COLLECTION GÉOMÉTRIQUE

ΣΥΝΑΓΩΓΉ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ

AUTOUR

DU

TRIANGLE ORTHIQUE 0

Jean-Louis AYME 1

A

B C

I

M

K

Ha

Pm

1

Résumé. L'auteur présente une collection de problèmes autour du triangle orthique d'un triangle et dont le contexte se réfère au titre ci-avant. Preuves souvent originales, commentaires et notes historiques accompagnent chaque problème.

Cette collection construite d'une façon linéaire par accumulation linéaire se poursuit… Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Avertissement. L'auteur rappelle que la vision triangulaire d'un résultat est laissée aux soins du lecteur. Un renvoi comme ''Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de la même section. Un renvoi comme ''12. Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de ''la section 12''. Un foot note précise une origine du problème, une signification ou une renvoie à un article de l'auteur.

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan indien, France), le 12/02/2019 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2

2

Abstract. The author presents a collection of problems around the orthic triangle of a triangle and whose context refers to the above title. Often original proof, comments and historical notes accompany each problem.

This linearly collection builts by accumulation continues... The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated

synthetically.

Warning. The author recalls that the triangular vision of a result is left to the reader care.

A reference as ''Problem 5'' means that the reader refer to the ''Problem 5'' of the same section. A reference like ''12. Problem 5'' means that the reader refer to the ''Problem 5'' of ''section 12''. A foot note specifies an origin of the problem, a meaning or a refers to an article of the author.

Sommaire

A. Récapitulation 3

B. Thèmes des problèmes 6

C. Les problèmes résolus 8

1. 2019 Japan Mathematical Olympiad, Finals Problem 4 9 2. Sharygin Geometry Olympiad Correspondence round 2016 P-3 Grade 8 12 3. Une bissectrice 14 4. Tangente issue d'un point d'Euler à un cercle de Carnot 16 5. Deux centres * Cercle d'Euler * Un milieu 18 6. Cercle passant par l'orthocentre et un sommet 20 7. Parallèle à un côté du triangle 22 8. Une parallèle à une hauteur * Un cercle de Carnot 24 9. Droites concourantes sur un côté du triangle orthique 26 10. Une cévienne parallèle à un côté 28 11. Un cercle tangent à un côté en un sommet 30 12. Le pied d'une hauteur est un milieu 32 13. L'orthocentre est sur la médiatrice d'une corde 34 14. Quatre points cocycliques 36 15. Trois parallèles entre elles 41 16. Une relation 44 17. Une symédiane 46 18. Parallèle à une droite de Steiner 49 19. Deux angles égaux 51 20. Perpendiculaire ou parallèle à une cévienne du triangle orthique 53

3

3

A. RÉCAPITULATION

1 2

4

3

6

5

A

B C P

Q

D

E F

A

B C

I

M

K

Ha

Pm

1

1a

A

B C

H

D

X

Y

K 1a

1'a

A

B C

F

D

E

H

M

A*1a

A

B C

D

N

P

U

V

1

2

3

A

B

H

M

C

N

D

E

1

4

4

7 8

9 10

11 12

A

B C

F

E

Z Y

A

B C

F

E

O

1a

P

A

B C D

0

F

E

H

1a

P

A

B C D

G

0

A"

A

B C D

G

A'

1b

0

A

B C

H

R

M

1b

5

5

13

14

ABC est isocèle 16

15

17 18

A

B C

H

M

1b1c

1*

W

N V

A

B C

H O

ObM Oc

1b1c

1*

0

N

Q

R

P

Z

Y

A

B C

K

I

J Y

Z

P

T

Q U

R

A

B C

T

M

R

Q

A

B C

R

Q

P T S

U

V

A*

A

B C

H

D

O K

0

A'

