oprasi himpunan
TRANSCRIPT
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 2/24
2.1.3 Himpunan Kosong
Definisi :
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan
kosong diberi simbol Ø atau { }.
Misalkan dalam suatu fakultas sastra, B adalah himpunan mahasiswa yang mengambil
mata kuliah Matematika Diskrit. Maka B = Ø, karena tidak ada mahasiswa fakultas
sastra yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit.
2.1.4 Himpunan Semesta
Definisi :
Anggota-anggota dari semua himpunan yang diamati biasanya merupakan anggota
dari suatu himpunan besar tertentu yang disebut himpunan semesta atau semesta
pembicaraan.
Misalkan dalam suatu fakultas sastra, himpunan A menyatakan mahasiswa yang
berkacamata, maka sebagai himpunan semesta S diambil himpunan semua mahasiswa
fakultas sastra. Maka A = {x∈S | x adalah mahasiswa yang berkacamata}.
2.1.5 Himpunan Bagian
Definisi :
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan, maka A disebut himpunan bagian (subset)
dari B bila dan hanya bila setiap anggota A juga merupakan anggota B. Dalam simbol
matematika ditulis dengan :
A ⊆ B ⇔ ((∀ x) x∈A ⇒ x∈B).
Jika A adalah himpunan bagian B, maka B memuat A (simbol B ⊇
A)
AB
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 3/24
Bila suatu himpunan memuat n elemen, maka jumlah seluruh himpunan
bagiannya adalah 2n. Misalkan f i menyatakan angka yang tampak pada sisi suatu
dadu. Angka pada sisi ini adalah elemen himpunan A = {f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6}. Dalam
keadaan ini, n = 6, maka A mempunyai 26
= 64 himpunan bagian .
2.1.6 Diagram Venn
Seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn menemukan cara untuk
menggambarkan keadaan himpunan-himpunan. Gambar tersebut dinamakan Diagram
Venn. Diagram Venn adalah suatu perwakilan gambar dari himpunan-himpunan
berupa titik-titik dalam bidang. Himpunan semesta S diwakili oleh bagian dalam suatu
persegi, dan himpunan-himpunan yang lain diwakili oleh cakram-cakram dalam
persegi. Himpunan S = {x,y} dapat dinyatakan dengan diagram venn sebagai berikut :
2.2 Operasi Himpunan
2.2.1 Gabungan (union)
Definisi :
Gabungan dua buah himpunan A dan B, dinyatakan dengan BA∪ , adalah himpunan
semua elemen A atau B. BA∪ = {x : x∈A atau x∈B}
Jika dinyatakan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan
BA∪
.
S
X Y
A B
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 4/24
2.2.2 Irisan (Interseksi)
Definisi :
Irisan dua buah himpunan A dan B, dinyatakan dengan BA∩ , adalah himpunan yang
elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan B.
BA∩ = {x : x∈A dan x∈B}
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan
BA∩
2.2.3 Komplemen
Definisi :
Komplemen dari himpunan A, dinyatakan dengan
.
Ac
, adalah himpunan dari elemen-
elemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A.
Ac
= {x : x∈S, x∉A}
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir adalah himpunan
Ac
.
2.2.4 Selisih
Definisi :
Selisih himpunan B dari himpunan A dinyatakan dengan A-B adalah himpunan dari
elemen-elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
A-B = {x : x∈A, x∉B}
A B
A
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 5/24
Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir adalah himpunan
A-B.
2.3 Probabilitas
2.3.1 Definisi
Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu
kejadian yang tidak pasti (uncertain event ). P(A) = 0,99 artinya probabilitas bahwa
kejadian A akan terjadi sebesar 99% dan probabilitas A tidak terjadi adalah sebesar
1%.
Nilai probabilitas dapat dihitung berdasarkan nilai hasil observasi (sifatnya
subyektif) atau berdasarkan pertimbangan pembuat keputusan atau tenaga ahli dalambidangnya secara subyektif.
Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu
diantara nol dan satu. Pernyataan ini dapat dituliskan sebagai ( ) 10 ≥≤ AP , di mana
P(A) menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian A. Sedangkan jumlah
nilai kemungkinan dari seluruh hasil yang mungkin muncul adalah satu. Jadi bila W
menyatakan ruang hasil yang bersifat lengkap maka jumlah kemungkinan seluruh
anggota ruang hasil tersebut adalah satu. Pernyataan ini dapat dituliskan sebagai
( ) 1=∑i
iW P
( )n
X AP =
atau P(W) = 1 di mana Wi menyatakan anggota ruang hasil.
Untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadian adalah dengan cara
mencari banyaknya anggota kejadian, dibandingkan dengan banyaknya anggota ruang
sampelnya.
A B
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 6/24
Contoh :
Di dalam kegiatan pengendalian mutu produk, ada 100 buah barang yang diperiksa,
ternyata ada 15 buah yang cacat atau rusak. Kalau kebetulan di ambil secara acak satu
saja, berapa probabilitasnya bahwa yang di ambil adalah barang yang rusak.
Dari soal diketahui bahwa : n = 100 buah barang
X = 15 buah barang yang rusak
A = barang yang di ambil secara acak
Jadi probabilitas memperoleh barang yang rusak adalah :
( )
n
X AP =
( ) 15,0
100
15==AP
Jika X = 0, berarti tidak ada barang yang rusak,( ) 0
0==
nAP
,kejadian ini disebut
impossible event (tidak mungkin terjadi). Tetapi jika X = n = 100, berarti semua
barang rusak,( ) 1
100
100==AP
1. Bila A dan B mutually exclusive (kejadian yang terpisah), maka :
,kejadian ini disebut sure event (pasti terjadi).
2.4 Kejadian Majemuk
2.4.1 Teorema
( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪
2. Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka :
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪
3. Bila ada K kejadian yaitu A1, A2,…,Ai,…,Ak yang mutually exclusive dan
membentuk kejadian A, maka :
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 7/24
( ) )
( )( )
( ) 1
......
1
21
=
=
∪∪∪∪∪=
∑=
AP
PAP
PAP
k
ii
k i
A
AAAA
4. Bila A dan B independent (bebas), maka :
( ) ( ) ( )BPAPBAP =∩
5. Bila A dan B dependent (tidak bebas), maka :
( )=∩ BAP P(A)P(B|A)
( )=∩ BAP P(B)P(A|B), di mana P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0.
2.5 Probabilitas Bersyarat
2.5.1 Definisi
Peluang terjadinya suatu kejadian A bila diketahui bahwa kejadian B telah terjadi
disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(A|B).
P(A|B) =
( )( )BP
BAP ∩
Sama halnya dengan peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa
kejadian A telah terjadi dan dinyatakan dengan P(B|A).
P(B|A) =
( )( )AP
BAP ∩
Dengan mengkombinasikan kedua persamaan maka diperoleh :
P(A|B)P(B) = ( )BAP ∩ = P(B|A)P(A)
P(A|B) =
( )( )BP
BAP ∩
=
( ) ( )
( )BP
APABP
Dari 100 orang mahasiswa yang mengikuti mata kuliah statistik, 20 orang diantaranya
mendapat nilai A, 30 orang mendapat nilai B, 30 orang mendapat nilai C, dan 20
Contoh :
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 8/24
orang mendapat nilai D. Tetapi ternyata tidak semua mahasiswa tersebut tercatat
secara resmi dalam daftar pengikut mata kuliah tersebut. Perbandingan jumlah
mahasiswa yang terdaftar dan tidak terdaftar dapat dilihat pada tabel berikut :
Tabel 2.1 Daftar Nilai Mata Kuliah Statistik
Nilai Terdaftar (T)Tidak Terdaftar
(T
Jumlah)
A 20 0 20
B 15 15 30
C 25 5 30
D 5 15 20
Jumlah 65 35 100
Pertanyaan :
a. Berapakah kemungkinan seorang mahasiswa yang terdaftar mendapatkan
nilai B ?
b. Berapakah kemungkinan seorang mahasiswa yang mendapatkan nilai C adalah
mahasiswa yang tidak terdaftar ?
