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광학1
충남대학교
전민용
평가계획
• 출석• 과제물• 수시고사• 수시고사• 연구실 : 426호실• 전화번호 : 821-5459• E-mail : [email protected]• Office Hours : 월요일 15~17시, 목요일 13 ~ 15시
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강의 개요 1
• 선수과목 : 일반물리학 1,2 • 사전지식 : 일반물리학1,2 특히 일반물리학 2의 전기,
자기 전자기이론 광학 현대물리부분 전자기학 현대자기, 전자기이론, 광학 현대물리부분, 전자기학, 현대물리
• 수업목표 : 광학에 대한 전반적인 현상을 이해한다.• 수업진행 : 빔 프로젝터를 이용하며, 강의 노트는 사
이버 캠퍼스에서 다운 받을 수 있다.• 평가방법 : 출석, 과제물, 수시고사 등을 종합한 평가• 과제물 : 가끔씩 과제물 제시 (사이버 캠퍼스 꼭 확인• 과제물 : 가끔씩 과제물 제시 (사이버 캠퍼스 꼭 확인
할 것) : 온라인 및 오프라인 과제 제시
강의 개요 2
• 1주 광학의 기초
• 2/3주 빛의 전파, 반사, 굴절, 편광
• 4/5주 간섭
• 6/7주 간섭응용
• 8주 중간고사
• 9/10주 기하광학
• 11/12주 회절
회 응용• 13/14주 회절 응용
• 15주 보충 및 기말고사
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빛은?
광과 파장
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입자인가? 파동인가?
파동이론 : 빛은 파동형태의 에너지를 연속적으로 퍼트리면서 파원으로부터 나온다.
양자이론 : 빛은 독립된 광자로 되어 있고, 광자는 단일 전자에 의해서도 흡수될 정도로 적다.
빛은 파동이다?
• 양자역학이 완성되기 전까지의 물리학에서 즉, 고전물리학에서 빛을 파동이라고 설명하였음고 설명하였음.
•WHY?
빛의 간섭때문.
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빛은 입자이다?
플랑크가 “빛의 에너지는 불연속적이다 !!!” 라는 불가사의한 발
견을 했을 무렵 아인슈타인 등장 !!
E=nhν 라는 놀라운 발견이 실린 논문을 접하고 이에 대해 지대한
관심과 연구를 하였음. 1905년 그는 플랑크의 발견이 의미하
는 것을 쉽게 설명하는 대담하고도 간단 명료한 이론을 발표 “광
량자설 : The Photo Hypothrsis”
노벨상을 수상.
빛은 파동이 아니라 E = nhν라는 에너지를 가진 입자이다.
빛이란 무엇인가?• 입자와 파동의 이중성을 동시에 갖는다.
파동이론 : 빛은 파동형태의 에너지를 연속적으로 퍼트리면서 파원으로부터 나온다원으로부터 나온다.
양자이론 : 빛은 독립된 광자로 되어 있고, 광자는 단일 전자에 의해서도 흡수될 정도로 적다.
이중 슬릿 간섭무늬 : 1. 파동모형 : 스크린 상의 각 점에서의 빛의 세기는 E2에 비례함.
즉, 전자기파의 전기장 제곱의 한 주기 평균에 비례함.은 은2. 입자모형 : 빛의 세기는 Nhf 에 의존한다. (N은 스크린의 같은
장소에 단위 시간당 단위 면적당 도달하는 광자의 수)빛의 세기에 대해 두 값은 같아야 하며, 따라서 N 과 E2 은 비례한다. N이 충분히 크면 스크린에 보통의 이중-슬릿 간섭무늬가보이며, 파동모형을 의심할 이유가 없다.
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빛의 이중성
만약, N이 적다면,
순간마다 하나의 광자만 도달 할 정도이면, 관측자는 일련의 무질서한 번쩍임만 볼 것임 양자현상한 번쩍임만 볼 것임. 양자현상관측자가 오랜 시간 동안 이 현상을 관측하면, N 이 클 때와 동일시됨.
