Phần các mô hình ra quyết địnhI. Các tình huống trong thực tiễn

Tình huống 1: (Lập kế hoạch sản xuất với lợi nhuận đạt lớn nhất trong điều kiện tiềm năng các nhân tố sản xuất bị hạn chế).Trong mäüt chu kç saín xuáút doanh nghiãûp sæí duûng 3 nhán täú saín

xuáút chênh khaïc nhau laì ngæåìi lao âäüng, nguyãn liãûu (âån vë kilogam -kg-), maïy moïc ( âån vë giåì) âãø saín xuáút 2 loaûi saín pháøm P1 vaì P2 âãø cung cáúp cho thë træåìng.Cho biãút tiãöm nàng vãö caïc nhán täú saín xuáút, låüi nhuáûn saín pháøm, chi phê saín xuáút cho mäùi saín pháøm mäùi loaûi âæåüc cho trong baíng sau:

NTSX

Saín pháøm TNNTSXP1 P2

Nguyãn liãûu (kg) 27 9 81Maïy moïc (giåì) 2 1 7Ngæåìi Lao âäüng 2 2 12Låüi nhuáûn (triãûu âäöng)

15 9

Haîy láûp kãú hoaûch saín xuáút cho doanh nghiãûp âãø khäng bë âäüng vãö tiãöm nàng caïc nhán täú saín xuáút vaì thu âæåüc låüi nhuáûn låïn nháút.

+ Phán têch vaì xáy dæûng mä hçnh toán học: Goüi x1,x2 láön læåüt laì säú âån vë saín pháøm cuía P1 vaì P2 cáön saín xuáút trong chu kyì.Khi âoï, , ( säú âån vë saín pháøm phaíi laì säú khäng ám)Täøng säú nguyãn liãûu cáön laì ( kg ) khäng væåüt quaï 81 kg.

Täøng säú giåì hoaût âäüng cuía maïy laì (giåì) khäng væåüt quaï 7 giåì.Täøng säú lao âäüng cáön khäng væåüt quaï 12 ngæåìi.

Täøng låüi nhuáûn thu âæåüc triãûu âäöng caìng låïn caìng täút.Tæì sæû phán têch trãn, âãø tçm quyãút âënh täúi æu cho váún âãö thæûc sæû ta cáön giaíi baìi toaïn sau: Tçm x = (x1,x2) thoía maîn âäöng thåìi 3 âiãöu kiãûn sau: (1) ,

(2) (3) max

Tình huống 2: ( Lập kế hoạch quảng cáo tối ưu)

Một công ty muốn có kế hoạch quảng cáo một loại sản phẩm trong vòng 1 tháng với tổng chi phí tối đa là 120 triệu đồng. Các phương tiện quảng cáo được chọn là: truyền hình, báo và phát thanh với số liệu như sau:

Phương tiện quảng cáo

Chi phí cho mỗi lần quảng cáo

( triệu đồng)

Số lần quảng cáo tối đa trong 1 tháng

Dự đoán số người tiếp nhận quảng cáo trong

mỗi lần

Truyền hình( 1 phút)

1,2 90 10000

Báo (1/2 trang) 0,9 28 15000

Phát thanh (1 phút) 0,4 120 5000

Vì lý do chiến lược tiếp thị, công ty yêu cầu ít nhất phải có 60 lần quảng cáo trên truyền hình trong vòng một tháng.Hãy xác định kế hoạch quảng cáo tối ưu.

+ Phán têch vaì xáy dæûng mä hçnh toán học:

Gọi x1,x2,x3 lần lược là số đơn vị các phương tiện quảng cáo truyền hình, báo và phát thanh phải tìm.Số tiền chi phí cho quảng cáo trên truyền hình với thời lượng x1 phút là 1,2x1 triệu đồng.Số tiền chi phí cho quảng cáo trên báo với thời lượng x2 (đơn vị ½ trang) là 0,9x2 triệu đồng.Số tiền chi phí cho quảng cáo trên phát thanh với thời lượng x3 phút là 0,4x3 triệu đồng.Tổng số tiền chi phí cho quảng cáo trên là 1,2x1 +0,9x2 +0,4x3 triệu đồng số tiền này không vượt quá 120 triệu.Theo số liệu đã cho số lần quảng cáo tối đa và số lần tối thiểu cho quảng cáo trên truyền hình theo yêu cầu ta có

Tổng số tiếp nhận quảng cáo là : nghìn người, số người này đạt càng nhiều càng tốt.Từ sự phân tích trên ta có mô hình toán học của bài toán

Tình huống 3: ( Sử dụng vốn để đầu tư đạt hiệu quả nhất)

Doanh nhân A có vốn 2 tỉ đồng muốn đầu tư vào các danh mục sau đây:

- Gửi tiết kiệm không kỳ hạn với lãi suất 4%/năm

- Gửi tiết kiệm có kỳ hạn với lãi suất 8%/năm

- Mua trái phiếu chính phủ với lãi suất 8,5%/năm

- Cho doanh nghiệp tư nhân vay với lãi suất 15%/năm

- Mua đất phân lô bán nền với lãi suất 20%/năm.

Thời gian đáo hạn giả thiết là như nhau. Các hình thức đầu tư đều có rủi ro. Để hạn chế rủi ro doanh nhân A được nhà tư vấn hướng dẫn như sau:

1. Không cho doanh nghiệp tư nhân vay quá 30% vốn

2. Số tiền mua trái phiếu chính phủ không vượt quá số tiền đầu tư trong 4 lĩnh vực kia.

3. Ít nhất 20% số tiền đầu tư phải thuộc lĩnh vực tiết kiệm có kỳ hạn và trái phiếu.

4. Tỷ lệ tiết kiệm không kỳ hạn trên tiết kiệm có kỳ hạn không vượt quá 1/3.

5. Số tiền mua đất không vượt quá 40% số vốn.Doanh nhân A muốn đầu tư toàn bộ số vốn. Hãy lập mô hình bài toán tìm

phương án đầu tư sao cho thu được lợi nhuận tối đa.

Phân tích và xây dụng mô hình toán học:

Gọi x1 là tiền gửi tiết kiệm không kỳ hạn

x2 là tiền gửi tiết kiệm có kỳ hạn

x3 là tiền mua trái phiếu chính phủ

x4 là tiền cho doanh nghiệp tư nhân vay

x5 là tiền mua đất phân lô bán nền

ĐK: xj , (đơn vị tiền: tỷ đồng)

Tổng lợi nhuận: (4% x1+8%x2+8,5%x3+15%x4+20%x5) tỷ đồng , tổng này càng lớn càng

tốt

Không cho doanh nghiệp tư nhân vay quá 30% vốn

x4 ≤ 30% x 2 x4 ≤ 0,6

- Số tiền mua trái phiếu chính phủ không vượt quá số tiền đầu tư trong 4 lĩnh vực

kia

x3 ≤ x1+ x2 + x4 + x5 x1+ x2 + x4 + x5 - x3 ≥ 0

- Ít nhất 20% số tiền đầu tư phải thuộc lĩnh vực tiết kiệm có kỳ hạn và trái phiếu

x2 + x3 ≥ 20 % x 2 x2 + x3 ≥ 0,4

- Tỷ lệ tiết kiệm không kỳ hạn trên tiết kiệm có kỳ hạn không vượt quá 1/3

x1 / x2 ≤ 1/3 3x1 - x2 ≤ 0

- Số tiền mua đất không vượt quá 40% số vốn

x5 ≤ 40% x 2 x5 ≤ 0,8

- Gửi tiết kiệm không kỳ hạn với lãi suất 4%/năm, có kỳ hạn với lãi suất 8%/năm,

mua trái phiếu chính phủ với lãi suất 8,5%/năm, cho doanh nghiệp tư nhân vay với

lãi suất 15%/năm và mua đất phân lô bán nền với lãi suất 20%/năm.

Từ sự phân tích trên ta có mô hình bài toán sau:

Tìm x = (x1, x2, x3, x4, x5) thỏa mãn:

(1) xj ≥ 0, j = 1,5

(2)

(3) = (4% x1+8%x2+8,5%x3+15%x4+20%x5) max

Tình huống 4: ( Lập kế hoạch vận tải tốt nhất).

Có hai cơ sở sản xuất đá dăm và ba công trường xây dựng. Công suất của từng cơ sở sản

xuất, khả năng tiêu thụ của từng công trường và chi phí vận chuyển (trăm ngàn đồng/m3) giữa các nơi đó như sau:

Công trường

T1 T2 T3

Cơ sở sản xuất

Nhu cầu(m3)Chi phí vận chuyển/tấn

Công suất(m3)

15 20 25

C1 20 5 7 2

C2 40 4 3 6

Tìm phương án vận tải tối ưu giữa các cơ sở sản xuất và các công trường.

Phán têch và xây dựng mô hình bài toán: Goüi xij laì säú tấn đá dăm seî váûn chuyãøn tæì cơ sở (Ci) âãún công trường (Tj) (

Táút nhiãn .Säú tấn đá dăm váûn chuyãøn tæì C1 âãún 3 công trường laì :

x11+x12+ x13 đúng bằng 20 Säú tấn đá dăm váûn chuyãøn tæì C2 âãún 3 công trường laì :

x21+x22+ x23 đúng bằng 40Säú tấn đá dăm chuyãøn âãún công trường T1 tæì 2 cơ sở laì:

x11+x21 đúng bằng 15Täøng säú tấn đá dăm chuyãøn âãún công trường T2 tæì 2 cơ sở laì:

x12+x22 đúng bằng 20Täøng säú læång thæûc chuyãøn âãún công trường T3 tæì 2 cơ sở laì:

x13+x23 đúng bằng 25Täøng cæåïc phê phaíi chi traí laì : 5x11+7x12+2 x13+ 4x21+3x22+ 6x23 (täøng naìy caöng nhoí caìng täút).Theo âãö ta coï mä hçnh toaïn hoüc cuía baìi toaïn laì:

Tçm x =(xij) våïi ( i=1..m; j= 1..n) thoaí maîn:

f(x) = 5x11+7x12+2 x13+ 4x21+3x22+ 6x23 min.

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MÔ HÌNH LP

II.1.PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ.II.1.1 Xét bài toán dạng chuẩn với 2 biến số.

Tæì yï nghéa hçnh hoüc ta biãút ràòng mäùi báút phæång trçnh : xaïc âënh mäüt næía màût phàóng.

Nhæ váûy: miãön D (miãön cháúp nháûn ) âæåüc xaïc âënh nhæ laì giao cuía caïc nuía màût phàóng vaì seî laì mäüt âa giaïc läöi trãn màût phàóng.

Phæång trçnh c1 x1 + c2 x2 = . Khi thay âäøi seî xaïc âënh trãn màût phàóng caïc âæåìng song song våïi nhau vaì ta seî goüi laì caïc âæåìng mæïc (level curve) våïi giaï trë mæïc .Mäùi âiãøm x* =(x1 *, x2 *) D seî nàòm trãn âæåìng mæïc våïi giaï trë mæïc * = c1 x1* + c2 x2*.

Baìi toaïn âàût ra coï thãø phaït biãøu theo ngän ngæî hçnh hoüc nhæ sau:Trong säú caïc âæoìng mæïc càõt D, haîy tçm âæåìng mæïc våïi giaï trë mæïc nhoí nháút (låïn nháút).

Nãúu dëch chuyãøn song song caïc âæåìng mæïc theo hæoïng vectå phaïp tuyãún cuía chuïng thç giaï trë mæïc seî tàng (hoàûc giaím nãúu dëch chuyãøn theo hæåïng ngæåüc laûi). Do âoï âãø giaíi baìi toaïn ta tiãún haình nhæ sau:

Bæåïc 1: Veî miãön cháúp nháûn âæåüc D.Bæåïc 2: Bàõt âáöu tæì mäüt âæåìng mæïc càõt D ta dëch chuyãøn

song song caïc âæåìng mæïc theo hæoïng(ngæåüc hæåïng) vectå phaïp tuyãún cuía chuïng cho âãún khi naìo cho âãún khi naìo viãûc dëch chuyãøn tiãúp theo laìm cho âæåìng mæïc khäng càõt d næîa thç dæìng.

Âiãøm càõt D ( coï thãø nhiãöu âiãøm) nàòm trãn âæåìng mæïc cuäúi cuìng naìy seî laì låìi giaíi täúi æu. Coìn giaï trë cuía haìm muûc tiãu (tæïc laì giaï trë mæïc) taë âoï laì giaï trë täúi æu cáön tçm cuía baìi toaïn.

II.1.2. Một số ví dụ:Ví dụ 2.1. Xét mô hình LP :Tçm x = (x1,x2) thoía maîn âäöng thåìi 3 âiãöu kiãûn sau: (1) ,

(2)

(3) max

Đỉnh Các đường qua đỉnh Giá trị hàm mục tiêu

(2,3) 27x+9y = 81; 2x+y = 7 57(3,0) 27x+9y = 81; y = 0 45(1,5) 2x+y = 7; 2x+2y = 12 60 Maximum(0,6) 2x+2y = 12; x = 0 54(0,0) x = 0; y = 0 0

Lập mô hình LP cho các tình huống sau đây và tìm quyết định tối ưu cho tình huống đó, bằng sử dụng phương pháp hình học. B1.. Mäüt træåìng Âaûi hoüc DTU coï nhu cáöu cáön trang bë êt nháút 15 loaûi gồm A và B, trong âoï täúi âa phaíi coï 10 loaûi A so mäüt cäng ty pháön mãöm Y saín xuáút vaì thåìi gian nháûn pháön mãöm khäng quaï 25 giåìì. Hiãûn taûi đäüi nguî åí cäng ty Y gäöm : 30 láûp trçnh viãn Biãút ràòng: âãø saín xuáút hoaìn thaình 1 pháön mãöm A cáön 2 láûp trçnh viãn, âãø saín xuáút hoaìn thaình 1 pháön mãöm B cáön 1láûp trçnh viãn. (nãúu láûp trçnh viãn tham gia cäng viãûc A thç khäng tham gia cäng viãûc B)Thåìi gian caìi âàût cho mäùi loaûi pháön mãön naìy chè täún 1 giåì. Anh (chë ) haîy láûp kãú hoaûch saín xuáút cho cäng ty Y âãø: thoaí maîn yãu cáöu bãn træåìng X, khäng bë âäüng vãö âäüi nguî åí cäng ty, låüi nhuáûn âem vãö cho cäng ty låïn nháút. (caïc chi phê khaïc laì 5000USD). LN cho mäüt loaûi pháön mãöm A laì: 2000USD vaì cho mäüt loaûi pháön mãöm B laì: 3000USD.

Hướng dẫn và đáp số:Goüi x1, x2 láön læåüt laì säú læåüng pháön mãön A vaì B cáön saín xuáút.Theo âãö ta coï mä hçnh toaïn hoüc:

Đỉnh Các đường qua đỉnh Giá trị hàm mục tiêu(10,5) x+y = 15; x = 10 35000(0,15) x+y = 15; x = 0 45000(10,10) 2x+y = 30; x = 10 50000(5,20) 2x+y = 30; x+y = 25 70000(0,25) x+y = 25; x = 0 75000 MaximumB2. Một xí nghiệp có thể sản xuất một loại sản phẩm từ hai phân xưởng khác nhau, ký hiệu (I) và (II). Căn cứ vào nguồn lực hiện có phân xưởng (I) có thể sản xuất tối đa là 70 sản phẩm, phân xưởng (II) sản xuất tối đa là 100 sản phẩm trong một tuần. Tổng số giờ công xí nghiệp có thể sử dụng trong tuần ở cả hai phân xưởng là 600 giờ.Số giờ công cần thiết để sản xuất một đơn vị sản phẩm ở phân xưởng (I) là 10 giờ,ở phân xưởng (II) là 5 giờ. Mức sản lượng tối thiểu trong tuần của Xí nghiệp là 80 sản phẩm. Chi phí sản xuất cho một đơn vị sản phẩm tương ứng với phân xưởng (I) là 20.000 đồng và cho một đơn vị sản phẩm tương ứng với phân xưởng (II) là 30.000đồng.

1. Hãy lập mô hình bài toán LP, giải và tìm kế hoạch sản xuất trong tuân đảm bảo tổng chi phí sản xuất thấp nhất.

2. Trong mô hình LP phần 1. cho biết bài toán LP có còn ý nghĩa nữa không, nếu bỏ ràng buộc về sản lượng tối thiểu (80 sản phẩm).

3. Cho biết giá bán cho một đơn vị sản phẩm được ấn định là 50.000đồng.Dựa vào năng lực hiện có và yêu cầu sản lượng tối thiểu trong tuần, mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất?

Hướng dẫn và đáp số:1. Gọi lần lượt là số sản phẩm do phân xưởng (I) ,(II) sản xuất trong tuần.

