МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В...

В.П. Радченко, С.Н. Кубышкина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

Практикум

Самара 2013

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра прикладной математики и информатики

В.П. Радченко, С.Н. Кубышкина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

Практикум

Самара 2013

Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного технического университета.

УДК 517.53 (075.8)

М35

М35 Математическое моделирование в естествознании: практикум / Β.П. Радченко, С.Η. Кубышкина – Самара:

Самар. гос. техн. ун-т, 2013 – 55 с.

Содержит 7 задач по 25 вариантов, относящихся к следующим разделам математического моделирования в

естествознании: растяжение и сжатие стержней, напряжения и деформации с учетом собственного веса, статически

неопределимые системы, статически определимые и неопределимые балки, построение эпюр изгибающих моментов

и поперечных сил, напряжения и деформации при сложном напряженном состоянии.

Приведен демонстрационный вариант с решениями всех типовых задач.

Типовой расчет предназначен для самостоятельной работы студентов – бакалавров направления 010400

«Прикладная математика и информатика» по курсу «Математическое моделирование в естествознании»

Ил. 138. Библиогр.: 10 назв.

УДК 517.53 (075.8)

М35

Р е ц е н з е н т : к. ф.-м. н. Е.В. Небогина

© В.П. Радченко,С.Н. Кубышкина,

составление,2013

© Самарский государственный

технический университет, 2013

Предисловие

Предлагаемое учебное пособие «Математическое моделирование в есте-

ствознании» предназначено для студентов–бакалавров второго курса направ-

ления «Прикладная математика и информатика». Элементы сопротивления

материалов и механики деформируемого твердого тела служат основными

источниками для изучения различных разделов механики сплошной среды.

Поэтому очень важно, чтобы студент в большей или меньшей степени овла-

дел этими понятиями, а также математическими методами изучения дефор-

мируемых систем. И тем успешнее будет выполнена эта задача, чем большее

количество задач студент будет решать самостоятельно.

Данное учебное пособие предназначено для самостоятельной работы сту-

дентов. В пособие включены задачи по всем основным темам математическо-

го моделирования в естествознании: растяжение и сжатие стержней, напря-

жения и деформации с учетом собственного веса, составные стержни, напря-

жения и деформации в статически определимых и неопределимых системах,

статически определимые и неопределимые балки, построение эпюр изгибаю-

щих моментов и поперечных сил, напряжения и деформации при сложном

напряженном состоянии. Часть задач создана авторами, но в пособие также

включены задачи из известных изданий, список которых приведен в библио-

графии. В пособии рассмотрен типовой вариант с подробными решениями.

1

Порядок выполнения и защиты учебного задания

1. Выполнение учебного задания проводится по графику, установлен-

ному кафедрой прикладной математики и информатики.

2. Подробное и обоснованное решение задач необходимо представить в

письменном виде. Нумерация задач должна совпадать с их нумера-

цией в учебном задании.

3. Во время защиты студент должен уметь отвечать на теоретические

вопросы, пояснять решения примеров из задания, решать примеры

аналогичного типа.

Теоретические вопросы

1. Статически определимые и статически неопределимые системы.

2. Напряжения и деформации при растяжении и сжатии.

3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

4. Нормальные напряжения при изгибе.

5. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Перемещения

при изгибе.

6. Напряженное состояние в точке.

7. Определение напряжений в площадке общего положения.

8. Главные оси и главные напряжения.

9. Напряжения и деформации при сложном напряженном состоянии.

10. Обобщенный закон Гука и потенциальная энергия деформации в об-

щем случае напряженного состояния.

11. Понятие об устойчивости. Устойчивость сжатых стержней.

Темы и варианты учебных заданий

Тема 1. Растяжение и сжатие стержней. Определение перемещений

стержней с учетом собственного веса

Задание 1 Стальной стержень (Е=2∙10

6 кг/см²) находится под действием продоль-

ной силы P и собственного веса (γ=7,85 г/см ³). Для вариантов, представлен-

ных на рис. 1.1-1.25, найти перемещение сечения I-I. Данные приведены в

таблице.

2

Данные для задания 1

№ варианта a, м b, м c, м F, см² P, тонны

1 0,7 1 0,5 10 10

2 0,4 0,4 1 11 12

3 0,5 0,7 1 12 13

4 0,8 1 1,5 13 14

5 1 0,5 0,7 14 15

6 1,3 0,4 0,8 15 16

7 1 2 0,5 16 20

8 1,2 1,5 1 17 22

9 0,3 0,7 0,5 18 12

10 1,2 2 0,7 19 14

11 1,3 1 1 20 15

12 0,4 0,7 0,5 12 16

13 1,3 0,8 0,6 14 18

14 1,4 0,7 1,2 16 19

15 0,7 0,5 1,3 13 20

16 1,2 0,6 0,3 12 10

17 1 0,7 1 18 13

18 0,8 1 0,5 16 14

19 0,5 0,4 0,3 14 15

20 0,6 1 0,7 15 12

21 0,8 0,9 1,2 14 10

22 1,2 0,7 1 12 14

23 0,8 0,4 1 10 12

24 1,2 0,6 0,8 12 10

25 1,3 0,4 0,5 11 14

Р и с. 1.1 Р и с. 1.2

3

Р и с. 1.3 Р и с. 1.4

Р и с. 1.5 Р и с. 1.6

Р и с. 1.7 Р и с. 1.8

Р и с. 1.9 Р и с. 1.10

4

Р и с. 1.11 Р и с. 1.12

Р и с. 1.13 Р и с. 1.14

Р и с. 1.15 Р и с. 1.16

Р и с. 1.17 Р и с. 1.18

5

b

P

a

I

2F c

I

F

P

P

a

b I

2F

F

c

I

F

P

Р и с. 1.20 Р и с. 1.19

Р и с. 1.21 Р и с. 1.22

Р и с. 1.23

P a

b

I

2F c

I

F

P

Р и с. 1.24

Р и с. 1.25

6

Тема 2. Статически неопределимые системы

Задание 2 Верхняя часть составного стержня (см. рисунок) с поперечным сечением

площадью F1- стальная, нижняя - медная, с поперечным сечением площадью

F2. Между нижним концом стержня и жесткой плоскостью при заделке был

оставлен зазор ∆.