Dari pertanyaan (a) kita telah mengetahui bahwa mahasiswa yang dimaksud adalah
mahasiswa yang terdaftar dan menanyakan berapakah kemungkinan seorang
mahasiswa yang terdaftar mendapat nilai B. Sesuai dengan definisi kemungkinanbersyarat, maka maksud dari pertanyaan tersebut adalah berapakah kemungkinan
seorang mahasiswa mendapatkan nilai B bila telah diketahui bahwa ia termasuk
mahasiswa yang terdaftar.
Maka penyelesaiannya adalah :
a. Kemungkinan seorang mahasiswa yang terdaftar mendapat nilai B adalah :
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 9/24
( ) ( )( )
13
3
1006510015
=
=
∩=
T P
T BPT BP
b. Kemungkinan seorang mahasiswa yang mendapat nilai C adalah mahasiswa
yang tidak terdaftar adalah :
( ) ( )( )
6
1
10030
1005
=
=
∩=
C P
C T PC T P
Dari perhitungan di atas maka diperoleh kemungkinan bahwa seorang mahasiswa
yang terdaftar mendapat nilai B adalah sebesar 0,23 atau 23%, sedangkan
kemungkinan bahwa seorang mahasiswa yang mendapat nilai C adalah mahasiswa
yang tidak terdaftar adalah sebesar 0,16 atau 16%.
2.6 Teorema BayesTeorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta presbyterian Inggris pada tahun
1763 yang bernama Thomas Bayes . Teorema Bayes ini kemudian disepurnakan oleh
Laplace. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu
peistiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.
Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A
dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan
syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan
informasi dapat memperbaiki probabilitas.
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 10/24
Misalkan {B1, B2,…,Bn} suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu
sekatan runag sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2 ,…n. Dan misalkan A suatu
kejadian sembarang dalam S dengan P(A) ≠ 0.
( ) )
( )
( ) ( )
( )∑
∑
=
=
=
∩
∩=
n
ii
i
ii
n
i
i
i
i
BAB
BB
B
BB
PP
APP
AP
APAP
1
1
Bukti
( )( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )∑
∑
=
=
=
∩
=
∩++∩+∩
∩=
∩=
n
i
ii
ii
n
i
i
ii
n
i
i
i
BB
BB
B
BB
BBB
B
BB
APP
APP
AP
APP
APAPAP
AP
AP
APAP
1
1
21....
:
Menurut definisi Peluang bersyarat :
Contoh 1:
Di sebuah sekolah terdapat 60% pelajar laki-laki dan 40% pelajar perempuan. Pelajar
perempuan mengenakan pantalon atau rok dalam angka yang sama sedangkan pelajar
laki-laki semuanya mengenakan pantalon. Seorang pengamat melihat seorang pelajar
secara acak dari jauh, mereka semua dapat melihat bahwa pelajar ini mengenakan
pantalon. Berapa peluang bahwa pelajar ini adalah seorang anak perempuan ?
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 11/24
Jelas bahwa peluangnya adalah kurang dari 40%, tetapi seberapa banyak ? Apakah
setengahnya, karena hanya setengah pelajar perempuan yang mengenakan pantalon.
Jawaban yang benar dapat dihitung dengan menggunakan teorema Bayes.
Andaikan kejadian A adalah pelajar yang diamati adalah perempuan, dan
kejadian B adalah pelajar yang diamati mengenakan pantalon. Untuk menghitung
P(A|B), terlebih dahulu kita harus mengetahui :
a. P(A), atau peluang bahwa pelajar adalah seorang anak perempuan dengan
mengabaikan informasi lain. Karena pengamat melihat seorang pelajar secara
acak, maksudnya adalah bahwa semua pelajar mempunyai peluang yang sama
untuk diamati dan peluangnya adalah 0,4.
b. P(A’), atau peluang bahwa pelajar adalah seorang anak laki-laki dengan
mengabaikan informasi lain. A’ adalah peristiwa yang komplementer untuk A.
Peluangnya adalah 0,6.
c. P(B|A), atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan syarat pelajar
itu adalah seorang anak perempuan. Peluangnya adalah 0,5.
d. P(B|A’), atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan syarat pelajar
itu adalah seorang anak laki-laki. Peluangnya adalah 1.
e. P(B), atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan mengabaikaninformasi lain.
Tabel 2.2 Daftar Pelajar
Pelajar Perempuan Pelajar laki-laki Jumlah
Pantalon 20 60 80
Rok 20 0 20
Jumlah 40 60 100
Dengan semua informasi tersebut, maka peluang dari pelajar yang diamati adalah anak
perempuan yang mengenakan pantalon adalah :
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 12/24
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
25,0
6,02,0
2,0
6,014,05,0
4,05,0
''
=
+=
+=
+=
=
AA PBPAPABP
ABPAP
BP
ABPAPBAP
Seperti yang diharapkan bahwa hasilnya kurang dari 40% tetapi lebih dari
setengahnya yaitu 25%.
Contoh 2 :
Seorang ahli geologi dari suatu perusahaan minyak, akan memutuskan melakukan
pengeboran minyak di suatu lokasi tertentu. Diketahui sebelumnya, probabilitas untuk memperoleh minyak, katakan usaha berhasil adalah H sebesar 0,20 dan akan gagal
adalah G, tidak memperoleh minyak sebesar 0,80. Sebelum keputusan dibuat, akan
dicari tambahan informasi dengan melakukan suatu eksperimen yang disebut
pencatatan seismografis (seismographic recording). Hasil eksperimen berupa
diketemukan tiga kejadian yang sangat menentukan berhasil tidaknya pengeboran,
yaitu :
Kejadian R1, tidak terdapat struktur geologis
Kejadian R2, strutur geologis terbuka
Kejadian R3, struktur geologis tertutup
Berdasarkan pengalaman masa lampau, probabilitas dari ketiga kejadian ini
untuk dapat memperoleh minyak yaitu berhasil H, masing-masing sebesar 0,30 ; 0,36
dan 0,34. Sebaliknya untuk tidak memperoleh minyak yaitu gagal G, masing-masing
sebesar 0,68 ; 0,28 dan 0,04. Informasi ini, sebagai hasil eksperimen, merupakan
informasi tambahan yang berguna untuk memperbaiki probabilitas prior.
Jika H = kejadian memperoleh minyak, dan
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 13/24
G = kejadian tidak memperoleh minyak,
Maka hitunglah :
a.
P(R1), atau probabilitas bahwa tidak terdapat strutur geologis.
b. P(R2), atau probabilitas bahwa struktur geologis terbuka.
c. P(R3), atau probabilitas bahwa strutur geologis tertutup.
d. P(H|R1), atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat tidak
terdapat struktur geologis.
e. P(H|R2), atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur
geologis terbuka.
f. P(H|R3), atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur
geologis tertutup.
Jika keadaan tersebut digambarkan dalam pohon kemungkinan maka diperoleh
sebagai berikut :
P(R1
P(H) = 0,20
H) = 0,30
2
P(R
H) = 0,36
3
H) = 0,34
P(R1
P(G) = 0,80
G) = 0,68
2 G) = 0,28
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 14/24
P(R3
a. Probabilitas bahwa tidak terdapat strutur geologis adalah :
G) = 0,04
Gambar 2.1 Diagram Kemungkinan Pengeboran Minyak
P(R1) = P(H)P(R1|H) + P(G)P(R1|G)
= (0,20)(0,30) + (0,80)(0,68)
= 0,060 + 0,544
= 0,604
b. Probabilitas bahwa struktur geologis terbuka adalah :
P(R2) = P(H)P(R2|H) + P(G)P(R2|G)
= (0,20)(0,36) + (0,80)(0,28)
= 0,072 + 0,224
= 0,296
c. Probabilitas bahwa struktur geologis tertutup adalah :
P(R3) = P(H)P(R3|H) + P(G)P(R3|G)
= (0,20)(0,34) + (0,80)(0,04)
= 0,068 + 0,032= 0,100
d. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat tidak terdapat struktur
geologis adalah :
( )( ) ( )
( )
( )( )
099,0
604,0
060,0
604,030,020,0
1
1
1
=
=
=
=R
RR
P
H PH P
H P
e. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis terbuka
adalah :
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 15/24
( )( ) ( )
( )
( )( )
243,0
296,0
072,0
296,0
36,020,0
2
2
2
=
=
=
=
R
RR
P
H PH PH P
f. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis tertutup
adalah :
( )
( ) ( )
( )
( )( )
680,0
100,0
068,0
100,0
34,020,0
3
3
3
=
=
=
=
R
R
R P
H PH PH P
Dalam menghadapi suatu persoalan, pengambil keputusan telah mempunyai
informasi awal, baik itu dalam bentuk subyektif maupun obyektif. Bila informasi awal
ini dirasakan telah memadai, maka keputusan dapat langsung dibuat. Tetapi bila
informasi awal ini dirasakan belum cukup, maka diperlukan suatu usaha untuk
mendapatkan informasi tambahan. Selanjutnya, bila kemudian telah diperoleh
informasi tambahan, maka kita perlu menggunakan informasi tambahan ini dengan
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 16/24
informasi awal, untuk mendapatkan informasi yang lebih baik untuk pengambilan
keputusan.
