Operace s vektory 2Mgr. Martin Krajíc

15.2.2014

matematika3.ročník

analytická geometrie

Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizaceNad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Název projektu: Moderní škola

Operace s vektory - součinrozlišujeme tři druhy součinu dvou vektorů:

1. skalární součin

2. vektorový součin

3. smíšený součin

Operace s vektory – skalární součinSkalární součin:

!! výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je číslo !!označujeme u.v nebo uvpro skalární součin vektorů u = (u1, u2), v = (v1, v2) platí:

u.v = u1v1 + u2v2

pro skalární součin vektorů u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) platí:

u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Operace s vektory – skalární součinPř: Vypočtěte skalární součin daných vektorů:

a) u = (3, -4), v = (-1, -7)

u.v = u1v1 + u2v2 = 3.(-1) + (-4).(-7) = -3 + 28 = 25

b) u = (2, -9), v = (0, -8)

u.v = u1v1 + u2v2 = 2.0 + (-9).(-8) = 0 + 72 = 72

c) u = ( , ), v = ( , )

u.v = u1v1 + u2v2 = . + .( ) = - =

d) u = (3, -4), v = (8, 6)

u.v = u1v1 + u2v2 = 3.8 + (-4).6 = 24 – 24 = 0

!Skalární součin dvou nenulových vektorů může být roven nule!

Operace s vektory – skalární součinJe-li skalární součin dvou nenulových vektorů roven nule, jsou vektory navzájem kolmé.

Př: Určete, zda jsou vektory v předchozích úlohách kolmé:

cvičení a,b,c – nejsou kolmé cvičení d – jsou kolmé

Př: Určete číslo x tak, aby vektory u,v byly navzájem kolmé:

u = (x, 2, -1), v = (1, -x, 3)

u.v = u1v1 + u2v2 = 0

x.1 + 2.(-x) + (-1).3 = 0

x – 2x – 3 = 0

-x = 3

x = -3

Operace s vektory – úhel vektorůÚhel vektorů:

umístíme-li dva vektory u = PU, v = PV tak, že mají společný počáteční bod, pak velikost konvexního úhlu UPV nazveme úhlem vektorů u, v

V

v U

u

Pmají-li vektory u,v stejný směr, velikost jejich úhlu je rovna 0

Operace s vektory – úhel vektorůpro úhel dvou vektorů existuje vzorec, dokážeme si houmístíme vektory u = PU, v = PV tak, že jejich počáteční bod

leží v počátku soustavy souřadnic, vektor u leží na kladné ose xpro souřadnice vektorů u = (u1, u2) platí:

u1 = ׀u׀, u2 = 0

• pro souřadnice vektorů v = (v1, v2) platí: v1 = ׀v׀.cos, v2 = ׀v׀.sin• pak pro skalární součin vektorů u,v platí: u.v = u1v1 + u2v2

u.v = ׀u׀. ׀v׀cos + 0 . ׀v׀sin u.v = ׀u׀. ׀v׀cos • odtud: cos =

y

v2 V

v P v1 u U x

Operace s vektory – úhel vektorůPř: Vypočtěte velikost úhlu v trojúhelníku ABC, jestliže:

A[0, 1], B[-1, 2], C[1, 3].označíme u = BA, v = BCsouřadnice: u = A – B = (1, -1), v = C – B = (2, 1)velikost: ׀u = ׀ = = ׀v = , ׀skalární součin: u.v = u1v1 + u2v2 = 1.2 + (-1).1 = 2 – 1 = 1vzorec: cos = = = =

= 71,5º

Operace s vektory – samostatná prácePř: Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení):

Seneca: „Špatnostem se lze naučit i ....... učitele.”

1) Vypočtěte skalární součin vektorů u = (1, 0, 1), v = (0, 2, -1).

a) V = 1 b) B = -1

2) Určete vektor v = (v1, v2) tak, aby měl velikost 10 a byl kolmý k vektoru u = (-1, 2).

a) E = (4 , 2 ) b) Í = (4, 2)

3) Vypočtěte velikost úhlu v trojúhelníku ABC, jestliže

A[2, -1, 3], B[1, 1, 1], C[0, 0, 5].

a) Z = 45º b) C = 55º

Operace s vektory – správné řešeníSeneca: „Špatnostem se lze naučit i ............ učitele.”BEZ

Operace s vektory – použitá literaturaPoužitá literatura:

KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009

SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-02-15].