os números reais
TRANSCRIPT
1
Os Números Reais
1. Introdución
2. Números racionais. Números irracionais
2.1 Números racionais
2.2 Números irracionais
3. Os números reais. A recta Real
4. Aproximacións e erros
5. Notación Científica
6. Radicais e operacións
7. Logaritmos e propiedades
1. Introdución
Na Grecia Clásica crían que todo o universo rexíase polos números naturais e os fraccionarios. Pero todo isto cambio cando descubriron que algúns números coma a diagonal dun cadrado de lado 1, non se podía poñer coma cociente de números enteiros, a estes números lles chamaron irracionais, porque eran contrarios a razón.
√ √
2. Números racionais. Número irracionais
2.1. Os números racionais
Os números naturais (ℕ) son os números 0,1,2,3,4,... Úsanse para contar e ordenar os elementos dun conxunto.
Os números enteiros(ℤ) están formado polo conxunto dos números naturais e os seus opostos(números negativos). Con eles completamos a tarefa de contar e ordenar números negativos.
Para expresar medidas necesítanse os números fraccionarios. Os fraccionarios cos enteiros, forman o conxunto dos números racionais(ℚ).
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ
2
O conxunto dos números racionais caracterízanse porque poden expresarse en
forma de fracción, e dicir, coma cociente de dous números enteiros.
ℚ
Os números racionais tamén se caracterizan pola súa forma decimal: ou ben son
enteiros ou ben decimais exactos ou periódicos.
2.2. Os números irracionais
Os números irracionais son aqueles que non se poden expresar como cociente de dous números enteiros. A súas expresións decimal non son nin exacta nin periódica. Algúns exemplos de números irracionais son:
Os radicais: √ √ √
O número pi,
O número áureo, √
O número e,
3. Os números reais. A recta real
O conxunto dos números reais está formado polos números racionais e os irracionais. Represéntanse ca letra ℝ.
Exemplo
3
Chámase recta real a unha recta onde representaremos todos os números reais. A cada número lle corresponde un punto da recta e cada punto da recta lle corresponde un número real; polo que se di que os números reais completan a recta.
A representación dos números racionais na recta xa a vimos nos cursos inferiores,
recordar que os números positivos van a dereita do cero e os negativos a esquerda do cero.
A representación dun número irracional, coma pode ser √ √ ,√ ..., podémola facer de forma aproximada pola súa expresión decimal ou ben de forma exacta, a cal se complica un pouco máis coma podemos ver no exemplo seguinte.
Exemplo
Representación gráfica de √ √
Podemos utilizar o teorema de Pitágoras, para elo construímos un triángulo rectángulo de catetos 1, polo teorema de Pitágoras a súa hipotenusa é
√ √ =√ . Coa axuda dun compás representaremos de forma exacta o
valor √ .
De forma análoga se construímos un triángulo de catetos 1 e 2 a súa hipotenusa é √ xa
que √ =√ .
4
Intervalos
Un intervalo é un conxunto de números reais que se corresponde cos puntos dun segmento o unha semirrecta real.
Sexan a e b dous números reais tales que vexamos os diferentes tipos de intervalos:
Intervalo
Exemplo
Representación
Intervalo aberto: ( ) { ℝ }
( ) { ℝ }
2 5
Intervalo pechado: [ ] { ℝ }
[ ] { ℝ }
2 5
Intervalos semiabertos ou semipechados: ( ] { ℝ } [ ) { ℝ }
( ] { ℝ } [ ) { ℝ
}
-1 2 -3 1
Semirrectas: ( ) { ℝ }
( ] { ℝ }
( ) { ℝ }
[ ) { ℝ }
( ) { ℝ }
( ] { ℝ }
( ) { ℝ }
[ ) { ℝ }
3
-2 1 -1
: indica que o extremo non pertence o intervalo : indica que o extremo pertence o intervalo Recorda:
O valor absoluto dun número é o mesmo número se é positivo, e o oposto se é negativo(o valor absoluto representa a distancia do número o cero)
| | {
Polo que podemos facer uso do valor absoluto para representar intervalos, coma por exemplo: { ℝ | | } [ ]
5
4. Aproximacións e erros
É evidente que cun número que teña infinitas cifras decimais non é doado traballar,
coma por exemplo: √ . Nestes caso o que se fai é usar valores exactos próximos ao número, estes valores chámanse aproximacións.