결론 관측자는 어떤 특정한 위치와 시간에서 광자를 발견 할 확률은 그곳에서 그 때의 E2 에 비례한다고 결론 내릴 수 있음.
스크린 위의 한 위치에서의 파동의 세기는 광자가 거기에 도달할린 위 한 위 동 는 광 달할가능성을 결정한다. 슬릿을 통과할 때는 파동같이 행동하고, 스크린과 부딪칠 때는 입자처럼 행동한다. 명백하게 빛은 파동처럼 나아가고, 일련의 입자처럼 에너지를 흡수하거나 내어놓는다.
파동이론과 양자이론은 서로 상보적이다. (complementary)
빛의세기 = 파동함수의 확률분포
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빛의세기 = 파동함수의 확률분포
빛은?파동이다.• 전기장과 자기장 진동은 결합되어 빛의 속도로 전파되고, 또 전형적인 파동의 성질을 갖는다.
~ 전자기파
An electromagnetic wave is a traveling wave which has time varying electric and magnetic fields which are perpendicular to each other and the direction of propagation z.
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파동이란?
• 미시적인 운동 : 원자와 분자의 구성 요소들 (전자 양
•볼 수 있는 파동은?
•볼 수 없는 파동은?
• 미시적인 운동 : 원자와 분자의 구성 요소들 (전자, 양성자, 중성자, 중간자 등의 경계 내에서의 운동 파동)원자와 분자 γ선, X 선, 광파, 열파, 라디오파를 방출
• 거시적인 운동 : 지진에 의한 땅의 흔들림, 바람이나배의 움직임에 의한 파도의 운동, 공기중에서의 물체의움직임 등 파동
• 반복하는 운동 주기운동 (예: 시계의 추, 스프링 운동 등)
단순조화운동
주파수 = 1/주기, : 시간당 회전수
주기 : 완전한 한 진동에 필요한 시간
빛 -> 파동-> 진동
진동의 정의 : 주기적으로 되풀이하는 운동
단순조화 운동 (Simple Harmonic Motion) : 물체의 위치가 시간에단순조화 운동 (Simple Harmonic Motion) 물체의 위치가 시간에
대한 조화함수로 기술되는 운동
진동상태가 물질(매질)을 따라 퍼져나가는 것을 파동이라 함.
파동은 한 장소에 존재할 수 없고 한 장소에서 다른 장소로 퍼져나가
야 함.야 함.
빛과 소리의 본질은 에너지로서 파동의 형태로 공간을 통해서 이동
함.
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파동의 종류에 대해 알아보자.
단순조화운동 ( SHM)
단순조화 운동 (Simple Harmonic Motion) : 물체의 위치가 시간에
대한 조화함수로 기술되는 운동
예 ) 용수철 운동 sine 또는 cosine 형태의 변위로 나타남.
tAtxortAtx ωω cos)(sin)( ==
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One Dimensional Waves
Wave Optics : 광은 파동방정식에 따른 스칼라 파동함수로 기술됨. 간섭, 회절 현상의 이해, 설명이 가능.
Wave Motion• 파동은 위치와 시간의 함수로 주어진다.
• The Shape of the disturbance at a certain time
),(),( txftx =ψ• The Shape of the disturbance at a certain time
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The profile of the wave
)()0()0( xfxfx ==ψ
Wave Motion
)()0,()0,( xfxfxψ
파동의 방향
)(),( vtxftx −=ψ
시간이 지나도 동일한 위상에위치하기 위해서는 x 가 증가해야 함. 화살표 방향으로진행.
