: первый или второй?

8. На окружности даны 1987 точек, одна из них отмечена. Рассмотрим всевозможные

выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше: тех,

которые содержат отмеченную точку, или тех, которые её не содержат?

9. Докажите, что число представимо в виде , причём .

10. Существуют ли такие рациональные ai и bi, что

?

11. Докажите, что число представимо в виде , где .

12. Двое бросают монетку: один бросил её 10 раз, другой – 11. Чему равна вероятность того,

что у второго монета упала орлом большее число раз, чем у первого?

Графы

1. В углах шахматной доски 3 х 3 стоят 4 коня: 2 белых (в соседних углах) и 2 чёрных. Можно

ли за несколько ходов (по шахматным правилам) поставить коней так, чтобы во всех соседних

углах стояли кони разного цвета?

2. Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы число, составленное из двух соседних цифр,

делилось либо на 7, либо на 13.

Ответ: 784913526.

3. В стране Радонежии некоторые города связаны между собой авиалиниями. Из столицы

выходит 1985 авиалиний, из города Дальнего одна, а из остальных городов – по 20 линий.

Докажите, что из столицы можно добраться до Дальнего.

4. Расположите на плоскости 6 точек и соедините их непересекающимися линиями так, чтобы

из каждой точки выходили четыре линии.

5. В трёх вершинах правильного пятиугольника расположили по фишке. Разрешается

передвигать их по диагонали в любую свободную вершину. Можно ли таким образом добиться

того, чтобы одна из фишек вернулась на своё место, а две другие поменялись местами?

6. В марсианском метро 100 станций. От любой станции до любой другой можно проехать.

Забастовочный комитет хочет закрыть проезд через одну из станций так, чтобы между всеми

остальными станциями был возможен проезд. Докажите, что такая станция найдётся.

7. Докажите, что в плоском графе найдётся вершина, из которой выходит не более 5 рёбер.

8. Клетчатая плоскость раскрашена десятью красками так, что соседние (т.е. имеющие общую

сторону) клетки покрашены в разные цвета, причём все десять красок использованы. Каково

минимальное возможное число пар соседних красок? (Две краски называются соседними, если

ими покрашены какие-то две соседние клетки).

9. В тридевятом царстве каждые два города соединены дорогой с односторонним движением.

Докажите, что существует город, из которого в любой другой можно проехать не более чем

по двум дорогам.

10. В городе на каждом перекрёстке сходится чётное число улиц. Известно, что с любой улицы

города можно проехать на любую другую. Докажите, что все улицы города можно объехать,

побывав на каждой по одному разу.

11. Последовательность из 36 нулей и единиц начинается с пяти нулей. Среди пятёрок подряд

стоящих цифр встречаются все 32 возможных комбинации. Найдите пять последних цифр


12. Дан правильный 45-и угольник. Можно ли так расставить в его вершинах цифры от 0 до 9

так, чтобы для любой пары различных цифр нашлась сторона, концы которой занумерованы

этими цифрами.

13. Докажите, что можно расположить по кругу символы 0 и 1 так, чтобы любой возможный

набор из n символов, идущих подряд, встретился.

Правило крайнего

1. Плоскость разрезана вдоль N прямых общего положения. Докажите, что к каждой прямой

примыкает треугольник.

2. Докажите, что у многогранника есть две грани с одинаковым числом сторон.

3. На шахматной доске расставлены числа, каждое из которых равно среднему

арифметическому своих соседей. Докажите, что все числа равны.

4. Из точки внутри выпуклого многоугольника опускают перпендикуляры на его стороны или

их продолжения. Докажите, что хотя бы один перпендикуляр попадёт на сторону.

Указание. Рассмотрите ближайшую точку границы.

5. Докажите, что число 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n не является целым.

Указание. Рассмотрите максимальную степень двойки, входящую в знаменатель членов

суммы.

6. На плоскости расположено 10 точек и 10 прямых. Докажите, что можно найти такую точку,

расстояние от которой до любой прямой будет меньше, чем до любой из точек.

7. Ограниченная фигура на плоскости имеет площадь S > 1. Докажите, что её можно сдвинуть

на целочисленный вектор так, чтобы исходная фигура и её образ пересекались.

8. Путешественник отправился из своего родного города А в самый удалённый от него город

страны В; затем из В - в самый удалённый от него город С и т.д. Докажите, что если С не

совпадает с А, то путешественник никогда не вернётся домой. (Расстояния между городами

страны различны).

