ФЕЙНМАНОВСКИЕДИАГРАММЫ … · 2014-01-14 · диаграмм для...

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ФЕЙНМАНОВСКИЕ ДИАГРАММЫ

ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТАТОРОВ

Электрослабая модель в примерах

Дмитрий В. Наумов,Лаборатория Ядерных Проблем ОИЯИ

Дубна

Д.В.Наумов

Фейнмановские диаграммы для экспериментаторовстраница 2/130

Д.В.Наумов-- Фейнмановские диаграммы для экспериментаторов --Книга представляет собой введение в практические вычисления Фейнмановскихдиаграмм для различных электрослабых процессов. На древесном уровне мывычисляем ширины слабых распадов мюона, пиона, тау-лептона, нейтрона и другихчастиц, сечения рассеяния нейтрино и анти-нейтрино на лептоне и на нуклоне.Также в книгу вошли некоторые избранные вопросы из спиновой физики и физикинейтрино.

2

Contents

1 Введение. Краткий обзор физики частиц 51.1 Четыре взаимодействия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Гравитация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Электромагнитное взаимодействие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Слабое взаимодействие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.4 Сильное взаимодействие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Лептоны и кварки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 3 семейства лептонов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 SU(6) кварковая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Уравнение Дирака и γ-матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Релятивистские обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Уравнение Клейна-Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.3 Уравнение Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.4 γ матрицы и их алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.5 Решения уравнения Дирака для свободной частицы. . . . . . . . . . . . 21

1.4 Лагранжиан взаимодействия и правила Фейнмана. . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Вероятность взаимодействия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.1 Ширины и сечения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.2 Квадрат матричного элемента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.3 Преобразования Фирца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.4 Замечание о δ функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Распады 352.1 Распад мюона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1 Вычисление ширины распада мюона в лабораторной системе . . . . . . 382.2 Распад π → lν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Подавление распада π+ → e+νe по сравнению с π+ → µ+νµ . . . . . . . . 422.3 β распад нейтрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Распады τ лептона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.1 Оценка времени жизни τ лептона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.2 Распад τ → ντπ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.3 Распад τ → ντK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.4 Основные моды распада тау лептона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Лептон-лептонное взаимодействие 533.1 Кинематика реакций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Заряженные токи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Нейтральные токи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4 Интерференция заряженного и нейтрального токов . . . . . . . . . . . . . . . 583.5 Аннигиляция e+e− → µ+µ− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1

Д.В.Наумов


4 Структура нуклона из лептон-нуклонных взаимодействий 614.1 Кварк-партонная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1 Правила сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Кинематика и сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.1 Кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.2 Сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Глубоконеупругое рассение нейтрино и антинейтрино на нуклоне . . . . . . . . 674.3.1 Сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.2 Структурные функции и правила сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4 Глубоконеупругое рассение заряженных лептонов на нуклоне . . . . . . . . . . 714.4.1 Сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.2 Структурные функции и правила сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 Упругое взаимодействие нейтрино. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.6 Резонансное взаимодействие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5 Физика нейтрино 795.1 Как измерить сечение νN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.1 Определение потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.1.2 Глубоконеупругое взаимодействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.1.3 Упругое и квази-упругое взаимодействие . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2 Нейтринные эксперименты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2.1 Эксперименты off-axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Нейтринные осцилляции 856.1 Вакуумные осцилляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.1.1 Квантовомеханический вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.1.2 Реалистичность квантовомеханического вывода . . . . . . . . . . . . . . 876.1.3 Квантово-полевой вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.2 Осцилляции в веществе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3 ?Нейтринные осцилляции в вакууме и веществе. КТП и волновые пакеты. . . . 91

6.3.1 Осцилляции в вакууме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3.2 Осцилляции в веществе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3.3 Уравнение и полюса функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7 Как обнаружить реликтовые нейтрино? 1177.1 Рассеяние νµ + µ− → π− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2 Рассеяние νe + n → p+ e− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8 Стандартная Модель 121

9 Элементы классической теории поля 1239.1 Принцип наименьшего действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.2 Свободные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.2.1 Скалярное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.2.2 Векторное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.2.3 Спинорное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.3 Симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.3.1 Теорема Нётер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.3.2 Глобальные симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.3.3 Калибровочные абелевые симметрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.3.4 Калибровочные неабелевые симметрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.4 Нарушение симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.4.1 Глобальная симметрия и теорема Голдстоуна . . . . . . . . . . . . . . . 1249.4.2 U(1) калибровочная симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.4.3 SU(2) калибровочная симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2

Д.В.Наумов


9.5 Квантовая теория поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.6 Стандартная Модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.6.1 Вид слабого взаимодействия. Исторический обзор . . . . . . . . . . . . 1249.6.2 Лагранжиан Стандартной Модели для одного поколения лептонов . . . . 1249.6.3 Нарушение симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.6.4 Массы лептона и нейтрино . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.6.5 Массы векторных бозонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.6.6 Масса бозона Хиггса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.6.7 Лагранжиан после нарушения симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.6.8 Лагранжиан Стандартной Модели для трех поколений лептонов и кварков 1249.6.9 Случайные симметрии и сохраняющиеся квантовые числа . . . . . . . . 1249.6.10 Флэйворная Физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Приложения 125.1 Гауссовы интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 General formulas for block matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

.2.1 Inverse matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

.2.2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

.2.3 Transformation υ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Литература 126

Предисловие

Эта книга родилась на основе курса лекций и практических занятий поэлектрослабой модели и правилам Фейнмана, читаемого на протяжениипоследних лет автором для студентов -- экспериментаторов филиала МГУ(г.Дубна). Спецификой данного учебного заведения является то, что в немтакже учатся студенты и аспиранты из других ВУЗов России и стран участницОИЯИ, сотрудничающих с дубненскими учеными, что делает преподавание иобучение в целом более интересным и полезным. В своем курсе я всегда стремилсяпреследовать очень простую цель - дать студентам реальный инструмент длявычислений в рамках стандартной модели. При этом, я, как правило, опускалтеоретические вопросы обоснования правил Фейнмана, их вывод из квантовойтеории поля, как собственно и саму квантовую теорию поля. Вместо этогоусилия концетрировались на практическом примении правил игры. Есть рядзамечательных книг [1, 2, 3], прочтя которые с карандашиком в руках, читатель самсможет проверить некоторые из наших утверждений. В своем изложении я оченьблизко следую духу книги Л.Б.Окуня [4].

Я уверен, что большая часть кажущихся сложными вопросов, на деле нетак уж сложна и может быть понята и ''просчитана'' при помощи достаточнопростого математического аппарата. Для этих целей вполне достаточно знанияспециальной теории относительности, и азов квантовой механики. Разумеется,если читатель захочет научиться профессиональному теоретическому расчету врамках стандартной модели, ему придется изучить эти вопросы углубленнее. Можнопорекомендовать для этой цели прекрасную книгу Д.Бардина и Дж.Пасарино [5].Надеюсь, что эта книга будет полезна как экспериментаторам, так и теоретикам.

3

Д.В.Наумов


Первые научатся практическим вычислениям, которые необходимы для успешнойэкспериментальной работы в области ускорительной физики, физики частиц иастрофизики. Вторые, возможно, обратят свое внимание на подчеркиваемую напротяжении книги взаимосвязь аксиом электрослабой теории с экспериментальнымипроверками.

Дмитрий Вадимович Наумов [email protected]©Дубна 2004 - 2010

4

Chapter 1

Введение. Краткий обзор физики частиц

В этой главе мы попытаемся с ''высоты птичьего полета'' рассмотретьсовременные представления об элементарных частицах, стабильных и не очень,о том, как они взаимодействуют друг с другом (на языке квантовой теории поляэто означает, что частицы ''обмениваются квантом поля''), и какие силы приэтом участвуют. Мы кратко рассмотрим ''зоопарк'' элементарных частиц и ихклассификацию. В попытке теоретического описания релятивистских процессовс участием элементарных частиц мы проследуем историческому пути отуравнения Клейна-Гордона до уравнения Дирака, в котором появятся γ-матрицы.Убедившись, что уравнение Дирака в нерелятивистском пределе переходит вхорошо известное уравнение Паули, мы выпишем лагранжиан, из которого можнополучить уравнение Дирака. Этот лагранжиан служит отправной точкой дляпостроения правил Фейнмана, которые мы и сформулируем. Наконец, введяпонятие амплитуды взаимодействия, которая другими словами есть не чтоиное, как соответствующая диаграмма Фейнмана, мы выпишем простые правиларасчета вероятности взаимодействия, и как следствие: ширины распада исечения реакции рассеяния двух частиц.

1.1 Четыре взаимодействия.

1.1.1 Гравитация

Более трех столетий назад Ньютон нашел закон, согласно которому два массивныхтела с массами m1 и m2 действуют друг на друга. Сила гравитационноговзаимодействия пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональнаквадрату расстояния между ними:

F =GNm1m2

r2, GN = 6.67 · 10−8см3г−1с−2. (1.1)

5

Д.В.Наумов


Эта сила очень мала, если ее сравнить, например с электрической силойвзаимодействия двух электоронов:

Fграв./Fэлек. = 1/(4.17 · 1042). (1.2)

Было бы, тем не менее, ошибкой решить, что гравитационным взаимодействиемможно и вовсе пренебречь. Очевидно, что в электро-нейтральных массивныхсистемах, таких как, например, звезды или другие космические объекты, именногравитация является основной силой.

Эйнштейн построил Общую Теорию Относительности (ОТО) исходя из требованияинвариантности своих уравнений относительно произвольных преобразованийкоординат в различных точках четырех-мерного пространства-времени. ОТОвключает в себя теорию Ньютона как частный случай и предсказывает качественно иколичественно ряд неочевидных эффектов:

1. Отклонение луча света в гравитационном поле массивного объекта

Этот эффект блестяще подтвердился для луча света в поле Солнца. Всовременной астрофизике этот эффект уже используется рутинным образомдля детектирования темной материи. Суть метода заключается в том, что еслинекий темный (несветящийся) массивный объект окажется на линии междузведой и наблюдателем, то яркость наблюдаемой звезды возрастет на времяпребывания темного объекта на линии зрения, и вернется к исходной послетого, как темная объект покинет эту область. Эффект возрастания яркостисвязан именно с тем, что за счет искривления пространства данным массивнымобъектом дополнительная порция лучей света далекой звезды попадает в полезрения наблюдателя. Этот эффект называется гравитационным лензированием.

2. Прецессия перигелия Меркурия Как известно из классической механики,траектория движения массивного тела в гравитационном поле тяготениядругого массивного тела - это эллипс. Перигелием планеты в небесноймеханике назывется точка орбиты планеты, ближайшая к Солнцу. Если быв солнечной системе не было других планет, комет и прочих возмущающихфакторов, то перигелий Меркурия не менялся бы со временем. В присутствииже остальных планет солнечной системы перигелий Меркурия смещается-прецессирует примерно на 5599.7 арк-секунд в столетие. Всего лишь около43 арк-секунд в столетие невозможно было объяснить в рамках Ньютоновскоймеханики за счет вляния остальных небесных тел. Именно эти дополнительные42.980± 0.002 арк-секунды объяснил Альберт Эйнштейн [6] в рамках ОТО.

3. Существование черных дыр

ОТО предсказывает, что если масса m некоторого объекта заключена в областирадиусом, меньшим Rg = 2GNm/c2, то свет, рожденный таким объектом(например, в результате ядерных реакций) не сможет выбраться наружу итакой объект не будет светиться. Поэтому таким системам дано название

6

Д.В.Наумов


''черная дыра''. Разумеется, ничего мистического в этом названии нет. Болеетого, ''черные дыры'' на самом деле теряют свою массу за счет ''испарения''(вакуумного рождения пар нейтрино, фотонов и даже гравитонов). Этот эффектбыл теоретически обнаружен Хоукингом. Сегодня астрономами считаеся, чтосуществование ''черных дыр'' надежно установлено, и можно даже утверждать,что в центре почти каждой галактики находится по сверх-массивной ''чернойдыре''.

Упражнение 1

Оцените, чему должен равняться радиус Солнца для того, чтобы оностало ''черной дырой''.

4. Излучение гравитационных волн

Быстро меняющееся гравитационное поле, например, во вращающихся двойныхзвездных системах, или при взрыве сверх-новой, излучает гравитационныеволны. Астрономы наблюдают более двух десятков лет за бинарнойсистемой Халса-Тейлора (Рассел Халс (Russell A. Hulse) и Джозеф Тэйлор(Joseph H. Taylor), оба из Университета Принстона, получили НобелевскуюПремию за открытие нового типа пульсаров, открытие новых возможностейдля исследования гравтиации), состоящей из быстро вращающихся друготносительно друга нейтронных звезд с массами 1.4M. Период вращения 7.5часов. Скорости звезд в этой системе порядка одной тысячной от скоростисвета! Согласно теории гравитации Эйнштейна эта система должна излучатьгравитационные волны, тем самым, теряя энергию. Как следствие, звездыустремляются друг к другу, при этом период вращения звезд уменьшаетсякаждый год на 10 микросекунд. В конечном итоге, звезды упадут другна друга, излучив мощный импульс гравитационных волн. Произойдет это,согласно теории гравитации Эйнштейна, через 100 миллионов лет, когдани нас, ни памяти об этом предсказании уже не будет. Тем не менее,сегодня уменьшение периода вращения бинарной системы Халса-Тейлораэкспериментально наблюдается и находится в прекрасном согласии с теориейгравитации Эйнштейна (Рис. 1.1).

В настоящий момент готовятся эксперименты по прямому детектированиюгравитационных волн при помощи лазерных интерферометров с огромнойбазой. Рис. 1.2 иллюстрирует эту идею.

Гравитация до сих пор не вписана в стандартную квантовую теорию поля. Впервую это связано с математическими трудностями квантования объекта соспином 2. Важно, однако, заметить, что в суперсимметричных теориях,которые мы не имеем возможности здесь обсуждать, можно сформулироватьнепротиворечивое квантование гравитационного поля. Право на существование

7

Д.В.Наумов


200019951990198519801975-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Cu

mu

lati

ve s

hif

t o

f p

eri

ast

ron

tim

e (

s)

Year

General Relativity prediction

Figure 1.1: Сдвиг фазы вращения вбинарной системе Халса-Тейлора какфункций времени.

Figure 1.2: Идея детектированиягравитационных волн при помощиинтерферометра.

самой суперсимметричной теории возможно будет проверено в ближайшем будущемв экспериментах LHC (ЦЕРН).

В этой книге мы не будем рассматривать гравитационное взаимодействие вфизике частиц.

1.1.2 Электромагнитное взаимодействие.

Электромагнитное взаимодействие - взаимодействие электрических зарядов сэлектромагнитным полем. Это взаимодействие изучено очень хорошо, что неудивительно, так как им мы регулярно пользуемся, в том числе и в быту. Вквантовом описании электромагнитных процессов переносчиком взаимодействиясчитается квант света - фотон. Квантовая электродинамика, созданная 20х-50х годахXX века, в основном благодаря работам Дирака, Фейнмана, Швингера, Томонаги,Дайсона и др., чрезвычайно успешно описывает все наблюдаемые проявленияэлектромагнетизма в физике элементарных частиц. Например, экспериментальноеи теоретическое значения магнитного момента электрона совпадают с точностью додвенадцати знаков после запятой!

8

Д.В.Наумов


1.1.3 Слабое взаимодействие.

Перенсчиками слабого взаимодействия являются W± и Z0 бозоны, открытые вконце восьмедисятых годов XX века в ЦЕРНе. Эти бозоны обладают массой от80 до 90 раз большей массы протона, поэтому при низких энергиях (таких какэнергии распадов частиц, или или десятки ГэВ в ускорительных экспериментах)эти процессы протекают гораздо медленее, чем электромагнитные. Из-за этого,они и были в свое время названы слабыми. Самым известным примером слабоговзаимодействия является распад нейтрона: n → p + e− + νe. Время жизнинейтрона по меркам других нестабильных частиц прямо таки макроскопическое -14.7 минут. Любопытно, что вся история и эволюция Вселенной, возникшей врезультате Большого Взрыва, довольно сильно зависит от этого числа - временижизни нейтрона, а также скорости обратной реакции: νe + p → n + e−. В этойкниге мы постараемся научиться вычислять соответствующие величины. Слабоевзаимодействие, кроме своей слабости, обладает еще одним свойством, которое всвое время было как ''гром среди ясного неба'' для физиков той поры. Речь идет онарушении пространственной четности этого взаимодействия (P - четность). Другимисловами, скорость реакций, вызванных слабым взаимодействием, разная в нашеммире и в зеркально отраженном! Первыми предположили это физики-теоретикиЛи и Янг, пытаясь понять результаты экспериментов с К-мезонами, распадающихсяна два и три пиона. Буквально через несколько месяцев десятки экспериментовподтвердили, что пространственная четность нарушается в слабых взаимодействиях,просто на это никто не обращал внимание. Первой была соотечественница Лии Янга - мадам Ву, которая поставила простой и остроумный эксперимент: онапоместила радиоактиные ядра кобальта в магнитное поле, тем самым выстроивих спины по полю. Для того, чтобы уменьшить термическое ''дрожание'' спинов,установка была сильно охлаждена. После этого осталось только подсчитать числаэлектронов, вылетающих в результате радиоактивных распадов ''вверх'' (по полю)и ''вниз'' (против поля), чтобы сказать, есть ли асимметрия в зеркальном миреили нет (при зеркальном отражении псевдо-вектор спина не меняет направления,а вектор вылета электрона меняет на обратное). Оказалось, что действительно:N↑ 6= N↓. Впоследствии выяснилось, что слабое взаимодействие нарушает иеще одну симметрию в которую очень верили - замену частицы на анти-частицу(так называемая, С - четность). Некоторое время после этого была популярнаточка зрения, что слабые взаимодействия сохраняют хотя бы совместное действиепространственного отражения и замены частицы на анти-частицу (PC четность), нов распадах K0

S и K0L мезонов и эта симметрия оказалась несохраняющейся в слабых

процессах.

1.1.4 Сильное взаимодействие.

Сильные взаимодействия действуют между кварками и перенсчиками этоговзаимодействия - глюонами. Как остаточные (ван дер Ваальсовы) эффекты от

9

Д.В.Наумов


межкварковых взаимодействий проявляют себя ядерные силы, действующие междунуклонами (протонами и нейтронами) в ядрах. Современная квантовая теория,описывающая сильные взаимодействия это квантовая хромодинамика (КХД). Такоеназвание она получила из-за того, что кваркам и глюонам был присан цвет:красный, синий или зеленый. Глюоны же обладают цветом-антицветом. Например,взаимодействие синего и красного кварков описывается в первом приближениикак обмен сине-антикрасным глюоном, превращающим синий кварк в красный,а красный в синий. Интенсивность сильного взаимодействия характеризуетсяконстантой αs, которая на самом деле вовсе и не константа, а функция квадратапереданного четырех - импульса Q2 (мы определим далее, что это такое). αs(Q

2)становится меньше единицы при больших Q2 >> 1 (ГэВ/с)2, что делает возможнымиспользование методов теории возмущений (разложение в ряд по αs). К сожалению,этот трюк не проходит при малых Q2, при которых αs становится сравнима идаже больше единицы. Мало кто сомневается в том, что КХД - это правильнаятеория сильных взаимодействий. Однако, вычислительные сложности при малыхпередачах импульса делают проблематичным возможности КХД предсказаний. Темне менее, электромагнитные, слабые и сильные взаимодейсвтия составляют основутак называемой Стандартной Модели, которая чрезвычайно успешно описываетподавляющее большинство экспериментальных данных.

1.2 Лептоны и кварки.

1.2.1 3 семейства лептонов.

Существуют три семейства лептонов (электронное, мюонное и тау) ссоответствующими анти-частицами:(

νe νµ ντe µ τ

)(1.3)

Аналогично, известно три семейства кварков (up, down, charm, strange, top, bottom)с соответствующими анти-кварками:(

u c td s b

)(1.4)

В настоящее время все частицы (1.3, 1.4) экспериментально обнаружены. Каждоесемейство лептонов обладает своим лептонным числом, которое сохраняется привзаимодействии. Например, при упругом рассеянии электрона на протоне можетродиться нейтрон и частица с нулевым зарядом - нейтрино. Сохранение электронноголептонного числа означает, что рождается электронное нейтрино, но никак немюонное или тау нейтрино:

e+ p→ n+ νe e+ p9 n+ νµ e+ p9 n+ ντ

10

Д.В.Наумов


Анти-частицы обладает лептонным числом -1, что например не запрещает такуюреакцию:

µ− → e− + νe + νµ.

Действительно, в этой реакции мюонное лептонное число равно +1 в левой и вправой частях реакции, при этом электронное лептонное число компенсируется+1(e)+(−1)(νe) = 0. Забегая немного вперед, заметим, что нейтринные осцилляции- превращение нейтрино одного сорта в нейтрино друого сорта нарушаютсохранение лептонных чисел.

Из физики частиц...Мюонное нейтрино было открыто в 1962 году Леоном Ледерманом (Leon Leder-man), Мелвином Шварцем (Melvin Schwartz) и Джеком Стейнберегром (Jack Stein-berger) в Брукхэвенской Национальной Лаборатории (США). Нобелевский комитетв 1988 году присудил этим физикам Нобелевскую Премию за метод созданиянейтринного пучка и демонстрацию дублетной структуры лептонов черезоткрытие мюонного нейтрино.

1.2.2 SU(6) кварковая модель

Рассмотрим популярную в шестидесятых годах ушедшего столетия SU(6)кварковую модель, описывающую барионы как связанные состояния трех кварков:u, d, s с двумя возможными проекциями спина (``вверх'' и ``вниз''), и образующимитаким образом, фундаментальное представление группы SU(6) = SU(3)F × SU(2)S.В рамках этой модели оказалось возможным классифицировать октет барионов всостоянии JP = 1/2+:

p(uud), n(udd),Σ+(uus),Σ0(uds),Σ−(dds),Λ0(uds),Ξ0(uss),Ξ−(dss),

а также декуплет возбужденных барионов в состоянии JP = 3/2+:

∆,Σ?,Ξ?,Ω−.

Все эти состояния прекрасно укладываются в 56-мерное представление группыSU(6) [7]. В рамках SU(6) кварковой модели можно в явном виде написатьспиновые волновые функции барионов, вычислить физические характеристики(магнитный момент, поляризация кварков и др.), которые затем можно сравнить сэкспериментальными значениями.

Спиновые волновые функции барионов

Следуя формализму, приведенному, например, в [7], можно вычислитьявный вид спиновых волновых функций мезонов и барионов. Обозначим черезu, d, s - соответствующие волновые функции кварков, стрелки ↑↓ будут указывать

11

Д.В.Наумов


направление спина частицы (вверх или вниз). Тогда спиновые волновые функциибарионов в рамках SU(6) кварковой модели имеют вид:

p↑ =1√18

(2u↑u↑d↓ − u↑u↓d↑ − u↓u↑d↑ + цикл. перестановки

)(1.5)

n↑ =1√18

(2d↑d↑u↓ − d↑d↓u↑ − d↓d↑u↑ + . . .

)(1.6)

Σ+↑=

1√18

(2u↑u↑s↓ − u↑u↓s↑ − u↓u↑s↑ + . . .

)(1.7)

Σ0↑ =1

6

(2(u↑d↑ + d↑u↑)s↓ − s↑(u↓d↑ + d↓u↑)− d↓s↑u↑ − u↓s↑d↑ + . . .

)(1.8)

Σ−↑=

1√18

(2d↑d↑s↓ − d↑d↓s↑ − d↓d↑s↑ + . . .

)(1.9)

Λ0↑ =1√12

(u↑d↓s↑ − u↓d↑s↑ − d↑u↓s↑ + d↓u↑s↑ + . . .

)(1.10)

Ξ0↑ =1√18

(2s↑s↑u↓ − s↑s↓u↑ − s↓s↑u↑ + . . .

)(1.11)

Ξ−↑=

1√18

(2s↑s↑d↓ − s↑s↓d↑ − s↓s↑d↑ + . . .

)(1.12)

Магнитные моменты барионов

Статические магнитно-дипольные моменты барионов даются оператором:

µB =∑q

µqσq,

где µq = eq/2mq---магнитный дипольный момент кварка q. Магнитный момент барионаB, описываемого кет-вектором |B〉, вычисляется согласно:

µ(B) = 〈B|µB|B〉.

Например, используя волновые функции протона и нейтрона, легко получитьследующие выражения для их магнитных моментов:

µ(p) =4

3µu −

1

3µd (1.13)

µ(n) =4

3µd −

1

3µu. (1.14)

Откуда, в предположении одинаковых масс u и d кварков, приходим к следующемупредсказанию:

µ(p)/µ(n) = −3/2,

что неплохо согласуется с экспериментальным значением −1.46 [8]. Магнитныймомент Λ0 гиперона целиком определяется магнитным моментом s-кварка: µ(Λ0) =

12

Д.В.Наумов


µs. Сравнение с экспериментальными значениями для µ(p), µ(n), µ(Λ0) приводит кследующим оценкам конституентых масс u, d, s кварков:

mu ≈ md = 336 МэВ , ms = 510 МэВ.

Если пренебречь разницей в конституентных массах u и d кварков, то магнитныемоменты всех барионов (включая принадлежащие декуплету) можно выразить черездва независимых входных параметра, скажем, µ(p) и µ(Λ0). В таб. 1.1 приведеносравнение SU(6) предсказаний для магнитных моментов барионов (в единицахмагнитного момента Бора µN ) с экспериментальными значениями [8].

Несмотря на весьма упрощенное описание структуры барионов в терминахнерелятивистских волновых функций, экспериментальные данные довольно хорошоописываются SU(6) кварковой моделью.

Table 1.1: Магнитные моменты барионов

Предсказание SU(6) ЭкспериментальноеМагнитный момент формула величина (в µN ) значение (в µN )

µ(p) 43µu − 1

3µd (input) 2.793

µ(n) 43µd − 1

3µu -1.86 -1.913

µ(Λ0) µs (input) −0.613± 0.004µ(Σ+) 4

3µu − 1

3µs 2.69 2.458± 0.010

µ(Σ−) 43µd − 1

3µs -1.04 −1.16± 0.025

µ(Ξ0) 43µs − 1

3µu -1.44 −1.25± 0.014

µ(Ξ−) 43µs − 1

3µd -0.51 −0.679± 0.031

µ(Ω−) 3µs -1.84 −1.94± 0.22

1.3 Уравнение Дирака и γ-матрицы.

1.3.1 Релятивистские обозначения

Введем релятивистские обозначения для 4-вектора (время, координата): xµ =(ct, x, y, z), если же индекс µ опустить, то изменяется знак у пространственныхкоординат: xµ = (ct,−x,−y,−z). В дальнейшем нам будет удобно использоватьметрический тензор gµν, устанавливающий связь между xµ и xµ: xµ = gµνxν. Легкосообразить, что этот тензор имеет такой вид:

gµν = gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(1.15)

13

Д.В.Наумов


4-вектор производных определяется таким образом:

∂µ =∂

∂xµ=

(1

c

∂

∂t,∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)=

(1

c

∂

∂t,∇),

легко определить также: ∂µ = gµν∂ν, что дает лоренц-инвариантный операторДаламбера:

= ∂µ∂µ =

(1

c2∂2

∂2t−∇2

).

Обращаем внимание читателя, что скалярное произведение двух 4-векторов немногоотличается от привычного трехмерного знаком в пространственной части: a · b =a0b0−axbx−ayby−azbz. Теперь мы можем легко построить 4-вектор энергии-импульса:

pµ = (E/c,p) , pµ = (E/c,−p) ,

так что квадрат этого вектора есть:

p2 = pµpµ = E2/c2 − p2 = (mc)2. (1.16)

1.3.2 Уравнение Клейна-Гордона

Попробуем совершить прямолинейный переход от нерелятивистского уравненияШредингера к некоторому новому, но релятивистскому. Для этого вспомним, какполучается уравнение Шредингера: уравнение для кинетической энергии E =p2/2m записывается в операторной форме, ставя в соответсвие энергии и импульсуоператоры:

E → i~∂

∂t, p → −i~∇,

действующие на волновую функцию ψ. В результате мы имеем:

i~∂

∂tψ = − ~2

2m∇2ψ.

Действуя аналогичным образом, мы получаем из (1.16) уравнение Клейна-Гордона:(+

(mc~

)2)φ = 0. (1.17)

Хотелось бы, чтобы волновой функции φ из уравнения (1.17) можно былопридать какую-то вероятностную интерпретацию, как это делается для уравненияШредингера. Попробуем для исследования возможности этого проделатьаналогичный прием, который делается для уравнения Шредингера: умножим слева(1.17) на φ∗, затем комлексно сопряженное уравнение (1.17) тоже умножим слева,но на φ и результат вычтем один из другого:

∇µ (φ∗∇µφ− φ∇µφ∗) = 0 или

∂

∂t

[i~

2mc2

(φ∗∂φ

∂t− φ

∂φ∗

∂t

)]+ div

[~

2im(φ∗∇φ− φ∇φ∗)

]= 0. (1.18)

14

Д.В.Наумов


По аналогии с уравнением непрерывности ∂ρ∂t

+ divj = 0, в котором ρ и j плотность иток соответственно (электрического заряда, вероятности и т.д.), хотелось бы придатьвеличине i~

2mc2

(φ∗ ∂φ

∂t− φ∂φ∗

∂t

)смысл плотности вероятности. Решение

φ = Ne−i(Et−p·x)

удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона, тогда

ρ =~mc2

|N |2E.

Однако, из-за того, что энергия в уравнении Клейна-Гордона может быть какположительной, так и отрицательной, это приводит к трудности в интерпретации ρкак плотности вероятности. Любопытно, что именно эта трудность заставила Диракаискать другое уравнение, в котором бы не возникала вторая производная по времени.Сейчас мы перейдем непосредественно к уравнению Дирака, а пока заметим, чтоуравнение Клейна-Гордона не пропало из физики, ему просто придалась несколькодругая интерпретация как многочастичного полевого квантового уравнения,описывающего бесспиновые частицы.

1.3.3 Уравнение Дирака

Дирак предложил искать уравнение в виде:

i~∂ψ

∂t= −i~c

∑k

αk∂ψ

∂xk+ βmc2ψ ≡ Hψ, (1.19)

в котором α1, α2, α3 и β (пока) неизвестные параметры (и даже неизвестно - числали это). Найти их можно потребовав, чтобы ''квадрат'' этого уравнения переходилв уравнение Клейна-Гордона, в котором правильно учитывается релятивистскоесоотношение между энергией и импульсом частицы (1.16). Операторы в левой иправой частях уравнения (1.19) коммутируют друг с другом, поэтому квадрируя этоуравнение получим:

− ~2∂2ψ

∂t2= −(~c)2

∑i,k=1,3

αiαk + αkαi

2

∂2ψ

∂xi∂xk− i~mc3

∑i=1,3

(αiβ + βαi)∂ψ

∂xi+(βmc2

)2ψ.