Mô hình LP

Tìm

Đỉnh Các đường qua đỉnh Giá trị hàm mục tiêu

(40,40) 10x+5y = 600; x+y = 80 2000 Minimum

(10,100) 10x+5y = 600; y = 100 3200

(0,80) x+y = 80; x = 0 2400

(0,100) y = 100; x = 0 3000

PATU x*=(40,40) fmin=2000

2. Không còn ý nghĩa vì miền phương án đã thay đổi

3. Hàm mục tiêu đổi thành f =

PATU x*=(10,100) fmin=2300Duìng phæång phaïp hçnh hoüc giaíi caïc baìi toaïn sau âáy : 1. Tçm x = (x1 , x2 ) thoía : 2. Tçm x = (x1 , x2 ) thoía :

(1) , (1) ,

(2) (2)

(3) f(x)= x1 x2 max (3) f(x) = x1 x2 +2010min 3. Tçm x = (x1 , x2 , . . . , x6) thoía : (1) ,

(2)

(3) f(x) = 7x1 5x2 min

4. Tçm x = (x1 , x2 , x3 ,x4, x5) thoía : (1) ,

(2)

(3) f(x) = 5x1 + 3x2 max 5.Tçm (x,y) sao cho: (1) (2) (3) 6. Tçm (x,y) sao cho: (1) (2) (3)

III.2 PHÆÅNG PHAÏP ÂÅN HÇNH III.2.1 Daûng chênh tàõc cuía baìi toaïn LP.Âënh nghéa: Laì baìi toaïn coï daûng:

Tçm thoía : (1)

(2)

(1.2)

(3)

Nháûn xeït: Baìi toaïn daûng chênh tàõc laì baìi toaïn daûng täøng quaït trong âoï:

+ Caïc raìng buäüc âãöu laì phæång trçnh.

+Caïc áøn âãöu khäng ám.

Vê duû : Baìi toaïn sau âáy cuîng åí daûng chênh tàõc.

(1)

(2)(3)f(x) =2x1+18 x2+17 x3 min

Phæång phaïp âæa baìi toaïn LP vãö daûng chênh tàõc (canonical form):

Mä taí phæång phaïp:

Xeït baìi toaïn LP sau:

Tçm thoía : (1)

(2) (1.1.1)

(3)

Haîy âæa baìi toaïn trãn vãö daûng chênh tàõc

Giaíi:

. Nãúu ta âàût :

thç ta âæåüc:

(i)

(ii)

vaì tæì (1.1.1) coï thãø viãút laûi laì :

Tçm thoía :

(1)

(2)

(1.3)

(3) min

Roî raìng (1.3) laì mäüt daûng chênh tàõc vaì goüi laì daûng chênh tàõc cuía baìi toaïn LP (1.1.1).

CHUÏ YÏ:

Nãúu trong (1.1.1) coï daûng , thç âiãöu kiãûn (2)

cuía (1.3) laì

Nãúu bi < 0 thç nhán hai vãú phæång trçnh i cho . Nãúu khäng bë raìng buäüc vãö dáúu (tuìy yï) coï thãø thay

båíi hiãûu cuía 2 biãún khäng ám bàòng caïch âàût : våïi vaì

Nãúu f(x)max thç (min-max)

Do âoï, trong giaïo trçnh naìy taïc giaí chè laìm viãûc trãn baìi toaïn daûng min

Nãúu gàûp baìi toaïn daûng max thç ta duìng chuï yï (min-max)).

Khi âoï caïc áøn thãm vaìo hay båït âi goüi laì caïc áøn säú phuû (Slack variable).

Vê duû: Âæa baìi toaïn sau âáy vãö daûng chênh tàõc:

(1)(2)(3)f(x)= 2x1+18 x2+17 x3min

Giaíi : Ta tháúy baìi toaïn åí âáy chæa phaíi laì daûng chênh tàõc do:

+ Áøn tuìy yï.+ Caïc raìng buäüc chæa phaíi laì phæång trçnh.

Ta thãm áøn phuû x4 vaìo raìng buäüc thæï nháút våïi hãû säú +1Ta thãm áøn phuû x5 vaìo raìng buäüc thæï hai våïi hãû säú -1.Caïc áøn x4, x5 âãöu coï hãû säú bàòng 0 trong haìm muûc tiãu.Âàût x2 = - t2 ( våïi , Khi âoï ta âæåüc baìi toaïn daûng chênh tàõc:

(1) ; ; ; ;

(2)

(3) f(x)=

Âënh lyï :

Hai baìi toaïn LP daûng (1.1.1) vaì (1.3) tæång âæång (2)nhau.

III.2.2 Daûng chuáøn tàõc(normal form) cuía baìi toaïn LP:

(2) Hai baìi toaïn âæåüc goüi laì tæång âæång nhau khi vaì chè khi nghiãûm cuía baìi toaïn naìy cuîng laì nghiãûm cuía baìi toaïn kia vaì ngæåüc laûi

Âënh nghéa: laì baìi toaïn daûng :

Tçm thoía :

(1)

(2)

(1.4)

(3)

våïi

Tháúy ràòng ma tráûn hãû säú cuía hãû phæång trçnh raìng buäüc (2) laì :

Caïc áøn cå baín ( áøn cå såí): .

Caïc áøn không cå baín,coìn laûi .

ÁØn cå baín æïng våïi vectå âån vë thæï i goüi laì áøn cå baín thæï i ( ).

Phæång aïn cå baín âáöu tiãn. laì mäüt phæång aïn maì caïc áøn khäng cå baín âãöu bàòng 0.

Nãúu ta cho caïc áøn khäng cå baín thç tæì hãû phæång trçnh raìng buäüc (2) ta âæåüc :

Vç , nãn laì phæång aïn cå baín, goüi laì phæång aïn cå baín âáöu tiãn, vãö màût hçnh hoüc goüi laì phæång aïn cæûc biãn xuáút phaït.

Mäüt phæång aïn cå baín âáöu tiãn xo goüi laì khäng suy biãún (nondegenrate) nãúu xo coï âuí m thaình pháön dæång, xo goüi laì suy biãún nãúu coï êt hån m thaình pháön dæång.

Khi âoï:

Ta biãún âäøi : Vç åí (1.4)

nãn

Thay j = i , ta coï :

Tæì âoï:

Âàût :

(1.5)

ta âæåüc :

(1.6)Chuï yï:

ÅÍ trãn, âãø tiãûn trong caïch trçnh baìy, ta xem m áøn âáöu laì áøn cå baín, âäöng thåìi säú thæï tæû cuía áøn cuîng chênh laì säú thæï tæû cuía áøn. Trong thæûc tãú coï sæû xaïo träün vaì nhiãûm vuû cuía chuïng ta laì phaíi nháûn ra:

+ÁØn naìo laì áøn cå baín.

+ ÁØn cå baín áúy laì áøn cå baín thæï máúy

Nhận xét:

Baìi toaïn LP seî khäng bë giaím baín cháút cuía noï nãúu ta thãm mäüt säú giaí thiãút sau âáy cho daûng chênh tàõc (1.2) :

1 Hãû m phæång trçnh (2) âäüc láûp tuyãún tênh, tæïc laì haûng . ÅÍ âáy ma tráûn

âãø trong hãû khäng coï phæång trçnh thæìa.

2 Säú phæång trçnh trong hãû (2) nhoí hån säú áøn säú, tæïc laì m < n ; âãø miãön phæång aïn D coï vä säú phæång aïn.

3 Caïc nhàòm xáy dæûng phæång aïn cæûc biãn xuáút phaït sau naìy.

Để giải bài toán LP bằng phương pháp đơn hình, trước tiên bài toán LP phải ở dạng chuẩn tắc. Chính vì thế, phương pháp sau đây rất cần thiết cho việc giải LP bằng phương pháp đơn hình. Đó là phương pháp chuyển bài toán dạng chính tắc chưa phải chuẩn tắc, nghĩa là trong ma trận ràng buộc A chưa xuất hiện đầy đủ các cột của ma trận đơn vị trong A và hệ số bi là số âm. Trong thực tế, ta có sử dụng phương pháp biến đổi Gauss-Jordan như đã được học ở phần giải hệ phương trình tuyến tính, nhưng ở đây chúng ta sử dụng phương pháp Ẩn giả để khắc phục hiện tượng này.

Phæång phaïp âæa baìi toaïn daûng chênh tàõc vãö daûng chuáøn tàõc:

Mä taí phæång phaïp:

Nãúu trong baìi toaïn daûng chênh tàõc:coï mäüt säú haûng bi < 0 thç nhán hai vãú phæång trçnh i cho -1 âãø âæåüc bi > 0.

Váûy tæì âáy, ta coï thãø xeït baìi toaïn chênh tàõc âang xeït coï bi 0.

Cho baìi toaïn LP daûng chênh tàõc laì :

Tçm thoía :

(1) ,

(2) ,

(3.1)

(3) min

ta thãm mäùi phæång mäüt áøn giaí( khäng ám xn+i våïi hãû säú 1).Chuï yï: Trong haìm muûc tiãu f(x) min, caïc áøn giaí coï hãû säú laì

laì hàòng säú láúy tuyì yï. Khi âoï ta goüi baìi toaïn måïi naìy laì baìi toaïn M cuía (3.1) âæåüc xaïc âënh nhæ sau : Tçm thoía :

(1) ,

(2) ,

(3.2)

(3)

(3.2) goüi laì baìi toaïn M cuía (3.1).

Vê duû: Kiãøm tra daûng chuáøn tàõc cuía baìi toaïn sau (nãúu chæa) haîy âæa vãö chuáøn tàõc, tçm áøn cå baín.

Tçm thoía :

(1) ,

(2) x1 + 2x2 + 3x3 = 15

2x1 + x2 + 5x3 = 20

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10

(3)

Giaíi :

Baìi toaïn âaî cho coï daûng chênh tàõc nhæng khäng phaíi laì daûng chuáøn tàõc. Vç váûy træåïc khi thaình láûp baìi toaïn M (3.2). Trong hãû (2) cuía baìi toaïn âaî cho, âaî laìm áøn cå baín cho phæång trçnh thæï 3. Âãø chuáøn tàõc hoaï ta chè cáön thãm 2 áøn giaí : cho phæång trçnh thæï nháút vaì cho phæång trçnh thæï hai âãø laìm áøn cå baín laì âuí. Áøn cå baín (x4, x6,x1) .Chuï yï : Nãúu ta kyï hiãûu D laì miãön phæång aïn cuía (3.1) vaì laì miãön phæång aïn cuía (3.2) thç roî raìng laì : vaì hai baìi toaïn (3.1) vaì (3.2) tæång âæång nhau trãn miãön D.

III.2.3. THUÁÛT TOAÏN ÂÅN HÇNHIII.3.1 Âæåìng läúi chung.

Giai âoaûn1: Bàòng caïch naìo âoï âi âãún mäüt âènh x00 cuía D

Giai âoaûn 2: Kiãøm tra xem xi0 (i =0) âaût täúi æu hay chæa?

Nãúu xi0 (i =0) laì nghiãûm täúi æu thç thuáût toaïn dæìng

Ngæåüc laûi, laìm tiãúp: Nãúu baìi toaïn vä nghiãûm thç thuáût toaïn dæìng Nãúu khäng (xi

0 chæa phaíi laì nghiãûm täúi æu) thç âi âãún kãö våïi

maì f( ) f( ) i:=i+1 tråí vãö giai âoaûn 1

III.3.2 Cå såí toaïn hoüc cuía thuáût toaïn.

Âënh lyï 1 : (Dáúu hiãûu täúi æu thæï nháút).

Nãúu , thç phæång aïn cå baín x0 laì täúi æu.

Âënh lyï 2 : ( træåìng håüp baìi toaïn LP vä nghiãûm). Giaí sæí táûp , . . Nãúu thç haìm muûc tiãu f(x) khäng bë chàûn dæåïi, baìi toaïn laì vä nghiãûm.

Âënh lyï 3 : Giaí sæí táûp . Nãúu , , thç coï thãø tçm âæåüc

mäüt phæång aïn cå baín måïi x’o täút hån x0 , tæïc laì . III.3.3 Thuáût toaïn âån hçnh (SM)Tæì nhæîng kãút quaí âaût âæåüc åí trãn, ta thiãút láûp mäüt thuáût toaïn daûng baíng gäöm caïc bæåïc sau âáy:

Bæåïc 1 : a/ Kiãøm tra daûng chuáøn tàõc

b/ Láûp baíng âån hçnh âáöu tiãn cuìng våïi hãû caïc säú kiãøm tra cho åí (1.5). Âoï laì baíng säú dæåïi âáy :

Hãû säú

Áøn cå baín

Phæång aïn

c1 c2 cm cm+1 cj

cn

x1 x2 . . . xm xm+1 . . . xj . . . cn

c1

c2

. . .cI

. . .cm

x1

x2

. . .xi

. . .xm

b1

b2

. . .bI

. . .bm

1 0 . . . 0 a1,m+1 . . . a1j

. . . a1n

0 1 . . . 0 a2,m+1 . . . a2j

. . . a2n

. . .0 . . . 1 . . . 0 a i,m+1 . . . aij . . . ain

. . .0 0 . . . 1 am,m+1 . . . amj . . . amn

0 0 . . . 0 . . . . . .

Bæåïc 2 : Kiãøm tra phæång aïn trong baíng âån hçnh væìa láûp. Nãúu , (vç trãn chè säú cuía caïc áøn cå baín), thç

theo âënh lyï 1, phæång aïn cå baín trong baíng âån hçnh âang xeït laì täúi æu. Baíng âån hçnh naìy goüi laì baíng âån hçnh täúi æu (âoï laì baíng âån hçnh chæïa phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn).

Nãúu sao cho , , thç theo âënh lyï 2 , baìi toaïn LP âaî cho laì vä nghiãûm.

Nãúu , thç theo âënh lyï 3 ta chuyãøn sang bæåïc 3..Bæåïc 3 : Âiãöu chènh phæång aïn cå baín trong baíng âån hçnh âãø âæåüc mäüt phæång aïn cå baín måïi täút hån ; tæïc laì caíi tiãún baíng âån hçnh cuî thaình baíng âån hçnh måïi, maì phæång aïn cå baín trong baíng âån hçnh måïi täút hån phæång aïn cå baín trong baíng cuî. Ta thæûc hiãûn nhæ sau:

Âàût . Goüi xv goüi laì áøn thay thãú (áøn cå baín måïi).

Tçm :

vaì giaí sæí

(2.2) Khi âoï: xr goüi laì áøn bë loaûi. Pháön tæí arv goüi laì pháön tæí truûc xoay. Láûp baíng âån hçnh måïi noïi tiãúp vaìo baíng âå hçnh cuî Tênh laûi caïc hãû säú måïi vaì quay vãö bæåïc 2.Caïch tênh laûi caïc hãû säú måïi ta thæûc hiãûn nhæ sau: + Vç áøn cå baín måïi bàòng xr nãn cäüt r chuyãøn sang cäüt s, caïc cäüt khaïc váùn giæî nguyãn. + Chia táút caí caïc pháön tæí trãn haìng r chia pháön tæí truûc xoay a rv

ta âæåüc mäüt haìng r måïi goüi laì haìng chuáøn. + Muäún coï haìng i måïi (i r) , ta láúy -aiv nhán våïi haìng chuáøn räöi cäüng vaìo haìng i cuî. +Muäún coï haìng cuäúi (gäöm f(xo) vaì j )måïi , ta láúy -v nhán våïi haìng chuáøn räöi cäng vaìo haìng cuäúi cuî. (hoàûc ta coï thãø tênh træûc tiãúp nhæ åí bæåïc 1 våïi baíng væìa måïi taûo)

Áp dụng:

(1) ,

(2) 4

12

9

(3)

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú:

Baìi toaïn âaî coï daûng chuáøn tàõc. Baíng âån hçnh täúi æu laì :1 1 0 2 2 3

Coï thãø max {jj \ j > 0} åí âáy j = } thç âi âãún

PATÆ nhanh choïng hån

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

X1 x2 x3 x4 x5 X6

110

x1

x2

x3

4129

100

010

100

112

104

-113

83/5 0 0 0 2 1 1

Giaíi thêch nhæ sau: Phæång aïn cå baín khäng täúi æu. Ta chuyãøn sang

bæåïc âiãöu chènh thaình (vç ràòng âãöu :+ nãn x4 láö áøn thay thãú.

+ =>

Phần tử trục xoay là a14=1, hàng 1 là hàng xoay, x1 bị thay thế trong bảng đơn hình tiếp theo. Váûy trong baíng âån hçnh thæï 2 , x1 âãún thãú chäù cuía x4

vaì tiãún haình âiãöu chènh nhæ sau : Duìng phæång phaïp âiãöu chènh:

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

1 1 0 2 2 3x1 x2 x3 x4 x5 x6

210

x4

x2

x3

481

112

010

00

1

100

11 2

-125

83/5 2 0 0 0 3 3Phæång aïn cå baín khäng täúi æu. Ta chuyãøn sang

bæåïc âiãöu chènh thaình (vç ràòng âãöu :+ nãn x6 láö áøn thay thãú.

+ =>

Phần tử trục xoay là a36=5, hàng 1 là hàng xoay, x3 bị thay thế trong bảng đơn hình tiếp theo. Váûy trong baíng âån hçnh thæï 3 , x3 âãún thãú chäù cuía x4

vaì tiãún haình âiãöu chènh nhæ sau : Duìng phæång phaïp âiãöu chènh:

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

1 1 0 2 2 3x1 x2 x3 x4 x5 x6

213

x4

x2

x6

21/538/51/5

3/51/52/5

010

1/52/5 1/5

100

7/59/5 2/5

001

83/5 4/5 0 3/5 0 21/5 0Trong baíng âån hçnh naìy caïc , nãn noï laì baíng âån hçnh täúi æu våïi :Phæång aïn täúi æu:

(0 , 38/5 , 0 , 21/5 , 0 , 1/5) ;

LÆU YÏ : ÂÄÚI VÅÏI BAÌI TOAÏN LP COÏ HAÌM MUÛC TIÃU DAÛNG MAX TA GIAÍI CHOÜN MÄÜT TRONG HAI CAÏCH SAUCaïch 1: Âàût g(x) = -f(x)

Giaíi baìi toaïn bàòng våïi haìm muûc tiãu g(x) min

Tçm phæång aïn täúi æu x0 (nãúu coï)

fmax= - g(x0)

Caïch 2: Giaíi baìi toaïn træûc tiãúp

1/ Giäúng bæåïc 1 åí trong thuáût toaïn âån hçnh âaî khaío saït åí trãn.