6

6

19 20

A

B C

H

D

O K

A

B C

H

D

O K

0

X

7

7

B. THÈMES DES PROBLÈMES 2

• Cercle tangent au cercle inscrit 1 • Parallèle à un côté 2, 7, 10 • Bissectrice 3 • Tangente issue d'un point d'Euler à un cercle de Carnot 4 • Deux centres * Cercle d'Euler * Un milieu 5 • Cercle passant par l'orthocentre et un sommet 6 • Une parallèle à une hauteur * Un cercle de Carnot 8 • Droites concourantes sur un côté du triangle orthique 9 • Un cercle tangent à un côté en un sommet 11 • Le pied d'une hauteur est un milieu 12 • L'orthocentre est sur la médiatrice d'une corde 13 • Quatre points cocycliques 14 • Trois parallèles entre elles 15 • Une relation 16 • Une symédiane 17 • Parallèle à une droite de Steiner 18 • Deux angles égaux 19 • Perpendiculaire ou parallèle à une cévienne du triangle orthique 20

2 Renvoi au numéro du problème

8

8

C. LES PROBLÈMES RÉSOLUS

9

9

PROBLÈME 1 3

2019 Japan Mathematical Olympiad, Finals Problem 4

Cercle tangent au cercle inscrit

VISION

Figure :

A

B C

I

M

K

Ha

Pm

1

1a

Traits : ABC un triangle acutangle, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, M le milieu de [BC], Ha la A-hauteur de ABC, Pm la perpendiculaire à (AI) issue de M K le point d'intersection de Pm et Ha, et 1a le cercle de diamètre [AK]. Donné : 1 est tangent à 1a.

VISUALISATION

3 2019 Japan Mathematical Olympiad, Finals Problem 4, AoPS du 11/02/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1782672_2019_japan_mathematical_olympiad_finals_problem_4

10

10

A

B C

I

D

M

K

1

1a

N

• Notons N le second point d'intersection de (MK) avec 1a et D le point de contact de 1 avec (BC). • D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', A, I et N sont alignés.

A

B C

I

D

M

K

X

1a

N

1'a

• Notons 1'a le cercle de diamètre [IM] ; il passe par D et N ; et X le second point d'intersection de 1'a et 1a. • Scolie : (ID) // (AK). • Les cercles 1'a et 1a, les points de base N et X, la monienne (INA), les parallèles (ID) et AK), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, D, X et K sont alignés.

A

B C

I

D

M

K

X

1a

N

1'a

1

11

11

• Conclusion : d'après Auguste Miquel ''Le théorème du pivot'' 4 appliqué au triangle DMK avec D sur (DM), N sur (MK), X sur (KD),

(1) 1 passe par X

(2) 1 est tangent à 1a.

4 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

12

12

PROBLÈME 2 5

Sharygin Geometry Olympiad Correspondence round 2016 P-3 Grade 8

Proposed

by

E. Diomidov

Parallèle à un côté

VISION

Figure :

A

B C P

Q

D

E F

Traits : ABC un triangle, P, Q les pieds des A, B-hauteurs de ABC, D le pied de la perpendiculaire à (AC) issue de P, E le pied de la perpendiculaire à (AB) issue de D

et F le point d'intersection (DE) et (AP). Donné : (FQ) est parallèle à (BC).

VISUALISATION

5 Lines are parallel, AoPS du 20/02/2017 ;

https://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1386424_lines_are_parallel

13

13

A

B C P

Q

H D

E F

R

• Notons R le pied de la C-hauteur de ABC et H l’orthocentre de ABC.

• Scolies : (1) (PD) // (HQ) (2) (DF) // (HC).

A

B C P

Q

H D

E F

R

1

2

3

4

5

6

• D'après Pappus d'Alexandrie ''Le petit théorème'' 6 appliqué à l'hexagone sectoriel FQHCPDF de frontière (AP) et (AC), (FQ) // (CP). • Conclusion : (FQ) est parallèle à (BC).

6 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

14

14

PROBLÈME 3 7

Une bissectrice

VISION

Figure :

A

B C

H

D

X

Y

K 1a

1'a

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, D le pied de la D-hauteur de ABC, 1a le cercle de diamètre [AH], 1'a un cercle passant par B et C,

X, Y les points d'intersection de 1'a avec 1a et K le pied de la perpendiculaire à (XY) issue de D. Donné : (KD) est la K-bissectrice intérieure du triangle BKC.