Требуется (без учета собственного веса):

1) определить напряжения в частях стержня после повышения его температу-

ры на величину ∆t;

2) определить перемещения сечений стержня;

3) построить эпюры продольной силы N, напряжений σ, перемещений u.

Данные приведены в таблице.


№ варианта a,

м

b,

м

c,

м

∆,

мм

∆t,

C°

F1,

см²

F2,

см²

P1,

т

P2,

т

1 1,5 1 1 0,02 20 15 30 0 12

2 1 2 1,5 0,03 10 11 22 11 0

3 1,5 2 0,5 0,04 30 10 20 0 -14

4 1 1 2 0,08 50 20 10 -12 0

5 1,5 1,5 1 0,06 30 30 15 10 14

6 0,5 1,5 2 0,07 40 14 28 12 13

7 2,5 1 1 0,05 10 17 34 -10 12

8 1,5 1,2 0,5 0,03 20 40 20 0 10

9 1,2 1 1 0,02 50 50 25 0 14

a

P1

P2 b

c

7

Продолжение

№ варианта a,

м

b,

м

c,

м

∆,

мм

∆t,

C°

F1,

см²

F2,

см²

P1,

т

P2,

т

10 1 1 1,2 0,04 30 15 30 12 0

11 1,5 0,5 1 0,09 40 32 16 15 0

12 1 2 1 0,07 20 18 36 13 0

13 2 2,5 1,5 0,08 15 40 20 -11 0

14 0,5 1,5 1,5 0,04 10 20 40 -10 10

15 1,5 0,5 1 0,05 35 10 20 0 15

16 0,5 1,5 2 0,04 45 24 12 0 16

17 2 1 0,5 0,03 50 30 15 0 17

18 1,5 0,5 1 0,06 15 34 17 0 18

19 1 2 0,5 0,07 25 19 38 19 0

20 1,5 1,5 1 0,08 55 13 26 0 20

21 1 2,5 1 0,05 20 10 20 15 10

22 1 2 1,5 0,03 40 14 10 15 -10

23 0,5 1,5 1 0,08 40 18 36 12 -16

24 1 1 1,5 0,09 50 40 20 14 14

25 1,2 1 1 0,06 20 30 15 16 10

Механические характеристики материалов

сталь медь

Ec кг/см

2 αс 1/град Eм кг/см

2 αм 1/град

2∙106 125∙10

-7 1∙10

6 165∙10

-7

Тема 3. Расчет плоских статически неопределимых систем

Задание 3 Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и

прикреплен к двум стержням при помощи шарниров.

Для вариантов, представленных на рис. 3.1-3.25, требуется:

1) определить напряжения и усилия в стержнях и проверить выполнение ус-

ловий равновесия;

2) определить площади сечений, исходя из условий прочности.


8


№ варианта a, м b, м c, м P, т F1/F2 1 2

1 0,8 1 0,5 10 1:2 C M

2 0,5 1 0,7 11 2:3 A M

3 0,6 1,1 0,8 12 2:1 M C

4 0,8 1 0,5 10 2:3 A C

5 0,8 0,6 1,2 12 3:2 C M

6 1,2 0 0 13 1:2 M C

7 0,9 0,7 1 14 2:1 C A

8 0,8 0,6 1,2 15 3:2 M M

9 0,8 0,6 1,2 10 1:2 C A

10 0,8 0,6 1,4 11 2:1 M A

11 1 0 1,2 12 2:3 A C

12 1 1,2 0,6 10 1:3 M M

13 0,9 1,2 1 8 3:1 C A

14 0,9 0,8 1 13 3:2 A A

15 1 0 0 14 2:1 C M

16 1,2 1 0,6 16 1:2 M C

17 1,2 1 0,9 7 3:2 A C

18 0,9 0,8 0 11 2:3 C A

19 0,8 1 0 12 1:3 M A

20 0,8 1 1,2 13 2:1 A A

21 1 1,2 1 14 3:2 C M

22 0,8 1 1,3 12 2:1 M A

23 0,8 1 0,6 12 3:2 C C

24 1 1,2 0,5 15 2:3 M C

25 0,5 0,8 1 14 1:2 A C

Механические характеристики материалов

В последних двух столбцах таблицы приведены материалы, из которых

изготовлены стержни 1 и 2. Обозначения соответствуют:

С-сталь, А-дюралюминий, М-медь,

[σс]=1,6·10³ кг/см², [σм]=0,3·10³ кг/см², [σА]=0,5·10³ кг/см²,

Ес=2·106 кг/см², Ем=1·10

6 кг/см², ЕА=0,7·10

6 кг/см².