2/ Tiãu chuáøn täúi æu:

Nãúu j thç PATÆ.

Nãúu sao cho , , thç theo âënh lyï 2 , baìi toaïn LP âaî cho laì vä nghiãûm. 3/Træåìng håüp tçm áøn thay thãú thç ta láúy áøn coï j ám nhoí

nháút.

Vê duû:

Giaíi baìi toaïn :

Tçm x( x1,x2) thoaí:

(1)

(2) x1+ 2x2 8 x1+ x2 5 9x1+ 4x2 36 (3)

Sau khi thãm caïc biãún phuû vaìo caïc raìng buäüc theo thæ tæû 1,2,3 laì: x3, x4, x5

Ta thu âæåüc baìi toaïn åí daûng chuáøn tàõc:

Khi âoï:

Ta láûp baíng âån hçnh :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

50 60 0 0 0x1 x2 x3 x4 x5

0 0 0

x3

x4

x5

8536

119

214

100

010

001

f(xo)= 0 -50 -60 0 0 06000

x2

x4

x5

4120

1/21/27

100

1/2-1/2-2

010

001

f(x’0)=

240 -20 0 30 0 0

60500

x2

x1

x5

326

100

010

1-15

-12

-14

001

f(x’’0)=

280 0 0 10 40 0

Ta coï: j 0 j nãn phæång aïn täúi æu laì: x*= (2,3), f(x*)=280

Chuï yï 1: BAÌI TOAÏN SUY BIÃÚN VAÌ CAÏCH GIAÍITrong træåìng håüp mäüt säú baìi toaïn khäng phaíi luïc naìo cuîng

xaíy ra viãûc xaïc âënh caïc chè säú cuía áøn cå baín mäüt caïch duy nháút (nghéa laì coï hiãûn tæåüng âäöng khaí nàngì xaíy ra trong viãûc choün haìng xoay vaì cäüt xoay theo caïc cäng thæïc trãn trong thuáût toaïn) tháûm chê coìn tãû haûi hån khi âäøi hãû áøn cå baín, thç phæång aïn cå baín khäng âäøi vaì haìm muûc tiãu khäng âäøi, Thuáût toaïn seî láøn quáøn maîi åí mäüt säú phæång aïn cå baín (hiãûn tæåüng chu trçnh). Baìi toaïn maì xaíy ra hiãûn tæåüng naìy ngæåìi ta goüi laì baìi toaïn suy biãún. Ngæåìi ta chæïng minh âæåüc ràòng : Chu trçnh caïc phæång aïn cå baín coï thãø xuáút hiãûn khi caïc phæång aïn cå baín liãn tiãúp nhau suy biãún våïi êt nháút 2 áøn cå baín bàòng 0, tæïc laì coï säú thaình pháön dæång khäng quaï ( laì säú phæång trçnh cuía hãû raìng buäüc (2) cuía baìi toaïn LP âaî cho). Âaûi âa säú caïc baìi toaïn LP trong thæûc tãú laì suy biãún ; nhæng cho tåïi nay chæa tháúy låïp baìi toaïn naìo xuáút hiãûn chu trçnh trong quaï trçnh giaíi, træì mäüt säú vê duû do Hoffman vaì Boale, nhæng vç khäng khàóng âënh âæåüc laì khäng coï cho nãn vãö màût lyï thuyãút váùn

phaíi chuï yï âãún khaí nàng xuáút hiãûn chu trçnh caïc phæång aïn cå baín cuía baìi toaïn LP. Coï nhiãöu phæång phaïp âãø khàõc phuc hiãûn tæång suy biãún nhæ : Phæång phaïp nhiãùu loaûn ( baûn âoüc coï thãø xem [3]), phæång phaïp tæû væîng. Trong giaïo trçnh naìy ta chè duìng phæång phaïp tæû væîng ( quy tàõc tæû væîng.

Mäüt säú hiãûn tæåüng thæåìng gàûp: Khi âiãöu chènh phæång aïn cå baín ta thæûc hiãûn : Træåïc tiãn tçm cäüt âiãöu chènh båíi cäng thæïc :

,

hoàûc , Nãúu caïc , hoàûc , khäng duy nháút, tæïc laì coï nhiãöu áøn khäng cå baín cuía phæång aïn cuî tranh cháúp laìm áøn âiãöu chènh trong phæång aïn måïi. Khi âoï ta choün tuìy yï mäüt trong chuïng laìm áøn âiãöu chènh, nhæîng áøn coìn laûi váùn laìm áøn khäng cå baín trong phæång aïn måïi. Sau âoï tçm pháön tæí truû xoay âãø âæa ra khoíi hãû caïc áøn cå baín måïi, nhæåìng chäù cho áøn âiãöu chènh . Thãú nhæng khi :

khäng duy nháút

tæïc laì trãn cäüt âiãöu chènh coï nhiãöu pháön tæí nháûn laìm pháön tæí truû xoay. Khi âoï viãûc choün mäüt trong nhæîng pháön tæí naìy laìm pháön tæí truû xoay coï liãn quan âãún mäüt hiãûn tæåüng goüi laì hiãûn tæåüng chu trçnh trong quaï trçnh âiãöu chènh ; tæïc laì sau mäüt láön âiãöu chènh phæång aïn cå baín, ta âæåüc så âäö dæåïi âáy:

(phæång aïn täúi æu)

(phæång aïn xuáút phaït)

Tæì âoï, nãúu tiãúp tuûc âiãöu chènh thç ta laûi âæåüc chu trçnh nhæ cuî. Vaì nhæ váûy viãûc giaíi baìi toaïn khäng kãút thuïc

âæåüc, màûc duì baìi toaïn coï thãø coï phæång aïn täúi æu, maì khäng laìm

sao tçm âæåüc ! Vç váûy tçm mäüt phæång phaïp khàõc phuûc laì âiãöu ráút cáön thiãút.

Quy tàõc tæû væîng vaì phæång phaïp khàõc phuûc hiãûn tæåüng chu trçnh trong quaï trçnh giaíi baìi toaïn LP . Giaí sæí :

khäng duy nháút

vaì

(4.1)trong âoï laì cäüt âiãöu chènh. Khi âoï våïi phæång phaïp âiãöu chènh âæåüc trçnh baìy trong chæïng minh cuía âënh lyï 3 §1 ta âæåüc :

vaì nãúu (tæïc laì säú thaình pháön dæång trong phæång aïn cå baín laì ) thç baìi toaïn coï nguy cå xuáút hiãûn chu trçnh trong quaï trçnh âiãöu chènh tiãúp theo. Âãø ngàn ngæìa hiãûn tæåüng chu trçnh naìy, ngæåìi ta âãö ra mäüt phæång phaïp choün mäüt trong pháön tæí cuìng âaût (4.1) laìm pháön tæí truû xoay. Phæång phaïp âoï goüi laì phæång phaïp tæû væîng , tiãún haình nhæ sau : Bæåïc 1 : Haîy âãø yï âãún caïc cäüt , maì taûi âoï : , (4.2)vaì láûp tyí säú trãn caïc cäüt naìy :

Bæåïc 2 : Tçm

Chuï yï: Nãúu laì chè säú cäüt âáöu tiãn trong säú caïc cäüt thoía âiãöu kiãûn (4.2) maì

duy nháút vaì thç choün laìm pháön tæí

truû xoay. Nguy cå xuáút hiãûn chu trçnh caïc phæång aïn cå baín trong quaï trçnh giaíi laì khäng coï. Vê duû : Tçm thoía :

(1)

(2)

(3) Giaíi :

Hãû säú

Áøn cå baín

Phæång aïn

6 2 1 0 0 0

0

0

0

10

16

8

2

4

2

5

3

4

3

2

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

24M 6 2 1 0 0 0

Vç táûp nãn phæång aïn cå baín trong baíng âån hçnh âáöu tiãn laì khäng täúi æu. Bàòng , ta choün laìm cäüt âiãöu chènh.

Tháúy ràòng : khäng duy nháút.

Bàòng quy tàõc tæû væîng, ta láûp caïc tyí säú tæång æïng :

; våïi ,

Roî raìng laì khi , thç :

vaì duy nháút vaì

Váûy laì pháön tæí truû xoay.

Coï 2 phæång phaïp âæa baìi toaïn LP daûng chênh tàõc vãö daûng chuáøn tàõc :

Phæång phaïp Gauss Jordan : Phæång phaïp naìy âaî âæåüc trçnh baìy trong Âaûi säú tuyãún tênh (Toaïn cao cáúp A2), åí pháön giaíi hãû phæång trçnh tuyãún tênh bàòng caïc pheïp biãún âäøi så cáúp ma tráûn suy räüng cuía hãû. Våïi phæång phaïp Gauss Jordan, ta biãún âäøi ma tráûn suy räüng cuía hãû raìng buäüc (2) cuía daûng chênh tàõc (1.2) thaình mäüt ma tráûn sao cho trong loìng cuía ma tráûn naìy chæïa mäüt ma tráûn âån vë

cáúp m . Khi âoï baìi toaïn coï daûng chuáøn tàõc vaì ta duìng phæång phaïp âån hçnh giaíi tiãúp âãø tçm låìi giaíi cuía baìi toaïn LP daûng chênh tàõc âaî cho.

Phæång phaïp áøn säú giaí : Âoï laì phæång phaïp duìng mäüt säú áøn säú giaí âãø biãún baìi toaïn LP daûng chênh tàõc thaình daûng chuáøn tàõc räöi duìng phæång phaïp âån hçnh âãø giaíi.

Chàóng haûn. Cho baìi toaïn LP daûng chênh tàõc ( chæa phaíi chuáøn tàõc)laì :

Tçm thoía :

(1) ,

(2) ,

(3.1)

(3)

Khi âoï, duìng phæång phaïp áøn säú giaí ta thiãút láûp âæåüc baìi toaïn M cuía (3.1) nhæ sau :

Tçm thoía :

(1) ,

(2) ,

(3.2)

(3)

Trong âoï laì hàòng säú låïn hån moüi säú cáön so saïnh, caïc goüi laì caïc áøn säú giaí.

Khi âoï ta thu âæåüc baìi toaïn M (3.2) cuía (3.1).

Nháûn xeït 2: Nãúu ta kyï hiãûu D laì miãön phæång aïn cuía (3.1) vaì laì miãön phæång aïn cuía (3.2) thç roî raìng laì : vaì hai baìi

toaïn (3.1) vaì (3.2) tæång âæång nhau trãn miãön D.

Viãûc cäüng thãm biãún xn+i vaìo phæång trçnh thç âäöng thåìi säú biãún åí haìm muûc tiãu cuîng tàng lãn n+i biãún. {Caïc biãún âoï coï hãû säú laì M mäüt säú låïn tuìy yï}.

Trong khi láûp trçnh âãø giaíi baìi toaïn thäng thæåìng M âæåüc choün M=

Viãûc naìy khäng dáùn âãún thay âäøi giaï trë haìm muûc tiãu maì chè gêuïp ta thuáûn tiãûn trong viãûc giaíi baìi toaïn. Sau âáy, mäüt thuáût toaïn SM giaíi cho baìi toaïn quy hoaûch tuyãún tênh daûng täøng quaït:

Bæåïc 1 : Âæa baìi toaïn vãö daûng chênh tàõc, sau âoï láûp baìi toaïn chuáøn tàõc, láûp baíng âån hçnh.

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

. . . M M . . . M

. . . . . .

M

M

. . .

M. . . . . .

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0

. . .

0 0 . . . 1

0 0 0 . . . 0

0 0 . . . 0

Bæåïc 2 : (Kiãøm tra phæång aïn. )

Tênh: ,

( laì hàòng säú láúy tuyì yï )

Nãúu

,

caïc áøn giaí ,

thç trong baíng âån hçnh täúi æu cuía baìi toaïn M laì phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn daûng chênh tàõc (3.1) âaî cho.

Nãúu tæïc laì táûp vaì baìi toaïn khäng vä nghiãûm thç ta chuyãøn sang bæåïc 3

Bæåïc 3 : (Ngæåìi ta chæïng minh âæåüc ràòng : Khi âiãöu chènh phæång aïn, nãúu mäüt áøn giaí bë loaûi thç loaûi noï luän khoíi táút caí caïc baíng âån hçnh sau âoï ; vç tæì âoï tæång æïng cuía áøn giaí áúy âãöu

åí táút caí caïc baíng âån hçnh naìy ; nãn noï khäng tråí laûi laìm áøn âiãöu chènh âæåüc.)

Âãø tçm pháön tæí truû xoay ngæåìi ta thæåìng xaïc âënh h theo tiãu chuáøn : , (âãø tênh toaïn âæåüc âån giaín hån, tuy ràòng nhæ thãú täúc âäü âiãöu chènh coï nhoí hån so våïi duìng tiãu chuáøn

, ) . Coìn k váùn xaïc âënh nhæ cäng thæïc (2.2), tæïc laì :

,

END

II.3..4. Vê duû minh hoüa.

Vê duû 1 Giaíi baìi toaïn :

Tçm

(1) ,

(2) x1 + 2x2 + 3x3 = 15

2x1 + x2 + 5x3 = 20

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10

(3)

Giaíi :

Trong hãû (2) cuía baìi toaïn âaî cho, âaî laìm áøn cå baín cho phæång trçnh thæï 3. Âãø chuáøn tàõc hoaï ta chè cáön thãm 2 áøn giaí : cho phæång trçnh thæï nháút vaì cho phæång trçnh thæï hai âãø laìm áøn cå baín laì âuí. Tæì âoï ta láûp baíng vaì giaíi :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

1 2 3 1 M M

MM1

152010

121

212

351

001

100

010

10 2 4 4 0 0 035M 3M 3M 8M 0 0 0

M 3

1

346

1/52/53/5

7/51/59/5

010

001

000

6 2/5 16/5 0 0 03M 1/5M 7/5M 0 0 0

23 1

15/725/715/7

1/73/76/7

100

010

001

90/7 6/7 0 0 0231

5/25/25/2

001

100

010

1/6 3/67/6

15 0 0 0 1

Baíng âån hçnh thæï 4 laì baíng âån hçnh täúi æu, vç coï :

, hai áøn giaí

nãn

* Phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn âaî cho laì *

Chuï yï 2: Vç baìi toaïn LP coï thãø xaøy ra 2 træåìng håüp:Træåìng håüp 1: baìi toaïn vä nghiãûm (âæåüc goüi laì baìi toaïn khäng giaíi âæåüc) Træåìng håüp 2: Baìi toaïn coï 1 hoàûc vä säú PATU (baìi tpaïn âæåüc goüi laì giaíi âæåüc).Âãø nháûn biãút baìi toaïn âaî cho coï vä säú nghiãûm hay khäng, ta cáön læu yï âãún caïc âàûc âiãøm sau:+ Trong baíng âån hçnh cuía låìi giaíi ( baíng âån hçnh täúi æu) nãúu coï mäüt hãû säú æåïc læåüng cuía mäüt áøn khäng cå baín ( áøn tæû do) bàòng khäng thç baìi toaïn coï thãø coï vä säú nghiãûm ( PATU). Våïi baìi toaïn coï vä säú nghiãûm tức là có vô số xk (k=0,1,2,…) là phương án tối ưu của LP trong đó giải sử ta tìm được x0 , ta tìm xk nào đó chẳng hạn thì ta phải làm sao?+ Âãø xaïc âënh phæång aïn täúi æu khaïc ta thæûc hiãûn nhæ sau:

- Giaí sæí ta nháûn tháúy coï (xk laì áøn khäng cå baín) trong baíng âån hçnh cuäúi thç baìi toaïn coï phæång aïn täúi æu laì

Trong âoï,

- Khi âoï táûp phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn coï daûng

,

Sau đây là 2 ví dụ minh họa cho trường hợp này như sau:Vê duû 2: Giaíi baìi toaïn quy hoaûch tuyãún tênh sau. Phæång aïn täúi æu tçm âæåüc ( nãúu coï) coï duy nháút hay khäng? Tçm phæång aïn täúi æu khaïc (nãúu coï)

Tçm

(1) ,

(2) x1 +6x2 - 2x4 -9x5 = 32

2x2 + x3 + x4 + 3x5 = 30

3x2 + x5 + x6 = 36

(3)

Giaíi :

Baìi toaïn coï daûng chuáøn tàõc våïi caïc áøn cå baín x1; x3, x6. Ta coï baíng âån hçnh sau:

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

2 5 4 1 6 0

240

323036

100

623

010

210

930

001

184 0 25 0 1 0

Ta coï nãn PATU

Do hãû säú æåïc læåüng cuía áøn khäng cå baín x5

bàòng 0 nãn x0 khäng phaíi laì PATU duy nháút.