화살표 반대방향으로 진행하는 파에 대해서는
0),(),( >+= vwithvtxftxψ
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• A new coordinate system, S’ , moving with the wave
ψ = f (x’) : 시간과 무관
: Profile 은 x’ 축을 따라 측정
• x’ = x –vt 의 경우에는
일차원 운동 파동함수
• t + Δt 시간 이후에는 x x + vΔt , t t + Δt 로 치환
)(),( vtxftx −=ψ
)()]([( vtxfttvxf ⇒Δ+ 동일한 profile을 갖는다
• Negative 방향으로 진행하면,
)()]([( vtxfttvxf −⇒Δ+− 동일한 profile을 갖는다
0),(),( >+= vwithvtxftxψ
1-dim. Differential Wave Eq.• Start with and )( vtxf m=ψ vtxx m='
xf
x ∂∂
=∂∂ψ
2
22
2
2
2
2
2
2
',
''
'
,'
,'
''
xfv
txfv
tx
xf
t
similarlyx
fxx
fxx
xf
x
∂∂
=∂∂
⇒∂∂
=∂∂
∂∂
=∂
∂
∂∂
=∂∂
⇒∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
ψψ
ψψ
m
두 식을 결합하면 22 1 ∂∂ ψψ 1차원 differential두 식을 결합하면,
222
1tvx ∂
∂=
∂∂ ψψ 1차원 differential
wave Eq.,
)()( 21 vtxgCvtxfC ++−=ψ이 식의 해는,
~ 두개의 해가 존재한다. (+ wave and – wave)
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Harmonic Waves
A wave with sine or cosine profile,
)(sin)0,( xfkxAx ==ψ~ k ; propagation number A: amplitude
A traveling wave by replacing x by ( x – vt ),
)()](sin[),( vtxfvtxkAtx −=−=ψ
~ k ; propagation number, A: amplitude
~ Periodic in both space and time
Spatial period :WavelengthThe spatial period : wavelength λ (m)
),(),( txtx ψλψ =±
])(sin[])[(sin)](sin[ kvtxkvtxkvtxk λλ ±−⇒−±⇒−
Phase, ϕ
Position change by λ±
= 2 π k= 2π / λ 2 π k 2π / λ
k ; propagation number k= 2π / λ
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Temporal period :FrequencyThe temporal period : Frequency, f = 1/τ {Hertz]
),(),( txtx ψτψ =±
)])((sin[)]([sin)](sin[ ττ vvtxktvxkvtxk m−⇒±−⇒−
Time change by = 2π / κ τ = λ / vτ±
The temporal Frequency, f = 1/τp q y f
Therefore, v = fλ
Angular frequency ω = 2πf
Wavenumber or spatial frequency=κ 1/ λ
Harmonic Wave
)(sintx
vtxkA mψ =
)(2sin
)sin()(2sin
)(2sin
tvxfA
tkxAftxA
txA
m
m
m
m
πψ
ωψκπψ
τλπψ
=
==
=
v
A wave with a single frequency Monochromatic Wave
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Q : 진동수가 100 Hz 인 파동은 1초에 몇 번 진동하는가?
Q : 서울에 있는 63빌딩은 0.1 Hz 의 진동수로 흔들리고 있다. 주기는 얼마인가?
파동 만들어 보기
: 종이 위에 사이펜을 직선상으로 왕복 운동시키면서 운동 방향에수직인 방향으로 종이를 잡아당겨 본다. 어떻게 되는가?
종이를 더 빠르게 잡아당기면서 파장의 크기가 어떻게 변하는지살펴보자살펴보자.
Phase and Phase VelocityA harmonic wave
)sin(),( εωψ +−= tkxAtx
The entire argument : Phase, j
Initial Phase
The physical meaning of εI i i l ib i h Initial contribution at the generator
Phase?
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Phase velocity?파동 위에 떠 있는 수박
그 수박이 1초 동안 두번 요동칠만큼 진행 했다
2m 4m 6m2m 4m 6m
파동이 요동치는 거리 =(파장) = λ =2m
31
파동이 요동치는 거리 =(파장) = λ =2m
1초에 요동치는 횟수 =(진동수) = ν =2(사이클/초)
1초간 파장이 진행하는 거리가 파동이 진행하는 속도, 즉 위상속도임.
λν=pv
Initial Phase
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)sin(),( εωψ +−= tkxAtx
Phase Velocity
)sin(),( εωψ +tkxAtx
.consttkxphase =+−= εω
일정한 위상 ϕ가 δt의 시간 동안 δx만큼 이동할 때 위상속도를 정일정한 위상 ϕ가 δt의 시간 동안 δx만큼 이동할 때 위상속도를 정의할 수 있다.
vkx
ttx
t
x ±=±=∂∂∂∂−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂ ω
ϕϕ
ϕ )/()/(
The rate of change of the phase with time.Angular frequency
The rate of change of the phase with distance.
