olasılık ve raslantı değişkenleri ders notları

8/2/2019 Olaslk ve raslant deikenleri ders notlar

1/123

OLASILIK VE RASTLANTI DEKENLERDERS NOTLARI

Yrd. Do. Dr. Blent avuolu Yrd. Do. Dr. Emin Argun Oral

ubat 2009II. Srm


2/123

1

NSZ (II.SRM)

Trke kaynaklarn azl biz retim yelerini kendi ders notlarmz dzgn bir formattahazrlayarak renciye sunma ynnde motive etmektedir. Ancak ders notlarnn bir kitapkadar detayl ve kapsaml hale gelmesi iin ayrca zenli bir alma gerekmektedir. Bu

alma ise bir sreci gerektirmektedir. u andaki haliyle ikinci srmden amaladmzrencinin rahatlkla takip edebilecei bir yardmc kaynak oluturmaktr. Dolaysyla bu dersnotlarnn bir ders kitab yerine geemeyecei ve dersin retim yesi tarafndan tavsiyeedilen yerli ve yabanc kaynaklarla beraber dnldnde katksnn amaland yndeolaca gz nnde bulundurularak bu notlardan faydalanlmaldr.

Olduka ksa sre ierisinde hazrlanan bu ilk srme ilaveler ve dzeltmelerin yapldbu ikinci srmde Probability, Random Variables and Stochastic Processes byAthanasious Papoulis, Probability, Random Processes, and Estimation Theory for

Engineers by Henry Stark and John W. Woods, Lecture Notes on Probability Theory and

Random Processes by Jean Walrand Department of Electrical Engineering and Computer

Sciences University of California Berkeley, CA 94720 August 25, 2004, aret ve SistemAnalizinde Olaslk Yntemleri by Prof. George Cooper and Claire McGillem olmak zereeitli yabanc ve Trke kaynaklardan faydalanlmtr.

Atatrk niversitesi Mhendislik Fakltesi Elektrik-Elektronik Mhendislii 1. snf 2.yarylnda okutulan Olaslk ve Rastlant Deikenleri dersi ierisinde bir elektrik-elektronik mhendisi iin gerekli olan ve olaslkta temel tekil eden konular zerindedurulmaya dikkat edilmi ve rencinin rahatlkla takip edebilecei bir yardmc kaynakoluturulmaya allmtr. Bu ders notlarnn daha iyi bir kaynak haline gelmesi iin, budersi alan rencilerden ve bu notlar inceleme frsat bulan retim yelerinden eksikgrdkleri ynlerin dzeltilmesine ilikin katklarn beklediimizi zellikle belirtmekistiyoruz.

Bu kaynan ilk srmnn bilgisayara aktarlmasnda emei geen rencimiz merobana ve II. srmn kalite kontroln yaparak eksik ynlerinin dzeltilmesini salayanAr. Gr. M. Alptekin Engine teekkr ederiz.

ubat 2009

Yrd. Do. Dr. Blent avuoluYrd. Do. Dr. Emin Argun Oral


3/123

2

DERS ER1. Olaslk

a. Olaslk nedir?b. Olasln klasik, bal frekans ve aksiyomatik tanmlar2. Kmeler ve Olaylar

a. Kme lemlerib. Bileik olaslkc. Koullu olaslkd. Bayes teoremie. Bamszlk

3. Tekrar Edilen Denemelera. Birletirilmi deneylerb. oklu denemeler

4. Rastlant Deikenleri (Tek Rastlant Deikeni)a. Beklendik deer ve varyansb. Olaslk younluk ve dalm fonksiyonlar, Gaussian ve dier younluk

fonksiyonlarc. Koullu Dalmlard. Bayes teoremi (younluk ve dalm fonksiyonlarna geniletim)

5. Tek Bir Rastlant Deikeninin Fonksiyonlara. Rastlant deikeni g(x)b. g(x) in dalm fonksiyonlarc. Momentlerd. Karakteristik fonksiyonlar

6. ki Rastlant Deikenia. Birleik dalm ve younluk fonksiyonlarb. ki rastlant deikenine ait fonksiyonlar

i. ki rastlant deikeninin tek bir fonksiyonuii. ki rastlant deikeninin iki fonksiyonuiii. Birleik momentler, beklendik deeriv. Koullu statistikler

7. Merkezi Limit Teoremi8. Kovaryans ve liki.


4/123

3

1. Olasla Giri

Olaslk teorisi belirsizliin matematiksel olarak modellenmesi ile ilgilenir. Evrendegerekleen btn olaylarn GZL bir deikenin fonksiyonlar olduunu dnrsek, budeiken ve fonksiyonlarn bilinmesi/tanmlanabilmesi halinde belirsizlikler ortadan kalkar.

Tabiiki bu deikenin ve fonksiyonlarn KESN olarak bilinmesi pratikte mmkn deildir.Bunun iin OLASILIK TEORS TEKRARLANAN olaylarn ortalama davranlarnaodaklanr.

TEKRARLANAN olaylar iin gzlemler yapldnda ve zellikle gzlemlerin saysartrldnda belli ortalamalarn sabit deerlere yaklat ve bu ortalama deerin dahasonraki olaylarn katlmasyla dahi deimeme eiliminde olduu gzlemlenmitir.Tekrarlanan olaylara rnek olarak; elektron yaynm, telefon aramalar, radar alglamas,kalite kontrol, sistem kmesi, yaz-tura atlmas vb. olaylar verebiliriz. Basite anlatmak

gerekirse, bu teorinin amac olaylarn ortalama davranlarn olaylarn olaslklarcinsinden tanmlamak ve kestirmektir.

1.1. Olasln Mhendislikteki Uygulamalar

Olaslk mhendislik alannda birok uygulama alanna sahiptir. Elektrik-ElektronikMhendislii alanna giren uygulamalarndan bazlar

Elektrik devrelerde sl grlt Zayf radar ve radyo sinyallerinin alglanmas Enformasyon Teorisi Haberleme Sistem Tasarm

Sistemlerin Gvenilirlii Sistem/Cihaz Hata/Baarszlk Oranlar ve Olaslklar Haberleme Alar, r: A Trafii

eklinde sralanabilir.

1.2. eitli Olaslk Tanmlar

Olasln tanm genel olarak 3 temel yaklamla yaplr.

1.2.1. Klasik Tanm

Deneye dayal olmayan bu tanmda bir A olaynn olasl, o olayngerekleebilecei farkl durumlar sayp (NA), bu saynn mmkn olan btn sonularaorann NCEDEN hesaplayarak bulunur. 2 kere arka arkaya yaz-tura atlmasn elealalm,

2.PARA

1

.

PA

RA Yaz (Y) Tura (T)

Yaz (Y) YY YTTura (T) TY TT


5/123

4

Bu durumda grld gibi toplam 4 tane olas sonu var. Eer biz her ikiparannda yaz gelmesi olasln YY aryorsak, bu durumda bu olayn olasl 1/4olur. Eer an az bir parann Y gelmesi olasln aryorsak, bu durumda YY,TY veYT sonularndan herbiri bizim aradmz sonulardr. Dolaysyla bu olayn olasl

bu kez 3/4 olur.

Klasik teori iki adan yetersizdir1. Eit ansa sahip olmayan olaylar iin doru sonu vermez.

Mesela atlan iki zarn toplamnn 3 olmas olasln arayalm. Bu durumdammkn toplamlar {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} olabilir. Yani 11 farkl sonummkndr. Dolaysyla toplamn 3 olmas olasl 1/11 dir diyebiliriz. Ancak tabiikibu sonu YANLItr. nk toplamn 2 olmas ve 3 olmas aynansa sahip deildir.Yukardaki gibi bir tablo yaparak doru sonucun 1/18 olduu ok rahatlkla grlebilir.