Thæûc hiãûn baíng âån hçnh thæï hai âæåüc âæa vaìo x5 thay thãú áøn x3. Khi âoï, ta âæåüc baíng âån

hçnh täúi æu sau260

1221026

100

122/37/3

31/31/3

11/31/3

010

001

184 0 25 0 1 0 0

Ta coï nãn PATU

Vê du 3: Cho baìi toaïn (P)Tçm

(1) ,

(2) 2 x1 +4x2 +3x3 +x4 = 152

4x1 + 2x2 + 3x3 + x5 = 60

3x1 + x3 + x6 = 36

(3)

a) Giaíi baìi toaïn bàòng phæång phaïp âån hçnh.b) Tçm phæång aïn täúi æu x* cuía baìi toaïn coï thaình pháön thæï tæ

HD: Sau 2 baíng âån hçnh ta thu âæåüc baíng âån hçnh täúi æu sau: Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

5 4 5 2 1 3

2 104 0 0 1 1 2 2

45

612

01

10

5/61/3

00

1/20

2/31/3

184 0 0 2 0 3 0

Ta coï nãn PATU

b) Trong baíng âån hçnh cuäúi cuìng ta tháúy x6 coï nãn bt coï vä säú phæång aïn täúi æu

Z6=(1/3,-2/3,0,2,0,-1)Táûp caïc phæång aïn täúi æu coï daûng:

Trong âoï

Âãø phæång aïn täúi æu coï khi ( thoía maîn âiãöu kiãûn)Váûy PATU x*= (0,32,0,32,0,36).

BAÌI TÁÛP

Kiểm tra lý thuyết

1. Âënh nghéa daûng chuáøn tàõc cuía baìi toaïn LP. Trçnh baìy thuáût toaïn cuía phæång phaïp âån hçnh vaì veî så âäö khäúi cuía phæång phaïp âån hçnh cuía 2 daûng min vaì max cuía baìi toaïn LP.

2. Khi naìo thç baìi toaïn LP daûng chênh tàõc coï baìi toaïn M tæång æïng ? Giaí sæí baìi toaïn LP coï baìi toaïn M. Haîy viãút roî baìi toaïn M cuía daûng min vaì cuía daûng max.

3. Khi naìo thç baìi toaïn LP bë suy biãún (coìn goüi laì thoaïi hoïa) ? Khi suy biãún baìi toaïn coï thãø xaíy ra sæû cäú gç ? Haîy chè ra caïch loaûi træì sæû cäú naìy ?

Dùng phương pháp đơn hinh giải các bài toán LP

Tçm thoía :

4. (1) ,

(2)

(3)

Hæåîng dáùn: Thãm vaìo caïc raìng buäüc 2 áøn phu ( vaì laì caïc áøn cå baín cuía baìi toaïn )û ta thu âæåüc baìi toaïn åí daûng chuáøn tàõc

Sau 3 baíng âån hçnh ta thu âæåüc

Hãû säú

Áøn cå baín

Phæång aïn

-3 -6 0 0x1 x2 x3 x4

-3-6

8/35

10

01

2/271/18

1/91/6

1976 0 0 5/9 2/3

Nghiãûm täúi æu x*(8/3, 5) minf =1976

5. (1) ,

(2) 14

4

8

(3)

5. Hæåïng dáùn: Baìi toaïn âaî coï daûng chuáøn tàõc (áøn cå baín laì theo thæï tæû x4, x3,x1). Låìi giaíi sau 3 baíng âån hçnh våïi baíng âån hçnh täúi æu laì :

Hãû säú

Áøn cå baín

Phæång aïn

2 3 3 8 4x1 x2 x3 x4 x5

432

x5

x2

x1

204

001

010

2/31 7/313/31

5/312/318/31

100

2026 0 0 86/31 250/31

0

Nghiãûm täúi æu: (4 , 0 , 0 , 0 , 2) ;

6. (1) ,

(2) 150

60

36

(3)

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú:

Baìi toaïn âaî coï daûng chuáøn tàõc (áøn cå baín laì theo thæï tæû x4, x5,x6. Låìi giaíi sau 3 baíng âån hçnh våïi baíng âån hçnh täúi æu laì :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

5 4 5 2 1 3X1 x2 x3 x4 x5 x6

243

x4

x2

x6

303036

6 2 1

010

6/2 3/2 2/2

100

4/2 1/2 0

001

2298 6 0 2 0 3 0 x* = (0,30,0,30,0,36) minf =2298

7. (1) ,

(2)

(3)

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú:

Duìng phæång phaïp áøn säú phuû âæa baìi toaïn vãö daûng chênh tàõc. Khi âoï ta âæåüc luän daûng chuáøn tàõc våïi 3 áøn säú phuû âäöng thåìi laì áøn cå baín. Cuìng våïi pheïp âäøi biãún , ta âæåüc baíng âån hçnh täúi æu laì :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

3 4 2 0 0 0x1 x2 x3 x4 x5 x6

03 0

x4

x1

x6

132

010

1/3 2/38/3

3 12

100

2/3 1/31/3

001

2019 0 6 5 0 1 0

8. (1) ,

(2) 5

3

5

(3)

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú: Baìi toaïn âaî coï daûng chuáøn tàõc. Låìi giaíi sau 3 baíng âån hçnh våïi baíng âån hçnh täúi æu laì :Theo (min-max) ta chuyãøn baìi toaïn vãö daûng

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

1 1 1 0 0 0x1 x2 x3 x4 x5 x6

100

x1

x4

x6

71/1013/104/10

100

2/10

6/10

2/10

3/101/10 2/10

010

21/10

13/10

4/10

000

71/10 -2010

0 8/10

7/10 0 21/10

0

(71/10 , 0 , 0 , 13/10 , 0 , 4/10) ; (=-min(f(-x))

9. (1) , (2)

(3)

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú:

Âãø chênh tàõc hoaï daûng cuía baìi toaïn âaî cho ta âæa thãm 2 áøn säú phuû : x5 cho báút phæång trçnh thæï nháút vaì x6 cho báút phæång trçnh thæï 3. Khi âoï daûng chênh tàõc âäöng thåìi laì daûng chuáøn tàõc. Låìi giaíi sau 3 baíng âån hçnh våïi baíng âån hçnh täúi æu laì :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

-2 1 0 1 0 0x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 02

x5

x3

x1

121215

001

2 1 0

010

1/3 2/3 1/3

100

2/31/3 1/3

1980 0 1 0 5/3 0 2/3

(15 , 0 , 12 , 0) ;

10. (1) ,

(2)

(3)

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú: (0 , 0 , 10) våïi .Âãø chênh tàõc hoaï daûng cuía baìi toaïn âaî cho, ta âæa them 3 áøn säú phuû : , vaì . Nhæng daûng chênh tàõc naìy chæa phaíi laì daûng chuáøn tàõc vç phæång trçnh thæï nháút cuía daûng chênh tàõc laì :

(*)thiãúu áøn cå baín (hãû säú cuía áøn säú phuû x4 mang dáúu ám, nãn x4

khäng laìm áøn cå baín âæåüc). Do âoï âãø chuáøn tàõc hoaï daûng cuía baìi toaïn, ta coìn phaíi thãm mäüt áøn säú giaí x7 cho phæång trçnh thæï nháút (*). Váûy laì âãø chuáøn tàõc hoïa daûng baìi toaïn láûp âæåüc baíng âån hçnh âáöu tiãn, ta âæa thãm vaìo baìi toaïn 3 áøn säú phuû vaì mäüt áøn säú giaí x7. Låìi giaíi nháûn âæåüc sau 2 baíng âån hçnh våïi baíng âån hçnh täúi æu laì :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

4 8 6 0 0 0 Mx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

600

X3

x5

x6

102020

3/726/72/7

6/745/732/7

100

1/73/74/7

010

001

60 10/7 20/7 0 6/7 0 0

Vç trong baíng âån hçnh naìy :

áøn giaí nãn phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn M naìy cuîng chênh laì phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn säú 17 âaî cho.

11. (1) ,

(2)

(3)

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú: (0 , 2 , 0) ; .Âãø chuáøn tàõc hoïa daûng cuía baìi toaïn âaî cho :- Træåïc hãút ta thãm mäüt áøn säú phuû x4 cho báút phæång trçnh thæï nháút.- Sau âoï thãm 2 áøn säú giaí næîa cho phæång trçnh thæï 2 vaì thæï 3 tæång æïng. Khi âoï bàòng phæång phaïp âån hçnh, låìi giaíi nháûn âæåüc sau 3 baíng âån hçnh våïi baíng âån hçnh täúi æu laì :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

6 2 1 0 M Mx1 x2 x3 x4 x5 x6

026

x4

x2

x1

620

001

010

10/41/40

100

2014 0 0 1/2 0

Trong baíng âån hçnh naìy vç coï :

áøn giaí nãn phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn M naìy cuîng chênh laì phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn säú 18 âaî cho. 12. (1) ,

(2)

(3)

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú:

(4 , 4 , 0 , 41) ; .Duìng cäng thæïc (min-max)Baìi toaïn coï daûng chuáøn tàõc khi ta thãm vaìo :

- báút phæång trçnh thæï hai áøn säú phuû x5.- phæång trçnh thæï 3 áøn säú giaí x6. Khi âoï bàòng phæång phaïp âån hçnh, låìi giaíi nháûn âæåüc sau 3 baíng âån hçnh våïi baíng âån hçnh täúi æu laì :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

4 3 2 1 0 Mx1 x2 x3 x4 x5 x6

13 4

x4

x2

x1

4144

001

010

238/5

14/5

100

22/51/5

37 0 0 37 0 4

Trong baíng âån hçnh naìy vç coï :

áøn giaí nãn phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn M naìy laì phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn âaî cho. 13. (1) , ,

(2)

(3)

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú:

Baìi toaïn vä nghiãûm.

Tháût váûy : Baìi toaïn coï daûng chuáøn tàõc khi ta thãm vaìo âoï :- 2 áøn säú phuû , cho hai báút phæång trçnh tæång æïng thæï nháút vaì thæï hai.- hai áøn säú giaí , cho caïc phæång trçnh thæï nháút (vç áøn säú phuû x4 coï hãû säú ám nãn khäng laìm âæåüc áøn cå baín cho phæång trçnh thæï nháút) vaì thæï 3. Khi âoï ta láûp baíng âån hçnh :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

2 1 1 0 0 M Mx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

M0M

X6

x5

x7

121020

42 1

1 22

21

1/2

1 0 0

010

100

001

0 2 1 1 0 0 0 032M 3M 3M (3/2)

MM 0 0 0

10M

X3

x5

x7

61623

24 0

1/2 3/29/4

100

1/21/21/4

010

001

6 0 1/2 0 1/2 0 023M 0 (9/4)M 0 (1/4)M 0 0

Tháúy ràòng åí baíng âån hçnh thæï hai : (baìi toaïn khäng âæåüc âiãöu chènh âæåüc næîa) áøn giaí , coìn áøn giaí nãn baìi toaïn M vä nghiãûm ; vç haìm muûc tiãu khäng xaïc âënh khi vaì láúy giaï trë tuyì yï. Suy ra baìi toaïn âaî cho cuîng vä nghiãûm.

14. Cho baìi toaïn :

(1) , ,

(2)

(3)

Tçm âãø :

a/ Baìi toaïn vä nghiãûm ngay tæì baíng âån hçnh âáöu tiãn.

b/ Baìi toaïn coï phæång aïn måïi täút hån.

c/ Giaí sæí , . Hoíi thoía âiãöu kiãûn naìo âãø baìi toaïn coï phæång aïn täúi æu åí baíng âån hçnh thæï 2.

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú: Våïi 3 áøn säú phuû ta coï baíng âån hçnh âáöu tiãn laì :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

c1 c2 c3 0 0 0x1 x2 x3 x4 x5 x6

000

x4

x5

x6

71210

324

143

208

100

010

001

0 c1 c2 c3 0 0 0

a/ Muäún cho baìi toaïn vä nghiãûm ngay tæì baíng âån hçnh âáöu tiãn, thç tæì baíng âån hçnh trãn ta phaíi coï vç åí cäüt thæï 3 ta tháúy

. Váûy . b/ Baìi toaïn coï phæång aïn måïi täút hån, nãúu (âãø ) vaì trong 2 säú c1 , c2 phaíi coï êt nháút mäüt säú láúy giaï trë ám âãø coï êt nháút mäüt trong 2 säú kiãøm tra , laì mäüt säú dæång. c/ Våïi baíng âån hçnh thæï 2 :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

c1 c2 c3 0 0 0x1 x2 x3 x4 x5 x6

c1

00

x1

x5

x6

7/350/358/3

100

1/314/35/3

2/34/332/3

1/32/34/3

010

001

0 0 0

Muäún cho baíng âån hçnh thæï 2 naìy laì baíng âån hçnh täúi æu cuía baìi toaïn âaî cho, thç , , ; hay laì :

, vaì

trong âoï theo giaí thiãút , . Tæì âoï ta âæåüc :

II.3. PHÆÅNG PHAÏP ÂÄÚI NGÁÙU II.3.1 BAÌI TOAÏN ÂÄÚI NGÁÙU CUÍA

BAÌI TOAÏN QUY HOAÛCH TUYÃÚN TÊNH . II.3.1.1 Baìi toaïn âäúi ngáùu khäng âäúi xæïng.

Cho baìi toaïn quy hoaûch tuyãún tênh daûng chênh tàõc laì : Tçm thoía :

(1) ,

(2) ,

(P0)min

(3)

Khi âoï baìi toaïn âäúi ngáùu (BTÂN) tæång æïng våïi (P0) âæåüc âënh nghéa nhæ sau :

Tçm thoía :

(1) tuyì yï

(2) ,

(Â0)max

(3)

Tæång tæû, nãúu baìi toaïn gäúc (P0) laì : Tçm thoía :

(1) ,

(2) ,

(P0)max

(3)

Thç BTĐN tæång æïng våïi (P0) âæåüc âënh nghéa laì :

Tçm thoía:

(1) tuyì yï ,

(2) ,

(Â0)min

(3)

Sæû âäúi ngáùu nhau cuía càûp baìi toaïn (P0) vaì (Â0) naìy âæåüc biãøu diãùn qua mäüt baíng säú goüi laì så âäö Tucher. Sau âáy laì så âäö cuía baìi toaïn (P0)min vaì (Â0)max (Så âäö Tucher cuía

càûp thæï hai (Po)max vaì (Â0)min viãút tæång tæû våïi chuï yï : thay åí goïc táy nam cuía så âäö dáúu båíi dáúu ).

(P0)min

(Â0)max

. . . =

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

(1.1)

( )

. . . max(min)

min(max)

Vê duû :. Láûp baìi toaïn âäúi ngáùu cuía baìi toaïn (Pmin) sau

(1) , ,

(2)

(P)min

(3)

giaíi:

Âãø thaình láûp baìi toaïn âäúi ngáùu tæång æïng (Â0)max ta láûp baíng âäúi ngáùu theo så âäö Tucher (1.1) laì :

(P0)

(Â0)

=

3

5

2

6

9

8

7

3

4

75

58

64

2 4 3

vaì baìi toaïn âäúi ngáùu (Â0) phaíi tçm laì : Tçm thoía :

(1) tuyì yï ,

(2)

(Â0)

(3)

III.3.1.2. Baìi toaïn âäúi ngáùu âäúi xæïng.

Cho baìi toaïn LP daûng : Tçm thoía :

(1) ,

(2) ,

(P)min

(3)

giaíi:

Âæa (P) vãö daûng chênh tàõc.

Tçm thoía :

(1) ,

(2) ,

(3)

Thaình láûp så âäö Tucher cuía .

(P0) . . . . . .

=

(Â)

. . .

. . . 1 0 . . . 0

. . . 0 1 . . . 0

. . .

. . . 0 0 . . . 1

. . .

. . . 0 0 . . . 0

max

Bæåïc 3 : Thaình láûp BTÂN cuía : Tæì så âäö Tucher ta âæåüc :

Tçm thoía :

(1) ,

(2) ,

(Â)max

(3)

Váûy ta coï càûp baìi toaïn âäúi ngáùu sau:

Tæång tæû, nãúu baìi toaïn gäúc daûng : Tçm thoía :

(1) ,

(2) ,

(P)max

(3)

thç baìi toaïn âäúi ngáùu tçm âæåüc laì : Tçm thoía :

(1) ,

(1) ,

(2) ,

(3)

(1) ,

(2) ,

(3)

(2) ,

(Â)min

(3)

II.3.2. Quan hãû âäúi ngáùu giæîa càûp baìi toaïn âäúi ngáùu.

= tuyì yï

(1.3)

, ,

= dáúu báút kyì

(1.4)

, ,

II.3.3. Quy tắc lập bài toán đối ngẫu tổng quát.

Cặp bài toán đối ngẫu (P) và (D) có thể lập trực tiếp mà không cần phải biến đổi về dạng chính tắc theo quy tắc sau, gọi là quy tắc đối ngẫu:

(P) (D)

II.3.4. CAÏC TÊNH CHÁÚT CÅ BAÍN TRONG QUY HOAÛCH ÂÄÚI NGÁÙU .

II.3.4.1. NGUYÃN LYÏ ÂÄÚI NGÁÙU.