9

Р и с. 3.1

Р и с. 3.2

Р и с. 3.3

P

c b

a

a

a

a

b

b

c P

2 1

1 2

2

1

P

b

b c a

10

Р и с. 3.4

Р и с. 3.5

Р и с. 3.6

2

1

b

b

а

а

с

P

а

1 2 1

с

b a P

1

2

1 a 60º 60 º

P

11

Р и с. 3.7

Р и с. 3.8

Р и с. 3.9

1 2 c

a b

P 60º 30º

1 2

a b

c

P 60º 60º

P a b

c

1

2

12

Р и с. 3.10

Р и с. 3.11

Р и с. 3.12

a b c P

c 2 1

c 1

2 2 60º 60º

P

a a

1

2

a b

c

P

13

Р и с. 3.13

Р и с. 3.14

Р и с. 3.15

c 1

45º P

c b a

c 2

c 2

30º

b a

c 1

P

a a P

45º 45º 2 1

14

Р и с. 3.16

Р и с. 3.17

Р и с. 3.18

2

1

45º P

с

b

a b c

P

b 1

2

b

a a

b

1

2

P

a

15

Р и с. 3.19

Р и с. 3.20

Р и с. 3.21

30º 30º 1 2

b

P a a

a

c 1

45º

c b

P

c 2

c 1

a

30º

c b

60º

2

P

16

Р и с. 3.22

Р и с. 3.23

Р и с. 3.24

c a b c

c 1 2

P

a

45°

c

45°

b

2 1

P

a

c

45°

b

2

1

c

P

17

P

a c

30°

b 2

1

Р и с. 3.25

Тема 4. Статически определимые балки

Задание 4 Для заданных двух схем балок (рис. 4.1-4.25) требуется:

1) составить аналитические выражения поперечных сил Q и изгибающих мо-

ментов М для всех участков балки;

2) построить эпюры Q и М;

3) выписать наибольшие по абсолютному значению величины поперечной

силы и изгибающего момента;

4) подобрать: I) для схемы (а) деревянную балку круглого поперечного сече-

ния при [σ]=80 кг/см², II) для схемы (б) стальную балку квадратного попе-

речного сечения при [σ]=1600 кг/см².



№ варианта a,м b, м q, т/м M, тм P, т

1 2 1 2 2 1

2 1 2 1 1 2

3 1 0 2 4 2

4 1 2 3 0,5 1,5

5 1 0 2 1,5 2

6 2 1 1 2 2

7 1 0,5 4 2 3

8 1,5 1 2 5 3

9 3 1 5 2 1

10 3 2 2 2 5

18


№ варианта a,м b, м q, т/м M, тм P, т

11 2 1 3 2 0

12 2 1 1 2 4

13 2 1 2 6 1

14 1 2 1 2 2

15 1 2 2 1 3

16 2,5 1 2 0,5 1

17 3 1 1 0,5 2,5

18 1,5 1 3 2 4

19 2 1 1 1 3

20 1 0 3 4 5

21 1,2 2 3 5 0

22 1,5 2 2 4 3

23 1,2 1,5 2 2 4

24 1,5 1 3 0,5 3

25 2 1 1 4 2

Значения модулей Юнга для стали(Ec) и дерева(Eд) следующие:

Ec=2∙106 кг/см

2, Eд=10

5 кг/см

2.

а

б

Р и с. 4.1

a a b

P M

a

q

P

b

M

q

19

а

б

Р и с. 4.2

а

б

Р и с. 4.3

а

б

Р и с. 4.4

q

2a

P M

2a a

q M

P a a

q M M

a a

q

q

a b

P

q

a a 2a a

M P

q 2P

a b

P

20

а

б

Р и с. 4.5

а

б

Р и с. 4.6

а

б

Р и с. 4.7

q

a a P

q

2q M

a a 3a

q M

a a

q

M q

a a b

P

q M

b a

q M

a a

P

2a

M

21

а

б

Р и с. 4.8

а

б

Р и с. 4.9

а

б

Р и с. 4.10

M 2q

a b

M P

q a b a

M P

a b

q M

2q

a a 2a

q M

a b

P

q M

a b b

q

22

а

б

Р и с. 4.11

а

б

Р и с. 4.12

а

б

Р и с. 4.13

M

a b

q

M M q

a a a

M

q

a b P

q M

a a b

P

q

P

M

a b

q P

M

a a b

23

а

б

Р и с. 4.14

а

б

Р и с. 4.15

а

б

Р и с. 4.16

q P

P

a b

M

a a a

q

P

q M

a a

M M

a a b

P

q

q

q a a a

P

P

b a a

q M

24

а

б

Р и с. 4.17

а

б

Р и с. 4.18

а

б

Р и с. 4.19

q M

a b

q M

P

a 2a a

q M

q

a b

q q

a a a 2a

P

q M

P a a a

q q M

a a b

25

а

б

Р и с. 4.20

а

б

Р и с. 4.21

а

б

Р и с. 4.22

M

q

P a a a

M

P

q

a a a 2a

q M

a a b

q

q

M

a a b

M

q

a 2a

q

a M

b a P

26

q

a b M

a

q

b M

a

P

q

a b

P

a P

2q

b M

a

q

а

б

Р и с. 4.23

а

б

Р и с. 4.24

а

б

Р и с. 4.25

q

q a b

q

a b

M P

a

M

M

27

Тема 5. Статически неопределимые балки

Задание 5 Определить опорные реакции балки (рис. 5.1-5.25). Построить эпюры из-

гибающего момента и поперечной силы.



№ варианта a, м b, м q, т/м M, тм P, т

1 1 0 6 0 0

2 1 0 5 5 0

3 1 0 4 0 4

4 1 0 1 2 3

5 1 0 1 4 0

6 2 2,5 6 2 0

7 1 4 4 5 5

8 1,5 2 1 4 3

9 2,5 2 3 0 3,5

10 2,5 2,5 1 4 3

11 4 0 2 4 4

12 1 1,5 1 4 0

13 2 4 2 4 0

14 6 1,5 0 0 3

15 2,5 0 0 4 0

16 2 2,5 0 0 4

17 3 1,5 0 2,5 0

18 4 1 0 0 3

19 2 1 0 0 4

20 4 4 4 0 0

21 1,5 2,5 2 0 0

22 2 3 1 0 1

23 2 4 2 0 2

24 1 2 2 2 4

25 2 1,5 2 4 2

Модуль Юнга материала балки Е=2·106 кг/см²;

момент инерции J=2000 см4.