9. Назовём автобусный билет (с шестизначным номером) счастливым если сумма цифр его

номера делится на 7. Могут ли два билета подряд быть счастливыми?

10. В оду из голов 100-голового дракона пришла мысль расположить свои головы так, чтобы

каждая находилась между двумя другими. Сможет ли он это сделать? (Головы – это точки на

плоскости).

11. На столе лежат одинаковые монеты без наложений. Докажите, что найдётся монета,

которая касается не более трёх других. 12. На столе лежат монеты без наложений. Докажите,

что найдётся монета, которая касается не более пяти других.

12. На столе лежат монеты без наложений. Докажите, что одну из них можно передвинуть по

столу к его краю, не сдвинув других монет.

13. На полях шахматной доски расставлены целые числа, причём никакое число не встречается

дважды. Докажите, что есть пара соседних (имеющих общую сторону) клеток, числа в

которых отличаются меньше, чем на 5.

14. На окружности стоят 30 чисел, каждое из которых равно модулю разности двух следующих

за ним по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна 1. Что это за числа и как они стоят на

окружности?

15. На прямой расположена колония из конечного числа бактерий. В моменты 1, 2, 3, …

некоторые из бактерий могут погибать; новых бактерий не возникает ни в один момент.

Погибают те и только те бактерии, от которых ни слева на расстоянии 1, ни справа на

расстоянии нет бактерий. Существует ли колония бактерий, которая будет жить вечно?

16. В течение дня в библиотеке побывало 100 читателей. Оказалось, что в тот день из любых

трёх читателей двое в библиотеке встретились. Докажите, что сотрудник библиотеки мог

сделать важное сообщение в такие два момента времени, чтобы все 100 человек его услышали.

(Каждый читатель побывал в библиотеке только один раз)

17. На плоскости отмечено несколько прямых. Известно, что через точку пересечения любых

2

двух отмеченных прямых, проходит по крайней мере ещё одна. Докажите, что все отмеченные

прямые проходят через одну точку.

18. Дан параллелограмм с вершинами в целых точках такой, что внутри или на границе больше

целых точек нет. Докажите, что его площадь равна единице.

Принцип Дирихле

1. В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.

2. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный

квадрат 6 х 6 из чисел +1, – 1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим

диагоналям были различны. Помогите Буратино.

3. На планете Земля океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в

мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.

4. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольных работы. За

каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2,3,4 или 5. Верно ли, что найдутся два

школьника, получившие одинаковые оценки на контрольных?

5. В классе 30 учеников. Во время контрольной работы Петя сделал 13 ошибок, а остальные –

меньше. Докажите, что найдутся три ученика, сделавшие одинаковое число ошибок.

6. На земле больше 4 миллиардов человек, которые моложе 100 лет. Докажите, что на Земле

есть два человека, родившихся в одну и ту же секунду.

7. На плоскости проведено 12 прямых. Докажите, что какие-то две из них образуют угол не

больше 15о.

8. В ящике лежат носки: 10 чёрных, 10 синих, 10 белых. Какое наименьшее количество носков

надо вынуть не глядя, чтобы среди вынутых оказалось два носка а) одного цвета; б) разных

цветов; в) чёрного цвета?

9. На карьере добыли 36 камней. Их веса соответственно 490 кг, 495 кг, 500 кг, …, 665 кг

(арифметическая прогрессия). Можно ли увезти эти камни на семи трёхтонных грузовиках?

10. Какое наименьшее число карточек спортлото «6 из 49» надо купить, чтобы наверняка хоть

на одной из них был угадан хоть один номер?

11. Докажите, что среди любых пяти человек есть двое с одинаковым числом знакомых среди

этих пяти человек. (Возможно, эти двое ни с кем не знакомы).

12. Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность

которых делится на 100.

13. Квадратная таблица (2n + 1) x (2n + 1) заполнена числами от 1 до 2n + 1 так, чтобы в каждой

строке и в каждом столбце были представлены все эти числа. Докажите, что если это

расположение симметрично относительно главной диагонали, то на главной диагонали тоже

представлены все эти числа.

14. В классе 25 человек. Известно, что среди любых трёх из них есть двое друзей. Докажите,

что есть ученик, у которого не менее 12 друзей.

15. Комиссия из 60 человек провела 40 заседаний, причём на каждом заседании

присутствовало ровно 10 членов комиссии. Докажите, что какие-то два члена комиссии

встречались на её заседаниях по крайней мере дважды.

16. На столе лежат 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма

расстояний от центра стола до концов минутных стрелок будет больше, чем сумма расстояний

от центра стола до центров часов.

17. Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых

относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих прямых проходят через одну

точку.

Математическая индукция

1. Докажите, что число состоящее из 243 единиц, делится на 243.

2. На плоскости провели несколько прямых. Докажите, что части, на которые рассечена

плоскость, можно раскрасить в два цвета так, чтобы соседние части (у которых есть общий

отрезок) были покрашены в разные цвета.

3. Докажите, что любое число рублей большее семи можно разменять трешками и пятерками.

4. Несколько прямых делят плоскость на части. Каждая прямая «заштрихована» с одной

стороны. Докажите, что все границы одной из частей «заштрихованы» изнутри.

5. Из квадрата 128 х 128 вырезали одну клетку. Докажите, что эту фигуру можно замостить

уголками из трех клеток.

6. Докажите, что простых чисел бесконечно много.

7. Пятеро разбойников добыли мешок золотого песка. Они хотят поделить его так, чтобы

каждый был уверен, что он получил не меньше одной пятой золота. Никаких способов

измерения у них нет., однако каждый умеет оценивать на глаз величину кучи печка. Мнения

разбойников о величине куч могут расходиться. Как им поделить добычу?

8. В городе N домов. Какое наибольшее число заборов можно построить в этом городе, если

1) заборы не пересекаются, 2) каждый забор огораживает хотя бы один дом, 3) никакие два

забора не огораживают одну и ту же совокупность домов?

Делимость и остатки

1. Докажите, что существует бесконечно много чисел, которые не представимы в виде суммы

двух квадратов.

2. Докажите, что число, в десятичной записи которого участвуют три единицы и несколько

нулей, не может быть квадратом.

3. Какие числа можно представить в виде разности двух квадратов целых чисел?

4. Если p – простое число, большее 3, то p2 – 1 делится на 24.

5. При каких n число 2n – 1 делится на 7?

6. Известно, что сумма нескольких натуральных чисел делится на 6. Докажите, что сумма

кубов этих чисел тоже делится на 6.

7. Если в целочисленной арифметической прогрессии встретился квадрат целого числа, то

квадратов в ней бесконечно много. Докажите.

Алгоритм Евклида

1. Разделить угол 19о на 19 равных частей.

2. Докажите, что числа 2m – 1 и 2n – 1 взаимно простые тогда и только тогда, когда числа n и

m взаимно простые.

3. Решите уравнение в натуральных числах 7x – 11y = 1.

4. Даны углы 36о и 25о. Постройте угол 1о.

5. Числа m и n – взаимно просты. Докажите, что уравнение mx + ny = 1 имеет решение в целых

числах.

6. Один прибор делает пометки на длинной ленте через каждые m см, другой – через каждые

n см (m и n – взаимно простые). Верно ли, что какая-то синяя пометка окажется на расстоянии

не большем 1 см от какой-то красной?

7. Разрешается сдвигать фишку вдоль числовой прямой на +1 и на +\/2. Докажите, что из

любого начального положения её можно продвинуть к началу координат ближе чем на 0,0001.

8. «Крокодилом» называется фигура, ход которой заключается в прыжке на клетку, в которую

можно попасть сдвигом на одну клетку по вертикали или по горизонтали, а затем на N клеток

в перпендикулярном направлении (при N = 2 «крокодил» – это шахматный конь). При каких

N «крокодил» может пройти с любой клетки бесконечной шахматной доски на любую другую?

Покрытия и упаковки

1. Можно ли покрыть правильный треугольник двумя правильными треугольниками меньшего

размера?

2. На поле 10 х 10 для игры в «морской бой» нужно расставить один корабль 1 х 4, два корабля

1 х 3, три корабля 1 х 2 и четыре корабля 1 х 1. Корабли не должны иметь общих точек (даже

вершин), но могут прилегать к границам квадрата. Докажите, что если расставлять их в

указанном порядке (начиная с больших), то каждому кораблю всегда найдётся место (как бы

их ни ставили на любое свободное место).

3. Внутри круглого блина радиуса R запекли монету радиуса r. Каким наименьшим числом

прямых разрезов можно наверняка задеть монету?

4. Квадратный каток надо осветить четырьмя прожекторами, висящими на одной высоте.

Каков наименьший радиус освещённых кругов?

5. На плоскости горит лампочка. Можно ли расположить три круга так, чтобы освещённая

область была ограниченной?

6. Коридор полностью покрыт несколькими ковровыми дорожками. Докажите, что можно

убрать несколько дорожек так, чтобы:

а) коридор был полностью покрыт, а общая длина оставшихся дорожек была не больше

удвоенной длины коридора;

б) оставшиеся дорожки не перекрывались и их суммарная длина была не меньше половины

длины коридора.

