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Os Postulados da Mecânica Quântica
Márcio H. F. Bettega
Departamento de Física
Universidade Federal do Paraná
Escola de Verão de Física de Curitiba - 2019
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Introdução
Vamos apresentar nestas notas os postulados da mecânica quântica. Antes iremosfazer um paralelo entre as descrições de um sistema físico do ponto de vista damecânica clássica e da mecânica quântica. Como sistema físico iremos consideraruma partícula.
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Introdução
Em mecânica clássica buscamos a solução da equação de movimento p(t) = F(t),ou seja, r(t) e p(t) para as condições iniciais r0 = r(t0) e p0 = p(t0). Conhecidosr(t) e p(t), sabemos o comportamento do sistema para cada instante de tempo t.
Ao invés de buscarmos a solução de p(t) = F(t), podemos utilizar os formalismosLagrangeano ou Hamiltoniano. No caso do formalismo Lagrangeano, precisamosconstruir a função Lagrangeana L(qi, qi) = T − V , que é função das coordenadasgeneralizadas qi e das velocidades generalizadas qi. A solução do problema éobtida através da solução das equações de Lagrange
d
dt
∂L∂qi− ∂L∂qi
= 0
que fornece {qi(t); qi(t)}, conhecidas as condições iniciais {qi(t0); qi(t0)}.{qi(t); qi(t)} definem o espaço de configurações do sistema.
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Introdução
Outra maneira é utilizar o formalismo Hamiltoniano. Para isso definimos o momentoconjugado à coordenada qi, pi, como
pi =∂L∂qi
e a função Hamiltoniana como
H(pi, qi) =∑i
piqi − L = T + V
onde agora as velocidades generalizadas qi são escritas como função dosmomenta pi. A solução das equações de Hamilton
pi = −∂H∂qi
; qi =∂H∂pi
fornece {pi(t); qi(t)}, conhecidos {pi(t0); qi(t0)}. {pi(t); qi(t)} definem o espaçode fase do sistema. Iremos adotar o formalismo Hamiltoniano (vale a pena lembrarque as três abordagens discutidas acima levam à mesma solução).
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Introdução
Em mecânica clássica sabemos que:i) {pi(t0), qi(t0)} definem o estado do sistema em t = t0.ii) Conhecido o estado do sistema {pi(t), qi(t)}, podemos prever com certeza oresultado de qualquer medida realizada sobre o sistema.iii) A evolução no tempo do estado do sistema é governada pelas equações deHamilton, dadas as condições iniciais {pi(t0); qi(t0)}.Em mecânica quântica queremos saber:i) Como o estado de um sistema quântico é descrito matematicamente em um dadoinstante de tempo?ii) Conhecido o estado do sistema, como podemos prever os resultados da medidadas diferentes observáveis físicas?iii) Se conhecemos o estado do sistema em t = t0, como podemos determiná-lopara t > t0?
As respostas às perguntas acima serão fornecidas pelos postulados da mecânicaquântica.
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Postulado 1 – Descrição do Estado de um Sistema Físico
Em um instante de tempo t0, o estado de um sistema físico é definidoespecificando-se um ket |ψ(t0)〉 que pertence ao espaço de estado E do sistema.
Como E é um espaço vetorial, ele admite o princípio de superposição, ou seja, acombinação linear de vetores de estado é um vetor de estado.
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Postulado 2 – Descrição das Quantidades Físicas
Toda quantidade física mensurável A é descrita por um operador A atuando em E ;este operador é um observável.
Equação de autovalores
Vale lembrar da equação de autovalores para o observável A (no caso discreto, queimplica na quantização dos resultados da medida):
A|uin〉 = an|uin〉; i = 1, . . . , gn
onde
〈uin|ui′n′〉 = δnn′δii′ ;
∑n
gn∑i=1
|uin〉〈uin| = 11
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Postulado 3 – Medida das Quantidades Físicas
O único resultado possível em uma medida de uma quantidade física A é um dosautovalores do observável correspondente A.
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Postulado 4 – Caso de um Espectro Discreto Não-Degenerado
Quando a quantidade física A é medida em um sistema no estado normalizado |ψ〉,a probabilidade P(an) de obter o autovalor não-degenerado an do observávelcorrespondente A é P(an) = |〈un|ψ〉|2, onde |un〉 é o autovetor normalizado de Aassociado ao autovalor an.
