Optyka falowa

Częstotliwość kołowaT2

2

- częstotliwość [Hz]T – okres [s]

Kołowa liczba falowa2

k - długość fali [m]

Monochromatyczna fala płaska 00 kztcosaV

V – propagujące się pole optyczne nieznanej natury

t – czas z - odległość

a0 R - amplituda 0kzt - faza fali

0 – faza początkowa dla z = 0 i t = 0

Czoło (front) fali – powierzchnia = const

Fala płaska

Kierunek propagacji

z

V

a0

t = 0 t > 0 0 = 0

czoła fali

promienie prostopadłe do czół fali

t = 0 t > 0

z = ct

Propagacja w przestrzeni

00 kztcosaV

2

k - faza

W całej płaszczyźnie z = const stała amplituda

Fala płaska jest pojęciem abstrakcyjnym

Czoła fali fali płaskiej

Odcienie szarości wskazują na wartość pola V

Na podstawie: Hecht, Zajac: Optics. Addison-Wesley Pub.Comp 1974

W węzłach V = 0 odcień ciemny

0maxaVV

Odcień jasny dla

Monochromatyczna fala sferyczna

00 krtcosr

aV Amplituda zmniejszająca się wraz z

odległością r od środka fali

- fazaamplituda

t = t1

t = t2 > t1

Promienie są normalne do czoła fali

Sferyczne czoła fali = const

Nieskończenie duża wartość pola w punkcie r = 0

Fala płaska i fala sferyczna są pojęciami abstrakcyjnymi

Fala płaska jako przybliżenie fali sferycznej dla dostatecznie dużej odległości r

Równanie fali w postaci zespolonej

Ponieważ xsinixcosixexp

więc fala płaska 00 kztiexpaV Re

Przy operacjach liniowych można

przedrostek Re pominąć gdyż dla

222111 ixexpaViixexpaV

22112121 xcosaxcosaVVVV ReReRe

Operacja wykonywana najpierw

Równanie fali w postaci zespolonej

Postać równania falowego przy operacjach liniowych

kztiexpakztiexpaV 00

gdzie 00 iexpaa amplituda zespolona uwzględniająca fazę początkową

Miarą średniej wartości mocy fali jest intensywność fali

VVaaaaI22

0

i nie zachodzi potrzeba użycia operatora Re !!!

Hipoteza (Cristiana) Huygensa (1629-1695)

Każdy punkt czoła fali jest wtórnym źródłem fali sferycznej

Czoło fali dla t = t1

Czoło fali dla t = t1 + t

Wtórne fale sferyczne

Promienie

Obwiednia czół fal wtórnych jest nowym czołem fali

Huygens.exe

Prawo załamania na bazie hipotezy Huygensa

na > nb

nb

a

b

b

a

x

ra

a

rb

bx

rsin

x

rsin b

ba

a

Ale tvrtvr bbaa

va vb - prędkości fazowe

w ośrodkach a i bt – czas propagacji wtórnej

fali od czoła do a

a

b

b

a

v

v

n

n Ponieważ

bbaa sinnsinn prawo załamania

Trudność hipotezy: jak uwzględnić wpływ przysłon ?

Isaac Newton 1643-1727

Z. van Jansen – 1590 wynalazek mikroskopu

1608 lunety

niezależnie G. Galileusz

Molekuła (Newton)

Spór o naturę światła

czy fala (Huygens)

1818 rok (Augustin) Fresnel wykazał, że zjawiska dyfrakcji można udowodnić wykorzystując hipotezę Huygensa

Uzupełnienie hipotezy Huygensa

wtórne fale interferują ze sobą

źródła fal sferycznych

P

D

wynik interferencji

P’

Światło jest falą !!!

intensywność większa niż bez diafragmy

Zasada Huygensa- (Augustin’a) Fresnela (1788-1827)