Os números pódense aproximar mediante truncamento ou redondeo. Trurcamento: Consiste en eliminar unha serie de cifras indistintamente. Redondeo: Se a primeira cifra que eliminamos é 0,1,2,3 ou 4 a anterior queda coma está, se é 5,6,7,8 ou 9 aumenta nunha unidade.
O utilizar o valor aproximado en lugar do valor real cométese un erro, pódese falar de dous tipos o Erro Absoluto e o Erro Relativo. Que se calculan cas seguintes fórmulas:
Erro Absoluto: | |
Erro Relativo: |
|
Exemplo Representa os conxuntos seguintes de todas as formas posibles:
a) Os números menores que 6. b) { } c) { } d) { | | } e)
0 5 Solución:
a) ( ) 0 6
b) [ )
0 2 9
c) ( ) -5 0 8
d) [ ]
-5 0 5
e) [ ) { }
6
5. Notación Científica En moitas informacións aparecen cantidades moi grandes ou moi pequenas e que
se adoitan escribir como un produto dun decimal, maior que un e menor que dez, e unha potencia de dez. Por exemplo, se nos din que masa dun átomo de hidróxeno é 0,000 000 000 000 000 000 000 001 675 gramos, esta cantidade tan pequena, por comodidade, escríbese como 1,675 x 10-24 gramos. Se pola contra, nos din que a masa da Terra que é 5 976 000 000 000 000 000 000 000 kg, entón expresámolo así: 5,976 x 1024 kg. Este xeito de expresar os números decimais grandes ou pequenos chámase notación científica.
Un número escrito en notación científica componse dun número decimal maior que un e menor que dez multiplicado por unha potencia de dez.
Cando se multiplica por un decimal por , móvese a coma n lugares cara á dereita; se
o multiplicamos por , que é o mesmo que dividir por n,móvese a coma n lugares á esquerda.
√
Exemplo 1
Aproxima √ ás cetésimas.
3,258 √ =2,6457...
Redondeo ás centésimas 3,26 2,21 2,65
Truncamneto ás centésimas 3,25 2,21 2,64
Exemplo 2
Calcula o error absoluto e relativo do número √ ao facer o redondeo a dúas cifras decimais.
Error absoluto= |√ |
Error relativo=|
|
Exemplo 3
Calcula o erro absoluto e relativo que cometemos se substituímos
por 0,66.
Error absoluto=|
| |
| |
| |
|
Error relativo=|
|
Exemplo
Expresa en notación científica:
a) 12300000000= 1,23
b) 0,00456=4,56
c) 0,000000000023=2,3
7
6. Radicais e operacións
Como xa vimos anteriormente unha forma simbólica de manexar os números reais é
mediante radicais, vexamos a continuación que son os radicais e cómo se opera con eles. Raíz enésima A raíz enésima de a e outro número b, tal b elevado a n danos a.
√
Ao símbolo √
chámaselle radical, ao número n chámaselle índice da raíz e a a radicando.
A raíz e a operación inversa das potencias, por exemplo se queremos calcular as seguintes raíces:
√
√
{ ( )
√
Polo tanto:
√
√
Potencias de expoñente fraccionario
Como consecuencia da definición de raíz enésima podemos expresar o radical √
coma unha potencia de exponente racional
√ ( )
(
)
( )
√
( )
(
)
( )
Polo anterior, as operacións con radicais son iguais que as operacións coas potencias de expoñente fraccionario.
Dicimos que dous radicais son equivalentes cando o expresalos en forma de potencias con expoñentes fraccionarios, as súas bases son iguais e as fraccións dos seus expoñentes son equivalentes.