(1.20)Таким образом, для того чтобы уравнение (1.20) совпало с уравнением Клейна-Гордона (1.17) необходимо, чтобы удовлетворялись следующие условия:

αiαk + αkαi = 2δik, αiβ + βαi = 0, α2i = β2 = 1 (1.21)

Что можно сказать о коэффициентах α1, α2, α3 и β? Очевидно, что это не числа,иначе невозможно выполнение условий (1.21). Если это матрицы, то какова ихразмерность? Из условий α2

i = β2 = 1 следует, что собственные значения матриц

15

Д.В.Наумов


αi, β равны ±1.1 Также, используя соотношение αi = −βαiβ легко получить, что следматриц αi, β равен нулю2:

Tr(αi) = −Tr(βαiβ) = −Tr(αi) = 0.

Мы знаем, что любую матрицу можно представить в виде, когда на ее диагоналестоят стоят ее собственные значения. В нашем случае, это ±1, при этом их суммаобязана быть равна нулю из-за того, что след матрицы равен нулю. Это означает, чторазмерность у матриц α1, α2, α3 и β должна быть четной. Размерность 2 не подходит,так как там есть только три линейно независимые матрицы - это матрицы Паули,следовательно, следующая минимально возможная размерность равна четырем.Одно из возможных представлений для матриц αi, β такое:

αi =

(0 σiσi 0

), β =

(1 00 −1

), (1.22)

где σi - это три матрицы Паули, удовлетворяющие следующим условиям:[σi2,σj2

]= iεijk

σk2, σiσj = δij + iεijkσk (1.23)

и могут быть представлены в виде:

σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

), (1.24)

δij и εijk это дельта символ Кронекера (единица, когда индексы совпадают иноль в обратном случае) и полностью антисимметричный тензор (меняет знак приперестановке двух соседних индексов и не меняет при циклической перестановкеиндексов). Итак, мы нашли, что αi, β это матрицы 4×4, откуда следует, что волноваяфункция ψ это тоже не число, а вектор-столбец:

ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

=

(uv

),

где u =

(ψ1

ψ2

), и v =

(ψ3

ψ4

).

1напоминаем читателю, что собственные числа (λ) матрицы A определяются из уравнения Ax = λx,где x - это собственный вектор.

2мы воспользовались тем, что под знаком следа можно циклически переставлять матрицы, а такжеβ2 = 1

16

Д.В.Наумов


Что-же можно сказать о потоке и плотности вероятности в уравнении Дирака?Действуя аналогично тому, как мы действовали в параграфе про уравнение Клейна-Гордона, запишем:

i~ψ+∂ψ

∂t=

~ci

∑k

ψ+αk∂ψ

∂xk+mc2ψ+βψ

−i~∂ψ+

∂tψ = −~c

i

∑k

∂ψ+

∂xkαkψ

+ +mc2ψ+βψ.

(1.25)

Вычитая из первого уравнение второе, получим:

i~∂ψ+ψ

∂t=

~ci

∑k

∂

∂xk(ψ+αkψ

)или

∂ρ

∂t+ divj = 0, где

ρ = ψ+ψj = cψ+αψ

. (1.26)

Как видим, в уравнении Дирака можно интерпретировать ρ как плотностьвероятности, всюду положительно определенную величину.

Прежде чем двигаться дальше, попытаемся понять насколько адекватнополученное уравнение Дирака реальности. Например, может ли это уравнениедать правильное значение гиромагнитного отношения g? Напомним суть вопроса:классический электрон с зарядом e, вращяющийся по замкнутому контуру сорбитальным моментом L, взаимодействует с внешним магнитным полем ихарактеризуется магнитным моментом равным:

µ =e

2mL.

Если предположить, что связь между внутренним магнитным моментом электрона иего спином тоже дается коэффициентом пропорциональности e/2m, то это приводилобы к сдвигу атомных уровней в магнитном поле, так называемому ''нормальному''эффекту Зеемана. На практике же наблюдается ''аномальный'' эффект Зеемана,соответствующий в 2 раза большему значению магнитного момента электрона.Это отношение ''аномальный магнитный момент''/''нормальный магнитный момент'' иназывается гиромагнитным отношением g. Нерелятивистская квантовая механикане способна правильно предсказать значение g. Посмотрим теперь, что можетнам дать уравнение Дирака. Для этого нам нужно будет включить в уравнениеэлектромагнитное поле. Это можно сделать воспользовавшись стандартнымрецептом из классической электродинамики - ''удлинение производной'':

pµ → pµ − e

cAµ, Aµ = (φ,A), π = p− e

cA.

Тогда уравнение (1.19) становится:

i~∂ψ

∂t=(cα · π + βmc2 + eφ

)ψ. (1.27)

17

Д.В.Наумов


Воспользуемся теперь явным видом матриц α, β и запишем уравнение (1.27) в видесистемы из двух уравнений на верхнюю и нижнюю компоненты u и v:

i~∂

∂t

(uv

)= cσ · π

(vu

)+ eφ

(uv

)+mc2

(u−v

)(1.28)

Интуитивно мы ожидаем, что если уравнение Дирака правильное, внерелятивистском пределе временная компонента решения этого уравнения должнаописываться зависимостью e−imc2t/~, поэтому разумно искать решение системы (1.28)в виде: (

uv

)= e−

imc2t~

(uv

),

где мы не стали менять обозначения для спиноров u, v, но будем теперьподразумевать, что они зависят от времени медленнее, чем e−imc2t/~. Проделав такуюподстановку, мы приходим к системе:

i~∂

∂t

(uv

)= cσ · π

(vu

)+ eφ

(uv

)− 2mc2

(0v

). (1.29)

Нижнее уравнение теперь легко решить, если сделать следующие предположения:

∂v

∂t∼ 0, eφ mc2.

Тогда:v =

cσ · π2mc2

u. (1.30)

Подставив теперь v из (1.30) в верхнее из уравнений (1.29), получим:

i~∂u

∂t=(σ · πσ · π

2m+ eφ

)u. (1.31)

Для того, чтобы упростить σ · πσ · π, воспользуемся следующим:

σ · πσ · π = σiσjπiπj = (δij + iεijkσk)πiπj =

π · π + iσ · (π × π) = π2 − i ecσ · (p×A+A× p).

(1.32)

В уравнении (1.32) комбинация p × A + A × p не равна нулю, как можно былобы наивно подумать исходя из векторного произведения векторов, поскольку p - этооператор, который действует не только на A, но и на волновую функцию u. Именнотак и раскроем эту комбинацию:

(p×A+A× p)u = −i~εijk (∂jAku+ Aj∂ku) =−i~εijku(∂jA) = −i~ rotAu = −i~ Bu (1.33)

18

Д.В.Наумов


Таким образом, можно переписать уравнение (1.31) в виде:

i~∂u

∂t=

((p− e/cA)2

2m+ eφ− e~

2mcσ · B

)u. (1.34)

Полученное уравнение известно как нерелятивистское квантово-механическоеуравнение Паули для биспинора u. То, что нам удалось из уравнения Дирака получитьправильный нерелятивистский предел очень вдохновляет и позволяет надеяться нато, что уравнение Дирака правильное. Хотя из полученного уравнения уже видно,что гиромагнитное отношение равно двум, как и наблюдается экспериментально,можно все же представить этот факт в еще более прозрачном виде. Для этого, мыпредставим поле A в виде: A = 1/2 B× r.

Упражнение 2Убедитесь в том, что rot (1/2 B× r) = B.

Распишем, чему равен член:

(p− e/cA)2 = p2 − ec(pA+ Ap) + e2

c2A2 = p2 − e

c(−i~) ((∇ · A) + 2A · ∇) + ... =

p2 − ec(−i~) (B× r) · ∇+ ... = p2 − e

cB · (r× p) + ... = p2 − e

cB · L+ ...,

где L ≡ r × p - это угловой момент частицы. Окончательно, уравнение (1.34)запишется в виде:

i~∂u

∂t=

(p2

2m+ eφ− e~

2mc(2S + L) · B

)u. (1.35)

В этом уравнении S = 1/2~σ - это оператор спина частицы. Как видим, перед этимоператором в явном виде стоит множитель 2, который и является гиромагнитнымотношением. Таким образом, правильное гиромагнитное отншение может бытьпредсказано только из релятивистской теории.

При выводе последнего уравнения мы пренебрегли множителем,пропорциональным A2, что разумное приближение для слабого магнитного поля.

Упражнение 3Попробуйте оценить, магнитное поле какой величины не удовлетворяет условиюслабого поля.Убедиться в том, что квадратичный по магнитному полю член действильно малможно, например, так. Рассмотрим электрон в атоме. Пусть величина магнитногополя будет сравнима с электрическим полем, которое чувствует электрон со стороныпротона-ядра: B ∼ E = e/a20, где a0 = ~2/me2 - радиус Бора. Постоянная тонкойструктуры α = e2/~c. Характерная энергия электрона в атоме водорода это Ридберг1Ry = 13.6eV = mc2α2/2 = me4/2~2 = e2/2a0. Оценим теперь отброшенное слагаемое:

1

8m

e2

c2B2r2 ∼=

1

8m

e2

c2e2

a40a20 =

me4

2~2~2

4m2c2a20= 1Ry

α2

4<< 1Ry

19

Д.В.Наумов


Упражнение 4

• Проверьте все свойства для явного вида матриц α, β

• Проверьте соотношения:

drdt

=i

~[H, r] = cα

dπ

dt=i

~[H,p]− e

c

∂A∂t

= e[E+1

cv× B], где

E = −1

c

∂A∂t

−∇φ,B = rotA.

• Вычислите явный вид γ5

1.3.4 γ матрицы и их алгебра

Уравнение Дирака в форме (1.19) содержит выделенную временную компонентупо сравнению с остальными тремя. С точки зрения релятивистской теории - это несовсем удобно. Можно записать уравнение Дирака в релятивистски ковариантнойформе. Для это умножим слева обе части уравнения на матрицу β и будем называтьтеперь:

β = γ0, βαi = γi.

Будем также использовать единицы, принятые в физике высоких энергий:

~ = c = 1.

В этом случае: [Энергия] = [Масса] = [Импульс] = [Длина]−1 = [Время]−1.Введем еще обозначение A ≡ Aµγµ, тогда уравнение Дирака запишется в такой

компактной форме: (i∂ −m

)ψ(x) = 0,

ψ(x)(i∂ −m

)= 0, где ψ ≡ ψ+γ0

(1.36)

Явный вид γ матриц такой:

γi =

(0 σi

−σi 0

), γ0 =

(1 00 −1

), γ5 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3 =

(0 11 0

)(1.37)

20

Д.В.Наумов


γ матрицы обладают такой алгеброй и следующими свойствами:

γµγν + γνγµ = 2gµν .

T r(γµ) = 0, γµγ5 = −γ5γµ

AB + BA = 2A ·BγµAγµ = −2A

γµABγµ = 2(AB + BA) = 4A ·BγµABCγµ = −2CBA

(1.38)

Упражнение 5Умножив первое из уравнений (1.38) на Aν, получим: γµA + Aγµ = 2Aµ.Умноживполученное уравнение справа на Rγµ, получим: γµARγµ+ AγµRγµ = 2RA. Рассмотревслучаи: R = 1, R = B, R = BC, получите последние три из уравнений (1.38)

Упражнение 6Пользуясь свойствами γ-матриц, вычислить произведения матриц типа O(µ)Γ(m)O(µ).Здесь σαβ = i/2 (γαγβ − γβγα) - так называемый матричный тензор спина.

Γ(m) γ5Γ(m)γ5 γµΓ(m)γµ γ5γµΓ(m)γ5γµ σµνΓ(m)σµν

I I 4 I −4 I 12 Iγ5 γ5 −4γ5 4γ5 12γ5

γα −γα −2γα −2γα 0

γ5γα −γ5γα 2γ5γ

α 2γ5γα 0

σαβ σαβ 0 0 −4σαβ

1.3.5 Решения уравнения Дирака для свободной частицы.

Легко убедиться в том, что ψ(x), являющаяся решением уравнения Дирака (1.36),есть также решение уравнения Клейна-Гордона (1.17). Действительно, подействовавна уравнение Дирака оператором i∂ +m, получим уравнение (1.17):(

i∂ +m)(

i∂ −m)ψ(x) =

(+m2

)ψ(x) = 0.

Частное решение уравнения Клейна-Гордона -- это плоская волна. Таким образом,общее решение уравнения Дирака может быть представлено в виде линейнойсуперпозиции плоских волн eipx с условием p2 = m2:

ψ(x) =1

(2π)3/2

∫dp2Ep

[e−ipxu(p, s) + eipxv(p, s)

], (1.39)

21

Д.В.Наумов


где Ep = +√p2 +m2. Спиноры u(p, s), v(p, s) зависят от 4-векторов импульса p и спина

s и удовлетворяют дополнительным уравнениям:

(p−m)u(p, s) = 0, (p+m)v(p, s) = 0 (1.40)

Прямым вычислением можно убедиться в том, что решения уравнений (1.40) ввыбранном нами базисе γ матриц(1.37) даются:

u(p, s) =1√2

((√Ep + |p|+

√Ep − |p|)ξ

(√Ep + |p| −

√Ep − |p|)n · σξ

)(1.41)

v(p, s) =1√2

((√Ep + |p| −

√Ep − |p|)n · ση

(√Ep + |p|+

√Ep − |p|)η

)(1.42)

где n = p/|p| -- единичный вектор вдоль 3-импульса частицы, σ вектор из 2 × 2матриц Паули. Двухкомпонентные спиноры ξ, η удобно выбрать так, чтобы онибыли собственными состояниями матрицы σ3, и взаимно ортогональными, например:

ξ+ =

(10

), ξ− =

(01

)и аналогично для η. Их удобно нормировать на единицу

ξ†ξ = η†η = 1. Тогда существуют лишь по два линейно независимых решения дляu, v, характиризуемых проекцией спина на выделенную ось s: us(p), vs(p). Прямымвычислением можно показать, что эти решения нормированы следующим образом:

u†rus = 2Epδrs, urus = 2mδrs (1.43)

v†rvs = 2Epδrs, vrvs = −2mδrs (1.44)

В ультрарелятивистском пределе |p| → Ep решения (1.45) превращаются в

u(p, s) =√Ep

(ξn · σξ

)(1.45)

v(p, s) =√Ep

(n · σηη

)(1.46)

В дальнейшем нам понадобятся различные проекционные операторы. Киральныепроекционные операторы определены так:

PL =1

2(1− γ5) =

1

2

(1 −1

−1 1

)(1.47)

PR =1

2(1 + γ5) =

1

2

(1 11 1

)(1.48)

Действие этих операторов на решения (1.45) дают левые и правые киральныеспиноры. В ультрарелятивистском пределе или для безмассовых частиц,

22

Д.В.Наумов


киральность совпадает со спиральностью, что легко увидеть из такого вычисления:

PLu(p, s) =√Ep

(1−n·σ

2ξ

−1−n·σ2

ξ

)=

√Ep

0000

, если ξ =(

10

)

√Ep

010−1

, если ξ =(

01

) (1.49)

PRu(p, s) =√Ep

(1+n·σ

2ξ

−1+n·σ2

ξ

)=

√Ep

1010

, если ξ =(

10

)

√Ep

0000

, если ξ =(

01

) (1.50)

Таким образом, в ультрарелятивистском пределе или для безмассовых частиц

PLu(p, s) = u(p, s−), PRu(p, s) = u(p, s+)

Удобно также определить проекционные операторы, которые выбирают состояния сопределенной энергией Λ± (больше или меньше нуля) и определенной проекциейспина Σ±. Нетрудно убедиться в том, что эти операторы определены так:

Λ± =±p+m

2m, Σ± =

1 + γ5s±2

(1.51)

Действие этих операторов на решения уравнения Дирака (1.40) есть:

Λ+u(p, s) = u(p, s), Σ±u(p, s±) = u(p, s±)

Λ−v(p, s) = v(p, s), Σ±v(p, s±) = v(p, s±)

Λ−u(p, s) = 0, Σ±u(p, s∓) = 0,

Λ+v(p, s) = 0, Σ±v(p, s∓) = 0.

Кроме того, проекционные операторы Λ± и Σ± коммутируют друг с другом, если s·p =0, также эти операторы обладают свойствами:

Λ2± = Λ±, Λ+Λ− = 0, Λ−Λ+ = 0, Λ+ + Λ− = 1 (1.52)

Σ2± = Σ±, Σ+Σ− = 0, Σ−Σ+ = 0, Σ+ + Σ− = 1. (1.53)

Очевидно, что uu, vv это не числа, а матрицы 4× 4. В общем случае, матрицы uu, vvмогут быть преставлены в виде линейной комбинации произведений проекционныхоператоров:

Λ+Σ+,Λ+Σ−,Λ−Σ+,Λ−Σ−

23

Д.В.Наумов


и, используя нормировки (1.43) легко получить:

u(p, s+)u(p, s+) = 2mΛ+Σ+ = (p+m)1 + γ5s+

2, (1.54)

u(p, s−)u(p, s−) = 2mΛ+Σ− = (p+m)1 + γ5s−

2, (1.55)

v(p, s+)v(p, s+) = −2mΛ−Σ+ = (p−m)1 + γ5s+

2, (1.56)

v(p, s−)v(p, s−) = −2mΛ−Σ− = (p−m)1 + γ5s−

2, (1.57)

откуда, в частности, следуют суммы по спину:∑s

u(p, s)u(p, s) = p+m, (1.58)∑s

v(p, s)v(p, s) = p−m (1.59)

Если умножить (??) слева на PL, а справа на PR, то в ультрарелятивистском пределеили для безмассовых частиц выживут лишь лево-спиральные спиноры:

PL(p+m)PR = PL

∑s

u(p, s)u(p, s)PR = PLu(p,−)u(p,−)PR (1.60)

24

Д.В.Наумов


1.4 Лагранжиан взаимодействия лептонов и кварков свекторными бозонами. Амплитуда взаимодействия,правила Фейнмана.

В этом параграфе мы постараемся кратко изложить результаты квантовополевойтеории возмущений. Мы будем предполагать, что частицы в начале и в конце каждогорассматриваемого процесса можно считать свободными. Оператор S, связывающийначальное и конечное состояния квантовой системы полностью характеризуетсялагранжианом взаимодействия LI: 3

|f〉 = S|i〉, S = Te[i

∫LI(x) dx

](1.61)

где символ T обозначает хронологическое (упорядоченное по времени)произведение операторов:

T [a(x)b(y)] ≡a(x) b(y) x0 > y0b(y) a(x) x0 < y0

Оператор S можно задать совокупностью его матричных элементов:

Sif = 〈f |S|i〉 = δif + i (2π)4 δ(4)(pf − pi)Mif (1.62)

где единичная матрица δif соответствует отсутствию взаимодействия междучастицами, δ-функция отражает закон сохранения 4-импульса (pi и pf - суммы 4-импульсов всех частиц в начальном и конечном состояниях); величина Mif носитназвание амплитуды взаимодействия.

Экспонента в (1.61) может быть представлена в виде формальногофункционального ряда. Каждому из членов этого разложения ставится всоответствие некоторая диаграмма. Сейчас мы выпишем в явном виде лагранжианстандартной модели, описывающий взаимодействие фермионов с полями векторныхбозонов, а также сформулируем правила построения диаграмм Фейнмана.

LI = LemI + LCC

I + LNCI = −ejemµ Aµ − g

2√2

[jCCµ W µ + h.c.

]− g

2 cos θWjNCµ Zµ (1.63)

причемg =

e

sin θW= 2MW

√GF (1.64)

где GF - константа Ферми, MW - масса W -бозона. Таким образом, взаимодействиевсех калибровочных полей определяется электрическим зарядом e и углом ВайнбергаθW .

3в результате квантования динамические переменные (такие как лагранжиан, тензор энергии-импульса, вектор тока) приобретают операторный смысл и выражаются через операторы рожденияи уничтожения частиц, действующих на общий для всех полей вектор состояния Φ

25

Д.В.Наумов


Взаимодействие заряженных фермионов с электромагнитным полем Aµ

описывается

jemµ =∑f

Qf fγµf =∑

`=e,µ,τ

(−1)¯γµ`+∑

q=u,d,...

eq qγµq (1.65)

где Qf - электрический заряд частицы в единицах e; суммирование идет по всемфермионам.

Заряженные токи, определяющие взаимодействие с W -бозоном, имеют вид:

jCCµ =

∑`=e,µ,τ

ν`γµ(1− γ5)`+∑qu,qd

quγµ(1− γ5)qdVquqd

= 2∑

`=e,µ,τ

(ν`)Lγµ`L + 2 [uLγµd′L + cLγµs

′L + tLγµb

′L] (1.66)

где fL = 1/2 (1 − γ5)f 4; суммирование идет по лептонному (` = e, µ, τ ) и кварковомусектору (qu = u, c, t; qd = d, s, b); величины Vquqd образуют матрицу смешиванияКабиббо-Кобаяши-Маскава (СКМ) [9, 10]: d′

s′

b′

=

Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

dsb

(1.67)

со следующими значениями |Vquqd | [8]: 0.9742− 0.9757 0.219− 0.226 0.002− 0.0050.219− 0.225 0.9734− 0.9749 0.037− 0.0430.004− 0.014 0.035− 0.043 0.9990− 0.9993

(1.68)

Взаимодействие с полем нейтрального Z-бозона описывается нейтральным током:

jNCµ =

∑f

fγµ

[I(3)f (1− γ5)− 2Qf sin

2 θW

]f

=1

2

∑`=e,µ,τ

[ν`γµ(1− γ5)ν` − ¯γµ(1− γ5)`

]+

1

2

∑q=u,c,t

qγµ(1− γ5)q − 1

2

∑q=d,s,b

qγµ(1− γ5)q − 2 sin2 θW jemµ (1.69)

где величина I(3)f = 1/2 для f = ν`, qu и I(3)f = −1/2 для f = `, qd.Ниже мы сформулируем правила Фейнмана в импульсном представлении для

вычисления матричных элементов. Диаграммная техника сыграла большую роль вразвитии квантовой теории поля и представляет собой удобный и наглядный способвычисления. Итак, диаграммы состоят из:

4здесь индекс L указывает на то, что fL представляет собой так называемую левую компонентуспинора f, более детальное обсуждение приведено при рассмотрении распада пиона

26

Д.В.Наумов


• внешних линий, отвечающих свободным частицам в начальном и конечномсостоянии

• внутренних линий, которые начинаются и заканчиваются в вершинах иописывают распространение частиц. При этом фермионные внешние ивнутренние линии имеют направление, отвечающее движению заряда вдольлинии. Поэтому они являются непрерывными и либо начинаются изаканчиваются внешними концами, либо замыкаются сами на себя внутридиаграммы

• вершин, в которых встречаются три и более линии. Вид вершин определяетсятипом взаимодействия.

Для нахождения инвариантной амплитуды взаимодействия Mif необходимоизобразить все топологически различные диаграммы (за исключением диаграммв виде изолированных вакуумных петлей и диаграмм, состоящих из частей, несвязанных друг с другом). После того, как диаграмма нарисована, следует поправилам сформулированным ниже, сопоставить каждому элементу диаграммыфактор в матричном элементе. Затем следует сложить вклады, соответствующиевсем диаграммам данного порядка теории возмущений.

Дополнительные правила таковы:

• в каждой вершине выполняется закон сохранения 4-импульса; по каждомувнутреннему импульсу, который не фиксирован законами сохранения ввершинах, следует проинтегрировать

• каждой замкнутой фермионной линии отвечает множитель (−1)

• диаграммы, которые отличаются друг от друга только перестановкой двухвнешних тождественных фермионов, имеют противоположный знак

• диаграмму следует выписывать вдоль фермионной линии, начав с выходящегоконца и пройдя последовательно до входящего. При этом спинорные индексывыстраиваются в естественном порядке и их можно не выписывать в явном виде.Если спинорных линий несколько, то надо аналогичным образом выписать всефермионные линии и затем добавить недостающие бозонные элементы. Чтокасается замкнутой фермионной линии, то по спинорным индексам возникаетшпур.

27

Д.В.Наумов


Внешние линии:

→ pu(p, s) электрон с импульсом p и спином s в

начальном состоянии

→ pu(p, s) электрон с импульсом p и спином s в конечном

состоянии

→ pυ(p, s) позитрон с импульсом p и спином s в


→ pυ(p, s) позитрон с импульсом p и спином s в конечном

состоянии

→ qεµ(q, λ) фотон с импульсом q и поляризацией λ в


→ q[εµ(q, λ)]∗ фотон с импульсом q и поляризацией λ в

конечном состоянии

Внутренние линии:

→ p

p+m

p2 −m2 + iεраспространение электрона (позитрона) симпульсом p между двумя вершинами

→ q

Aµ ν

gµν

q2 + iεраспространение фотона с импульсом qмежду вершинами µ и ν

→ p

W±µ ν

gµν

p2 −M2W + iε

распространение W± бозона с импульсом p

→ p

Z0

µ νgµν

p2 −M2Z + iε

распространение Z0 бозона с импульсом p

Вершины:

Aµ

f f

µ

W−µ

qd(`) qu(ν`)

µ

Z0µ

f f

µ

ieQfγµ i

g

2√2γµ(1− γ5)Vud i

g

2 cos θWγµ[I(3)f (1− γ5)− 2Qf sin

2 θW

]

28

Д.В.Наумов


1.5 Вероятность взаимодействия.

Вероятность перехода из начального состояния в конечное равна:

wfi = (2π)4δ4(0)(2π)4δ4(pf − pi)|Mif |2,

где Mif - это как раз и есть амплитуда взаимодействия, введенная нами в §§1.4.Здесь мы воспользовались тем, что квадрат δ(x)функции может быть представлен

в виде произведения δ(x)2 = δ(0)δ(x). Далее, по определению:

δ4(p) =1

(2π)4

∫dV dte−ipx,

значит, (2π)4 δ4(0) = V T , где объем интегрирования (V ) и время (T ) оба стремятся к∞. Теперь осталось учесть нормировки для начальных и конечных состояний, чтобыполучить вероятность процесса в единицу времени:

dwfi =wfi

T

dΦ

N, (1.70)

где dΦ - элемент фазового объема n частиц в конечном состоянии

dΦ =n∏

f=1

d3kfV

(2π)3,

а нормировочный множитель N учитывает, что Дираковские спиноры нормированыкак: u+u = v+v = 2E.

N =k∏

i=1

(2EiV )n∏

f=1

(2EfV ).

Окончательно, вероятность перехода из начального состояния в конечноезаписывается в виде:

dwfi =V (2π)4δ4(pf − pi)|Mif |2∏k

i=1(2EiV )

n∏f=1

d3kf

(2π)3 2Ef

. (1.71)

1.5.1 Ширины и сечения.

Для распада (k = 1) и без учета спина получаем:

dΓ =(2π)4 δ4(pf − pi)|Mif |2

2Ea

n∏f=1

d3kf

(2π)3 2Ef

. (1.72)

29

Д.В.Наумов


Учесть спиновые состояния нужно усреднив по начальным частицам, ипросуммировав по конечным:

dΓ =(2π)4 δ4(pf − pi)|Mif |2

2Ea(2Ia + 1)

n∏f=1

d3kf

(2π)3 2Ef

. (1.73)

В случае рассеяния частицы a на частице b в качестве ''меры вероятности''используется сечение, т.е. отношение вероятности взаимодействия к потокуначальных частиц. В лабораторной системе, в которой частица a покоится, а частицаb на ней рассеивается со скоростью vb, плотность потока равна j = vb/V , что дает,используя формулу (1.71):

dσ =dwfi

j=

(2π)4 δ4(pf − pi)|Mif |2

2ma2Ebvb

n∏f=1

d3kf

(2π)3 2Ef

.

Величина maEbvb может быть записана в произвольной системе отсчета, т.е. влоренц-инвариантном виде:

maEbvb =√(papb)2 −m2

am2b

Упражнение 7Убедитесь, что maEbvb =

√(papb)2 −m2

am2b

Таким образом, окончательно запишем формулу для сечения (без учета спиновыхсостояний):

dσ =(2π)4 δ4(pf − pi)|Mif |2

4√

(papb)2 −m2am

2b

n∏f=1

d3kf

(2π)3 2Ef

. (1.74)

Аналогичный учет спиновых состояний дает следующую формулу:

dσ =(2π)4 δ4(pf − pi)|Mif |2

4(2Ia + 1)(2Ib + 1)√

(papb)2 −m2am

2b

n∏f=1

d3kf

(2π)3 2Ef

. (1.75)

Как видим, в окончательный ответ для ширины и сечения объем V не вошел, всюдублагополучно сократившись.

1.5.2 Квадрат матричного элемента

На протяжении этой книги нам часто будет встречаться матричный элемент,составленный из произведения двух токов:

M = j1 · j2 = u1Oαu2 · u3Oαu4,

30

Д.В.Наумов


где u1, u2, u3, u4 - это спиноры, входящие в задачу (некоторые и них могут относиться кодной и той же частице, в случае распада, например), а Oα - это некоторые матрицы4× 4. Квадрат такого матричного элемента можно записать в виде:

|M |2= u1Oαu2 · u3Oαu4 · u1Oβu2 · u3Oβu4. (1.76)

Перепишем теперь уравнение (1.76) по-компонентно:

|M |2 == (u1)i (Oα)ij (u2)j · (u3)k (O

α)km (u4)m · (u1)n (Oβ)nl (u2)l · (u3)r(Oβ)rs(u4)s

= (u4)s (u1)i (Oα)ij (u2)j · (u3)k (Oα)km (u4)m · (u1)n (Oβ)nl (u2)l · (u3)r

(Oβ)rs

= Tr[u4u1Oαu2u3O

αu4u1Oβu2u3Oβ].

(1.77)

Таким образом, выражение для квадрата матричного элемента сводится к следуот произведения некоторых матриц. Для упрощения вычислений, желательновоспользоваться преобразованиями Фирца (§§1.5.3), чтобы заменить матрицу, типаu4u1 на u1u1, которая есть не что иное как матрица плотности:

u(p, s)u(p, s) =1

2(p+m)(1 + γ5s),∑

s

u(p, s)u(p, s) = (p+m)(1.78)

где s - это 4-вектор спина.