G

S1

S2

x

0

r1

r2

M

Niech GS1 = GS2 dwa źródła punktowe S1 i S2

21M VVV Wynik interferencji w punkcie M

gdzie 222

111

krtiexpaV

krtiexpaV

Intensywność w punkcie M

212122112121MMM VVVVVVVVVVVVVVI

gdzie intensywności od S1 i S2 1I 2I

2121212121 VV2VVVVVVVV Re gdyż

z2z2zz ReRe

Zasada Huygensa - Fresnela cd

G

S1

S2

x

0

r1

r2

M

Ostatecznie intensywność w punkcie M

122121MMM rrkcosII2IIVVI

Ponieważ

222

111

krtiexpaV

krtiexpaV

1221122121 rrkcosII2rrkcosaa2VV2 Re

212121M VVVVIII

Interferometr (Thomas’a) Younga (1773-1829)

Kontrast prążków21

21

minMmaxM

minMmaxM

II

II2

IIII

C

1C0 1Cmax dla 21 II

122121MMM rrkcosII2IIVVI

W płaszczyźnie prążki interferencyjneG

S1

S2

x

0

r1

r2

M

Zalety i wątpliwości optyki falowej

Zalety

Światło jest falą

Wyjaśnia zjawiska interferencji i polaryzacji Dominique Arago (1786 –1853), światło jest falą poprzeczną

Prawa optyki geometrycznej wyprowadzane z optyki falowej

Optyka falowa jest więc uogólnieniem optyki geometrycznej

Wątpliwości

Natura fali ?? Z analogii do fali mechanicznej (akustycznej) próżnia powinna być wypełniona substancją sprężystą

Wątpliwości usunęła dopiero elektrodynamikaEter ?

Elektrodynamika - wstęp

Prawo Biota-Savarta w ośrodkach materialnych

Przepływ prądu wywoływał odpowiednio ukierunkowane pole magnetyczne

Pierwsze prawo Maxwell’a w dowolnym ośrodku

J

t

rotE

H

H, E – natężenie pola magnetycznego i elektrycznego

J – gęstość prądu elektrycznego - przenikalność elektryczna ośrodka

Prawo Faradaya

Zmiana pola magnetycznego w czasie wywołuje prąd elektryczny w ośrodku materialnym

0t

rot

H

EDrugie prawo Maxwell’a w dowolnym ośrodku

– przenikalność magnetyczna ośrodka

Elektrodynamika optyczna

Równania (James’a) Maxwell’a (1831-1879) w próżni

0rot0t

rot 0

tH

EE

H 0

E H – wektory natężenia pola elektrycznego i magnetycznego

0 0 – przenikalność

elektryczna i magnetyczna próżni

Zmiana w czasie jednego pola generuje drugie pole wirowe

wirowe pole H

zmiana E

wirowe pole Ezmiana H

Elektrodynamika

Równanie falowe dla składowej E pola elektrycznego

0tE

zE

2

2

002

2

ctzEE

Rozwiązaniem jest dowolna funkcja argumentu z - ct

Prędkość fali00

1c

E EH H

EH

Poglądowy rysunek propagacji fali elektromagnetycznej

eliminując zmienną np. H

równanie falowe dla E 0rot

0t

rot 0

t

HE

EH

0

Przez analogię przykład

propagacji kształtu

zaburzenia w ośrodku

sprężystym

Zalety i trudności elektrodynamiki

Zalety

Trudności

Elektrodynamika nie jest w stanie wyjaśnić mechanizmów generacji fali w paśmie optycznym

Prawa optyki geometrycznej przy założeniupomijalnie małej wartości długości fali 0

Wyjaśnia zjawiska propagacji, absorpcji i odbiciaw różnych ośrodkach (dielektrycznych, metalowych

i innych)

Światło jest falą elektromagnetyczną

Promieniowanie ciała doskonale czarnego - wstęp

M

Jed

nos

tki w

zglę

dne

spektralna emitancja

prawo Jeans’a według klasycznej termodynamiki promieniowania oscylatorów

rzeczywiste wyniki

Ciało dosk. czarne absorbuje całe promieniowanie z każdego kierunku, dla każdej długości fali i w każdej temperaturze T