7. Пол в прямоугольной комнате 6 х 3 м2 покрыт квадратными коврами разных размеров, края

которых параллельны стенам. Докажите, что можно убрать несколько ковров так, чтобы

оставшиеся ковры покрывали более 2 м2.

8. На столе лежат 15 журналов, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать 7

журналов так, чтобы оставшиеся покрывали не менее 8/15 площади стола.

9. Круглый стол покрыт круглыми салфетками разных размеров. Докажите, что можно

выбрать несколько салфеток, которые не пересекаются и закрывают не менее 1/9 площади

стола.

10. Среди четырёх выпуклых фигур любые три имеют общую точку. Докажите, что все фигуры

имеют общую точку.

11. Плоскость покрыта конечным числом полуплоскостей. Докажите, что из них можно

выбрать три (или две) полуплоскости, которые покрывают всю плоскость.

12. Прожектор освещает прямой угол. Четыре прожектора поместили в произвольных точках

плоскости. Докажите, что прожекторы можно повернуть так, что они осветят всю плоскость.

13. На шахматной доске расставляют королей так, чтобы они били все клетки. Каково

наименьшее число королей?

14. Из листа клетчатой бумаги 29 х 29 клеток вырезали 99 квадратов 2 х 2. Докажите, что из

остатка можно вырезать ещё один такой квадрат.

15. Пусть А – наибольшее число попарно непересекающихся кругов диаметра 1, центры

которых лежат внутри многоугольника М, В – наименьшее число кругов диаметра 2, которыми

можно покрыть многоугольник. Что больше: А или В?

16. На круглом столе радиуса R лежат без наложений n круглых монет радиуса r. Докажите,

что .

17. Пусть S – площадь выпуклого многоугольника, P – его периметр, R – радиус

максимального вписанного круга. Докажите, что

.

18. Окружность покрыта бесконечным числом открытых дуг. Докажите, что можно выбрать

несколько дуг, которые покрывают окружность и имеют суммарную длину не более 720о?

19. На листе бумаги расположено несколько прямоугольников, стороны которых параллельны

осям координат. Каждые два прямоугольника имеют общие точки. Докажите, что существует

точка, принадлежащая всем прямоугольникам.

Инварианты

1. На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с неё два плода.

Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет ещё один ананас, а если сорвать один

банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если

известно, сколько бананов и ананасов росло вначале.

Ответ. Если число бананов было чётным, то оставшийся плод – ананас, если число бананов

было нечётным, то – банан.

2. В одной клетке квадратной таблицы 4 х 4 стоит знак минус, а в остальных стоят плюсы.

r

Rn

r

R

1

2

1

P

SR

P

S 2

Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке или в

одном столбце. Докажите, что, сколько бы мы не проводили таких перемен знака, нам не

удастся получить таблицу из одних плюсов.

3. На прямой стоят две фишки: слева красная, справа синяя. Разрешается производить любую

из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд (между фишками или с краю) и

удаление пары соседних одноцветных фишек (между которыми нет других фишек). Можно ли

с помощью таких операций оставить на прямой ровно две фишки: слева синюю, а справа

красную?

4. На острове Серобуромалин живут хамелеоны: 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых. Если 2

хамелеона разных цветов встречаются, то они оба меняют свой цвет на третий. Может ли

случиться, что в некоторый момент все хамелеоны на острове станут одного цвета?

5. Докажите, что в игре «15» нельзя поменять местами фишки «15» и «14», оставив остальные

на месте.

6. На 44 деревьях, расположенных по кругу сидели по весёлому чижу. Время от времени какие-

то два чижа перелетают на соседнее дерево – один по часовой стрелке, а другой – против.

Могут ли все чижи собраться на одном дереве?

7. Можно ли разрезать выпуклый 17-угольник на 14 треугольников.

8. Можно ли круг разрезать на несколько частей и сложить квадрат? (Разрезы – это прямые и

дуги окружностей).

9. Болельщик Вася нарисовал расположения игроков на футбольном поле к началу первого и

второго таймов. Оказалось, что некоторые игроки поменялись местами, а остальные остались

на своих местах. При этом расстояние между любыми двумя игроками не увеличилось.

Докажите, что все эти расстояния не изменились.

10. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин правильного n-угольника до любой

прямой, проходящей через его центр есть величина постоянная.