Cho hai baìi toaïn däúi ngáùu (P) vaì (Â) khi âoï:

1. Hai baìi toaïn âãöu coï miãön phæång aïn khäng räùng vaì nãúu mäüt trong hai baìi toaïn âäúi ngáùu nhau coï phæång aïn täúi æu, thç baìi toaïn kia cuîng coï phæång aïn täúi æu. Khi âoï giaï trë cæûc trë (min , max) cuía hai haìm muûc tiãu bàòng nhau.

2. Hai baìi toaïn âãöu coï miãön phæång aïn räùng.

Hoàûc mäüt trong hai baìi toaïn naìy coï miãön phæång aïn khäng räùng ; nhæng haìm muûc tiãu khäng bë chàûn (khäng bë chàûn dæåïi âäúi våïi baìi toaïn min, hoàûc khäng bë chàûn trãn âäúi våïi baìi toaïn max) khi âoï baìi toaïn kia coï miãön phæång aïn räùng.

(P)

(Â)

Coï phæång aïn Khäng coï phæång aïn

Coï phæång aïn

hoàûc

Miãön phæång aïn

khäng bë chàûn

Khäng coï phæång aïn

Miãön phæång aïn DÂ

khäng bë chàûn

vaì DÂ

II.3.4.2. ÂËNH LYÏ ÂÄÚI NGÁÙU MAÛNH (strong dual theorem)

Giaí sæí cuía baìi toaïn gäúc, cuía baìi toaïn âäúi ngáùu âãöu laì phæång aïn täúi æu khi vaì chè khi .

II.3.4.3. ÂËNH LYÏ VÃÖ ÂÄÜ LÃÛCH BUÌÌ (complementary slackness).

Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø í laì phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn gäúc (P0)min vaì laì phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn âäúi ngáùu (D0)max laì:

(2.1)

Hãû quaí : Phæång aïn täúi æu khi vaì chè khi täúi æu thoía :

Âäúi våïi càûp âäúi ngáùu khäng âäúi xæïng (P0)min , (Â0)max laì :

Âäúi våïi âäúi ngáùu âäúi xæïng (P)min , (Â)max laì :

hoàûc

Ta coï:

Càûp vaì goüi laì càûp âiãöu kiãûn âäúi

ngáùu cuía 2 baìi toaïn âäúi ngáùu khäng âäúi xæïng (P0)min vaì (Â0)max

.

Caïc càûp

( I ) vaì

( II ) vaì

hoàûc vaì

goüi laì caïc càûp âiãöu kiãûn âäúi ngáùu cuía 2 baìi toaïn âäúi ngáùu âäúi xæïng (G)min vaì (Â)max .

II.3.4.4. MÄÜT SÄÚ ÆÏNG DUÛNG TÊNH CHÁÚT TRONG LYÏ THUYÃÚT ÂÄÚI NGÁÙU

II.3.4.4.1. Tçm phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn ÂÄÚI NGÁÙU thäng qua phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn GÄÚC.

Giaí sæí ta giaíi quyãút âæåüc baìi toaïn gäúc (P0)min laì Xo=(, âãø tçm phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn (Âo)max

y0= ta thæïc hiãûn qua caïc bæåïc nhæ sau:

Bæåïc 1: Nãúu coï thç ta coï

Bæåïc 2: Thay Xo= ( vaìo caïc biãøu thæïc

.

Nãúu våïi chè säú i naìo laì cho biãøu thæïc naìy khaïc 0 thç y i = 0.

Våïi caïc phæång trçnh åí bæåïc 1 (säú phæång trçnh coï âæåüc laì nhåì vaìo säú thaình pháön dæåpng cuía x0) vaì kãút quaí åí bæåïc hai, ta giaíi hãû phæång trçnh thu âæåüc nghiãûm cuía baìi toaïn âäúi ngáùu.

Chuï yï: Ta cuîng coï thãø váûn duûng kãút quaí : f(x0) =

Vê duû 1 : Cho baìi toaïn gäúc laì : Tçm thoía :

(1) ,

(2)

(3)

Haîy thaình láûp baìi toaïn âäúi ngáùu vaì tçm phæång aïn täúi æu cuía noï.

Giaíi : Tháúy ràòng : Âãø chênh tàõc hoïa ta âæa thãm mäüt áøn säú phuû

cho báút phæång trçnh thæï 3. Khi âoï daûng chênh tàõc cuía baìi toaïn âaî cho coï ma tráûn :

Vç âaî chæïa trong noï mäüt ma tráûn âån vë, nãn baìi toaïn âaî coï daûng chuáøn tàõc. Ta láûp baíng âån hçnh vaì giaíi :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

2 5 4 1 5 0

24

32 1 6 0 2 9 0

0 30

36

0

0

2

3

1

0

1/2

0

3/2

1

1

0

184 0 9 0 3 7 0

Vç nãn baíng âån hçnh âáöu tiãn naìy laì täúi æu våïi :

* Phæång aïn täúi æu (32 , 0 , 30 , 0 , 0).

*

Báy giåì ta láûp baìi toaïn âäúi ngáùu vaì tçm phæång aïn täúi æu cuía noï.

Låüi duûng baíng âån hçnh âáöu tiãn (gáön giäúng så âäö Tucher) ta coï baìi toaïn âäúi ngáùu tæång æïng laì : Tçm thoía :

(1) dáúu báút kyì ;

(2)

(3)

Baìi toaïn LP naìy khäng giaíi âæåüc bàòng thuáût toaïn âån hçnh. Do âoï, tæì hãû quaí 2 vaì tæì phæång aïn täúi æu ta tháúy :

* Vç , nãn .

* , nãn .

Âäöng thåìi : vç , nãn .

Váûy phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn âäúi ngáùu tæång æïng laì :

(2 , 4 , 0) våïi

II.3.4.4.2. Tçm phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn GÄÚC qua phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn ÂÄÚI NGÁÙU

Giaí sæí ta giaíi quyãút âæåüc baìi toaïn âäúi ngáùu cuía noï. Khi âoï :

Nãúu baìi toaïn âäúi ngáùu khäng coï phæång aïn täúi æu thç baìi toaïn gäúc cuîng khäng coï phæång aïn täúi æu.

Bça toaïn âäúi ngáùu coï phæång aïn täúi æu laì Yo= ( theo âënh lyï 2 ta tiãún haình nhæ sau:

Bæåïc 1 :Nãúu coï thç ta coï

Bæåïc 2: Thay Yo= ( vaìo caïc biãøu thæïc

. Nãúu våïi chè säú j naìo laì cho biãøu thæïc

naìy khaïc 0 thç xj = 0.

Våïi caïc phæång trçnh åí bæåïc 1 vaì kãút quaí åí bæåïc 2, ta tçm âuåüc nghiãûm cuía baìi toaïn gäúc.

III.3.3. Một số ví dụ

Vê duû 2: Cho baìi toaïn gäúc laì : Tçm thoía :

(1) dáúu báút kyì ,

(2)

(3)

Haîy thaình láûp baìi toaïn âäúi ngáùu cuía noï, giaíi vaì tçm phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn âaî cho.

Giaíi : Bàòng så âäö Tucher

(P0)min

(Â0)max

1 0 0 2

2

4

0

0

4

2

1

0

3

0

0

1

6

4

2

3

= 52 60 36

Ta âæåüc baìi toaïn âäúi ngáùu tæång æïng laì : Tçm thoía :

(1) ,

(2)

(3)

Tæì baíng så âäö Tucher tháúy baìi toaïn âaî coï daûng chuáøn tàõc, nãn ta láûp baíng âån hçnh vaì giaíi :

Hãû säú

Áøn cå baín

Phæång aïn

2 6 4 2 3

2

2

3

52

60

36

1

0

0

2

4

3

4

2

0

0

1

0

0

0

1

116 0 9 16 0 0

4

2

3

13

34

36

1/4

2/4

0

1/2

3

3

1

0

0

0

1

0

0

0

1

92 4 1 0 0 0

4

6

3

22/3

34/3

2

2/6

1/6

3/6

0

1

0

1

0

0

1/6

2/6

6/6

0

0

1

310/3 23/6 0 0 2/6 0

Baíng âån hçnh thæï 3 vç coï , nãn noï laì baíng âån hçnh täúi æu, trong âoï phæång aïn täúi æu laì :

= (0 , 34/3 , 22/3 , 0 , 2) våïi

Báy giåì, dæûa vaìo hãû quaí 2 ta tçm phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn âaî cho. Tháût váûy :

Vç , nãn

Vç , nãn

Vç , nãn

Giaíi hãû phæång trçnh naìy ta âæåüc , våïi

II.3.4.5. YÏ NGHÉA CUÍA BAÌI TOAÏN ÂÄÚI NGÁÙU

II.3.4.5.1. YÏ NGHÉA TOAÏN HOÜC:

1. Duìng càûp baìi toaïn âäúi ngáùu âãø giaíigáön âuïng theo yï nghéa sau: giaíi caí hai baìi toaïn vaì nãúu hiãûu caïc gêa trë tæång æïng caïc haìm muûc tiãu âuí nhoí thç dæìng laûi vaì phæång aïn cæûc biãn thu âæåüc láúy laìm nghiãûm täúi æu gáön âuïng cho baìi toaïn cáön giaíi.

2. Khi giaíi âæåüc mäüt trong hai baìi toaïn âäúi ngáùu nhau, thç coi nhæ âaî giaíi âæåüc baìi toaïn kia. Vç váûy khi gàûp baìi toaïn LP khoï giaíi, thç ráút coï thãø baìi toaïn âäúi ngáùu cuía noï dãù giaíi hån. Mäüt trong nhæîng vê duû thuäüc loaûi naìy laì baìi toaïn LP : Tçm

thoía :

(1) ,

(2) ,

(P)min

(3)

Muäún giaíi baìi toaïn trãn bàòng thuáût toaïn âån hçnh ta thãm áøn säú phuû âãø chênh tàõc hoïa daûng cuía baìi toaïn vaì sau

âoï laûi phaíi thãm áøn säú giaí næîa âãø tråí thaình daûng chuáøn tàõc thç måïi láûp âæåüc baíng âån hçnh. Thãú nhæng nãúu ta sæí duûng baìi toaïn âäúi ngáùu cuía noï laì : Tçm thoía :

(1) ,

(2) ,

(P)min

(3)

thç chè cáön âæa thãm áøn säú phuû âãø chênh tàõc hoïa daûng cuía baìi toaïn, ta âæåüc ngay daûng chuáøn tàõc cuía noï (maì khäng phaíi duìng âãún áøn säú giaí âãø thaình láûp baìi toaïn M laì daûng chuáøn tàõc cuía baìi toaïn).

Ngoaìi ra, ngæåìi ta coìn chæïng minh âæåüc ràòng :

Âënh lyï : Trong baíng âån hçnh täúi æu cuía baìi toaïn âäúi ngáùu âäúi xæïng (Â)max hãû caïc säú kiãøm tra laì phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn gäúc (P)min âaî cho, tæïc laì :

Vê duû : Tçm thoía : (1) , , (2)

(3) Giaíi :

Dæûa baíng âäúi ngáùu âäúi xæïng (1.2) ta láûp baìi toaïn âäúi ngáùu tæång æïng laì :

Tçm y thoía :

(1) ,

(2)

(3) Tháúy ràòng muäún giaíi baìi toaïn âaî cho (baìi toaïn gäúc) bàòng phæång phaïp âån hçnh ta phaíi âæa thãm vaìo baìi toaïn 4 áøn säú phuû vaì 4 áøn säú giaí, thç måïi âuí taûo nãn daûng chuáøn tàõc cho noï. Nhæng våïi baìi toaïn âäúi ngáùu cuía noï chè phaíi thãm 3 áøn säú phuû laì âuí.

Tháût váûy våïi thãm 3 áøn säú phuû vaì ta láûp baíng âån hçnh :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

2 4 1 1 0 0 0

000

133

120

311

004

101

100

010

001

0 2 4 1 1 0 0 0200

110

100

3 51

004

1 21

1 20

010

001

2 0 2 1 1 2 0 0201

11¾

100

3 5¼

001

1 21/4

1 20

010

00

1/411/4 0 9/4 0 5/4 2 0 1/4

Baíng âån hçnh thæï 3, vç coï , nãn noï laì baíng âån hçnh täúi æu, trong âoï theo âënh lyï trãn ta âæåüc : * Phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn âaî cho (2 , 0 , 1/4).

*

Bàòng lyï thuyãút âäúi ngáùu trong quy hoaûch tuyãún tênh ngæåìi ta âaî tçm ra âæåüc caïc thuáût toaïn giaíi mäüt säú låïp baìi toaïn quan troüng trong kinh tãú nhæ : “phæång phaïp thãú vë -potential method“ giaíi baìi toaïn váûn taíi noïi riãng, giaíi caïc baìi toaïn phán phäúi täúi æu noïi chung, “ phæång phaïp nhán tæí - method of multipliers “ giaíi baìi toaïn saín xuáút âäöng bäü vaì hån thãú næîa giaíi caïc baìi toaïn cán âäúi täúi æu.II.5.2. YÏ NGHÉA KINH TÃÚ:

Nguyãn tàõc thaình láûp baìi toaïn âäúi ngáùu coï tênh “âäúi khaïng”, nghéa laì âiãöu kiãûn cuía baìi toaïn naìy “ chàût cheî” thç baìi toaïn kia “loíng leío” hån. Chàóng haûn, våïi tæång æïng raìng buäüc dáúu “=” trong baìi toaïn gäúc laì sæû tæû do vãö dáúu trong baìi toaïn âäúi ngáùu vaì ngæåüc laûi.

Trong âënh lyï vãö âäü lãûch buì, nãúu thaình pháön phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn naìy dæång ( > 0) thç âiãöu kiãûn raìng buäüc tæng æïng cuía baìi toaïn kia laì dáúu “=”. Caïc tênh cháút âäúi ngáùu noïi trãn âæåüc æïng duûng trong viãûc phán têch caïc baìi toaïn kinh tãú vaì âæåüc minh hoaû trong caïc vê duû sau âáy:

ng d

UXeït baìi toaïn láp kãú hoaûch saín xuáút:

Trong mäüt chu kç saín xuáút mäüt doanh nghiãûp sæí duûng m loaûi nhán täú saín xuáút khaïc nhau âãø saín xuáút ra n loaûi saín pháøm khaïc nhau E1, E2 ,...En. Tiãöm nàng vãö caïc nhán täúï saín xuáút náöy cuía doanh nghiãûp laì coï haûn cho båíi vectå b= (b1, b2,..,bm)T .

Biãút ràòng âãø saín xuáút ra mäüt âån vë saín pháøm Ej (våïi j =1,2,...n) cáön chi phê hãút aij âån vë nhán täú saín xuáút thæï i (våïi i =1,2,...m) , låüi nhuáûn khi baïn saín pháøm cho båíi vectå

c = (c1, c2,..,cn)T. Váûy doanh nghiãûp cáön phaíi láûp kãú hoaûch saín xuáút bao nhiãu âãø khäng bë âäüng vãö tiãöm nàng caïc nhán täú saín xuáút vaì thu âæåüc låüi nhuáûn låïn nháút. Goüi x1, x2 , ...,xn láön læåüt laì säú saín pháøm E1,E2,...,En ( trong kãú hoaûch cáön saín xuáút )Theo baìi ra ta coï mä hçnh toaïn hoüc nhæ sau: Tçm x = (x1,x2,...,xn) thoaí maîn

f(x) = c1 x1 + c2 x2 +... + cnxn max Báy giåì, ta xeït baìi toaïn khaïc âäúi våïi doanh nghiãûp âoï , laì baìi toaïn mua nguyãûn liãûu dæû træî cho viãûc saín xuáút caïc saín pháøm noïi trãn.

BTSX

Doanh nghiãûp cáön mua caïc loaûi nguyãn liãûu i (i =1,2,..,m) våïi nhu cáöu bi. Haîy láûp kãú hoaûch mua caïc loaûi nguyãn liãûu sao cho:

a) Täøng säú tiãön mua nguyãn liãûu laì nhoí nháút .b) Säú tiãön chi phê cho mäùi âån vë saín pháøm j (j =1,2,..n) khäng

væåüt quaï giaï trë cuía saín pháøm âoï.Goüi yi (i=1,2,..,m) laì âån giaï cuía nguyãn liãûu loaûi i.

Täøng tiãön mua nguyãn liãûu:

Säú tiãön chi phê nguyãn liãûu cho saín pháøm j (j =1,2,..n) :

Nhæ váûy, baìi toaïn láûp kãú hoaûch mua nguyãn liãûu âæåüc phaït biãø nhæ sau:

Roî raìng, BTSX vaì BTMN laì càûp baìi toaïn âäúi ngáùu. Goüi vaì láön læåüt laì phæång aïn täúi æu cuía caïc baìi toaïn BTSX vaì BTMN . Theo tênh cháút trong lyï thuyãút âäúi ngáùu ta coï:

Nãúu coï thç ta coï nghéa laì: nãúu saín

pháøm thæï j âæåüc saín xuáút thç säú tiãön chi phê nguyãn liãûu cho mäüt âån vë saín pháøm bàòng giaï trë cuía saín pháøm âoï.

Nãúu coï thç ta coï nghéa laì: loaûi nguyãn

liãûu naìo mua thç phaíi sæí duûng hãút.