28

Р и с. 5.1

Р и с. 5.2

Р и с. 5.3

Р и с. 5.4

Р и с. 5.5

q

2q

4a a 3a

q M

3a a 2a

q

4a q 2a a

P

q P

a 2a 3a

M

q M

2a a a

29

Р и с. 5.6

Р и с. 5.7

Р и с. 5.8

Р и с. 5.9

Р и с. 5.10

M

a b 4a

q

M

P

q

b a a

M

P

q a b b

P

q

a a b

P

M

b b

q

a

30

Р и с. 5.11

Р и с. 5.12

Р и с. 5.13

Р и с. 5.14

Р и с. 5.15

q M

4a a a P

q M

a a b

q M M

a b b

b b a a

P P

M M

a a a a

31

Р и с. 5.16

Р и с. 5.17

Р и с. 5.18

Р и с. 5.19

Р и с. 5.20

P P

b

a b a b

M M

P

b a b

P

P P

b b a

q

a b a

b a a

32

a b P

a P b

a

Р и с. 5.21

Р и с. 5.22

Р и с. 5.23

Р и с. 5.24

Р и с. 5.25

q a b a

q

P

b a a b

P

q

a P

b b

M

q

a a

P

b b

M

33

Тема 6. Исследование напряженного состояния в точке деформированно-

го тела

Задание 6 В точке деформированного тела известны напряжения на взаимно пер-

пендикулярных наклонных площадках (см. рисунок). Материал – сталь, мо-

дуль Юнга Е=2·106 кг/см², коэффициент Пуассона μ=0,3.

Требуется:

1) определить величину и направление главных напряжений σ1, σ2 и положе-

ние главных площадок;

2) определить максимальные касательные напряжения τ;

3) определить относительные полные деформации по главным направлениям;

4) определить относительное изменение объема;

5) определить удельную потенциальную энергию деформаций.



№ варианта σx, кг/см² σy, кг/см² τxy, кг/см²

1 400 200 100

2 500 300 -200

3 -200 300 200

4 400 200 -300

5 -100 -200 100

6 -200 400 -400

7 500 100 200

8 100 300 400

9 -100 200 500

10 500 500 100

11 -600 400 100

12 -1000 500 500

13 500 600 300

14 400 -200 300

15 600 400 400

16 400 -600 300

17 300 -400 250

18 -400 800 800

19 -200 -200 200

20 700 300 500

21 300 500 -300

22 400 -300 350

34


№ варианта σx, кг/см² σy, кг/см² τxy, кг/см²

23 500 -200 800

24 600 400 -200

25 -200 400 500

Схема напряженного состояния в точке

Тема 7. Расчет сжатых стержней на устойчивость

Задание 7 Стальной стержень длиной ℓ сжимается силой P.

Требуется:

1) найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на про-

стое сжатие [σ]=1600 кг/см² (расчет производить последовательными при-

ближениями, предварительно задавшись величиной коэффициента φ=0,5, где

φ – коэффициент понижения напряжения, который выбирается из табл. 7.2 в

зависимости от свойств материала);

2) найти величину критической силы P.

Данные приведены в табл. 7.1.

xу

σy

τyx

τxy

σx σx

τyx

σy

τxy

35

Таблица 7.1


№ варианта № схемы

закрепления

(рис. 7.1)

№ формы

сечения

(рис. 7.2)

ℓ, м P, т

1 1 1 2 10

2 1 2 2,1 30

3 1 3 2,2 20

4 1 4 2,3 15

5 1 5 3 40

6 2 2 3,1 50

7 2 3 2,2 30

8 2 4 2,5 20

9 2 5 3 30

10 3 1 2,4 15

11 3 2 2,1 10

12 3 3 3,1 40

13 3 4 2,5 60

14 3 5 2,6 70

15 4 1 2,7 50

16 4 2 2,5 40

17 5 4 2,6 50

18 4 4 3 20

19 4 5 2,9 15

20 5 1 2,8 40

21 5 2 2,7 30

22 5 3 2,4 60

23 3 1 2,5 20

24 5 2 2,8 30

25 4 1 2,4 40

36

1 2 3 4 5

Р и с. 7.1. Схема закрепления концов стержня

1 2 3

4 5

Р и с. 7.2. Форма сечения стержня

P P P P

P

ℓ

ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

a a

a a 1,5a

a a

2a

a

d

37

Таблица 7.2

Коэффициент φ уменьшения допускаемого напряжения

на сжатие при расчете на устойчивость

Гибкость λ Значение φ Гибкость λ Значение φ

0 1 110 0,52

10 0,99 120 0,45

20 0,96 130 0,4

30 0,94 140 0,36

40 0,92 150 0,32

50 0,89 160 0,29

60 0,86 170 0,26

70 0,81 180 0,23

80 0,75 190 0,21

90 0,69 200 0,19

100 0,6

38

P

Y a

b I

2F

F

c

I

Na

Nb

Ga

Gb

Gc

Методические указания к выполнению учебных заданий

Пример выполнения задания 1

Стальной стержень находится под действием продольной силы Р и соб-

ственного веса. Найти перемещение сечения I-I (рис. 1) при следующих зна-

чениях переменных: Р=20т; a=2м; b=3м; c=2м; F=20см2; γ=7,85∙10

-3 кг/см

3.