2.7 Teori Keputusan
Teori keputusan adalah suatu area studi yang berhubungan dengan para ahli
matematik, orang-orang statistik, ahli ekonomi, ahli filsafat, para manajer, politikus,
psikolog, dan siapapun yang tertarik dalam analisis keputusan. Teori keputusan dalam
matematika dan statistika adalah yang berhubungan dengan mengidentifikasi nilai,
ketidakpastian, dan masalah lain yang relevan yang memberikan keputusan dan
menghasilkan keputusan yamg optimal.
Formalisme dasar dari teori keputusan adalah tabel payoff , yang memetakan
keputusan yang mutually exclusive. Misalnya, “keputusan X mengarah pada hasil Y”,
“keputusan Y mengarah pada hasil Z”, dan seterusnya. Bila set hasil yang sesuai
untuk suatu keputusan yang tidak dikenal, maka situasi seperti ini disebut sebagai
keputusan di bawah ketidakpastian, inilah studi yang mendominasi pada teori
keputusan.
Teori keputusan memberikan sejumlah saran bagaimana cara untuk mengestimasi probabilitas yang kompleks dalam keadaan ketidakpastian, yang
sebagian besar berasal dari teorema Bayes.
Teori keputusan dapat berupa normatif atau deskriptif. Teori keputusan
normatif adalah teori yang mengarah pada bagaimana harus membuat keputusan jika
kita ingin memaksimalkan utility yang diharapkan. Sedangkan teori keputusan
deskriptif dicapai berdasarkan hasil dari pengamatan, percobaan, dan biasanya
dikuatkan dengan statistik.
2.8 Teknik Pengambilan Keputusan
Pengambilan keputusan adalah memilih satu atau lebih diantara sekian banyak
alternatif keputusan yang mungkin. Suatu keputusan dibuat dalam rangka untuk
memecahkan permasalahan atau persoalan, Setiap kaputusan yang dibuat pasti ada
tujuan yang akan dicapai. Keputusan bisa berulang kali dibuat secara rutin dan dalam
bentuk persoalan yang sama sehingga mudah dilakukan.
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 17/24
Situasi keputusan lainnya yang dihadapi mungkin serupa dengan situasi yang
dialami masa lampau, akan tetapi suatu ciri khusus dari permasalahan yang timbul
baru mungkin agak berbeda dalam beberapa aspek penting bahwa mungkin unik (satu-
satunya ciri yang terkait pada permasalahan tersebut). Intuisi dan pertimbangan dari
orang-oarang yang mempunyai pengalaman seperti tipe persoalan tersebut merupakan
nara sumber yang sangat penting dalam suatu organisasi di mana keputusan akan
diambil, mengingat persoalan baru mungkin jauh berbeda dengan persoalan-persoalan
sebelumnya dan perlu cara pengambilan keputusan yang unik.