A|un〉 = an|un〉
〈un|un′〉 = δnn′ ;∑n
|un〉〈un| = 11
|ψ〉 =∑n
|un〉〈un|ψ〉 =∑n
cn|un〉
P(an) = |cn|2 = |〈un|ψ〉|2
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Postulado 4 – Caso de um Espectro Discreto
Quando a quantidade física A é medida em um sistema no estado normalizado |ψ〉,a probabilidade P(an) de obter o autovalor an do observável correspondente A é∑gni=1 |〈u
in|ψ〉|2, onde gn é o grau de degenerescência de an e
{|uin〉, i = 1, 2, . . . , gn} é um conjunto ortonormal de autovetores que forma umabase no sub-espaço En associado ao autovalor an de A.
Equação de autovalores
A|uin〉 = an|uin〉; i = 1, . . . , gn ; 〈uin|ui′n′〉 = δnn′δii′ ;
∑n
gn∑i=1
|uin〉〈uin| = 11
Pn =
gn∑i=1
|uin〉〈uin|
|ψ〉 =∑n
Pn|ψ〉 =∑n
gn∑i=1
|uin〉〈uin|ψ〉 =∑n
gn∑i=1
cin|uin〉
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Os Postulados da Mecânica Quântica
P(an) deve ser independente da escolha da base em En. Vamos definir o ket |ψn〉como
|ψn〉 = Pn|ψ〉 =
gn∑i=1
|uin〉〈uin|ψ〉 =
gn∑i=1
cin|uin〉
tal que
〈ψn|ψn〉 =
gn∑i=1
|〈uin|ψ〉|2 =
gn∑i=1
|cin|2
Vemos assim que
P(an) = 〈ψn|ψn〉 = 〈ψ|P †nPn|ψ〉 = 〈ψ|P 2n |ψ〉 = 〈ψ|Pn|ψ〉; P †n = Pn, P
2n = Pn
ou seja, qualquer base (qualquer combinação linear dos gn autovetores |uin〉 em En)fornece a mesma probabilidade P(an).
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Postulado 4 – Caso de um Espectro Contínuo Não-Degenerado
Quando a quantidade física A é medida em um sistema no estado normalizado |ψ〉,a probabilidade dP(α) de obter um resultado entre α e α+ dα édP(α) = |〈vα|ψ〉|2dα, onde |vα〉 é o autovetor de A associado ao autovalor α.
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Normalização do ket de estado
Vamos voltar ao caso de um espectro discreto e discutir o problema danormalização do ket de estado |ψ〉. Vamos considerar que 〈ψ|ψ〉 = 1 e somar todasas probabilidades P(an)
∑n
P(an) =∑n
gn∑i=1
|cin|2 =∑n
gn∑i=1
|〈uin|ψ〉|2 =
=∑n
gn∑i=1
〈uin|ψ〉∗〈uin|ψ〉 =∑n
gn∑i=1
〈ψ|uin〉〈uin|ψ〉 = 〈ψ|ψ〉 = 1
onde usamos a completeza da base {|uin〉}. No caso em que |ψ〉 não estivernormalizado temos
P(an) =1
〈ψ|ψ〉
gn∑i=1
|cin|2 =1
〈ψ|ψ〉
gn∑i=1
|〈uin|ψ〉|2
tal que∑n P(an) = 1.