Р и с. 1

Решение Перемещение любого сечения, например I-I, определяется по отношению

к началу отсчета. Если начало отсчета совместить с неподвижным сечением,

например заделкой, то абсолютная деформация участка, заключенного между

сечениями, будет численно равна искомому перемещению. Рассматриваемая

часть стержня будет удлиняться за счет действия собственного веса, а также

веса участка, находящегося ниже, и внешней силы.

Составим расчетные уравнения. Сечение I-I будет перемещаться за счет

удлинения участков a и b (начало отсчёта совместили с неподвижным сече-

нием, например заделкой).

Удлинение (la) участка а происходит от следующих составляющих:

1) от силы Na=P+Gb+Gc;

FE

aGGP

FE

aGGPl cb

a

cbNa

)()( , где

Gb=Fbb=2Fb - вес участка b,

Gc = Fcc=2Fc – вес участка с;

2) от собственного веса участка a:

E

a

FE

aaF

FE

aGl

a

a

a

aGa

222

2 , где

Ga=Faa=Fa - вес участка a.

39

Тогда

la= lNa +lGa (1)

Удлинение (lb) участка b происходит от следующих составляющих:

1) от силы Nb =P+Gc ;

FE

bGP

FE

bGPl c

b

cNb

2

)()( , где

Gc=2Fc- вес участка с, расположенного ниже сечения I-I;

2) от собственного веса участка b:

E

b

FE

bbF

FE

bGl

b

b

b

bGb

222

2 ,

где Gb=Fbb= Fb - вес участка b.

Тогда

lb=lNb+lGb (2)

В результате из (1) и (2) следует, что перемещение сечения I-I можно за-

писать в виде:

E

b

FE

bcFP

E

a

FE

abFcFP

E

b

FE

bGP

E

a

FE

aGGPlll cbcbaII

22

)2(

2

)22(

22

)(

2

)(

22

22

или

))(2

1)(2()

2( 22 babccba

E

ba

EF

Pl II

. (3)

Подставим числовые данные в формулу (3):

lI-I=(20∙103кг∙ (200см+300см/2)/( 2∙10

6кг/см

2∙20см

2)+

+(7,85∙10-3

кг/см3/(2∙10

6 кг/см

2)) ∙ (2∙ 200см(300см+200см)+300см∙200см+

+((200см) 2+(300см)

2))/2)=0,176см.

40


Верхняя часть стержня длиной b=1,5м и поперечным сечением

Fм=200см2

- медная, aм =165∙10

-7 1/°c, Eм=10

6 кг/см

2, нижняя часть длиной

a=1м и поперечным сечением Fст=100см2 – стальная, ст =125∙10

-7 1/°c,

Eст=2∙106 кг/см

2 . Между нижним концом стержня и жесткой заделкой был

оставлен зазор =0,03мм (рис. 2, а). Определить напряжения в частях стерж-

ня после повышения его температуры на t=30С.

а б в г д

Р и с. 2

Решение При повышении температуры стержень, удлиняясь, закроет зазор и ока-

жет давление на опорные поверхности, в которых возникнут реакции (рис. 2,

б). Задача один раз статически неопределима.

Составим расчетные уравнения.

1) Nст + R =0, Nст = - R – на участке a. 2) Nм + R =0, Nм = - R - на участке b.

Учитывая, что величина зазора между стержнем и заделкой =0,003см,

из условия совместности деформаций частей стержня составим уравнение:

= lст + lм + lt ,

СТСТ

СТСТСТ

FE

lNl

,

ММ

МММ

FE

lNl

.

Температурное удлинение стержня при отсутствии нижней заделки оп-

ределится соотношением

lt=lt,ст+lt,м = αст∙lст∙∆t+αм∙lм∙∆t.

Выражая деформации частей стержня через действующие в них усилия,

получим следующее уравнение:

СТСТ

СТ

ММ

МММСТСТ

FE

lR

FE

lRtltl

Nст.

NM 150

100

R

∆

lM

lст.

87000

Эпюра N

0,003

R

Y

∆

87000 435

Эпюра σ

435 870

870

0,009

Эпюра U

41

или, используя численные значения,

.003,02200

2610

150

21002

6102

100

30150171016530100

1710125

см

смсм

кг

смR

смсм

кг

смR

CсмC

CсмC

Решая его, найдем, что R=87т. Эпюра постоянной продольной силы N=-R

показана на рис. 2, в.

Напряжения в частях стержня определяем по формуле =N/F.

Тогда в медном стержне - м=Nм/Fм=-87000кг/200см2=-435кг/см

2; в стальном

ст=Nст/Fст=-87000кг/100см2=-870кг/см

2. Эпюра напряжений приведена на

рис. 2, г.

Определим перемещения сечений стержня. Удлинение медного участка

от действия температуры и сжимающей продольной силы находится по

формуле

lм=lt,м+lN,м=мlмt+Nмlм/EмFм=16510-715030+(-87000150)/(10

6200)=

=0,07425см-0,06525см=0,009см.

Перемещение сечения на границе медного и стального участков состав-

ляет u1=0,009см.

Удлинение стального участка от действия температуры и сжимающей

предельной силы находится по формуле:

.006,00435,00375,0

100102

10087000

301001

10125

2

2

6

7

,,

смcмcм

смсм

кг

смкг

СсмCFE

lNtllll

СТСТ

СТСТСТСТСТNСТtСТ

Перемещение концевого сечения стержня равно зазору u2==0,003см, т.е.

=lст+lм =0,009см-0,006см=0,003см. Полная эпюра перемещений представ-

лена на рис. 2, д.

42


Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно - неподвижную опору

и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Определить напряже-

ния и усилия в стержнях, площади их сечений (рис. 3, а).

Р и с. 3, а

Исходные численные данные задачи:

P=10 т; a=0,9 м; b=0,8 м; c=0,6 м; l=0,8 м; F1/F2=3/2;

[с]=1600кг/см2; [a]=500 кг/см

2; Ec=2·10

6 кг/см

2;

Ea=0,7·106 кг/см

2; 1-сталь, 2-алюминий.