1.5.3 Преобразования Фирца

Вначале рассмотрим некоторые вспомогательные соотношения. Разложимпроизвольную 4× 4 матрицу O:

O =1

4

16∑m=1

cmΓ(m)

16 матриц Γ(m)

I, γ5, γµ, γ5γµ, σµν ≡ i

2(γµγν − γνγµ); µ < ν

линейно независимы и образуют базис векторного пространства всех 4 × 4 матриц.Поскольку 1/4TrΓ(m)Γ(n) = ±δmn (выбор знака зависит от номераm), то коэффициентыразложения cm:

cm = ∆mTrO Γ(m), ∆m =1

4TrΓ(m)Γ(m) = ±1

31

Д.В.Наумов


Таким образом,

O =1

4

16∑m=1

∆mTrO Γ(m) Γ(m)

Oil −1

4

16∑m=1

∆mΓ(m)il Γ

(m)kj Ojk =

[δijδkl −

1

4

16∑m=1

∆mΓ(m)il Γ

(m)kj

]Ojk = 0 (1.79)

Поскольку выражение (1.79) справедливо для произвольной матрицы O, то:

δijδkl =1

4

16∑m=1

∆mΓ(m)il Γ

(m)kj

=1

4

[δilδkj + γ5ilγ

5kj + (γµ)il(γµ)kj − (γ5γµ)il(γ

5γµ)kj +1

2(σµν)il(σµν)kj

]Сделав в этом выражении замену i → i′, l → l′ и умножив его на Aii′Bl′l, где A

и B некоторые матрицы, мы получим основное соотношение, с помощью котороговычисляются коэффициенты матрицы Фирца:

AijBkl =1

4

[(AB)ilδkj + (Aγ5B)ilγ5kj + (AγµB)il(γµ)kj

−(Aγ5γµB)il(γ5γµ)kj +1

2(AσµνB)il(σµν)kj

](1.80)

Теперь выберем A = O(α), B = O(α) и рассмотрим полученное выражение вспинорных обкладках ai, bj, ck, dl. Мы получили так называемые тождества Фирца,в которых при переходе от левой части равенства к правой спиноры bj и dl меняютсвоих партнеров:

(aO(α)i b)(cO i

(α)d) =∑j

Cij(aO(β)j d)(cO j

(β)b) (1.81)

Здесь индексы (α), (β) соответствуют возможному ковариантному суммированию,в то время как индексы i, j обозначают тип матрицы O:

OS = I, OP = γ5, OV = γµ, OA = γ5γµ, OT = σµν

Вычисляя произведения γ-матриц типа O(µ)Γ(m)O(µ) (см. упражнение 6), выпишемэлементы матрицы Фирца Cij:

Cij S V T A PS 1/4 1/4 1/8 -1/4 1/4V 1 -1/2 0 -1/2 -1T 3 0 -1/2 0 3A -1 -1/2 0 -1/2 1P 1/4 -1/4 1/8 1/4 1/4

32

Д.В.Наумов


В качестве примера выпишем в явном виде тождество Фирца для V-варианта:

(aγµb)(cγµd) = (ad)(cb)− 1

2(aγµd)(cγµb)−

1

2(aγ5γµd)(cγ5γµb)− (aγ5d)(cγ5b)

Упражнение 8Получите следующие соотношения5:

a(1± γ5)γµb · c(1± γ5)γµd = −a(1± γ5)γµd · c(1± γ5)γµb

a(1± γ5)γµb · c(1∓ γ5)γµd = 2 a(1± γ5)d · c(1∓ γ5)b

1.5.4 Замечание о δ функции

При вычислении различных интегралов в этой книге нам будет часто встречатьсяситуация, когда под знаком δ функции стоит некоторая функция от переменнойинтегрирования. Напоминаем читателю как вычислять такие интегралы:∫

dxf(x)δ(g(x)) =∑i

f(xi)

|g′(xi)|, где xi это решения g(xi) = 0. (1.82)

5Указание: сделайте замену a → a(1±γ5), ... ; далее воспользоваться разложением для V-варианта.

33

Д.В.Наумов


34

Chapter 2

Распады

В этой главе мы рассмотрим некоторые важные распады, такие как распад мюона- важнейший чисто лептонный распад, из которого получается самая точнаяоценка для константы Ферми GF , двухчастичные распады пионов и каонов налептон и нейтрино, фундаментальный по важности распад нейтрона и распадыτ лептона.

2.1 Распад мюона

Из физики частиц...Мюон -- это заряженный лептон, спин 1/2, с массой 105.658357±0.000005 МэВ. Времяжизни мюона -- (2.19703±0.0004)×10−6 сек. Мюон был открыт в космических лучах в1937 году Дж. Стрит (J. C. Street) и Е. Стивенсоном (E. C. Stevenson) в пузырьковойкамере. Открытие было опубликовано в Phys. Rev. 52, 1003 (1937) под названием''New Evidence for the Existence of a Particle Intermediate Between the Proton and Elec-tron''.

Амплитуда распада µ−(p) → e(k) + νe(q1) + νµ(q2), дается уравнением:

W+

µ−(p)

νe(q1)

νµ(q2)

e, k

⇒ M =GF√2νµ(q2)γα(1− γ5)µ(p) · e(k)γα(1− γ5)νe(q1) (2.1)

Теперь, согласно нашему рецепту, мы должны были бы вычислить квадратамплитуды (2.1). Однако, если действовать прямолинейно, это привело бы наск довольно длинным вычислениям (см.§§1.5.2). Для упрощения вычислений мы

35

Д.В.Наумов


воспользуемся преобразованием Фирца (§§1.5.3):

νµ(q2)γα(1− γ5)µ(p) · e(k)γα(1− γ5)νe(q1)

= −νµ(q2)γα(1− γ5)νe(q1) · e(k)γα(1− γ5)µ(p)(2.2)

Комплексно сопряженное выражение для M удобно вычислить, воспользовавшисьоперацией эрмитова сопряжения (копмлескное сопряжение + транспонирование),которая даст тот же самый результат, поскольку M - это число, а не матрица:

M∗ = −GF√2νe(q1)γβ(1− γ5)νµ(q2) · µ(p)γβ(1− γ5)e(k),

где мы воспользовались тем, что (aγα(1− γ5)b)+ = b+ (γα(1− γ5))

+ (a)+ =bγ0 (γα(1− γ5))

+ γ0a = bγα(1 − γ5)a. Последнее равенство мы получили,воспользовавшись явным видом γ матриц.

MM∗ =

= −G2F

2νµγα(1− γ5)µ · eγα(1− γ5)νeνeγβ(1− γ5)νµ · µγβ(1− γ5)e

= −G2F

2νµγα(1− γ5)µµγ

β(1− γ5)eeγα(1− γ5)νeνeγβ(1− γ5)νµ

= −G2F

2Tr[νµνµγα(1− γ5)µµγ

β(1− γ5)eeγα(1− γ5)νeνeγβ(1− γ5)

]воспользовавшись уравнением (1.78) и просуммировав по спину электрона ⇒

− G2F

4Tr[q2γα(1− γ5)(p+mµ)(1 + γ5s)γ

β(1− γ5)(k +me)γα(1− γ5)q1γβ(1− γ5)

].

(2.3)Прежде чем, вычислить след в уравнении (2.3), заметим, что комбинацию матриц(1− γ5)

12(p+m)(1 + γ5s)γ

β(1− γ5) можно упростить:

(1− γ5)(p+mµ)(1 + γ5s)γβ(1− γ5) = (1− γ5)(p+mµ + pγ5s+mµγ5s)γ

β(1− γ5) =

(1− γ5)(p+mµγ5s)γβ(1− γ5) +mµγ

β(1 + γ5)(1− γ5) + pγ5sγβ(1 + γ5)(1− γ5)

Последние два слагаемые равны нулю, т.к. (1+γ5)(1−γ5) = 1−γ25 = 1−1 = 0. Первоеслагаемое можно еще больше упростить, заметив, что (1 − γ5)mγ5s = −(1 − γ5)ms,т.е. (1− γ5)(p+mµγ5s) = (1− γ5)(p−mµs). Тогда, уравнение (2.3) можно записать в

36

Д.В.Наумов


виде:

|M |2 = −G2F

4Tr[q2γα(1− γ5)(p−mµs)γ

β(1− γ5)(k +me)γα(1− γ5)q1γβ(1− γ5)

]= −G

2F

4Tr[q2γα(1− γ5)p′γ

β(1− γ5)kγα(1− γ5)q1γβ(1− γ5)

]где p′ = p−ms

= −8G2

F

4Tr[q2γαp′γ

βkγαq1γβ(1− γ5)], и воспользовавшись (1.38)

= 4G2FTr

[q2γαp′q1γ

αk(1− γ5)]

= 16G2F (p

′ · q1)Tr[q2k(1− γ5)

]= 64G2

F ((p−ms) · q1) (q2 · k)

(2.4)

Теперь мы готовы вычислить вероятность распада мюона, характеризуемуюшириной (§§1.5.1):

dΓ =(2π)4 δ4(pf − pi)64G

2F ((p−ms) · q1)(q2 · k)2mµ

d3k

(2π)3 2E

d3q1

(2π)3 2w1

d3q2

(2π)3 2w2

. (2.5)

При интегрировании полученного выражения по d3q1d3q2 нам понадобится вычислитьинтеграл:

Iαβ =

∫q1αq2β

dq1w1

dq2w2

δ4(q1 + q2 − q),

где q = p− k. Iαβ можно представить в виде суммы двух ортогональных комбинаций:

Iαβ = A(q2gαβ + 2qαqβ) +B(q2gαβ − 2qαqβ).

Легко убедиться, в том, что (q2gαβ +2qαqβ)(q2gαβ +2qαqβ) = 12q4, (q2gαβ +2qαqβ)(q

2gαβ −2qαqβ) = 0. Умножим Iαβ на (q2gαβ − 2qαqβ):∫

dq1w1

dq2w2

δ4(q1 + q2 − q)(q2(q1 · q2)− 2(q1 · q)(q2 · q))

)=∫

dq1w1

dq2w2

δ4(q1 + q2 − q)(2(q1 · q2)2 − 2(q1 · q2)2

)= 0

⇒ B = 0

Умножим Iαβ на (q2gαβ + 2qαqβ):

12Aq4 = q4∫dq1w1

dq2w2

δ4(q1 + q2 − q) = q4∫dq1w2

1

d(2w1 − w)

= q44π

∫dw1d(2w1 − w) = q42π

37

Д.В.Наумов


Таким образом:A = π/6, Iαβ =

π

6(q2gαβ + 2qαqβ)

Теперь вычислим ширину:

dΓ =G2

F (p−ms)αkβπ/6(q2gαβ + 2qαqβ)

8π5mµ

d3k

E=

=G2

F

48π4mµ

[q2(p−ms, k) + 2(q, p−ms)(qk)

] d3kE

=G2

F

48π4mµ

[(m2

µ − 2mE)mµE + 2(m2µ −mµE)−mµ(m

2µ − 2mµE)Eη · n−

2Eη · nmµE]d3k

E=G2

Fm5µ

192π3ε2dε [(3− 2ε)− cosΘ(1− 2ε)] dcosΘ.

(2.6)

При выводе этих уравнений мы использовали следующие соотношения иопределения: q · k = (p− k, k) = p · k = mµE; q2 = (p− k)2 = m2

µ − 2p · k = m2µ − 2mµE;

q · p = (p−k, p) = m2µ−mµE; s ·k = η ·k = Eη ·n = E cosΘ; q · s = p · s−k · s = −E cosΘ,

поскольку p · s = 0; ε = E/Emax = 2E/mµ. Полная ширина дается интегралом:

Γ =

∫(dΓ+ + dΓ−) =

G2Fm

5µ

192π3. (2.7)

Константа GF может быть вычислена, используя измеренное на опыте значениевремени жизни мюона1, мы же пойдем несколько в обратную сторону: зная, что GF =1.166 · 10−5 ГэВ−2, оценим

τµ =~Γ=

6.582 · 10−22 МэВ сек 192π3(1.166 · 10−11 МэВ−2

)2(105.66 МэВ)5

= 2.189 · 10−6 сек,

что с 4% точностью совпадает с экспериментальным значением:τexp = 2.197 · 10−6 сек [8].

Угловое распределение вылетевших электронов в случае распадаполяризованного мюона дается формулой:

dΓ(cosΘ)

Γ=

1

2

(1− 1

3cosΘ

). (2.8)

2.1.1 Вычисление ширины распада мюона в лабораторной системе

В качестве упражнения проведем некоторые вычисления распада мюона влабораторной системе. В уравнениях 2.6 переход к системе покоя произошелво второй строке. Для перехода в лабораторную систему достаточно заметить

1точное вычисление времени жизни мюона учитывает еще радиационные поправки

38

Д.В.Наумов


следующее: массу мюона в знаменателе нужно заменить на его энергию влабораторной системе Eµ, а фазовый объем и матричный элемент являютсяЛоренц-инвариантами. Для того, чтобы убедиться в последнем проделаем явноевычисление, имея в виду его практическую ценность для учета нетривиальной трех-частичной кинематики.

−1 ≤ cosΘ ≤ 1 если EµE −mµE?max ≤ −PµP

1

β−

m2µ

2PµP≤ cosΘ ≤ 1 если 0 ≤ P ≤ EµP

?max − PµE

?max

mµ

(2.9)

где Eµ, Pµ и E,P - это энергия и модуль трехмерного импульса мюона и электронасоответственно, E?

max, P?max - максимально возможные энергия и импульс электрона

в системе покоя мюона, и β = Pµ/Eµ - скорость мюона в лабораторной системе.Пренебрегая массой электрона (E ≈ P ), и учитывая, что E?

max = mµ/2, условия (2.9)запишутся:

−1 ≤ cosΘ ≤ 1 если 0 ≤ E ≤ Eµ − Pµ

21

β−

m2µ

2PµE≤ cosΘ ≤ 1 если

Eµ − Pµ

2≤ E ≤ Eµ + Pµ

2

(2.10)

Запишем еще раз уравнение для ширины:

Γ =G2

F

48π4Eµ

∫ [q2(p−ms, k) + 2(q, p−ms)(qk)

] d3kE

=G2

F

24π3Eµ

∫ [(2m2

µ − (pk))(p−ms, k) + 2(q, p−ms)(pk)

]d cosΘEdE.

(2.11)

и вычислим явным образом два интеграла:

I1 =

∫(pk)d cosΘEdE

I2 =

∫(sk)d cosΘEdE

В системе покоя мюона:

I1 =

∫ 1

−1

d cosmµ

∫ mµ/2

0

EΘEdE =m4

µ

12

I2 =

∫ 1

−1

cosΘd cosΘ∫ mµ/2

0

E2dE = 0

В лабораторной системе:

s = ((η · Pµ)

mµ

, η +(η · Pµ)Pµ

mµ(mµ + Eµ))

39

Д.В.Наумов


Итак, учитывая, что Eµ = mµ√1−β2

, получим:

I1 =

∫(pk)d cosΘEdE

=

(∫ 1

−1

d cosΘ∫ (Eµ−Pµ)/2

0

+

∫ 1

1β− m2

µ2PµE

d cosΘ∫ (Eµ+Pµ)/2

(Eµ−Pµ)/2

)(EµE − PµE cosΘ)EdE

=E4

µ (1− β)3

12− 1

24(1− β)2(3 + β2)E4

µ +m4

µ

8=m4

µ

12

I2 =

∫(sk)d cosΘEdE

=

(∫ 1

−1

d cosΘ∫ (Eµ−Pµ)/2

0

+

∫ 1

1β− m2

µ2PµE

d cosΘ∫ (Eµ+Pµ)/2

(Eµ−Pµ)/2

)(Pµ

mµ

− cosΘ−P 2µ cosΘ

mµ(mµ + Eµ)

)ηE2dE

= ηPµEµ

mµ

(m2

µ

(1− β)3

6+E3

µ(3 + β2)(2β3 − 3β2 + 1)

12β2+m2

µEµ

2

(1− 1

β2

)+

m4µ

4βPµ

)=

ηPµEµmµ

48β2(1− β2)

(2β2(1− β2) + (3 + β2)(2β3 − 3β2 + 1)− 3(1− β2)2

)= 0.

(2.12)

Упражнение 9Убедитесь в справедливости вычислений (2.12).

2.2 Распад π → lν

Рассмотрим распад заряженного пиона на лептон и (анти) нейтрино (Рис.2.1).

u

d

W+π+(p)

νe(kν)

l+(kl)

Figure 2.1: Диаграмма Фейнмана для распада π+(p) → l+(kl) + νl(kν)

С одной стороны такой распад сложнее расчитать, чем чисто лептонный, потомучто в нем участвуют кварки в связанном состоянии, а этот объект до сих пор толкомнельзя описать чисто теоретически. С другой же стороны, именно по этой причине,

40

Д.В.Наумов


теоретики придумали множество рецептов феноменологического описания такихпроцессов, что делает практические вычисления даже проще, чем в лептонныхпроцессах. Амплитуда распада пиона может быть записана как произведениеадронного и лептонного токов:

M =GF√2cosΘCHαL

α,

где cosΘC - это косинус угла Кабиббо смешивания u и d кварков. Лептонный токLα записать легко по правилу Фейнмана; в данном случае вылетают две частицы -лептон и нейтрино, что можно представить как вылетевшее по времени нейтрино ивлетевший против времени лептон: Lα = νγα(1− γ5)l. Адронный ток Hα, в силу двух-частичности распада, может зависеть только от одного 4-импульса pα, так что егоможно представить в виде: Hα = fπpα, где fπ - это некоторая константа, вобравшая всебя всю динамику взаимодействия кварков и глюонов внутри пиона. Мы не можемее вычислить, но можем легко параметризовать! Теперь, амплитуду распада пионаможно представить в виде:

M =GF cosΘCfπ√

2pανγ

α(1− γ5)l =GF cosΘCfπ√

2νp(1− γ5)l (2.13)

Выражение νp(1 − γ5)l можно упростить, воспользовавшись законом сохраненияэнергии-импульса p = kν + kl, а также уравнениям Дирака 1.36:

νp(1− γ5)l = ν(kν + kl

)(1− γ5)l = mlν(1 + γ5)l.

Нам понадобится также комлексно-сопряженное этому выражению ml (ν(1 + γ5)l)+ =

mll+(1 + γ5)γ0νl = mll

+γ20(1 + γ5)γ0νl = mll(1 − γ5)νl. Теперь квадрат матричногоэлемента легко посчитать:

|M |2 = G2F cos2ΘCf

2πm

2l

2Trνlνl(1 + γ5)ll(1− γ5)

=G2

F cos2ΘCf2πm

2l

2Trkν(1 + γ5)(kl +ml)(1− γ5)

=G2

F cos2ΘCf2πm

2l

22Trkν kl

= 4G2F cos2ΘCf

2πm

2l (kνkl) = 4G2

F cos2ΘCf2πm

2l (kν , (p− kν))

= 4G2F cos2ΘCf

2πm

2lmπEν

(2.14)

При получении последнего равенства мы воспользовались тем, что p = (mπ, 0), k2ν =m2

ν = 0. Вычислим ширину по стандартной формуле (1.73):

Γ =

∫|M |22mπ

dΦ =|M |22mπ

Φ. (2.15)

41

Д.В.Наумов


В уравнении (2.15) мы распространили интегрирование только на фазовый объем,поскольку это распад двух-частичный и все импульсы зафиксированы закономсохранения2. Вычислим фазовый объем:

Φ =

=

∫δ4(p− kν − kl)(2π)

4 d3kν(2π)3Eν

d3kl(2π)3El

=1

16π2

∫d3kνEνEl

δ(mπ − Eν −√m2

l + E2ν)

=1

4π

∫E2

νdEν

EνEl

δ(mπ − Eν −√m2

l + E2ν) =

1

4π

Eν

El

1

1 + Eν/El

=1

4π

Eν

El

El

mπ

=Eν

4πmπ

(2.16)Подставляя вычисленный фазовый объем (2.16) в уравнение (2.15), получим:

Γ =G2

F cosΘ2Cf

2πm

2lmπ

8π

(1− m2

l

m2π

)2

. (2.17)

Упражнение 10Оцените значение константы fπ, сравнив вычисленное значение для времени жизниτ = ~/Γ с экспериментальным значением τexp = 2.6 · 10−8 сек.

2.2.1 Подавление распада π+ → e+νe по сравнению с π+ → µ+νµ

Из уравнения (2.17) можно немедленно получить отношение ширин для распадовπ+ → e+νe π

+ → µ+νµ:

Γ(π+ → e+νe)

Γ(π+ → µ+νµ)=m2

e

m2µ

(m2

π −m2e

m2π −m2

µ

)2

(2.18)

Подставив значения масс электрона, мюона и пиона: me = 0.51,mµ = 105.658,mπ =139.57 МэВ, получим отношение (2.18) равным 1.278 · 10−4, что неплохо согласуетсяс отношением из [8], равным 1.230 · 10−4. Любопытно, почему же эти шириныотличаются в 10 тысяч раз? Чем электрон ''хуже'' мюона при распаде пиона?

νl ⇐l+ ⇐

π+

Figure 2.2: Бесспиновый пионраспадается на ''левое'' нейтрино и''правый'' лептон, дающий в суммеспин 1.

На этот вопрос можно ответить математически:-- потому что квадрат матричного элемента(2.14) пропорционален m2

l .Некоторые даже добавляют:-- это следствие V − A взаимодейтсвия.Это замечательные ответы, однако дают лиони нам понимание того, почему вероятностьраспада пиона на мюон и мюонное нейтрино

2напомним, что в трех и более частичном распаде получается спектр импульсов продуктовраспадов.

42

Д.В.Наумов


больше в 10 тысяч раз, чем на позитрон иэлектронное нейтрино? Попробуем разобраться.

На рис.2.2 изображен распад π+ → l+νl. Стрелками показано направлениеспинов ''левого'' нейтрино и ''правого'' лептона. Эти ''левость'' и ''правость'' следуютдействительно из V−A взаимодействия. При этом получается система нейтрино плюслептон со спином 1, в то время как распадающийся пион обладает нулевым спином.Такой распад вообще не должен был бы идти из-за сохранения ''орбитальногомомента'' -- спина. Очевидно, что в природе такие распады существуют, и причинаэтого заключается в том, что спиральность заряженного лептона (т.е. проекция спинана импульс лептона) не является ''хорошим'' квантовым числом -- она зависит дажеот системы отсчета3. Нерелятивистская частица описывается волновой функцией, вкоторой ей смесь левых и правых компонент. Легко оценить скорости позитрона имюона из распада покоящегося пиона:

ve = 99.995%c, vµ = 27%c

Таким образом, позитрон рождается ультра-релятивистским, а мюоннерелятивистским. Значит, та часть волновой функции позитрона, которая обладаетнужной для распада ''левой'' спиральностью -- очень мала (но не равна нулю!), чтоподавляет распад пиона на позитрон и нейтрино. Такая же компонента для мюонане подавлена и процесс распада легко идет.

Читателям, для которых ''слова ничего не значат'', приведем еще и простыеформулы. Мы называем левой компонентой волновой функции выражение:

ψL =1

2(1− γ5)ψ.

Используя явный вид матрицы γ5 =

(0 11 0

), запишем:

ψL =1

2

(ϕ− χχ− ϕ

), ψ =

(ϕχ

).

Из уравнения Дирака (p−m)ψ = (Eγ0 − p · γ −m)ψ = 0 следует:

χ =σ · pE +m

ϕ, ϕ− χ =

(1− σ · p

E +m

)ϕ =

(1− pσz

E +m

)ϕ =(

1− v1+m/E

0

0 1 + v1+m/E

)ϕ.

3Например, в лабораторной системе отсчета лептон может быть 'правым'', т.е. его спин направленпаралелльно своему импульсу. Если же мы перейдем в систему отсчета, которая движется быстреелептона, то в ней направление импульса поменяет свое направление на противоположное, в то время,как спин -- нет. В новой системе отсчета лептон будет уже ''левым''. Есть одно важное исключение изэтого -- безмассовая частица -- ее невозможно обогнать, а потому спиральность безмассовой частицы-- хорошее квантовое число.

43

Д.В.Наумов


Видим, что ψL зависит только от разности ϕ − χ, но не от их суммы. В последнееуравнение мы ввели скорость v = p/E. Теперь рассмотрим два случая истинно левой

ϕ =

(01

)и правой ϕ =

(10

)волновых функций:

v → 1 v → 0

ϕ =

(10

), ψL =

0000

, ψL = 12

10

−10

ϕ =

(01

), ψL =

010

−1

, ψL = 12

010

−1

Получился интересный результат: в ультрарелятивистском пределе ψL

действительно не содержит правой примеси, целиком состоя из левой компоненты.В тоже время в нерелятивистском пределе обе правая и левая компонента входятв ψL поровну. В общем фактор подавления процесса пропорционален квадратуволновой функции ∼ 1− v2 =

m2l

E2l, что у нас и получилось явным вычислением. Очень

важно заметить, что это действительно проявление V − A вида взаимодействия.Если бы взаимодействие не было чувствительным к спиральности частиц, тоотношение ширин Γ(π+→e+νe)

Γ(π+→µ+νµ)было бы пропорционально отношению фазовых объемов(

m2π−m2

e

m2π−m2

µ

)2∼ 5.5, т.е. на позитрон и электронное нейтрино пион распадался бы даже

в 5.5 раз вероятнее, чем на мюон и мюонное нейтрино!

Упражнение 11Покажите, что энергии нейтрино и лептона даются выражениями:

Eν =m2

π −m2l

2mπ

, El =m2

π +m2l

2mπ

.

Покажите также, что скорость лептона дается выражением: vl = plEl

=(

m2π−m2

l

m2π+m2

l

)и

убедитесь в том, что наши оценки для скоростей мюона и позитрона правильные.

2.3 β распад нейтрона

Диаграмма Фейнмана для распада n(pn) → p(pp) + e(ke) + νe(kν) приведена наРис. 2.3. Превращение нейтрона с кварковым составом udd в протон с кварковым

44

Д.В.Наумов


W−

e−(ke)

νe(kν)

n(pn)

p+(pp)

Figure 2.3: Диаграмма Фейнмана для распада n(pn) → p(pp) + e(ke) + νe(kν)

составом uud происходит за счет слабого тока:

W−

d u

cosΘC

Поэтому амплитуду распада можно записать в виде:

M =GF cosΘC√

2LαH

α,

где Lα - это лептонный ток, который легко записать явно:

Lα = eγα(1− γ5)ν,

адронный ток Hα является довольной сложной функцией, из которой мы выделимлишь два члена -- векторный и аксиально-векторный:

Hα = V α − Aα = p(gV (q

2)γα − gA(q2)γαγ5

)n,

где q2 -- это квадрат переданного 4-импульса от нейтрона протону, который из-заблизости масс протона и нейтрона можно с хорошей точностью положить равнымнулю, а gV и gA -- это неизвестные функции q2. Экспериментально эти функцииизмеряются в процессах (квази) упругого рассеяния лептонов на нуклонах. Мыобсуждаем этот вопрос подробно в Главе 4. Пока же представим матричный элементв виде:

M =GF cosΘC√

2pγα(1− λγ5)n · eγα(1− γ5)ν, (2.19)

где λ = gA/gV . Вычислим |M |2. Для этого запишем адронный ток в виде суммы левойи правой компонент:

pγα(1− λγ5)n = p (aγα(1− γ5) + bγα(1 + γ5))n, гдеa = (1 + λ)/2,b = (1− λ)/2.

45

Д.В.Наумов


Применим преобразование Фирца к матричному элементу (2.19):

M =GF cosΘC√

2(−a pγα(1− γ5)ν · eγα(1− γ5)n+ 2b pγα(1− γ5)ν · eγα(1 + γ5)n).

Взяв комплексное сопряжение к этому выражению, получим:

M+ =GF cosΘC√

2(−a νγα(1− γ5)p · nγα(1− γ5)e+ 2b νγα(1− γ5)p · nγα(1 + γ5)e).

Тогда:

|M |2 = G2FcosΘC

2

2

(−a2ννγα(1− γ5)ppγβ(1− γ5)nnγ

α(1− γ5)eeγβ(1− γ5)+

+ 2ab νν(1 + γ5)ppγα(1− γ5)nn(1− γ5)eeγα(1− γ5)−

− ab ννγβ(1− γ5)ppγα(1 + γ5)nnγβ(1− γ5)eeγ

α(1− γ5)+

+2b2 νν(1 + γ5)ppγα(1 + γ5)nn(1− γ5)eeγα(1− γ5)

).

Проводя стандартные вычисления каждого их четырех следов, получим:

|M |2 = 128G2F cos2 ΘC

[a2 (pppe)(pνpn)− ab mnmp(pνpe) + b2 (pnpe)(pνpp)

](2.20)

Это выражение можно упростить далее, заметив, что покоящийся нейтронпревращается в практически покоящийся протон. Это легко понять, посколькумаксимально доступная кинетическая энергия это (mn − mp)/2 ≡ ∆/2 ≈ 0.64МэВ, что составляет менее 7 процентов от массы протона. Пренебрегая энергиейотдачи протона, запишем скалярные произведения в виде: (pppe) = mpEe, (pνpn) =Eνmn, (pνpe) = EνEe − kν · ke, (pνpp) = mpEν. Тогда:

|M |2 = 128G2F cos2ΘCmnmp

[(a2 − ab+ b2) EeEν + ab kν · ke

]=

32G2F cos2ΘCmnmpEeEν

[(1 + 3λ2) + (1− λ2) nν · ve

],

(2.21)

где nν -- это единичный вектор вдоль направления вылета анти-нейтрино, ve --это скорость электрона. По стандартной формуле (1.73) запишем ширину распаданейтрона:

dΓ =

∫32G2

F cos2ΘCmnmp

4mn

(2π)4δ4(pn − pp − ke − kν)dkν

2Eν(2π)3dpp

2Ep(2π)3dke

2Ee(2π)3

EeEν

[(1 + 3λ2) + (1− λ2) nν · ve

]=G2

F cos2ΘC

8π5

∫δ(∆− Eν − Ee)

dkνEν

dkeEe[

(1 + 3λ2) + (1− λ2) nν · ve]

(2.22)

В (2.22) член, пропорциональный nν · ve исчезает после интегрирования по угламвылета анти-нейтрино и электрона, возникнет множитель (4π)2 и с учетом того, чтоdkν = dΩνE

2νdEν, dke = dΩe|ke|EedEe получим:

dΓ =G2

F cos2ΘC(1 + 3λ2)

2π3(∆− Ee)

2√E2

e −m2eEedEe (2.23)

46

Д.В.Наумов


Проинтегрировав это выражение по энергии электрона, получим полную ширинураспада нейтрона:

Γ =G2

F∆5 cos2ΘC(1 + 3λ2)

60π30.47. (2.24)

Легко также оценить корреляцию вылета электрона и анти-нейтрино:

ν − eкоррелляция =Γ(nν · ve > 0)− Γ(nν · ve < 0)

Γ(nν · ve > 0) + Γ(nν · ve < 0)=

(1− λ2)

(1 + 3λ2)≈ −0.1 при λ ≈ 1.25

2.4 Распады τ лептона

Из физики частиц...Тау лептон -- это третий известный заряженный лептон, спин 1/2, с массой1777.03 ± 0.3 МэВ. Время жизни тау лептона -- (2.906 ± 0.0011) × 10−13 сек. Он былоткрыт в 1975 году на встречных пучках e+e− в Стэнфорде, в эксперименте SPEAR(1973-1974). Мартин Перл изучал реакцию аннигиляции e+e− → τ+τ−, которыераспадались с образованием мюона и электрона, как на левом рис. 2.4. Детекторрегистрировал только два заряженных трека -- мюона и электрона, причемимпульсы этих частиц были не сбалансированы из-за уносящих часть импульсанейтрино и анти-нейтрино. Пример такого события, реконструированногокомпьютером, приведен на правом рис. 2.4. Мартин Перл и Фредерик Рейнес в1995 году получили Нобелевскую Премию за открытие тау лептона.

2.4.1 Оценка времени жизни τ лептона

τ лептон распадается по многим каналам: лептонным и полуадронным. В этом егоотличие от, скажем, мюона, который не может распаться на адрон из-за своей малоймассы. Попробуем оценить время жизни τ лептона, исходя из следующих простыхсоображений. Поскольку τ -- заряженный лептон, то за его распад ответственноиспускание W± бозона (заряженный ток), который может превратиться, либо в парулептон-нейтрино, либо в пару кварк-антикварк. В первом случае будет иметь месточисто лептонный распад, во втором -- полуадронный. Вероятность превращения W±

бозона в пару u− d в первом приближении должна быть пропоциональна вероятностипревращения в пару лептон-нейтрино, с коэффициентом пропорциональностичисло цветов кварков ×cos2 ΘC. Аналогично, вероятность превращенияW± бозона встранную пару us отличается коэффициентом число цветов кварков ×sin2ΘC. Такимобразом, полуадронная ширина распада τ лептона может быть оценена как:

Γ(τ → ντ адроны) = 3×(cos2 ΘC + sin2ΘC

)Γ(τ → ντµνµ) = 3Γ(τ → ντµνµ).

47

Д.В.Наумов


e+

e−

e−

τ+

e+

+ e−

τ+ + τ

−

τ−

µ+

νµ

µ+

+ νµ

+ ν_

τ

ν_

τ

ν_

e

e− + ν

_

e+ ν

τ

ντ

Short-Lived, Unseen

Seen Seen

Unseen Neutrinos 13

113

Electron

Track

Muon Track

Figure 2.4: Аннигиляция e+e− → τ+τ− с последующим быстрым распадом таулептонов на мюон и два нейтрино и электрон и два нейтрино (левый рисунок).Реконструированное событие рассматриваемого типа в детекторе SPEAR. Мюоноставляет отсчеты также в специальном детекторе, до которого электрон не способендобраться из-за потерь энергии (правый рисунок).

Для оценки лептонной ширины Γ(τ → ντµνµ) можно воспользоваться результатамивычислений распада мюона§2.1. В уравнении (2.7) нужно всего лишь заменить массумюона на массу тау лептона:

Γ(τ → ντµνµ) = Γ(τ → ντeνe) =G2

Fm5τ

192π3=

(mτ

mµ

)5

Γ(µ− → eνeνµ).

Полная ширина распада τ лептона -- это сумма всех парциальных ширин:

Γ(τ → все) = Γ(τ → ντeνe) + Γ(τ → ντeνe) + Γ(τ → ντадроны) =

5

(mτ

mµ

)5

Γ(µ− → eνeνµ).

Подставив числа в это уравнение, получаем, оценку для времени жизни τ лептона:

ττ =~

Γ(τ → все)= 3.16 · 10−13 сек.,

что с 9% точностью согласуется с экспериментальным значением.

2.4.2 Распад τ → ντπ

48

Д.В.Наумов


Из физики частиц...Через 25 лет после открытия тау лептона, коллаборация DONUT (Direct Ob-servation of the Nu Tau) из 54 физиков США, Японии, Кореи и Греции объявила опрямом наблюдении ντ в эмульсионной пленке. Активная часть детектора DONUTсостоит из слоев железа толщиной в 1 мм, проложенных слоями пластика, накоторые, с противоположных сторон нанесены слои фотоэмульсии. Заряженныечастицы, проходя через слои фотоэмульсии оставляют четкий след, по которымэкспериментаторы восстанавливают треки частиц. На рис. 2.5 приведенореальное событие из данных эксперимента DONUT. В этом событии τ нейтринов результате взаимодействия с нуклоном вещества с обеном W+ бозона (такиесобытия называются событиями по каналу заряженного тока) превратилось в τлептон, с образованием адронной струи. τ лептон, пройдя расстояние порядка0.2 мм, распался, вероятно по каналу: τ → ντ+ адрон. Невидимое тау нейтриновылетело из детектора, унося с собой часть импульса, а адрон оставил четкийслед в последующий слоях фотоэмульсии. В результате, экспериментаторычетко видят ''изломанный'' трек, который является сигнатурой тау лептона.

Tracks recorded

Particle from tau lepton decay

Tau leptondecay

Tau neutrino hits iron nucleus,produces tau lepton

Iron Iron Iron

Neutrino beam

Taulepton track

1 mm

Plastic Plastic

Detecting a Tau Neutrino

Emulsion layers

Emulsion layers

Figure 2.5: Событие в эксперименте DONUT, в котором ντ в результате взаимодействияс нуклоном вещества превратилось в τ лептон. Последний, распавшись, оставил''изломанный'' трек.

49

Д.В.Наумов


W+

u

d

τ+(kτ )

ντ (kν)

π+(kπ)

Figure 2.6: Диаграмма Фейнмана для распада τ+(kτ ) → π+(kπ) + ντ (kν)

Диаграмма Фейнмана, соответствующая распаду τ → ντπ приведена на рис. 2.6.Мы уже встречали похожую диаграмму при вычислении ширины распада пиона§2.2. Действительно, диаграмма, приведенная на рис. 2.1 отличается ''зеркальнымотражением'' и сменой обозначений. Легко выписать матричный элемент распадаτ+(kτ ) → π+(kπ) + ντ (kν):

M =GF√2cosΘCfπk

απ ντγα(1− γ5)τ =

GF√2cosΘCfπmτ ντγα(1 + γ5)τ.

При получении последнего равенства мы воспользовались сохранением энергии-импульса: kτ = kπ+kν, и уравнением Дирака, аналогично тому как мы это проделалив §2.2. Квадрат матричного элемента, усредненный по поляризации τ лептона есть:

1

2|M |2 = 1

4G2

F cos2ΘCf2πm

2τTrντ ντ (1 + γ5)τ τ(1− γ5) = 2G2

F cos2 ΘCf2πm

3τEν , (2.25)

где мы воспользовались тем, что:

Trντ ντ (1 + γ5)τ τ(1− γ5) = Trkν(1 + γ5)(kτ +mτ )(1− γ5) = 2Trkν kτ = 8kν · kτ = 8Eνmτ .

Фазовый объем Φ вычисляется аналогично уравнению (2.16):

Φ =

∫δ4(kτ − kν − kπ)(2π)

4 d3kν(2π)3Eν

d3kπ(2π)3Eπ

=Eν

4πmτ

. (2.26)

Наконец, ширина:

Γ(τ → πν) =1

2|M |2 Φ

2mτ

=G2

F cosΘ2Cf

2πm

2τE

2ν

4π=G2

F cosΘ2Cf

2πm

3τ

16π

(1− m2

π

m2τ

)2

=12π2 cos2ΘCf

2π

m2τ

Γ(τ → ντeνe) ≈ 0.6Γ(τ → ντeνe).

(2.27)

2.4.3 Распад τ → ντK

Диаграмма Фейнмана для распада τ+(kτ ) → K+(kK)+ντ (kν) приведена на Рис. 2.7.Кварковый состав K+ мезона - us, что соответствует us току, с элементом матрицыККМ |Vus|2, который можно считать пренебрегая смешиванием третьего поколения

50

Д.В.Наумов


W+

u

s

τ+(kτ )

ντ (kν)

K+(kK)

Figure 2.7: Диаграмма Фейнмана для распада τ+(kτ ) → K+(kK) + ντ (kν)

лептонов, равным sinΘC. Этот распад аналогичен распаду τ → ντπ с заменами fπ →fK, mπ → mK, cosΘC → sinΘC. Таким образом, ширина распада тау лептона нанейтрино и заряженный каон дается формулой:

Γ(τ → Kν) =G2

F sinΘ2Cf

2Km

3τ

16π

(1− m2

K

m2τ

)2

=12π2 sin2 ΘCf

2K

m2τ

Γ(τ → ντeνe). (2.28)

2.4.4 Основные моды распада тау лептона

В таблице 2.1 для справки приведены основные моды распада тау лептона.

канал распада вероятность распадаµ−νµντ 17.36± 0.06e−νeντ 17.84± 0.06h−ντ 11.75± 0.11h−(≥ neutrals )ντ 36.92± 0.14h−h−h+ντ 15.19± 0.07всего ≈ 99%

Table 2.1: Основные моды распада тау лептона

51

Д.В.Наумов


52

Chapter 3

Лептон-лептонное взаимодействие

3.1 Кинематика реакций

TBD

53

Д.В.Наумов


3.2 Заряженные токи

W

νµ(k1) µ−(p2)

e−(p1) νe(k2)

W

e−(p1)

νe(k1)

νµ(k2)

µ−(p2)

Figure 3.1: Диаграммы процессов νµe− → µ−νe (слева) и νee− → µ−νµ (справа).

В этом разделе мы вычислим сечения реакций νµe− → µ−νe и νee− → µ−νµ. Теорияэтих процессов достаточно проста, поскольку в нижнем порядке теории возмущенийв них участвуют только заряженные токи (рис. 3.1).

Начнем с реакции обратного мюонного распада (νµe− → µ−νe). Матричныйэлемент этого процесса имеет вид:

M = −GF√2νeγα (1− γ5) e · µ γα (1− γ5) νµ (3.1)

Его квадрат был вычислен нами при рассмотрении распада мюона (см.раздел 2.1). Суммируя выражение (2.4) по спину мюона, найдем:∑

s

|M|2 = 128 G2F (p1k1) (p2k2) = 32 G2

F (s−m2µ)(s−m2

e) (3.2)

Сечение процесса вычислим по формуле (1.75):

σνµe→µνe =1

8 (k1p1)

∫ ∑s

|M|2 dp2

(2π)3 2E2

dk2(2π)3 2ω2

(2π)4δ(4) (k2 + p2 − k1 − p1) (3.3)

Здесь мы просуммировали по поляризации вылетающего мюона и усреднили по спинуэлектрона в начальном состоянии (дополнительный фактор 1/2 в сечении).

Выполняя интегрирование в системе центра масс получим:

σνµe→µνe =2G2

F

π(k2p2)

∫dω?

2 d cos θ? ω

?2

E?2

δ(ω?2 +

[(ω?

2)2 +m2

µ

]1/2 −√s)

=G2

F

π

(s−m2

µ

) ∫dω?

2 d cos θ? ω?

2

E?2 + ω?

2

δ

(ω?2 −

s−m2µ

2√s

)(3.4)

Мы видим, что дифференциальное сечение изотропно в системе центра масс.Окончательно, полное сечение процесса равно:

σνµe→µνe =4G2

F

π(ω?

2)2 =

G2F

πs

(1−

m2µ

s

)2

(3.5)

54

Д.В.Наумов


Дифференциальное сечение можно записать также и в терминах инвариантныхпеременных s, u и t. Поскольку t = (k1 − k2)

2, то dt = 2ω?1ω

?2 d cos θ

? и(dσ

dt

)νµe→µνe

=G2

F

π

s−m2µ

s−m2e

, tin[0; 4ω?1ω

?2] (3.6)

Перейдем к рассмотрению процесса νee− → µ−νµ. Матричный элемент этой

реакции связан с амплитудой обратного мюонного распада соотношениями кроссинг-симметрии: испускание νe заменено поглощением νe, поглощение νµ -- испусканиемνµ. Поэтому мы не будем вычислять квадрат матричного элемента, а в (3.2)произведем замену k1 → −k2 и k2 → −k1 (в терминах инвариантных переменныхэто означает замену s→ u = (k1 − p2)

2):∑s

|M|2 = 128 G2F (p1k2) (p2k1) = 32 G2

F (u−m2µ)(u−m2

e) (3.7)

Дифференциальное сечение равно:

dσνee→µνµ =2 G2

F

π

(p1k2) (p2k1)

(p1k1)

ω?2

E?2 + ω?

2

d cos θ?

=2 G2

F

π

(ω?2)

2

s(E?

1 + ω?2 cos θ

?) (E?2 + ω?

1 cos θ?) d cos θ? (3.8)

Или в инвариантной записи:

dσνee→µνµ =G2

F

π

(p1k2) (p2k1)

(p1k1)2 dt =

G2F

π

(s+ t−m2µ)(s+ t−m2

e)

(s−m2e)

2dt (3.9)

Интегрируя по d cos θ? (или по dt) найдем полное сечение:

σνee→µνµ =4 G2

F

π

(ω?2)

2

s

(E?

1E?2 +

1

3ω?1ω

?2

)(3.10)

=G2

F

3πs

(1−

m2µ

s

)2(1 +

m2µ +m2

e

2s+m2

µm2e

s2

)(3.11)

В асимптотике (s m2µ) мы наблюдаем линейный рост сечений с ростом энергии

нейтрино: σνµe→µνe ' σ0Eν

σνee→µνµ ' σ0Eν/3σ0 = 2meG

2F/π ≈ 1.723 · 10−41cm2/GeV (3.12)

Теперь попробуем отвлечься от математических формул и дать физическоеобъяснение полученным результатам. Линейный рост сечения с ростом энергииналетающего нейтрино определяется размерностью константы Ферми [GF ] = GeV−2.При s → ∞ единственный размерный параметр, который имеется в нашемраспоряжении - это полная энергия в системе центра масс.

55

Д.В.Наумов


e

J = 0 J = 1

e

_

e

_

e

Figure 3.2: Конфигурация импульсов и спинов в процессах νµe− → µ−νe (слева) иνee

− → µ−νµ (справа).

Угловая изотропия νµe → µνe в этой системе является следствием того, чтосуммарный угловой момент как сталкивающихся, так и вылетающих частиц равеннулю. Напротив, в процессе νee→ µνµ суммарный угловой момент системы равен 1 инаправлен по импульсу налетающего антинейтрино (Jz = 1). В силу сохранения Jz извозможных состояний конечных частиц с Jz = 0,±1 реализуется только одно. Этомусоответствует фактор 1/3 в выражении для σνee→µνµ.

3.3 Нейтральные токи

Z0

νµ(k1) νµ(k2)

e−(p1) e−(p2)

Z0

νµ(k1) νµ(k2)

e−(p1) e−(p2)

Figure 3.3: Упругое рассеяние мюонного (анти)нейтрино на электроне.

Процессы упругого рассеяния νµe− и νµe

− могут протекать только засчет взаимодействия нейтральных токов. Пользуясь правилами Фейнмана,сформулированными в разделе 1.4, выпишем амплитуду νµe− рассеяния:

M = − g2

4M2Z cos2 θW

νµ(k2)γα1− γ5

2νµ(k1) · e(p2)γα

[−1− γ5

2+ 2 sin2 θW

]e(p1)

= −GF√2νµ(k2)γ

α (1− γ5) νµ(k1) · e(p2)γα [gL (1− γ5) + gR (1 + γ5)] e(p1) (3.13)

56

Д.В.Наумов


Значения констант gL и gR в (3.13) равны:gL = −1/2 + sin2 θWgR = sin2 θW

(3.14)

Теперь вычислим M+ и воспользуемся тождествами Фирца (см. упражнение ??):

M+ =GF√2νµ(k1)γ

β (1− γ5) e(p2) · e(p1)γβ (1− γ5) νµ(k2)

− 2GF√2νµ(k1) (1− γ5) e(p2) · e(p1) (1− γ5) νµ(k2) (3.15)

Техника вычисления квадрата матричного элемента полностью аналогичнаиспользованной нами при рассмотрении распада мюона. Пользуясь тождествами(1.38), найдем:∑

s

|M|2 = 8 G2F

(g2LTrk2γβk1p1γ

β p2 (1− γ5)

+ g2RTrk2γβk1p2γβ p1 (1− γ5) + 2gLgRm

2eTrk2γβk1γ

β (1− γ5))

= 128 G2F

[g2L (k1p1) (k2p2) + g2R (k2p1) (k1p2)− gLgRm

2e (k1k2)

](3.16)

Выразим скалярные произведения из (3.16) через долю переданной энергии влабораторной системе отсчета y:

y = 1− ω2

ω1

=ω?1√s(1− cos θ?)

(p1k1) = (p2k2) = meω1 =√sω?

1

(p1k2) = (p2k1) = meω2 = ω?2 (E

?1 + ω?

2 cos θ?) =

√sω?

1 (1− y)

(k1k2) = (ω?1)

2 (1− cos θ?) =√sω?

1y

Вычисляя фазовый объем в системе центра масс системы (см. предыдущийраздел), найдем:

dσνµe→νµe =G2

F

π

(s−m2

e

) [g2L + g2R (1− y)2 − gLgR

2m2ey

s−m2e

]dy (3.17)

Интегрируя (3.17) в пределах yin[0; 1−m2e/s], найдем полное сечение:

σνµe→νµe =G2

F

πs

(1− m2

e

s

)2 [g2L +

g2R3

(1 +

m2e

s+m4

e

s2

)− m2

e

sgLgR

](3.18)

Чтобы получить сечение для νµe− рассеяния, воспользуемся кросс-симметрией.Это означает, что в амплитуде процесса (3.16) надо сделать замену k1 → −k2 и k2 →

57

Д.В.Наумов


−k1. Значит, в выражениях для сечения (3.17,3.18) надо поменять местами левую иправую компоненты gL ↔ gR:(

dσ

dy

)νµe→νµe

=G2

F

π

(s−m2

e

) [g2R + g2L (1− y)2 − gLgR

2m2ey

s−m2e

](3.19)

σνµe→νµe =G2

F

πs

(1− m2

e

s

)2 [g2R +

g2L3

(1 +

m2e

s+m4

e

s2

)− m2

e

sgLgR

](3.20)

3.4 Интерференция заряженного и нейтрального токов

Z0

νe(k1) νe(k2)

e−(p1) e−(p2)

+ W

νe(k1) νe(k2)

e−(p1) e−(p2)

Figure 3.4: Упругое рассеяние электронного нейтрино на электроне, обусловленноезаряженными и нейтральными токами.

Процесс νee− → νee

− дает интересную возможность изучения интерференциизаряженных и нейтральных токов (рис. 3.4). Здесь мы в первый раз на практикеувидим, что диаграммы, отличающиеся друг от друга перестановкой двух внешнихтождественных фермионов, имеют противоположный знак. Появление этогодополнительного знака, может быть строго обосновано только в рамках вторичногоквантования. Действительно, амплитуды MNC и MCC, соответствующие обмену Z0

и W бозонами, пропорциональны

MNC ∼∫dx dy 〈f | T

[: ψe(x)ONC

α ψe(x)Zα(x) :: ψν(y)ONC

β ψν(y)Zβ(y) :

]|i〉

∼∫dx dy Gαβ

Z (x− y)〈a−ν (k2)a−e (p2) : ψe(x)ONCα ψe(x) :: ψν(y)ONC

β ψν(y) :a+ν (k1)a

+e (p1)〉0

MCC ∼∫dx dy 〈f | T

[: ψν(x)OCC

α ψe(x)Wα(x) :: ψe(y)OCC

β ψν(y)Wβ(y) :

]|i〉

∼∫dx dy Gαβ

W (x− y)〈a−ν (k2)a−e (p2) : ψν(x)OCCα ψe(x) :: ψe(y)OCC

β ψν(y) :a+ν (k1)a

+e (p1)〉0

Напомним, что сейчас волновые функции ψ частиц являются операторами.Поэтому при спаривании их операторами рождения и уничтожения частиц a± надо

58

Д.В.Наумов


учитывать число ферми-перестановок. Поскольку порядок следования операторов вMNC и MCC отличается только перестановкой ψe и ψe, то и соответствующие вкладыбудут иметь противоположный знак. Итак, амплитуда процесса имеет вид:

M = MNC +MCC = −GF√2νe(k2)γ

α (1− γ5) νe(k1) · e(p2)γα[−1− γ5

2+ 2 sin2 θW

]e(p1)

+GF√2νe(k2)γ

α (1− γ5) e(p1) · e(p2)γα (1− γ5) νe(k1) (3.21)

Сделав преобразование Фирца для MCC мы получаем возможность переписатьвыражение (3.21) в виде (3.13), переопределив лишь константы gL и gR:

gL = 1/2 + sin2 θWgR = sin2 θW

(3.22)

Поскольку кинематика процессов упругого νµe− и νee

− рассеяния идентична, товыражения для сечений (3.17) и (3.18) будут справедливы и в этом случае. Типреакции будет определяться значением констант gL и gR.

3.5 Аннигиляция e+e− → µ+µ−

γ

e−(k1)

e+(k2)

µ−(p1)

µ+(p2)

+Z0

e−(k1)

e+(k2)

µ−(p1)

µ+(p2)

Figure 3.5: Вклад электромагнитного и слабого взаимодействий в реакцию e+e− →µ+µ−.

59

Д.В.Наумов


60

Chapter 4

Структура нуклона из лептон-нуклонныхвзаимодействий

В этой главе мы обсудим взаимодействие (анти) нейтрино и заряженныхлептонов с нуклоном. Рассмотрение начнем с обсуждения кварк-партонноймодели. Рассмотрим кинематические переменные. Вычислим сеченияглубконеупругого взаимодействия (анти) нейтрино и заряженных лептоновс нуклоном, вводя структурные функции нуклона. Вычислим эти жесечения в рамках кварк-партонной модели. Сравнив два подхода, найдемсвязб между кварковыми распределениями в нуклоне и структурнымифункциями. Сформулируем некоторые правила сумм. Приведем краткий обзорэкспериментальных данных. Рассмотрим (квази) упругое и глубоконеупругоевзаимодействия.

4.1 Кварк-партонная модель

Нуклон состоит из трех валентных кварков и моря кварк-антикварковыхпар, которые на короткое время, разрешенное принципом неопределенности,рождаются и исчезают из вакуума. Кварки и анти-кварки удерживаются вместецветовым взаимодействием посредством обмена глюонами. Все вместе являетсявесьма сложной системой для теоретических вычислений в рамках квантовойхромодинамики (КХД). В последние годы в связи с быстрым развитием компьютеровзаметен прогресс в численных методах КХД на решетке http://www.lqcd.org/.

Экспериментально структура нуклона изучается в реакциях рассеяния заряженныхлептонов, (анти) нейтрино на нуклонах. Эти взаимодействия подразделяются наупругие и глубоконеупругие. Глубоконеупругое рассеяние лептонов на нуклонахизучается уже на протяжении более 30 лет, начиная с конца шестидесятых, когдапервые измерения, выполненнные в СЛАКе в e − p рассеянии, показали, чтонуклон состоит из точечно-подобных объектов [11], названных партонами [12].В отличие от упругого e − p рассеяния, в котором сечение быстро падает с

61

Д.В.Наумов


ростом переданного импульса, сечение глубоконеупругого процесса оказалось независящим от переданного импульса в согласии с предсказанием [12]. Физическуюинтерпретацию этому дал Фейнман [13] в рамках кварк-партонной модели.Качественное объяснение этого факта заключается в том, что взаимодействиепартона с промежуточным фотоном происходит за столь короткое время, что партоныне успевают провзаимодействовать друг с другом и ведут себя как газ свободных,невзаимодействующих частиц. Глубоконеупругие процессы могут быть успешноописаны в рамках так называемой кварк-партонной модели (КПМ). Простейшая КПМформулируется в системе бесконечно большого импульса нуклона, в которой можнопренебречь поперечными импульсами партонов. Поэтому можно считать, что каждыйпартон несет некоторую долю ξ 4-импульса нуклона P и fh

i (ξ) dξ -- число партонов i--типа, переносящих часть импульса адрона h в интервале от ξ до ξ+dξ. Естественно,что: ∑

i

∫ 1

0

dξξfhi (ξ) = 1.

Глубоко-неупругое лептон-нуклонное взаимодействие является упругим рассеяниемлептона на кварке с последующей фрагментацией кварка, приводящей к развалунуклона. Сечение глубоко-неупругого процесса записывается в виде взвешеннойсуммы лептон-партонных сечений:

d2σ

dx dy=∑i

∫ 1

0

dξ fhi (ξ)

d2σi (ξ, y)

dx dy, (4.1)

Для легких (точнее -- безмассовых) (u, d, s) кварков ξ = x. Действительно, после тогокак кварк с импульсом ξP получит переданный импульс q = k−k′, его импульс станет:ξP + q. Квадрат этого импульса равен квадрату массы кварка, что можно считать длялегких кварков нулем:

m2q = (ξP + q)2 ≈ 2ξP + q2 ≈ 0.

Откуда:

ξ ≈ Q2

2Pq= x. (4.2)

Таким образом, становится понятной интерпретация Бьеркеновской переменнойx как доли импульса нуклона, переносимой данным кварком. Точное решениепредыдущего уравнения имеет вид:

ξ =−ν + (ν2 +m2 +Q2)

1/2

M= x

(1− x2M2 −m2

Q2+ . . .

), (4.3)

поэтому более корректно распределение кварков в нуклоне описывает переменнаяНахтмана:

ξN =2x

1 + (1 + 4x2M2/Q2)1/2≈ x

(1− x2M2

Q2

). (4.4)

62

Д.В.Наумов


Следующие обозначения используются для протонов и нейтронов:

кварковые распределения в протоне:

fpu(x) = u(x); f p

d (x) = d(x); f ps (x) = s(x); fp

c (x) = c(x); · · · ;fpu(x) = u(x); f p

d(x) = d(x); f p

s (x) = s(x); f pc (x) = c(x); · · · ;

кварковые распределения в нейтроне записываются, используя изоспиновуюсимметрию:

fnu (x) = d(x); fn

d (x) = u(x); fns (x) = s(x); fn

c (x) = c(x); · · · ;fnu (x) = d(x); fn

d(x) = u(x); fn

s (x) = s(x); fnc (x) = c(x); · · · ;

4.1.1 Правила сумм

Кварковые распределения должны удовлетворять следующим очевиднымусловиям: ∫ 1

0

dx (u(x)− u(x)) = 2,

∫ 1

0

dx(d(x)− d(x)

)= 1,∫ 1

0

dx (s(x)− s(x)) = 0,

∫ 1

0

dx (c(x)− c(x)) = 0.

(4.5)

4.2 Кинематика и сечение

4.2.1 Кинематика

W (q)

N(p)

νl(k)

X(p′) (адроны)

l(k′)

Figure 4.1: Кинематика глубоконеупругого лептон-нуклонного рассеяния.

Процесс лептон-нуклонного глубоко-неупругого рассеяния графически изображенна рис. 4.1, где приведены следующие 4-импульсы:

• k = (E, k) --- налетающего лептона,

63

Д.В.Наумов


• k′ = (E ′, k′) --- вылетающего лептона,

• p = (M, 0) --- нуклона мишени,

• p′ = (Eh,ph) --- системы конечных адронов,

• q = (q0,q) = k − k′ --- промежуточного бозона.

Для описания глубоконеупругого события используются такие лоренц-инвариантныекинематические переменные:

• ν = P ·qM

= E − E ′ - потеря энергии лептона,

• Q2 = −q2 = 2(EE ′ − kk′) − m2l − m2

l′ ≈ 4EE ′ sin2(θ/2), квадрат переданного 4-импульса, где m2

l (m2l′) - масса лептона в начальном (конечном) состоянии и θ

---угол рассеяния лептона в лабораторной системе.

• x = Q2

2Mν- в кварк-партонной модели x апроксимирует долю импульса нуклона,

переносимую кварком, на котором происходит рассеяние.

• y = νE- доля энергии налетающего лептона в лабораторной системе, потеряная

в результате взаимодействия.

• W 2 = (P + q)2 =M2 + 2Mν −Q2 =M2 +Q2( 1x− 1) - квадрат инвариантной масcы

конечной адронной системы.

• s = (k + P )2 = 2ME +M2 = Q2

xy+M2 - квадрат полной энергии в системе центра

масс.

Для данной энергии нейтрино область изменения кинематических переменныхограничена в следующих пределах:

m4µ

8xME2≤ ν ≤ E

(1 + 2Mx/E)→ E,

m4µ

8xME3≤ y ≤ 1

(1 + 2Mx/E)→ 1, (4.6)

m4µ

4E2≤ Q2 ≤ 2MExy

(1 + 2Mx/E)→ 2MExy,

m2µ

2ME≤ x ≤ 1.

Кинематика столкновений с партоновМы уже дали интерпретацию переменной x как доли импульса нуклона,

переносимой кварком (4.2). Введем еще и полную энергию системы нейтрино-кварк:

s = (k + xP )2 ≈ x2kP ≈ xs

64

Д.В.Наумов


Также легко дать партонную интерпретацию переменной y. Для этого перейдем всистему центра масс нейтрино и кварка, в которой Θ? - это угол вылета лептонапо отношению к направлению нейтрино. Учтем при этом, что энергии нейтрино илептона в этой системе 2E? ≈ E ′

? =√s/4:

y =ν

E=

2mν

s=Q2

xs= −(k − k′)2

xs=

2E?E′? (1− cosΘ?)

s=

(1− cosΘ?)

2= sin2

Θ?

2(4.7)

4.2.2 Сечение

Сечение рассеяния (анти) нейтрино на точечном кварке должно совпадать ссечениями νµe, νµe за счет заряженных токов, вывыденными в Главе 3:

dσνq

dy=G2

F s

π

dσνq

dy=G2

F s

π(1− y)2

Используя эти сечения и определение сечения νp, νn (4.1) легко записать сеченияглубоконеупругого рассеяния в рамках кварк партонной модели, используя функциикварковых распределений:

d2σνp

dxdy=G2

Fxs

π

[d(x) + s(x) + (1− y)2(u(x) + c(x))

]d2σνn

dxdy=G2

Fxs

π

[u(x) + s(x) + (1− y)2(d(x) + c(x))

]d2σνN

dxdy=G2

Fxs

2π

[d(x) + u(x) + 2s(x) + (1− y)2(d(x) + u(x) + 2c(x))

]d2σνp

dxdy=G2

Fxs

π

[(1− y)2(u(x) + c(x)) + d(x) + s(x)

]d2σνn

dxdy=G2

Fxs

π

[(1− y)2(d(x) + c(x)) + u(x) + s(x)

]d2σνN

dxdy=G2

Fxs

2π

[(1− y)2(d(x) + u(x) + 2c(x)) + d(x) + u(x) + 2s(x)

]

(4.8)

Дифференциальное сечение глубоконеупругого рассеяния (анти) нейтрино наизоскалярной нуклонной мишени в КПМ имеет вид:

d2σ νN

dx dy= σ0 x

[q(x) + s(x)− c(x)] + (1− y)2 [q(x) + c(x)− s(x)]

(4.9)

d2σ νN

dx dy= σ0 x

(1− y)2 [q(x) + c(x)− s(x)] + [q(x) + s(x)− c(x)]

(4.10)

65

Д.В.Наумов


где q (x) = u (x) + d (x) + s (x) + c (x) и q (x) = u (x) + d (x) + s (x) + c (x). По порядкувеличины

σ0 =G2

FME

π= 1.6× 10−38 E

ГэВсм2.