VISUALISATION

7 D1823, Une harmonieuse configuration, Diophante, site de Fondanaiche P. ; http://www.diophante.fr/

15

15

A

B C

H

E

D

F X

Y

K

1a1'a

Z

1"a

• Notons DEF le triangle orthique de ABC et 1''a le cercle de diamètre [BC]. • Scolie : 1a et 1''a passent par E et F. • D'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' 8, (EF), (XY) et (BC) sont concourantes. • Notons Z ce point de concours. • D'après Pappus d'Alexandrie ''Diagonales d’un quadrilatère complet'' 9 appliqué à AFHE, le quaterne (B, C, D, Z) est harmonique ; en conséquence, le pinceau (K ; B, C, D, Z) est harmonique. • Conclusion : ce pinceau ayant deux rayons perpendiculaires 10, (KD) est la K-bissectrice intérieure du triangle BKC.

8 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 9 Pappus, Collections, Livre 7, proposition 131 10 Apollonius de Perge, Plane Loci, Livre 2

16

16

PROBLÈME 4 11

Un point d'Euler * Deux cercles orthogonaux * Tangente à un cercle de Carnot

VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

H

M

A*1a

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, DEF le triangle orthique de ABC, A*, M les milieux resp. de [AH], [BC] et 1a le cercle de diamètre [BC] ; il passe par E et F. Donné : (A*E) est tangente à 1a en E. Commentaire : un résultat immédiat.

VISUALISATION

11 Circle tangent to the A-altitude, AoPS du 11/10/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1150547_circle_tangent_to_the_aaltitude

17

17

A

B C

F

D

E

H

M

A*1a

1*a

• Notons 1*a le cercle de diamètre [A*H] ; il passe par E, F et a pour centre A*. • D'après Nathan Altshiller-Court 12, 1*a étant orthogonal à 1a, (A*E) ⊥ (EM). • Conclusion : par définition, (A*E) est tangente à 1a en E.

12 Ayme J.-L., A propos de la ponctuelle (MH), G.G.G. vol. 7, p. 50-51 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

18

18

PROBLÈME 5 13

Deux centres * Cercle d'Euler * Un milieu

VISION

Figure :

A

B C

D

N

P

U

V

1

2

3

Traits : ABC un triangle, H l'orthocentre de ABC, D le pied de la A-hauteur de ABC, 1 le cercle d'Euler de ABC, N le centre de 1 P un point de 1 2, 3 les cercles circonscrits resp. aux triangles PBH, PCH et U, V les centres resp. de 2, 3. Donné : N est le milieu de [UV].

13 Problem about circumcenters, AoPS du 12/10/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1151055_problem_about_circumcenters

19

19

VISUALISATION

A

B C

D

N

P

U

V

1

2

3 M

• Notons M le milieu de [BC]. • Scolie : par définition, 1 passe par M. • 1, 2 et 3 sont coaxiaux à points de base D et P. • 1 passant par M est le cercle des milieux de 2 et 3. 14

• Conclusion : N est le milieu de [UV]. 15

14 Ayme J.-L., The midcircle theorem, G.G.G. vol. 25 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 15 Ayme J.-L., The midcircle theorem, G.G.G. vol. 25, p. 4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

20

20

PROBLÈME 6 16

VMO 2003

Cercle passant par l'orthocentre et un sommet

VISION

Figure :

A

B

H

M

C

N

D

E

1

Traits : ABC un triangle, M, N deux points de (AC) tel que MN = AC, D, E deux points tels que (1) (MD) soit perpendiculaire à (BC) (2) (NE) soit perpendiculaire à (AB), H l'orthocentre de ABC et 1 le cercle passant par B, E, D. Donné : H est sur 1.