Model ciała czarnego

Promieniowanie ciała doskonale czarnego

(Albert) Einstein (1879-1955) kwant promieniowania nazwał fotonem

Atom (molekuła) jest dipolem absorbującym i emitującym fotony

(Max) Planck (1858-1947) wykazał w 1900 roku, że empiryczna zależność dla spektralnej emitancji ciała doskonale czarnego

1

251cz, 1

Tc

expcM

prawo Plancka

może być udowodniona dla skwantowanej struktury energii

c1 = 37 418.44 Wcm2m4 i c2 = 14 387.69 mK – stałe promieniowania T [K] – temperatura

Wyznaczenie ekstremum M,cz 0M cz,

Po pomnożeniu i podzieleniu M,cz przez 52c/T

1xexpx

1

c

Tc1

T

cexpcM

5

5

21

1

251cz,

gdzieT

cx 2

Warunek ekstremum M,cz

0xexpx1xexpx51xexpx 565

xexp1xexpx

5 Dla 5x1xexp ext

Dokładnie 96511423.4T

cx

max

2ext

!!

Prawo (Willy) Wien’a (1864-1928)

2 6 10 14 18 [m]

M

Jed

nos

tki w

zglę

dne t = 1000C

t = 360C

t = 00C

Maksimum spektralnej emitancji dla max

]Km[885.2897Tmax

Im wyższa temperatura, tym wyższe wartości M,cz dla każdego i tym krótsza długość fali max

Dla t = 360C T 309 K max 9.6 m

Emisja promieniowania przez dowolne ciało

Każde ciało dla T > 0 jest źródłem promieniowania elektromagnetycznego

TMTTM cz,

Dowolne ciało nie w pełni absorbuje padające na nie promieniowanie, więc w równowadze termicznej jego współczynnik emisyjności (T) spełnia zależność

1T0

= 0 - ciało całkowicie odbijające lub całkowicie przezroczyste

Przypadki spełniające lokalnie zależności w widmie lub przedziale temperatury :

= 1 - ciało doskonale czarne w tym obszarze widma i temperatury

Współczynniki emisyjności wybranych materiałów

Materiał t [0C]

Stal polerowana

utleniona

100

200

widzialne i IR 0.07

0.79

Grafit 20 widzialne i IR 0.98

Papier biały 20 IR 0.93

Skóra (in vivo) 32 IR 0.98

Lód -10 IR 0.96

Śnieg -10 IR 0.85

Wolfram 3200 0.6 m

1.0 m

0.43

0.33

Termografia

SatSr

Sygnał pomiarowy watrc SSSSdS

Odbiornik CCD

kamera

Sc

obiekt

Wzorzec ciała doskonale czarnego

Sw

Sygnał od obiektu

Sygnał pasożytniczy promieniowania odbitego

Sygnał wzorcowy od ciała czarnego

Promieniowanie atmosfery

Kamera termowizyjna

Wyznaczenie położenia rurociągu

Pomiar rozkładu temperatur w zakresie 26-340C

Mężczyzna podczas ćwiczeń

260

340

Kobieta w ciąży

Element łańcucha ze zmiennym obciążeniem

Badanie stopnia ukrwienia dłoni

Czujnik termowizyjny (kamera CCD) umożliwiający na monitorze obserwację w podczerwieni w celu rozpoznania

terenu podczas oślepienia kierowcy przez reflektory nadjeżdżającego pojazdu

Możliwości uzyskania promieniowania cieplnego poza pasmem optycznym

Pasmo optyczne (1 nm, 1 mm)