Inti dari pengambilan keputusan ialah terletak dalam perumusan berbagai
alternatif tindakan sesuai dengan yang sedang dalam perhatian dan dalam pemilihan
alternatif yang tepat setelah suatu evaluasi (penilaian) mengenai efektivitasnya dalam
mencapai tujuan yang dikehendaki pengambil keputusan. Salah satu komponen
terpenting dari proses pembuatan keputusan adalah kegiatan pengumpulan data dari
mana suatu apresiasi mengenai situasi keputusan dapat dibuat.
Apabila informasi yang cukup dapat dikumpulkan guna memperoleh suatu
spesifikasi yang lengkap dari semua alternatif dan tingkat keefektivannya dalam
situasi yang sedang dalam perhatian. Proses pembuatan atau pengambilan keputusan
relatif sangatlah mudah. Akan tetapi di dalam prakteknya sangat tidak mungkin untuk mengumpulkan informasi secara lengkap, mengingat terbatasanya waktu, dana dan
tenaga.
Pada dasarnya ada empat kategori keputusan, yaitu :
a. Keputusan dalam keadaan ada kepastian (certainty). Suasana di katakan
certainty jika semua informasi yang di perlukan untuk membuat keputusan
diketahui secara sempurna dan tidak berubah.
b. Keputusan dalam keadaan ada resiko (risk ). Suasana di katakan risk jikainformasi sempurna tidak tersedia, tetapi seluruh peristiwa yang akan terjadi
beserta probabilitasnya tersedia.
c. Keputusan dalam keadaan ketidakpastian (uncertainty). Pengambilan
keputusan dalam keadaan ketidakpastian menunjukkan suasana keputusan
dimana probabilitas hasil-hasil potensial tidak diketahui (tidak diperkirakan).
Dalam suasana ketidakpastian pengambil keputusan sadar akan hasil-hasil
alternatif dalam bermacam-macam peristiwa, namun pengambil keputusan
tidak dapat menetapkan probabilitas peristiwa.
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 18/24
d. Keputusan dalam keadaan ada konflik (conflick ). Suasana konflik muncul jika
kepentingan dua atau lebih pengambil keputusan berada dalam situasi yang
saling bertentangan. Satu pihak pengambil keputusan tidak hanya memikirkan
pada tindakannya sendiri, tetapi juga tertarik pada tindakan lawannya.
2.8.1 Pilihan Langsung
Salah satu cara yang umum digunakan dalam menentukan pengambilan keputusan
diantara dua alternatif adalah membandingkan keduanya secara langsung, kemudian
menentukan pilihan berdasarkan proses intuisi. Tetapi persoalan yang kompleks akan
sulit untuk mengelola seluruh informasi dalam pikiran kita.
Contoh :
Seorang Produsen ingin menambah jenis produksinya. Untuk maksud tersebut ada dua
pilihan ; pertama produk A, ia yakin staf engeneringnya mampu mempersiapkan
peralatan untuk produk A dengan pertimbangan keberhasilan 0,5. Produk kedua,
memproduksi B dengan kemungkinan gagal 0,2. Jika produk A berhasil perusahaan
akan memperoleh laba Rp. 200 juta, dan jika gagal akan rugi Rp. 20 juta. Sedangkan
produk B, jika berhasil akan memperoleh laba Rp. 80 juta dan jika gagal kan rugi Rp.2 juta. Karena keterbatasan dana, maka hanya satu diantaranya yang akan diproduksi.
Tentukan produksi mana sebaiknya yang akan diproduksi oleh perusahaan agar
perusahaan memperoleh laba yang optimal.
Model keputusan ini dapat digambarkan dalam diagram keputusan sebagai berikut :
Berhasil + Rp. 200 juta
0,5Produk A
Gagal - Rp. 20 juta
0,5
Tidak memproduksi Rp. 0 juta
Berhasil + Rp. 80 juta
0,8
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 19/24
Produk B
Gagal - Rp. 2 juta
0,2
Gambar 2.2 Diagram Keputusan Pilihan Langsung
Persoalan ini kelihatannya sederhana namun ada kesulitan untuk memilih
secara langsung karena kita harus secara serentak memperoleh informasi tentang
kemungkinan berhasil dan bagaimana hasil yang mungkin diperoleh. Pada dasarnya
pilihan langsung dapat dilakukan dengan mudah jika terdapat dominasi satu alternatif
atas alternatif lainnya.
