8/9/2019 Olimpiada Mat 2015

1/7

AGJENCIA KOMBTARE E PROVIMEVE

OLIMPIADA KOMBTARE E MATEMATIKS

Viti msimor 2014-2015 Faza e tret Klasa 9

\Olimpiada fillon n orn 9.00 dhe mbaron n orn 12.00.

1. Nj numr treshifror, dy shifrat e fundit i ka t njjta, dhe shuma e shifrave t tij

plotpjestohet me 7. Vrtetoni se numri plotpjestohet me 7.ZGJIDHJENumri N= 100x+11a ( ku x sht shifra e qindsheve dhe a shifra e njsheve dhe

dhjetsheve)M.q.s x+2a plotpjestohet me 7 rrjedh x+2a= 7k; x=7k-2a.

N= 100(7k-2a)+11a=700k-189a=7(100k-27a)2. Jepet katrori ABCD, dhe pika K n brinjn CD. Prgjysmorja e kndit BAK pret CBn pikn L.T vrtetohet q BL+DK=AK.

ZGJIDHJEN zgjatim t CD merrni nj pik E t till q DE=BL. Del se trekndshi AEK sht

dybrinjishm, pra BL=DK

3.Jepet trekndshi ABC me brinj BC= a;AB= c ;AC= bdhe mesoren mbi brinjn

BC= m. T vrtetohet mosbarazimi1 1

( ) ( )2 2 2

ac b m c b

ZGJIDHJENdrtoni paralelogramin me brinj c dhe b dhe pik prerje t diagonaleve O. Del q 2m0). T vrtetohet se1

4ab dhe

1 1(1 ) (1 ) 9

a b .

ZGJIDHJE

1=a+b 2 ab

,pra ab 1

4

.Nga ana tjetr kemi 8ab 2 ose 9ab-ab a+b+1;

9ab ab+a+b+1; 9ab (a+1)(b+1) ; 9 1 1

(1 )(1 )a b

5. N trekndshin ABC ka vend barazimi 0BC GA AC GB AB GC ,ku

pika G sht pika e prerjes s mesoreve t trekndshit. Vrtetoni se trekndshiABC sht barabrinjs.

ZGJIDHJE

Vrtetohet leht se 0GA GB GC ose GA GB GC .Barazimi jon merrformn

( ) ( ) 0BC AB GA AC AB GB

.M.q.s. vektort GAeGBjan me drejtime

t ndryshme athere barazimi ka vend vetm kur AB BC AC .

Shnim:do pyetje vlersohet me 10 pik.

8/9/2019 Olimpiada Mat 2015

4/7

do pyetje vlersohet me 10 pik.

AGJENCIA KOMBTARE E PROVIMEVE

OLIMPIADA KOMBTARE E MATEMATIKS

Viti msimor 2014-2015 Faza e tret Klasa 11

Olimpiada fillon n orn 10.00 dhe mbaron n orn 13.00.

1.

N trekndshin ABC me brinj a ,b ,c provoni se n se ka vend barazimi

2 1sin2

B tgA tgC ,athere sht i vrtet barazimi 4 4 4b a c .

ZGJIDHJE

Nga teorema e sinusit kemi2

2 22 4 cos cos

b ac

R R A C ose

2cos cos

2

acA C

b .

M pas zbatojm teoremn e cosinusit dhe del barazimi yn.

2. Jepet trekndshi ABC, ku AB=c AC=b dhe BC=a. Pika O sht qendra e rrethitbrendashkruar trekndshit. Nga pika O hiqet nj drejtz,e cila pret AB n E dhe

AC n F. Vrtetoni se ka vend barazimi (AE+AF) bc=p AE AF( p sht perimetri i trekndshit ABC).ZGJIDHJEShnojm me kndin me kulm n A dhe r rrezen e rrethit t brendashkruar.

Syprina e trek.AEF=1

2AE.AF.sin=Syprinn e trek AEO+Syp.trek.

AFO=2

r(AE+AF) ose (AE+AF).r=AE.AF.sin . Dim se Syp.trek ABC=

1

2p.r

=1

2bcsin ,nga del

sin p

r bc

.duke zvendsuar del barazimi yn.

3.

Jepet vargu1 2, ,......... ...na a a , ku 1a =2 dhe 1 2( 1)n na a n .T gjendet kufiza e

prgjithshme e vargut dhe t vrtetohet se ajo sht ift pr do n.

ZGJIDHJEKemi a2- a1=2; a3-a2=4. 1 2( 1)n na a n . duke i mbledhur an pr an

del an= 2+n(n-1),ecila duket q sht ift.

8/9/2019 Olimpiada Mat 2015

5/7

4. T vrtetohet se syprina e prgjithshme Spe nj piramide t rregullt trekndore

me brinj ansore 1njsi plotson kushtin Sp