TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE PREMA MOMENTIMA TORZIJE Za nosač POS1 prikazan na skici nacrtati dijagrame presečnih sila usled prikazanih sila G=75 kN, a zatim izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na pojedinim delovima nosača. Presek nosača je pravougaoni, dimenzija b/d = 45/60 cm. Nosač nije potrebno dimenzionisati prema momentima savijanja. Kvalitet materijala: MB 30, GA 240/360.

DIJAGRAMI STATIČKIH UTICAJA ZA POS 1 Oslonačka veza omogućava prihvatanje momenata torzije, a onemogućava prihvatanje momenata savijanja. Za slučaj torziono krutih oslonaca, dijagram momenata torzije je po obliku identičan sa dijagramom transverzalnih sila kod proste grede. Detaljnije o proračunu preseka napregnutih torzijom videti u literaturi (npr. M.Aćić, A.Pakvor, Ž.Peri-šić: Teorija armiranobetonskih i prethodno napregnutih konstrukcija, poglavlje 4.2).

Redukcijom sila sa prepusta na POS 1 dobija se dispozicija opterećenja prikazana na skici. Sledi:

RG = G = 75 kN ⇒ Mg,max. = 75.0×2.0 = 150 kNm

MTg = G×1.0 = 75 kNm

Momenti torzije koji deluju u suprotnim smerovima pred-stavljaju se koncentrisanim silama suprotnih smerova, pa sledi da su vrednosti MT u uklještenju:

M Tgosl. . .

.= ×

−75 4 0 2 06 0

= 25 kNm

OSIGURANJE OD GLAVNIH NAPONA ZATEZANJA

Krajnje trećine nosača Tu = 1.6×75 = 120 kN

pretp. a1 = 5 cm ⇒ h = 60 - 5 = 55 cm ⇒ τnT =

× ×120

45 0 9 55.= 0.054 kN/cm2

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 2

PRIMERI ZA VEŽBE

MTu = 1.6×25 = 40 kNm

pretp. a0 = 4.5 cm ⇒ b0 = 45 - 2×4.5 = 36 cm ; d0 = 60 - 2×4.5 = 51 cm

δ = =min.( , )b d0 0

8368

= 4.5 cm

Ab0 = b0×d0 = 36×51 = 1836 cm2 ; Ob0 = 2×(b0+d0) = 2×(36+51) = 174 cm

τδn

M Tu

b

TMA

=× ×

=×

× ×240 10

2 1836 4 50

2

.= 0.242 kN/cm2

τ τ τn nM

nTT= + = 0.242 + 0.054 = 0.296 kN/cm2

> =<

ττt

t

kN cm0 113

2. /

Kako je na čitavom delu nosača napon smicanja konstantan i veći od τr, sledi da su odgovarajuće dužine osiguranja λ1 = λ3 = 2.0 m.

Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama (α=90°) i horizontalnom armaturom. Potrebna površina uzengija se sračunava iz odgovarajućih redukovanih uticaja (MTRu, odnosno τRu), posebno za uticaj momenta torzije, odnosno transverzalne sile.

Potrebno je obratiti pažnju da je nužno sračunati uzengije za prihvatanje transverzanih sila, bez obzira što je τn

T < τr. Kriterijum da li je potrebno osiguranje armaturom ili ne je UKUPAN napon smicanja, a ne napon smicanja od pojedinačnog uticaja.

Potrebne uzengije za prihvatanje transverzalne sile

( ) ( )T b zbunT

nr n= × × × − × × = × × × − × × ×

12

3 12

0 0540 296

3 0 11 0 296 45 0 9 55ττ

τ τ..

. . . = 6.9 kN

TRu = Tmu - Tbu = 120 - 6.9 = 113.1 kN ⇒ τRuT =

× ×113 1

45 0 9 55.

.= 0.051 kN/cm2

usvojeno: m=4 ; α = 90° ; θ = 45°

( ) ( )a

bm ctg

e eu

T

vu u

Ru,T

( )

cos sin.1 1 45 0 051

4 241

1 0 1=

×

××

+ ×× =

××

×+ ×

×τ

σ α α θ= 0.024×eu

Potrebne uzengije za prihvatanje torzije

( ) ( )M ATbunM

nr n b

T

= × × − × × = × × − × × × −ττ

τ τ δ3 0 2420 296

3 0 11 0 296 1836 4 5 1002.