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Normalização do ket de estado
Uma consequência desta discussão é o caso de dois vetores que diferem por umfator fase exp(iθ), |ψ′〉 = exp(iθ)|ψ〉. Neste caso temos
〈ψ′|ψ′〉 = 〈ψ| exp(−iθ) exp(iθ)|ψ〉 = 〈ψ|ψ〉
e as probabilidades são as mesmas se calculadas com |ψ′〉 ou |ψ〉
P ′(an) =
gn∑i=1
|〈uin|ψ′〉|2 =
gn∑i=1
|〈uin| exp(iθ)|ψ〉|2 =
gn∑i=1
|〈uin|ψ〉|2 = P(an)
No caso em que |ψ′ ′〉 = α|ψ′〉 = α exp(iθ)|ψ〉, onde α é um número complexo,temos
P ′ ′(an) =1
〈ψ′ ′|ψ′ ′〉
gn∑i=1
|〈uin|ψ′ ′〉|2 =1
|α|2gn∑i=1
|α|2|〈uin|ψ〉|2 = P(an)
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Normalização do ket de estado
Concluímos portanto que dois vetores de estado proporcionais representam omesmo estado físico. Isso não vale para o caso no qual os vetores |ψ〉 e |ϕ〉 sãodados por
|ψ〉 = λ1|ψ1〉+ λ2|ψ2〉; |ϕ〉 = λ1 exp(iθ1)|ψ1〉+ λ2 exp(iθ2)|ψ2〉
onde exp(iθ1) e exp(iθ2) são fatores de fase relativos. Neste caso |ψ〉 e |ϕ〉 nãorepresentam o mesmo estado físico.
Concluímos assim que um fator de fase global não afeta as previsões físicas, masas fases relativas dos coeficientes de uma expansão são significativas.
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Redução do Pacote de Ondas
Vamos considerar o problema da polarização de fótons. Consideramos um fótonpolarizado na direção ep = cos θex + sin θey que caminha na direção um polarizadorcom eixo na direção ex. Conhecemos o estado de polarização do fóton ep antes damedida, e podemos afirmar apenas que há uma probabilidade igual a cos2 θ dofóton passar pelo polarizador e igual a sin2 θ do fóton ser absorvido pelopolarizador. Após realizada a medida, sabemos com certeza qual é o estado depolarização do fóton (ex ou ey). O fato da medida ter sido realizada causou umamudança descontínua no estado de polarização do fóton, que passou de ep paraex, no caso do fóton ter atravessado o polarizador, ou ey, no caso do fóton ter sidoabsorvido pelo polarizador.
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Redução do Pacote de Ondas
Vamos considerar esta discussão do ponto de vista de um ket de estado |ψ〉, querepresenta o estado de um sistema físico imediatamente antes de uma medida deA ser realizada. Antes da medida, o postulado 4 fornece as probabilidadesassociadas aos resultados possíveis, que são os autovalores de A (postulado 3).Depois que a medida foi realizada, sabemos o resultado obtido e o ket de estado dosistema deve carregar esta informação, sendo diferente de |ψ〉 (o ket imediatamenteantes da medida). Supondo que o autovalor an (não degenerado) é o resultado damedida, postulamos que |un〉, que é o autovetor de A associado à an, representa oestado do sistema imediatamente após a medida.
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Postulado 5 – Redução do Pacote de Ondas
Se a medida da quantidade física A em um sistema físico no estado |ψ〉 fornece oresultado an, o estado do sistema imediatamente após a medida é a projeçãonormalizada de |ψ〉, Pn|ψ〉/
√〈ψ|Pn|ψ〉, no sub-espaço En associado a an.
Exemplo: caso não-degenerado
No caso de an não-degenerado discutido acima temos
Pn|ψ〉√〈ψ|Pn|ψ〉
=|un〉〈un|ψ〉√〈ψ|un〉〈un|ψ〉
=cn|un〉√|cn|2
= exp(iArg cn)|un〉
que difere de |un〉 por um fator de fase (global) e portanto representa o mesmoestado que |un〉.
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Os Postulados da Mecânica Quântica
Postulado 6 – Evolução Temporal de um Sistema Físico
A evolução temporal do vetor de estado |ψ(t)〉 é governada pela equação deSchrödinger
i~d|ψ(t)〉dt
= H(t)|ψ(t)〉
onde H(t) é o observável associado à energia total do sistema.
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Regras de Quantização
Vamos considerar um sistema composto por uma partícula sem spin sujeita a umpotencial escalar. Fazemos a seguinte associação:
r(x, y, z)→ R(X,Y, Z)
p(px, py, pz)→ P(Px, Py, Pz)
onde R e P são os observáveis posição e momentum, cujas componentessatisfazem as relações canônicas de comutação dadas por
[Ri, Rj ] = [Pi, Pj ] = 0, [Ri, Pj ] = i~δijQualquer quantidade física A associada à partícula é expressa em termos de r e p,A(r,p, t). O observável correspondente é obtido substituindo r e p pelosoperadores correspondentes R e P em A: A(t) = A(R,P, t).