11. На горе 1001 ступенька, на некоторых лежат камни, по одному на ступеньке. Сизиф берёт

любой камень и переносит его вверх на ближайшую свободную ступеньку (т.е. если

ближайшая ступенька свободна, то на неё, а если она занята, то на несколько ступенек вверх

до первой свободной). После этого Аид скатывает на одну ступеньку вниз один из камней, у

которых предыдущая ступенька свободна. Камней 500 и первоначально они лежали на нижних

500 ступеньках. Сизиф и Аид действуют по очереди, начинает Сизиф. Цель Сизифа положить

камень на верхнюю ступеньку. Может ли Аид ему помешать?

11. Столица страны соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы,

соединён авиалиниями ровно с 10 городами (если А соединён с В, то В соединён с А).

Известно, что из любого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками).

Докажите, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так что возможность

попасть из любого города в любой другой сохранится.

Во время перемирия за круглым столом разместились рыцари из двух враждующих станов.

Оказалось, что число рыцарей, справа от которых сидит враг, равно числу рыцарей, справа от

которых сидит друг. Докажите, что число рыцарей делится на 4.

Четность

1. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1м). Докажите,

что он сделал чётное число прыжков.

2. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое своё звено ровно 1

раз?

3. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что

свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечётное число рук,

чётно.

4. Можно ли разменять 25 рублей десятью купюрами достоинством 1, 3 и 5 рублей?

5. Девять шестерёнок зацеплены по кругу: первая со второй, вторая с третей и т.д., девятая с

первой. Могут ли они вращаться? А если шестерёнок n?

6. 100 фишек поставлены в ряд. Разрешается менять местами любые две фишки, стоящие через

одну. Можно ли таким способом переставить фишки в обратном порядке?

7. Даны 6 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум из них прибавлять 1. Можно ли все

числа сделать равными?

8. Все кости домино выложили в цепочку по правилам игры. На одном конце оказалась

пятёрка. Что может оказаться на другом конце?

9. Может ли прямая, не проходящая через вершины 11-угольника, пересекать все его стороны?

10. На столе стоят 7 перевёрнутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать

любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

11. В языке дикарей хотийцев всего два звука: «ы» и «у». Два слова означают одно и тоже,

если одно получается из другого при помощи некоторого числа следующих операций:

пропуска идущих подряд звуков «ыу» или «ууыы» и добавления в любом месте звуков «уы».

Означают ли одно и тоже слова «уыу» и «ыуы»?

12. На доске написаны числа 1, 2, … , 101. Разрешается стереть любые два числа и написать

их разность. Повторив эту операцию 100 раз, мы получим одно число. Докажите, что это число

не может быть нулём.

13. Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью и каждые 15 минут поворачивает на

900. Докажите, что она может вернуться в исходную точку через целое число часов.

14. В трёх вершинах квадрата сидели кузнечики. Они стали играть в чехарду: один из

кузнечиков прыгает в точку, симметричную относительно другого. Сможет ли хоть один

кузнечик попасть в четвёртую вершину квадрата?

Обратный ход

1. На озере расцвела одна лилия. Каждый день число цветков удваивалось, и на 20-й день всё

озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера?

Ответ: за 19 дней.

2. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков,

сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И, наконец,

Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате всем

досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?

Ответ: у Пети было 65 фантиков, у Вани – 20, а у Толи – 35.

3. В квадрате ABCD на стороне АВ внутри квадрата построили равнобедренный треугольник

АВЕ с углами при основании АВ равными 150. Докажите, что треугольник CDE правильный.

4. Однажды царь наградил крестьянина яблоком из своего сада. Пошёл крестьянин к саду и

видит: весь сад огорожен тройным забором, в каждом заборе только одни ворота, и в каждых

воротах стоит сторож. Подошёл крестьянин к первому сторожу и показал царский указ, а

сторож ему в ответ: «Иди возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что несёшь,

и ещё одно». То же ему сказали второй и третий сторож. Сколько яблок должен взять

крестьянин, чтобы после расплаты со сторожами у него осталось одно яблоко?

5. Трём братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на три бублика меньше, чем ему

лет. Меньший брат был сообразительный и предложил поменять часть бубликов: «Я, – сказал

он, – оставлю половину бубликов, а другую разделю между вами поровну; после этого средний

брат также оставит половину бубликов, а другую разделит поровну между мной и старшим

братом. В конце старший брат поделит также». Так они и сделали. Оказалось, что все получили

поровну. Сколько лет каждому брату?

6. Учитель раздавал школьникам открытки. Первому он дал одну открытку и одну десятую

оставшихся. Второму он дал две открытки и одну десятую оставшихся и т.д. Девятому он дал

девять открыток и одну десятую оставшихся. Оказалось, что все получили поровну и все

открытки были розданы. Сколько всего было открыток?

Игры

1. Двое кладут по очереди пятаки на круглый стол. Проигрывает тот, кто не сможет положить

очередной пятак. Кто проигрывает?

2. В куче 25 камней. Игроки берут по очереди 2, 4 или 7 камней. Проигрывает тот, кому некуда

ходить кто победит?

3. Докажите, что в игре «крестики-нолики» на бесконечной доске у ноликов отсутствует

выигрышная стратегия.

4. Есть куча из n спичек. Разрешается брать от 1 до 10 спичек, выигрывает взявший последнюю

спичку. При каких n выигрывает начинающий?

5. В крайних клетках полоски 1 х 20 стоят белая и черная шашки. Двое по очереди передвигают

свою шашку на одну или две клетки вперед или назад, если это возможно (перепрыгивать

через шашку нельзя). Как играть начинающему, чтобы выиграть?

6. В строку выписаны 1992 звездочки. Двое игроков по очереди заменяют их на цифры от 0 до

9. может ли второй игрок добиться того, чтобы окончательное число делилось бы на 1993?

7. Есть две кучи камней, причем в большей – 8 камней. Два игрока по очереди берут либо

несколько камней из одной кучи, либо по равному количеству камней из обеих куч.

Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Кто выиграет при правильной игре?

Процессы и операции

1. В парламенте у каждого не более трех врагов. Докажите, что парламент можно разделить

на две палаты так, что у каждого парламентария в своей палате будет не более одного врага.

2. В клетки таблицы m x n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак

у всех чисел одного столбца или одной строки. Докажите, что несколькими такими

операциями можно добиться того, чтобы суммы чисел, стоящих в любой строке и в любом

столбце, были неотрицательны.

3. В некоторой стране из каждого города выходит нечетное число дорог. На центральной

площади каждого города поднят черный или белый флаг. Каждое утро в одном из городов, у

которого число соседей с флагами другого цвета больше половины, меняют цвет флага. Может

ли этот процесс продолжаться бесконечно?

4. На плоскости дано N точек. Некоторые точки соединены отрезками. Если два отрезка

пересекаются, то их можно заменить двумя другими с концами в этих же точках. Может ли

этот процесс продолжаться бесконечно?

5. На плоскости расположены N точек. Постройте замкнутую ломаную без самопересечений,

проходящую через каждую точку.

6. Есть N прямых общего положения и N точек. Докажите, что их можно занумеровать так, что

перпендикуляры, опущенные их этих точек на прямые с теми же номерами, не будут

пересекаться.

7. Запись числа состоит из нулей и единиц. Любой фрагмент числа «10» заменяют на «0001».

Докажите, что рано или поздно заменять будет нечего.



Утверждено приказом директора

МАОУ Лицей ИГУ г. Иркутска

от 30.08.2016 г. № 136/7


«ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ»,

11 класс

Срок реализации программы 1 год









11 класс

Количество учебных недель 33

Количество часов в неделю 1 ч/нед

Количество часов в год 33

Уровень подготовки учащихся – расширенный, с углубленной подготовкой

Место предмета в учебном плане – предметы по выбору вариативной части (лицейского



требования к математической подготовке учащихся к концу десятого и одиннадцатого классов,

в качестве приложения 1 программы включены оценочные материалы, приложения 2 –

методические материалы.


I Решение задач по планиметрии (16 часов)

Решение аффинных задач. Решение метрических задач. Использование метода

площадей. Метод дополнительных построений. Вспомогательная окружность.

II Комбинации круглых тел и многогранников (17 часов).

Вписанные круглые тела. Описанные круглые тела. Другие комбинации круглых тел и

многогранников.