ωϕ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
xt
k⎟⎞
⎜⎛ ∂ϕ
Phase Velocity
Propagation numberk
x t
=⎟⎠
⎜⎝ ∂
ϕ
The speed of propagation of the condition of constant phase.
vkx
ttx
t
x ±=±=∂∂∂∂−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂ ω
ϕϕ
ϕ )/()/(
Phase Velocity
The phase velocity is accompanied by a positive sign when the wave The phase velocity is accompanied by a positive sign when the wave moves in the direction of increasing x and a negative one in the direction of decreasing x.This is consistent with our development of v as the magnitude of the wave velocity : v > 0.즉, 앞에서 배운 파동의 진행방향과 일치시키기 위하여 위상속도 식에서편미분 앞에 – 부호를 붙인 것이다.
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Example (Circular Waves)
Superposition PrincipleSuppose that the wave functions 1 and 2 are each separation solution of the wave equation: it follows that (1 + 2) is also a solution.
Superposition Principle
22
2
222
2
21
2
221
2 11tvx
andtvx ∂
∂=
∂∂
∂∂
=∂∂ ψψψψ
22
2
221
2
222
2
21
2 11tvtvxx ∂
∂+
∂∂
=∂
∂+
∂∂ ψψψψ
1 22 ∂∂ )(1)( 2122212 ψψψψ +∂∂
=+∂∂
tvxThe resulting disturbance at each point in the region of overlap is the algebraic sum of the individual constituent waves at that location. (그림2-13 참조) IN -PHASE, OUT-OF-PHASE
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대수적인 방법)sin()( 0 αω += tEtE ~ 파동방정식의 해
~ E0는 x축으로 진행하는 조화파의 진폭
)sin()( 1011 αω += tEtE )sin()( 2022 αω += tEtE
두 파를 선형적으로 중첩시키고, 삼각함수 가법 정리를 이용하여,
여기서 괄호 안은 시간에 대하여 일정하므로
삼각함수 가법 정리: αωαωαω cossinsincos)sin( ttt +=+
여기서 괄호 안은 시간에 대하여 일정하므로,
따라서, 합성 조화 파동은,
대수적인 방법(계속)윗 식으로부터 다발밀도 (Flux density)는
)cos(2 120201202
201
20 αα −++= EEEEE
~ 간섭항, ( 두 파동사이의 위상차)
일 때 진폭은 최대 : In-Phase (위상이 맞다)
일 때 진폭은 최소 : Out-of-Phase (위상이 완전히 맞지 않는다.)
위상변화는 두 파가 통과하여 지나간 길이의 차이에서 오므로,
λ파장과 굴절률과의 관계에서
λλ0==
vcn
여기서 n(x1-x2)를 광로차 (optical path)라고 한다.
20
다수의 파에 대한 중첩
같은 주파수, 같은 방향으로 진행하는 다수의 파에 대한 중첩을 계산해보자
)cos(0 tEE i
N
i ωα ±= ∑일반 파동식 )(1
0 ii
i∑=
일반 동식
Flux Density 는
Complex RepresentationComplex number iyxz +=~ 1: −=i
Imaginary partsreal
g y p
극좌표를 사용하면,
Euler formula
21
Argand DiagramArgand (아르간) Diagam :실수부와 허수부를 나뉘어서 함수를 그림으로 표현하는 방법.
Operation
Addition:
M ltipli ti n:Multiplication:
Division:
The Modulus
θθ
iyxiyxz −=+=
)i(~)()(~
*
**
θ
θθire
irz−=
−= )sin(cos~*
22
Complex ExpressionsComplex exponential
iyxiyxz eeee == +~Modulus xz ee =
~
It is periodic :
Any complex number
θθ sincos)~Im()~Re(~ irrzizz +=+=Either real or imaginary part can
p s nt h m ni represent a harmonic wave
복소수 방법에 의한 중첩
)(00 )cos( tieEEtEE ωαωα +=⇒+=
일반적으로 복소수로 표시하면,
N개의 파동에 대해서
N=2 인 경우의 예를 들면, *00
20 ))(( αα ii eEeEE = 를 이용하여
대수적인 방법으로 얻은 결과와 동일함.
