oscilaciones acopladas y modos normales

Manuel Valera

03-36574

Oscilaciones acopladas y Modos Normales.

Los modos normales en un sistema oscilatorio son oscilaciones particulares, denotadas por la idéntica frecuencia a la que oscilan cada una de las partículas del sistema; A estas frecuencias se les llama frecuencias naturales y son de suma importancia para el estudio de sistemas fuertemente acoplados.

¿Qué son los modos normales?

Existen varios puntos a tener en cuenta al trabajar con modos normales:

Se definen para dos o más partículas fuertemente acopladas.

Para un sistema de N partículas habrán exactamente N modos normales cada uno con una frecuencia FN particular.

Cualquier movimiento del sistema puede ser expresados como una superposición de modos normales

Teoría de modos normales.

Nos interesa estudiar el modelos teórico de tres problemas;

Una masa y dos resortes (1M-2K),

Dos masas y tres resortes (2M-3K),

Tres masas y cuatro resortes (3M-4K)

Teoría de modos normales.

Las leyes de newton resultan:

Ahora proponemos un ansatz de la forma Luego la única frecuencia posible viene dada por

Existe una sola frecuencia de oscilación posible, cualquier cambio de las condiciones iniciales (x-l0) derivará en un cambio de la amplitud del movimiento, mas no de la frecuencia.

Modelo 1M-2K

Las leyes de newton resultan:

Definimos las siguientes constantes:

Luego:

Modelo 2M-3K,

,

.

Ahora proponemos un ansatz de la forma y

Para obtener los modos normales debemos resolver el determinante nulo de la matriz asociada al sistema:

Observamos dos frecuencias normales de oscilación

Modelo 2M-3K

Procedimiento análogo a 2m-3k:

Obtenemos:

Modelo 3m-4k

Luego:

Afortunadamente sólo necesitaremos las frecuencias normales de oscilación para k1=k2=k3=k y m1=m2=m3=m que será el caso a estudiar.

Modelo 3m-4k

A la superposición de modos normales se les llama batidos, se trata de la suma de las sinusoides del tipo X(t) = A cos(ω1⋅t) + B cos(ω2⋅t) el caso a estudiar para dos masas.

Si tenemos A=B=1/2x

Batidos.

El objetivo de la practica es encontrar las frecuencias normales de oscilación para cada modo normal en los siguientes modelos:

1M-2K 2M-3K; K1=K2=K, M1=M2=M 2M-3K; K2≠K1=K3, M1=M2=M 2M-3K; K1=K2=K, M1≠M2 3M-4K; K1=K2=K3=K4, M1=M2=M3A

Además haremos evidentes los batidos para el cuarto caso de esta lista.

Finalmente analizaremos estadísticamente las magnitudes de las frecuencias en un batido.

Nuestro Experimento:

Primeramente medimos los valores de masa y constante elástica de los elementos a utilizar en la práctica.

En nuestros modelos usaremos el elemento Mi o Ki correspondiente al teórico, en los casos donde debamos usar una masa o un resorte diferente usaremos el elemento Md o Kd, finalmente en el modelo 3m-4k usaremos el promedio de las K’s.

Procedimiento Experimental

M1(gr±0,1) 138,1M2(gr±0,1) 139,6M3(gr±0,1) 138,5Md(gr±0,1) 465,1

K1(N/m±0,01) 1,08K2(N/m±0,01) 1,04K3(N/m±0,01) 1,07Kd(N/m±0,01) 3,27

Para este caso hicimos las mediciones con diferentes amplitudes, esto no cambió el orden del período ni de la frecuencia obtenida que se obtuvo en:

El valor teórico era de ω=2,45±0,01 rad/s

Caso 1M-2K

w(rad/s) error

2,1 0,2

T(s) w(rad/s) T(s) w(rad/s)2,80 2,24 2,80 2,242,81 2,24 3,09 2,033,22 1,95 2,86 2,202,81 2,24 3,06 2,052,35 2,67 2,96 2,123,52 1,78 2,88 2,182,97 2,12 3,22 1,952,89 2,17 2,91 2,162,96 2,12 2,47 2,542,99 2,10 3,21 1,962,85 2,20 2,90 2,172,80 2,24 3,06 2,052,88 2,18 3,22 1,953,25 1,93 2,99 2,102,77 2,27 2,91 2,162,75 2,28 2,80 2,242,99 2,10 3,03 2,072,65 2,37 3,01 2,093,16 1,99 2,78 2,262,85 2,20 3,16 1,992,99 2,10 3,01 2,09