2.8.2 Dominasi Nilai
Misalkan pada persoalan diatas, jika produk A gagal hasil yang akan diperoleh bukan
– Rp. 20 juta, melainkan Rp. 80 juta sehingga keadaannya dapat digambarkan seperti
pada diagram berikut :
Berhasil + Rp. 200 juta
0,5Produk A
Gagal + Rp. 80 juta
0,5
Tidak memproduksi Rp. 0 juta
Berhasil + Rp. 80 juta0,8
Produk B
Gagal - Rp. 2 juta
0,2
Gambar 2.3 Diagram Keputusan Dominasi Nilai
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 20/24
Dari diagram ini, maka secara langsung dapat dinyatakan bahwa lebih baik
memilih produk A, karena walaupun gagal hasilnya masih sama dengan produk B jika
berhasil. Dalam hal ini dikatakan alternatif A mendominasi alternatif B.
2.8.3 Dominasi Stokastik
Bentuk lain dari dominasi tetapi sedikit lebih lemah dibandingkan Dominasi Nilai
adalah Dominasi Stokastik atau Dominasi Probabilistik, yang digunakan untuk pilihan
langsung.
Contoh :
Sebagai seorang manager produksi, Tuan Y diharapkan untuk memilih satu diantara
tiga jenis produk baru untuk dipasarkan. Produksi pendahuluan untuk ketiga produk
tersebut telah selesai dilakukan, demikian pula studi tentang harganya. Hasilnya
seperti terlihat pada tabel berikut :
Tabel 2.3 Produk Yang Dapat Dihasilkan
Produk Harga (unit) Ongkos (unit) Kontribusi (unit)
A Rp. 25.000 Rp. 15.000 Rp. 10.000
B Rp. 60.000 Rp. 40.000 Rp. 20.000
C Rp. 37.500 Rp. 22.500 Rp. 15.000
Selanjutnya dari penelitian pasar dapat pula diketahui distribusi kemungkinan tingkat
penjualan yang mungkin dicapai untuk masing-masing produk seperti pada tabel
berikut :
Tabel 2.4 Distribusi Kemungkinan Tingkat Penjualan
Tingkat Kemungkinan
Penjualan A B C
0 0 0,1 0,1
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 21/24
10.000 0 0,2 0,3
20.000 0,1 0,2 0,3
30.000 0,1 0,4 0,2
40.000 0,2 0,1 0,1
50.000 0,6 0 0
Dan selain itu Pimpinan perusahaan telah memutuskan bahwa hanya satu jenis produk
baru dapat dipasarkan.
Jika keadaan tersebut digambarkan dalam diagram keputusan maka hasilnya adalah
sebagai berikut :
Kontribusi
Penjualan : Rp. 200 juta
0,1 20.000 Rp. 300 juta
Produk A 0,1 30.000 Rp. 400 juta
0,2 40.000 Rp. 500 juta0,6 50.000
Penjualan : Rp. 0 juta
0,1 0 Rp. 200
Produk B 0,2 10.000 Rp. 400 juta
0,2 20.000 Rp. 600 juta
0,4 30.000 Rp. 800 juta
0,1 40.000Penjualan : Rp. 0 juta
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 22/24
0,1 0 Rp. 15
Produk C 0,3 10.000 Rp. 300 juta
0,3 20.000 Rp. 450 juta
0,2 30.000 Rp. 600 juta
0,1 40.000
Gambar 2.4 Diagram Keputusan Tiga Jenis Produk
2.8.4 Tingkat Aspirasi
Dalam menghadapi situasi keputusan, pengambil keputusan mungkin mempunyai
suatu target yang harus dicapai, suatu tingkat aspirasi. Bila keadaannya seperti itu,
maka pilihan langsung dapat dilakukan dengan membandingkan tingkat aspirasi.