√
√
8
A equivalencia dos radicais permiten:
Simplificar radicais: consiste en extraer da raíz todos os factores posibles
Reducir radicais ao mesmo índice: consiste en encontrar outros radicais equivalentes que teñan o mesmo índice.
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Exemplo 1
Simplifica todo o posible √
√
, √
1º Expresamos coma potencia fraccionaria, para o cal descompoñemos o radicando
2º Calculamos a fracción irreducible se non se pode simplificar e temos unha fracción impropia(numerador maior que o denominador) debemos extraer factores.
3º Pasamos de novo a radical
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Exemplo 2
Simplifica todo o posible √
√
√
Ca practica podemos eliminar algún paso
Exemplo 3
Reduce os seguintes radicais o mesmo índice √ √ √
1º Pasamos os radicais a potencias con expoñentes fraccionarios
2º Reducimos a común denominador e expresamos de novo coma radicais.
m.c.m(5,3,2)=30 polo tanto
,
⁄
⁄ e os novos radicandos son:
9
Operacións cos radicais
Suma e resta de radicais
Para sumar radicais é preciso que teñan o mesmo índice e idéntico radicando, doutro modo non se poderán sumar.
Produto e cociente de radicais
Para multiplicar ou dividir radicais deberán ter o mesmo índice. Se non o teñen os transformamos noutros equivalentes.
√
· √
= √
√
: √
= √
Potencias e raíces de radicais Transformamos os radicais en potencias e aplicamos as propiedades destas.
√ √ √ √ √
√ √
√
√
√
√
√
√ √ √ √ √ √ √
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
√ √
√
√
√
√
√ √
√
√
√
√ √
( )
√
√( )
√ √
Exemplo 1
Exemplo 2
(√
) (
⁄ )
⁄
√√
(√
) ⁄
⁄
⁄ √
Exemplo
10
Racionalización
O proceso de eliminar as raíces do denominador chámase racionalización, e consiste en transformar as fraccións noutras equivalentes con denominador natural.Distinguiremos dous casos.
Caso 1: Fraccións do tipo
√
Para eliminar este radical do denominador, multiplícase o numerador e o denominador por
√
Caso 2: Fraccións con sumas e restas de radicais no denominador
Para eliminar estes radicandos multiplicamos numerador e denominador polo conxugado do denominador.
Recorda: O conxugado de ( ) ( ) ( ) ( )
√ √
√ √ √
√
√
√
√
√
√
Exemplos
√ √
(√ √ )
(√ √ ) (√ √ ) (√ √ )
√ √
√ √
√ √
√
√
√ (√ )
(√ ) (√ ) √ (√ )
√
√ (√ )
√
√
Exemplos
11
7. Logaritmos e propiedades
Dados dous nº reais positivos a e b ( ) o logaritmo en base a de b é o expoñente o que temos que elevar a para que nos de b.
Falamos de logaritmos decimais cando a base a =10 e ademais non escribimos a base.
Falamos de logaritmos neperianos cando a base é o número , estos
denótanse coma
Ca calculadora podemos calcular logaritmos, tanto logaritmos decimais con la tecla log coma logaritmos neperianos ca tecla ln.
Propiedades de los logaritmos
1. O logaritmo de 1 é sempre 0, e o logaritmo da base sempre é 1.
2. O logaritmo dun produto é a suma dos logaritmos dos factores.
3. O logaritmo dun cociente é o logaritmo do numerador menos o denominador.
4. O logaritmo dunha potencia é igual ao expoñente multiplicado polo logaritmo da
base da potencia.
5. Cambio de base dos logaritmos.
Cando os logaritmos son decimais ou neperianos, pode utilizarse a calculadora, cando o logaritmo ten outra base, utilízase a seguinte fórmula para realizalos cálculos.
⁄
Exemplos
12
Todas estas propiedades axúdannos a calcular os diferentes logaritmos.
Exemplo 1 Calcula os seguintes logaritmos sen uso da calculadora
√
⁄
( ) Exemplo 2 Expresa o valor de A en forma alxébrica: