olasılık ve İstatistik ders notu doç. dr. yasin kabalciolasılık ve İstatistik ders notu doç....

Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI

1

4. Tek Rastlantı Değişkenleri

Bu bölümde, rastgele değişkenin ayrık, sürekli ya da karma olduğu genel durum elde

değerlendirilecektir. Her üç rastgele değişkeni tanımlamada kullanılan birikimli dağılım

fonksiyonu (cumulative distribution function, CDF) tanıtılacaktır. Aynı zamanda sürekli rastgele

değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu (probability density function, PDF) da

tanıtılacaktır. Bir rastgele değişken içeren olayların olasılıkları, PDF’lerin integralleri alınarak

ifade edilecektir.

4.1. Birikimli Dağılım Fonksiyonu

Bir ayrık rastgele değişkenin olasılık yığın fonksiyonu (PMF), X b formunda tanımlanmıştı.

X b formundaki olaylar için birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) alternatif olarak

kullanılmaktadır. CDF, sadece ayrık rastgele değişkenler ile sınırlı değildir, aynı zamanda tüm

rastgele değişkenler için kullanılabilmektedir.

S örnek uzayına sahip rastgele bir deneyi ele alalım. X rastgele değişkeni örnek uzay S’ten R’ye

bir fonksiyondur.

: , bA s X s b b

Bir X rastgele değişkeninin CDF’i, X x olayının olasılığı olarak aşağıdaki gibi

tanımlanmaktadır:

, XF x P X x x

X’in , x aralığında değer alma olasılığıdır. Esas örnek uzay cinsinden CDF, :s X s x

olayının olasılığıdır. X x olayı ve olasılığı x değiştikçe değişir, diğer bir ifade ile XF x x

değişkeninin bir fonksiyonudur.

Örnek: Bir madeni paranın 3 kez atılması deneyi ele alınsın. Tura sayısı X olsun. X0, 1, 2, 3

olabilir.

1 3 3 1

0 , 1 , 2 , 38 8 8 8

P X P X P X P X


2

Örnek: İki zar atma deneyi. X, iki zar üzerindeki sayıların toplamı olsun. Bu durumda, x= 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 olabilir.

1 1 0

12 2 1,1 236

33 3 1,1 , 1,2 , 2,1 2 336

4 4 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 1,3 , 3,1

6 2 3 4 3 436

105 5 2 3 4 5 4 536

12 12 2 3

X

X X

X X X

X

X X X X X

X X X X X X X

X X X

F P X P

F P X P p

F P X P p p

F P X P

p p p F p

F P X p p p p F p

F P X p p p

12 11 12 1X X XF p

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

X X

X X X

X X X X

P a X b F b F a

P a X b F b F a p b

P a X b F b F a p a p b

[ ] ( ) ( )

[ ] ( )

[ ] 1 ( )

X X X

X X

X

P a X b F b F a p a

P X b F b F b

P X x F x

35 15 5 25[6 11] (11) (6) 6

36 36 36 36

35 15 20[6 11] (11) (6)

36 36 36

21 6 3 6 12[4 7] (7) (4) 4 7

36 36 36 36 36

21 6 6 9[4 7] (7) (4) 7

36 36 36 36

X X X

X X

X X X X

X X X

P X F F p

P X F F

P X F F p p

P X F F p


3

Örnek: Zar atma deneyinde iX s i olarak tanımlanırsa, 1 1X s , 2 2X s ,…, 6 6X s

6x ise,

1 2 3 4 5 6

(5) 6

( ) , , , , , 1

X X

X

F p

F x P X x P s s s s s s

5 6x ise,

1 2 3 4 5( ) , , , , 5 6XF x P X x P s s s s s

4 5x ise,

1 2 3 4( ) , , , 4 6XF x P X x P s s s s

3 4x ise,

1 2 3( ) , , 3 6XF x P X x P s s s

2 3x ise,

1 2( ) , 2 6XF x P X x P s s

1 2x ise,

1( ) 1 6XF x P X x P s

1x ise,

( ) 0XF x P X x P

█

CDF’in Bazı Özellikleri

0 ( ) 1XF x

lim ( ) 1Xx

F x

lim ( ) 0Xx

F x

( )XF x , x ’in azalmayan bir fonksiyonudur, yani, eğer a b ise o zaman ( ) ( )X XF a F b ’dir.

( )XF x sağdan sürekli ise, yani, 0

0 ( ) lim ( ) ( )X X Xh

h F b F b h F b

Bu 5 özellik, genel olarak, x ’dan ’a arttığında, XF x ’in 0’dan 1’e büyüyen ve

azalmayan bir fonksiyon olduğunu gösterir.

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 1 ( )X X X X XP a X b F b F a P X b F b F b P X x F x


4

a X b X a a X b olduğundan,

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X X X XP a X b F a F a F b F a F b F a

Eğer bir CDF, aralığın bitiş noktalarında sürekli ise bitiş noktaları sıfır olasılığa sahiptir.

█

Örnek: Hilesiz bir madeni paranın 3 kez atılması deneyinde tura sayısı X olsun. CDF’yi

kullanarak aşağıdaki olayların olasılığını bulunuz.

a) 1 2A X

b) 0.5 2.5B X

c) 1 2C X

Çözüm:

a) [1 2] (2) (1) 7 / 8 1/ 2 3/ 8X XP X F F

b) CDF, x = 0.5 ve x = 2.5 noktalarında süreklidir.

[0.5 2.5] (2.5) (0.5) 7 / 8 1/ 8 6 / 8X XP X F F

c) {1 2} { 2} {1 2}' dir.X X X

{1 2} { 2} {1 2}' dir.

{1 2] [ 2] (2) 1

{1 2] (2) 1 P[ 2]

(2) 1 (2) 2 2 1 4 / 8 1/ 8 3 / 8

X X

X X

X X X X X X

X X X

P X P X F F

P X F F X

F F F F F F

█

4.1.1. Rastgele Değişkenlerin 3 Farklı Türü

Ayrık rastgele değişkenler, sağdan sürekli ve x’in merdiven fonksiyonu şeklinde CDF’ye sahiptir.

x0, x1, x2, … gibi noktalarda atlamalar oluşur.