Решение

1. Отбросим закрепления и заменим их реакциями (см рис. 3,a). Опреде-

лим степень статической неопределимости: 4 неизвестных, 3 уравнения рав-

новесия S=4-3=1, следовательно, система один раз статически неопределима

и необходимо составить одно уравнение совместности деформаций.

2. Составим уравнения равновесия. Проектируем все силы на оси коор-

динат:

02

2:

cNHX

02

2:

0

Pa

Nc

NRY .

Сумма моментов относительно точки О:

0)()(2

2:0 cbaPbaNaNM ac

.

3.Рассмотрим деформированную систему (рис. 3,б) и составим уравнение

совместности деформаций, используя подобие треугольников:

c a

Y

O

43

Р и с. 3, б

ba

a

BB

AA

'

' ; ВВ=la ;45sin

' clAA

;ba

a

l

l

a

c

45sin

;

aac

ccaac

ca

aa

aa

cc

cc

FEl

FElN

ba

aN

llll

FE

lN

ba

a

FE

lN

45sin

45sin,;

45sin

aa

c Nсмкгсм

смкгсмN

смсм

смN

119

135

2

3

2

1

/107,080

/10280

8090

229026

26

.

Nc =1,1344Na – уравнение совместности деформаций.

Таким образом, получаем систему четырех уравнений

,0)()(2/2

;02/2

;02/2

;119

1351344,1

cbaPbaNaN

PNNR

NH

NNN

ac

aco

c

aac

решая которую c учетом численных значений параметров, находим

Nс=10,78т; Na=9,5т; H=-7,62т; Rо=-7,13т.

∆lc

Nc 1 2

Na

B P 45º

∆la

A´

45º

0 A

A´

B´

44

Сделаем проверку

.01,03,2107,15,9229.078,10

;00738,0105,92278,1013,7

;00261,02278,1062,7

;5,91344,178,10

4. Найдем площади сечений из условий прочности: max=N/F[].

2

2

3

7,6

1600

1078,10см

см

кг

кгNF

c

cc

; 2

2

43,43

7,62

3

2см

смFF c

a

.

Проверим условие прочности для второго стержня

aа

a

aa

см

кг

см

кг

F

N

;2140

43,4

105,922

3

.

Условие прочности не выполняется. Отсюда следует, что сначала необходи-

мо определить площадь второго стержня:

2

2

3

19

500

105,9см

см

кг

кгNF

a

aa

; 2

2

5,282

193

2

3см

смFF a

c

.

Проверим условие прочности для первого стержня

cc

c

cc

см

кг

см

кг

F

N

;380

5,28

1078,1022

3

.

Условие прочности удовлетворяется для обоих стержней.

Ответ:

Nс =10,78т, Na =9,5т, H=-7,62т, R0 =-7,13т, Fc =28,5см2; Fa =19см

2.

45


На рис. 4 изображена балка квадратного поперечного сечения Р=2т;

q=2т/м; М=8тм; а=2м; b=8м; []=1600кг/см2. Требуется построить эпюры Q и

М и проверить на прочность балку по величине нормальных напряжений.

Р и с. 4

Решение

Выполним следующие этапы

1.Определение опорных реакций.

Для вычисления опорных реакций RA и RB составим уравнения равновесия:

X: HA =0;

Y: RA -qb+RB –P=0.

Сумма моментов внешних сил относительно точки А:

МA: -М+qb(a+b/2)-RB(a+b)+P(2a+b)=0.

Отсюда получаем RB=11,2т; RA=6,8т.

Сделаем проверку:

МB: -М-qbb/2+RA(a+b)+Pa=0;

-8-288/2+6,8(2+8)+22=0.

2. Построение эпюр поперечных сил Q и моментов М.

участок (0х1а):

Q(x1)=RA=6,8т- поперечная сила на этом участке не зависит от х;

М(x1)=RAx1=6,8x1- уравнение прямой.

При х1=0 М(0)=0, при х1=а=2 М(2)=6,82=13,6тм.

M RA

q

B P

x3 x1

HA A

a b a

x2

6,8

5,4м

Эпюра Q

17,16

4

13,6

2

Эпюра M

RB

9,2

5,6

Y

X

46

участок (ах2а+b):

Q(x2)=RA-q(x2-a)- уравнение прямой.

При х2=a=2 Q(2)=6,8т, при х2=a+b=10 Q(10)=-9,2т.

М(x2)=RAx2-М-q(x2-a)2/2=6,8x2-8-(x2-2)

2- уравнение параболы.

При х2=a=2 М(2)=5,6тм, при х2=а+b=10 М(10)=-4тм.

Так как поперечная сила на втором участке в одном из сечений меняет

знак с плюса на минус, то в этом сечении функция М(х2) имеет максимум.

Для его вычисления берем производную от М(х2) и приравниваем ее к 0:

тм.16,172

)24,5(284,58,6M

,м4,50)2(28,6)()(M

2

max

222

2

2

xxxQdx

xd

участок (0х3а):

Q(x3)=Р=2т- поперечная сила на этом участке не зависит от х.

М(x3)=-Рx3=-2x3- уравнение прямой.

При х3=0 М(0)=0, при х3=2 М(2)=-4тм.

По результатам расчетов строим эпюры Q и М (см. рис. 4).

3. Вычисляем наибольшие по абсолютному значению величины попе-

речной силы Q и изгибающего момента M:

Qmax=9,2т; Mmax=17,16тм.

4. Подбор балки квадратного сечения.

Мmax=17,16тм; []=1600кг/см2. Условие прочности: max=Mmax/W[].