BTMN

BAÌI TÁÛP Lập bài toán đối ngẫu của các bài toán sau: 1. Tçm x= (x11; x12; x13; x21; x22; x23)

(1)

(2)

(3) f(x) = 5x11+7x12+2 x13+ 4x21+3x22+ 6x23min.Hæåïng dáùn vaì âaïp säú: Âãø dãù tháúy vaì dãùváûn dung âën nghéa ta âàût:x1=x11, x2=x12 x3=x13 x4=x21 x5=x22 x6=x23 thãú vaìo baìi toaïn âæa vãö daûng quen thuäüc ( aïp duûng âënh nghéa ) ta âæåïc baìi toaïn âäúi ngáùu cáön láûp 2. Cho baìi toaïn gäúc thoía : (1) , (2) (P)

(3)

Láûp baìi toaïn âäúi ngáùu vaì tçm phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn âäúi ngáùu naìy.

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú: Âæa baìi toaïn vãö daûng chênh tàõc ( thãm caïc áøn phuû vaì raìng buäüc 1 vaì 3)Aïp dung càûp baìi toaïn âäúi ngáùu khäng âäúi xæïng.Giaíi (P) bàòng phæång phaïp âån hçnhSau khi thãm vaìo baìi toaïn âaî cho (baìi toaïn gäúc) 2 áøn säú phuû x5 cho báút phæång trçnh thæï nháút vaì x6 cho báút phæång trçnh thæï 3, baìi toaïn gäúc luïc naìy coï daûng chênh tàõc våïi så âäö Tucher laì :

(P)(Â)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 =

x1

y2

y3

112

1 11

1 11

010

100

001

152718

2 1 0 1 0 0 ->max

f->minTæì âoï baìi toaïn âäúi ngáùu cuía noï laì : Tçm thoía : (1) , , tuyì yï (2) (Â)

(3) b/ Tçm phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn âäúi ngáùu (Â). Roî raìng laì baìi toaïn âäúi ngáùu (Â) khäng giaíi âæåüc bàòng phæång phaïp âån hçnh, nãn : - Træåïc tiãn ta giaíi baìi toaïn gäúc (P) : sau 2 baíng âån hçnh ta âæåüc baíng âån hçnh täúi æu laì :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

2 1 0 1 0 0x1 x2 x3 x4 x5 x6

002

x5

x3

x1

121215

001

210

010

1/3 2/3 1/3

100

2/31/3 1/3

30 0 1 0 5/3 0 2/3

(15 , 0 , 12 , 0)- Theo âënh lyï âäúi ngáùu, ta coï :

* våïi (a)

* våïi (b)

coìn vç :

(c)

(d)

(e)Tæì âoï ta âæåüc hãû phæång trçnh taûo båíi caïc phæång trçnh (a) , (b) vaì (c). Giaíi hãû gäöm (a,b,c) ta âæåüc :

coìn :

thoía caïc âiãöu kiãûn (d) vaì (e), våïi

.

3. Cho baìi toaïn gäúc thoía : (1) dáúu báút kyì , (2)

(3)

Haîy láûp vaì giaíi baìi toaïn âäúi ngáùu vaì tçm phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn gäúc âaî cho.Hæåïng dáùn vaì âaïp säú:

(P)

(Â)

x1 x2 x3 x4

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

0030110

012

4000

10000

10

0010011

1 1

1 3

1 1 3

= 6 10 0 6 F

ta âæåüc baìi toaïn âäúi ngáùu tæång æïng laì : Tçm thoía :

(1) (2) (3)

Låìi giaíi nháûn âæåüc sau 3 baíng âån hçnh våïi baíng âån hçnh täúi æu laì:

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

1 1 1 3 1 1 3y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7

11 11

y3

y2

y1

y6

01066

0010

0100

1000

0 4

00

1/22/21/21/2

0001

1/22/23/23/2

10 0 0 0 7 1/2 0 3/2 Suy ra (6 , 10 , 0 , 0 , 0 , 6 , 0).

Tæì âoï : * våïi (a)

* våïi (b)

* våïi (c)

* våïi (d)

ta âæåüc hãû 4 phæång trçnh (a) , (b) , (c). Giaíi hãû ta coï :

, , vaì

Váûy våïi

4. Duìng phæång phaïp âäúi ngáùu giaíi baìi toaïn LP : Tçm thoía : (1) , (2)

(3)

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú:

4. , 0 , Tæì baìi toaïn âaî cho (baìi toaïn gäúc) våïi baíng så âäö

Tucher :(P)

(Â)x1 x2 x3

y1

y2

y3

234

145

342

876

78 85 60f ->min

Ta âæåüc baìi toaïn âäúi ngáùu (Â) cuía noï laì : Tçm thoía : (1) , , (2)

(3) Låìi giaíi cuía baìi toaïn âäúi ngáùu (Â) sau 3 baíng âån hçnh våïi baíng âån hçnh täúi æu laì :

Hãû säú

Áøn cå

baín

Phæång aïn

8 7 6 0 0 0y1 y2 y3 y4 y5 y6

608

y3

y5

y1

57/413/442/4

001

1/817/810/8

100

3/813/8 2/8

010

1/43/42/4

678/4 0 30/8 0 2/8 0 10/4 Theo yï nghiaî toaïn hoüc cuía lyï thuyãút âäúi ngáùu ta suy ra :

* Phæång aïn täúi æu cuía baìi toaïn âaî cho , 0 , .

* .

BÀI TẬP BỔ SUNG CHƯƠNG 2Bài 1. Cho baìi toaïn gäúc thoía : (1) ,

(2)

(P)

(3)

a) Hãy giải bài toán bài phương pháp đơn hình

b) Hãy lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và xét tính tối ưu của vectơ

đối với bài toán đối ngẫu đó.

Bài 2. Cho baìi toaïn gäúc thoía :

(1) ,

(2)

(P)

(3)

a) Hãy giải bài toán bài phương pháp đơn hìnhb) Hãy lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm PATU của nó.

Bài 3. Cho baìi toaïn gäúc thoía :

(1) ,

(2)

(P)

(3)

a) Hãy giải bài toán bài phương pháp đơn hình tìm PATƯ x0(nếu có). b) Hãy lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên

và tìm PATU của nó.c) Chứng tỏ x0 không duy nhất, viết biểu thức mô tả tập phương án tối ưu của

(P). Tìm phương án tối ưu có thành phần x3=28.Bài 4.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P):

Tìm

a) Giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình? Phương án tối ưu x0 vừa tìm được có duy nhất không? Tại sao?

b) Gọi (D) là bài toán đối ngẫu của bài toán (P). Hãy lập bài toán (D).

Từ phương án tối ưu x0 hãy xác định phương án tối ưu của (D). Bài 5. Một xí nghiệp có thể sản xuất 3 loại sản phẩm ký hiệu la: A, B, C. Định mức hao phí nguyên liệu, vốn, lao động (quy ra giờ công) và lợi nhuận thu được tính cho một đơn vị sản phẩm mỗi loại cho trong bảng sau:

Sản phẩm Nguyên liệu(kg)

Vốn Lao động(giờ công)

Lợi nhuận(1000đ)

A 2 1 4 2

B 3 3 8 3

C 3 5 1 5

Mức huy động tối đa

150 120 100

Xí nghiệp sẽ sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại sao cho trong phạm vi số nguyên liệu, vốn, giờ công huy động được, xí nghiệp đật lợi nhuận cao nhất.

a) Lập mô hình bài toán LP.b) Giải bài toán tìm phương án tối ưuc) Tìm lời giải tối ưu của bài toán đối ngẫu

Bài 6. Cho bài toán LP:

f(x1, x2) = 15x1 + 15x2 → max

x1 + x2 ≤ 5

x1 + 2x2 ≥ 2

x1 – x2 ≤ 2

x2 ≤ 3

x1, x2 ≥ 0

a) Giả bài toán trên tìm phương án tối ưu. Tìm lời giả tối ưu khác (nếu có).

b) Viết bài toán đối ngẫu và tìm lời giải tối ưu.

Bài 7. Cho bài toán LP:

f(x) = 2x1 + 2x2 + 4x3 – mx4 + x5 → min

2x1 + x2 + 4x3 = 6

x1 + x3 + x4 = 8

x1 + x3 + x5 = m2 + 1

xj ≥ 0; j = 1, 2, 3, 4, 5.

1. Trường hợp m = 1

a) Tìm phương án tối ưu của bài toán (LP).

b) Viết bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu tương ứng và tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.

2. Xác định m để x0 = (0, 0, 3/2, 13/2,1/2) là phương án tối ưu của bài toán (LP).Hướng dẫn:

1.a) Bài toán (LP) có dạng chuẩn. Lập 2 bảng đơn hình ta được phương án tối ưu và giá trị tối ưu là:

x0 = (0, 0, 3/2, 13/2,1/2), fmin = 0

1. b) Bài toán đối ngẫu của bài toán (I) là:

g(y) = 6y1 + 8y2 + 2y3 → max

2y1 + y2 + y3 ≤ 2

y1 ≤ 2

4y1 + y2 + y3 ≤ 4

y2 ≤ -1

y3 ≤ 1.

Dùng định lí độ lệch bù yếu ta tìm được phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là: y0 = (1, -1, 1).

2. Để x0 = (0, 0, 3/2, 13/2, 1/2) là một phương án của bài toán (LP) thì x0 thỏa mãn 8 ràng buộc của (I), do đó ta có điều kiện:

m = ± 1 (1)

Bài toán đối ngẫu (D) của bài toán (I) là:

g(x) = 6y1 + 8y2 + (m2- 1)y3 → max

2y1 + y2 + y3 ≤ 2

y1 ≤ 2

4y1 + y2 + y3 ≤ 4

y2 ≤ -1

y3 ≤ 1.

Nếu x0 là phương án tối ưu của bài toán (LP) thì theo định lí độ lệch bù yếu ta cố hệ phương trình sau:

4y1 + y2 + y3 = 4

y2 = -m

y3 = 1.

Hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất là:

= (m+3)/4, = -m, =1.

Thế nghiệm trren vào 2 ràng buộc còn lại của bài toán (D) ta có điều kiện: 1≤ m ≤ 5 (2)

Như vậy, để y0 = ((m+3)/4, -m, 1) là phương án tối ưu của bài toán (D) và x0 là phương án tối ưu của bài toán (D) thì các điều kiện (1) và (2) phải thỏa mãn. Nghĩa là điều kiện để x0 là phương án tối ưu của bài toán (LP) là m = 1.

QUYÃÚT ÂËNH TÄÚI ÆU CHO BAÌI TOAÏN VÁÛN TAÍI .

§1. THAÌNH LÁÛP BAÌI TOAÏN VÁÛN TAÍI 1.1. Daûng baìi toaïn. Coï âëa âiãøm cuìng saín xuáút mäüt loaûi haìng hoaï våïi læåüng haìng tæång æïng laì: . Coï nåi tiãu thuû våïi caïc yãu cáöu tæång æïng laì: .Âãø âån giaín ta goüi Ai laì traûm phaït thæï i ( i =1,...,m) Bj laì traûm thu thæï j (j = 1,...,n).Haìng coï thãø chåí tæì mäüt traûm phaït báút kyì ( A i) âãún mäüt traûm thu báút kyì ( Bj).Kê hiãûu cij laì chi phê chuyãn chåí mäüt âån vë haìng tæì traûm phaït (A i) âãún traûm thu (Bj)

. Haîy tçm mäüt kãú hoaûch váûn chuyãøn haìng trãn âëa baìn naìy sao cho :

Thoía maîn nhu cáöu thu phaït: caïc traûm phaït hãút læåüng haìng kãú hoaûch (âæåüc giao âãø phaït âi), caïc traûm thu âáöy âuí læåüng haìng âæåüc yãu cáöu chuyãøn âãún. Täøng chi phê váûn chuyãøn nhoí nháút.1.2 .Xáy dæûng mä hçnh toaïn hoüc:

Goüi ; laì læåüng haìng váûn chuyãøn tæì âãún . Âiãöu kiãûn: , ; ( nãúu khi phaït haìng cho ; nãúu khi khäng phaït haìng cho ).

Tçm

thoía maîn:

(1) , ;

(2) (täøng læåüng haìng phaït âi tæì traûm ) ,

(täøng læåüng haìng chuyãøn âãún traûm ) ,

(1.1)

(3) (täøng chi phê váûn chuyãøn)

Ta tháúy: coï thãø xaíy ra 3 træåìng håüp trong mäúi quan hãû giæîa täøng khaí nàng cung cáúp haìng cuía caïc traûm phaït Ai ( ) vaì täøng nhu cáöu haìng cuía caïc traûm thu Bj (

Træåìng håüp 1:

(1.2) goüi laì âiãöu kiãûn cán

bàòng thu phaït (täøng læåüng haìng phaït ra âuïng bàòng täøng læåüng haìng thu åí caïc

âiãøm). Baìi toaïn (1.1) våïi âiãöu kiãûn (1.2) goüi laì BAÌI TOAÏN VÁÛN TAÍI CÁN BÀÒNG THU PHAÏT

Træåìng håüp 2 :

Træåìng håüp 3:

Baìi toaïn váûn taíi thoaí maîn træåìng håüp 2 vaì 3 âæåüc goüi laì baìi

toaïn váûn taíi khäng cán bàòng thu phaït (daûng måí) ma ta seî xeït trong §5 . Âáy laì låïp baìi toaïn phäø biãún trong thæûc tãú. Båíi vç, khäng phaíi luïc naìo caïn cán cung vaì cáöu bàòng nhau maì thay vaìo âoï laì viãûc khäng cán bàòng xaíy ra phäø biãún hån.

§2. BAÌI TOAÏN VÁÛN TAÍI DAÛNG ÂOÏNG (CÁN BÀÒNG THU PHAÏT)

2.1. Mä hçnh toaïn hoüc cuía baìi toaïn váûn taíi cán bàòng thu phaït: (1) , ;

(2) (täøng læåüng haìng phaït âi tæì traûm ) ,

(täøng læåüng haìng chuyãøn âãún traûm ) ,

(1.1)

(3) (täøng chi phê váûn chuyãøn)

våïi

Baìi toaïn váûn taíi coìn phaït biãøu dæåïi daûng baíng:2.2. Baíng váûn taíi : (II.1)

ThuPhaït

. . .

. . .

. . .

. . .

. . . . . . . . .

. . .

2.3. Mäüt säú âënh nghéa khaïc: Mäüt ä maì goüi laì ä sæí duûng (ä choün). Mäüt phæång aïn maì táûp caïc ä sæí duûng khäng coï voìng, thç goüi laì phæång aïn cå baín (vãö màût hçnh hoüc thç âoï laì phæång aïn cæûc biãn (extreme alternative) cuía miãön phæång aïn cuía BAÌI TOAÏN VÁÛN TAÍI). Ta coï caïc phæång phaïp xaïc âënh phæång aïn cå baín âæåüc xeït åí tiãút sau. Mäüt táûp con caïc ä cuía baíng váûn taíi daûng :

ä , ä , ä ,(i2 ,i3) . . . , ä ähoàûc ä , ä , ä ,(i3 ,i2) . . . , ä ägoüi laì mäüt dáy chuyãön(-path) trong baíng váûn taíi.

{Mäùi càûp caïc ä liãön nhau trong dáy chuyãön âæåüc xãúp trong mäüt haìng hoàûc trong mäüt cäüt

Khäng coï 3 ä liãn tiãúp naìo nàòm trãn cuìng haìng hay trãn cuìng cäüt.}

Mäüt dáy chuyãön âæåüc goüi laì kên hay mäüt chu trçnh ( cycle) nãúu khi ä âáöu vaì ä cuäúi cuía dáy chuyãön nàòm trãn cuìng mäüt haìng hoàûc nàòm trãn cuìng mäüt cäüt .

Chàóng haûn : Våïi baíng váûn taíi 4 haìng 5 cäüt naìy thç :

Táûp caïc ä (2,1) , ä (2,3) , ä (1,3) , ä (1,4) , ä (3,4) ,ä (3,5) , ä (4,5) , ä (4,3) vaì ä (3,3) laì mäüt dáy chuyãön.

Goüi G = {(i,j) \ xij > 0}, N laì säú pháön tæí cuía táûp G ( cåî cuía táûp G). Mäüt phæång aïn x cuía baìi toaïn âæåüc goüi laì phæång aïn khäng suy biãún(suy thoaïi _ nondegenerate alternative) nãúu . Phæång aïn x goüi laì phæång aïn suy biãún nãúu . Chuï yï: (Caïch khàõc phuûc phæång aïn suy biãún)

Trong træåìng håüp bë suy biãún, ta bäø sung cho táûp G cuía x thãm mäüt säú ä, choün trong säú caïc ä khäng sæí duûng, goüi laì caïc “ ä choün 0 “ (vç caïc ä naìy âãöu coï ),sao cho phæång aïn cå baín âuí ä khäng voìng. Caïc ä khäng choün goüi laì caïc ä loaûi cuía phæång aïn.2.4. Tênh cháút: Tênh cháút 1: Baìi toaïn váûn taíi cán bàòng thu phaït (1.1) bao giåì cuîng coï phæång aïn täúi æu.