Birim basamak

k

X X k X k k

x x k

F x p x p x u x x

Sürekli rastgele değişkenler, CDF’si her yerde sürekli olan rastgele değişkenlerdir. Bunun

yanında, negatif olmayan f x fonksiyonunun integrali olarak yazılabilir.


5

x

XF x f t dt

Sürekli rastgele değişkenlerde; bütün x değerleri için 0P X x .

Karma türden rastgele değişkenler; x0, x1, x2, … gibi noktalarda atlamalara sahiptir fakat aynı

zamanda x değerlerinin en az bir aralığında sürekli olarak artan CDF’e sahiptir.

1 21 , 0 1XF x p F x p F x p

burada 1F x , ayrık bir rastgele değişkenin CDF’si, 2F x ise sürekli bir rastgele değişkenin

CDF’sidir.

4.1.2. CDF’in Limit Özellikleri

lim ( ) 1 özelliğinden lim ( ) lim [ ] lim{ } [ ] 1x Xx n n n

F x F n P X n P X n P S

lim ( ) 0 özelliğinden lim ( ) lim [ ] lim{ } [ ] 0x Xx n n n

F x F n P X n P X n P

0

0

0, ( ) lim ( ) 1

lim ( 1/ ) lim [ 1/ ] lim{ 1/ } [{ }] ( )

x x xh

X Xn n n

h F b F b h F b X x n

F x n P X x n P X x n P X x F x

[ ] ( ) 1

lim ( ) ( 1/ ) lim [ 1/ ] lim{ 1/ } [ ]

x x

X Xn n n

P x b F b F b b n X b

F b F b n P b n X b P b n X b P X b

4.2. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF), CDF’in türevine eşittir.

( )X

X

dF xf x

dx

PDF, x noktasındaki olasılığın yoğunluğunu temsil eder. X’in, x etrafında (yakınlarında) küçük

bir aralıkta x X x h olma olasılığı

( ) ( )

( ) ( ) X XXX

F x h F xP F x h F xx X

hx hh

CDF’in x’e göre türevi varsa, o zaman h çok küçük olduğunda

( )Xx X x hP f x h


6

CDF’in x’e göre türevi varsa, x’in azalmayan bir fonksiyonu olduğunda ( ) 0Xf x olur.

Bir aralığın olasılığı, ( )Xf x ’in o aralık altında kalan alan olarak ifade edilir.

( )X

b

a

P f x dxa X b

X’in CDF’si, PDF’nin integrali ile elde edilebilir:

( )

t

XXF x f t dt

PDF, sürekli rastgele değişkenlerin davranışlarını tamamıyla belirler.

PDF’in altında kalan alan toplamsal olarak 1’e eşittir.

1Xf t dt

Geçerli bir PDF negatif olmayan, parçalı sürekli bir fonksiyondur ve sonlu bir integrale

sahiptir.

g x dx C

Örnek:

32 , 0 2

4

0,X

x x xf x

diğer

a) ( )Xf x ’in PDF olduğunu gösteriniz.

b) CDF’i bulunuz.

c) 3 2 , 1 2 , 0 7 4 , 1 2 9 2P x P x P x P x olasılıklarını bulunuz.

Çözüm:

a) 2 2 2 32 2

2 2

0 00 0 0

3 3 3 3 82 2 | | 4 1

4 4 4 3 4 3

xx x dx xdx x dx x


7

b) 2 3

0

3 3 12

4 4 4

x

XF t t xx xdt 2 3

0, 0

3 1, 0 2

4 4

1, 2

X

x

F x x x x

x

c)

2 3

2 3

2 3

3 3 1 3 273 2 3 2

4 2 4 2 32

3 1 1 1 271 2 1 1 2 1

4 2 4 2 32

3 7 1 70 7 4 7 4 0 0 0,96

4 4 4 4

5 271 2 9 2 9 2 1 2 1

32 32

X

X X

X X

P x F

P x P x

P x F F

P x F F

Örnek: 2 4 , 0 6

0,X

k x xf x

diğer

a) k = ?

b) CDF’i bulunuz.

Çözüm:

a)

6 6 6

2

0 00

2 4 1 | 4 |

0 0

1 36 24 1 1 60

Xk f x

k x dx kx kx k k k

b) 2

0 0

1 12 4 4

60 60

x x

X T tF x f t dt dt x x 2

0, 0

14 , 0 6

60

1, 6

X

x

F x x x x

x

Örnek:

3, 0 2

8

12 5

12

0,

X

xx

f x x

diğer

a) ( )Xf x ’in PDF olduğunu gösteriniz.

b) CDF’i bulunuz.

c) 1 4 5 2 , 1P x P x olasılıklarını bulunuz.


8

Çözüm:

a) 2 5 2 2 5

0 20 2

3 1 3 1| | 1

8 12 8 2 10

2X X

x xf x f x dx xdx dx

b)

2

2

2

2

0

3 3, 0 2

8 16

3 3 3 1 3 12 2 , 2 5

16 4 4

2

0 0

1

12 4 12

30 2

16

3 12 2 5

4 2

5

1

x

X

x

X X

X

F x dt

F F x dt

x

F x

t x x

x x

x

x x

x

x

c)

23 1 5 3 1

1 4 5 2 5 2 1 4 2 0,784 12 2 16 4

1 1 1 1 1 0 1 1 13 16

X XP x F F

P x P x x P x P x P x

█

PDF, x’in bütün gerçek değerleri için tanımlanmak zorudadır. Eğer X bazı bölgelerde (gerçek

sayı doğrusunda) değerler almazsa, o bölgede ( ) 0Xf x olarak tanımlanır.

Örnek: Düzgün rastgele değişkenin PDF’si şu şekilde verilmektedir:

1

0 ve X

a x bf x b a

x a x b

Buna göre CDF,

0

1

X

x a

x aF x a x b

b a

x b

Örnek: Eksponansiyel rastgele değişken

Bir haberleşme sisteminde mesajların iletilme zamanı, X, eksponansiyel dağılıma sahiptir:

, 0xP X x e x

PDF ve CDF bulunuz.