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Regras de Quantização
No caso de haver termos do tipo r · p = p · r em A, não podemos fazer asubstituição direta, uma vez que R ·P 6= P ·R (note que estes termos não sãoHermitianos). Neste caso fazemos
r · p = p · r→ 1
2[R ·P + P ·R]
uma vez que
(R ·P)† = P ·R
Estabelecemos então a regra de quantizaçãoO observável A que descreve uma quantidade física A definida classicamente éobtido pela substituição, em uma expressão simetrizada de forma apropriada paraA, r e p pelos observáveis R e P respectivamente
Há exceções à regra, como o spin, que não é definido classicamente.
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Regras de Quantização – Exemplos
O Hamiltoniano de uma partícula em um potencial escalar
Vamos considerar uma partícula com carga q e massa m, sem spin, em um campoelétrico associado a um potencial escalar U(r). A energia potencial éV (r) = qU(r), e a Hamiltoniana é
H(r,p) =p2
2m+ V (r)
onde p = mr = mv. Neste caso temos
H(t) = H = H(R,P) =P2
2m+ V (R)
e a equação de Schödinger fica
i~ ddt|ψ(t)〉 =
[P2
2m+ V (R)
]|ψ(t)〉
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Regras de Quantização – Exemplos
O Hamiltoniano de uma partícula em um potencial vetor
Vamos considerar uma partícula com carga q e massa m, sem spin, em um campoeletromagnético associado aos potenciais escalar U(r, t) e vetorial A(r, t). Nestecaso
H(r,p, t) =1
2m[p− qA(r, t)]2 + qU(r, t)
onde p = mr + qA(r, t) = mv + qA(r, t). Neste caso temos
H(t) =1
2m[P− qA(R, t)]2 + qU(R, t)
e a equação de Schödinger fica (com V (R, t) = qU(R, t))
i~ ddt|ψ(t)〉 =
{1
2m[P− qA(R, t)]2 + V (R, t)
}|ψ(t)〉
Nota: p: momentum ou momentum conjugado à q; mv: momentum mecânico.Neste caso p→ P.
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Valor esperado
Valor esperado do operador A no estado |ψ〉: 〈A〉 = 〈ψ|A|ψ〉Desvio quadrático médio: ∆A =
√〈ψ|A2|ψ〉 − 〈ψ|A|ψ〉2
Constantes de movimento:
d〈A〉dt
=1
i~〈[A,H]〉+ 〈∂A
∂t〉
Teorema de Ehrenfest:
d〈R〉dt
=1
m〈P〉; d〈P〉
dt= −〈∇V (R)〉
Força clássica: F = [−∇V (r)]〈R〉. Em geral: 〈∇V (R)〉 6= [∇V (r)]〈R〉
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Evolução temporal do vetor de estado
Vamos assumir que H não depende explicitamente do tempo (os autoestados de Hsão os estados estacionários). Temos então que:
H|ϕn〉 = En|ϕn〉; |ψ(t0)〉 =∑n
|ϕn〉〈ϕn|ψ(t0)〉 =∑n
cn(t0)|ϕn〉
|ψ(t)〉 =∑n
|ϕn〉〈ϕn|ψ(t)〉 =∑n
cn(t)|ϕn〉 =∑n
cn(t0) exp[−iEn(t− t0)/~]|ϕn〉
ou
cn(t) = cn(t0) exp[−iEn(t− t0)/~]
Note que |ψ(t0)〉 e | ψ(t)〉 não são autovetores de H.
Operador evolução temporal (para o caso em que H não depende explicitamentedo tempo) U(t, t0) = exp[−iH(t− t0)/~]:
U(t, t0)|ψ(t0)〉 = exp[−iH(t− t0)/~]|ψ(t0)〉 = exp[−iH(t− t0)/~]∑n
cn(t0)|ϕn〉 =
∑n
cn(t0) exp[−iH(t− t0)/~]|ϕn〉 =∑n
cn(t0) exp[−iEn(t− t0)/~]|ϕn〉