Отсюда момент сопротивления равен WMmax/[].

Для квадратного сечения W=b3/6;

см

см

кг

смкгMb 6,18

1600

1016,1766

3

2

3

3max

.

Для круглого сечения4

3rW

; 3max

][

4

Mr .

47


На рис. 5 изображена балка q=3т/м; а=4м; b=2м. Требуется построить эпюры

изгибающего момента и поперечной силы.

Р и с. 5

Решение

Запишем уравнения равновесия сил и моментов:

ΣX=0,

ΣY=RA+RB+RC-q·a= RA+RB+RC-12=0,

ΣMC=-RA(a+b) -RB·b+q·a·(b+a/2)=-RA·6-RB·2+12·4=0.

Составим уравнение моментов.

Рассмотрим участок 0х14.

Тогда M(x1)=RA·x1-3·x1²/2=E·J·y1″, интегрируя полученное дифференци-

альное уравнение, получим:

E·J·y1′=RA·x1²/2-x1³/2+C1;

E·J·y1=RA·x1³/6- x24/8+ C1·x1 +D1.

Рассмотрим участок 0х22.

Тогда M(x2)= RC·x2 =E·J·y2″, интегрируя это уравнение, получим:

E·J·y2′= RC·x2²/2+C2;

E·J·y2= RC·x2³/6+ C2·x2 +D2.

Здесь C1, D1, C2, D2 – константы интегрирования.

Составим систему алгебраических уравнений для нахождения 7 неиз-

вестных (RA, RB, RC, C1, C2, D1, D2), используя условия закрепления: y1(0)=0;

y2(0)=0; y1(4)=0, y2(2)=0; y1′ (4)= -y2′ (2):

q

RB

x2

Rc

x1 A B C

a b

1,7

4,17

7

2

Эпюра Q

Эпюра M 4

5

RA

48

.2

2

2

4

2

4

;026/2

;048/46/4

;0

;0

;243

;12

2

2

1

32

2

3

C

1

43

A

2

1

BA

CBA

CR

CR

CR

CR

D

D

RR

RRR

CA

2'4'

02

04

00

00

21

2

1

2

1

yy

y

y

y

y

Решая эту систему, находим: RA=5; RB=9; RC=-2; C1=-16/3; D1=0; C2=4/3;

D2=0.

Делаем проверку этой системы:

3422231624245

0324622

03

41684645

24953

12295

232

3

43

Сделаем проверку уравнений моментов для других опор:

024220

242245212242

0241236

246249212642

)(

cACAB

CBCBA

RRa

aqbRaRM

RRa

aqbaRaRM

Выполним построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента.

На участке 0х14 имеем:

Q1= RA-3·x1, M1= RA·x1- 3·x1²/2;

при x1=0 Q1=5, M1=0;

при x1=4 Q1=-7, M1=-4; Q1(x)=0 при 5-3x1=0, x1=5/3≈1,7.

M1(5/3)=5·5/3-3/2·(5/3)²=25/6≈4,17.

На участке 0х22 имеем:

Q2=- RC, M1= RC·x2;

при x2=0 Q2=2, M2=0; при x2=2 Q2=2, M2=-4.

Эпюры поперечной силы и изгибающего момента приведены на рис. 5.

49


В точке деформированного тела известны напряжения на взаимно пер-

пендикулярных наклонных площадках (рис. 6) x=1000кг/см2; y=400кг/см

2;

xy=200кг/см2; материал - сталь Е=210

6кг/см

2; =0,3.

Определить:

1) величину и направление главных напряжений;

2) максимальные касательные напряжения;

3) относительные полные деформации по главным направлениям;

4) относительное изменение объема;

5) удельную потенциальную энергию деформаций.

Решение

Р и с. 6

1. Величина главных напряжений аналитически определяется по форму-

ле

.4)(2

12/)( 22

2,1 xyyxyx

Подставив числовые значения, получим

,кг/см3607002004)4001000(2

12/)4001000( 222

2,1

1=1060 кг/см2, 2=340 кг/см

2.

Проверить правильность вычислений можно с помощью закона суммы

нормальных напряжений, согласно которому x+y=1+2. После подстанов-

ки числовых значений, имеем: 1000+400=1060+340.

Итак, главные напряжения будут соответственно равны: 1=1060 кг/см2,

2=340 кг/см2, 3=0 (1>2>3).

σ1

σ2

α

σy

τyx

τxy n1

τyx α

n2 τxy

σx

σ1

σ2 σy

50

Положение главных площадок определяется по формуле

.667,0)4001000/(2002)/(2tg2α yxxy

Используя таблицы или калькулятор, находим =-1651

. Следовательно,

нормали к главным площадкам образуют углы 1651

с нормалями к наклон-

ным площадкам (угол откладывается от горизонтальной оси OX, против

часовой – положительный, по часовой - отрицательный). Вдоль n1 действует

1=max, вдоль n2 - 2=min. Главные площадки перпендикулярны главным

направлениям n1 и n2. Положение элемента, выделенного по главным пло-

щадкам представлено на рис. 6.

2. Максимальное касательное напряжение аналитически можно опреде-

лить как полуразность главных напряжений:

.кг/см3602/)3401060(2/)(τ 2

21max

3. Относительные деформации по главным направлениям для плоского

состояния определяются по формулам закона Гука:

)(1

211 E

; )(1

122 E

; )( 213

E

;

или в числовых значениях:

000479,0102

3403,0106061

;

000011,0102

10603,034062

;

00021,0

102

34010603,063

.