9

Çözüm:

0 01

1 0

0 0

0

X x

X

X x

xF x P X x

e x

xdF xf x

e xdx

Örnek: Laplacian rastgele değişken

, x

Xf x c e x

c sabitini ve P X v olasılığını bulunuz.

Çözüm:

| |

0

| |

0

21 2

[| | ] 2 12 2

2

x x

v vx x v

v

cce dx ce dx c

P X v e dx e dx e

4.2.1. Ayrık Rastgele Değişkenlerin Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

CDF’nin sürekli olmadığı noktalarda CDF’nin türevi yoktur. Delta fonksiyonu ve birim basamak

fonksiyonu arasındaki ilişkiyi kullanarak PDF’nin tanımlanması gerçekleştirilebilir. Birim

basamak fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:

0 0

1 0

xu x

x

Delta fonksiyonu aşağıdaki eşitlik ile birim basamak fonksiyonu ile ilişkilidir.

x

u x t dt

buradan,

0

0 0

x x x

u x x t dt t x dt

Bu ifadeyi ayrık rastgele değişkenin CDF’sine yerleştirirsek;

x

X X k k X k k

k k

x

X k k

k

F x p x u x x p x t x dt

p x t x dt


10

Buna göre, ayrık bir rastgele değişkenin PDF’si:

X X X k k

k

df x F x p x x x

dx

Örnek: Bir madeni paranın 3 kez atılması deneyinde tura sayısı X olsun. X’in PDF’sini bulunuz.

PDF’yi integre ederek 1 2 ve 2 3P X P X olasılıklarını bulunuz.

Çözüm:

1 3 3 1( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 3)

8 8 8 8

1 3 3 1( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 3)

8 8 8 8

X

X

F x u x u x u x u x

f x x x x x

2

1

1,2 1 noktasındaki delta integralden çıkarılır,

2 noktasındaki delta integrale dahil edilir.

31 2

8X

P x

P X f x dx

3

2

32,3 2 3

8XP x P X f x dx

4.2.2. Koşullu CDF ve PDF

C olayının bilindiği ve 0P C olduğunu varsayalım. X’in, C bilindiği durumdaki koşullu

CDF’si:

[{ } ]( | ) , [ ] 0

[ ]X

P X x CF x C P C

P C

X’in, C bilindiği durumdaki koşullu PDF’si:

( | ) ( | )X X

df x C F x C

dx

Bir makinenin kullanım ömrü X, sürekli bir CDF’ye sahiptir. C X t (t zamanında makine

hâlâ çalışıyor) olayı için koşullu CDF ve PDF ifadelerini bulunuz.

[{ } { }]( | ) [ | ]

[ ]X

P X x X tF x X t P X x X t

P X t


11

x t olduğunda, pay kısmındaki iki olayın kesişimi boş kümedir. x t olduğunda ise

t X x şeklindedir.

0

( | ) ( ) ( )

1 ( )

X X X

X

x t

F x X t F x F tx t

F t

Koşullu CDF’nin x’e göre türevi alınırsa:

( )( | )

1 ( )

XX

X

f xf x X t x t

F t

█

Örnek uzayın, S, ayrık B1, B2,…, Bn olaylarından oluştuğunu varsayalım. ( | )X iF x B , koşullu CDF

(Bi bilindiğinde X’in koşullu CDF’si) olsun. Toplam olasılık teoreminden, X’in CDF’sini koşullu

CDF’ler cinsinden bulabiliriz:

1 1

( ) [ ] | |n n

X i i X i i

i i

F x P X x P X x B P B F x B P B

Türevi alınırsa,

1

( ) ( ) |n

X X X i i

i

df x F x f x B P B

dx

Örnek: İkili bir iletim sistemi, a v gerilim sinyali ileterek “0” bitini gönderiyor ve a v

gerilim sinyali ileterek ise “1” bitini gönderiyor. Alınan sinyal Gaussian gürültülü olarak elde

ediliyor ve aşağıdaki gibidir:

Y X N

X iletilen sinyal, N ise Nf x PDF’sine sahip bir gürültü gerilimidir. 1 1 0P p P

olduğunu varsayalım. Y’nin PDF’sini bulunuz.

Çözüm:

0 1"0" iletilmesi olayı, "1" iletilmesi olayıB B olsun. buna göre 0 1 ve B B örnek uzayda ayrık

iki olaydır.

0 0 1 1( ) | | [ | ](1 ) [ | ]Y Y YF x F x B B F x B B P Y x X v p P Y x X v p

Y X N olduğundan,

| olayı, ve ' ye denktir.

| olayı, ' ye denktir.

Y x X v v N x N x v

Y x X v N x v

Buna göre koşullu CDF’ler;


12

0

1

| [ ] ( )

| [ ] ( )

Y N

Y N

F x B P N x v F x v

F x B P N x v F x v

CDF ifadesi;

( ) ( )(1 ) ( )Y N NF x F x v p F x v p

Y’nin PDF ifadesi;

( ) ( ) ( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )Y Y N N N N

d d df x F x F x v p F x v p f x v p f x v p

dx dx dx

Gaussian rastgele değişkenin PDF ifadesi; 2 2/2

2

1( )

2

x

Nf x e x

Koşullu PDF ifadeleri;

2 2

2 2

( ) /2

02

( ) /2

12

1| ( )

2

1| ( )

2

x v

Y N

x v

Y N

f x B f x v e

f x B f x v e

Buna göre alınan sinyal Y’nin PDF’si aşağıdaki gibi olur: 2 2 2 2( ) /2 ( ) /2

2 2

1 1( ) (1 )

2 2

x v x v

Yf x e p e p


13

4.3. X’in Beklenen Değeri

Sürekli rastgele değişkenler için bir dizi deneyler gerçekleştirdiğimizi varsayalım. X’in belirli bir

değerinde, sürekli rastgele değişkenler 0P X x olasılığa sahip olduğundan, gerçek sayı

doğrusunu küçük aralıklara bölüp, gözlemlerin k kx X x aralığındaki sayısını kN n

belirleriz. n büyüdükçe bağıl sıklık k kf n N n n , X kf x ’ya (yani aralığın olasılığına)

yaklaşacaktır.