2. Saylamayacak kadar ok olas sonucu olan durumlarda yaklamlarabavurmadan zm retemez.

1.2.2. Bal Frekans Tanm

Bir A olaynn olasln bal frekans yoluyla belirlemek bir denemeyi n keretekrarlamaktan geer. Bu n deneme esnasnda A olaynn grld durumlar saylrve bu nA olarak kaydedilir ve A olaynn olasl

P(A)= nA/n olarak verilir.

nA


6/123

5

Alt Kme: Btn elemanlar daha byk bir kmenin iinde yer alan kme. rneinC={5,8} kmesi B={3,5,8} kmesinin bir alt kmesidir.

Bo Kme: Hi bir eleman olmayan kme. yada { } ile gsterilir.rnek Uzay: Bir deneyinin btn olas sonularn ieren kmeye rnek uzaydenir. Genelde bu kme ile gsterilir. Her kme ayn zamanda kendinin alt kmesi

olduundan, da bir olaydr.Olay: rnek uzaynn alt kmeleri olay olarak adlandrlr.Kesin Olay: rnek uzaynn kendisi kesin olaydr.mkansz Olay: Olmas mmkn olmayan olaydr. Kme teorisinde bo kmeyetekabl eder.

rnek:1. Yaz-Tura atma deneyi

={Y,T} rnek uzayA={Y} Yaz gelmesi OLAYI

2. 2 kere Yaz-Tura atma deneyi={YY,YT,TY,TT} rnek uzayA={YT,TY} Bir yaz ve bir tura gelmesi OLAYI

3. Bir direncin gcn lme deneyi={P:P0} Yani 0dan byk btn saylar rnek uzaymz oluturuyor.

4. Elastik bir arpmada nkleer bir paracn, arpma sonras ayrl asngzlemleme deneyi

={: -} rnek uzayB={-/4 /2} Ayrlma asnn -/4 ve /2 arasnda olmas olay.

Kme lemleri

p A : p, A kmesinin bir elemandr.AB : A kmesi B kmesinin alt kmesidir (A kmesinin btn elemanlar B

kmesinin de elemandr).A=B : Ann her eleman Bnin ve Bnin her eleman da Ann da eleman ise

A ve B kmeleri eittir.

p A, AB, A=B ifadelerinin kartar srasyla p A, AB, AB eklindeyazlr.

: Bo kme.

: Evrensel Kme (rnek Uzay).Not: Herhangi bir A kmesi iin A ifadesi yazlabilir.


7/123

6

GR

A ve B herhangi iki kme olsun AB ile gsterilen A ve B kmelerininbirleimiAyayadaByebalelemanlarkmesidir.

BRLEM=> AB={x:x AyadaxB}

rnek:A={1,2,3},B={3,4,8}=>AB={1,2,3,4,8}ABilegsterilenAveBninarakesiti(kesiimi)AveBkmelerininherikisine

birdenbalelemanlarnkmesidir

KESM=> AB={x:xAvexB}

rnek: A={1,2,3},B={3,5},AB={3}EerAB = ise yaniA ve B nin ortak eleman yoksaA ve B ye AYRIKkmelerdenir.AveBarasndakiayrmyadaA\BbiimindegsterilenBkmesininAya

balolupByebalolmayanelemanlarnkmesidir.

FARK=> A\B={x:xAvexB}BuradaA\BveBninayrkolduunayani(A\B)B=0olduunadikkatediniz.

rnek:A={1,2,3},B={3,5}=>A\B={1,2},B\A={5}(A\B)B={1,2}{3,5}=(B\A)A={5}{1,2,3}=

Acbiiminde gsterilen Ann salt tmleyeni A yabal olmayan ve rnekuzaynabalolanelemanlarnkmesidir.

TMLEYEN=>Ac={x:x vexA}rnek:A={3,5}, ={1,3,5,7}=>Ac={1,7}

:Evrenselkme.


8/123

7

TaralAlan:AB TaralAlan:AB

TaralAlan:A\B TaralAlan:Ac

KME LEMKURALLARI

1)TanmlamaKural: AA=A,AA=A

2)Birliktelik : (AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC)

3)Deime : AB=BA,AB=BA

4)Dalma : A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB) (AC)

5)zdelik : A=A , A= , A= , A=A6)Tmleme : AAc= , AAc= ,(Ac)c=A, c=,c= 7)DeMorgan : (AB)c=AcBc, (AB)c=AcBc


9/123

8

OLASILIINAKSYOMATKTANIMI

Olaslkbir P[ ] kme fonksiyonudur vebu fonksiyon herbirA olayna AolaynnolasldiyeadlandrlanbirP[A]deeriatar.BuP[A]deeri aadaki

aksiyomlarauyar.1) P[A]0

2) P[]=1

3) P[AB]=P[A]+P[B]EerAB=Buaksiyomlaraadakisonularoluturmakiinyeterlidir.

4) P[]=05) P[ABc]=P[A] P[AB]

6) P[A]=1 P[Ac]

7) P[AB]=P[A]+P[B]P[AB]

Bu noktadan itibaren AB yerine A+B ve AB yerine AB notasyonunu deiimliolarakkullanacaz.

rnek:7.zelliiaksiyomlarkullanarakispatlayalm

AB=ABc AcB AB {ABolayn3ayrkolayabldk}

ekil I. Grld gibi bu olayn birbiriyle hi bir ortak noktas yoktur.Dolaysylabuolaylarayrkolaylardr.

ncaksiyomukullanrsak,


10/123

9

P[AB]=P[ABc AcB]+P[AB]

=P[ABc]+P[AcB]+P[AB]

=P[A]P[AB]+P[B]P[AB]+P[AB]

=P[A]+P[B]P[AB]

rnek:Bir torbadan 1 ile 12 arasnda numaralandrlm toplar ekme deneyini ele

alalm.

={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} olur.A olayn 1 ile 6 arasndaki toplar ekme, B olayn da 3 ile 9 arasndaki toplarolaraktanmlayalm.

YaniA={1,2,3,4,5,6} ve B={3,4,5,6,7,8,9}

AB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, AB={3,4,5,6}, ABc={1,2}

Bc={1,2,10,11,12} , Ac={7,8,9,10,11,12}, AcBc={10,11,12}

(AB)c={1,2,7,8,9,10,11,12}

Dolaysyla,P[A]=P[{1}]+P[{2}]++P[{6}]

P[B]=P[{3}]+P[{4}]+.+P[{9}]P[AB]=P[{3}]+P[{4}]+.+P[{6}]

EerP[{1}]=.=P[{12}]=1/12 =>P[A]=1/12,P[B]=7/12veP[AB]=4/12olur.

NOT :{1,2,3N}gibiNelemanolankmedenbuNelemanndaeitanslabukmedebulunmaskouluylabirelemansemeolaynnolaslP=1/Ndir.

rnek:

AB=ikenABcolduunuispatlaynz?


11/123

10

AB= BctaralalandrdolaysylaABc

rnek:A={0}ise =Adorumudur?

A kmesi eleman 0 olan 1 elemanlbir kmedir.DolaysylaA kmesi hibir

elemanolmayankmeyeeitolamaz.rnek:Bir fabrikadakialanlarn30ubaskdevre,25i tasarmve10 tanesidehem

bask devre hem de tasarm ksmnda alabilecek durumda iilerdir. Builetmeden rastgele seilenbir kiininbaskdevreblmnde alabilme ihtimalinedir?

A={x:x,baskdevreksmndaalabilecekkii}

B={x:x,tasarmksmndaalabilecekkii}

Akmesi30elemanieriyor S(A)=30Bkmesi25elemanieriyor S(B)=25ABkmesi10elemanieriyor S(AB)=10

7.zelliktenS(AB)=S(A)+S(B)S(AB) => S(AB)=30+2510=45

P(A)=nA/n=30/45olur.