Интегральные сечения можно получить, проинтегрировав (4.9), (4.10) по x, y:

σ νN = σ0

[(Q+ S) +

1

3(Q− S)

]σ νN = σ0

[1

3(Q− S) + (Q+ S)

] (4.11)

где Q =∫ 1

0x q(x) dx, Q =

∫ 1

0x q (x) dx, S =

∫ 1

0x s(x) dx и S =

∫ 1

0x s (x) dx представляют

собой долю импульса, переносимую кварками и антикварками соответственно.Заметим, что если бы в нуклоне не было морских кварков и анти-кварков, то

сечение рассеяния нейтрино на нуклоне было бы ровно в три раза больше, чемсечение рассеяния анти-нейтрино на нуклоне:

σ νN/σ νN = 3 если нет морских кварков и анти-кварков

Экспериментальные значения:

σ νNexp = (0.677± 0.019)× 10−38 × Eν

GeVcm2

σ νNexp = (0.339± 0.010)× 10−38 × Eν

GeVcm2

σ νNexp

σ νNexp

= 2.00± 0.08

свидетельствуют косвенным образом в пользу существования морских кварков ианти-кварков в нуклоне.

Упражнение 12Длина пробега (анти) нейтрино в среде с плотностью ρ, состоящим из вещества сатомным номером 〈A〉 определяется как:

λ =〈A〉σNAρ

,

где σ - это сечение взаимодействия (анти) нейтрино со средой (нуклонами иэлектронами), NA - число Авогадро.

• Получите формулу для λ

• Оцените, чему равна длина пробега нейтрино с энергий 1 ГэВ в солнечной иземной средах? Сравните полученные числа с диаметрами Солнца и Землисоответственно.

66

Д.В.Наумов


• Оцените, при какой энергии нейтрино Земля станет ``непрозрачной`` длянейтрино?

Для справки:

ρ⊕ =5.52 г/см3

R⊕ =6.37 · 106 мρ =1.4 г/см3

R =6.95 · 108 м

4.3 Глубоконеупругое рассение нейтрино и антинейтринона нуклоне

Выведем общую формулу для сечения рассеяния лептонов на нуклоне. Начнем собщей формулы (1.75):

dσ =1

4√

(k · P )2 − k2P 2|M|2dΦ, (4.12)

где |M|2 - квадрат матричного элемента процесса, а dΦ включает в себя фазовыйобъем продуктов реакции с учетом нормировки спиноров:

dΦ = (2 π)4 δ4(pi − pf )d3 k′

2E ′(2π)3

∏f

d3 pf2Ef (2 π)3

.

Фактор 4√

(k · P )2 − k2P 2 ≈ 4EM отвечает потоку начальных частиц. Используяопределение в ур. (4.12) и пренебрегая массой вылетающего лептона: d3 k′/E ′ ≈2πE ′dE ′d cosΘ, дифференциальное сечение (4.12) может быть представлено вследующем общем виде:

dσ

dE ′d cosΘ=E ′

E

(2 π)2 δ4(pi − pf )|M|28M

dΦX . (4.13)

От переменных E ′, cosΘ легко перейти к любым другим используя соответствующийЯкобиан перехода. Например:

dσ

dxdy=

My

1− y

dσ

dE ′d cosΘ(4.14)

67

Д.В.Наумов



|M|2 для процесса глубоконеупругого рассения (анти)нейтрино на нуклонезапишем в виде:

|M|2 = G2F

2

(m2

W

m2W +Q2

)2

lµl†νh

µhν†, (4.15)

где lµ = µγµ(1 − γ5)ν - лептонный ток, hµ - соотвествующий адронный ток, фактор(m2

W

m2W+Q2

)2происходит от пропагатора W± бозона.

Введем лептонный тензор:

Lµν ≡ 1

8lµl

†ν =

1

8Tr (γµ(1∓ γ5)ννγν(1∓ γ5)µµ) , (4.16)

где знак минус относится к нейтрино, а плюс к анти-нейтрино.Аналогично определим адронный тензор:

W µν =

∫(2π)3 δ4(pi − pf )h

µhν†

2MdΦX (4.17)

Используя теперь уравнения (4.13), (6.3), (4.16), (4.17), сечение глубконеупругогорассеяния (анти) нейтрино на нуклоне может быть записано в виде:

d2σ

dE ′d cosΘ=G2

F

2π

(m2

W

m2W +Q2

)2E ′

ELµνW

µν . (4.18)

Вычислим теперь Lµν:

Lµν =1

8Tr(γµ(1∓ γ5)kγν(1∓ γ5)(k

′ +mµ))=

1

4Tr(γµkγν k

′(1∓ γ5))

=1

4kαk

′βTr (γµγαγνγβ(1∓ γ5)) = kµk

′ν + k′µkν − gµνk · k′ ± iεµνρσk

ρk′σ,(4.19)

где мы воспользовались уравнениями:

Trγαγβγµγν = 4 (gαβgµν + gανgµβ − gαµgνβ)

Trγ5γαγβγµγν = −4iεαβµν(4.20)

В отличие от лептонного тензора, на сегодняшний день мы не умеем вычислятьадронный тензорW µν. Поэтому представим его в виде суммы структур, переносящихиндексы µ, ν. Очевидно, что W µν зависит от p и q, так что в общем виде адронныйтензор может зависеть от структур вида:

gµν , pµpν , pµqν , qµqν , εµνρσpρqσ.

68

Д.В.Наумов


Заметим, что структуры, содержащие qµ в пренебрежении массой мюона исчезаютпосле свертки с симметричной относительно перестановки индексов µ и ν частьюлептонного тензора:

LSµνq

µ = ((kq)k′ν + kν(qk′)− qν(kk′)) = (−(kk′)k′ν + kν(kk

′)− qν(kk′))

= (−k′ν + kν − qν) (kk′) = 0

Оценим размерность адронного тензора:

[W µν ] = [δ4(pi − pf )][hµhν†][dΦX ]/[M ] =

1

m4m2 1

mm2 =

1

m

Таким образом, адронный тензор можно записать в следующем виде:

W µν =1

M

(−F1(x,Q

2)gµν + F2(x,Q2)pµpν

Mν+

i

2MνF3(x,Q

2)εµνρσpρqσ

),

где Fi(x,Q2) - безразмерные структурные функции нуклона в реакции рассеяния

(анти) нейтрино на нуклоне. Перемножим LµνWµν:

LµνWµν =

1

M

(2(kk′)F1 +

2(kp)(k′p)−M2(kk′)

MνF2 ±

(kp)(k′q)± (k′p)(kq)

MνF3

), (4.21)

где мы воспользовались:

εαβγδεµνγδ = −2(δαµδ

βν − δβµδ

αν

)Учтем теперь скалярные произведения (kp) = EM, (k′q) ≈ (kk′) = Q2/2, (k′p) = E ′M,(kq) = −(kk′) = −Q2/2, Q2 = 4EE ′ sin2Θ/2. Окончательно:

d2σ

dE ′d cosΘ=G2

F

π

(m2

W

m2W +Q2

)2E ′2

M

(2 sin2

Θ

2F1 + cos2

Θ

2

M

νF2 ±

(E + E ′)

νsin2

Θ

2F3

)(4.22)

Используя уравнение (4.14), а также соотношения: E ′ = E(1 − y), sin2 Θ2= Q2

4EE′ =Mxy

2E(1−y), cos2 Θ

2= 1− Mxy

2E(1−y), E + E ′ = E(2− y), сечение глубоконеупругого рассеяния

(анти) нейтрино на нуклонне в лоренц-инвариантных переменных имеет вид:

d2σ

dxdy=G2

F (s−M2)

2π

(m2

W

m2W +Q2

)2 [xy2F1 + (1− y − M2xy

s−M2)F2 ± xy(1− y/2)F3

].

(4.23)В приближении Q2 << M2

W , что соответствует Eν <<M2

W

2M= 3.4 × 103 ГэВ, а также,

предполагая Eν >> M, ур. (4.23) приобретает вид:

d2σ

dxdy=G2

FME

π

[xy2F1 + (1− y)F2 ± xy(1− y/2)F3

]. (4.24)

69

Д.В.Наумов


4.3.2 Структурные функции и правила сумм

Сравнив выражение для сечения (анти) нейтрино-нуклонного DIS, выраженноечерез структурные функции (4.24) с выражениями (4.9), (4.10), можно найтивыражения для структурных функций через кварковые распределения:

F ν,ν1 (x) =

∑qi

qi(x) +∑qi

qi(x) (4.25)

F ν,ν2 (x) = 2x

[∑qi

qi(x) +∑qi

qi(x)

](4.26)

F ν,ν3 (x) = 2

[∑qi

qi(x)−∑qi

qi(x)

](4.27)

Для ν: q = d, s, b и q = u, c, t; для ν: q = u, c, t и q = d, s, b.Структурные функции F1 и F2 связаны друг с другом соотношениями Коллана-

Гросса:2xF ν

1 (x) = F ν2 (x) 2xF ν

1 (x) = F ν2 (x).

Предполагая симметрию в распределениях:

s(x) = s(x) c(x) = c(x),

выражения для структурных функций упрощаются:

F νN2 (x) = F νN

2 (x) = x [q(x) + q(x)]

F νN3 (x) = [q(x)− q(x) + 2s(x)− 2c(x)]

F νN3 (x) = [q(x)− q(x) + 2c(x)− 2s(x)]

Экспериментальные измерения F ν2,3 как функций x,Q2 были выполнены

коллаборацией CCFR (см. рис. 4.2, 4.3, 4.4, 4.5).

Структурные функции F ν2,3(x)

Правило сумм АдлераДля структурной функции F ν

2 (x), основываясь на уравнении (4.26), можнополучить правило сумм Адлера [14]:∫ 1

0

dx

2x

[F νp2 (x)− F νp

2 (x)]= Nu −Nd = 1, (4.28)

(экспериментальная проверка [15] с большими ошибками согласуется с этимправилом)

Правило сумм Гросса-Ллевелина Смита

70

Д.В.Наумов


Для структурной функции xF ν3 (x), основываясь на уравнении (4.27), можно

получить правило сумм Гросса-Ллевелина Смита [16]

IGLS=

∫ 1

0

dx

2x

[xF νp

3 (x) + xF νp3 (x)

]=Nu +Nd=3 (4.29)

4.4 Глубоконеупругое рассение заряженных лептонов нануклоне


Рассмотрим глубоконеупругое рассеяние заряженного лептона на нуклоне воднофотонном приближении. В этом случае, аналогично случаю рассения (анти)нейтрино (§§4.3), запишем сечение в виде:

d2σ

dΩdE ′ =α2

q4E ′

ELµνW

µν .

Здесь α постоянная тонкой структуры, а тензоры Lµν и Wµν описывают лептонную иадронную вершины диаграммы 4.1 соответственно. Просуммировав по поляризациивылетающего лептона и используя правила Фейнмана, легко написать точноевыражение для лептонного тензора Lµν = LS

µν + iLAµν:

LSµν = 2

(kµk

′ν + k′µkν − gµν(k · k′ −m2

l ))

LAµν = 2εµνρσq

ρsσ

Вся информация об адронной мишени содержится в тензоре W µν, который можнозаписать как сумму симметричного и антисимметричного относительно перестановокиндексов µ, ν тензоров: Wµν = W S

µν + iWAµν. Требования ковариантости, сохранения

четности, зарядовой симметрии и сохранения тока (qµWµν = 0) приводят к такойформе адронного тензора:

W Sµν =

1

M(−gµν +

qµqνq2

)F em1 (x,Q2) +

1

M2ν(pµ − qµ

p · qq2

)(pν − qνp · qq2

)F em2 (x,Q2)

WAµν = εµναβ

qα

Mν

(Sβg1(x,Q

2) + (Sβ − pβq · SMν

)g2(x,Q2)

)Физический смысл структурных функций Fi, gi можно выяснить рассматриваярассеяние поляризованных лептонов на поляризованных нуклонах. Обозначимпродольную поляризацию пучка (мишени) в виде стрелочек ↑↓ (⇑⇓). Легкопоказать, что сумма сечений d2σ↑⇑ + d2σ↑⇓ ∼ LS

µνWµνS, тогда как разность сечений

d2σ↑⇓−d2σ↑⇑ ∼ LAµνW

µνA. Запишем выражения для суммы и разности сечений в явном

71

Д.В.Наумов


Figure 4.2: FN2 как функция Q2 в

различных интервалах по x. Дляудобства каждое последующеераспределение умножено на 2, начинаяснизу вверх.

Figure 4.3: FN2 как функция x в

различных интервалах по Q2. Дляудобства каждое последующеераспределение умножено на 2, начинаяснизу вверх.

Figure 4.4: xFN3 как функция Q2 в

различных интервалах по x. Дляудобства каждое последующеераспределение умножено на 2, начинаяснизу вверх.

Figure 4.5: xFN3 как функция x в

различных интервалах по Q2. Дляудобства каждое последующеераспределение умножено на 2, начинаяснизу вверх.

72

Д.В.Наумов


виде.

Сумма сечений

Неполяризованное сечение лептон-нуклонного рассеяния может быть найдено каксреднее от суммы сечений с противоположно направленными спинами частиц:

dσunp = 1/2(dσ↑⇑ + dσ↑⇓).

Для суммы сечений можно получить выражение:

d2σ↑⇑

dΩdE ′ +d2σ↑⇓

dΩdE ′ =8α2E ′2

MQ4

[2 sin2 θ/2 F em

1 (x,Q2) +M

νcos2 θ/2 F em

2 (x,Q2)

]. (4.30)

В Лоренц-инвариантной записи имеем:

1

2

(d2σ↑⇓

dxdy+d2σ↑⇑

dxdy

)=

4πα2(s−M2)

Q4

[xy2F em

1 +

((1− y)− M2

s−M2xy

)F em2

]. (4.31)

Из ур. (4.30),(4.31) следует, что структурные функции F em1 , F em

2 описывают спино-независящую структуру нуклона. Легко сделать оценку сечения по порядкувеличины:

σunp ≈ 8πMα2 E

Q4≈ 5× 10−31 E

GeV

GeV 4

Q4см2.

Разность сечений

Спиновая зависимость сечения лептон-нуклонного DIS может быть исследованаизучая разность сечений с противоположно направленными спинами частиц пучка имишени. Выражение для разности сечений имеет следующий Лоренц-инвариантныйвид:

1

2

(d2σ↑⇓

dxdy− d2σ↑⇑

dxdy

)=

4πα2(s−M2)

Q4

[(2y − y2 − Mxy2

E)x g1(x,Q

2)− 4M2

s−M2x2y g2(x,Q

2)

](4.32)

Структурные функции g1, g2 описывают спино-зависящую структуру нуклона. Прихарактерных энергиях лептонных пучков E ∼ 100 GeV , второе слагаемое в (4.32)кинематически подавлено на уровне M/E ∼ 0.01.

73

Д.В.Наумов


4.4.2 Структурные функции и правила сумм

Записав сечение рассения лептона на кварке по стандартным правилам Фейнмана,и используя ур. (4.1), (4.31), (4.32), можно найти связь между структурнымифункциями F em

i , gi и кварковыми распределениями.

Cпино-независимые структурные функции F em1 , F em

2

Figure 4.6: Мировые данные по структурной функции F p2 (x,Q

2) [17, 18, 19, 20, 21].Для удобства к функции F p

2 (x,Q2) добавлена константа c(x) = 0.6(ix − 0.4), где

ix номер бина по переменной x. ix меняется в пределах от ix = 1(x = 0.32) доix = 21(x = 0.000032)

Cпино-независимые структурные функции F em1,2 в КПМ имеют вид:

F em1 (x) = 1

2

∑q e

2qq(x)

F em2 (x) = x

∑q e

2qq(x) = 2xF em

1 (x)

(4.33)

Хотя функции F em1,2 (x) были введены в пределе Q2 → ∞, для конечного Q2

структурные функции зависят от Q2 из-за нарушения скэйлинга. На рис. 4.6приведены мировые данные по измерению структурной функции F p

2 (x,Q2). Очевиден

огромный прогресс за последние два десятилетия, приведший к уменьшениюстатистических ошибок и лучшему пониманию неполяризованной структуры нуклона.Эксперименты используют разные методики: с фиксированной протонной мишенью

74

Д.В.Наумов


(NMC,BCDMS,E665) и коллайдерные эксперименты на HERA-DESY (ZEUS, H1).Приведенные в широкой кинематической области данные свидетельствуют обочевидном нарушении скэйлинга, что является, в свою очередь, предсказаниемпертурбативной КХД.

75

Д.В.Наумов


Правило сумм Готтфрида

Используя ур. (4.33), после интегрирования по x, можно получить:

IG =

∫ 1

0

dx

x

[F p2 (x,Q

2)− F n2 (x,Q

2)]=

1

3+

2

3

∫ 1

0

dx[u(x,Q2)− d(x,Q2)

]. (4.34)

Figure 4.7: Отношение F n2 /F

p2 как

функция x при различных Q2 [17,21] (верх). Разница F p

2 − F n2 как

функция x при Q2 = 4 GeV 2 (низ)

В предположении симметричного моряантикварков имеет место правило суммГоттфрида: IG = 1/3 [22]. ЭкспериментыNMC (CERN) и E665 (FNAL) измерили отношениеF n2 /F

p2 и разницу F p

2 − F n2 как функции x

при различных Q2 (см. рис. 4.7). Данныесвидетельствуют в пользу нарушения симметрииx-распределений морских кварков в протоне.При малых x, в предположении симметрииморских кварков, можно было бы ожидать,что отношение F n

2 /Fp2 должно стремиться к

единице, т.к. вклад морских кварков приx → 0 доминирует над вкладом валентных.Результаты NMC согласуются с этим ожиданием.Данные E665 продвинулись в область ещеболее малых x и, с большими статистическимиошибками, наблюдается отклонение от ожиданияF n2 (x)/F

p2 (x) → 1. В эксперименте NuSea

[23] измерялось отношение выходов мюонныхпар, рожденных в процессе Дрелла-Яна впротон-протонном или протон-дейтрономвзаимодействиях. Это позволяет измеритьотношение d/u (см. рис. 4.8), котороесущественно зависит от x и подверждаетфлэйворную асимметрию: d > u. Используяпараметризацию для d + u, можно оценить величину d − u, которая в основномположительна (см. рис. 4.9). Качественное объяснение флэйворной асимметриизаключается в принципе Паули. Поскольку в протоне в два раза больше валентныхuval кварков, чем dval кварков, то фазовый объем для морских uu кварков меньше, чемдля морских dd кварков, что в результате и дает асимметрию d и u распределений.

76

Д.В.Наумов


Figure 4.8: d/u при Q = 7.35 GeV [21] Figure 4.9: d− u при Q = 7.35 GeV [21]

Cпино-зависимые структурные функции g1, g2

Figure 4.10: Мировые данныепо измерению спино-зависимойструктурной функции g1 [24]

Структурная функция g1(x)описывает распеделение продольно-поляризованных (анти) кварков внуклоне. Прецизионное измерениеg1(x) является одной из актуальнейшихпроблем современной физики высокихэнергий, изучающей спиновую структурунуклона. Пионерское измерениеg1(x) было сделано коллаборациейEMC (CERN) [25], обнаружившейудивительное явление - доля спинануклона, переносимая кварками,оказалась ничтожно малой посравнению с ожиданиями в КПМ.Разные экспериментальные методикиизмерения использовались SMC(CERN) [26], и используются в данныймомент коллаборациями: E143 [27],E155 [28], HERMES [29]. Результатыизмерений этих экспериментовсогласуются друг с другом иподтверждают выводы EMC. На рис.4.10 приведены мировые данныепо измерению спино-зависимойструктурной функции g1 [24]. Очевиденпрогресс в точности измерения этой

функции, однако по прежнему, статистические ошибки измерения g1(x) далекиот прецизионности измерения неполяризованных структурных функций F1,2 (см.

77

Д.В.Наумов


рис. 4.6).

Transversity - поперечная поляризация

Структурная функция g2 связана с поперечной поляризацией кварков в нуклонеи не имеет простой интерпретации в КПМ. В нпстоящее время наметилась заметнаяактивность в изучении этой функции как экспериментальная так и теоретическая [30,31, 32, 33, 34]. g2 связана с g1(x) с помощью правила сумм Вандзура-Вильчека [35](Wandzura-Wilczek sum rule) для J ≥ 1:∫ 1

0

dxxJ−1

[J − 1

Jg1(x) + gWW

2 (x)

]= 0. (4.35)

При J = 1 получается Burkhardt-Cottingham sum rule [36] (BCSR)∫ 1

0

dxgp2(x) = 0 и∫ 1

0

dxgn2 (x) = 0, (4.36)

а при J = 2 ур. (4.35) становится:

gWW2 (x) =

∫ 1

x

g1(y)dy

y− g1(x). (4.37)

4.5 Упругое взаимодействие нейтрино.

4.6 Резонансное взаимодействие.

78

Chapter 5

Физика нейтрино

5.1 Как измерить сечение νN

Как измерить абсолютное сечение некоторой реакции? Для этого нужнонаблюдаемое число интересующих нас взаимодействий N разделить на поток Φналетающих частиц:

σ =N

Φ.

В реальном эксперименте основные трудности заключаются в выделении сигнала,предсказании фона, в учете аксептанса и эффективности реконструкции иидентификации нужных экспериментатору событий. Определение абсолютногосечения является, как правило, очень трудной задачей из-за необходимостимониторирования пучка. В случае рассеяния заряженных частиц, например,электронов или протонов, мониторирование пучка, хотя бы в принципе понятно какможно осуществить. Разнообразные детекторы, такие как ионизационные камеры,Черенковские счетчики, тороиды и другие способны ''посчитать'' поток налетающихзаряженных частиц. Так обстоит дело с измерением сечения заряженныхчастиц. Каким же образом можно измерить сечение рассеяния нейтрино или анти-нейтрино на нуклоне (электроне)? Очевидно, что прямое мониторирование слабовзаимодействующих нейтрино невозможно. На сегодняшний день используютсядва метода определения потока (анти) нейтрино: абсолютного и относительногопотока. Рассмотрим подробнее оба метода.

5.1.1 Определение потока

Определение абсолютного потока

Нейтринные и анти-нейтринные пучки в современных ускорительныхэкспериментах получаются, как праивло, в результате распадов пионов икаонов, рождающихся в столкновениях протонов с мишенью (обычно бериллием).Большинство распадов пионов и каонов -- двух-частичные. Это позволяет определить

79

Д.В.Наумов


энергию и поток нейтрино, если измерять характеристики вторичного пучка.Необходимо тщательно измерять интенсивность, энергию, пространственное иугловое распределения вторичных пионов и каонов для надежного предсказанияпотока и энергии нейтрино. Этот метод, в основном, применим, к пучкам (анти)нейтрино с узким спектром энергии. Чтобы добиться узкого спектра энергиинейтрино применяют специальные магнитные линзы, фокусирующие пионы икаоны только с определенным импульсом (из-за экспериментального разрешенияаппаратуры -- в узком интервале импульсов). В ряде экспериментов, таких какCCFR E616[37, 38], CDHSW [39, 40] и CHARM [41] использовался этот метод дляопределения потока (анти) нейтринного пучка. Экспериментаторы стараютсяизмерять одни и те же характеристики сразу несколькими детекторами дляуменьшения систематических неопределенностей.

В этом методе есть две основные неопределенности:

1. Трех-частичные распады пионов и каонов.В основном, это распады K → πµν. Поправку на такие распады вычисляют наосновании Монте Карло моделирования нейтринного пучка.

2. Распады пионов и каонов до фокусирующих магнитов.Связанную с этим неопределенность можно измерить поставив поглотительвторичного пучка пионов и каонов с определенной энергией сразу послемагнита. В таком режиме работы эксперимента вс е взаимодействия будутпроисходить из нейтрино, родившихся в результате распадов до фокусирующихмагнитов.

Определение относительного потока

Определение относительного потока (анти) нейтрино основано на замечательномсвойстве сечения глубоконеупругого взаимодействия (анти) нейтрино с нуклоном.Напомним, что эти сечения могут быть выражены через структурные функции вследующем виде:

dσν,ν

dxdy=G2

Fxs

2π

[F1(x)

(y2 + 2 (1− y)

)∓ F3(x)y(1− y/2)

],

где мы воспользовались соотношением Коллана-Гросса:2xF1(x) = F2(x). Заметим,что оба сечения, проинтегрированные по x для нейтрино и анти-нейтрино совпадаютпри y → 0:

limy→0

dσν,ν

dy=G2

F s

2π

∫ 1

0

F2(x) ∝G2

FmE

π

∫ 1

0

F2(x) ≡ NE.

При этом отношения:

limy→0

1

E

dσν,ν

dy= N

80

Д.В.Наумов


Figure 5.1: Экспериментальные результаты для отношения σ/Eν для нейтрино(закрашенные фигуры) и анти-нейтрино (незакрашенные фигуры).

Эксперимент σν/E σν/E σν/σν ref.CCFR (E616) 0.669± 0.024 0.340± 0.020 0.499± 0.025 [42]

CDHSW 0.686± 0.020 0.339± 0.022 0.495± 0.010 [39]CCFR (E701) 0.659± 0.039 0.307± 0.020 0.467± 0.028 [38]

CCFR (E744/770) 0.509± 0.010 [43]Мировое среднее 0.677± 0.014 0.334± 0.008 0.500± 0.007

Table 5.1: Измерение полного сечения (анти) нейтрино на железе

не зависят от энергии (анти) нейтрино. На этом основана идея нормировки наотносительный поток. Число зарегистрированных в детекторе событий (dNν,ν)пропорционально произведению потока (Φν,ν) и сечения взаимодействия (σν,ν). Приy → 0 запишем:

1

Eν

dNν,ν

dy= Φν,ν(E)

1

Eν

dσν,νdy

= Φν,ν(E)N, (5.1)

Таким образом, в экспериментальных данных можно определить поток нейтрино изсамих данных, аккуратно измерив число событий при нулевой передаче энергии(y → 0). Зная относительный поток, вычисленный в каждом интервалле поэнергии таким образом, можно измерить сечение в любой другой кинематическойобласти. Этот метод применялся коллаборацией CCFR E616[37, 38] для проверкиметода нормировки на абсолютный поток. На рис. 5.1 приведена компиляцияэкспериментальных данных отношения σ/Eν для рассеяния на нуклоне нейтринои анти-нейтрино. В таблице 5.1 собраны результаты измерений отношения σ/Eν

для нейтрино и анти-нейтрино для разных экспериментов, а также соответствующиемировые средние.

81

Д.В.Наумов


5.1.2 Глубоконеупругое взаимодействие

5.1.3 Упругое и квази-упругое взаимодействие

TBD

5.2 Нейтринные эксперименты

TBD

5.2.1 Эксперименты off-axes

Прецизионные измерения с пучками нейтрино, как правило, требуют знанияэнергии нейтрино. Однако, измерить энергию нейтрино в детекторе можнотолько тщательно измерив импульсы и определив тип частиц, родившихся впроцессе взаимодействия нейтрино с веществом мишени детектора. Хорошеекачество измерения типа и ипульсов частиц зависит от многих параметров:используемых детекторов, электроники, программ реконструкции. Всё это имеетсвои естественные ограничения по точности. Также, немаловажную роль играетто, что до сих пор не до конца изучены механизмы адронизации кварков, чтоприводит к неизбежным ошибкам при реконструкции родившихся адронов, и какследствие, к ошибкам в определении энергии нейтрино. При этом, в ускорительныхэкспериментах, как правило, падающие на мишень нейтрино обладают широкимспектром энергий. Было бы замечательно, если бы мы могли заранее знать энергиюнейтрино. Этого можно добиться, если бы спектр энергии нейтрино был узким(в пределе δ функцией). Что же уширяет спектры энергий? Среди множествапричин выделим главную - это разброс по энергиям частиц (в основном π±), врезультате распада которых и рождаются (анти) нейтрино. Можно попытаться``охладить`` адронные пучки, чтобы уменьшить разброс по их импульсам. Есть идругая альтернтива - ставить детектор нейтрино немного в стороне от оси пучка.Такое парадоксальное, на первый взгляд, решение, тем менее существует и рядпроектов, таких как NOVA, T2K уже используют эту идею. Разберемся в чем тут дело.

Рассмотрим распад пиона на мюон и нейтрино с очевидными обозначениями для4-имупьсов участвующих частиц: pπ, pµ, pν.

Найдём энергию нейтрино, вылетающего под углом Θν к направлению импульсапиона. Для этого рассмотрим такое скалярное произведение:

(pπpµ) = mπp∗µ = mπ

m2π +m2

µ

2mπ

=m2

π +m2µ

2(5.2)

= pπ(pπ − pµ) = m2π − EπEν(1− cosΘν) (5.3)

=⇒ Eν =m2

π −m2µ

2Eπ(1− vπ cosΘν)(5.4)

82

Д.В.Наумов


Найдем угол Θ0ν при котором энергия нейтрино не зависила бы энергии пиона:

dEν

dEπ

= −m2

π −m2µ

2 (Eπ − |pπ| cosΘν))2

(1− d|pπ|

dEπ

cosΘν

)∣∣∣∣Θν=Θ0

ν

= 0 (5.5)

откуда cosΘν = vπ, vπ = |pπ|/Eπ. (5.6)

Получается, что есть такой угол вылета нейтрино, при котором энергия нейтриноне зависит от энергии пиона. Если воспользоваться тем, что в случае релятивиcтскихскоростей, можно считать Θ0

ν близким к нулю и разложить cosΘ0ν ≈ 1 − (Θ0

ν)2/2, и

скорость пиона vπ ≈ 1− (2γ2)−1, то получим:

Θ0ν =

1

γ(5.7)

Заметим, что энергия нейтрино при угле вылета Θ0ν равна:

Eν =m2

π −m2µ

2Eπ(1− v2π)= E∗

ν , (5.8)

где E∗ν = (m2

π −m2µ)/2mπ - энергия нейтрино в системе покоя пиона.

Большинство нейтрино вылетает под нулевым углом к направлению импульсапиона. Чтобы вычислить на сколько уменьшается поток нейтрино,вылетающих подуглом Θ0

ν, вспомним выражение для дифференциальной ширина распада пиона.Ширина распада пиона (см. (??)) пропорциональна:

dΓ ∝∫

(pπpν)δ4(pπ − pν − pµ)

dpν

Eν

dpµ

Eµ

=

∫2π(pπpν)δ(Eπ − Eν − Eµ)

Eν

Eµ

dEνd cosΘν (5.9)

Снимем интеграл по энергии нейтрино, воспользовавшись тем, что: Eµ =√m2

µ + p2µ =√m2

µ + (p2π − p2ν) =√m2

µ + p2π + E2ν − 2pπEν cosΘν, а также тем, что∫

dEνδ(Eπ − Eν − Eµ) =1

1 + Eν−pπ cosΘν

Eµ

=Eµ

Eπ(1− vπ cosΘν),

Тогда,

dΓ

d cosΘν

∝∫EπEν(1− vπ cosΘν)

Eνd cosΘν

Eπ(1− vπ cosΘν)= E2

ν =

(m2

π −m2µ

2Eπ(1− vπ cosΘν)

)2

(5.10)Отношение потока нейтрино, вылетающих под углом Θ0

ν, к потоку нейтрино,вылетающих под углом Θν = 0 равно:

R =dΓ(Θν = Θ0

ν)/d cosΘν

dΓ(Θν = 0)/d cosΘν

=E2

ν(Θν = Θ0ν)

E2ν(Θν = 0)

=

(1− vπ1− v2π

)2

≈(

1

1 + vπ

)2

=1

4(5.11)

83

Д.В.Наумов


Таким образом, поток ослабевает всего в четыре раза, но при этом мы зарабатываемвозможность иметь узкий спектр энергии нейтрино. На самом деле получившийсяспектр не будет δ функцией, потому что сам угол вылета зависит от энергии пиона,а следовательно для разных энергий пиона наиболее оптимальный угол вылетабудет свой. Тем не менее, на практике получается, что спектр энергии нейтриностановится заметно уже, чем исходный спектр энергии пионов, и как следствиенейтрно, вылетающих под нулевым углом.