Örnek ortalaması bağıl sıklıklar cinsinden hesaplanır ve n ise

( )n k k k X k

k k

X x f n x f x

’yı azalttığımızda, eşitliğin sağ tarafı integrale yaklaşır. Bir X rastgele değişkeninin beklenen

değeri ya da ortalaması:

XE X t f t dt

Eğer yukarıdaki integral kesinlikle yakınsak ise E X tanımlıdır, yani

XE X t f t dt

Eğer Xf x ’i gerçek düzlemde (sayı doğrusu üzerinde) yığının dağılımı olarak kabul edersek,

E X bu dağılımın yığınının merkezini temsil eder.

Daha önce, ayrık rastgele değişkenler için E X ’i incelemiştik, fakat buradaki E X tanımı,

eğer ayrık rastgele değişkenin PDF’sini delta fonksiyonları kullanarak ifade edersek, ayrık

rastgele değişkenler için de uygulanabilir:

[ ] X k k X k k

k k k

X k k

k

E X t p x t x dt p x t t x dt

p x x

Örnek: Düzgün bir rastgele değişkenin ortalaması:

1

[ ]2

b

a

a bE X b a tdt

Yani beklenen değer tam olarak ,a b aralığının orta noktasıdır.


14

Örnek: Eksponansiyel rastgele değişkenin ortalaması:

Bir benzin istasyonunda müşterilerin gelişi arasındaki zaman X, eksponansiyel dağılıma sahiptir.

Varışlar arası ortalama zamanı bulunuz.

, 0x

Xf x e x

Çözüm: 0

tE X t e dt

Kısmi integrasyon , , t tudv uv vdu u t du d et dv ev

0 0

0 0

1 1| lim 0 | lim

t tt t t

t t

e eE X te e dt te

4.3.1. Y = g(X)’in Beklenen Değeri

y g X ’in beklenen değerini bulalım. E Y ifadesi doğrudan X’in PDF’si cinsinden

bulunabilir:

XE Y g x f x dx

y eksenini h uzunluğunda aralıklara bölelim ve

aralıkları k indeksi ile belirtelim ve k. aralığın

merkezindeki değer yk olsun. Y’nin beklenen değeri

aşağıdaki yaklaşık toplam ile verilebilir:

k Y k

k

E Y y f y h

g X ’in kesinlikle artan bir fonksiyon olduğu

varsayılsın. y eksenindeki k. aralığa denk gelen hk

genişliğinde bir aralık x ekseninde olsun. xk, k.

aralıktaki değer olsun, öyle ki kg X y ise

Y k X k kf y h f x h olur.

k X k k

k

E Y g x f x h


15

Örnek: cosY a t ve , ve a t sabitler ise 0, 2 aralığında düzgün rastgele bir

değişkendir. Buna göre ?E Y , 2 ?E Y

Çözüm: 2 2

00[ ] [ cos( )] cos( ) sin( ) sin( 2 ) sin( ) 0

2

dE Y E a t a t a t a t a t

2 2 2 2 22

2 2 2

0

ortalama güç

cos ( ) cos(2 2 ) cos(2 )2 2 2 2 2 2

a a a a d aE Y E a t E t t

Örnek: Cg X I X , X C olayı için belirteç (indicator) fonksiyonu olsun. C, gerçek sayı

doğrusu üzerindeki aralıkların birleşimi ya da herhangi bir aralıktır.

0

1

x Cg X

x C

X X

C

E Y g X f x dx f x dx P X C

Belirteç fonksiyonunun beklenen değeri, olayın olasılığına eşittir.

█

c, bir sabit olmak üzere,

1 1 1 1

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) [ ]

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

X X

X X

n n n n

k k X k X k

k k k k

E c c f x dx c f x dx c

E cX cxf x dx c x f x dx cE X

E Y E g X g x f x dx g x f x dx E g X

Bir rastgele değişkenin fonksiyonlarının toplamının beklenen değeri, her bir fonksiyonun

beklenen değerlerinin toplamına eşittir.

█

Örnek: 2

0 1 2

n

nY g X a a X a X a X olsun. ka sabittir.

2

0 1 2

2

0 1 2

n

n

n

n

E Y E a E a X E a X E a X

a a E X a E X a E X

E X c E X c Rastgele bir değişkenin ortalaması bir sabit eklenerek kaydırılabilir.

4.3.2. X’in Varyansı

Bir X rastgele değişkenin varyansı,


16

2 22

1 2

VAR X E X E X E X E X

STD X VAR X

Örnek: Düzgün bir rastgele değişkenin varyansı:

,a b aralığında düzgün dağılımlı X rastgele değişkeninin varyansını bulunuz.

Çözüm:

2

232 22

22

1,

2 2 2

1 1|

3 12

b

a

b a b a

a ba b

a b a b a bE X VAR X x dx y x dy dx

b a

b ayVAR X y dy

b a b a

█

2

VAR[ ] 0

VAR[ ] VAR[ ]

VAR[ ] VAR[ ]

c

X c X

cX c X

X rastgele değişkeninin n. momenti aşağıdaki gibi tanımlanır:

n n

XE X x f x dx

Ortalama ve varyans ilk iki moment ile tanımlanmaktadır: 22 ve E X E X E X

4.4. Bazı Önemli Sürekli Rastgele Değişkenler

4.4.1. Düzgün Rastgele Değişken

Gerçek sayı doğrusu üzerindeki bir aralıkta bütün değerlerin eşit olasılıkla meydana geldiği

durumlarda kullanılır. ,a b aralığında U rastgele değişkeninin PDF’si:

1

0 ve U

a x bf x b a

x a x b

,a b aralığında U rastgele değişkeninin CDF’si:

0

1

U

x a

x aF x a x b

b a

x b

2

, 2 12

b aa bE X VAR X


17

4.4.2. Eksponansiyel Rastgele Değişken

Olayların oluşları arasındaki zamanı modellemede, ürünlerin ve sistemlerin kullanım ömrünü

modellemede eksponansiyel rastgele değişkenler kullanılır. λ parametresine sahip bir X

eksponansiyel rastgele değişkenin PDF’si:

0 0

0X x

xf x

e x

CDF’si

0 0

1 0X x

xF x

e x

2

1 1, E X VAR X

4.4.3. Gaussian Rastgele Değişkeni

2

2

1exp ,

22X

xf x x

Gaussian rastgele değişkenin CDF’si:

2

2

1exp

22

x xP X x dx


18

t x m değişken dönüşümü yapılırsa,

21

exp22

x m

X

t xF x dt

burada x , 0 ve 1 olan bir Gaussian rastgele değişkenin CDF’sidir.