Not: =AB


12/123

11

BLEK,KOULLU,TOPLAMOLASILIKLARVEBAIMSIZLIK

AadakiA,BveColaylarnelealalm

A:{Erzurumdaherhangibirgndes

cakl

n15o

Cninzerindeolmas

}B:{Erzurumdaherhangibirgnde1cmzeriya olmas}C:{AveBolaylarnnherikisinindeayngndegereklemelsi}YaniCAB

BuColaynaAveBninBirleikolasldenir.Bukavram2denfazlaolayiindegeerlidir.rneinherhangibirE,F,GolaylarnbileikolaslH=EFGolarakverilir.

OlaslnFrekanstanmndanhareketle,

P[A]=nA

/n,P[B]=nB

/nveP[AB]=nAB

/nimdinAB/nAorannabakalm.BuoranAolaynnveABolaynngereklemesi

arasndakibalfrekanstr.Bu oran scakln 15oC olduu gnlerde yanda 1 cmninzerine kt

gnlerinorannverir.Yanibakabirolaynolmaskoulunadayalbirolaslkvarkarmzda.

Ufakbirmatematikseldzenlemeyle,

nAB/n=(nAB/n)/(nA/n)=P[AB]/P[B] olduugrlr.

Bu olayda A olaynn olmas kouluyla B olaynn olmas ihtimali P(B|A)tanmlamamzsalar.

nAB/nA=P(B|A)=P(AB)/P(A) ,tabikiP(A)>0olmal

vebenzeryolla

P(A|B)=P(AB)/P(B) ifadesiyazlabilir.TabikiP(B)>0olmal.

rnek:

Yandaki ekilde gsterilen bir ikilihaberleme sisteminde 0 ve 1sembollerinin iletildii bir saysalhaberlemeyaplmaktadr.Bu sistemdeYalnansembol,X isegnderilensembolgstermektedir.


13/123

12

BusisteminrnekUzayolan

={(x,y):x=0veya1,y=0veya1}={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

Xolay

X={(x,0),(x,1)}ileverilmektedir.YolayY={(0,y),(1,y)}ileverilmektedir.

P[(x,y)=(i,j)]=P[x=i]P[y=j|x=i] ; i,j=0,1Busistemdehaberlemesistemindekigrltdendolaygnderilen0bazen1

bazen 0 olarak alnabilmektedir.Ayn zamanda gnderilen 1debazen 0bazen 1olarakalnabilmektedir.

Yaplanlmlerneticesindeaadakiolaslklarbilinmektedir.

P[y=1|x=1]=0.9 ; P[y=1|x=0]=0.1P[y=0|x=1]=0.1 ; P[y=0|x=0]=0.9

Ayn zamanda haberleme sisteminin tasarmndan gelen bir zellikle 0retilmeolasl1retilmeolaslnaeitolup

P[x=0]=P[x=1]=1/2=>Bazbileikolaslklarabakalm

P[x=0,y=0]=P[y=0|x=0]P[x=0]=0,9*0,5=0,45P[x=0,y=1]=P[y=1|x=0]P[x=0]=0,1*0,5=0,05

Ayn ekildeP[x=1,y=0]=0,05veP[x=1,y=1]=0,45

KOULSUZOLASILIKou mhendislik veyabilimsel problemdebaka olaylarabal olmayan

KOULSUZOLASILIIbulmak isteriz.BirBolayna ilikinbukoulsuzolaslkkoulluolaslklarnarlklortalamascinsindenverilebilir.Buhesaplamaaadakiteoremvastasylayaplr.

Teorem:A1,A2..Anayrkolaylarve(( ))olsun.Bolayda

Ailerin oluturduubu olaslk uzaynda tanmlanm bir olay olsun. O zamanP[Ai]0olmakkouluylaP[B]=P[B|A1].P[A1]+P[B|A2].P[A2]+.+P[B|An].P[An]

Bazen P[B], eitliin sa tarafndaki hesaplamann doas gerei ortalama olaslkolarakdaadlandrlr.


14/123

13

spat:AilerayrkolduundanAiAJ=,ijikenve( )ve

B=B=B 1 AiBAi

Aidir.Dolaysyla(BAi)(BAj)=

,herijiin.

Aksiyom3kullan

rsak(nolayageniletilerek);P[B]=P[Uni=1BAi]=P[BA1]+P[BA2]++P[BAn]=P[B|A1].P[A1]+P[B|A2].P[A2]+.+P[B|An].P[An]

rnek:Bir nceki rnekle verilen ikili haberleme sistemi iin P[y=0] (0 alnma) ve

P[y=1](1alnma)olaslklarnhesaplayalm.P[y=0]=P[y=0|x=0]P[x=0]+P[y=0|x=1]P[x=1]

= 0,9 . 0,5 + 0,1 . 0,5 =0,5P[y=1]=P[y=1|x=0]P[x=0]+P[y=1|x=1]P[x=1]

= 0,9 . 0,5 + 0,1 . 0,5 =0,5P[y=1]iayrca{y=0} {y=1}= olduundandikkatederek,P[y=0]+P[y=1]=1den{Aksiyom2}hesaplayabiliriz.

BAIMSIZLIK:Olaslnoldukanemlikavramlarndanbiridir.Ayrrnekuzayndatanml

AveBolaynayalnzveyalnzP[AB]=P[A].P[B]iseBAIMSIZdr.

Genelifadesiyle P[AB]=P[B|A].P[A]=P[A|B].P[B]olduundanBamszolaylariin

P[B|A]=P[B]P[A|B]=P[A]dir.

DolaysylabamszlktanmA,BolaylarnnbamszolduudurumiinAolaynnzerindeveBolaynndaAzerindehibiretkisiolmadnsylemektedir.Butanmdatemelkavramlarmzlaayndorultudadr

3farklA,B,Colayiin{P(A)0,P(B)0,P(C)0olmakkaydyla}Baszolma art(P(A)0P(B)0P(C)0olmakkaydyla)P[ABC]=P[A]P[B]P[C]P[AB]=P[A]P[B],P[BC]=P[B]P[C], P[AC]=P[A]P[C]

3 olaynbamsz olmas iin sadece P[ABC]=P[A] P[B] P[C] nin yeterliolmadnaveherikilinindebamszolmasgerektiinedikkatedin.

BAYESTEOREM:

ncekisonularn ndaoldukabasitveaynzamandaokgeni kullanmalannasahipolanBAYESformlnyazabiliriz.

P[B]>0 ve P[Ai]0,

i iin


15/123

14

. |. spat:

Paydadaki ifadeP[B]yeeittir.DolaysylaBAYES teoremikoulluolaslnbiruygulamasdr.

NOT:P[Aj|B]yeAjninBkoulunabalsonradanolasldenir.P[B|Aj]yeise Bnin

Ajyekoulunabalncedenolasldenir.Geneldepratiktesonradanolaslklargzlemlersonucundahesaplanr,

ncedenolaslklarisegemi lmleredayanlarakkestirilir(Tahminedilir.)

rnek:BirhaberlemekanalndaP0ihtimalle0,P1ihtimalle1gnderilmektedir.(P1=1P0)Kanaldakigrltdolaysyla olaslile0,1 olaslylada1alnyor.Alcda1gzlemlendiinegre1gnderilmi olmaolaslnedir?

Cevap:

Kanalnyapsyukardaverilmitir.P[X=1|Y=1]olaslnaryoruz.

1| 1 1| 1 1 1| 1. 1 1| 1. 1 1| 0. 0

1 1

rnek:


16/123

15

BirkansertestineilikinaadakisonulartanmlanyorolsunA:Testegretestedilenkiikanser.B:Kiigerektenkanser.Ac:Testegretestedilenkiikanserdeil.

Bc

:Kiigerektenkanserdeil.Veaadakilerindebilindiinivarsayalm.

| | 0.95 0.005ButestYbirtestmidir?Cevap:

Bu soruyu cevaplamak iin testin kanser tehisi koyduu kiinin gerektenkanserolmaihtimalininneolduunubilmemizgerekir.YaniP[B|A]yabakmalyz.

| |.|. |. 0,005.0,950,005. 0,95 0,05.0,9950,087

Yan sadece testlerin olduunu syledii kiilerin gerekten kanser olmaihtimali%8,7dr.Gerikalan%91,3 lkksmdakanser tehisikonulankiikanser

olmayacaktr.DolaysylaY BRTESTDELBusonu artcgibigzksedekanserolanveolmayanlarnsaysarasndaki

dengesizlik(yanikanserolanlarnazl)testibaarszklmaktadr.

SAYMAFORMLLER

Yerinekoyarakrnekleme:

Bir torbadaki numaralandrlm toplar nce ekiliyor numaras kaydediliyorsonra tekrar torbayakonuluyor.Budurumda ilkrneklemeden tane (torbadantane top olduuvarsaymyla) farkl seenekve ikinci rneklemede yine n tanefarklseenekszkonusudur.Sonuolaraknelemanolantorbadanrelemanlnrtanefarklsralanm rneklereldeedilebilir.

Yerinekoymadanrnekleme:


17/123

16

Yine yukarda bahsedilen durun iin bu sefer ekilen toplarn yerine gerikonulmadndnelim.Dolaysylailkiinntopvarkenikinciekimiinn1topncden2 eklindeazalansaydatopolacaktr.

Sonuolarak:

1 2 3 1 ! !Budurumdaoluabilecek ekillerinsays !! kadarfarklsralanmrnekeldeedilebilir.

nelemanlbirpoplsyondanoluabilecekrelemanlaltpoplsyonlar:

Olaslkta oluabilecek temel sorulardan biridir. rnein 1den 4e kadarnumaralandrlm toplarelealalm.Butoplardan2likagrupoluturulabilir?

1,2 2,3 3,4 Buyerinekoymadanrnekleme1,3 2,4 6tanegrup yaplaneldeedeceimiz1,4 4x3=12denkktr.

1,2 2,1 3,1 4,1

1,3 2,3 3,2 4,2 12 Yerinekoymadan1,4 2,4 3,3 4,31,1 2,1 3,1 4,1 Yerinekoyarakrneklemedeise1,2 2,2 3,2 4,2 4x4=16grupeldeedilir.1,3 2,3 3,3 4,31,4 2,4 3,4 4,4Bize 6 farklgrupverendizilim iingenelbir forml elde edilir.Budizilime

ninrlikombinasyonudenirve

sembolilegsterilir.

r tane elemandan oluan poplasyon iin r! tane farkl dizilim sz

konusudur. Dolaysyla alt poplsyonu iin .r! tane farkl sralamadanbahsedebiliriz.Budurumda,.r!=

! !

!.!


18/123

17

yeaynzamandabinomkatsaysdenir.Ve

!!!

!!.!

Yani

BERNOULLIDENEMELER

Sonucu P olasl ilebaar {1=s} ve q=1p olasl ilebaarszlk{1=f}olsunve tekbirdeneme ierenbirdenemeyi elealalm.Budurumdarnekuzay

={s,f}olur.Budeneyi tekrarladmzvarsayalmbudurumdayenirnekuzay2=x olur ve 2 ={ss, sf, fs, ff}. Bu uzay 22=4 tane olay ierir x arpmKARTEZYEN ARPIM olarak adlandrlr. Eer n tane bamsz denemeyaparsakrnekuzay

n=xxxxx, olurveburnekuzay2nelemanierir.

nkere

n={a1,a} =2n

. . , HerbirZijsonucudierlerindenbamszolduundan . . . . olur.Dolaysyla k

baarvenkbaarszlkierenbirsralkmeninolasl

" "dr.rnein3

kezyaz,turaattmzdnelim.p=P{Y} veq=P{T}olsun.P{YTY}=pqp=p2qolur.Bizeaynbaarolaslnverecek farklsralamalarda

mmkn.Bunlarnsaysda dr.Yanindenemedenkbaarvenkbaarszlkihtimalivar.Buda , ;,Tanmladmzbu b(k;n,p) ye BinomKanunudenir. ndeneme yaparak kbaareldeetmeihtimaliaramaolaynadaBinomDenemeleridenir.

rnek:

: 2


19/123

18

Saniyede 10bamszbit reten alnmaktadr.Hatalbit alnma olasl ( 0gnderilip 1alnmas yada tam tersi ) 0,001 dir. Saniyede EnAzbir hata olmaolaslnedir.Cevap:

1 1 0,0010,99910,9990,01

Binomkanunuileilgiliformller:

1) kyadadahaazbaarolmaihtimali

;,

2) Enazkbaarolmaihtimali

;,

1

3) Enazjenfazlakbaarolmaihtimali

;,

rnek:

={1,2,3,4} , A={1,2}, B={2,3}, C={3,4}

|| Eitliiacabasalanrm?Onabakalm.

Cevap:AB={2} , BC={3} , AC=P(A)=P(B)=P(C)= P(AB)=P(BC)=

| 1/41/2 12 , | 1/41/2 12|| 12 12 12 18 0 .


20/123

19

RASLANTIDEKENLER

Raslant deikeni kavram orijinal rnek(olaslk)uzaynn yerine olaylarnrakam kmelerinden oluturduu bir uzay kullanmamz yani reel(R) eksendealabilmemizimmknklacaktr.

rnekuzayolanbirHdeneyinielealalm. rnekuzaynnelemanlar()H deneyinin rasgele sonulardr. Eer herbir eleman ( ) iin reelbir saykullanrsak ler ve reel(R) eksen arasndabir karlkbulma kuralbuluruz. Bukural X() ile gsterelim. Byle belirli kstlamalara sahip kurala RASLANTIDEKEN diyoruz. Dolaysyla X(.) yada ksaca X rasgele deikeni

domenindeal

anvereeleksendedeerleralabilenbirfonksiyondur.

ekildeki akland gibibir eletirme sonucunda X reel eksende deerleralmaktadr.zellikle;

X:raslantdeikeni

x:reelsaylardakikarlzelbirolayakarlkgelmektedirvebizbuolayabirolaslkdeeriatamakisteriz.Buolaslk, dirvebuolaslaOLASILIKDAILIMFONKSYONU(PDF)deriz.rnek:kifarklparannbirlikteatlmasdurumundarnekuzay , , , , , ,, Burnekuzayndafarklraslantdeikenleritanmlamakmmkndr.

X(.)

X()R

A

A

.


21/123

20

X:Gelenturasaysolarakelealndnda

X(T,T)=2 X(Y,T)=1X(T,Y)=1 X(Y,Y)=0

P(X=1)=1/2 F(0)=P(X 0)X:Gelenyazssaysolarakalndnda P(X=0)=1/4 F(1)=P(X 1)X(T,T)=0 X(Y,T)=1 P(X=2)=1/4X(T,Y)=1 X(Y,Y)=2BudurumdaatlanikiparanndayazolmaolaslP(x=0),birininturabirini

yaz olma olasl P(x=1), ve her ikisinin de yaz olma olasl P(x=2), ile ifadeederiz.

Eerolaslkdalmfonksiyonunu(PDF)izmeyealrsak ylebirgrafikeldeederiz.

Raslant deikenin tanmnda esas olan rnek uzaynn her bir esikarlndaReelsayekseninde(R)birkarlkbulabilmesidir.rnek:

SnftakirencileriinO1:Boyu150cmdenkkolanlarO2:Boyu169cmdenkkolanlar eklindetanmlanm olaylarelealalm.O3:Boyu160cmdenbykolanlar

X:Birrencininboyununuzunluuise

X(O1)=A1={x|x


22/123

21

Raslant deikeni reel eksende alddeerlere gre sreksiz ve srekliraslantdeikeniolmakzereikiyeayrlrlar.

EerXraslantdeikenininRdekideerkmesisaylabilirolaraksonsuzbirkmeiseXsreksizbirraslantdeikenidir.

rnein reel eksendeki deer kmesi {x | x = 1,2,3,} olan bir raslant

deikenisreksizdir.EerdeerkmesisaylamyoriseozamanXsreklibirraslantdeikenidir.

rnein{x|a x b}eklindeiseburaslantdeikenisreklidir.

OLASILIKDAILIMFONKSYONU(PDF):

0 1 1 , 0 , 1 olan bir raslantdeikenini ele aldmzda P[X x] eklinde yazabileceimiz btn olaslk

deerlerinieldeedebilir.MeselaP[X 0,5]=3/4olur.BirokdurumdaherbirolaslkiintektekolaslkfonksiyonuP[.]yiyazmakgaripolabilir.BununiinPDF(olaslkdalmfonksiyonunu)kullanmayaihtiyaduyarz.

PDF:Fx(x)=P[X x]eklindetanmlanr.NOT:RaslantdeikenlerininbykX(Y,Zvs.olabilir),Buralantdeikenininalddeerlerin isekkx ilegsterildiinedikkat edinbudurumdaFx(y)yazmamznotasyondaherhangibirproblemoluturmaz.Fx(y)=P[Xy]olur.

OlaslkDalmFonksiyonununFx(x)inzellikleri:

1) Fx()=1 Fx()=0

2) 0 Fx(x) 1

3)x1

x2

Fx

(x1

) Fx

(x2

)

4) P(x1


23/123

22

ii) 0 x3/4

ncebuolaslkdalmfonksiyonunuizelim

Fx(x)

1

q

x1


24/123

23

Fx(x)

1

0,5

x-1 0 1 2

a kknzmekiin lim , 0 Yaniolaslkdalmfonksiyonununxnoktasndakisoldanlimitinitanmlayalm.Burada unuiddiaediyoruzP{X=x}=F(x)F(x)spat: elealalm4.zelliikullanarak

lim .Srekli fonksiyonlarda fonksiyonun sadanve soldan limitleri fonksiyonuno

noktadaki deerine eit olduundan Fx(x)=Fx(x) olacandan P(X=x) sreklifonksiyonlariin0olur.YaniP(X=1/4)=0

b) P(X>3/4)=1P(X 3/4)=1 Fx(3/4)=1/8olur.

OLASILIKYOUNLUKFONKSYONU(pdf)

Olaslkyounlukfonksiyonu.

zellikleri:

1

1


25/123

24

2

3 f(x)inyorumu:

Yeterincekkbir xdeeriiin

dolaysylakk xiinP[x


26/123

25

Kareselbeklendikdeereerrageledeikenimizbirdirenzerindekigerilimiifade ediyorsa direncin zerinde harcanan g bu karesel beklendik deerleorantldr.

Merkezi moment diye tanmlayacamz momentlerde rasgele deikenden

beklendikdeerin

kart

ld

ktansonraeldeedilenmomentlerdir. X X x x n=1iinmerkezimomentin 0olacaaktr.n=2iiniseoldukanemlidir.Bunavaryansdenilir.

xx x

2 2

2

deeridestandartsapmaolarakadlandrlr.

rnek:

a) ekilde verilen olaslkyounluk fonksiyonunun geerlibir pdfolmasiinaneolmal?

b) E[x]c) 2d) zm:

a kknn zm iin olaslkyounluk fonksiyonunun 1. zelliinikullanacaz.

1 .

f(x)

a

x1 5


27/123

26

1 | 1 5 1 1 14 .

14 8 | 18 2 5 1 3

14

12 | 112 1 2 5 1 12412

12412 3 12412 10812 43 23 .rnek:

Aada olaslk dalm fonksiyonu verilen X raslant deikeninin olaslkyounlukfonksiyonunuiziniz.

.Dolaysyla olaslk dalmfonksiyonununtrevibizeolaslkyounlukfonksiyonunuverir.

Cevap:

F(x)

1

x2

1/2

2

f(x)

x


28/123

27

DIRACDELTAFONKSYONU:

Deltafonksiyonu (x)genelliklex=0dndakibtnnoktalarda0deerinialrvex=0daise

1 .Dierbirtanmdarect(dikdrtgen)fonksiyonukullanlarakverilir.

l i m ekilde a gittiinde dikdrtgengeniliiazalarak0agiderveyksekliiartarak agider.

X=Xi noktasndaki sreksizliin trevi:

Elimizdebirimbasamakfonksiyonuolsun.

1 00 0

Solda gsterdiimiz fonksiyon U(xxi) yanibirimbasamak fonksiyonununxikadarbyk

eklidir.(ekilb)

Sadaki ekilde (ekil c) iseekilbnin x0giderkenbir

yakla

mgsterimidir.

arect(ax)

a

x-1/2a 1/2a

(x)

1

x0ekil a

U(x-xi)

1

x0 xiekil b

F(x)

1

x0 xi - x/2 xi xi + x/2ekil c


29/123

28

ekilcdekifonksiyonuntrevinialrsakaadakigrafiieldeederiz.

|

l i m

1

| .Yani x=xinoktasndakibirsreksizliintrevix= xi noktasnda tanml ve ykseklii sreksizliiiledoruorantlolanbir fonksiyonuileverilir.

.rnek:

PDF ise

SkKullanlanOlaslkYounlukFonksiyonlar:

1) Uniformpdf(dzgn)

1 0

Bu dalm daha nceden bilgi sahibi

f(x)

1/x

xxi - x/2 xi + x/2

f(x)

1/2

x0

F(x)

1

1/2

x0

1 f(x)

x0 a b


30/123

29

olmadmzdurumdabelliaralklardaolabilecekolaylarneit anslaolabileceinikabuletmemizekarlkgelenpdfdir.

BuolaslkyounlukfonksiyonununPDFsiniizecekolursak

0 1 2 . 12

2) Exponansiyel(stseldalm)(>0)

1 Ortalamadeer= Varyans 2=2

stselda

l

m

nolas

l

kyounlukfonksiyonununPDFsiniizersek

F(x)

1

x0 a b

f(x)

1/ -

x0

-

x

0


31/123

30

3) Normal(Gaussian)pdf

12

N(,12) N(,22)

OrtalamadeerE[x]=Varyans= 2BuolaslkyounlukfonksiyonununPDFsiise

12 1 erf 2 12

Bu integralialmakzorbununiinerffonksiyonundanyaklamyapacaz.

erf 12

erf erf erffonksiyonununbirkazellii:

1) erf erf 2) erf 3) erf


32/123

31

4) erf5)

2erf

6) || 1 2erf rnek:

N(0,4) gaussianbirdalmiinP(20)ve(n 0)


33/123

32

Ortalamadeer =Varyans

Bupdf haberlemedegecikmeli(fading)kanal

nmodellenmesindekullan

l

r.

f(x)

,

xx


34/123

33


35/123

34


36/123

35

5) Binomolaslkyounlukfonsiyonu(n>m): 1 .

.

1Olaslk younluk grafiini izersek

f(x)

P(X=0)

x

F(x)

1

x0 1 2 3

neerokbykse

.

6) Poisson(a>0):

! 0,1,2,bunagre:

!


37/123

36

! 1imdibunlarnnasleldeedildiinebakalm.

spat: 1 1 , 1 , . ! ! ! 1

1! 1 2 1.

1

1! 1 ! 1

Taylorserisinden

1!

! . rnek:

Bir bilgisayarda 10 bin tane elektronik eleman vardr. Her bir elemandierindenbamszbiryldabozulmaolasl(p=104)olarakveriliyor.Bilgisayarnylsonundaalyorolmaolaslnedir?Birelemanbozulduundabilgisayarndabozulduukabulediliyor.Cevap:

P=104 n=10000 k=0 ve a=n.p=1olduunubiliyoruz.

! 10! 0,368 .


