ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh và .

a) Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).b) Chứng minh vuông tại S.

2. Tứ diện SABC có Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.

a) Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và

b) Chứng minh và

3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.

a) Chứng minh

b) Chứng minh

4. Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax ( ). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh:

và

5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC= , mặt

bên (SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD= .

a) Tính SA=?

b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR: ; .

c) Tính diện tích tứ giác AKHL=?

6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có và vuông góc với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:

a) SB và CDb) SC và BD

7. Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

8. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và . Đáy ABC là tam giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SM và BC.

9. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và Trên

đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.

10. Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD.

11. Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam giác

ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là , cạnh bên SB tạo với đáy một góc và tạo với

mặt (SAD) góc . Tìm thể tích hình chóp S.ABC.

12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh SA vuông

góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc . Trên cạnh SA lấy điểm M sao

cho . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN

13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng , và SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng . Tìm thể tích hình chóp S.ABCD.

14. Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết và các góc

đều bằng .

15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh , và Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các

cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’.

16. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'.

17. Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau.

18. Cho tứ diện OABC có đáy là DOBC vuông tại O, OB = a, OC = và

đường cao . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.

19. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và . Gọi M là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc

a) Chứng minh

b) Chứng minh là điều kiện cần và đủ để .

20. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là Gọi E, F và M lần lượt là trung

điểm của AD, AB và CC’. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). Tính

21. Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại A.

Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt Chứng minh rằng:

là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với

nhau một góc

22. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M,N thuộc CB và CD. Đặt

CM=x,

CN=y. Lấy . Tìm hệ thức giữa x, y để:

a) b)

23. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường

thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: Tìm khoảng

cách từ C đến mp(SAD).

24. Cho hình chóp S.ABC có và có

Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).

25. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng . Gọi K là trung điểm của DD’.

Tìm khoảng cách giữa CK và AD’.

26. Cho Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=h và

. M là điểm thay đổi trên cạnh CD. Đặt CM=x.

a) Hạ . Tính SH theo a, h và x.

b) Xác định vị trí của M để thể tích tứ diện SABH đạt Max. Tìm Max đó.

27. Cho hình Tứ diện S.ABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông.

a) Chứng minh rằng:

b) Cho SA=a, SB+SC=k. Đặt SB=x. Tính thể tích tứ diện S.ABC theo a,k,x. Xác định SB,SC

để thể tích tứ diện S.ABC Max.

28. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng thiết

diện

C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.

29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc .

Thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)chia khối chóp thành hai phần có thể tích

tương ứng là V1, V2. Tìm tỉ số .

30. Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c; AC=BD=b; AD=BC=c. Tính diện tích mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện.

31. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi

A’, B’, C’, D’lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD.

a) CMR: Các điểm A,B,C,D,A’,B’,C’,D’ cùng thuộc một mặt cầu (C).

b) Tính bán kính mặt cầu này.

32. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên

(SAB) và (SAD) cung vuông góc với đáy, SA=a.Tính bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp.

33. Cho tứ diện ABCD có 4 chiều cao kẽ từ 4 đỉnh lần lượt là h1, h2 ,h3 ,h4 . Gọi r là bán kính

hình cầu nội tiếp tứ diện. CMR:

34. Cho tam giác cân ABC có và đường cao . Trên đường thẳng

vuông góc với (ABC) tại A lấy 2 điểm I,J ở 2 bên điểm A sao cho: IBC là tam giác đều, JBC

là tam giác vuông cân.

a) Tính các cạnh của ABC.

b) Tính AI, AJ và chứng minh các tam giác BIJ và CIJ là các tam giác vuông.

c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC, IABC.

35. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của DABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác định giá trị của x để góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng 60o.

36. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng , SA vuông góc

với (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính góc và khoảng

cách giữa hai đường thẳng SE và AF.

37. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA

vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Chứng minh DMAB cân và tính

diện tích DMAB theo a.

38. Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng

. Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt

phẳng (SBC).

39. Cho hình lập phương ABCD . A'B'C'D' cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của AB và C'D'. Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN).

40. Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a.

41. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc , cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh DAB'I vuông tại A và

tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).