Номер


Кол-во

часов

Тема I. Повторение курса планиметрии 16

1 - 3 Решение аффинных задач. Теорема Фалеса. Подобие

треугольников. 3

4, 5 Решение метрических задач. Теоремы синусов и косинусов. 2

6, 7 Метод дополнительных построений. Дополнительные построения

в треугольнике. 2

8, 9 Метод дополнительных построений. Дополнительные построения

в трапеции и параллелограмме. 2

10, 11 Применение метода площадей для решения задач. 2

12 - 14 Вписанные и описанные окружности. Применение

вспомогательной окружности при решении задач. 3


Тема II. Комбинации круглых тел и многогранников 17

17 -19 Различные комбинации цилиндра и многогранников. 3

20, 21 Различные комбинации конуса и многогранников. 2

22 - 24 Вписанная сфера. Пирамида и вписанная сфера. Призма и

вписанная сфера. 3

25 - 27 Описанная сфера. Пирамида и описанная сфера. Призма и

описанная сфера. 3

28 - 30 Другие комбинации сферы и многогранников. 3


ТРЕБОВАНИЯ К ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

изображать на рисунках и чертежах пространственные геометрические

фигуры и их комбинации, задаваемые условием теорем и задач;

решать задачи на вычисление геометрических величин, приводя

необходимую аргументацию;

применять аппарат алгебры, анализа, тригонометрии к решению

геометрических задач;


строить сечения геометрических тел.



Контрольная работа по планиметрии

1. Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность

касающаяся прямой ВС, а через вершины В и C другая окружность, касающаяся

прямой АВ. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает

отрезок АС в точке Е, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает

другую окружность в точке F.

a) Доказать, что площади треугольников АВС и ABF равны.

b) Найти отношение АЕ:ЕС, если АВ=5 и ВС=9

2. В параллелограмме АВСТ сторона СТ равна 4 , точка М – середина

стороны АВ . Известно, что биссектриса угла С параллелограмма делит

треугольник АМТ на две части равной площади.

a) Покажите, что биссектриса угла С параллелограмма не пересекает отрезок АВ.

b) Найдите BC.

Контрольная работа по теме

«Вписанные и описанные многогранники»

1. Около шара описана правильная четырехугольная пирамида, высота которой вчетверо

больше диаметра шара. Найти отношение объема шара к объему пирамиды.

2. В сферу вписан правильный тетраэдр, затем в тетраэдр снова вписана сфера. Найти

отношение площадей двух сфер.

3. Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной 6 см. Одно из боковых

ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см. Найти радиус сферы, описанной

около пирамиды.

4. Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны

a и b. Определить полную поверхность параллелепипеда.

Контрольная работа по теме

«Комбинации круглых тел и многогранников»

1. В пирамиде ABCD ребро DC перпендикулярно плоскости основания АВС, 60ACB ,

33AB , ВС = 3, 13CD . Центр сферы радиуса 5 находится на вершине D. Найти длину

линии пересечения сферы с основанием АВС.

2. Дан куб с основанием АВСD и боковыми ребрами АА1, ВВ1, СС1 и DD1; длина ребра куба

равна 1. Сфера касается ребер АА1, АD, АВ и пересекает ребро СС1 в точке М такой, что СМ =

0,31. Найти радиус сферы.

3. Длина ребра правильного тетраэдра SABC равна 1. Точка O – центр шара, касающегося

ребер AS, BS и BC. Найти расстояние от точки O до плоскости АВС, если известно, что точка O

лежит внутри тетраэдра и 613AO .



Задачи по теме «Вписанные и описанные окружности»

Автор – Осипенко Л.А.

4.1. Около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Кроме того, AB = 3, BC

= 4, CD = 5 и AD = 2. Найдите AC.

Решение:

Обозначим угол ABC = . Тогда

AC2 = AB2 + BC2 - 2AB . BC cos α =

= AD2 + CD2 - 2AD . CD cos (180o - α),

или 9 + 16 - 2 . 3 . 4 cos α = 4 + 25 + 2 . 2 . 5 cos α.

Из этого уравнения находим, что cos α = - 1/11. Следовательно,

AC2 = 9 + 16 + 2 . 3 . 4 . = .

4.2. Около трапеции ABCD с основаниями AD и BC описана окружность радиуса 6. Центр

этой окружности лежит на основании AD. Основание BC равно 4. Найдите площадь

трапеции.

Ответ:

Решение: Пусть K — основание перпендикуляра, опущенного из вершины C на AD. Тогда

CK2 = AK . KD = (AD + BC) . (AD - BC) = 8 . 4.

Поэтому

CK = = .

Следовательно,

SABCD = =

Можно также опустить перпендикуляр из центра окружности на меньшее основание и

воспользоваться теоремой Пифагора.

4.3. В окружность радиуса вписана трапеция ABCD, причём её основание AD

является диаметром, а угол BAD равен 60o. Хорда CE пересекает диаметр AD в точке

P, причём AP : PD = 1 : 3. Найдите площадь треугольника BPE.

Ответ:

Решение: Пусть O — центр окружности. Тогда треугольники ABO, OBC,

COD -равносторонние, а т.к. P — середина AO, то BP — высота

треугольника ABO,

BP = AO sin 60o = AB sin 60o = .