Tênh cháút 2: Ma tráûn hãû säú A cuía hãû phæång raìng buäüc (1.1) coï rank(A) =

m +n -1. Do âoï hãû (1.1) chè coï (m+n -1) phæång trçnh âäüc láûp tuyãún tênh. Váûy phæång aïn cæûc biãn coï nhiãöu nháút m+n -1 thaình pháön dæång. noïi caïch khaïc säú læåüng xij > 0 bàòng m+n-1. Säú coìn laûi âãöu bàòng 0. Tênh cháút 3. (Vãö voìng caïc ä trong baíng váûn taíi.)

Âënh lyï 1: Nãúu baíng váûn taíi coï haìng cäüt , thç cåí cuía táûp håüp caïc ä

coï thãø khäng coï voìng, låïn nháút laì ä. ÅÍ âáy cåí cuía táûp håüp laì säú læåüng pháön tæí cuía táûp håüp (nãúu laì táûp hæîu haûn). Hãû quaí: Nãúu cåí cuía táûp håüp caïc ä trong baíng váûn taíi låïn hån ä thç táûp áúy àõt phaíi coï voìng. Kyï hiãûu laì cåí cuía mäüt táûp håüp caïc ä trong baíng váûn taíi. Ngæåìi ta chæïng minh âæåüc ràòng : Nãúu thç táûp håüp âoï coï voìng. Goüi laì táûp håüp ä khäng coï voìng trong baíng váûn taíi ( haìng, cäüt). Báy giåì ta thãm vaìo mäüt ä (táút nhiãn khäng phaíi cuía , ta âæåüc mäüt táûp ä laì {ä }, theo hãû quaí, coï mäüt voìng duy nháút.

§3 PHÆÅNG PHAÏP TÇM PHÆÅNG AÏN CÅ BAÍN 3.1. Phæång phaïp cæûc tiãøu cæåïc phê (the least -cost method). Ta choün ä ( k,r) laìm ä sæí duûng âáöu tiãn sao cho: , ; )

Ta phán vaìo âoï mäüt læåüng haìng låïn nháút coï thãø âæåüc : * Nãúu , thç . Traûm phaït phaït hãút haìng nãn thoía maîn. Caïc ä trãn haìng thæï khäng coìn âæåüc sæí duûng âãø váûn chuyãøn haìng cho caïc , . Baíng váûn taíi luïc naìy thæûc tãú coìn

haìng vaì cäüt âæåüc sæí duûng. * Nãúu , thç . Traûm thu nháûn âuí haìng nãn thoía maîn. Tæång tæû nhæ trãn caïc ä trãn cäüt thæï khäng coìn sæí duûng âæåüc. Baíng váûn taíi luïc naìy thæûc tãú coìn haìng vaì cäüt âæåüc sæí duûng. * Nãúu , thç hoàûc . Hai traûm vaì âãöu âæåüc thoía maîn. Baíng váûn taíi luïc naìy thæûc tãú coìn laûi haìng vaì cäüt. Âäúi våïi caïc “ baíng váûn taíi coìn laûi “ (tæïc laì baíng váûn taíi sau khi âaî loaûi boí caïc haìng, cäüt khäng sæí duûng) ta cuîng tiãún haình choün ä sæí duûng vaì phán phäúi haìng váûn chuyãøn giäúng nhæ nguyãn tàõc trãn.

Tiãúp tuûc quaï trçnh naìy cho âãún khi caïc traûm thu, phaït trãn baíng váûn taíi âãöu âæåüc thoía maîn. Cuäúi cuìng ta thu âæåüc X0

Âënh lyï :

Phæång aïn X0 tçm âæåüc theo phæång phaïp giaï cæåïc cæûc tiãøu laì mäüt phæång aïn cå baín.

b/ Vê duû 1 : Giaíi baìi toaïn váûn taíi cho båíi baíng säú :

150 80 180 60 80

50200100200

781344

49629

17101418

541626

8203035

Ta coï: ( cán bàòng thu phaït)

:Nãúu coï nhiãöu ä âaût cæûc tiãøu bàòng nhau thç ta bäú trê theo quy tàõc tæû væîng ( hay bäú trê theo haìng 1,2,3..)

Goüi laì voìng caïc ä trong táûp {ä }. Khi âoï nãúu loaûi boí cuía mäüt ä, giaí sæí laì ä thç táûp gäöm ä coìn laûi khäng coï

voìng.

Baíng váûn taíi cho baìi toaïn:

ThuPhaït

B1 B2 B3 B4 B5

150 80 180 60 80A1 50 7 4 17 5 8

50A2 200 8 9 10 4 20

140

60

A3 100 13 6 14 16 3010 30 60

A4 200 44 29 18 26 35120

80

Giaíi thêch : Bàòng phæång phaïp giaï cæåïc cæûc tiãøu ta tháúy : ; )

nãn ta choün ä (1,2) vaì ä (2,4) laìm caïc ä sæí duûng âáöu tiãn vaì thæï 2. Ta phán bäú vaìo ä (1,2) mäüt læåüng haìng laì (âoï laì læåüng haìng låïn nháút coï thãø phán phäúi âæåüc) vaì phán vaìo ä (2,4) læåüng haìng

. Sau khi loaûi boí caïc ä khäng sæí duûng vaì bàòng phæång phaïp giaï cæåïc cæûc tiãøu ta choün tiãúp :

ä (3,2) laìm ä sæí duûng thæï 3 våïi âån vë haìng ä (2,1) laìm ä sæí duûng thæï 4 våïi âån vë haìngä (3,1) laìm ä sæí duûng thæï 5 våïi âån vë haìngä (3,3) laìm ä sæí duûng thæï 6 våïi âån vë haìng

ä (4,3) laìm ä sæí duûng thæï 7 våïi âån vë haìng Vaì cuäúi cuìng ä (4,5) laìm ä sæí duûng thæï 8 våïi âån vë haìng Phæång aïn trong baíng, theo âënh lyï åí trãn laì mäüt phæång aïn cå baín khäng suy biãún (vç , phæång aïn coï âuí 8 ä sæí duûng) Giaï trë haìm muûc tiãu laì :

âån vë tiãön3.2. Phæång phaïp æu tiãn keïp theo giaï cæåïc cæûc tiãøu.Näüi dung: Phæång phaïp âaïnh dáúu : Trãn mäùi haìng thæï ta âaïnh dáúu “V” vaìo ä naìo coï nhoí nháút vaì trãn mäùi cäüt thæï ta cuîng âaïnh dáúu “V” vaìo ä naìo coï nhoí nháút . Nãúu haìng hay cäüt naìo âoï coï nhiãöu ä cuìng thç táút caí caïc ä naìy âãöu âæåüc âaïnh dáúu “V” . Bàòng caïch âaïnh dáúu nhæ váûy trong baíng váûn taíi coï 3 loaûi ä laì : ä coï 2 dáúu “V” kyï hiãûu “W” , ä coï 1 dáúu “V” vaì ä khäng coï dáúu “V” .

Phæång phaïp phán phäúi : Duìng phæång phaïp giaï cæåïc cæûc tiãøu ta æu tiãn phán phäúi haìng váûn chuyãøn cho táûp caïc ä coï dáúu W, sau âoï cho caïc ä coï 1 dáúu V coìn âæåüc sæí duûng vaì cuäúi cuìng cho caïc ä khäng coï dáúu V coìn âæåüc sæí duûng.3.2. Phæång phaïp goïc Táy Bàõc (Northwest -corner method) Näüi dung: Giaí sæí baìi toaïn váûn taíi cho dæåïi daûng baíng (II.1). ta xáy dæûng phæång aïn cuía baìi toaïn bàõt âáöu viãûc chuyãn chåí låïn nháút coï thãø âæåüc tæì traûm phaït thæ nháút âãún traûm thu thæï nháút ( (caïch thæïc naìy goüi laì phæång phaïp goïc táy bàõc)

Âoï laì phæång phaïp tçm ä sæí duûng nhàòm vaìo goïc táy bàõc (ä (1,1) laìm goïc Táy Bàõc vaì laìm ä sæí duûng âáöu tiãn) cuía baíng váûn taíi. Våïi phæång phaïp phán phäúi vaìo caïc ä sæí duûng mäüt læåüng haìng váûn chuyãøn låïn nháút coï thãø âæåüc (giäúng nhæ phæång phaïp giaï cæåïc cæûc tiãøu) nhàòm ngàn chàûn sæû taûo voìng (chu trçnh) cuía táûp håüp caïc ä sæí duûng. Âënh lyï: Phæång aïn âáöu tiãn tçm âæåüc theo phæång phaïp goïc Táy Bàõc laì mäüt phæång aïn cå baín. Vê duû : Xeït vê duû 1, haîy tçm phæång aïn cå baín âáöu tiãn bàòng phæång phaïp goïc táy bàõc.

ThuPhaït

B1 B2 B3 B4 B5

150 80 180 60 80A1 50 7 4 17 5 8

50A2 200 8 9 10 4 20

100

80 20

A3 100 13 6 14 16 30100

A4 200 44 29 18 26 3560 60 80

Nháûn xeït :

Phæång phaïp goïc táy bàõc boí qua âàûc âiãøm cæûc tiãøu cuía giaï cæåïc. Âoï laì mäüt thiãúu soït låïn cuía phæång phaïp goïc táy bàõc xeït theo goïc âäü täúi æu (cæûc tiãøu haìm chi phê váûn chuyãøn). Tuy nhiãn xeït theo viãûc tênh toaïn trãn maïy tênh thç phæång phaïp goïc táy bàõc laì phæång phaïp dãù nháút trong viãûc láûp trçnh tçm phæång aïn cå baín âáöu tiãn cuía baìi toaïn váûn taíi cán bàòng thu phaït.

§4. THUÁÛT TOAÏN THÃÚ VË4.1. Cå såí Toaïn hoüc:

Baìi toaïn âäúi ngáùu cuía baìi toaïn váûn taíi cán bàòng thu phaït. Xeït baìi toaïn váûn taíi (1.1) laì baìi toaïn quy hoaûch tuyãún tênh daûng chênh tàõc

Goüi A laì ma tráûn cuía hãû (2) trong (1.1).

Khi âoï A coï daûng

A =

n 2n mn

Láûp så âäö Tucher cho baìi toaïn (1.1) vaì aïp duûng âënh nghéa baìi toaïn âäúi ngáùu khäng âäúi xæïng, ta thu âæåüc baìi toaïn âäúi ngáùu cuía (1.1) laì:

Tçm càûp våïi : ; thoía : (1) tuyì yï , ; (2) , ;

(3)

Càûp âiãöu kiãûn âäúi ngáùu cuía baìi toaïn váûn taíi cán bàòng thu phaït laì : vaì , ; (1.4) + goüi laì thãú vë haìng thæï ; + goüi laì thãú vë cäüt thæï . Âënh lyï (TIÃU CHUÁØN TÄÚI ÆU): Âãø phæång aïn cuía baìi toaïn váûn taíi cán bàòng thu phaït laì

phæång aïn täúi æu , ; sao cho: 4.2.Thuáût toaïn thãú vë: ( cho baìi toaïn váûn taíi cán bàòng thu phaït) Âæåìng läúi chung:

Láûp phæång aïn cå baín âáöu tiãn. Kiãøm tra xem phæång aïn cå baín âáöu tiãn naìy coï täúi hay chæa? Nãúu chæa thç chuyãøn sang phæång aïn måïi täút hån, cho âãún phæång aïn täút nháút Thuáût toaïn thãú vë giaíi baìi toaïn váûn taíi: Bæåïc 1 : +Láûp baíng váûn taíi. +Tçm phæång aïn xuáút phaït ( phæång aïn cå baín ). Nãúu phæång aïn cå baín náöy khäng suy biãún thç chuyãøn noï sang bæåïc 2; Nãúu laì mäüt phæång aïn cå baín bë suy biãún (phaíi khàõc phuûc âãø âæåüc phæång aïn cå baín khäng suy biãún) sang bæåïc 2. ( xem åí chuï yï_§2) Bæåïc 2 : Tçm thãú vë haìng vaì thãú vë cäüt. + Choün mäüt doìng báút kç (doìng coï nhiãöu ä choün) vaì cho thãú vë doìng tæång æïng ui = 0. + Tçm caïc thãú vë coìn laûi theo cäng thæïc sau âáy:

Âäúi våïi ä choün (xëj >0 ) vj =ui +cij

ui = vj - cë ; + Tênh : , ä laì táûp ä choün khäng voìng. Bæåïc 3: Nãúu , , thç theo âënh lyï täúi æu åí $1, phæång aïn trong baíng váûn taíi laì täúi æu. Coìn nãúu ä trãn táûp ä loaûi, maì taûi âoï , thç cuîng theo âënh lyï täúi æu, phæång aïn trong baíng váûn taíi laì khäng täúi æu ; ta chuyãøn sang bæåïc 4 (vç baìi toaïn váûn taíi luän coï nghiãûm). Bæåïc 4 : Âiãöu chènh phæång aïn cå baín trong baíng váûn taíi thaình mäüt phæång aïn cå baín X1 måïi täút hån.

Âàût kr= max ( ij\ ij>0) goüi ä (k,r) laì ä âiãöu chènh .() Âaïnh säú chàôn leí cho caïc ä thuäüc voìng V, bàõt âáöu tæì ä

âaïnh säú 1, ä tiãúp theo âaïnh säú 2, . . .. Xaïc âënh læåüng âiãöu chènh: ä vë trê säú chàón ( noïi goün chàón) = xpq.() Âiãöu chènh thaình våïi :

trãn caïc ä chàón trãn caïc ä leí (4.2) trãn caïc ä

(Chuï yï loaûi boí âi 1 ä (p,q) trong baíng váûn taíi tiãúp theo khi âoï ta âæåüc X1 ( khäng suy biãún)tråí vãö bæåïc 2. ( )Nãúu khäng duy nháút ( tæïc laì kr = ab =...)thç chon kr nãúu ckr < cab vaì ngæåüc laûi( )Nãúu khäng duy nháút ( tæïc laì xpq= xts =)thç chon = xpq sao cho cpq>cts vaì ngæåüc laûi

-Xaïc âënh nghiãûm-Phæång aïn täúi æu Z(X0)

Thæûc hiãûn âiãöu chènh:X0=(xij)---X1=(x’ij) våïi :

x’ij=

Xaïc âënh ä âiãöu chènh (k,r) bàòng caïch: Tçm max {jj trãn caïc ä (i,j) coï ij>0}= kr

Láûp voìng âiãöu chènh V(k,r), tæì ä (k,r) âaïnh säú cho voìng ((ä(k,r) âaïnh säú 1, âaïnh theo voìng: 2,3...)) .

Tçm læåüng = min{xij taûi caïc ä chàôn thuäüc V(k,r)}

Thäng tin

Kãútthuïc

4.3. MÄÜT SÄÚ VÊ DUÛ AÏP DUÛNG:Vê duû : Giaíi baìi toaïn váûn taíi sau:Coï 4 cå såí saín xuáút màût haìng da giaìy våïi säú læåüng tæång æïng: 50,200,100,200 (táún)Coï 5 cæía haìng tiãu thuû màût haìng naìy våïi læåüng haìng yãu cáöu tæång æïng laì: 150,80,180,60,80 (táún).Âån giaï váûn chuyãøn tæì cå såí i âãún cæía haìng tiãu thuû j ( i=1..4;j=1..5) laì

nghçn âäöng /táún

Haîy láûp kãú hoaûch phán phäúi täúi æu.Giaíi:

Bæåïc làûp 1:Âáy laì baìi toaïn daûng cán bàòng thu phaïtChuyãøn baìi toaïn vãö daûng baíng, duìng phæång phaïp giaï cæåïc cæû tiãøu phán phäúi haìng (âãø coï phæång aïncå baín âáöu tiãn X0 ( Âáy laì phæång aïn cå baín khäng suy biãún vç coï âuí 9 ä sæí duûng (m+n-1=4+5-1)). Ta coï :Baíng 1

ThuPhaït

B1 B2 B3 B4 B5

150 80 180 60 80A1 50 7 4 17 5 8 -6

50 0

50

A2 200 8 9 10 4 20 -9140

60

A3 100 13 6 14 16 30 -410 30

8060 10

A4 200 44 29 18 26 35 0120 170

80 30

17 10 18 13 35 ui

vj

Ta tiãún haình tçm hãû thãú vë . Bàòng caïch cho vaì våïi quy tàõc tçm : khi âaî biãút ä khi âaî biãútta thu âæåüc: (tæì ä choün (4,3)) ;

( tæì ä choün (4,5); ( tæì ä choün (3,3) ) (ä choün (3,2) ) ( ä choün (3,1) ) (tæì ä choün (2,1)) (ä choün (2,4) )

vaì .( tæì ä choün (1,2) ).Tênh :

Kiãøm tra phæång aïn ta tháúy , nãn khäng täúi æu. Âiãöu chènh phæång aïn : + Vç max (4 , 2 , 21 , 6 , 1) = 21 = , nãn ä (1,5) âæåüc choün laìm ä âiãöu chènh phæång aïn . + Våïi ä (1,5) ta âæåüc voìng âiãöu chènh V nhæ trong baíng.