Los modos normales en esta configuración son:

ω1:

ω2:

Obtuvimos:

Caso 2M-3KM1=M2=M, K1=K2=K3

2m-3kT1(s) w1 (rad/s) T2 (s) w2 (rad/s)

2,44 2,58 1,32 4,762,48 2,53 1,37 4,592,54 2,47 1,31 4,802,49 2,52 1,34 4,692,46 2,55 1,39 4,522,53 2,48 1,41 4,462,39 2,63 1,33 4,722,55 2,46 1,30 4,832,29 2,74 1,42 4,422,35 2,67 1,29 4,872,52 2,49 1,30 4,832,35 2,67 1,29 4,872,44 2,58 1,42 4,422,60 2,42 1,36 4,622,42 2,60 1,32 4,762,40 2,62 1,34 4,692,37 2,66 1,37 4,592,44 2,58 1,32 4,762,39 2,63 1,33 4,722,44 2,58 1,37 4,592,44 2,58 1,40 4,492,42 2,60 1,27 4,952,41 2,61 1,41 4,462,35 2,67 1,41 4,462,37 2,65 1,41 4,462,33 2,70 1,39 4,52

1,37 4,591,28 4,911,45 4,331,35 4,651,31 4,801,34 4,69

w1 teórico (rad/s) error w1 obtenido (rad/s) error2,86 0,02 2,6 0,1


Caso 2M-3KM1=M2=M, K1=K3≠K2

T1(s) w1 (rad/s) T2 (s) w2 (rad/s)2,43 2,59 0,91 6,902,56 2,45 0,93 6,762,24 2,80 0,88 7,142,36 2,66 1,05 5,982,25 2,79 0,94 6,682,36 2,66 0,97 6,482,38 2,64 0,95 6,612,32 2,71 0,95 6,612,42 2,60 0,84 7,482,36 2,66 0,9 6,982,41 2,61 0,91 6,902,41 2,61 0,93 6,762,45 2,56 0,96 6,542,42 2,60 0,86 7,312,42 2,60 0,9 6,982,18 2,88 0,87 7,222,52 2,49 0,92 6,832,33 2,70 0,96 6,542,32 2,71 0,84 7,482,44 2,58 0,9 6,982,44 2,58 0,87 7,222,25 2,79 0,93 6,762,19 2,87 0,96 6,54

0,98 6,410,95 6,610,86 7,311,01 6,220,91 6,900,85 7,39



Vemos que mientras el ω2 cambia, el ω1 se mantiene practicamente igual, esto debido a que el resorte que cambiamos es el central y este no cambia en este modo normal.

ω1:

Caso 2M-3KM1≠M2, K1=K3=K2=K

El opuesto al caso contrario, al tener la condición de una misma frecuencia en cada masa, el movimiento del segundo modo normal –moverse con dirección opuesta en velocidad- se ve invariado al cambiar la proporción entre masas.

ω2:

T1(s) w1 (rad/s) T2(s) w2 (rad/s)3,57 1,76 1,66 3,793,5 1,80 1,65 3,81

3,45 1,82 1,56 4,033,73 1,68 1,40 4,493,63 1,73 1,78 3,533,65 1,72 1,59 3,963,62 1,74 1,54 4,083,69 1,70 1,60 3,943,63 1,73 1,56 4,043,67 1,713,87 1,623,63 1,733,69 1,703,64 1,733,74 1,683,59 1,753,54 1,773,69 1,703,64 1,733,55 1,773,88 1,623,47 1,813,65 1,723,59 1,753,73 1,683,42 1,843,72 1,69



*Por simplicidad usamos M1=M2=M3 y K1=K2=K3

Caso 3M-4KT1 (s) w1 (rad/s) T2(s) w2 (rad/s) T3(s) w3 (rad/s)