VISUALISATION

16 Old VMO Geometry 2, AoPS du 19/09/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1143332_old_vmo_geometry_2

21

21

A

B

H

M

C

N

D

E

1

B'

P

C'

• Notons B', C' les pieds de la B, C-hauteurs de ABC

et P le point d'intersection de (MD) et (NE). • Les triangles PMN et HAC étant homothétiques et ayant deux côtés correspondants égaux (MN = AC), sont égaux ; en conséquences, (1) AH = MP (2) le quadrilatère AHPM est un parallélogramme (3) (HP) ⊥ (BHB'). • Conclusion : d'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'' appliqué au cercle 1 de diamètre [BP], H est sur 1.

22

22

PROBLÈME 7 17

Parallèle à un côté du triangle

VISION

Figure :

A

B C

F

E

Z Y

Traits : ABC un triangle acutangle, E, F les pieds de B, C-hauteurs de ABC, et Y, Z les pieds des perpendiculaires à (CF), (BE) issues resp. de E, F. Donné : (YZ) est parallèle à (BC).

VISUALISATION

A

B C

F

E

Z Y

17 Ayme J.-L., Two parallel lines, AoPS du 16/10/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1152424_two_parallel_lines

23

23

• Scolies : (BF) // (EY) et (FZ) // (EC). • Conclusion : d'après Pappus ''Le petit théorème'' 18

appliqué à l’hexagone BFZYECB dont les sommets sont alternativement sur (BE) et (CF), (YZ) est parallèle à (BC).

18 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

24

24

PROBLÈME 8 19

Une parallèle à une hauteur * Un cercle de Carnot

VISION

Figure :

A

B C

F

E

O

1a

P

Traits : ABC un triangle acutangle, O le centre du cercle circonscrit à ABC, E, F les pieds de B, C-hauteur de ABC, 1a le cercle de diamètre [BC] ; il passe par E et F ; et P le second point d'intersection de (BO) avec 1a. Donné : (EP) est parallèle à (CF).

VISUALISATION

19 Ayme J.-L., Two parallels, AoPS du 15/10/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1152101_two_parallels

25

25

A

B C

F

E

O

1a

P

• (BO) et (BE) étant deux B-isogonales de BAC, sont aussi deux B-isogonale du triangle BCF ; en conséquence, (PE) // (CF). • Conclusion : (EP) est parallèle à (CF).

26

26

PROBLÈME 9 20

Droites concourantes sur un côté du triangle orthique

VISION

Figure :

A

B C D

0

F

E

H

1a

P

Traits : ABC un triangle acutangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, H l'orthocentre de ABC, DEF le triangle orthique de ABC, 1a le cercle de diamètre [AH] ; il passe par E et F ; et P le second point d'intersection de 1a et 0. Donné : (PA), (EF) et (BC) sont concourantes.

VISUALISATION

A

B C D

0

F

E

H

1a

P

1'a

20 Geogmetry, AoPS du 09/11/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1161051_geogmetry

27

27

• Notons 1'a le cercle de diamètre [BC] ; il passe par E et F. • Conclusion : d'après Monge ''Le théorème des trois cordes'' 21

appliqué à 0, 1a et 1'a, (PA), (EF) et (BC) sont concourantes.

21 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

28

28

PROBLÈME 10 22

IMO 2011 G4

Une cévienne parallèle à un côté

VISION

Figure :

A

B C D

G

0

A"

Traits : ABC un triangle acutangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, D le pied de la A-hauteur de ABC, G le point médian de ABC et A'' le point d'intersection de [DG[ avec 0. Donné : (AA'') est parallèle à (BC).