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맥놀이• 맥놀이란? 다른 주파수를 가진 파동의 합침.
• 주파수가 다른 두 파에 대해서 생각해 보자.
함수 을 용
)cos( ),cos( 2202211011 txkEEtxkEE ωω −=−=11• 삼각함수의 관계식 을 이용하여
• 평균 각주파수 ω와 평균 파수 k를 다음과 같이 정의하고,
)(21cos)(
21cos2coscos βαβαβα −+=+
• 변조 주파수ωm과 변조 파수km을 다음과 같이 정의하면,
맥놀이(계속)합성파는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 를 나타내며 시간에 따라서
변조된 진폭을 나타낸다.
http://www.walter-fendt.de/ph11e/beats.htm
세기는
)cos(2t)(x, 010 txkEE mm ω−=
윗 식의 물리적 의미 : E02 (x,t)는 2E01
2의 주위를 주파수 2ωm, 즉 (ω1-ω2)로 진동하는데 이를 맥놀이 주파수라고 한다.
맥놀이의 응용 : 도플러 효과, 브릴루인 산란, 자이로스코우프에서 링레이저를 이용하여 회전의 결과로 유도되는 주파수 차이 등.
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Harmonic Wave ExpressionA harmonic wave is usually represented by the real part of z~
[ ]Re),( )(ψ εω= +−Aetx kxti[ ])cos(
),(εω
ψ+−⇒ kxtA
The wave function, in general
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Phasors and Addition of WavesThe rotating arrow in the Argand
diagram for a wave )( kxtiAe −ω
Phasor, ϕ∠A
Sum of two phasors at a fixed time and location
Plane WavesThe surface of a constant phase form a plane.The phase plane is perpendicular to propagation direction.
kzjyixr ˆˆˆ ++=r
Position vector :
원점 O 에서 임의의 위치 (x,y,z) 까지의 변위를 r 이라 하고, 임의의 점에 대해
여기서 다음과 같이 정하게 되면,
벡터(r-r0)가 점유하는 평면은 벡터 k와 수직하다벡터(r-r0)가 점유하는 평면은 벡터 k와 수직하다.
평면파 (Plane wave)는 벡터 k의 방향에 수직이다. 즉,
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Plane Waves (cont’d)평면파 (Plane wave)를 다음과 같이 쓸 수 있다.
위 표현식은 = constant 에 의해 정의된 모든 평면에대해 일정하다.
rk rr⋅
The periodic nature of a plane wave
kofvectorunitkrkrrrr : ˆ )()ˆ( ψλψ =+
Propagation vector
Surfaces joining points of equal phase wavefronts [Fig. 2.20]A plane wave with time dependence
Plane Waves (cont’d)
tirkiAetr ωψ mrrr ⋅=),(
The plane wave in Cartesian coord.
) ( 222zyx kkkk ++=
r
The phase velocity [velocity of the wavefront)
)()ˆ( tttk rr ψψ Δ+Δ+ ),(),( trttkrr ψψ =Δ+Δ+
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Two plane waves with the same wavelengthk1 = k2 = 2π/λ
Wave 1:
W 2
tizkitirki eAeA ωω −−⋅ = 1111
rrr
tizykitirki ωθθω + )cos(sinrrr
Plane Waves (cont’d)
Wave 2: tizykitirki eAeA ωθθω −+−⋅ = )cos(sin22
22
In general,])([),,,( tzyxkiAetzyx ωγβαψ m++=
where, ) ( 222zyx kkkk ++=
r
inestion : Direc cos 1222 =++ γβα
Cosine of the angle subtended by and . k̂ x̂
is called a “plane wave.”A plane wave’s contours of maximum phase, called “wave-fronts” or “phase-fronts,” are planes. They extend over all space.
0 exp[ ( )]E i k r tω⋅ −r r
%
Wave-fronts are helpful for drawing pictures of interfering
waves.