84

Chapter 6

Нейтринные осцилляции

В этой главе мы рассмотрим одну из так называемых ``горячих тем'' всовременной физике нейтрино - нейтринные осцилляции. Подробно рассмотримосцилляции в вакууме и в веществе. Формулы для нейтринных осцилляций будутвыведены как классическим способом (из квантовой механики), так и используяаппарат квантовой теории поля.

В рассмотренных нами в предыдущих главах примерах с участием нейтрино мысистематически предполагали нулевую массу этой частицы. В случае не равнойнулю массы нейтрино возникает интересное явление - возможность того, чтонейтрино, рожденное в какой-нибудь реакции как нейтрино сорта α = e, µ, τ , будетзадетектировано как нейтрино другого сорта β. Вероятность такого явления зависитгармоническим образом от расстояния между точками рождения и детектированиянейтрино. Это явление носит название нейтринные осцилляции.

Вектор из трех компонент нейтрино может быть разложен по одному из двухбазисов να - состояния взаимодействия или νi - состояния с определенными массами:

| να〉 =

| νe〉| νµ〉| ντ 〉

, | νi〉 =

| ν1〉| ν2〉| ν3〉

(6.1)

С теоретической точки зрения вовсе не обязательно, чтобы эти два базиса совпадалидруг с другом. Например, в кварковом секторе у нас именно такая ситуация:кварки с определенными массами1 (d, s, b в слабых взаимодействиях смешиваются ссуперпозицией верхних компонент кварковых дублетов (u, c, t) (смотрите уравнения1.66, 1.67). В полной аналогии с кварковым смешиванием введем матрицу

1В уравнениях квантовой хромодинамики - именно кварковые состояния d, s, b и u, c, t обладаютопределенными массами. Заметим, однако, что вследствие запирания цвета, или невозможностинаблюдать свободный кварк (который обладает цветом) - экспериментально измерить массе кваркане очевидная и неоднозначная задача. Например, есть так называемые токовые массы, иликонституетные массы.

85

Д.В.Наумов


смешивания U, связывающую два базиса: | νe〉| νµ〉| ντ 〉

=

Ue1 Ue2 Ue3

Uµ1 Uµ2 Uµ3

Uτ1 Uτ2 Uτ3

| ν1〉| ν2〉| ν3〉

(6.2)

Нам известно решение уравнения Дирака для свободных полей:

| νi〉 = e−ipi·xi | νi(0)〉 = e−ipi·xi+iEiti | νi(0)〉.

Рассмотрим теперь подробно вопрос нейтринных осцилляций. Нас будутинтересовать два случая: осцилляции нейтрино в вакууме и в веществе.

6.1 Вакуумные осцилляции

6.1.1 Квантовомеханический вывод

Исторически формулу для нейтринных осцилляций выводят из следующихквантовомеханических соображений. Рассмотрим сначала для простоты случай двухнейтрино (νe и νµ). Предположим, что в некоторой реакции родилось электронноенейтрино νe (например, в результате ядерных реакций в Солнце). В начальныймомент времени волновая функция электронного нейтрино запишется в виде | νe(0)〉.Спустя некоторое время t, когда нейтрино пройдет расстояние x волновая функциязапишется в виде:

| νe〉 = Ue1e−ip1x1 | ν1(0) + Ue2e

−ip2x2 | ν2(0)〉.

В случае смешивания только двух нейтрино матрица смешивания может бытьзаписана в виде: (

Ue1 Ue2

Uµ1 Uµ2

)=

(cosΘ sinΘ− sinΘ cosΘ

)(6.3)

Используя (6.3), можно переписать волновые фунцкии электронного и мюонногонейтрино в виде:

| νe〉 = cosΘe−ip1x1 | ν1(0)〉+ sinΘe−ip2x2 | ν2(0)〉. (6.4)

| νµ〉 = − sinΘe−ip1x1 | ν1(0)〉+ cosΘe−ip2x2 | ν2(0)〉. (6.5)(6.6)

Вычислим теперь амплитуду перехода между нейтрино νe и νµ:

Aeµ ≡ 〈νµ(x) | νe(0)〉 = sinΘ cosΘ(−e−ip1x1〈ν1(0) | ν1(0)〉+ e−ip2x2〈ν2(0) | ν2(0)〉

)Для нашего рассмотрения можно положить нормировки 〈ν1(0) | ν1(0)〉 = 〈ν2(0) |ν2(0)〉 = 1, тогда амплитуда становится:

Aeµ =1

2· sin 2Θ

(−e−ip1x1 + e−ip2x2

)

86

Д.В.Наумов


Вероятность процесса пропорциональна квадрату модуля амплитуды:

Peµ =| Aeµ |2= 1

4· sin2 2Θ | −e−ip1x1 + e−ip2x2 |2

После простых арифметически преобразований, приходим к следующему выражениюдля вероятности:

Peµ =1

2· sin2 2Θ (1− cos(p1x1 − p2x2)) = sin2 2Θ sin2

p1x1 − p2x22

Вычислим разность фаз φ12 = p1x1 − p2x2 в рамках стандартного предположения:

• В ультрарелятивистском случае можно положить t1 = t2 = |x1| = |x2| = L, где L- это расстояние между точками рождения и детектирования нейтрино.

φ12 = (E1 − E2)L− (p1 − p2)L =

(E2

1 − E22

E1 + E2

− p21 − p22p1 + p2

)L ≈ m2

1 −m22

2EL (6.7)

Таким образом, вероятность

Peµ = sin2 2Θ sin2m2

1 −m22

4EL (6.8)

Легко теперь обобщить случай двух нейтрино на случай смешивания трехнейтрино. Предположим, в некоторой реакции родилось нейтрино να. Волноваяфункция этого состояния записывается в виде когеретной суперпозиции волновыхфункций массивных состояний |νi〉:

| να〉 =∑i

Uαie−ipixi | νi(0)〉

Таким образом

Pαβ ≡| 〈νβ(x) | να(0)〉 |2=∑ij

UαiU∗iβU

∗αjUjβe

−i(pixi−pjxj)

В рамках того же стандартного предположения t = x = L легко получить:

Pαβ ≡| 〈νβ(x) | να(0)〉 |2=∑ij

UαiU∗iβU

∗αjUjβe

−im2

1−m22

2EL (6.9)

6.1.2 Реалистичность квантовомеханического вывода

До сих пор в литературе дискутируется реалистичность квантовомеханическоговывода. Приведем один из наиболее наглядных на наш взгляд аргументов противтакого вывода. Рассмотрим пример распада пиона на лептон и нейтрино. Из закона

87

Д.В.Наумов


сохранения следует, что родившееся нейтрино должно обладать определеннойэнергией и определенным импульсом. И энергия и импульс массивных нейтринос разными массами mi и mj разные. Следовательно, скорости массивных нейтриноνi и νj тоже разные: vi = pi/Ei 6= vj = pj/Ej. Если у двух нейтрино разные скорости,то расстояние L они пройдут за разное время:

ti =L

vi= L

Ei

pi6= tj =

L

vj= L

Ej

pj

Вычислим теперь разность фаз с учетом того, что время распространения двухнейтрино разное:

φij = (Eiti − Ejtj)− (pi − pj) L

= (Ei

vi− Ej

vj− (pi − pj)) L

= (E2

i

pi−E2

j

pj− (pi − pj)) L

= (p2i +m2

i

pi−p2j +m2

j

pj− (pi − pj)) L

=m2

i −m2j

pL

(6.10)

Разность фаз получилась в два раза большей по сравнению со стандартной (6.7),выведеной в предыдущем параграфе! Какая же формула правильна: (6.7),(6.10)? В последнее время в литературе активно обсуждаются подобные вопросы(смотрите, например: http : //www.nu.to.infn.it/NeutrinoOscillations/). Чтобыответить на заданный выше вопрос необходимо рассмотреть проблему исходя изпервых принципов. Обратимся для этого к диаграммам Фейнмана.

6.1.3 Квантово-полевой вывод

Очевидно, что нейтринные осцилляции возможны только при нарушении законасохранения лептонного числа. Нейтрино, рожденное, например, в распаде π+ →µ+ + ν, может провзаимодействовать с нейтроном νn → p + e только в случаенарушения лептонного числа. Таким образом, вероятность цепочки реакций π+ →µ+(ν)n → p + e должна иметь осцилляционный характер. Вычислим амплитудутакого процесса в рамках квантовой теории поля как сумму трех амплитуд спромежуточными (виртуальными) массивными состояниями нейтрино. На рис. 6.1приведена полная амплитуда как сумма трех диаграмм Фейнмана. Определимначальное и конечные состояния:

| in〉 =| π+, n〉, 〈out |= 〈µ+, e, p |

Волновые функции конечных состояний можно представить в виде плоских волн:

ψ(x) = e−ipx

88

Д.В.Наумов


ν1(q)

π+(pπ)

µ+(kµ)

n(pn)

e(ke)

xP xD +ν2(q)

π+(pπ)

µ+(kµ)

n(pn)

e(ke)

xP xD +ν3(q)

π+(pπ)

µ+(kµ)

n(pn)

e(ke)

xP xD

Figure 6.1: Диаграмма Фейнмана для процесса распада π+ → µ+ + ν с последующимрассеянием нейтрино на нейтроне с рождением протона и электрона ν + n → p +e. Нейтрино находится в виртуальном состоянии между точками его рождения ипоглощения. Точки xP и xD могут быть разнесены на макроскопическое расстояние:| xP − xD |= L.

Волновые функции начальных состояний в общем случае нельзя считать плоскимиволнами, поскольку, как правило мишень находится в детекторе в связанномсостоянии, да и частица из пучка также может описываться более сложной функцией.Поэтому представим:

Φπ(x1) = e−iEP t1ΨP (x1 − xP)

Φn(x2) = e−iEDt2ΨD(x2 − xD)(6.11)

Волновые функции ΨP (x) и ΨD(x) определены так, чтобы иметь максимум в нулесвоего аргумента x = 0 и быстро убывать при больших x. Запишем амплитуду реакцииπ+ → µ+(νi)n→ e+ p:

A = 〈µ+, e, p | −iT∫d4x1LP (x1)

∫d4x2LD(x2) | π+, n〉 (6.12)

В этой формуле, LP (x1) - это лагранжиан процесса π+ → µ+ + νi, LD(x2) - этолагранжиан процесса νi + n → p + e, оператор T - это оператор упорядочивания повремени.

να =∑i

V ∗αiνi. (6.13)

Флэйворные и массовые состояния нормированы таким образом:

〈να | νβ〉 = δαβ

〈νi | νj〉 = δij,

что приводит также к такому условию:∑i

V ∗αiVβi = δαβ. (6.14)

Для рассматриваемого нами процесса, лагранжианы LP (x1), LD(x2):

LP (x1) =GFVud√

2

∑i

U∗µiH

απ (x1)νi(x1)γα(1− γ5)µ(x1), смотрите уравнение (2.14)

LD(x2) =GFVud√

2

∑j

Uejp(x2)γα(1− λγ5)n(x2) · e(x2)γα(1− γ5)νi(x2), смотрите уравнение (2.19)

89

Д.В.Наумов


Теперь амплитуда (6.12) может быть записана как:

A =G2

FV2ud

2

∑ij

U∗µiUej

∫d4x1d

4x2e−i(En−Ep−Ee)t2e−i(Eπ−Eµ)t1e−ipµx1e−i(pe+pp)x2

Jλ(x2)ΨD(x2 − xD)e(pe)γλ(1− λγ5)Gij(x1 − x2)Hµπ (x1)ΨP (x1 − xP)γµ(1− γ5)µ(pµ),

(6.15)где для краткости введено обозначение Jλ(x2) = p(x2)γα(1 − λγ5)n(x2). Виртуальноенейтрино описывается функцией Грина Gij(x1 − x2):

Gij(x1 − x2) ≡ 〈0 | νj(x1)νi(x) | 0〉 = limε→0

iδij

∫d4q

(2π)4q +mi

q2 −m2i + iε

e−iq(x1−x2) (6.16)

Вычислим теперь интегралы по d4x1d4x2. Проинтегрируем сначала по временам:∫dt1e

−i(Eπ−Eµ+q0)t1 = 2πδ(Eπ − Eµ + q0) ≡ 2πδ(w1 + q0)∫dt2e

−i(En−Ep−Ee−q0)t2 = 2πδ(En − Ep − Ee − q0) ≡ 2πδ(w2 − q0)

Интегрирование по d3x1 и d3x2 в общем случае не дает соответствующих импульсныхδ функций. Вместо этого получаем:∫

d3x1e−i(pµ−q)x1Ψµ

P (x1 − xP) = e+i(pµ−q)xPΨµP (pµ − q)∫

d3x2e−i(pe+q)x2Ψλ

D(x2 − xD) = e+i(pe+q)xDΨλD(pe + pp + q).

В этих уравнениях ΨµP (pµ − q) и Ψλ

D(pe + q) Фурье образы. Заметим, что Фурье образплоской волн - это δ функция. Именно вследствие этого появляются δ4 функци встандартном выражении для квадрата матричного элемента.

A = limε→0

G2FV

2udδ(w1 − w2)

2 (2π)2

∑i

U∗µiUei

∫d3qJλ(pn; pp)Ψ

λD(pe + pp + q)e(pe)

γλ(1− λγ5)q +mi

q2 −m2i + iε

e+iqLHµπ (x1)ΨP (pµ − q)γµ(1− γ5)µ(pµ),

(6.17)

Интеграл d3q содержит полюс при q2 = m2i . Поэтому, пренебегая другими медленно

изменяющимися факторами, вычислим сначала такой интеграл:

I = limε→0

∫d3q

e+iqL

q2 −m2i + iε

=2π

iLlimε→0

∫ ∞

0

dqqe+iqL − e−iqL

w21 − q2 −m2

i + iε

=2π

iLlimε→0

∫ ∞

−∞dqq

e+iqL

w21 − q2 −m2

i + iε+ lim

R→∞

∫по дуге |z| = R

dzei|x1−x2|q

w21 − q2 −m2

i + iε

= limε→0

2π

iL

∮dqq

eiLq

w21 − q2 −m2

i + iε=

4π2

LeiL

√w2

1−m2i

90

Д.В.Наумов


Введем обозначение ki =√w2

1 −m2i . Наконец, (6.17) запишется в виде:

A =G2

FV2udδ(w1 − w2)

2L

∑i

U∗µiUeie

ikiLJλ(pn; pp)ΨλD(pe + pp + q)e(pe)

γλ(1− λγ5)1

q +mi

Hµπ (x1)ΨP (pµ − q)γµ(1− γ5)µ(pµ),

(6.18)

Виртуальное нейтрино находится почти на массовой поверхности, как следует изнашего вычисления. Соответственно, положим:

(q +mi) ≈ ν(q)ν(q).

Тогда амплитуду A можно записать в виде произведения двух амплитуд:

A ∝ 1

L

∑i

U∗µiUeie

ikiLA(π → µν)⊗ A(νn→ pe) (6.19)

Соответсвенно, модуль квадрата амплитуды |A|2 может быть представлен какпроизведение квадратов модулей амплитуд процессов, соответствующих распадупиона и взаимодействию нейтрино с нейтроном. После интегрирования по фазовомуобъему вероятность нашего процесса будет пропорциональна

N =1

L2Γ(π → µν)σ(ν + n→ p+ e)

∑i,j

U∗µiUeiUµjU

∗eje

ikiLe−ikjL

=1

L2Γ(π → µν)σ(ν + n→ p+ e)

∑i,j

U∗µiUeiUµjU

∗eje

−im2

1−m22

2EL.

Как видим, формула для числа событий может быть представлена в видепроизведения трех факторов: ширины распада пиона, сечения взаимодействиянейтрино с нейтроном, и фактора, осциллирующего от расстояния L. В последнемфакторе мы узнаем стандартный фактор со стандартной фазой (6.9), (6.7).

6.2 Осцилляции в веществе

TBD

6.3 ?Нейтринные осцилляции в вакууме и веществе. КТПи волновые пакеты.

Амплитуда A = 〈f |S − 1| i〉, описывающая переходы между начальным |i〉 иконечным |f 〉 состояниями должна быть обобщена для случая, когда начальное и

91

Д.В.Наумов


конечное состояния локализованы в пространстве-времени. Такое обобщение можетбыть сделано с использованием волновых пакетов:

A =

∫ ∏i

dk′i(2π)3[2Ek′i

]1/2φi(k

′i, ki)

∏j

dp ′j

(2π)3[2Ep′j]1/2

φ∗j(p

′j,pj) 〈f |S(k′, p′)− 1| i〉, (6.20)

где начальные и конечные частицы нумеруются индексами i и j соответственно, ихимпульсы k′ и p′, соответсвующие им наборы импульсов обозначаются k′, p′, иEki = [k2i +m2

i ]1/2.

Функции φi(k′i, ki) описывают волновые пакеты:

φi(k′i, ki) = ai(k

′i − ki) eik

′i·xi . (6.21)

Вещественная функция ai(k′i − ki) имеет пик в точке k′i = ki, так что ki можно

интерпретировать как среднее значение импульса частицы i. Пространственно-временная точка xi - это точка, от которой начинается ``отсчет`` функции φi(k

′i, ki),

поэтому для всех частиц, участвующих в процессе рождения нейтрино в точке xs =(x0s, xs) запишем xi = xs. Аналогично, для точки детектирования нейтрино xi = yd и(в случае осцилляций нейтрино в веществе локализованного в точке zm) xi = zm.

Нормировка волновых пакетов даётся:∫dk

(2π)3|φi(k, ki)|2 =

∫dk

(2π)3|ai(k)|2 = 1 (6.22)

В дальнейшем нам понадобится функция:

ψi(x) =∫

dk(2π)3

ai(k) eik·x, (6.23)

являющаяся Фурье образом ai(k).Используя (6.22) получим: ∫

dx |ψi(x)|2 = 1 (6.24)

В последующих вычислениях нам понадобятся две полезные теоремы,доказательства которых мы не приводим.

Теорема 1 (Обобщённое преобразование Фурье для гауссиана) Для реальной исиметричной матрицы A с положительными собственными значениями∫

dx e−Aµνxµxν−ikµxµ

=π2

√det A

e−(A−1)µνkµkν/4 (6.25)

92

Д.В.Наумов


Теорема 2 (Теорема Гримуса-Штокингера [44]) Пусть F (q ) трижды гладкодифференцируемая функция, такая что F (q ) сама и все её первые и вторыепроизводные убывают по крайней мере как 1/|q |2 для |q | → ∞. Тогда в пределеL = |L| → ∞ для A > 0:∫

dq e−iq·L F (q )A− q 2 + iε

= −2π2

LF (−

√AL/L)ei

√AL +O(L−3/2) (6.26)

в то время как для A < 0 интеграл убывает как L−2.

6.3.1 Осцилляции в вакууме

Амплитуда

Рассмотрим процесс рождения нейтрино и лептона `+α в точке xs, описываемоеплотностью лагранжиана Ls(x) с последующим детектированием нейтрино и лептона`−β в точке yd с плотностью лагранжиана Ld(x). Тогда S матрица:

S = T[ei

∫[Ls(x)+Ld(x)] dx

]. (6.27)

Соответствующие плотности лагранжиана в приближении Ферми даются формулами:

Ls(x) = −GF√2

[Jµs (x)

∑i

Vαi ¯α(x)γµ(1− γ5)νi(x) + h.c.

](6.28)

Ld(x) = −GF√2

[Jµd (x)

∑i

Vβi ¯β(x)γµ(1− γ5)νi(x) + h.c.

], (6.29)

где Jµs (x), J

µd (x) - токи частиц, участвующих в рождении и поглощении нейтрино.

Разлагая (6.27) до второго порядка, получим:

〈f |S(k′, p′)− 1| i〉 = i2

2!

∫dx dy 〈f | T [Ls(x)Ld(y) + Ls(y)Ld(x)] | i〉

= −∫dx dy 〈f | T [Ld(y)Ls(x)] | i〉 (6.30)

=

∫dq

(2π)4dx dy e−i(k′s−p′s−q)·x−i(k′d−p′d+q)·y Mν,(ν)(k′, p′, q)

где k′s(p′s) - сумма внешних импульсов (исключая нейтрино) входящих (исходящих)

частиц в точке xs. Аналогичное определение использовано для точки yd.При вычислении 〈f |T [Ld(y)Ls(x)]| i〉 в уравнениях (6.30) возникает вакуумноесреднее 〈0 |T [νi(y)νi(x)]| 0〉 - это пропаготор нейтрино:

〈0 |T [νi(y)νi(x)]| 0〉 = Gi(y − x) =i

(2π)4

∫Si(q)e−iq·(x−y)dq, Si(q) =

q +mi

q2 −m2i + iε

(6.31)

93

Д.В.Наумов


В явном виде M в случае реакции с участием (анти)нейтрино даётся:

Mν = − i

2G2

F Jµs (k′, p′s)Jν

d (k′, p′d)3∑

i=1

V ∗αiVβi

¯βγν(1− γ5)Si(q)γµ(1− γ5)`α (6.32)

Mν = − i

2G2

F Jµs (k′, p′s)Jν

d (k′, p′d)3∑

i=1

VαiV∗βi¯αγµ(1− γ5)Si(−q)γν(1− γ5)`β (6.33)

Тогда амплитуда (6.20) становится:

A =

∫ ∏i


]1/2φi(k

′i, ki)

∏j

dp ′j

(2π)3[2Ep′j]1/2

φ∗j(p

′j,pj) ×

×∫

dq

(2π)4dx dy e−i(k′s−p′s−q)·x−i(k′d−p′d+q)·y Mν,(ν)(k′, p′, q) (6.34)

Теперь мы готовы снять интегралы∫dk′idp ′

i в (6.34). Учтывая, что функции ai(k′i −

ki) имеют острый максимум при k′i = ki, нам будет достаточно разложить быстроменяющиеся функции в окрестности максимума, а медленно меняющиеся функциивычислить в точке максимума:∫


]1/2φi(k

′i, ki) e

−ik′i·xM(k′i, ...) ≈e−iki·(x−xs)

[2Eki ]1/2

ψi

(x− xs − vi(x0 − x0s)

)M(ki, ...),

(6.35)

где мы воспользовались тем, что

k′(x− xs) = k(x− xs) + (k′ − k) ·[∇k′Ek′(x

0 − x0s)− (x− xs)]k′=k

+ ...

= k(x− xs)− (k′ − k)(x− xs − vk(x0 − x0s)

)+ ... (6.36)

vk = ∇k′Ek′|k′=k, а также определением (6.23).В рамках использованного приближения амплитуда (6.20) становится:

A = Ψs Ψd

∫dx dy e−i(ks−ps)·(x−xs)−i(kd−pd)·(y−yd)Es(x− xs)Ed(y − yd)·

·∫

dq

(2π)4e−iq(y−x)M(k, p, q) (6.37)

где

Ψs =

∏iinis

ψi(xs, x0s)[2Eki ]

1/2

∏jinfs

ψj(xs, x0s)[2Epi ]

1/2

(6.38)

Es(x− xs) =

∏iinis,fs

ψi(xs, x0s)

−1 ∏jinis,fs

ψj

(x− xs − vj(x0 − x0s)

) (6.39)

94

Д.В.Наумов


с определением:

ψi(xs, x0s) = ψi

(x− xs − vi(x0 − x0s)

)∣∣x=xs,x0=x0

s(6.40)

Степень относительного размытия волновых пакетов в источнике нейтриноотражается в определении функции Es(x − xs), аналогичную роль играет Ed(y − yd)для точки детектирования нейтрино. Определим четырехмерные объёмы, связанныес областями рождения и детектирования нейтрино следующим образом:

Vs =

∫dx [Es(x− xs)]

2 ,Vd =

∫dy [Ed(y − yd)]

2 . (6.41)

Разлагая Es(x− xs) в окрестности x = xs, и используя теорему 1, получим:

Vs =

∫dx [Es(x− xs)]

2 =

∫dx e2ln[1−

12 (Ws)µν(x−xs)µ(x−xs)ν+...] ≈ π2√

det (Ws)(6.42)

где

(Ws)µν ≡ − ∂2

∂xµ∂xνEs(x− xs)

∣∣∣∣x=xs

(6.43)

Времяподобные (пространственноподобные) компоненты тензора (Ws)µν отражаютразброс по энергии (импульсу), доступный в реакции, в то время как Времяподобные(пространственноподобные) компоненты тензора (W−1

s )µν характеризуют разброс повремени (пространству) перекрытия волновых пакетов.

Используя теорему 1, легко вычислить интеграл∫dx в (6.37):

Ix = e+iqxs

∫dx e−i(ks−ps−q)·(x−xs)Es(x− xs)

= 4Vse[−12(W−1

s )µν(ks−ps−q)µ(ks−ps−q)ν+iqµxµs ] (6.44)

Аналогичное вычисление для интеграла∫dy позволяет переписать (6.37) в такой

форме:

A = Ψs Ψd (16VsVd)

∫dq

(2π)4e−iq(yd−xs)−D(q)M(k, p, q) (6.45)

где

D(q) =1

2(W−1

s )µν(ks − ps − q)µ(ks − ps − q)ν +1

2(W−1

d )µν(kd − pd + q)µ(kd − pd + q)ν (6.46)

Фактор e−D(q) обеспечивает сохранение энергии-импульса насколько это позволяетразмытие волновых пакетов. Используя теорему 2 для вычисления интеграла

∫dq и

определив L = yd − xs, получим:

A = −Ψs Ψd4VsVd

πL

3∑i=1

V ∗αiVβi

∫dq0

2πe−iq0(y0d−x0

s)+iLsi(q0)−Di(q

0)Mi (6.47)

95

Д.В.Наумов


гдеsi(q

0) =[q0 −m2

i

]1/2, Di(q

0) = D(q)|q=si(q0)L/L (6.48)

Явный вид Mi, с qµ = (q0, si(q0)L/L) даётся:

M(ν) = −iG2F

2Jµs J

νd¯βγν(1− γ5)(q +mi)γµ(1− γ5)`α (6.49)

M(ν) = −iG2F

2Jµs J

νd¯αγµ(1− γ5)(−q +mi)γν(1− γ5)`β, qµ = (λi, si(λi)L/L) (6.50)

Оставшееся интегрирование по dq0 может быть выполнено аналогично тому, как мыэто сделали для dx. Интеграл насыщается около λi, определённой из:

Di(λ)

dλ= 0 (6.51)

Разлагая Di(q0) до второго порядка около λi, оставшийся аргумент экспоненты

до первого порядка, и оставшуюся часть подынтегральной функции до нулевогопорядка, получим:

− iq0(y0d − x0s) + iLsi(q0)−Di(q

0) =

= −iλi(y0d − x0s) + iLsi(λi)−Di(λi)− i(y0d − x0s − L/vi)(q0 − λi)− σ2

i (q0 − λi)

2 (6.52)

проинтегрируем по dq0:

Iq0 =

∫dq0 e−iq0(y0d−x0

s)+iLsi(q0)−Di(q

0)Mi(q0, ...)

=

√π

σie−iλi(y

0d−x0

s)+iLsi(λi)−Di(λi)−Ci(λi,xs,yd)Mi(λi, ...) (6.53)

где

Ci(λi, xs, yd) =1

4σ2i

[y0d − x0s −

L

vi

]2, σ2

i =1

2

d2Di(λ)

dλ2

∣∣∣∣λ=λi

vi =si(λi)

λi(6.54)

Фактор e−Ci(λi,xs,yd) подавляет вклады в амплитуду распространения нейтрино,которые не следуют классической траектории между точками рождения (x0s, xs) ипоглощения (y0d, yd). Таким образом, получаем:

A = −Ψs Ψd2VsVd

π2L

3∑i=1

V ∗αiVβi

√π

σie−iλi(y

0d−x0

s)+iLsi(λi)−Di(λi)−Ci(λi,xs,yd)Mi (6.55)

Макроскопическая скорость счёта

Квадрат амплитуды (6.55) есть:

|A|2 = |Ψs|2 |Ψd|24V2

sV2d

π4L2

∣∣∣∣∣3∑

i=1

V ∗αiVβi

√π

σie−iλi(y

0d−x0

s)+iLsi(λi)−Di(λi)−Ci(λi,xs,yd)Mi

∣∣∣∣∣2

(6.56)

96

Д.В.Наумов


Чтобы связать квадрат амплитуды с экспериментальным наблюдением нужноперейти к макроскопическим переменным. Для этого, множитель VsVd запишемв виде dx0sdxsdy0sdys, квадрат функции |ψki (xs, x0s)|

2 можно интерпретировать какплотность вероятности найти частицу сорта i в точке (x0s, xs) со значением импульсаki (нормировка (6.24) удовлетворяет такой интерпретации). Согласно методамстатистической физики, положим:∣∣ψki (xs, x0s)∣∣2 = [dki/(2π)3] f(ki, xs, x0s) для всех входящих частиц (6.57)∣∣ψki (xs, x0s)∣∣2 = [dki/(2π)3] для всех исходящих частиц,

где f(ki, xs, x0s) - это плотность числа частиц в фазовом пространстве. Нейтринородилось в источнике объёмом dxs в течение времени dx0s в процессе взаимодействия[dki/(2π)3] f(ki, xs, x0s) начальных частиц, в результате чего, кроме нейтрино родилосьещё [dki′/(2π)3] новых частиц. Ожидаемое число событий взаимодействия нейтринов объёме детектора dyd за время наблюдения dy0d с числом частиц в детекторе[dpj/(2π)

3] f(pj, yd, y0d), с числом родившихся частиц в детекторе∏

j′ [dpj′/(2π)3] равно:

dN = dxs dx0s dyd dy0d

IS∏i

dki(2π)32Eki

f(ki, xs, x0s

) FS∏i′

dki′(2π)32Eki′

×dpj

(2π)32Epjf(pj, yd, y

0d

) FD∏j′

dpj′

(2π)32Epj′(6.58)

× 4VsVd

π4L2

∑spins

∣∣∣∣∣3∑

i=1

V ∗αiVβi

√π

σie−iλi(y

0d−x0


∣∣∣∣∣2

Общая формула (6.58) автоматически ``знает``, что нейтрино, испущенные вслишком разные максроскопические времена не будут интерферировать междусобой. Многие современные эксперименты региструют время взаимодействиянейтрино, поэтому будет не правильным проинтегрировать по всем временамдетектирования y0d. В то же время, для большинства сегодняшних экспериментов2

можно усреднить по времени испускания нейтрино x0s. Рассмотрим отдельноинтерференционный член:

∑spins

∣∣∣∣∣3∑

i=1

V ∗αiVβi

√π

σie−iλi(y

0d−x0


∣∣∣∣∣2

=∑spins

3∑i=1

3∑j=1

V ∗αiVβiVαjV

∗βje

−i(λi−λj)(y0d−x0

s)+iL(si(λi)−si(λj))−(Ci(λi,xs,yd)+Cj(λj ,xs,yd)) (6.59)

× e−(Di(λi)+Dj(λj))MiM∗j

2кроме тех, в которых время наблюдения четко привязано к времени рождения нейтрино,например, в ускорительных экспериментах

97

Д.В.Наумов


Интегрирование по dx0s выделяет область интегрирования ((x0s)ij − δx0s, (x0s)ij + δx0s),

в которой насыщается интеграл. За пределами этой области подыинтегральнаяфункция экспоненциально стремится к нулю из-за множителя e−(Ci(λi,xs,yd)+Cj(λj ,xs,yd)).Величина (x0s)ij определяется исходя из минимума (Ci(λi, xs, yd) + Cj(λj, xs, yd)), в товремя как δx0s ≈ σi (смотрите (6.54)). Будем искать (x0s)ij в виде:

(x0s)ij = y0d −L

vij, (6.60)

где vij есть некая средняя скорость движения нейтрино. Найдем её минимизируявыражение:

Ci(λi, xs, yd) + Cj(λj, xs, yd) =L2

σ2i

(1

vij− 1

vi

)+L2

σ2j

(1

vij− 1

vj

).