+Voìng V=V(1,5) := {(1,5), (5,4),(4,3),(3,3),(3,2),(2,1),(1,2)}

+ Âaïnh säú cho voìng V (taûi ä (1,5) âaïnh säú 1, vaì tiãúp tuûc âaïnh säú tàng dáön theo voìng)

+ Våïi ä åí vë trê chàón ) = min (50 , 60 , 80) = 50 = ta loaûi ä (1,2) khoíi hãû ä choün cuía phæång aïn måïi âãø nháûn vaìo âoï ä (1,5) laìm ä choün.Thæûc hiãûn âiãöu chènh ta âæåïc baíng váûn taíi måïi ( Phæång aïn måïi)Bæåïc làûp 2:

Baíng 2

7 4 17 5 8 -2750

8 9 10 4 20 -9140 130

60 10

13 6 14 16 30 -410 20

80 10 0

44 29 18 26 35 0170 180

30 20

17 10 18 13 35Sau khi kiãøm tra hãû ä choün tháúy âuí ä, ta xáy dæûng hãû thãú vë , ; ) vaì thæûc hiãûn kiãøm tra täúi æu phæång aïn

cå baín . Váùn choün vaì vç ràòng , nãn khäng täúi æu. Tiãún haình âiãöu chènh ta âæåüc :Bæåïc làûp 3: Baíng 3

7 4 17 5 8 2750

8 9 10 4 20 15130 60 10

13 6 14 16 30 1020 80

44 29 18 26 35 0180 20

23 16 18 19 35 Baíng váûn taíi thæï 3 : Vç , ; nãn baíng váûn taíi thæï 3 naìy laì baíng váûn taíi täúi æu. Dæûa vaìo âoï ta láûp kãú hoaûch váûn chuyãøn : + Traûm (50 âån vë haìng) (50 âån vë) våïi 8 50 = 400 âån vë cæåïc phê. (130 âån vë) våïi 8 130 = 1040âån vë cæåïc phê. + Traûm (200 âån vë haìng) (60 âån vë) våïi 4 60 = 240 âån vë cæåïc phê. (10 âån vë) våïi 20 10 = 200 âån vë cæåïc phê. + Traûm (100 âån vë haìng) (20 âån vë) våïi 13 20 = 260 âån vë cæåïc phê. (80 âån vë) våïi 6 80 = 480 âån vë cæåïc phê. + Traûm (200 âån vë haìng) (180 âån vë) våïi 18 180 = 3240 âån vë cæåïc phê.

(20 âån vë) våïi 35 20 = 700 âån vë cæåïc phê. Täøng chi phê váûn chuyãøn cuía kãú hoaûch âån vë cæåïc phê. Âoï laì giaï thaình váûn chuyãøn nhoí nháút cuía kãú hoaûch naìy.

Chuï yï: Vç åí âáy (ui,vj) tuyì yï nãn viãûc viãút ui+ vj <=cij (1)hay ui- vj <=cij (2)

cuîng âæåüc trong baìi toaïn âäúi ngáùu. Vaì theo kinh nghiãûm nãúu aïp duûng (2) vaì cho u i = 0 ( våïi haìng i

âæåüc bäú trê sau cuìng ( tæïc laì c ij tæång âäúi låïn thç viãûc xaïc âënh hãû thãú vë khäng ám ) traïnh âæåüc caïc ruîi ro âaïng tiãúc xáøy ra trong quaï trçnh tênh toaïn. Chênh vç thãú, trong giaïo trçnh naìy coï luïc taïc giaí giaíi theo 2 caïch ( 1) vaì (2) nhæng kãút quaí täúi æu váùn khäng âäøi)

§5. BAÌI TOAÏN VÁÛN TAÍI DAÛNG MÅÍI. Baìi toaïn váûn taíi khäng cán bàòng thu phaït:

* Træåìng håüp 1 : Khi

Khi âoï daûng cuía baìi toaïn váûn taíi laì : Tçm thoía : (1) , ;

(2) ,

,

(3)

Thuáût toaïn giaíi baìi toaïn váûn taíi khäng cán bàòng thu phaït gäöm::

Bæåïc 1 :

a/ Âæa baìi toaïn váûn taíi âaî cho vãö baìi toaïn váûn taíi cán bàòng thu phaït bàòng caïch thãm mäüt traûm thu phuû coi nhæ âãø nháûn læåüng haìng phaït thæìa :

laì våïi vaì våïi , .

b/ Sau âoï láûp baíng vaì tçm phæång aïn cå baín âáöu tiãn :

* Phán phäúi vaìo caïc ä chênh træåïc.

* Phán phäúi vaìo caïc ä phuû sau, khi caïc ä chênh âãöu khäng âæåüc sæí duûng vaì haìng váûn chuyãøn coìn thæìa. Bæåïc 2 , 3 vaì 4: giäúng nhæ åí thuáût toaïn thãú vë Vê duû 1 : Giaíi baìi toaïn váûn taíi cho båíi baíng säú :

30 40 30

70405020

6875

4351

5262

Giaíi :

Vç ràòng :

nãn ta thu thãm mäüt traûm thu phuû våïi vaì , . Khi âoï cuìng våïi traûm baìi toaïn tråí thaình baìi toaïn váûn taíi cán bàòng thu phaït. Ta láûp baíng vaì duìng phæång phaïp giaï cæåïc cæûc tiãøu âãø tçm phæång aïn cå baín âáöu tiãn .

ThuPhaït

B1 B2 B3 B4

30 40 30 80A1 70 6 4 5 0 0

30 10 30A2 40 8 3 2 0 1

10 30A3 50 7 5 6 0 0

50A4 20 5 1 2 0 3

206 4 3 0 ui

vj

Våïi hãû thãú vë ; ) ta tháúy , ; , cho nãn baíng váûn taíi cuía phæång aïn cå baín âáöu tiãn laì täúi

æu. Láûp kãú hoaûch váûn chuyãøn : giæî laûi taûi 30 âån vë haìng.

(70 âån vë haìng) (30 âån vë) våïi 6 30 = 180 âån vë cæåïc phê. (10 âån vë) våïi 4 10 = 40 âån vë cæåïc phê (40 âån vë haìng) (10 âån vë) våïi 3 10 = 30 âån vë cæåïc phê. (30 âån vë) våïi 2 30 = 60 âån vë cæåïc phê

(50 âån vë haìng) giæî laûi toaìn bäü taûi . (20 âån vë haìng) (20 âån vë) våïi 1 20 = 20 âån vë cæåïc phê. Täøng chi phê váûn chuyãøn âån vë cæåïc phê.

* Træåìng håüp 2 : Khi

Khi âoï daûng cuía baìi toaïn váûn taíi laì : Tçm thoía : (1) , ;

(2) ,

,

(3)

Våïi mäüt phæång phaïp tæång tæû nhæ åí træåìng håüp 1, åí âáy ta thãm mäüt traûm phaït phuû coi nhæ âãø phaït buì læåüng haìng váûn chuyãøn bë thiãúu :

laì våïi vaì våïi , .

Khi âoï baìi toaïn âaî cho tråí thaình baìi toaïn váûn taíi cán bàòng thu phaït. Ta láûp baíng vaì giaíi.

Vê duû 2 : Giaíi baìi toaïn váûn taíi cho båíi baíng säú :

50 180 150 200 170

100

400

100

100

1

16

4

3

6

10

1

2

8

8

9

7

12

6

11

7

16

15

13

15

Giaíi :

Vç

nãn ta thãm traûm phaït phuû våïi , ta láûp baíng vaì giaíi :

ThuPhaït

B1 B2 B3 B4 B5

50 180 150 200 170A1 100 1 6 8 12 16 0

50 50 50 0

A2 400 16 10 8 6 15 -1130 80

200

70 120

A3 100 4 1 9 11 13 -3100

A4 100 3 2 7 7 15 -280 20

A5 50 0 0 0 0 0 -1650

1 4 9 7 16 ui

vj

1 6 8 12 16 050 50

16 10 8 6 15 080 20

0120

4 1 9 11 13 -2100

3 2 7 7 15 -180 20

0 0 0 0 0 -1550

1 3 8 6 15 ui/

vj/

Baíng váûn taíi thæï 2, vç coï , ; , nãn noï laì baíng váûn taíi täúi æu. Tæì âoï ta tháúy kãú hoaûch phán phäúi vaì váûn chuyãøn haìng våïi giaï thaình váûn chuyãøn nhoí nháút laì khäng thoía maîn cho 50 âån vë haìng. II. Baìi toaïn váûn taíi coï ä cáúm (sæí duûng).

Trong thæûc tãú váûn chuyãøn haìng hoïa coï nhæîng tuyãún âæåìng (âàûc træng båíi caïc ä trong baíng váûn taíi), vç lyï do an toaìn vaì cháút læåüng cuía haìng hoïa trong quaï trçnh váûn chuyãøn, maì cáúm váûn chuyãøn haìng hoïa qua noï.

Âãø caïc ä cáúm khäng gia nháûp vaìo hãû caïc ä sæí duûng cuía báút kyì phæång aïn cå baín naìo cuía baìi toaïn váûn taíi, ngæåìi ta thay cuía ä cáúm bàòng säú tuìy yï låïn. Khi âoï : Caïc ä cáúm khäng

coï màût trong hãû caïc ä sæí duûng cuía phæång aïn cå baín âáöu tiãn tçm âæåüc bàòng phæång phaïp giaï cæåïc cæûc tiãøu hoàûc phæång phaïp æu tiãn keïp. Khi bë suy biãún thç nhåï khäng âæåüc choün ä cáúm âãø bäø sung. Vç ä cáúm coï våïi báút kyì giaï trë naìo cuía nãn caïc ä cáúm khäng råi vaìo hãû caïc ä âiãöu chènh (laì caïc ä ) trong suäút quaï trçnh âiãöu chènh âãø tçm phæång aïn täúi æu. Do âoï khi thay

cuía caïc ä cáúm bàòng säú tuìy yï låïn thç thuáût toaïn giaíi laì giäúng nhæ cuía baìi toaïn váûn taíi thäng thæåìng. Vê duû: Giaíi baìi toaïn váûn taíi cho båíi baíng säú :

Bj

aI

15 10 17 18 15 15

20301525

6123012

520306

103035

76510

89812

204109

trong âoï caïc ä coï laì caïc ä cáúm.

Giaíi: Vç

nãn baìi toaïn váûn taíi âaî cán bàòng thu phaït. Ta láûp baíng vaì giaíi våïi caïc ä cáúm âæåüc thay båíi tuìy yï låïn hoàûc xoïa boí.Baíng 1

ThuPhaït

B1 B2 B3 B4 B5 B6 15 10 17 18 15 15

A1 20 6 5 10 7 8 20 -610

10

A2 30 12 20 30 6 9 4 415

15

A3 15 30 30 3 5 8 10 -215

A4 25 12

6 5 10

12

9 0

5 2 3 15

12 11 5 10 12 8 ui

vj

Baíng 2

6 5 10 7 8 -115

5

12 6 9 4 -415

15

3 5 8 10 -215

12 6 5 10

12

9 0

5 2 3 15

7 6 5 10 12 8 ui

vj

Baíng 3

6 5 10 7 8 -115

5

12 6 9 4 -115

15

3 5 8 10 -212

3

12 6 5 10 12

9 0

5 5 15

7 6 5 7 12 5 ui

vj

Baíng 46 5 10 7 8 4

15

5

12 6 9 4 -115

15

3 5 8 10 -212

3

12 6 5 10 12

9 0

10

5 10

10 6 5 7 12 5 ui

vj

Baíng 5 (laì baíng phán phäúi täúi æu vç )6 5 10 7 8 -2

15

5

12 6 9 4 -115

15

3 5 8 10 -22 3 1

012 6 5 10 12 9 0

10

15

8 6 5 7 10 5 ui

1. (Baìi toaïn âiãöu xe) Cáön váûn taíi mäüt loaûi haìng tæì 3 âiãøm phaït våïi læåüng haìng tæång æïng 80, 30,20 ( âv táún) âãún 3 âiãøm thu våïi læåüng haìng thu tæång æïng laì 40,70, 20 ( âv táún). Biãút khoaíng caïch giæîa âiãøm phaït i ( i =1,2,3) vaì âiãøm thu j ( j =1,2,3) cho båíi ma tráûn

(km)

Haîy láûp kãú hoaûch phán phäúi xe ( khäng haìng vãö âiãøm phaït) chåí haìng âãø: âaïp æïng âuí viãûc phaït hãút haìng (cung) vaì nhu cáöu åí caïc âiãøm thu (cáöu) sao cho täøng xe chaûy laì ngàõn nháút. (Giaí sæí ta khäng quan tám âãún cæåïc chuyãøn haìng)Hæåïng dáùn vaì âaïp säú :

Phaït biãøu baìi toaïn vãö daûng baíng ( 3 haìng vaì 3 cäüt). Aïp duûng phæång phaïp thãú vë giaíi.

Täøng khoaíng caïch ngàõn nháút laì: 730 (km) 2. Mäüt cäng ty váûn taíi cáön chuyãøn maïy vi tênh tæì 4 cäng ty âãún 5 træåìng hoüc.

Säú læåüng haìng trong mäùi cäng ty láön læåüt laì: 60, 50 , 90 , 160 chiãúc Nhu cáöu haìng cuía caïc træåìng hoüc láön læåüt laì: 70, 20, 100, 120 50 chiãúcÂån giaï cæåïc phê váûn chuyãøn tæì cäng ty i âãún træåìng hoüc j (

) láön læåüt laì: 9 5 6 8 10

4 3 15 2 8 7 3 10 41 5 (nghçn âäöng /chiãúc ) 6 14 22 12 18

Haîy láûp kãú hoaûch váûn chuyãøn maïy tênh nhæ thãú naìo âãø: caïc cäng ty baïn hãút maïy vaì caïc træåìng hoüc nháûn âuí maïy vaì täøng cæåïc phê váûn chuyãøn beï nháút.

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú:Chuyãøn baìi toaïn vãö daûng baíng (4 haìng va 5 cäüt).Låìi giaíi täúi æu sau hai 2 baíng biãún âäøi laì:

70 20 100 120 50

60 9 5 6 8 1060

50 4 3 15 2 820 30

90 7 3 10 41 50 40 50

160 6 14 22 12 1870 90

Täøng cæåïc phê êt nháút laì minf =2630 âäöng 3.

200 200 100 100 250

100250200300

102811

7758

410312

16216

411213

Hæåïng dáùn vaì âaïp säú: Láûp baíng váûn taíi dung thuáût toaïn thãú vë giaíi ta thu âæåüc kãút quaí täúi æu ( sau 3 bæåïc âiãöu chènh):

200 200 100 100 250

100 10 7 4 1 40 50 50

250 2 7 10 6 11 Min Z = 415020

050

200 8 5 3 2 2200

300 11 8 12 16 13200

100

4. Âãø chuáøn bë kyí niãûm 30 nàm giaíi phoïng thaình phäú Âaì Nàông, UBND cho pheïp täø chæïc âãm lãù häüi. Âãø chuáøn bë cho âãm lãù, ban täø chæïc cáön cung cáúp mäüt säú thiãút bë tæì 4 cå såí : A1, A2, A3 ,A4 âãún 5 âëa âiãøm täø chæïc lãù häüi : B1, B2, B3, B4 vaì B5Våïi læåüng thiãút bë coï taûi caïc cå såí naìy láön læåüt laì: 200, 90 , 100, 120 (thiãút bë) Nhu cáöu thiãút bë taûi caïc nåi täø chæïc lãù häüi tæång æïng laì: 95, 60, 40, 165,150 (thiãút bë).

Âån giaï cæåïc phê váûn chuyãøn tæì cå såí âãún caïc nåi

täø chæïc lãù häüi láön læåüt laì: 6 6 5 8 22

2 25 7 14 21 4 15 19 17 11 12 19 13 14 12(nghçn âäöng /thiãút bë )

Haîy láûp kãú hoaûch váûn chuyãøn thiãút bë sao cho caïc cå såí phán phäúi hãút thiãút bë, caïc nåi täø chæïc lãù häüi thoaí maîn nhu cáöu vãö thiãút bë , âaïp æïng yãu cáöu cuía ban täø chuïc vaì täøng chi phê váûn chuyãøn beï nháút. Theo ban täø chæïc qui âënh cæåïc phê váûn chuyãøn låïn hån 15 nghçn âäöng thç khäng bäú trê chåí thiãút bë vaì âiãöu âäüng nåi khaïc.

Bài 5.

Có ba cơ sở sản xuất đá dăm và bốn công trường xây dựng. Công suất của từng cơ sở sản

xuất, khả năng tiêu thụ của từng công trường và chi phí vận chuyển (trăm ngàn đồng/m3) giữa

các nơi đó như sau:

Công trường

B1 B2 B3 B4

Cơ sở sản xuất

Nhu cầu(m3)

Công suất(m3)

120 40 70 60

A1 110 18 8 20 18

A2 110 14 24 10 6

A3 70 8 4 16 12

Tìm phương án vận tải tối ưu giữa các cơ sở sản xuất và các công trường.

Bài 6. Có ba cơ sở sản xuất đá dăm và bốn công trường xây dựng. Công suất của từng cơ sở sản

xuất, khả năng tiêu thụ của từng công trường và chi phí vận chuyển (trăm ngàn đồng/m3) giữa

các nơi đó như sau:

Công trường

B1 B2 B3 B4

Cơ sở sản xuất

Nhu cầu(m3)

Công suất(m3)

120 40 70 60

A1 110 18 8 20 18

A2 110 14 24 10 6

A3 70 8 4 16 12

Trong trường hợp chi phí vận chuyên lớn hơn 2,1 triệu/m3 thì không được vận chuyển. Tìm phương án vận tải tối ưu giữa các cơ sở sản xuất và các công trường.