Поскольку BC = OB = = 7,

то S BPC = 0,5 BC . BP = 7 , AP . PD = EP . PC.

Отсюда находим, что EP = = 3. Следовательно,

S BPE =

11

1

11

299

232

2

1

2

1

48 24

CKBCAD

2232

72

33

21222 BCBP

3

PC

PDAP

33377

3 BPCS

PC

PE

4.4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O, BOA = COD = 60o.

Перпендикуляр BK, опущенный из вершины B на сторону AD, равен 6; BC в три раза

меньше AD. Найдите площадь треугольника COD.

Ответ:

Решение:

Поскольку AB = CD, то BC || AD. Поэтому ABCD — равнобедренная трапеция.

Поскольку

BDA = 0,5 AOB = 30o, то

KD = BK cos 30o = 6 , AK = 0,5KD = 3 ,

OB = OA = AB = = 3 .


S∆COD = S∆AOB = 0,5OA . OB sin AOB = .

4.5. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, причём AB является диаметром

окружности. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Известно, что BC = 3,

CM = , а площадь треугольника ABC втрое

больше площади треугольника ACD. Найдите AM.

Ответ:

Решение: Пусть DK — высота треугольника ADC. Поскольку вписанный угол ACB опирается на

диаметр AB, то ACB = 90o. Поэтому DK параллельно BC, а т.к. площадь

треугольника ADC в три раза меньше площади треугольника ABC, то его высота DK

втрое меньше высоты BC треугольника ABC. Следовательно, треугольник DKM

подобен треугольнику BCM с коэффициентом .

Поскольку AM . MC = DM .

MB, то

4.6. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC,

DC и DE равны соответственно a, b и c. Найдите расстояние от вершины A до

прямой BE.

Ответ:

Решение:

4

363

3 322 AKBK 7

4

363

4

3

.4

17

3

1

4

17

3

1,

4

17322 BMDMCMBCBM

.4

17

MC

MBDMAM

b

ac

Пусть A1, A2, A3, A4 — основания перпендикуляров,

опущенных из точки A на прямые BC, DC, DE и BE

соответственно. Докажем, что треугольник AA1A4 подобен

треугольнику AA2A3. Действительно,

A1AA4 = 180o - A1BA4 = CBE = 180o - CDE = A2AA3.

Точки A1 и A4 лежат на окружности с диаметром AB, а точки

A2 и A3 — на окружности с диаметром AD. Поэтому

AA1A4 = ABE = ADE = AA2A3.

Из доказанного следует, что . Отсюда находим,

что .

4.7. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно

перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и

перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M. Докажите, что EM —

медиана треугольника CED и найдите её длину, если AD = 8, AB = 4 и CDB = .

Ответ:

Решение:

Пусть K — точка пересечения прямой EM с отрезком AB. Поскольку BAC = BDC, то

DEM = BEK = BAC = CDE, а так как

ACD = ABD = ABE = AEK = MEC,

то DM = ME = MC. Следовательно, EM — медиана треугольника

CED. По теореме Пифагора из треугольника AED находим, что

DE2 = AD2 - AE2 = AD2 - AB2 . cos2 BAC = 64 - 16 cos2α.


EM = 0,5DC = = .

4.8. Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в

окружность. Перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин B и C, пересекают

диагонали AC и BD в точках E и F соответственно. Найдите EF, если BC = 1.

Ответ: 1

Решение:

Первый способ.

Обозначим CBD = . Тогда

CAD =α, BEC = 90o - α, DBE = α.

Следовательно, BE = BC. Обозначим ACB =β. Аналогично докажем,

что ACF = β. Поэтому CF = BC. Значит, BE = CF, а т.к. BE || CF

(перпендикуляры к одной и той же прямой AD), то BCFE —

параллелограмм (даже ромб). Следовательно, EF = BC = 1.

Второй способ.

Пусть Q — точка пересечения диагоналей. Заметим, что E — точка

пересечения высот треугольника ABD. По известному свойству

ортоцентра треугольника EQ = QC. Аналогично FQ = QB. Поскольку

3

4

2

1

AA

AA

AA

AA

b

ac

AA

AAAAAA

2

314

CDE

DE

cos2

cos

cos42 2

диагонали четырёхугольника BCFE перпендикулярны и делятся точкой пересечения Q

пополам, то BCFE — ромб. Следовательно, EF = BC = 1.

Муниципальное автономное...

Documents