4. Относительное изменение объема можно определить по двум зависи-

мостям:

а) через напряжения

;00028,0102

)3401060()3,021()()21(6

210

E

b) через деформации

.00028,000021,0000011,0000479,0)( 3210

5. Полную удельную потенциальную энергию деформаций определим по

формуле

.кг/см256,0

1022

)34010603,023401060()2(

2

1

2

6

22

2122

12

Eu

51

Полная потенциальная энергия состоит из двух частей. Первая из них

представляет удельную потенциальную энергию, возникающую в результате

изменения объема тела

22

210 кг/см065,0)(6

21

Eu

Вторая часть энергии образуется за счет изменения формы

2

21

2

212 кг/см191,0)(

3

1

Euф

Сделаем проверку: u= u0+uф =0,065+0,191=0,256кг/см2


Стальной стержень, защемленный на обоих концах, сжимается под дей-

ствием силы Р. Найти размеры поперечного сечения при [σ] =1600 кг/см²,

Р=30т, l=2,4 м. Сечение – равносторонний треугольник со стороной a (рис.

7).

Р и с. 7

Решение

Подбор сечения производим путем последовательных приближений. В

первом приближении принимаем коэффициент уменьшения допускаемого

напряжения φ =0,5. Определяем необходимый размер сечения a. В нашем

примере для треугольного сечения получим

_ _ _________

37,6=(a·a·√3/2)/2=a²√3/4; откуда a=√37,6·4/√3 =9,3см.

Минимальный радиус инерции сечения J определяется по формуле

____

imin=√Jmin/F.

Для упрощения последующих вычислений минимальный момент инер-

ции и минимальный радиус инерции следует выразить через заданный пара-

метр сечения a. Известно, что наименьшее значение момента инерции будет

относительно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии.

_ _

Он равен Jmin=b³·h/48, где b=a, h=a·√3/2, тогда imin= a ³·a√3/2/48; площадь

52

_ _____ _

сечения F=a²√3/4, imin=√Jmin/F=a/√24=0,204a, тогда imin=0,204·9,3=1,9см . Гиб-

кость λ=μ·l/imin=0,5·240/1,9=63, где μ – коэффициент приведения длины. Для

стержней с обоими защемленными концами μ =0,5. По табл. 7.2 находим

φ=0,84. Так как найденное значение φ не совпадает с принятым, зададимся

полусуммой этих коэффициентов.

Итак, φ=(0,5+0,84)/2=0,67. Дальнейший порядок определения коэффици-

ента остается прежним F=30000/(0,67·1600)=28см²,

_ ______

28=a²√3/4; a=√28·4/√3=8,05см;

imin=0,204·a=0,204·8,05=1,64, λ=μ /imin=0,5·240/1,64=73.

По табл. 7.2 находим φ=0,79. Снова получим расхождение коэффициен-

тов φ, однако разница между ними уменьшилась. Снова берем полусумму

коэффициентов.

Теперь φ=(0,67+0,79)/2=0,73; F=30000/(0,73·1600)=26,7 см²;

_ ________

26,7=a·²√3/4; a=√26,7·4/√3 =7,7 см; imin=0,204·7,7=1,57 см;

λ=0,5·240/1,57=76. По табл. 7.2 находим φ=0,77.

Снова вычислим φ=(0,73+0,77)/2=0,75, F=30000/(0,75·1600)=25 см²,

_ ______

25=a²·√3/4; a=√25·4/√3=7,6 см; imin=0,204·7,6=1,55 см; λ=0,5·240/1,55= 77,5.

По табл. 7.2 находим φ=0,77. Сходимость коэффициентов достаточно близ-

кая.

Проверка.

Определяем допускаемую нагрузку при последнем найденном коэффи-

циенте φ и сопоставляем ее с заданной Pдоп=φ[σ]·F= 0,77·1600·25=30700кг=

30,7т>P=30т. Расхождение от заданной нагрузки в пределах ±5% допускает-

ся. В нашем случае расхождение будет P%=(30,7-30)/30·100%=2,3%<5%.

53

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Биргер И.А., Мавлютова Р.Р. Сопротивление материалов. М.: Издательство

МАИ, 1994. 516 с.

2. Беляев Н.М. Сборник задач по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1972.

429 с.

3. Копнов И.А. Сопротивление материалов. Руководство для решения задач и

выполнения. М.: Высшая школа, 2005. 353 с.

4. Лихарев К.К., Н.А. Сухова. Сборник задач по курсу “Сопротивление мате-

риалов”. М.:Машиностроение, 1980. 224 с.

5. Паршин Л.К., Беляев Н.М., Мельников Б.Е. Сборник задач по сопротивлению

материалов. СПб.: Лань, 2008. 432 c.

6. Радченко В.П. Введение в механику деформируемых систем: Учебное посо-

бие. Самара: Самарский гос. техн. университет, 2009. 241 с.

7. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности.

М.: Высш. шк., 2000. 286 с.

8. Сапунов В.Т. Классический курс сопротивления материалов в решениях за-

дач. М.: УРСС, 2007. 154 с.

9. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. М.: Мир, 1976. 669 с.

10. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э.

Баумана, 2001. 592 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие…………………………………………………………………………………3

Порядок выполнения и защиты учебного задания...…….………………………………..4 Теоретические вопросы……………………………………………………………………..4

Темы и варианты учебных заданий………………………………………………...………4

Методические указания к выполнению учебных заданий……………………..………..41 Библиографический список……………………………………….……………………….56

Учебное издание

Математическое моделирование в естествознании

Составители

РАДЧЕНКО Владимир Павлович

КУБЫШКИНА Светлана Николаевна

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать 15.05.2013

Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Усл. п. л. 3,2. Тираж 80 экз.

Рег. № 45/11 Заказ № ____

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус.

Отпечатано в типографии

Самарского государственного технического университета

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус №8

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В...

Documents