VISUALISATION

22 Two parallels, AoPS du 11/11/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1161858_two_parallels Parallel lines, AoPS du 07/01/2017 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1365256_parallel_lines

Nice lemma, AopS du 10/02/2017 ; https://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1380976_nice_lemma Prove that K,G,X are collinear, AoPS du 11/06/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1656569_prove_that_kgx_are_collinear

29

29

A

B C D

H O G

0

A", X

M

A' A*

• Notons H l'orthocentre de ABC, O le centre de 0, M le milieu de [BC], A' le second point d'intersection de (AD) avec 0, A* l'antipôle de A relativement à 0

et X le point d'intersection de (DG) et (A'O). • Scolies : (1) (AGM) est la A-médiane de ABC

(2) (HGO) est la droite d'Euler de ABC (3) A* est le symétrique de H par rapport à O (4) (A'A*) // (BC). • D'après Desargues ''Le théorème des deux triangles'' 23 appliqué aux triangles perspectifs DMG et A'A*O, (1) (AX) en est l'arguésienne (2) (AX) // (BC). • Par symétrie de centre O, X et A'' sont confondus. • Conclusion : (AA'') est parallèle à (BC).

23 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus, G.G.G. vol. 6, p. 40 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

30

30

PROBLÈME 11 24

All-Russian olympiad 2015, class 9, day 2, problem 7

Proposé par

A.I.Golovanov, A. Yakubov

Un cercle tangent à un côté en un sommet

VISION

Figure :

A

B C D

G

A'

1b

0

Traits : ABC un triangle acutangle tel que AB < AC, 0 le cercle circonscrit à ABC, D le pied de la A-hauteur de ABC, G le point médian de ABC, A' le point d'intersection de [GD[ avec 0 et 1b le cercle circonscrit au triangle A'DB. Donné : 1b est tangent à (AB) en B.

VISUALISATION

24 circumcircle is tangent to AB, AoPS du 05/11/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1159504_circumcircle_is_tangent_to_ab

31

31

A

B C D

G

A'

1b

0

A"

• Notons A'' le second point d'intersection de (A'G) avec 0. • D'après Problème 10, (AA'') // (BDC). • Conclusion : le cercle 0 et 1b, les points de base A' et B, la moniennes naissantes (A''A'D),

les parallèles (A''A) et (DB), conduisent au théorème 3' de Reim ; en conséquence, 1b est tangent à (AB) en B.

32

32

PROBLÈME 12 25

Le pied d'une hauteur est un milieu

VISION

Figure :

A

B C

H

R

M

1b

Traits : ABC un triangle acutangle, H l’orthocentre de ABC, 1b le cercle circonscrit au triangle AHC, M le second point d'intersection de 1b avec (AB) et R le pied de la C-hauteur de ABC. Donné : R est le milieu de [BM].

VISUALISATION

A

B C

H

R

M

1b

Q

• Notons Q le pied de la C-hauteur de ABC. • Une chasse angulaire :

25 A midpoint, AoPS du 02/03/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1793798_a_midpoint

33

33

* le quadrilatère AMHC étant cyclique, <BMH = <ACH * par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <ACH = <HBM * par transitivité de =, <BHM = <HBM. • Conclusion : R étant le pied de la H-hauteur du triangle H-isocèle HBM, R est le milieu de [BM].

34

34

PROBLÈME 13 26

H est sur la médiatrice d'une corde

VISION

Figure :

A

B C

H

M

1b1c

1*

W

N

V

Traits : ABC un triangle,

H l'orthocentre de ABC 1b, 1c les cercles circonscrits resp. aux triangles AHC, AHB, M, N les seconds points d'intersection resp. de 1b avec (AB), 1c avec (AC), 1* le cercle circonscrit au triangle MNH et V, W les points d'intersection de 1* resp. avec (AC), (AB). Donné : le triangle HVW est H-isocèle.

VISUALISATION

26 An interesting isoceles triangle, AoPS du 03/03/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1794376_an_interesting_isoceles_triangle

35

35

A

B C

H

M

1b1c

1*

W

N

V

• Une chasse angulaire : * par ''Angles inscrits'', <WVH = <WMH

* d'après Problème 12, <WMH = <HBM * par une autre écriture, <HBM = <HBA * par ''Angles inscrits'', <HBA = <HNA * le quadrilatère VNHW étant cyclique, <HNA = <HWV

* par transitivité de =, <WVH = <HWV.