38/123

37

: birimzamandakiolaylarnsays

:aralnuzunluu (t,t+ )

; , ! Trafikmodellemelerindeokca kullanlanyounlukifadesi

rnek:eklindeverilenbirpdfiinPDFyibulunuz.

Cevap:

1/4

1/8

-1 0 1 2

F(x) =P(Xx)

1

6/8

5 / 8

4 / 8

2/8

-1 0 1 2


39/123

38

1 4 4 1 8 2 4

18

toplamnintegraliintegrallerintoplamnaeittir.Dolaysyla

1 4 14 1 14 . 1 14 4

14

14 . 1 14

1

8

18 1

18 . 1

18

2 4

14 2

14 . 1 14 18

18Sonularnhepsinitoplarsaksonucun1olmasgerekir.

1Eer F(x)=P(1 x 1)sorulmu olsaydcevap1/4+1/4 +1/8=5/8olacakt.

rnek:a)pdf grafiiverilenfonksiyonunPDFsiniizinizb)P(4


40/123

39

Cevap:

a)Herbiraralkiinayrayrhesaplamayaparsak

1 x 3AraliinF(x)iyazacakolursak.

0,21

0 ,1 0 .Dolaysylasadeceikinciintegralkalr.

0 , 2 1 0 , 2 2

0,2

2 12 1

0,2 2 12 2. .3


41/123

40

5


42/123

41

P4 8 , 5 fxdx , 0,2x 5 x 8dx

0 ,2 dx,

0,40,2|,=0,5

Yada

P( 4 < x 8,5) = F(8,5) - F(4) = 0,9 - 0,4 = 0,5 olur.

KoulluYounluklarVeDalmlar:

Evrenselkmesineaitbtn elemanlarn ierenbirColaynvebu kmesinin elemanlarn reel eksene atayanbir X raslant deikeni ele alalm. Bu

durumdayinebuevrenselkmeninaltkmesiolanbirBkmesitan

mlayal

m{ :X() x} , { : B}Bolaynabal artldalm

| , .BuradaP[Xx,B].{X x}veBolaynnbileikolasldr.Eer x{X}kesinolayadenkolurveF(,B)=1olur.

F(x|B)Normalbirdalmfonksiyonununbtnzelliklerinesahiptir.Koulluyounlukfonksiyonudaayn ekilde

| | .rnek:

Bolayn 1 0 eklindetanmlayalmveF(x|B)yihesaplayalm.i)x10iin{X10}olay{Xx}olaynnbiraltkmesidir.Dolaysyla

10, 10 .

| , 1 0 10 1ii)x 10iin{Xx}olay{X 10}olaynnaltkmesidirdolaysylaP[X 10,X x]=P[X x]

| 10


43/123

42

F(x) F(x|B)

1 1

0,5

x x0 10 20 0 10

BRRASLANTIDEKENNNFONKSYONLARIMhendislik uygulamalarnda klasikbir problem;bir sistemin giriine uygulanangiri iinknhesaplanmasdr.Bylesibirsistemingiriibirraslantdeikeniisek da genelliklebir raslant deikeni olacaktr. Bu durumda eer giri ralantdeikenleri iinPDFveyapdf ifadeleridebiliniyorsa sistemin kndaki raslantdeikeniiinPDFveyapdfhesaplanabilir.Budurumubirrnekleaklayalm.

Bir diren (R) eleman zerinden akan akm (I) bykl w ile ifade edilenmiktardabirenerjioluturmaktadr.

BuradaW veyaW(.)bazen deW(I) ifadesi iletanmlanan ve fonksiyon olarak adlandrlanbyklkherIdeeriiinoluanenerjiyibelirlerBudurumda,eerIbirraslantdeikeniolarak

tanmlanm W=I2

R eklinde tanml byklkyenibirraslantdeikenioluturmaktadr.Ozamanzlmesigerekensoru:Verilenbirkural(fonksiyon)vepdfi fx(x)tanmlananXraslantdeikeniiin,yeniY=g(x)raslantdeikeninpdfineolacaktr?

X Yfx(x) fy(y)=?

R

I

g(.)


44/123

43

Y=g(x)tipibirproblemzm;Tekbirraslantdeikeninin(fonksiyonu):

X(0,1)aralndatanmluniformbirraslantdeikeniifadeedilsin.VeY=2X+3

yeniraslant

deikeniFy(y)=? 2 3 1/2 3 .Dolaysyla 32 .Buradanhareketle,Yninpdfsiiin:

3

2 .

32 32 . . 12 32 . 12 .

GenellemeY=aX+b eklindepdfi fx(x)olansreklibirXraslantdeikeni

a>0iin 1 .a


45/123

44

Oluturduklariin

1 . .

Sreklibirraslantdeikeniiin . . Bizimiingereklideilamadoru IveIIden

1

1 1 1|| 0Bilekefonksiyon:

f(x)veg(x)verilsinf(g(x))ifadesifog(x)olarakgsterilir.Vebunabilekefonksiyon

adverilir.

Mesela: 1 3 1 3 1 1 63 1 23 1.3 .

LineerOlmayanBirfonksiyonrnei:

PDFiFx(x)olaraktanmlsreklibirraslantdeikeniiinY=X2olsun. Budurumda . . .y>0iin;


46/123

45

12 12 12

12

y 0iin tanmsz.

y g(x)=Y

y+dy

y

fx(x)

dx1 dx2 dx3 x

dx1+x1 x1 x2 dx2 x2 x3 dx3+x3

||

1 1

|

|

, 0

Y=g(x)fonksiyonuiingenelzm:


47/123

46

pdfsi fx(x)olantrevialnabilirreelraslantdeikenininfonksiyonug(x)verilsin

Y=g(x)iinpdf=?

{y


48/123

47

.Y=g(x)iinbuhesaplamalaryaparsak

.spat:

Y=ax+b eklindebirfonksiyonverilmi olsun.

2

2 2 2

. .rnek:pdfihesaplanacakfonksiyonuygulamalarndasintrbirfonksiyonklasikbiruygulamadr.BuradaXrast.de.nin

12 , 0 .eklindeUniformdaldkabuledilecektir.

zmI:(Klasikyaklamlazersek)ncebufonksiyonunun ekliniizelim.


49/123

48

y=sinx

y

sin1(y) sin1(y) x

P[Y y]=? Bununiin {Y y}=?

a)0 y 1iin 0 0 . 11 . 11

12 11 12 11 1 11 0 1 .

b) 1 y 0iin

Benzerilemleryaplrsasonu uhalialr.

1 11 , || 10 zmII:

(genelzm) Y=sin(x)iinpdf=?

12 , 0 Buradag(x)fonksiyonug(x)=sin(x)olaraktanmlanacaktr.Budurumda

Ysin(x)=0denklemininkkleriiin.

a) 0 Ayrca

cos .


50/123

49

Genelformluyarncag(x)ifadesininkklerdekideerihesaplanmaldr.Bunun

iin;

cos 1 cos

cos 1 cos cos .cos s in .sin cos . 0 olduunubiliyoruztabi.Not:

sin()=y=sin1(y)

cos(sin1(y))=cos()=

1

1 y

1 Budurumda

1 .Sonolarak

. 1|| 1 1

2.1

21

1 1

11 , 0 1 .

b)y


51/123

50

fx(x) fy(y)

y=2x+1

2/3

1/3

x y

2 0 1 3 0 3

|| , 2 1 12 12 2 y= 3 iin fx(2)=0

y=3 iin fx(1)=2/3

fy(y)=(1/2)(2/3)=1/3 fy(3)=1/3

29 2 29 29 3 0 .

2

2 129 2

29 2 12

1

12 , 12 , 1 22 2rnek:

fx(x)N(0,1) yani =0ve 2=1olarakveriliyor. 0 , 0 , 0 .