21

exp22

xt

x dt

211 exp

22

1

x

tQ x x dt

Q x Q x

Örnek: Gaussian PDF’sinin integralinin 1’e eşit olduğunu gösteriniz.

Çözüm: PDF integralinin karesi,

2 22 2 2

2/2/2 /2 /21 1 1

2 22

x yx x ye dx e dx e dy e dxdy

cos ve sin olsun. Bu durumda, d cos ve d cos .x r y r x dr y r d

Kartezyen koordinatlardan polar koordinatlara geçilirse,

2 2 22

/2 /2 /2

0 0 0 0

11

2 r r re rdrd re dr e

█

Gaussian rastgele değişkeni haberleşme sistemlerinde önemli bir role sahiptir. İletilen sinyaller,

elektronların termal hareketinden kaynaklanan gürültü gerilimleri tarafından bozulurlar. Bu

gerilimler Gaussian PDF’sine sahiptir.

█

Örnek: Bir haberleşme sistemi giriş olarak pozitif bir V gerilimini kabul eder ve çıkış gerilimi

Y V N ’dir. Burada 210 ve N ise 0 ve 2m olan bir Gaussian rastgele

değişkendir. 60 10P Y olasılığını veren V değerini bulunuz.

Çözüm: 0P Y olasılığı N cinsinden yazılırsa.

60 0 10V V

P Y P V N P N V Q


19

Tablodan 4.7535V

olduğu görülmektedir. Buna göre,

2104.7535 950,6

2

VV

olarak bulunur.

Örnek: Bir Gaussian rastgele değişkeninin ortalaması 21 ve varyansı 4m ’tür.

3 ?P X ve 3 ?P X

Çözüm: 3 1

3 1 0.158662

x mP X Q Q Q

3 13 2 0.15866

2

Tabloda 2 olmadığından, 2 1 2 1 0.02275 0.97725

x mP X Q Q Q

Q Q Q

█


20

█

Örnek: Bir radar alıcısı, sinyal+gürültüye eşit olan V s N gerilimini gözlemektedir. s

sinyalinin sabit ve gürültünün (N) rastgele Gaussian değişkeni olduğu varsayılsın. Gürültünün

ortalaması 2 20 ve varyansı 4 mvm ’dir. Eğer V gerilimi 2 volttan büyük ise radarın hedefi

sezdiği varsayılsın. Hedef radardan belirli bir miktarda uzaklıkta iken, s sinyali 3 volttur. Buna

göre, radarın hedefi sezme olasılığı nedir?

Çözüm: V gerilimin ortalaması: , 3 0

3

sabit m

E V E s N E s E N

V’nin varyansı:

4

Sabitin varyansı 0 olduğundan 'in varyansına bağlıdır.

VAR V VAR s N

N

2 3

2 0.5 1 0.5 1 0.31 0.692

v mP V Q Q Q Q

Örnek: Hedef radara yaklaştıkça, sinyal daha güçlü olacaktır. Gürültünün varyansı sabit kalırsa,

hedefi 0.98 olasılıkla sezebilmek için gerekli olan s gerilimi kaç volttur?

Çözüm: Bu olasılık 2

olur. Burada ortalama değere eşitleniyor.2

sQ s

Bu ifadenin içi negatif olacağından,

2 21 0.98 0.02

2 2

s sQ Q

Tablodan 2

2.05 6.1 2

ss V

bulunur.

4.4.4. Gamma Rastgele Değişkeni

Sırada bekleyen müşterilere hizmet etmek için gerekli olan zamanı modellemede, cihazların ve

sistemlerin kullanım ömrünü modellemede kullanılmaktadır. Gamma rastgele değişkeni 0 ve

0 gibi iki parametreye sahiptir ve PDF’si:

1

0

x

X

x ef x x

burada z Gamma fonksiyonudur ve 1

0

0z xz x e dx z

olarak tanımlanır.

0.5 1 , 0 1 !, negatif olmayan tam sayız z z z m m m


21

1 olduğunda eksponansiyel rastgele değişkenin PDF’i elde edilir.

Örnek: Bir Gamma rastgele değişkenin PDF’sinin integralinin 1 olduğunu gösteriniz.

Çözüm: 1

1

0 0 0

( )( )

( ) ( )

xx

X

x ef x dx dx x e dx

y x dy dx dönüşümü kullanılırsa,

1

0

( )

1( )

yy e dy

4.4.5. Beta Rastgele Değişkeni

Bera rastgele değişkeninin PDF’si:

11 1 , 0 1

ba

Xf x c x x x

1

11

0

1, 1

baB a b x x dxc

,

a bB a b

a b

2,

1

a abE X VAR X

a b a b a b

1a b olduğunda düzgün rastgele değişkenin PDF’i elde edilir.

4.5. Bir Rastgele Değişkenin Fonksiyonları

X rastgele bir değişken olsun ve g(x) gerçek sayı doğrusunda tanımlı gerçek değerli bir fonksiyon

olsun. Y g X tanımlansın, yani X rastgele değişken varsayılan değerinde g(x) fonksiyonunun

hesaplanması ile Y belirlenir. O zaman, Y’de rastgele bir değişkendir. Y’yi kapsayan C olayının

olasılığı, denk B olayının olasılığına eşittir,

P Y C P g X C P X B

Örnek: N bağımsız konuşmacı grubundaki aktif konuşmacıların sayısı X olsun. Konuşmacının

aktif olma olasılığı p olsun. X, N ve p parametrelerine sahip Binom dağılımlıdır. Ses iletim

sisteminin bir zamanda M ses sinyaline kadar iletim yapabildiğini varsayalım. X, M’i aşarsa X-M

adet rastgele seçilen sinyaller çıkartılıyor. Y çıkarılan sinyallerin sayısı olsun: Y=(X-M)

0,1, ,YY S N M kümesinden değerler alır. X M olduğunda 0Y olacak ve

0

0 0,1, , ' 'M

j

j

P Y P X M p X in PMF si

, 0M kP Y k P X M k p k N M


22

Örnek: Rastgele Y değişkeni aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

Y aX b

a sıfır olmayan bir sabittir. X’in CDF’si XF x ise YF y ’yi bulunuz.

Çözüm: Y y olayı: A aX b y oluştuğunda meydana gelir.

Eğer 0a ise A X y b a olur ve

, 0Y X

y b y bF y P X F a

a a

Eğer 0a ise A X y b a olur ve

1 , 0Y X

y b y bF y P X F a

a a

YF y ifadelerinin y’ye göre türevi alınarak Yf y bulunur.

1

, 0Y X

y bf y f a

a a

1

, 0Y X

y bf y f a

a a

Bu iki sonuç kompakt bir şekilde aşağıdaki gibi yazılabilir.

1

Y X

y bf y f

a a

Örnek: X, Gaussian PDF’sine sahip, ortalaması m ve standart sapması olan rastgele bir

değişken olsun.

2

2

1exp ,

22X

x mf x x

ve Y aX b olduğuna göre ?Yf y

Çözüm: X’in Gaussian PDF’sini bir önceki örneğin sonucunda yerine yazarsak,

2

2

1exp ,

2 2X

y b a mf x x

a a

Y değişkeni de Gaussian dağılımlıdır. Ortalaması b a m ve standart sapması a ’dır. Bu

yüzden, bir Gaussian rastgele değişkeninin lineer bir fonksiyonu yine bir Gaussian rastgele

değişkenidir.


23

Örnek: Rastgele Y değişkeni 2Y X şeklinde tanımlanıyor. X sürekli bir rastgele değişkendir.

YF y ve Yf y ’yi bulunuz.

Çözüm:

Y y olayı 2X y olduğunda ya da

, 0y X y y için oluşur.

0 0

0Y

X X

yF y

F y F y y

y’ ye göre türev alınırsa,

2 2

, 02 2

X X

Y

X X

f y f yf y

y y

f y f yy

y y

Örnek: 0m ve 1 olan X rastgele değişkeni Gaussian rastgele değişkenidir. 2Y X ise

Yf y ’yi bulunuz.

Çözüm:

2

2

1exp ,

22X

x mf x x

0m ve 1 21

exp22

X

xf x

olur. Bir önceki örnekte bulunan sonuç kullanılarak,

2

2 21 1 1 1, 0

2 2 2 2 2 2 2

yX X y y

Y

f y f y ef y e e y

y y y y y

█

Y g X şeklinde yukarıda gösterilen nonlineer bir fonksiyon ele alınsın.

olayı Y YC C y Y y dy ve YB onun denk olayı olsun. Şekilde belirtilen y için, x1, x2,

x3 şeklinde 3 çözüm vardır ve YB olayı her bir çözüme karşılık gelen bir bölüme sahiptir.

1 1 1 2 2 2 3 3 3yB x X x dx x dx X x x X x dx

YC olayının olasılığı yaklaşık olarak Y YP C f y dy ’dir. Burada dy , y Y y dy

aralığının uzunluğudur. YB olayının olasılığı yaklaşık olarak:

1 1 2 2 3 3y X X XP B f x dx f x dx f x dx


24

YC ve YB denk olaylar olduğundan, olasılıkları eşit olmak zorundadır. Y YP C P B ’den:

( )( ) ( )

| / |k k

XY X

k kx x x x

f x dxf y f x

dy dx dy

Örnek: Bir önceki örnekte 2Y X olarak tanımlanmıştı. 0y için 2Y X eşitliği iki adet

çözüme sahiptir 0 1 ve x y x y . Bu yüzden Y’nin PDF’si iki terime sahiptir. 2dy dx x

ise,

1

0 1

0

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

X X

Y

X k X X X X

f y f yf y

y y

dxf x f x f x f y f y

dy x x y y

4.6. Markov ve Chebyshev Eşitsizlikleri

Sadece negatif olmayan değerler alan bir X rastgele değişkeni için Markov eşistsizliği,

0 0[ ] ( ) ( )

,

( )

0

a

X X Xa

P

E X x f x

E XX a a

a

dx xf x dx x f x dx

İntegralin 0 değerinden başlamasının nedeni, X’in sadece negatif olmayan değerler aldığının

varsayılmasıdır.

0’dan a’ya olan integral çıkarılırsa,

[ ] ( )Xa

E X x f x dx

x yerine a gibi daha küçük sabit bir değer yazılırsa,

[ ] ( ) ( )X Xa a

E X a f x dx a f x dx a P X a

Örnek: Bir direnç üzerinde ölçülen gerilim düzgün bir rastgele değişkendir ve aralığı 0,5 V’tur.

Direnç üzerinde ölçülen gerilimin 4V’tan büyük olma olasılığı 0.2’dir.


25

Markov eşitsizliğini kullanarak bu olasılık için bir üst sınır bulalım.

0 52.5

2 2

2.54 0.625

4 4

a bE X

E XP X

Bulunan sonuç gerçek değerden çok uzaktır! Fakat bulunan değer üst sınırdır. Yani gerçek değer

olan 0.2 bulunan üst sınırın altındadır. Not: Bir sınır en kötü durum senaryosunu değerlendirir.

█

Ortalaması E X m ve varyansı 2VAR X olan bir X rastgele değişkeni için Chebyshev

eşistsizliği,

2

2, 0P X m a a

a

2

X m sadece negatif olmayan değerler alan bir rastgele değişkendir. Markov eşitsizliğini

uygularsak,

22

2 2

2 2

XE X m

P X m aa a

burada 2 2X m a ile X m a denk olaylardır.