• Conclusion : le triangle HVW est H-isocèle. Scolie : H est sur la médiatrice de [VW].

36

36

PROBLÈME 14 27

Quatre points cocycliques

VISION

Figure :

A

B C

H O

ObM Oc

1b1c

1*

0

N

Q

R

P

Z

Y

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC O le centre de 0, PQR le triangle orthique de ABC, Y, Z les points d'intersection de (PR) et (AC), (PQ) et (AB),

H l'orthocentre de ABC 1b, 1c les cercles circonscrits resp. aux triangles AHC, AHB, et M, N les seconds points d'intersection de 1b avec (AB), 1c avec (AC), Donné : Y, N, M et Z sont cocycliques.

VISUALISATION

27 Quatre points cocycliques, AoPS du 06/03/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1796454_four_concyclic_points

37

37

• Scolie : (YZ) est l'axe orthique de ABC.

A

B C

H O

ObM Oc

N

1b1c

1*

0

W

V

Q

R

P

Ta

1'b

• Notons 1* le cercle circonscrit au triangle MNH

Ta la tangente à 1b en A. et W le second point d'intersection de 1* avec (AB). • D'après Christian von Nagel 28, (PQ) ⊥ (CO). • Ob étant le symétrique de O par rapport à (AC), (CO) // (AOb) ; en conséquence, (PQ) ⊥ (AOb). Par définition d'une tangente, (AOb)⊥ Ta. d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (PQ) // Ta. en conséquence, • Le cercle 1b, les points de base C et M, les moniennes naissantes (ACQ) et (AMW), les parallèles Ta et (QW), conduisent au théorème 1'' de Reim ; en conséquence, C, M, Q et W sont cocycliques. • Notons 1'b ce cercle.

28 Ayme J.-L., Cinq théorèmes de Christian von Nagel, G.G.G. vol. 3, p. 21-22 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

38

38

A

B C

H O

ObM Oc

N

1b1c

1*

0

W

V

Q

R

P

1'b1'c

• Notons V le second point d'intersection de 1* avec (AC). • Mutatis mutandis, nous montrerions que B, N, R et V sont cocycliques. • Notons 1'c ce cercle.

39

39

A

B C

H O

ObM Oc

1b1c

1*

0

W

N V

Q

R

P

Z

Y

1'a

• Une chasse de puissance relative à A : * par rapport à 1'b, AM.AW = AQ.AC * par rapport au cercle de diamètre [BC], AQ.AC = AR.AB * par rapport à 1'c, AR.AB = AN.AV * par transitivité de =, AM.AW = AN.AV. • Conclusion : d'après Feuerbach-Steiner, M, W, N et V sont cocycliques. • Notons 1'a ce cercle. Scolie : une parallèle à l'axe orthique

40

40

A

B C

H O

ObM Oc

1b1c

1*

0

W

N V

Q

R

P

Z

Y

1'a

• Les cercles 1'a et 1*, les points de base N et M, les moniennes (YNV) et (ZMW), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (YZ) // (VW). • Conclusion : (VW) est parallèle à l'axe orthique (YZ) de ABC.

41

41

PROBLÈME 15 29

Anant Bansal

Trois parallèles entre elles

VISION

Figure :

A

B C

K

I

J Y

Z

P

T

Q

U

R

Traits : ABC un triangle, IJK le triangle médian de ABC, PQR le triangle orthique de ABC,

Z, T les points d'intersection de (IJ) resp. avec (AP), (BQ) et Y, U les points d'intersection de (IK) resp. avec (AP), (CR).

Donné : (BY), (CZ) et (TU) sont parallèles entre elles.