1,79 3,51 3,37 1,86 1,29 4,861,65 3,81 2,91 2,16 1,25 5,01

1,8 3,49 3,14 2,00 1,31 4,811,6 3,93 2,9 2,17 1,20 5,22

1,73 3,63 3,25 1,93 1,25 5,02

1,74 3,61 2,91 2,16 1,29 4,87

1,62 3,88 3,39 1,85 1,29 4,86

1,64 3,83 3,19 1,97 1,21 5,20

1,62 3,88 2,88 2,18 1,20 5,24

1,69 3,72 2,77 2,27 1,21 5,18

1,72 3,65 2,93 2,14 1,22 5,171,81 3,47 3,11 2,02 1,27 4,95

1,68 3,74 2,83 2,22 1,23 5,12

1,63 3,85 3,06 2,05 1,22 5,141,69 3,72 2,95 2,13 1,26 4,97

1,6 3,93 3,04 2,07 1,22 5,171,57 4,00 2,84 2,21 1,22 5,131,57 4,00 3,43 1,83 1,27 4,951,62 3,88 2,99 2,10 1,28 4,931,74 3,61 3,28 1,92 1,20 5,231,63 3,85 2,99 2,10 1,30 4,83

1,81 3,47 3,29 1,91 1,23 5,11

1,72 3,65 3,31 1,901,59 3,95 3,17 1,98

1,65 3,81 3,29 1,91




ω1: ω2:

Se tomaron suficientes medidas (61) para hacer el análisis estadístico del sistema así como observar el fenómeno de batidos.

Se hizo un histograma de las frecuencias obtenidas.

Batidos y análisis estadístico.Caso 2M-3K, M1≠M2

frecuencia (rad/s) frecuencia (rad/s)4,947 5,1504,488 4,3045,193 4,2176,283 4,9474,425 4,8714,620 4,6204,425 5,4644,134 4,4564,189 4,1074,394 4,5864,871 4,7244,217 4,5866,142 4,7243,415 4,3944,833 4,3945,661 4,1344,520 5,6154,217 4,7243,808 4,7604,333 3,9034,586 3,9774,520 4,5204,796 3,7853,831 4,4884,161 3,8555,150 4,7606,283 3,5704,987 4,6544,520 4,9875,150 4,5534,304 4,9474,217 5,027

Bin Frequency3,4 13,8 34,2 124,6 205,1 165,5 35,9 3

More 3

3.4 3.9 4.4 4.9 5.4 5.90

5

10

15

20

25

Frecuencia fundamental de oscilación para dos masas diferentes y tres resortes

idénticos

Frecuencia (Rad/s)

Núm

ero

de o

curr

encia

s

La frecuencia más común tuvo un valor de 4,6± 0,5 rad/s, muy parecido al 4,73±0,03 rad/s de una de las frecuencias fundamentales del modelo teórico.

Batidos y análisis estadístico.Caso 2M-3K, M1≠M2

3.4 3.9 4.4 4.9 5.4 5.905

10152025

Frecuencia fundamental de oscilación para dos masas diferentes y tres re-

sortes idénticos

Frecuencia (Rad/s)Núm

ero

de o

curr

encia

s

Al modelar esta frecuencia con la fórmula para batidos en el tiempo promedio usado para tomar las mediciones obtuvimos lo siguente:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Batidos en el sistema 2M-3K con M1≠M2

Tiempo (s)

Cos(

w1.t

)Cos(

w2.t

)

Los modos normales se definen para dos o más partículas fuertemente acopladas; esto se evidenció en el caso 1M-2K donde sin importar la elongación inicial del resorte la frecuencia seguía siendo la misma.

En el caso 2M-3K, uno de los modos normales permanece invariante al cambiar la constante elástica del resorte central mientras que al cambiar la relación entre las masas es el otro normal el que se ve poco afectado.

El modelo de tres masas y cuatro resortes resultó ser el de los resultados más precisos, quizás por el cuidado especial tomado para este caso.

La estadística mostró que sin importar las condiciones iniciales del sistema éste va a optar por oscilar en una de las frecuencias fundamentales con mayor probabilidad.

Finalmente se evidenció el fenómeno de batidos al comparar la data obtenida para ambas frecuencias de oscilación en el tiempo de medición de la misma.

La importancia de los modos normales radica en su grandiosa simplificación de un modelo complejo como el movimiento oscilatorio de sistemas de partículas acopladas; recordemos que usando un modelo determinista tendríamos que conocer las velocidades y posiciones de todas las partículas en cierto momento, esto nos permite modelar las moléculas en un sólido y su interacción con fenómenos mecánicos como la propagación de ondas.

Conclusiones.

oscilaciones acopladas y modos normales

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