Promieniowanie cieplne praktycznie jest wyłącznie domeną pasma optycznego

Z prawa Wiena

max < 1nm odpowiada temperaturze T > 3 milionów K

realizacja przez eksplozje jądrowe

max > 1mm dla T < 3 K bardzo niska wartość mocy

Podwyższając temperaturę zwiększamy moc i w mikrofalach, ale większość emisji poza mikrofalami

Zawężanie widma źródeł promieniowania

Metody:

W epoce przedlaserowej:

Niskociśnieniowe lampy spektralne

Wydzielanie części widma za pomocą monochromatora

Wysoki stopień monochromatyczności promieniowania wymagają:

nośniki przesyłania informacji na duże odległości

dyspersja ośrodka materialnego – światłowodu – zmniejsza gęstość upakowania

układy interferencyjne w celu uzyskania dużego kontrastu prążków

sód

wodór

rtęć

hel

neon

Linie widmowe lamp spektralnych

Długość fali 600 550 500 450 400 nm

Wydzielanie części widma za pomocą monochromatora

Przełom: laserowe źródła promieniowania

Niska sprawność metody

Dodając do spektrometru szczelinę monochromator

Optyka kwantowa

operuje narzędziami statystyki i teorii prawdopodobieństwa co jest niewygodne z punktu widzenia inżynierskiego

Współcześnie najogólniejsza teoria

Foton jako korpuskuła propagować się może przez

jedną ze szczelin

Wynik interferencji temu przeczy

Przy statystyce pojedynczych fotonów odtwarza się struktura prążkowa

Wątpliwości przy myśleniu tradycyjnym

G

S1

S2

x

0

r1

r2

M

Interferometr (Thomas’a) Younga (1773-1829)

Kontrast prążków21

21

minMmaxM

minMmaxM

II

II2

IIII

C

1C0 1Cmax dla 21 II

122121MMM rrkcosII2IIVVI

W płaszczyźnie prążki interferencyjneG

S1

S2

x

0

r1

r2

M

Rozkład Bernoulliego zmiennych losowych dyskretnych

nnns sP1Pn

np

p – prawdopodobieństwo

n pozytywnych zdarzeń w ns próbach

1,0P

ns – liczba prób

prawdopodobieństwo pozytywnego zdarzenia

!nn!n

!n

n

n

s

ss

Statystyka fotonów słabych sygnałów

106 fotonów na sekundę i cm2

daje światło gwiazd

ns - średnia liczba propagujących się fotonów w przedziale t

Prawdopodobieństwo p(n) zarejestrowania n fotonów opisane jest

rozkładem (Simeon’a) Poissona dla małych wartości p

,..3,2,1n

!nnexpn

np sns

rozkład prawdopodobieństwa rzadkich zdarzeń

ns = 5

ns = 10

ns = 15

5 100 15 20 25n

p(n)

0.15

0.10

0.05

0.00

ns n %ns

100 10 10

106 1000 0.1

Standardowe odchylenie sn n

Rej_fot.exe

Rejestracja fotonów przez macierz odbiorników

= 104

= 106

n = 103 n – liczba fotonów

Czerwoną linią - obraz oczekiwany

Rejestracja przy małej i dużej liczbie fotonów

Cyfrowy tor przenoszenia informacji

Średni strumień fotonów ns= 100 Poziom dyskryminacji nd = 50

0bit50n1bit50n

Przesyłamy bit 1

Prawdopodobieństwo błędu 8

49

0np 104.2np50np

Wartość nie do zaakceptowania w EMC

Prawidłowy wybór poziomu dyskryminacji

dd nnpnnp

daje nd = 38 i pp = 10-12

Mniejsza średnia liczba fotonów obniża zużycie energii przy przesyłaniu informacji, ale kosztem wzrostu szumów

Istnieje problem fotoniki słabych sygnałów

Wątpliwości przy myśleniu tradycyjnym cd

Na podstawie dotychczasowego pojmowania optyki kwantowej i elektrodynamiki brak jest spójnego wyjaśnienia zjawisk związanych

z dwoistością natury

fala i korpuskuła jednocześnie

Interferencję wyjaśnia model falowy (ale nie kwantowy) zasadę pracy lasera - model kwantowy

Co przyniesie wiek XXI ?