VISUALISATION

29 Problem 2872,

Thakis Chronopoulos, https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10216125451463789&set=gm.2117437885036573&type=3&theater&ifg=1 Three curios parallels, AoPS du 07/023/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1797117_three_curios_parallels

42

42

A

B C

K

I

J

Y

Z

P

1 2

3

4

5

6

• Scolies : (IK) //(AC) et (IJ)// (AB). • D'après Pappus d’Alexandrie ''Le petit théorème'' 30 la droite à l'infini est la pappusienne de l'hexagone sectoriel BYIZCAB de frontières (BC) et (AP). • Conclusion partielle : (BY) est parallèle à (CZ).

A

B C

K

I

J Y

Z

P

T

Q

U

R

H

1

2 3

4 5

6

• Notons H l'orthocentre de ABC. • D'après Pappus d'Alexandrie ''Le petit théorème'' appliqué l'hexagone sectoriel HBYIZCH de frontières (AP) et (BC), (1) (TU) en est la pappusienne (2) (CZ) // (TU).

30 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d’Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

43

43

• Conclusion : (BY), (CZ) et (TU) sont parallèles entre elles. Archive :

44

44

PROBLÈME 16 31

Une relation

VISION

Figure :

A

B C

T

M

R

Q

Traits : ABC un triangle A-isocèle, T le pied de la B-hauteur de ABC,

M un point de [BC], et Q, R les pieds des perpendiculaires resp. à (AC), (AB) issues de M.

Donné : MQ + MR = BT.

VISUALISATION

A

B C

T

M

R

Q U

V

• Notons U le point d'intersection de la parallèle à (AC) issue de M avec (AB) et V le point d'intersection de (MU) et (BT). • Scolies : (1) MQ = VT

(2) le triangle UBM est U-isocèle

31 A relation, AoPS du 13/03/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1801345_a_relation

45

45

(3) MR = BV (4) par substitution, MR + MQ = BV + VT.

• Conclusion : par commutativité et addition, MQ + MR = BT.

46

46

PROBLÈME 17 32

proposed

by

Maurice d'Ocagne (1884)

Une symédiane

VISION

Figure :

A

B C

R

Q

P T S

U

V

A*

Traits : ABC un triangle acutangle, PQR le triangle orthique de ABC,

S, T les pieds des perpendiculaires à (BC) issues resp. de Q, R, U, V les pieds des perpendiculaires resp. à (AB), (AC) issues de P et A* le point d'intersection de (TU) et (SV).

Donné : A* est sur la A-symédiane de ABC. Commentaire : une solution alternative mettrait en œuvre ''le petit théorème de Pappus'' 33….

32 Problema 904, Quincena del 1 al 15 de Marzo de 2019, site de Ricardo Barroso Campos (Sevilla, Espaňa) ;

http://personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/ D’Ocagne M., Note sur la symédiane ; Nouvelles annales de mathématiques 3ª Série, tome 3. p. 28 ;

http://www.numdam.org/item/?id=NAM_1884_3_3__25_1 D’Ocagne M., Symmedian, AoPS du 15/03/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1802986_symmedian

33 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d’Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

47

47

VISUALISATION

A

B C

R

Q

P T S

U

V

A*

1c

1'c

• Notons 1c le cercle de diamètre [PQ] il passe par S et V ; et 1'c le cercle de diamètre [AB] il passe par P et Q. • Les cercles 1c et 1'c, les points de base Q et P, les moniennes (VQA) et (SPB), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (VS) // (AB). • Mutatis mutandis, nous montrerions que (UT) // (AS). • Conclusion partielle : le quadrilatère AUA*V est un parallélogramme.

A

B C

R

Q

P T S

U

V

A*

M

• Notons M le point d’intersection des diagonales [AA*] et [UV]. • Conclusion : M état le milieu de [UV], (AA*) est la A-symédiane de ABC.

48

48

Archive :

34

34 D’Ocagne M., Note sur la symédiane ; Nouvelles annales de mathématiques 3ª Série, tome 3. p. 28 ;

http://www.numdam.org/item/?id=NAM_1884_3_3__25_1

49

49

PROBLÈME 18 35

Parallèle à une droite de Steiner

VISION

Figure :

A

B C

H

D

O K

0

A'

Traits : ABC un triangle acutangle tel que AC < BC < AB, H l'orthocentre de ABC, D le pied de la A-hauteur de ABC, A' le second point d'intersection de (AD) avec 0, O le centre du cercle circonscrit à ABC et K le point d'intersection de la perpendiculaire à (OD) en D avec (AC). Donné : (HK) est parallèle à (A'B).

