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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷（理工类） 2015.4 （考试时间 120分钟 满分 150分）

本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分

第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项．

1．已知集合 { } { }21 2 1A m B m= =， ， ， ， ．若 B A⊆ ，则m = A．0 B．2 C．0或 2 D．1或 2

2．已知点 ( )( )0 01 0A y y >， 为抛物线 ( )2 2 0y px p= > 上一点．若点 A到该抛物线焦点的距离为 3，则 0y =

A． 2 B． 2 C． 2 2 D． 4

3．在 ABC△ 中，若 π3

A = ， 6cos3

B = ， 6BC = ，则 AC =

A． 4 2 B． 4 C． 2 3 D． 4 33

4．“ 2 1 0x x ax∀ ∈ + +R， ≥ 成立”是“ 2a≤ ”的

A．充分必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．某商场每天上午 10点开门，晚上 19点停止进入．在如图所示的框图中， t表示整点时刻， ( )a t 表

示时间段 [ )t t-1， 内进入商场人次， S表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填

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A． 17t≤ ？ B． 19t≥ ？ C． 18t≥ ？ D． 18t≤ ？

6．设 1 2 3x x x， ， 均为实数，且 ( )1

2 11 log 13

x

x⎛ ⎞ = +⎜ ⎟⎝ ⎠，

2

3 21 log3

x

x⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠，

3

2 31 log3

x

x⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠，则

A． 1 3 2x x x< < B． 3 2 1x x x< < C． 3 1 2x x x< < D． 2 1 3x x x< <

7．在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 ( )1 0A ， ， ( )1 1B ， ，且 90BOP∠ = ° 。设

( )OP OA kOB k= + ∈R ，则 | |OP ＝

A． 12

B． 22

C． 2 D．2

8．设集合 ( ){ }2 20 0 0 0 0 0| 20M x y x y x y= + ∈ ∈Z Z， ≤ ， ， ，则M 中元素的个数为 A．61 B．65 C．69 D．84

第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

9．i为虚数单位，计算 1 2i1 i−+＝＿＿＿＿＿＿＿。

10．设 nS 为等差数列{ }na 的前 n项和。若 3 8 3a a+ = ， 3 1S = ，则通项公式 na ＝＿＿＿＿＿。 11．在极坐标系中，设 0>ρ ， 0 2πθ ，若 z的最大值为 5，则实数 t的值为＿＿＿，

否

是

t = t + 1

S = S + a (t)

输出S

t = 10 , S = 0

结束

开始

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此时 z的最小值为＿＿＿＿＿。 14．将体积为 1 的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体

均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了 ( )*n n∈N 次，则第一次挖去的几何体的体积是＿＿＿＿＿＿；这 n次共挖去的所有几何体的体积和是＿＿＿＿＿。

三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分）

已知函数 ( ) 2cos 3 sin cosf x x x x= + ， x∈R．

（1）求 ( )f x 的最小正周期和单调递减区间；

（2）设 x m= （m∈R）是函数 ( )y f x= 图象的对称轴，求 sin 4m的值．

16．（本题满分 13 分）

如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频

率分布直方图的分组区间分别为 [ )50 60， ， [ )60 70， ， [ )70 80， ， [ )80 90， ， [ )90 100， ，据此解答如下问题．

（1）求全班人数及分数在 [ ]80 100， 之间的频率；

（2）现从分数在 [ ]80 100， 之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在

[ ]90 100， 的份数为 X ，求 X 的分布列和数学望期．

17．（本小题满分 14 分）

如图，正方形 ADEF与梯形 ABCD所在平面互相垂直，已知 AB CD∥ ，AD CD⊥ ， 12

AB AD CD= = ．

学⽣生成绩

9 287 1 2 2 4 5 6 8 8 9 96 2 2 3 6 7 8 9 95 5 8 8 9

频率组距

分数

0.03750.03125

0.0250.01875

0.0125

50 60 70 80 90 100O

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（1）求证： BF∥平面CDE； （2）求平面 BDF 与平面CDE所成锐二面角的余弦值；

（3）线段 EC上是否存在点M，使得平面 BDM⊥平面 BDF ？若存在，求出 EMEC的值；若不存在，

说明理由．

F

E

D C

BA

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18．（本小题满分 13分）

已知函数 ( ) ( )2

ln 12xf x a x a x a= + − + ∈R， 。

（1）当 1a = − 时，求函数 ( )f x 的最小值；

（2）当 1a≤ 时，讨论函数 ( )f x 的零点个数。

19．（本小题满分 14分）

已知椭圆 ( )2 2

2 2: 1 0x yC a ba b

+ = > > 的一个焦点为 ( )2 0F ， ，离心率为 63。过焦点 F 的直线 l与椭圆

C交于 A B， 两点，线段 AB中点为 D，O为坐标原点，过O D， 的直线交椭圆于M N， 两点。 （1）求椭圆C的方程； （2）求四边形 AMBN面积的最大值。 20．（本小题满分 13分）

若数列{ }na 中不超过 ( )f m 的项数恰为 ( )*mb m∈N ，则称数列{ }mb 是数列{ }na 的生成数列，称相应

的函数 ( )f m 是{ }na 生成{ }mb 的控制函数。设 ( ) 2f m m= 。

（1）若数列{ }na 单调递增，且所有项都是自然数， 1 1b = ，求 1a ；

（2）若数列{ }na 单调递增，且所有项都是自然数， 1 1a b= ，求 1a ；

（3）若 ( )2 1 2 3na n n= = ，， ，是否存在 { }mb 生成 { }na 的控制函数 ( ) 2g n pn qn r= + + （其中常数

p q r∈Z， ， ），使得数列{ }na 也是数列{ }mb 的生成数列？若存在，求出 ( )g n ；若不存在，说明理

由。