?

Generacja promieniowania przez atom

a brak tłumienia

Atom pobiera energię absorpcja fotonu – atom przechodzi w stan wzbudzony

Spontaniczna emisja fotonu atom przechodzi w stan energetycznie niższy

Emisja – tłumiony przebieg harmoniczny

0ttiexpt

expVtV 0a

0

T

12 000

0 – częstotliwość T – okres

a – parametr tłumienności

Re[V/V0]

t

a/texp

a

T

1

e-1

Generacja promieniowania przez atom cd

Częstotliwość 0 jest bardzo wysoka rzędu 1014 Hz

Odbiornik rejestruje średnią wartość mocy – intensywność I(t)

a0

t2expItVtVtI

000 VVI

Parametr tłumienia a odpowiada czasowi, po którym intensywność

zmniejsza się e-2 = 0.135 razy

I/I01

t0

0

e-2

a

Widmo promieniowania atomu

(Jean) Fourier (1768-1830) wykazał, że każdą funkcję f(t) można rozłożyć na zbiór harmonicznych o różnych częstotliwościach kołowych

Fala o jednej częstotliwości tcos ),(t

Harmoniczna w postaci zespolonej tiexp

Czy promieniowanie może być monochromatyczne ?

Kluczowy problem:

dtiexpF2

1tf

gdzie widmo funkcji

dttiexptfF

Odwrotne przekształcenie Fouriera

Przekształcenie Fouriera

Widmo promieniowania atomu cd

Aby znaleźć widmo funkcji 0ttiexpt

expVtV 0a

0

należy znaleźć jej transformatę Fouriera, to znaczy

0 a

00 dtt1

iexpVdttiexptVV

Rozkład intensywności w widmie fotonu

2a

20

2

0

14

IVVI

Po rozwiązaniu całki przez podstawienie

a

0

0ω

τ1

ωωi

VV

yt1

ia

0

Widmo promieniowania atomu cd

2a

20

2

0

14

IVVI

0

I/I02a

2a5.0

Połówkowa szerokość wyznacza się z zależności

2a0max

2a

22

0 I5.0I5.01

24

I

a

1

Promieniowanie monochromatyczne = 0

tylko dla a = Harmoniczna nietłumiona

Widmo promieniowania atomu cd

Atom nigdy nie promieniuje światłem monochromatycznym

Im większe tłumienie (współczynnik a mniejszy)

tym szersze widmo promieniowania

K !!

Promieniowanie monochromatyczne jest pojęciem abstrakcyjnym

wprowadzonym dla wygody rozważań

Fala monochromatyczna tiexpzVt,zE

Po podstawieniu do równania falowego

0tE

c1

zE

2

2

22

2

0tiexpV

czV

2

2

2

2

ponieważ 00

k2

c2

c

– kołowa liczba falowa w próżni

0VkzV 2

02

2

równanie (Hermann’a) Helmholtz’a

Dla fali monochromatycznej pomija się zmiany pola w funkcji czasu, wystarczy wyznaczać zmiany pola w przestrzeni

Literatura uzupełniająca

Literatura podstawowa poziom wyższy naukowa

J.Petykiewicz: Optyka falowa. PWN, Warszawa 1986, rozdziały 1 i 2

E.Hecht, A.Zajac: Optics. Addison-Wesley Publ. Co., Reading Mass. 1974, rozdziały 3,4 i 13

R.Jóźwicki: Podstawy inżynierii fotonicznej. Ofic,Wyd. PW, Warszawa 2006

B.E.A.Saleh, M.C.Teich : Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, New York 1991, rozdziały 5 i 11

M.Born, E.Wolf: Principles of Optics. Perg. Press, Oxford 1980, rozdz. III;