Misalkan dalam persoalan diatas pengambil keputusan merasa bahwa yang
penting adalah menghasilkan tidak kurang dari Rp. 300 juta. Maka kemungkinan
untuk memperoleh Rp. 300 juta adalah untuk produk A sebesar 0,9; produk B sebesar
0,7 dan produk C sebesar 0,6. Produk A mempunyai kemungkinan terbesar untuk
mencapai tingkat aspirasi yang ditentukan, sehingga produk A adalah pilihan yang
terbaik.
2.8.5 Nilai Ekspektasi
Jika pilihan langsung sukar dilakukan, maka dapat digunakan nilai ekspektasi. Nilai
ekspektasi mencerminkan harga rata-rata memilih nilai ekspektasi tertinggi.
Dari persoalan diatas, dapat diperoleh nilai ekspektasinya sebagai berikut :
Produk A :
Nilai Ekspektasi = (0,1)(Rp. 200 juta) + (0,1)(Rp. 300 juta) + (0,2)(Rp.400 juta) +(0,6)(Rp.500 juta)
= Rp. 430 juta
Produk B :
Nilai Ekspektasi = (0,1)(Rp. 0) + (0,2)(Rp. 200 juta) + (0,2)(Rp.400juta) +
(0,4)(Rp.600 juta) + (0,1)(Rp. 800 juta)
= Rp. 440 juta
Produk C :
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 23/24
Nilai Ekspektasi = (0,1)(Rp. 0) + (0,3)(Rp. 150 juta) + (0,3)(Rp.300 juta) +
(0,2)(Rp.450 juta) + (0,1)(Rp. 600 juta)
= Rp. 285 juta
Jadi keputusannya adalah memproduksi produk B karena nilai ekspektasinya yang
tertinggi.
2.8.6 Nilai Ekivalen Tetap
Nilai ekivalen tetap dari suatu kejadian tidak pasti adalah nilai tertentu yang kita
tetapkan sendiri dimana kita merasa tidak berbeda antara menerima hasil yang
tercermin dalam ketidakpastian tersebut, atau menerima dengan kepastian suatu hasil
dengan nilai tetentu. Besar nilai yang ditentukan tersebut dinamakan nilai ekivalen
tetap.
2.9 Utility
Hasil dari teori keputusan biasanya diberi nilai utility. Misalnya, dari sudut pandang
perencana militer, kematian 1000 orang dalam pertempuran mungkin diberi utility
yang negatif dari 1000, dan kematian 500 orang dari 500 utility yang negatif.
Kemungkinan hasil dalam masalah teori keputusan bisa jadi positif, negatif, ataukedua-duanya. Nilai utility bisa berdasarkan pada pendapat dari pengambil kaputusan.
Utility yang diharapkan dari sebuah keputusan adalah sebagai jumlah
kemungkinan bahwa setiap hasil dikalikan dengan utility dari hasil lainnya. Misalnya
membuat suatu keputusan mungkin mengarah pada 100 utility yang positif dengan
kemungkinan 75%, dan 40 utility yang negatif dengan kemungkinan 25% maka nilai
utility yang diharapkan adalah :
75% x 100 = 75 (positif)25% x (-40) = -10 (negatif)
Berarti nilai dari keseluruhan utility yang diharapkan adalah 75 – 10 = 65.
Kurva utility diperoleh berdasarkan penjajakan preferensi pengambil
keputusan. Menggambarkan bagaimana utility suatu nilai atau keadaan tertentu bagi
pengambil keputusan. Pada umumnya skala utility dinyatakan antara 0 dan 1, dimana
skala utility = 1 menyatakan keadaan atau nilai yang paling disukai dan 0 menyatakan
keadaan atau nilai yang paling tidak disukai.
Contoh suatu kurva utility adalah seperti pada gambar berikut :
Universitas Sumatera Utara
8/8/2019 Oprasi Himpunan
http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 24/24
Gambar 2.5 Kurva Utility
Dari kurva utility ini dapat diketahui bahwa utility dari uang Rp.100.000,-
adalah 1 dan dari uang Rp.0,- adalah 0. Demikian juga utility dari uang antara Rp.0,-
dan Rp. 100.000,- dapat diketahui dari kurva tersebut.