52/123

51

Tanmlolduuaralagrencegrafiini

izersekyandaki ekiloluur.

zmegeelim:P{Y y}=P{X y}x>0=Fx(y)

P{Y y}=P{X 0}=1/2 olur. Gausian

olduundandolay.

imdiFx(y)vef(y)yiizlim.

BLEKDAILIMVEYOUNLUKFONKSYONLARI

Birolas

l

kuzay

ndabirdenokraslant

deikenitan

mlamakmmkndr.rnein:

{X x,Y y}={X x} {Y y}kmesi olaylarndanolusunveX()x,

Y()yolsun.Budurumda{X x,Y y}olayiletanmlnoktalarxvey

dzlemlerindealttaverilen ekildekitaralblgeyedenkgelir.

Bugsterimdexveydeerlerigelii

gzelolarakseilmitir.Ancakengenel

durumdabunlarherhangibirdenkleme

dntrlrler.Budurumdabileikolaslkdalmfonk.

Fxy(x,y)=P[X x,Y y]olarak

tanmlanr.TanmgereiFxy(x,y)bir

ihtimalibelirttiiiinFxy(x,y) 0 artn

tmxveydeerleriiinsalanmaldr.

i){X ,Y }olmaskesinolay,durumuifadeettiiiinFxy(,)=1olmaldr.teyandan{X

,Y

}olmasszkonusuolmayanolayifadeedervebundan

dolay

Fxy

(,)=0olacakt

r.

fx(y)

y

Fx(y) f(y)1

0,5

0,5

y y

y

(x,y)

x


53/123

52

ii)teyandan{X }ve{Y }kmeleridekesinolaylarifadeettikleriiin{X x,Y }={X x}ve{X ,Y y}={Y y}olacandanFxy(x,

)=Fx(x)

Fxy(,y)=Fy(y)olur.iii)EerFxy(x,y)sreklivetrevialnabilenbirfonksiyonolaraktanmlanmsabileik olaslk yo. Fonksiyonu, , .Dolaysyla fxyx,y dx dy P x X x dx , y Y y dyolacaiintmxveydeerleriiinfxy(x,y) 0olur.

iiii)Yukardakieitliiintegralalarakifadeedersek

, , Eitliieldeedilir.BudurumdaFxy(x,y)fonksiyonunegatifolmayanbirfonksiyonun

integraliolaraktanmlandnagreazalankarakterdeolamaz.Yani, (x1,y1)ve(

x2,y2)ikitanesayiftiolmakzerex1 x2,y1 y2 artdasalanrsa

Fxy(x1,y1) Fxy(x2,y2)olmaldr.

AyrcabirsreksizliknoktasndaFxy(x,y)sadakivesttekideerlerialr.Yani

, lim , .

Tmbuzelliklerizetlersek

I) Fxy(,)=1, Fxy(x, )=Fxy(,y)=Fxy(,)=0Fxy(,y)=Fy(y) ; Fxy(x,)=Fx(x)

II) x1 x2,y1 y2 iseFxy(x1,y1) Fxy(x2,y2) , lim , .{x1


54/123

53

Fxy(x2,y2)=P[x1


55/123

54

, , . , . Sonucunaulalr. artlolaslktanmlarndabamszX,Yraslantdeikenleri

iin;

| , | , Busonularndatrevalnarak | | Bamszolaylar iin artlolaslkyounlukfonksiyonlarnnmarjinalolaslk

younluk fonksiyonlarn verecei sonucunu elde ederiz. Ayrca daha nce elde

ettiimizbirsonutan:P[x1


56/123

55

. 2

12

2

2

12 12

A=1olmaldr.

II)Marjinalpdfler=?

,

2

12 .

12 , 0 10 ,

12 , 0 10 , III)Fxy(x,y)=?

Fxy(x,y)=P[Xx,Yy]tanmyaplrsaszkonusuolaslhesaplamakiinfarkl

durumlargznnealmakgerekir.Bunagre,

a) x 1vey 1olmasdurumunda;

, . 1

b) 0


57/123

56

c) 0


58/123

57

1 , . .. .

1

2 .

13 .

rnek:

Birncekirnektearpmhalinde ifadeedilemeyenbirpdfgrdk. imdide

butrbakabirfonksiyonabakalm;, 12 1 exp 121 2Bileikolaslkyounlukfonksiyonu0iintanmlanm olsun.Budurumda

XveYbamszolmasiin:

0 durumundafxy(x,y)=fx(x).fy(y) eklindeifadeedilipbamszolacaklardr.K RASLANTIDEKENNNTEKFONKSYONU[Z=g(X,Y)]

oumhendislikuygulamalarndabirZraslantdeikenibellibiraralktaX

ve Y gibi iki ( hatta daha ok ) raslant deikeninebal olarak ifade edilebilir.

Mesela:

BirkuvvetlendiricigiriindekiZsinyali,Xgibibiriaretvebundanbamsz

olaraktanmlananYgrltcinsindenZ=X+Y eklindetanmlanbilir.

iki iareti arpan bir sistemde, X bu arpcnn bir giriindeki, Y de buarpcnndiergiriindeki sinyalolmakzereZ=X.Y eklinde tanml k sinyali

Zninpdf,nasltanmlanabilir?

XveYdorultularndabamszhareketedenbirparackiinXveYilebu

eksenlerdeki hareketi ifade eden raslant deikenleri tanmlanrsa Z=(X2+Y2)1/2

eklinde tanmlve toplamyerdeitirmeyi ifade edenZ rast.deikenininpdf si

naslhesaplanabilir?

GenelolarakZ=g(X,Y) eklindetanmlanacamzbutrproblemlerinzm

daha nce zdmz Y=g(X) eklinde tanml problemleri zmnden farkldeildir.BuradaylebirCzzmkmesibulunmaldrkibununiin

{Z z},{(X,Y) Cz}olaylarayndurumuifadeetmelidir.Budurumda , ..., .

Bu tr problemleri zm Y = g(X) eklinde tanmlanan problemlerin

zmnden daha karmaktr. Ancak i) yardmc eksen , ii) karakteristik

fonksiyonlarn kullanm ile bu problemler zlebilirler. nce baz rnekleri

inceleyelim.


59/123

58

rnek:

Z=X.Y eklindeXveYraslantdeikenlericinsindentanmlZraslant

deikenileriiinzmkmesiCzyieldeedin.Fz(z)vefz(z)=?

y=z/x veyax=z/y

y=z/xveyax=z/y

{Z z}ileifadeedilenzmkmesi

{X.Y z} eklindetanmlolacaktr.Yaniherherhangibirzdeeriiin(z>0),

x.y z =>y z/xolacaktr.Bu artsalayanzmkmesiyukardagsterilentaralblgedir.Budurumda;

Fz(z)=P[Z z]=P[X.Y z] =>

Fz(z)=P[Y z/x]=>

, . / .

, .

/ .

, ,

, ,. , ,. .Buradanhareketle, ? ?

YukardaeldeedilenFz(z)eitliiiin,

,

, .

, , , , . , , , ,

, ,

1

,.

1

,.

y

x


60/123

59

1|| ,. 1|| ,.

1

||

,. .

zelbirdurumolarakXveYbamszvebenzerolmakzere . , 1||

. 1 1

1 lim. .rnek:Z=X+Y eklindetanmlbirraslantdeikeniiinfz(z)ninhesaplanmas

Z=g(X,Y) eklindekiproblemlerinenyaygnolandr.

{Z z}={X+Yz}olaraktanmlikiayrkmeayntanmblgesinesahiptirler.

Budurumda,

P[Zz]=P[X+Yz] =>

, ...

.zmkmesiy=zxerisininsolunda

kalanblgeolacanagre

,

, , .

, .

yy=zxveya

x=zy

x


61/123

60

BuradaFz(z)fonksiyonunueldeetmekiin, .

,

, . .oudurumdaXveYbirbirindenbamszikiraslantdeikenitanml

olabilirler.Ozaman

, . .

fonksiyonlarnnkonvolsyonuolarakdabilinir.