Örnek: Çok kullanıcılı bir bilgisayar sisteminde ortalama cevap zamanı ve standart sapma

sırasıyla 15 s ve 3 s olarak bilinmektedir. Cevap zamanının ortalamadan 5 s daha fazla olma

olasılığını bulunuz. 2

2

915 5 0.36

25

XP Xa

Chebyshev eşistsizliği, (kesin, belirli rastgele değişkenler için) gerçek değere yakın sonuçlar

vermeyebilir. Fakat verilen rastgele değişkenin dağılımı hakkında ortalaması ve varyansı dışında

bilgi yoksa her şeye rağmen bu eşitsizlik faydalıdır.

4.7. Dönüşüm Metotları

4.7.1. Karakteristik Fonksiyon

Bir X rastgele değişkeninin karakteristik fonksiyonu,

( ) ( ) , 1 İmajiner kısımj X j x

X XE e f x e dx j


26

Yukarıdaki eşitliğin sağ tarafına bakıldığında karakteristik fonksiyon X’in bir fonksiyonunun j Xe ’in beklenen değeri olarak görülmektedir. Aynı zamanda, karakteristik fonksiyon Xf x

PDF’sinin Fourier dönüşümüne eşittir.

Eğer ( )X ’i Fourier dönüşümü olarak göz önüne alırsak, o zaman X’in PDF’si,

( ) Ters Fourier dönüş1

2ümüj X

X Xf ex d

Buna göre, her PDF ve karakteristik fonksiyon bir özgün Fourier dönüşüm çifti oluşturmaktadır.

Örnek: parametreli, eksponansiyel dağılımlı rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu,

( )

0 0( ) x j x j x

X e e dx e dxj

█

X eğer ayrık bir rastgele değişken ise;

( ) kj x

X X k

k

p x e

X eğer tam sayı değerli ayrık bir rastgele değişken ise;

( ) j k

X X

k

p k e

Tamsayı değerli ayrık rastgele değişkenlerin karakteristik fonksiyonu

dizisinin Fourier dönüşümüXp k ’nın 2 periyotlu periyodik bir fonksiyonudur.

2 2 2 ve 1j k j k j k j ke e e e

2

0

1, 0, ,( 1) , 2

2

j k

X Xk d kp e

Örnek: Bir geometrik rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu,

0 0

( )1

kk j k j

X jk k

pp q e p q e

q e

█

Xf x ve ( )X bir dönüşüm çifti olduğundan, X’in momentlerini ( )X ’dan bulabiliriz.

Buna göre, X’in momentleri:

0

1 nn

Xn n

dE X

j d

j xe ’i güç serisi olarak açarsak,


27

2

2 2

( ) 12!

( ) ( )( ) 1 [ ]

2! !

X X

n n

X

j Xf x j X dx

j E X j E Xj E X

n

Elde edilen eşitliğin türevi alınıp 0 durumu değerlendirilirse,

0

0

( ) | [ ]

defa türev alınırsa,

( ) | [ ]

n

Xn

nn n

Xn

djE X

d

n

dj E X

d

elde edilir.

Örnek: Eksponansiyel dağılımlı bir rastgele değişkenin ortalamasını bulunuz.

( )X

j

olduğu hatırlanırsa, bu ifadenin türevi alındığında,

2

(0) 1( ) X

X

jE X

jj

Eğer 2. Türev alınırsa,

2

3 2 2

22

2 2

(0)2 2( )

2 1 1

XX E X

jj

VAR X E X E X

4.7.2. Olasılık Üreten Fonksiyon

Rastgele değişkenlerin negatif olmadığı problemlerde, z-dönüşümü ya da Laplace dönüşümünü

kullanmak genellikle daha uygundur. Negatif olmayan tamsayı değerli N rastgele değişkeninin

olasılık üreten fonksiyonu:

0

0 1 2

0

PMF'nin dönüşümü

0 1 2

N k

N N

k

k

N N N N N

k

G z E z p k z z

G z p k z p z p z p z

N’nin karakteristik fonksiyonu: ( )N

j

NG e . Momentler için yapıldığı gibi türev alınırsa,

N’in PMF’si:


28

0 0

1| | !

!

k k

N N z N z Nk k

d dp k G z G z k p k

k dz dz

İlk iki türevi alınırsa ve z = 1 için hesaplanırsa; X’in ilk iki momenti bulunur:

1

1 1

0 0

22

1 120 0

2

| |

| 1 | 1

1

k

N z N z N

k k

k

N z N z N

k k

dG z p k k z k p k E N

dz

dG z p k k k z k k p k

dz

E N N E N E N

Böylelikle X’in ortalaması ve varyansı:

2

1 ve 1 1 1N N N NE N G VAR N G G G

Örnek: parametreli Poisson rastgele değişkenin olasılık üreten fonksiyonunu bulunuz.

1

0 0! !

kkzk z

N

k k

zG z e z e e e e

k k

NG z ’nin ilk iki türevi

( 1)

2 ( 1)

( )

( )

z

N

z

N

G z e

G z e

Buna göre, ortalama ve varyans:

2 2

[ ]

VAR[ ]

E N

N

4.7.3. Moment Üreten Fonksiyon (MGF)

0

PDF'in Laplace Dön.

( ) ( )sX sx

X XM s E e f x e dx Nonnegative

MGF daha çok sürekli rastgele değişkenler için kullanılır. Bununla birlikte; PDF’sinde impuls

olan karma veya ayrık rastgele değişkenlere de uygulanabilir.

s j olursa, sonuç Fourier dönüşümüdür:

PDF'in Fourier Dön.