A wave's wave-fronts sweep along at the
speed of light.
A plane wave's wave-fronts are equally spaced, a wavelength apart.
They're perpendicular to the propagation direction.
Usually, we just draw lines; it’s
easier.
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Laser beams vs. Plane waves
A plane wave has flat wave-fronts throughout all space. It also has infinite energy.It doesn’t exist in realityIt doesn t exist in reality.
A laser beam is more localized. We can approximate a laser beam as a plane wave vs. z times a Gaussian in x and y:
Laser beam spot on wall
w
x
y
Localized wave-fronts
z
One-dim. result can be extended to three dimensions by using the same argument for all three components of the vector. In this case, the derivative ∂/∂x is replaced by the directional derivative, or gradient, operator, which is written as
3-dim. Differential Wave Eq.
kz
jy
ix
ˆˆˆ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇v
in Cartesian coordinates. Thus, the wave equation becomes
2
2
22 ),(1),(
ttx
vtx
∂∂
=∇r
r ψψwhere is called the Laplacian operator, and is defined as2∇ p p , f∇
29
3-dim. Differential Wave Eq.
ψβψ
ψαψ
222
2
222
2
−=∂∂
−=∂∂
ky
kx Adding the three spatial derivatives
and utilizing the fact that 1222 =++ γβα
ψωψ
ψγψ
22
2
222
2
−=∂∂
−=∂∂
∂
t
kz
y
And,
Then,
Combining this with the time derivative, and using v = ω/k
One of the solution is a plane wave
Note that the following is also a solution
Spherical Waves물탱크 안에 돌을 하나 던져 넣어보자. 그러면 돌이 들어간 자리를 원점으로 하여 이차원 원형 물결을 일으키며 퍼져나간다. 3차원으로 확장하면 구 형태로 퍼져나가게 된다.Consider an idealized point source of light. Isotropic.
2
2
2222
22
sin1sin
sin11
φθθθ
θθ ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∇rrr
rrr
Describe them in terms of spherical polar coordinates (Fig.)Then the Laplacian operator is
θφθφθ cos ,sinsin ,cossin rzryrx ===
A spherical wave is spherically symmetrical,independent of θ and φ.
30
Then, the Laplacian is
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∇r
rrr
r ψψ 22
2 1)(
Spherical Waves (cont’d)
Ex minin nl th x d p nd n hExamining only the x-dependence, we have
)()( rr ψψ =r
Using x2 + y2 + z2 = r2 and ,rx
xr
=∂∂
Similarly,
Spherical Waves (cont’d)
)(1)(2)( 2
22
2
22 ψψψψψ r
rrr
rrrr
∂∂
=∇⇔∂∂
+∂∂
=∇
Then wave eq. is
The differential wave eq. Can then be written as
Notice: this expression is the one-dim. Differential wave eq.The solution is
~ 원점으로부터 퍼져나가는 spherical wave 를 나타낸다.
31
A special case of the general solution
)(C r
)(),( 21 rvtrgvtrfCtr +
+−
=ψ
is the harmonic spherical wave
Spherical Waves (cont’d)
is the harmonic spherical wave
The spherical wave decreases in amplitude as it propagates
As a spherical wavefront propagates out, its radius increases. For enough away from the source a small area of the
Spherical Waves (cont’d)
For enough away from the source, a small area of the wavefront will closely resemble a portion of a plane wave.
32
Cylindrical WavesThe Laplacian operator of ψ in cylindrical coordinates is
2
2
2
2
22 11
zrrr
rr ∂∂
+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∇θ ry
rx==
,sin ,cos
θθ
Th li d i l s mm t i s zz =The cylindrical symmetry requires)(),,()( rzrr ψθψψ ==
r
The θ-independence means that a plane perpendicular to the z-axis will intersect the wavefront in a circle, which may vary in r, at different values of z.In addition, the z-independence further restricts the wavefront to a right circular cylinder centered the wavefront to a right circular cylinder centered on the z-axis and having infinite length.The differential wave equation becomes
Cylindrical Waves (cont’d)The solution is given by Bessel functions.
Cylindrical waves emerging from a long, narrow slit.