Grldgibibutipproblemleritanmlardanyararlanarakzmekher

zamaniinmmknolabilmektedir.

rnek:

Xraslantde. [0,1]aralnda,Yraslantde. se[0,2]aralnda

Uniformdalmasahipolsunbunagre usorularacevaparayalm.

a) fx(x)vefy(y)fonksiyonlarnizelim.fx(x) fy(y)

1

1/2

x y1 2

b) fx(x)fonksiyonununyekseninegresimetrisinialpgrafiin

parametresinideielim vegrafiizkadarteleyelim.Bizbununlafx(zy)yielde

ederiz.

fx(zy)

1

yz1 z


62/123

61

c) z


63/123

62

0;z


64/123

63

v=g(x,y) ve w=h(x,y) olmakzeretanmlanan

x=(v,w) ve y=(v,w) fonksiyonlarcinsinden

,,

.

g(x,y)=v

h(x,y)=w dnmmatrisininjacobyenmatrisi,

,,

.

x=(v,w)y=(v,w) dnmnnjacobyenmatrisidenir.

rnek:

V=g(x,y)=3x+5y

W=h(x,y)=x+2yfonksiyonlarXveYraslantdeikenleriiintanmlanm

olsun., 12

12

in fvw(v,w)=?zm:

X=(v,w)=2v5w veY=(v,w)=v+3w olacaktr. 2, 5, 1 3 .Budurumda 2 5

1 3 2 3 5 1 1

, 12 12 , 12 12 25 3 , 12 12 5 2634 .Yanibu dnm korelasyonu olmayan iki raslant deikenini korelasyonu

olanyeikiraslantdeikeninedntrmtr.


65/123

64

uanakadargrdmzformllerV=g(x,y)veW=h(x,y)fonksiyonlarbirebir

fonksiyon olduklar zaman yazlabilirler. Ancak (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)

(xn,yn)gibintaneV=g(xi,yi),W=h(xi,yi)kknnolmasdurumundazm;

, , | |

, | |

eklindeeldeedilir.Buradakiiindisijacobyenmatrisinini.kkte

deerlendirileceiniifadeeder.

rnek: , , tan , 0

tan , 0 .

EerXveYbirbirindenbamszvebenzer ekildedeiiyorsave, fvw(v,w)=?zm:

ncelikleverilenikidenkleminkklerinibulalm. ,

, tan

, 0

tan , 0 tan

2 ,

2

aralndatanmlkolduuiinwifadeside2aralktatanmldr.Burada x0 iken /2 w /2 ve cos(w)0 olur.

X


66/123

65

KARAKTERSTKFONKSYON:

BirXraslantdeikenineaitkarakteristikfonksiyon

. .

eklindetanmldr.Butanmejwxterimindekikullanlmayan ()iaretidnda

fx(x)fonksiyonufouriertransformuolaraktaadlandrlabilir.

Karakteristik fonksiyon bamsz raslant deikenlerinin toplamnn

hesapland problemlerde ska kullanlr. Daha nce grm olduumuz iki

raslant deikeninin fonksiyonu eklindeki uygulamalarn bir rnei Z=X1+X2

eklindetanmlbirtoplamfonksiyonuiingerekliolanilemleryaplacakolursa,

. . . eklinde toplam raslant de. olaslk younluk fonksiyonu

cinsindenifadeedilirler.Yukardakigibitanmlanm integralileminekonvolsyon

adverilirveanalitikolarakhesaplamakherzamanpratikolmayabilir.

Ancak yukardaki gibi tanml karakteristik fonksiyonlar cinsinden bu

konvolsyonilemibasitbirarpmaileminedntrlecektir.Yani:

.

eklindeki tanm Z raslant deikeninin karakteristik fonksiyonu oluphesaplanmas dahabasittir. Sonrasnda fz(z) olaslk younluk fonksiyonunu elde

etmekiin:

12 .

tanmltersdnmformlndenfaydalanlrsaEngenelhalde: . .

. .

. .

.


67/123

66

1 n. .n=1iinintegralinsonucu;

1 .

.BLEKKARAKTERSTKFONKSYON

,,.,, , . . . , ,,, ,,.,, , . . . ,

12 . . ,,.,, , . . , ,,,Eitlikleriyukardayaplantanmlamannbileikolaslkdalmfonksiyonu

iinokboyutlugeniletilmi halidir.

BRLEKMOMENTLER

Z=g(x,y) ve

, . , . , EerXveYbirbirindenbamszsa z=g(x)vew=h(Y)debamszdr.

E[g(x)h(y)]=E[g(x)].E[h(Y)]olur.

rnek:

,

XveYbamszikiraslantdeikeniiseE[xy3]ifadesiniyaznz.Cevap:

BamszolduklarndanE[xy]=E[x].E[y]yazlabilir.Dolaysyla . olur.KOVARYANS

XveYikiraslantdeikeniolmakzere

,


68/123

67

. .|,| .

, . 1pxy 1arasndadr.

EerXveYbamszise

Cov(x,y)=E[xy]E[x].E[y]

=E[x].E[y] E[x].E[y]

=0 ve pxy=0 olur.

XveYbamsziseCov(x,y)=0,pxy=0olur.Yanikolerasyonyoktur

EerCov(x,y)=0 iseherzamanXveYbamszdr.AmaEerpxy=0 iseXveYherzamanbamszolmaz.

rnek:

Z=aX+bY ise (z)2yi, x, y vepxy cinsindenifadeediniz.

Cevap:

E[z]=E[ax+by]=aE[x]+bE[y]

=ax+by

Ve 2=E[(zz)]=E[{(ax+by)(ax+by)}2]

=E[{a(xx)+b(yy)}2

]=a2E[(xx)2]+b2E[(yy)2]+2abCov(xy)

=a2(x)2+b2(y)2+2abpxy(x y)

zelolarakXveYbamszise

a=b=1iseZ=X+Y =>(z)2=(x)2+(y)2olur.

MERKEZ LMTTEOREM

Tanm olarak normalize edilmi ok sayda birbirinden bamsz raslant

deikenleri iinX1,X2,X3XN iin sfrortalamave (1)2

, (2)2

,(N)2 ile ifade edilen sonlu varyans deerleri

Normaldalmayaknsar

Teorem: X1,X2,X3XN olaslkdalmfonksiyonlarf1(x1),f2(x2),

f3(x3),fn(xn)olaraktanmlanm ntanebirbirindenbamszraslant

deikenitanmlanm olsunlar.Bunlariin;

0


69/123

68

Verilenbir >0 deeriiinyeterlisonsuznsayiin(k)deeri(k)>Snk=1,2,.n artnsalarvebudurumda . . /NormalizetoplammormaldalmPDFsineyaknsar

lim .. .Teorem: 0 1 0 , 1 , 2 . . olmakzeretanmlbamszvebenzerdalmolanX1,X2,X3XN raslantdeikenleri

verilsin

1

lim 0,1 .


70/123

69


71/123

70


72/123

71


73/123

72


74/123

73


75/123

74


76/123

75


77/123

76


78/123

77


79/123

78


80/123

79


81/123

80


82/123

81


83/123

82


84/123

83


85/123

84


86/123

85


87/123

86


88/123

87


89/123

88


90/123

89


91/123

90


92/123

91


93/123

92


94/123

93


95/123

94


96/123

95


97/123

96


98/123

97


99/123

98


100/123

99


101/123

100


102/123

101


103/123

102


104/123

103


105/123

104


106/123

105


107/123

106

ESK SORULAR


108/123

107


109/123

108


110/123

109


111/123

110


112/123

111


113/123

112


114/123

113


115/123

114


116/123

115


117/123

116


118/123

117


119/123

118


120/123

119


121/123

120


122/123

121


123/123

olasılık ve raslantı değişkenleri ders notları

Documents