Находим, что

vij =vivj

(σ2i + σ2

j

)viσ2

i + vjσ2j

. (6.61)

Заметим, что если σi ∼ σj, то1

vij=

1

vi+

1

vj,

что соответстувет скорости нейтрино, средней по времени испускания.Разложим (Ci(λi, xs, yd) + Cj(λj, xs, yd)) до второго порядка вокруг минимума (x0s)ij,

y0d − x0s до первого порядка:√Ci(λi, xs, yd) + Cj(λj, xs, yd)

= (Ci(λi, xs, yd) + Cj(λj, xs, yd)) |x0s=(x0

s)ij+

1

2

d2(Ci + Cj)

dx0s2

(x0s − (x0s)ij

)2=L2

4

(vi − vj)2

v2i v2j (σ

2i + σ2

j )+σ2i + σ2

j

4σ2i σ

2j

(x0s − (x0s)ij

)2, (6.62)

√− i (λi − λj) (y

0d − x0s) = −i (λi − λj)

L

vij+ i (λi − λj)

(x0s − (x0s)ij

)(6.63)

Теперь мы можем записать показатель экспопенты в (6.59), зависящий от x0s в виде:

− i (λi − λj) (y0d − x0s)− (Ci(λi, xs, yd) + Cj(λj, xs, yd)) =

= −i (λi − λj)L

vij+ i (λi − λj)

(x0s − (x0s)ij

)− L2

4

(vi − vj)2

v2i v2j (σ

2i + σ2

j )−σ2i + σ2

j

4σ2i σ

2j

(x0s − (x0s)ij

)2= −i (λi − λj)

L

vij− L2

4

(vi − vj)2

v2i v2j (σ

2i + σ2

j )−

(λi − λj)2 σ2

i σ2j

σ2i + σ2

j

−σ2i + σ2

j

4σ2i σ

2j

(x0s − (x0s)ij − 2i(λi − λj)

σ2i σ

2j

σ2i + σ2

j

)2

(6.64)

98

Д.В.Наумов


Теперь интеграл по dx0s в (6.58), будучи гауссовым интегралом, легко снимается:∫ +∞

−∞dx0se

−i(λi−λj)(y0d−x0

s)−(Ci(λi,xs,yd)+Cj(λj ,xs,yd)) =

= 2

√π

σ2i + σ2

j

σiσjexp

[−i (λi − λj)

L

vij− L2

4

(vi − vj)2

v2i v2j (σ

2i + σ2

j )−

(λi − λj)2 σ2

i σ2j

σ2i + σ2

j

](6.65)

Дальнейшее упрощение возможно в релятивистском пределе. В первом порядкепо (mi = 0)

λi = λ+ δλi,

si(λi) = λ+ δλi −m2

i

2λ,

vi = 1− m2i

2λ2, (6.66)

σ2i = σ2 + δσ2

i ,

vij = 1−(m2

i +m2j)

4λ2,

Показатель экспоненты в релятивистском пределе в уравнении (6.58) с учётомформул (6.65), (6.66) есть:[

−i (λi − λj)L

vij− L2

4

(vi − vj)2

v2i v2j (σ

2i + σ2

j )−

(λi − λj)2 σ2

i σ2j

σ2i + σ2

j

+ iL (si(λi)− si(λj))

]=

= −m2

i −m2j

32σ2λ4L2 − i

m2i −m2

j

2λL (6.67)

Произведение MiM∗i в (6.58) в используемом нами приближении не зависит более

от индексов i, j и может быть представлено в таком виде (аналогично для случаяанти-нейтрино):

∑sαsβ ...s

∣∣M(ν)

∣∣2 = ∑sαsβ ...s

G4F

4

∣∣Jµs J

νd¯βγν(1− γ5)qγµ(1− γ5)`α

∣∣2 , с учётом qµ = (λ, s(λ)L/L),

=∑

sαsβsν

G2F

2

∣∣Jµs¯βγν(1− γ5)ν

∣∣2 G2F

2|Jν

d νγµ(1− γ5)`α|2 , используя q =∑sν

νν

=

∑spins

|MS|2∑

spins

|MD|2 (6.68)

Замечательным следствием релятивистского приближения является факторизацияквадрата матричного элемента на произведение квадратов матричных элементов

99

Д.В.Наумов


в точках рождения и детектирования нейтрино. Таким образом, приходим кследующей формуле для числа событий:

dN

dy0d≡ dΓ =

∫dxs

∫dyd

IS∏i

dki(2π)32Eki

f(ki, xs, x0s

) FS∏i′

dki′(2π)32Ek

i′

×dpj

(2π)32Epjf(pj, yd, y

0d

) FD∏j′

dpj′

(2π)32Epj′

(6.69)

× 8VSVD

π3L2

∑spins

|MS|2∑

spins

|MD|2√ π

2σ2e−2D(λ)

×3∑

i=1

3∑j=1

V ∗αiVβiVαjV

∗βjexp

[−im2

i −m2j

2λL−

(m2

i −m2j

)232σ2λ4

L2

]

Заметим, что фактор√

π2σ2e−2D(λ) можно представить в виде интеграла по энергии

нейтрино: √π

2σ2e−2D(λ) =

∫ +∞

−∞dEqe−2D(λ)e−2σ2(Eq−λ)2 =

∫ +∞

−∞dEqe−2D(Eq), (6.70)

В свою очередь, фактор e−2D(Eq), как уже отмечалось, экспоненциально мал дляks−ps−q 6= 0 и kd−pd+q 6= 0, что соответствует закону сохранения энергии-импульса.Поэтому, мы можем положить фактор e−2D(E) пропорциональным произведениюCsCdδ

4(ks−ps−q)δ4(kd−pd+q). Коэффициенты пропорциональности, с учётом (6.42),найдем проинтегрировав левую и правую части равенств :

Cs = Cs

∫dqδ4(ks − ps − q) =

∫dEqe−2Ds(Eq) =

π2√W−1

s

=π2

Vs

(6.71)

Cd = Cd

∫dqδ4(ks − ps + q) =

∫dEqe−2Dd(Eq) =

π2√W−1

d

=π2

Vd

. (6.72)

Таким образом, получим:

e−2D(Eq) =π8δ4(ks − ps − q)δ4(kd − pd + q)

VsVd

. (6.73)

Наконец, макроскопическая скорость счёта в детекторе в единицу времени y0dможет быть выражено в виде:

dΓ(y0d) =

∫dxs

∫dyd

∫ [ IS∏i

dki(2π)3

] [f(ki, xs, x0s

)∣∣x0s=y0d−|yd−xs|

]×∫

dp(2π)3

f(p, yd, y

0d

)dΓ (k, p, xs, yd) , (6.74)

100

Д.В.Наумов


где одночастичная скорость счёта (ширина) есть:

dΓ (k, p, xs, yd) =∫dEq

[dΓ (k, Eq)

L2 dΩq dEq

][Pmix (Eq, xs, yd)] [dσ (p, Eq)] . (6.75)

В (6.75),

dEq

[dΓ (k, Eq)

L2 dΩq dEq

]=

1

L2

E2q dEq

(2π)32Eq

[IS∏i

1

2Eki

][FS∏i′

∫dki′

(2π)32Eki′

]×∑spins

|Ms (k, Eq)|2 (2π)4δ4 (−ks + q) (6.76)

это поток нейтрино с энергией Eq в точке yd из-за взаимодйствия в точке xs, как еслиьы было посчитано стандартным образом с плоскими волнами.

dσ (p, Eq) =1

2Eq2Ep

[FD∏j′

dpj′

(2π)32Epj′

]∑spins

|MD (p, Eq)|2 (2π)4δ4 (pd − q) (6.77)

-- это сечение взаимодействия безмассового нейтрино в детекторе.

Pmix (Eq, xs, yd) =3∑

i=1

3∑j=1

V ∗αiVβiVαjV

∗βjexp

[−i

(m2i −m2

j)L

2Eq−

(m2i −m2

j)2L2

32E4qσ

2

](6.78)

-- это вероятность нейтринных ``осцилляций``.

Обсуждение

Повторим кратко путь вывода, сделанные предположения и полученныерезультаты.

• Обобщение амплитуды перехода. Мы начали с того, что обобщили амплитудуперехода введя размазку по энергии-импульсу частиц в источнике и в детекторенейтрино (смотрите (6.20)). Обычно используемые в квантовой теории поляплоские волны не подходят для использования описания осцилляции нейтрино.От волновых пакетов, использованных нами при выводе окончательнойформулы для числа событий, мы всегда можем совершить предельный переходк плоским волнам просто положив ``размазку`` равной нулю: σ → 0. Как легковидеть из (6.78) все слагаемые с i 6= j при σ → 0 будут стремится к нулю.Выживут только те слагаемые, где i = j. Тогда

Pmix =3∑

i=1

V ∗αiVβi

3∑j=1

VαjV∗βj = δαβ,

что соответствует отсутствию нейтринных осцилляций.

101

Д.В.Наумов


• Квадрат амплитуды и макроскопическая скорость счёта Проделав рядутомительных, но не сложных вычислений, мы получили квадрат амплитуды(6.56), который мы решили связать с макроскопической скоростью счёта.Полученная формула (6.58) весьма общая и содержит в себе информациюо времени и месте детектирования нейтрино, а также о времени и местерождения нейтрино, автоматически ``знает`` о том, что нейтрино, испушенные``слишком давно``, не могут интерферировать друг с другом и многое другое.

• Релятивистский предел и факторизация Дальнейшее упрощение и возможностьфакторизации квадрата амплитуды возможно в релятивитском пределе. Врезультате мы пришли к формуле (6.74), которая интуитивно понятна: этоесть произведение потока нейтрино, родившегося в источнике, на вероятностьосцилляций нейтрино, на сечение взаимодействия, проинтегрированное пообъёмам источника и детектора.

• Вероятность осцилляций. Формула для вероятности осцилляций содержит в

себе стандартный квантово-механический фактор exp[−i (m

2i−m2

j )L

2Eq

], но кроме

этого, новый фактор, подавляющий осцилляции на больших расстоянияхexp

[− (m2

i−m2j )

2L2

32E4qσ

2

]. Происхождение этого фактора связано с тем, что частицы в

источнике и детекторе не обладают определенными энергией-импульсом. Этоявляется необходимым требованием для возможности когеретного сложенияамплитуд с разными массами, однако это же явление приводит к обязательнойпотере когеретности на больших расстояниях. Фактор подавления можнозаписать как:

e−L2/L2coh , Lcoh =

√8LoscEqσ, Losc =

2Eq

m2i −m2

j

откуда легко увидеть, что максимальное число осцилляций, которое возможно безпотери когерентности есть:

Nmax =L

Lcoh

≈ Eν

∆Eν

,

где ∆E ∼ 1/σ это неопределенность в энергии нейтрино из-за ``размазки``волновых пакетов.

6.3.2 Осцилляции в веществе

Рассмотрим теперь в рамках использованного формализма в параграфе 6.3.1случай распространения нейтрино через среду. Для простоты будем считать пока,что среда состоит из одних электронов, на которых нейтрино упруго рассеиваются,не изменяя своего импульса, за счёт заряженных и нейтральных токов. Используем

102

Д.В.Наумов


тоже определение амплитуды, что и в вакуумном случае (6.20), только будем иметьв виду, что часть множителей

Ne∏i=1


]1/2φi(k

′i, ki)

Ne∏j=1

dp ′j

(2π)3[2Ep′j]1/2

φ∗j(p

′j,pj) (6.79)

относится не только к частицам, участвующим в рождении и детектированиинейтрино, но и к электронам среды. Для удобства записи мы даже введём другоеобозначение для функций φi(k

′i, ki), относящихся к электронам среды:

φi(k′i, ki) ≡ Φi(k

′i, ki) для электронов среды

Амплитуда

Аналогично определению S матрицы в вакуумном случае (6.27), определим Sматрицу для осцилляций в веществе:

S = T[ei

∫[Ls(x)+Lm(x)+Ld(x)] dx

], (6.80)

где Lm(x) - это плотность лагранжиана, соответствующая взаимодействию нейтринос электронами среды, а Ls(x) и Ld(x) определены также как и в вакуумном случае.Запишем амплитуду аналогично (6.30):

〈f |S(k′, p′)− 1| i〉 = i2〈f |∫dxdy T

[Ld(y)ei

∫dzLm(z)Ls(x)

]|i〉 (6.81)

= −∑i,j

∫dxdy V ∗

αiVβje−i(ks−ps)x−i(kd−pd)yM′

dPL〈f | T[νj(y)ei

∫dzLm(z)νi(x)

]|i〉PRM′

s

где мы ввели обозначения:

PL =1

2(1− γ5) , PR =

1

2(1 + γ5) , M′

s(k′, p′) =2GF√

2Jµs γµ`α, M′

d(k′, p′) =2GF√

2Jµd¯βγµ

Спиноры M′s(k′, p′),M′

d(k′, p′) зависят от своих наборов импульсов для входящихи выходящих частиц, ks, ps (kd, pd) - это, как и в вакуумном случае, суммыимпульсов всех входящих и выходящих (кроме нейтрино) частиц в источнике(детекторе) нейтрино. Если предположить взаимодействие со средой бесконечномалым (Lm(z) ∼ 0), то формула (6.81) перейдет в формулу (6.30) для вакуумногослучая. Заметим, что 〈0 |T [νj(y)νi(x)]| 0〉 = δijGi(y − x) (пропагатор нейтрино смассой mi в вакууме), так что одно суммирование по индексам i, j снимается имы в точности получим (6.30). Это наводит нас на мысль о том, что выражение〈f | T

[νj(y)ei

∫dzLm(z)νi(x)

]|i〉 является чем-то вроде пропагатора нейтрино в среде.

Заметим при этом, что эта величина зависит от двух индексов i, j, а также не стоитзабывать о волновых пакетах, определенных в (6.79), сопутствующим состояниям

103

Д.В.Наумов


|i〉 , |f〉. Поэтому, введем величину:

Gij(y − x) ≡Ne∏i=1

dk′i Φi(k′i, ki)

(2π)3[2Ek′i]1/2

Ne∏j=1

dp ′j Φ

∗j(p

′j,pj)

(2π)3[2Ep′j]1/2

〈f | T[νj(y)ei

∫dzLm(z)νi(x)

]|i〉, (6.82)

и запишем амплитуду перехода в виде:

A = −∫ ∏

l

dk′l φl(k′l, kl)

(2π)3[2Ek′l]1/2

∏k

dp ′k φ

∗k(p

′k,pk)

(2π)3[2Ep′k]1/2

∑i,j

dxdy V ∗αiVβje

−i(ks−ps)x−i(kd−pd)y

×M′dPLGij(y − x)PRM′

s (6.83)

Если бы влиянием вещества можно было пренебречь в (6.83), то мы бы положилиGij(y − x) = δijGi(y − x) и дальше просто воспользовались бы результатами,полученными для случая распространения нейтрино в вакууме, расмотренном впараграфе 6.3.1. Для того, чтобы учесть влияниние среды на распространениенейтрино нам нужно явным образом вычислить чему равна величина Gij(y − x), ипроделать тот же путь к числу событий аналогично вакуумному случаю.

Функция Грина

Лагранжиан взаимодействия Lm(z) описывает обмен W± и Z0 бозонами нейтринос электроном в четырехфермионном приближении:

Lm(z) =GF√2

∑kl

VekV∗el νl(z)γ

µ (1− γ5) e(z) · e(z)γµ (1− γ5) νk(z)+

+GF

2√2

∑k

νk(z)γµ (1− γ5) νk(z) · e(z)γµ (geL (1− γ5) + geR (1 + γ5)) e(z), (6.84)

где geL = −1

2+ sin2ΘW , geR = sin2 ΘW

Приступим к вычислению Gij(y − x), определенной в (6.82). Начнём срассмотрения величины:

〈f | T[νj(y)ei

∫dzLm(z)νi(x)

]|i〉

= 〈f | T[νj(y)

(1 + i

∫dzLm(z) + i2

∫dz1dz2Lm(z1)Lm(z2) · · ·

)νi(x)

]|i〉

= 〈f |i〉〈0|T [νj(y)νi(x)] |0〉+ i〈f |T[νj(y)

∫dz Lm(z)νi(x)

]|i〉+

+ i2〈f |T[νj(y)

∫dz1dz2 Lm(z1)Lm(z2)νi(x)

]|i〉+ · · · (6.85)

104

Д.В.Наумов


Используя (6.82, 6.85), получим:

Gij(y − x) =

∫dq

(2π)4ei(y−x)q

(iSi + iSjiΩijiSi +

∑k

iSjiΩjkiSkiΩkiiSi

+∑k

∑l

iSjiΩjkiSkiΩkliSliΩliiSi + · · ·

)(6.86)

Si = Si(q) =1

q −mi

=q +mi

q2 −m2i + iε

Или обозначив выражение в скобках iGji получим:

Gij(y − x) =

∫dq

(2π)4ei(y−x)qiGji (6.87)

В (6.86) матрица Ωij складывается из обмена заряженным Ωccij и нейтральным Ωnc

ij

бозонами:

Ωij = Ωccij + Ωnc

ij (6.88)

Ωccij = −

√2neGFVeiV

∗eju (1− γ5)

Ωncij = δij

1√2GFne(1− 4 sin2ΘW )u (1− γ5) ,

где u = γµuµ, u = γu (1,u) - это 4-вектор скорости среды, γu = [1− u2]

−1/2 -Лоренцевский фактор, u - это трехмерная скорость движения среды, ne - плотностьчисла электронов среды.

Если записать теперь амплитуду перехода в виде:

A = −∫ ∏

l

dk′l φl(k′l, kl)

(2π)3[2Ek′l]1/2

∏k

dp ′k φ

∗k(p

′k,pk)

(2π)3[2Ep′k]1/2

∑i,j

dxdydq

(2π)4V ∗αiVβje

−i(ks−ps+q)x−i(kd−pd−q)y

×M′dPLiGji(q)PRM′

s, (6.89)

то сравнив полученную формулу с (6.34), можно придти к выводу о полнойидентичности полученных формул, с заменой

∑i V

∗αiVβiSi(q) →

∑ij V

∗αiVβjiGji.

Очевидно, что при отсутствии вещества (Ωij = 0) мы получим вакуумный случай.Весь эффект присутствия вещества на пути нейтрино от источники к детекторузакодирован в ``перенормированном пропагаторе`` Gij. Однако, прежде чемвычислить чему равно Gij, покажем как получить уравнение (6.86).

• Покажем, что:∫ ∏l

dk′l Φl(k′l, kl)

(2π)3[2Ek′l]1/2

∏k

dp ′k Φ

∗k(p

′k,pk)

(2π)3[2Ep′k]1/2

〈f |i〉〈0|T [νj(y)νi(x)] |0〉 = δijGi(y − x) (6.90)

105

Д.В.Наумов


Действительно, 〈f |i〉〈0|T [νj(y)νi(x)] |0〉 = 〈f |i〉 δijGi(y − x), учитывая, чтоодночастичные состояния нормированы как 〈p|k〉 = (2π)3

√2Epδ

3(p−k), получим〈f |i〉 =

∏l(2π)

32Eplδ3(pl − kl). Тогда:∫ ∏

l


(2π)3[2Ek′l]1/2

∏k

dp ′k Φ

∗k(p

′k,pk)

(2π)3[2Ep′k]1/2

〈0|T [νj(y)νi(x)] |0〉〈f |i〉

=∏l

∫dk′l |Φl(k

′l, kl)|

2

(2π)3δijGi(y − x) = δijGi(y − x), (6.91)

что доказывает (6.90).

• Убедимся теперь в том, что:

i

∫ ∏l


(2π)3[2Ek′l]1/2

∏k

dp ′k Φ

∗k(p

′k,pk)

(2π)3[2Ep′k]1/2

〈f |T[νj(y)

∫dz Lm(z)νi(x)

]|i〉

=

∫dq

(2π)4eiq(y−x)iSj(q)i

[Ωcc

ij + Ωncij

]iSi(q), где (6.92)

Ωccij = −

√2GFneVeiV

∗eju (1− γ5) Ωnc

ij = δij1√2GFne(1− 4 sin2ΘW )u (1− γ5)

Рассмотрим матричный элемент:

i〈f |T[νj(y)

∫dz Lm(z)νi(x)

]|i〉

= iGF√2VeiV

∗ej

∫dz 〈f |T [νj(y)νj(z)γµ (1− γ5) e(z) · e(z)γµ (1− γ5) νi(z)νi(x)] |i〉+

+ iGF

2√2

∫dz 〈f |T [νi(y)νi(z)γµ (1− γ5) νi(z)·

·e(z)γµ (geL (1− γ5) + geR (1 + γ5)) e(z)νi(x)] |i〉

= iGF√2VeiV

∗ej

∑l

∫dz e−i(k′l−p′l)zGj(y − z)γµ (1− γ5) e(k

′l) · e(p′l)γµ (1− γ5)Gi(z − x)+

+ iGF

2√2

∑l

∫dz e−i(k′l−p′l)zGi(y − z)γµ (1− γ5) ·

· e(p′l)γµ (geL (1− γ5) + geR (1 + γ5)) e(k′l)Gi(z − x)

(6.93)

Умножив последние две строчки (6.93) на фактор∫ ∏

ldk′l Φl(k

′l,kl)

(2π)3[2Ek′l]1/2

∏k

dp ′k Φ∗

k(p′k,pk)

(2π)3[2Ep′k]1/2

,

снимем интегрирования по имупьсам электронов также как в (6.35):∫dk′l Φl(k

′l, kl)

(2π)3[2Ek′l]1/2

e−ik′lze(k′l) ≈e−ikl(z−zm)√

2Ekl

e(kl)ψkl

(z− zm − vkl(z

0 − z0m))

∫dp ′

l Φ∗l (p

′l,pl)

(2π)3[2Ep′l]1/2

eip′lz e(p′l) ≈

eipl(z−zm)√2Epl

e(pl)ψ∗pl

(z− zm − vkl(z

0 − z0m))

106

Д.В.Наумов


Поскольку мы рассматриваем упругое взаимодействие нейтрино на электроне,т.е. kl = pl, то ∫


(2π)3[2Ek′l]1/2

dp ′l Φ

∗l (p

′l,pl)

(2π)3[2Ep′l]1/2

e−i(k′l−p′l)z e(p′l)e(k′l)

≈ |ψkl (z− zm − vkl(z0 − z0m))|

2

2Ekle(k′l)e(k

′l) (6.94)

Аналогично (6.57) положим пространственную плотность вероятности найтиэлектрон с импульсом kl в точке (zm, z0m) равной |ψkl (z− zm − vkl(z

0 − z0m))|2=

V −1[dkl/(2π)3] f(kl, zm, z0m). Предполагая независимость в распределениях поимпульсам для всех электронов, сумму

∑l в (6.93) заменим просто числом

электронов Ne. Вычислим анзац для вклада от обмена заряженным бозоном.Просуммировав по спину электронов, получим:

∑spins

∫ ∏l


(2π)3[2Ek′l]1/2

∏k

dp ′k Φ

∗k(p

′k,pk)

(2π)3[2Ep′k]1/2

∑l

e−i(k′l−p′l)zγµ (1− γ5) e(k′l)·

e(p′l)γµ (1− γ5) = nedkl(2π)3

f(kl, zm, z0m)γµ (1− γ5)

kl +me

2Eklγµ (1− γ5) ,

где ne = Ne/V (6.95)

Далее, проинтегрировав по импульсу электрона, получаем:∫ne

dkl(2π)3

f(kl, zm, z0m)γµ (1− γ5)

kl +me

2Eklγµ (1− γ5)

= −2ne

∫dkl(2π)3

f(kl, zm, z0m)klEkl

(1− γ5) = −2neu (1− γ5) , (6.96)

где мы использовали γµkγµ = −2k. u - средняя 4 скорость среды. Наконец,

получим для вклада от обмена заряженным бозоном, с учётом суммирования поспину и интегрирования по импульсу электронов среды:

∑spins

∫dkl∫


(2π)3[2Ek′l]1/2

dp ′l Φ

∗l (p

′l,pl)

(2π)3[2Ep′l]1/2

iGF√2VeiV

∗ej

∫dz 〈f |T [νj(y)νj(z)γµ (1− γ5) e(z)·

e(z)γµ (1− γ5) νi(z)νi(x)] |i〉 =∫dz Gj(y − z)

(−i

√2GFneVeiV

∗eju (1− γ5)

)Gi(z − x)

=

∫dz

∫dq

(2π)4eiq(y−z)iSj(q)

(−i

√2GFneVeiV

∗eju (1− γ5)

)∫ dq′

(2π)4eiq

′(z−x)iSi(q′)

=

∫dq

(2π)4eiq(y−x)iSj(q)iΩ

ccij iSi(q), где Ωcc

ij = −√2GFneVeiV

∗eju (1− γ5) (6.97)

107

Д.В.Наумов


Вклад от обмена нейтральным бозоном вычисляется аналогично. Заметим, что∑spins

γµ (1− γ5) e(p)γµ (geL (1− γ5) + geR (1 + γ5)) e(p)

=∑spins

γµ (1− γ5)Sp [e(p)e(p)γµ (geL (1− γ5) + geR (1 + γ5))]

= 4(geL + geR)p (1− γ5) , (6.98)

что приводит к:

Ωncij = δij

1√2GFne(g

eL + geR)u (1− γ5) = δij

1√2GFne(1− 4 sin2ΘW )u (1− γ5)

Таким образом,∑spins

∫dkl∫


(2π)3[2Ek′l]1/2

dp ′l Φ

∗l (p

′l,pl)

(2π)3[2Ep′l]1/2

iGF

2√2

∫dz 〈f |T [νi(y)νi(z)γµ (1− γ5) νi(z)·

·e(z)γµ (geL (1− γ5) + geR (1 + γ5)) e(z)νi(x)] |i〉 =∫

dq

(2π)4eiq(y−x)iSj(q)iΩ

ncij iSi(q),

(6.99)

где Ωncij = δij

1√2GFne(1− 4 sin2 ΘW )u (1− γ5)

Сложив (6.97) и (6.99), получим (6.92).

• Каждый следующий член ряда (6.86) может быть получен, исходя изаналогичных вычислений.

Ещё один вывод функции Грина

Для полноты картины приведём ещё один выводы формулы для функцииГрина, используя формализм квантовой теории для твердого тела, а такжеправило Котковского. Уравнение (6.86) по своей форме очень напоминаетуравнение на собственную энергию, хорошо знакомое теоретикам, работающими сперенормировками. Разница заключается только в том, что пропагатор нейтрино``одевается`` не счёт радиационных поправок, а за счёт взаимодействия свеществом. Поскольку, однако, мы рассматриваем упругое взаимодействиенейтрино с веществом, не изменяющее импульс нейтрино, то аналогия с собственнойэнергией становится особенно прозрачной. На рис.6.2 приведены диаграммыФейнмана, относящиеся к взаимодействию нейтрино с электроном за счёт обменаW+ и Z0 бозонами.

Если оставить нейтринные концы диаграмм на рис.6.2 нетронутыми, и вычислитьтолько внутреннюю часть этих диаграмм, то оказывается, что это эквивалентнотому, чтобы вычислить петлевые даиграммы, в которых импульс лептона и бозона

108

Д.В.Наумов


W+

νi

e−

e−

νj

+Z0

νi

νi

e−

e−

Figure 6.2: Диаграммы Фейнмана, относящиеся к взаимодействию нейтрино сэлектроном.

W+(p− q)

e−(q)

νi(p) νj(p)+

νi(p) νj(p)

Z0(p− q)

e−(q)

Figure 6.3: Петлевые диаграммы Фейнмана для собственной энергии нейтрино.

пробегает все допустимые значения. Это называется правилом Котковского.Соответствующие диаграммы приведены на рис.6.3

Рассмотрим сначала диаграмму с обменом W+ бозоном. Петля равна:

iΩccij =

∫d4q

(2π)4igVei

2√2γµ(1− γ5)iSe(q)

igV ∗ej

2√2γν(1− γ5)

−igµν

(p− q)2 −M2W + iε

Пропагатор электрона Se(q) в среде меняется следующим образом:

iSe(q) = i(q +me)

[1

q2 −m2e + iε

+ 2πiδ(q2 −m2e)f(q, T )

], (6.100)

где f(q, T ) - функция распределения электронов в среде при температуре T . Мыне будем рассматривать часть пропагатора электрона со стандартной формой (q +me)/(q

2−m2e + iε), поскольку эта часть приводит к перенормировке массы электрона,

что не является для нас интересным в данном случае. Нас же будет интересоватьчасть пропагатора, в которой закодирован эффект среды. Учтём, что

δ(q2 −m2e) =

∫dk2k0

δ4(k − q)

109

Д.В.Наумов


Тогда,

iΩccij = −

∫d4q

(2π)3igVei

2√2γµ(1− γ5)qδ(q

2 −m2e)f(q, T )

igV ∗ej

2√2γν(1− γ5)

−igµν

(p− q)2 −M2W + iε

= −iGF√2VeiV

∗ej

∫d4q

(2π)3γµ(1− γ5)q

∫dk2k0

δ4(k − q)f(k, T )γµ(1− γ5)M2

W

(p− q)2 −M2W + iε

= 2iGF√2VeiV

∗ej

∫dk

(2π)3k

k0f(k, T )(1− γ5) = −i

√2GFneVeiV

∗eju(1− γ5), (6.101)

где neu =

∫dk

(2π)3k

k0f(k, T )

Аналогично, обмен нейтральным бозоном даётся формулой:

iΩncij = −δij

∫d4q

(2π)3ig

2 cosΘW

γµ(1− γ5)Sp[(q +me)

ig

2 cosΘW

γν

](−1

2+ 2 sin2 ΘW

)×

× −igµν

(p− q)2 −M2Z + iε

δ(q2 −m2e)f(q, T )

= iδijGF√2

∫dk

(2π)3k

k0f(k, T )(1− γ5)

(−1 + 4 sin2ΘW

)= iδij

GF

(−1 + 4 sin2 ΘW

)√2

neu(1− γ5) (6.102)

6.3.3 Уравнение и полюса функции Грина

Уравнение на функцию Грина Gij записано в виде ряда (см. (6.86)):

iGji = iSiδij + iSjiΩjiiSi + iSj

∑k

iΩjkiSkiΩkiiSi

+ iSj

∑k

iΩjkiSk

∑l

iΩkliSlΩliiSj + . . .