( ) ( )j X j x

X XM j E e f x e dx


29

( ) sx

XM s E e ’deki sxe güç serisine açılırsa

2 2 3 31 1( ) 1

2 3

sx

XM s E e E X s E X s E X s

Moment teoremine bağlı olarak;

0( ) |n

n

X sn

dE X M s

ds

Örnek: Gamma PDF’sinin Laplace dönüşümü:

1

1 ( )

0 0

1

0

( ) ( ) ve ( ) olursa( ) ( )

1

( ) ( ) ( )

x sxs x

X

y

x e eM s dx x e dx y s x dy s dx

y e dys s

X’in ilk iki momenti:

0 01

22

0 02 2 2

22

2

| |( ) ( )

1 1| |

( ) ( )

s s

s s

dE X

ds s s

dE X

ds s s

VAR X E X E X

Örnek: 0

0 0

x

X

e xf x

x

ise ?XM s

00 0

|s x s xx sx

XM s e e dx e dx es s

20 0 0

2

2

32 20 0

2 2 2

1| | |

2 2| |

2 1 1

X

Xs s s

X

s s

dM s dm E X

ds ds s s

d M sE X

ds s

VAR X

4.8. Örnekler

Örnek 1: Bir bilgi kaynağı 1, 2,3, 4XS olarak tanımlanan ikili çiftleri aşağıdaki PMF’ler ile

üretmektedir.

i. 1 , bütün 'lark Xp p k k S


30

ii. 1 2, 2,3,4k kp p k

iii. 1 2 , 2,3,4k

k kp p k

a) Bu 3 rastgele değişkenin CDF’lerini çiziniz.

b) CDF’yi kullanarak 1 , 2.5 , 0.5 2 , 1 4X X X X olaylarının olasılıklarını

bulunuz.

Örnek 2: Bir zar atılıyor. X olayı zarın gelen yüzündeki noktaların tam çift sayısı ve Y olayı ise

zarın gelen yüzündeki tam veya kısmi çift sayısıdır. X ve Y’nin CDF’sini bulup, çiziniz.

Örnek 3: Bir kutuda 8 adet 1 $ ve 2 adet 5 $’lık banknotlar bulunmaktadır:

X: Yerine koymadan 2 adet banknot çekildiğindeki toplam miktar

Y: Yerine koyarak 2 adet banknot çekildiğindeki toplam miktar

a) Rastgele değişkenlerin CDF’lerini çiziniz.

b) CDF’yi kullanarak her iki olay için 2$ , 7$ , 6$X X X olasılıklarını bulunuz.

Örnek 4: Y: Bir madeni paranın üç defa atılmasındaki tura sayısı ile yazı sayısı arasındaki fark

olarak tanımlandığına göre,

a) Y rastgele değişkeninin CDF’sini çiziniz.

b) P Y y ’yi, Y’nin CDF’si cinsinden ifade ediniz.

Örnek 5: 2 birim yarıçaplı bir dairesel hedeften oluşan dartta herhangi bir noktaya isabet etme

olasılığı daire içerisindeki bütün noktalar için eşittir. R: orijinden isabet yerine uzaklık olarak

tanımlansın. Buna göre,

a) S örnek uzayını ve R’nin örnek uzayını belirleyiniz.

b) S’den SR’ye eşleşmeyi gösteriniz.

c) Dairenin merkezinden 0.25 birim yarıçaplı alan kırmızı alandır. “A olayı: Dart kırmızı

alana isabet ediyor” şeklinde tanımlandığında S’deki denk olayı ve P[A]’yı bulunuz.

d) R’nin CDF’sini bulup, çiziniz.

Örnek 6: X rastgele değişkeni [-1,2] aralığında düzgün dağılımlıdır. Buna göre,

a) X’in CDF’sini bulup, çiziniz.

b) CDF’yi kullanarak 0 , 0.5 1 , 0.5X X X olaylarının olasılıklarını bulunuz.

Örnek 7: X rastgele değişkeninin CDF’si:

2

0 0

11 0

4

X x

x

F xe x

a) CDF’yi çiziniz.

b) 2 ? 0 ? 0 ? 2 6 ? 10 ?P X P X P X P X P X


31

Örnek 8: X rastgele değişkeninin CDF’si aşağıdaki şekilde verilmektedir.

a) X ne tür bir rastgele değişkendir?

b)

1 ? 1 ? 1 0.75 ?

0.5 0 ? 0.5 0.5 ? 0.5 0.5 ?

P X P X P X

P X P X P X

Örnek 9: 0 ve 0 için Weibull rastgele değişkeni Y’nin CDF’si

0 0

1 0X x

xF x

e x

a) 0.5, 1 ve 2 için CDF’yi çiziniz.

b) 1 ve P j X j P X j olasılıklarını bulunuz.

Örnek 10: Bir X rastgele değişkeninin PDF’si:

21 1 1

0X

c x xf x

diğer

a) c = ? ve PDF’yi çiziniz.

b) X’in CDF’sini çiziniz.

c) 0 ? 0 0.5 ? 0.5 0.25 ?P X P X P X

Örnek 11: Artarda iki olayın tanımlanması için gerekli T zamanı aşağıda verilen sürekli değişken

PDF’sine sahiptir.

0 5

10 5 10

0

T

Ct t

f t C t t

diğer

a) C=?

b) İki olayın 3 s veya daha sürede tamamlanma olasılığını bulunuz.

c) İki olayın 6 s veya daha sürede tamamlanma olasılığını bulunuz.

Örnek 12: Bir X rastgele değişkeninin PDF’si:


32

0 1

2 1 2

0

X

x x

f x x x

diğer

A olayı, “X>1” olayı olarak tanımlanmaktadır. Rastgele değişkenin koşullu olasılığını bulunuz.

Örnek 13: 5. sorudaki R rastgele değişkeninin PDF’sini bulup, çiziniz. Dartın kırmızı alan

dışında kalma olasılığını PDF’yi kullanarak bulunuz.

Örnek 14: Bir X gerilimi 3, 2, ,3,4 kümesinde düzgün dağılımlıdır.

a) X rastgele değişkeninin PDF ve CDF’sini bulunuz.

b) 22 3Y X rastgele değişkeninin PDF ve CDF’sini bulunuz.

c) cos 8W X rastgele değişkeninin PDF ve CDF’sini bulunuz.

Örnek 15: 10. Sorudaki X’in ortalaması ve varyansını bulunuz.

Örnek 16: Eksponansiyel rastgele değişkenin varyansını bulunuz.

olasılık ve İstatistik ders notu doç. dr. yasin kabalciolasılık ve İstatistik ders notu doç....

Documents