VISUALISATION

35 Ayme J.-L., Two perpendiculars, AoPS du 03/08/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1283140_two_perpendiculars Deux perpendiculaires, Les-Mathematiques.net ;

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1308483

50

50

A

B C

H

D

O K

0

A'K'

• Notons K' le point d'intersection de (KD) et (A'B). • D'après ''The butterfly theorem'' 36, appliqué au quadrilatère croisé cyclique AA'BCA, DK' = DK. • D'après Carnot ''Symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté'', DA' = DH. • Le quadrilatère HKA'K' étant un parallélogramme, (HK) // (A'K').

• Conclusion : (HK) est parallèle à (A'B).

36 Ayme J.-L., A new metamorphosis of the butterfly theorem, G.G.G. vol. 7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

51

51

PROBLÈME 19 37

IMO Shortlist 1996 problem G3

14-th Iranian Mathematical Olympiad 1996/1997 (1375) september

Deux angles égaux

VISION

Figure :

A

B C

H

D

O K

Traits : ABC un triangle acutangle tel que AC < BC < AB, B' le milieu de [AC], H l'orthocentre de ABC, D le pied de la A-hauteur de ABC, O le centre du cercle circonscrit à ABC et K le point d'intersection de la perpendiculaire à (OD) en D avec (AC). Donné : <DHK = <ACB.

VISUALISATION

37 I need some pure geometry :)), AoPS du 04/10/2003 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1133_i_need_some_pure_geometry_ ANGLE EQUAL, AoPS du 26/11/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1167200_angle_equal Akopyan problem 4.2.6, Nice geometry, AoPS du 03/08/2016 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1283090_nice_geometry proving equal, AoPS DU 10/10/2016 http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1317230_proving_equal Easy Problem, AoPS du 29/08/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1504038_easy_problem Nice problem, AoPS du 24/02/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1790489_nice_problem

52

52

A

B C

H

D

O K

0

A'

• Notons 0 le cercle circonscrit à ABC et A' le second point d'intersection de (AD) avec 0. • D'après Problème 18, (HK) // (A'B). • Une chasse angulaire : * par ''Angles alterne-interne'', <DHK = <HA'B * par une autre écriture, <HA'B = <AA'B * par ''Angles inscrits'', <AA'B = <ACB • Conclusion : par transitivité de =, <DHK = <ACB.

53

53

PROBLÈME 20 38

proposed

by

Tran Quang Hung

Perpendiculaire ou parallèle à

une cévienne du triangle orthique

VISION

Figure :

A

B C

H

D

O K

0

X

Traits : ABC un triangle acutangle tel que AC < BC < AB, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, H l'orthocentre de ABC, D le pied de la A-hauteur de ABC, K le point d'intersection de la perpendiculaire à (OD) en D avec (AC) et X le symétrique de H par rapport à (DK). Donné : X est sur 0.

VISUALISATION

38 Tran Quang Hung, dit buratinogigle, Concurrent on Euler line, AoPS du 02/01/2013 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h514684_concurrent_on_euler_line

54

54

A

B C

H

D

O

K

0

X

N

D'

D''

1

• Notons 1 le cercle d'Euler de ABC, N le centre de 1, D' l'antipôle de D relativement à 1 et D'' le point d'intersection de (D'H) et (DK). • Par culture géométrique, N est le milieu de [OH]. • Le quadrilatère ODHD' étant un parallélogramme, (D'H) // (OD) ; par hypothèse, (OD) ⊥ (DK) ; en conséquence, (D'H)⊥ (DK). • D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', D'' est sur 1. • Conclusion : 0 étant l'homothétique de 1 (centre H, rapport 2), X est sur 0.