Из этого уравнение следует, что:

iSj

∑k

iΩjkiGki = iSj

∑k

iΩjk

(iSkδki + iSkiΩkiiSi + iSk

∑l

iΩkliSliΩliiSi + . . .)

= iSjiΩjiiSi + iSj

∑k

iΩjkiSkiΩkiiSi + iSj

∑k

iΩjkiSk

∑l

iΩkliSliΩliiSi + . . .

= iGji − iSiδij.

Таким образом, получаем, что Gij(q) удовлетворяет уравнению типа уравнениеДайсона ∑

k

(δjk − iSjiΩjk) iGki = iSjδij

110

Д.В.Наумов


что эквивалетно: ∑k

[(q −mj) δjk +Ωjk]Gki = δij.

Последнее уравнение можно переписать в компактной матричной форме:

(q −m+ Ω)G = 1, (6.103)

гдеG = ||Gij||, W = ||Ωij||, и m = diag (m1,m2, . . . ,mN) .

Заметим, что q - это матрица 4× 4 в Лоренцевском пространстве, в то время как m -матрица N ×N в пространстве состояний нейтрино. Поскольку матрица Ω содержитв себе произведение матриц N ×N и матриц 4 × 4, то разумно отфакторизовать этипространства и записатьΩ = 2uPLW , гдеW - это энергия взаимодействия нейтринос веществом в системе покоя среды:

W ji = W ccji +W nc

ji = −√2GFneVeiV

∗ej + δij

1√2GFne(1− 4 sin2ΘW ),

Тогда (6.103) запишется в виде:

(q −m+ 2uPLW )G = 1. (6.104)

Решением уравнения (6.104) теперь и займёмся. Формальное решение (6.104):

G = (q −m+ 2uPLW )−1 ,

или(q −m+ 2uPLW ) = G−1

Заметим, что

(q −m+ 2uPLW ) (q +m) = q2 −m2 + 2uPLW (q +m) = G−1(q +m)

Для удобства введём матрицу:

Λ = q2 −m2 + 2 uPLW (q +m) . (6.105)

тогдаG = (q +m)Λ−1. (6.106)

Чтобы узнать чему равно Λ−1 нам нужно попытатьс привести матрицу Λ ктреугольной форме. Для этого заметим, что

2uPL = γu

(1 −uσuσ −1

)(1 −1−1 1

)= γu(1 + uσ)

(1 −11 −1

)

111

Д.В.Наумов


Далее

2uPL (q +m) = γu(1 + uσ)

(1 −11 −1

)(q0 +m −qσqσ −q0 +m

)= γu (1 + uσ)

(q0 +m− qσ (q0 −m)− qσ(q0 +m)− qσ q0 −m− qσ

)= 2γu (1 + uσ) u+

(0 0m q0 − qσ

)u−

= 2γu (1 + uσ) u−

(q0 − qσ −m

0 0

)u+,

где

u± =1± γ0γ5√

2, u±u∓ = 1, u2± = ±γ0γ5.

Таким образом,

Λ = u−

(q2 −m2 + 2 (1 + uσ) (q0 − qσ) γuW −2 (1 + uσ) γuWm

0 q2 −m2

)u+. (6.107)

Λ матрица, записанная в виде (6.107), имеет почти треугольную форму. Еслибы нам удалось диагонализовать (или привести к треугольной форме) матрицу(1 + uσ) (q0 − qσ), то тогда Λ приобрела бы требуемый треугольный вид. Это можносделать следующим образом. Определим вектора:

v =q

q0и V =

v − u− i (v × u)

1− uv(6.108)

и запишем:(1 + uσ) (q0 − qσ) = q0 (1− uv) (1− V σ) . (6.109)

Обратим внимание, что вещественная и мнимая части вектора V ортогональны другдругу:

ReV · ImV ∝ (v − u) · (u× v) = 0,

что позволяет неэрмитову матрицу (6.109) диагонализовать простымпреобразованием:

R(v) (V σ)R(v) = VRσ3, (6.110)

в котором

R(v) =V σ + VRσ3

%=

1

%

(VR + V3 V1 − iV2V1 + iV2 −VR − V3

), R2(v) = 1, (6.111)

VR =√

V 2 =

√(ReV )2 − (ImV )2 =

√|v − u|2 − |u× v|2

|1− uv|=

√1− (1− u2) (1− v2)

(1− uv)2,

(6.112)

112

Д.В.Наумов


и нормировочный фактор % определяется из условия|R(v)| = −1:

% =√− |V σ + VRσ3| =

√2VR (VR + Vκ3). (6.113)

Теперь мы можем вычислить детерминант матрицы Λ как произведениедетерминантов её диагональных блоков:

|Λ| = d2∣∣q2 −m2 + 2q0 (1− uv) (1− V σ) γuW

∣∣ , (6.114)

где

d =∣∣q2 −m2

∣∣ =√|q ±m| =N∏k=1

(q2 −m2

k

). (6.115)

Используя (6.110), тогда получим:

|Λ| = d2∣∣q2 −m2 + 2q0(1 + VR) (1− uv) γuW

∣∣ ∣∣q2 −m2 + 2q0(1− VR) (1− uv) γuW∣∣ .

(6.116)Пусть M2

±,k(q) (k = 1, 2, . . . , N) есть собственные значения матриц:

M 2±(q) = m2 + 2q0(1± VR) (1− uv) γuW . (6.117)

Упражнение 13Покажите, что V 2

R ≥ 0 для 0 ≤ v <∞.

Поскольку V 2R ≥ 0, то матрицыM 2

+(q) иM 2−(q) эрмитовые и существует унитарные

преобазования T+(q) и T−(q) такие, что:

T±(q)M2±(q)T

†±(q) = diag

(M2

±,1,M2±,2, . . . ,M

2±,N

), T †

±(q)T±(q) = 1. (6.118)

Из (6.106) и (6.116) следует, что:

|G| = d2|Λ|−1 =∣∣q2 −M 2

−(q)∣∣−1 ∣∣q2 −M 2

+(q)∣∣−1

=N∏k=1

[q2 −M2

−,k(q)]−1 [

q2 −M2+,k(q)

]−1. (6.119)

Из равенства: |G|−1 = 0 мы получаем набор дисперсионных соотношений длянейтрино в среде:

q2 =M2±,k(q), k = 1, . . . , N. (6.120)

Найдем теперь Λ−1, воспользовавшись теоремой .7, а также тем, что u− = u−1+ :

Λ−1 = u−

(q2 −m2 + 2 (1 + uσ) (q0 − qσ) γuW −2 (1 + uσ) γuWm

0 q2 −m2

)−1

u+

= u−

(Y Y −1 (1 + uσ) γuWmX−1

0 X

)u+. (6.121)

113

Д.В.Наумов


где 2× 2 (в пространстве γ матриц) матрицы X,Y определены следующим образом:

X ≡([q2 −m2]

−10

0 [q2 −m2]−1

)=

([P2

v − q2]−1

0

0 [P2v − q2]

−1

)(6.122)

Y ≡[q2 −m2 + 2q0γuW (1− uv) (1− V σ)

]−1

= R[q2 −m2 + 2q0γuW (1− uv) (1− VRσ3)

]−1R

= R

(T †

−[P2m,- − q2

]−1T− 0

0 T †+

[P2m,+ − q2

]−1T+

)R (6.123)

где матрица R определена в (6.110), а диагональные матрицы (в пространствесостояний нейтрино N × N) P2

v ,P2m,± квадратов ''эффективных импульсов'' даются

формулами:

P2v ≡ q20 −m2, собственные значения (p2v,1, . . . p

2v,N) (6.124)

P2m,± ≡ T †

±[q20 −m2 + 2q0γuW (1− uv) (1± VR)

]T±, собственные значения (p2m,1, . . . p

2m,N)

(6.125)

Заметим, что наибольший вклад в∫dqΛ−1 будет происходить от элементов матрицы

Λ−1, имеющих сингулярности в знаменателе, вида [P2v − q2]

−1 и T †±[P2m,- − q2

]−1T± .

Вклад от элемента∼ Wm подавлен по сравнению с сингулярными, и мы им спокойнопренебрегаем. Таким образом, пропагатор нейтрино (6.106) в среде есть:

G = (q +m) u−

(Y 00 X

)u+. (6.126)

Теперь мы можем легко вычислить оставшийся интеграл, используя теорему 2:

∫dqe−i(y−x)qG ≈ − 2π2q

|y− x|u−

R(T †

−em,−T− 0

0 T †+em,+T+

)R 0

0

(ev 00 ev

) u+,

(6.127)где диагональные матрица с собственными значениями эффективных импульсовв аргуменете экспоненты определены как em,± = ei|y−x|Pm,±, ev = ei|y−x|Pv. Хотяполученный ответ достаточно прозрачен сам по себе, имеет смысл перейти крелятивистскому пределу для энергии-импульса хотя бы потому, что дальнейшаяфакторизация квадрата амплитуды на произведение отдельных множителей,характеризующих рождение и детектирование нейтрино и ''вероятность осцилляций''возможно только в этом пределе. Если скорость среды много меньше скорости

114

Д.В.Наумов


нейтрино (но может быть при этом вполне релятивистской), тогда можноприближенно положить VR ≈ 1. Это немедленно приводит к тому, что матрицаP2m,- ≈ P2

v и T− ≈ 1. Кроме этого,

P2m,+ = T †

+

[q20 −m2 + 4q0γuW (1− uv)

]T+,

Условимся для простоты обозначений считать в дальнейшем T = T+,P2m = P2

m,+, em =em,+. Тогда (6.127) перепишется в релятивистском пределе:

∫dqe−i(y−x)qG ≈ − 2π2q

|y− x|u−

R(ev 00 T †emT

)R 0

0

(ev 00 ev

) u+, (6.128)

В (6.128) q = qµγµ, qµ = (q0, 0, 0, lq0), где l = (y − x)/ |y− x| - единичный вектор в

направлении от источника нейтрино к детектору. Выражение (6.128) можно ещёупростить, если воспользоваться явным видом матриц u±:

u± =1√2

(1 ±1∓1 1

)Тогда:

u−

R(ev 00 T †emT

)R 0

0

(ev 00 ev

) u+ =

1

2

(A+B A−BA−B A+B

),

где мы для компактности обозначили:

A = R

(ev 00 T †emT

)R, B =

(ev 00 ev

)В формуле для амплитуды перехода (6.89) пропагатор G стоит в обкладках PLGPR.Учтём это:

PLq1

2

(A+B A−BA−B A+B

)PR = PLqPRA

Замечательным образом блок B в котором содержатся вакуумные решения исчезчаетиз полной амплитуды. Позже мы вернёмся к обсуждению этого вопроса. Заметим,однако, что в общем случае, матрица A содержит в себе смесь вакуумного решенияи решения с ''добавкой'' от среды. Мы это также обсудим в дальнейшем идадим простую физическую интерпретацию. Возможно и дальнейшее упрощение.

115

Д.В.Наумов


Воспользовавшись (6.110), запишем:

A = R

(ev 00 T †emT

)R

= evR

(1 + σ3

2

)R + T †emTR

(1− σ3

2

)R

= ev

(1 + nσ

2

)+ T †emT

(1− nσ

2

)=ev2

(1 + n3 n1 − in2

n1 + in2 1− n3

)+

T †emT

2

(1− n3 −n1 + in2

−n1 − in2 1 + n3

), (6.129)

где n = V /VR. Наконец, учтём, что

PLqPR = PLqPR =1

2q0(1− vσ)

(1 1−1 −1

)=

1

2q0(1− σ3)

(1 1−1 −1

)Так что:

PLqPRA =

(ev1− n3

2+ T †emT

1 + n3

2

)=

1

2q0(1− σ3)

(1 1−1 −1

)=

(ev1− n3

2+ T †emT

1 + n3

2

)PLqPR (6.130)

Таким образом получаем очень красивую формулу:

PL

∫dqe−i(y−x)qGPR ≈ −2π2PLqPR

|y− x|

(ev1− n3

2+ T †emT

1 + n3

2

)(6.131)

116

Chapter 7

Как обнаружить реликтовые нейтрино?

7.1 Рассеяние νµ + µ− → π−

Рассмотрим рассеяние мюонов на реликтовых анти-нейтрино с рождением пионав конечном состоянии (Рис.7.1).

W−

d

u

π−(p)

νl(kν)

l−(kl)

Figure 7.1: Диаграмма Фейнмана для l−(kl) + νl(kν) → π−(p)

Найдем энергию лептона при которой возможна реакция l−(kl) + νl(kν) → π−(p).Полная энергия в системе центра масс должна быть равна массе пиона, откуда сучетом того, что реликтовые нейтрино имеют пренебрежимо малую кинетическуюэнергию по сравнению с их массой (если масса нейтрино больше 10−4 эВ), получим:

El =m2

π

8mν

= 1000 ТэВ × 1 эВmν

. (7.1)

Матричный элемент, соответствующий диаграмме (7.1) точно такой же, какдля распада пиона (смотрите (2.14)), поэтому воспользуемся уже полученнымрезультатом для квадрата амплитуды:

|M |2 = 4G2F cos2ΘCf

2πm

2l (kνkl) (7.2)

117

Д.В.Наумов


По общей формуле вычислим сечение рассеяния l−(kl) + νl(kν) → π−(p):

σ =

∫(2π)4δ(kl + kν − pπ)

2 · 4√(klkν)2 −m2

lm2ν

4G2F cos2 ΘCf

2πm

2l (kνkl)

dpπ

(2π)32Eπ

=πG2

F cos2 ΘCf2πm

2l

2Eπ

1− vl · vνvl − vν

δ(El + Eν − Eπ)

(7.3)

В полученной формуле (7.3) сечение оказалось пропорциональным дельта-функции.На первый взгляд, такой результат может вызвать недоумение. Заметим, однако,что для любого реального пучка мюонов всегда будет разброс мюонов по энергии,так что число наблюдаемых событий будет пропорционально интегралу

∫Φµ(Eµ)σ и

будет конечным. На самом деле можно даже дать конечное и разумное значение исамому сечению (7.3). Для этого заметим, что появление дельта-функций в квадратеамплитуды перехода из начального состояния в конечное возможно только для такихсостояний, которые могут быть представлены в виде плоских волн (см. главу 6).В общем случае, когда описывается взаимодействие частиц при помощи волновыхпакетов, закон сохранения энергии-импульса ``держится`` на затухающих гауссовыхэкспонентах вида e−(ki−kf )

2/2σ2, где σ - это размазка волновых пакетов. В нашемслучае, σ будет определяться полной шириной распада пиона Γ, которую можноприближенно считать равной Γ(π → µν) (2.17), откуда

G2F cosΘ2

Cf2πm

2l =

8πΓ(π → lνl)Eπ

m2π (1−m2

l /m2π)

2 . (7.4)

Подставив (7.4) в (7.3), получим:

σ =4π2Γ(π → lνl)

m2π (1−m2

l /m2π)

2


δ(El + Eν − Eπ)

=2√2π3/2m2

l /m2µ

m2π (1−m2

l /m2π)

2


e−(Eµ+Eν−Eπ)2/2Γ2

,

где в последней строчке мы учли явным образом, что σ = Γ. Подставив числа,получим:

σ = 3.3 · 10−24 см21− vl · vνvl − vν


m2l /m

2µ (7.5)

Полученное сечение, сравнимо по порядку величины с сечением рождения e++e− →Z0 при энергии

√s =MZ0. Означает ли то, что сечение реакции µ−+ νµ → π−(p) такое

большое, что мы можем легко обнаружить реликтовые нейтрино? К сожалению нет.Как уже отмечалось выше, любой реальный пучок моонов будет иметь ``размазку``по энергии, описываемую, например, гауссовым распределением с шириной σexp, так

118

Д.В.Наумов


что число событий будет равно:

N =

∫dEµ Φ(Eµ) · σ(Eµ) ·Nν · время =

=Nµ

10211021

времясм2 год

3.3 · 10−24 см2Γ55 nν

55 см3105 см

L

км10−2 см2 S

мм2×

×∫dEµ


√2πΓ

e−(Eµ−E0µ)

2/2σ2exp

√2πσexp

=

=181Nµ время1021год

nν

55 см3

L

кмS

мм2

e−(E0µ+Eν−Eπ)2/2σ2

√2π

Γ

σ,

(7.6)

где σ2 = σ2exp + Γ2. Мы предположили мюонный пучок с сечением S = 1 мм2, длиной

L = 1 км (при такой длине мюон с энергией 1000 ТэВ заведомо будет стабильным),интенсивностью 1021 мюонов в год.

Проанализируем полученную формулу (7.6). Ширина Γ = 3 · 10−14 МэВ, что многоменьше экспериментальной достижимой ширины σexp. В качестве оптимистичнойоценки можно было бы положить σexp = 1 кэВ, тогда число событий (7.6) будетподавлено фактором Γ/σexp ≈ 10−11. Подобное подавление делает возможностьиспользования реакции µ− + νµ → π−(p) для детектирования реликтового нейтринопроблематичным:

N =0.7 · 10−9Nµ время1021год

nν

55 см3

L

кмS

мм2e−(E0

µ+Eν−Eπ)2/2σ2exp . (7.7)

Любопытно заметить следующее. Аналогичная формула (7.6) может бытьнаписана для других резонсов, например, таких как e+ + e− → Z0, e+ + e− → J/Ψи т.п. В случае e+ + e− → Z0 ширина Z0 бозона порядка 2.5 ГэВ, что намногобольше экспериментальной ширины, тогда фактор Γ/

√Γ2 + σ2

exp ≈ 1 и подавленияне возникает. Для детектирования узкого резонанса, такого как J/Ψ с Γ = 93.4 кэВнеобходим пучок с достаточно хорошим разрешением, чтобы фактор Γ/

√Γ2 + σ2

exp

не был сильно подавляющим. Таким образом, заметим, что мало знать саморезонансное сечение, чтобы судить о числе взаимодействий, очень важную роль ещеиграет ширина данного резонанса.

7.2 Рассеяние νe + n→ p + e−

Квадрат матричного элемента, соответствующий диаграмме (7.2) уже вычислялсянами в параграфе 2.3:

|M |2 = 32G2F cos2ΘCmnmpEeEν

[(1 + 3λ2) + (1− λ2) nν · ve

], (7.8)

Тогда, вычисляя сечение по общей формуле (1.75), легко получить:

σ =

∫(2π)4δ(kν + pn − ke − pp)|M |2

2 · 4Eνvνmn

dpp

(2π)32Ep

dpe

(2π)32Ee

=G2

F cos2ΘCEepe(1 + 3λ2)

πvν(7.9)

119

Д.В.Наумов


W−

e−(ke)

p+(pp)

νe(kν)

n(pn)

Figure 7.2: Диаграмма Фейнмана для распада νe + n→ p+ e

Поскольку реликтовое нейтрино имеет кинетическую энергию много меньшую еемассы (это, на самом деле, предположение, справедливое для масс нейтринобольших 10−4 эВ), то скорость нейтрино можно оценить из соотношения mνv

2ν/2 =

3/2kT , откуда

vν = 1.2 · 10−2

√эВmν

Тогда сечение реакции νe + n→ p+ e есть:

σ = 1.5 · 10−41 см2

√эВmν

Число взаимодействий на один нейтрон в одну секунду есть:

R = Φνσ = nνvνσ = 55nν

55 см31.2 · 10−2 · 3 · 1010 см

сек1.5 · 10−41 см2 = 3 · 10−31сек−1 nν

55 см3

(7.10)Тогда число взаимодействий реликтовых нейтрино со свободными нейтронами Nn:

N = NnR время = 6.02 · 1025масса нейтронов100г

3 · 10−31сек−1 nν

55 см33.14 · 107 время

год

= 60масса нейтронов

100гnν

55 см3

времягод

(7.11)В оценке (7.11) мы предположили весьма оптимистичное число свободных нейтронов,соответствующее массе 100 граммов, времени наблюдения один год. В галактикеконцентрация реликтового нейтрино может на три-четыре порядка превышатьсреднее по Вселенной значение 55 нейтрино/см3, что еще увеличит ожидаемое числособытий.

Характерен сигнал для такой реакции: практически покоящийся протон иэлектрон с энергией Ee = mn −mp = 1.29 МэВ.

Может быть, такой сигнал уже идет от нейтронных звёзд?

120

Chapter 8

Стандартная Модель

В этой главе

121

Д.В.Наумов


122

Chapter 9

Элементы классической теории поля

В этой главе

9.1 Принцип наименьшего действия

В этом разделе мы кратко

9.2 Свободные поля

9.2.1 Скалярное поле

9.2.2 Векторное поле

9.2.3 Спинорное поле

9.3 Симметрии

9.3.1 Теорема Нётер

9.3.2 Глобальные симметрии

9.3.3 Калибровочные абелевые симметрии.

9.3.4 Калибровочные неабелевые симметрии.

9.4 Нарушение симметрии

123

Д.В.Наумов


9.4.1 Глобальная симметрия и теорема Голдстоуна

9.4.2 U(1) калибровочная симметрия

9.4.3 SU(2) калибровочная симметрия

9.5 Квантовая теория поля

9.6 Стандартная Модель

9.6.1 Вид слабого взаимодействия. Исторический обзор

9.6.2 Лагранжиан Стандартной Модели для одного поколениялептонов

9.6.3 Нарушение симметрии

9.6.4 Массы лептона и нейтрино

9.6.5 Массы векторных бозонов

9.6.6 Масса бозона Хиггса

9.6.7 Лагранжиан после нарушения симметрии

9.6.8 Лагранжиан Стандартной Модели для трех поколений лептонови кварков

9.6.9 Случайные симметрии и сохраняющиеся квантовые числа

9.6.10 Флэйворная Физика

Система K0 − K0

124

Приложения

.1 Гауссовы интегралы

Докажем теорему 1, приведенную в разделе 6.3

G(A, k) =∫

e(−Aµνxµxν−ikx)dx, (.1)

где A = ||Aµν || симметричная и положитльно определенная матрица (не обязательнотензор). Матрица A может быть диагонализована ортогональным преобразованиемK = ||Kµν || (см., например, [?]):

Aµν =∑α

aαKµαKνα,∑α

KµαKνα = δµν , (.2)

где aα > 0 - собственные значения A. Имея это в виду, квадратичная формааргумента экспоненты в выражении для G(A, k) может быть переписана как

Aµνxµxν + ikx =

∑α

aα (Kµαxµ) (Kναx

ν) + ikµxµ

=∑α

(aαy

2α + ikµKµαyα

), (.3)

гдеyα = Kµαx

µ ⇐⇒ xµ =∑α

Kµαyα. (.4)

Якобиан перехода (.4):∂ (x0, x1, x2, x3)

∂ (y0, y1, y2, y3)= |K| = 1.

Так что dx = dy. Подставляя уравнение ((.3)) в ((.1)), получим:

G(A, k) =∏α

√π

aαe

− 1

4aα

(∑µ

kµKµα

)2 .

Согласно ((.2)) ∑α

a−1α KµαKνα =

(A−1

)µν

and∏α

aα = |A|.

125

Д.В.Наумов


Таким образом:

G(A, k) = π2√|A|

e[− 1

4

∑µν(A−1)

µνkµkν

], (.5)

что доказывает теорему 1.

.2 General formulas for block matrices

.2.1 Inverse matrices

Теорема 3 (The Bellman's theorem [?]) If A, B, C and D are nonsingular matrices ofthe same order then(

A BC D

)−1

=

((A−BD−1C)

−1(C −DB−1A)

−1

(B − AC−1D)−1

(D − CA−1B)−1

). (.6)

Теорема 4 (Частный случай теоремы .6) ЕслиA иB не сингулярные матрицы, то:(A C0 B

)−1

=

(A−1 −A−1CB−1

0 B−1

),

(A 0C B

)−1

=

(A−1 0

−B−1CA−1 B−1

)(.7)

.2.2 Determinants

1. For any matrices B and C∣∣∣∣A BC D

∣∣∣∣ ≡ det(A BC D

)=

|AD − ACA−1B|, if A is a nonsingular matrix,|AD −BD−1CD|, if D is a nonsingular matrix.

(.8)

2. If A and B are nonsingular matrices and κ = ±1. Then for any C∣∣∣∣ A (1− κ)C(1 + κ)C B

∣∣∣∣ = |A||B|. (.9)

.2.3 Transformation υ

υ

(A BC D

)υT =

1

2

((A+D) + (B + C) −(A−D) + (B − C)

−(A−D)− (B − C) (A+D)− (B + C)

), (.10a)

υT(A BC D

)υ =

1

2

((A+D)− (B + C) (A−D) + (B − C)(A−D)− (B − C) (A+D) + (B + C)

). (.10b)

126

Литература

[1] С.М. Биленький. Введение в диаграммную технику Фейнмана. М.:Наука, 1971.

[2] М. В. Терентьев. Введение в теорию элементарных частиц. М.:ИТЭФ, 1998. -236c.

[3] С.Д.Дрелл Дж.Д. Бьеркен. Релятивистская квантовая теория. М.:Наука.

[4] Л. Б. Окунь. Лептоны и кварки. М.:Наука, 1981. - 304 с.

[5] Dima Bardin and Giampiero Passarino. The Standard Model in the Making PrecisionStudy of the Electroweak Interactions. Oxford University Press, 1999. - 704 с.

[6] Эйнштейн А. Объяснение движения перигелия Меркурия в общей теорииотносительности. - Собрание научных трудов. М.: Наука, 1965. т.1. с.439-447.

[7] F. E. Close. An Introduction to Quarks and Partons. Academic Press, 1979.

[8] Particle Data Group. http:pdg.lbl.gov/index.html.

[9] N.Cabibbo. Phys.Rev.Lett., 10:531, 1963.

[10] M. Kobayashi and T. Maskawa. Prog. Theor. Phys., 49:652, 1973.

[11] W.K.H. Panofsky. Proceedings of the 14th International Conference on High EnergyPhysics Vienna 23 (1968).

[12] J.D. Bjorken. Phys.Rev., 179:1547, 1969.

[13] R.P. Feynman. Phys.Rev.Lett, 23:1415, 1969.

[14] S. L. Adler. Phys. Rev., 143:1144, 1966.

[15] D. Allasia et al. Z. Phys, C28:321, 1985.

[16] D. Gross and C. Llewellyn Smith. Nucl. Phys, B14:337, 1969.

[17] M. Arneodo et al. Phys.Rev., D50, 1994.

127

Д.В.Наумов


[18] M. Derrick et al. Z.Phys., C65:399, 1995.

[19] T.Ahmed et al. Nucl.Phys., B439:471, 1995.

[20] A.C. Benvenuti et al. Phys.Lett., B223:485, 1989.

[21] Phys.Rev., D54:3006, 1996.

[22] K.Gottfried. Phys.Rev.Lett, 18:1174, 1967.

[23] E.A. Hawker et al. Phys.Rev.Lett, 80:3715, 1998.

[24] N.C.R. Makins [for the HERMES Collaboration]. DIS2000 Proceedings, 2001.

[25] J.Ashman et al. [EMC Collaboration]. Phys. Lett., B206:364, 1988.

[26] D.Adams et al. [SMC Collaboration]. Phys.Rev., D56:5330, 1997.

[27] K.Abe et al. [E143 Collaboration]. Phys.Rev., D58:112003, 1998.

[28] P.L. Anthony et al. Phys.Lett., B458:529, 1999.

[29] K.Ackerstaff et al. [HERMES Collaboration]. Phys. Lett., B464:123, 1999.

[30] J.Ralston and D.E.Soper. Nucl.Phys., B152:109, 1979.

[31] X.Artru and M.Mekhfi. Z.Phys., C45:669, 1990.

[32] R.L.Jaffe and X.Ji. Phys.Rev.Lett., 67:552, 1991.

[33] J.P.Ralston J.L.Cortes, B.Pire. Z.Phys., C55:409, 1992.

[34] R.L.Jaffe. hep-ph/9602236, 1996.

[35] S.Wandzura and F.Wilczek. Phys.Lett., B72:195, 1977.

[36] H.Burkhardt and W.N.Cottingham. Ann.Phys., 56:453, 1970.

[37] Oltman E. et al. (CCFR Collaboration). Z.Phys. C., 53:51, 1992.

[38] Auchincloss P. et al. (CCFR Collaboration). Z.Phys. C., 48:411, 1990.

[39] Berge J. P. et al. (CDHS Collaboration). Z.Phys. C., 35:443, 1987.

[40] Berge J. P. et al. (CDHS Collaboration). Z.Phys. C., 49:187, 1991.

[41] Allaby J. V. et al. (CHARM Collaboration). Z.Phys. C., 38:403, 1988.

[42] MacFarlane D. et al. Z. Phys. C, 26:1, 1984.

128

Д.В.Наумов


[43] Seligman W. G. A next-to-leading-order qcd analysis of neutrino-iron structure func-tions at the tevatron. Ph.D. Thesis (Columbia University), Nevis Report-292 (Unpub-lished).

[44] P. Stockinger. Pramana, 54:203, 2000.

129

Index

γ-матрицы, 11

Амплитуда распада, 33Гравитация, 3Магнитные моменты барионов, 10Мюонное нейтрино, 9Отклонение луча света в гравитационном

поле массивного объекта, 4Прецессия перигелия Меркурия, 4Распад мюона, 33Спиновые волновые функции барионов, 9Тау лептон, 45Черенковский счетчик, 77абсолютное сечение, 77волновые пакеты, 90ионизационная камера, 77мюон, 33нейтринные осцилляции, 83осцилляции в веществе, 101поток, 77правило Котковского, 107преобразования Фирца, 29пропаготор нейтрино, 91

тау нейтрино, 47уравнение Дайсона, 108уравнение Дирака, 13уравнение Клейна-Гордона, 12черная дыра, 4ширины и сечения, 27

130

ФЕЙНМАНОВСКИЕДИАГРАММЫ … · 2014-01-14 · диаграмм для...

Documents