.. . . = 2.3 kNm

MTRu = MTu - MTbu = 40 - 2.3 = 37.7 kNm

( ) ( )a M

A ctge eu

TRu

b vu uT,M

( )

cos sin.1

0

2

21 37 7 10

2 1836 241

1 0 1=

× ××

+ ×× =

×× ×

×+ ×

×σ α α θ

= 0.043×eu

spoljašnje uzengije: a a au spolja u M u TT,( )

,( )

,( )1 1 1= + = (0.043+0.024)×eu = 0.067×eu

pretp. UØ10 (au(1) = 0.785 cm2) ⇒ e u spolja,

.

.=

0 7850 067

= 11.8 cm ⇒ UØ10/10

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 3

PRIMERI ZA VEŽBE

unutrašnje uzengije: a au u,unutra( )

,T( )1 1= = 0.024×eu

pretp. UØ8 (au(1) = 0.503 cm2) ⇒ e u ,unutra

.

.=

0 5030 024

= 21.1 cm ⇒ UØ8/20

Napominje se da se spoljašnje uzengije, koje prihvataju uticaj torzije, moraju zatvoriti preklapanjem po čitavoj kraćoj strani preseka, dok se unutrašnje uzengije, koje prihvataju samo uticaj transverzalne sile, mogu zatvoriti na uobičajen način, oko jedne od ugaonih šipki.

Horizontalna armatura Za pritvatanje napona smicanja usled dejstva momenta torzije za čitav presek potrebno je:

( ) ( )A MA

ctg Oa

Tu

b vb∑ =

× ×× + × × =

×× ×

× + × ×2

40 102 1836 24

1 0 1 1740

0

2

σα α θcos sin = 7.90 cm2

Sa aspekta nosivosti preseka, moguće je usvojiti samo četiri ugaone šipke odgovarajuće površine. Ipak, vodeći računa o graničnom stanju upotrebljivosti, treba izabrati veći broj tanjih profila i homogeno ih rasporediti po obimu preseka. U konkretnom slučaju, usvojeno je 14Ø10.

Potrebna površina podužne armature se može sračunati i iz izraza:

( ) ( )a MA

ctg e epTu

b vp pT,M

( ) cos sin1

0

2

240 10

2 1836 241 0 1=

× ×× + × × =

×× ×

× + × ×σ

α α θ = 0.045×ep

pretp. Ø10 (ap(1) = 0.785 cm2) ⇒ e p =

0 7850 045..

= 17.3 cm

Međutim, ovakav način proračuna se ne preporučuje, jer je teško armaturu rasporediti na istom (sračunatom) rastojanju duž horizontalnih i vertikalnih strana preseka.

Za pritvatanje napona smicanja usled dejstva transverzalne sile potrebno je:

( ) ( )∆A T ctg ctgamu

v

=×

× − =×

× −2

1202 24

1 0σ

θ α = 2.50 cm2

Ovu armaturu potrebno je postaviti u donjoj, zategnutoj zoni preseka.

Kod usvajanja podužne armature preporučuje se da se najpre proračuna potrebna površina za svako od naponskih stanja (savijanje, smicanje, torzija). Zatim se usvoji horizontalna armatura za prihvatanje momenata torzije i rasporedi po preseku tako da rastojanje profila bude približno 15 cm. Ovako ras-poređenoj armaturi se, u odgovarajućim zonama, dodaje armatura za savijanje, odnosno dodatna zategnuta armatura za prihvatanje transverzalnih sila (poželjno usvajanje zajedničkih profila).

Srednja trećina nosača MTu = 1.6×50 = 80 kNm

τδn

M Tu

b

TMA

=× ×

=×

× ×280 10

2 1836 4 50

2

.= 0.484 kN/cm2

> =<

3 0 335

2ττ

t

t

kN cm. /

Kako je na čitavom delu nosača napon smicanja konstantan i veći od τr, sledi da je odgovarajuća dužina osiguranja λ2 = 2.0 m. Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama (α=90°) i horizontalnom armaturom.

τn > 3τr ⇒ MTbu = 0 ; MTRu = MTu = 80 kNm

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 4

PRIMERI ZA VEŽBE

Potrebna površina uzengija

( ) ( )a M

A ctge eu

TRu

b vu u

( )

cos sin1

0

2

21 80 10

2 1836 241

1 0 1=

× ××

+ ×× =

×× ×

×+ ×

×σ α α θ

= 0.091×eu

pretp. UØ12 (au(1) = 1.13 cm2) ⇒ e u =

1 130 091

..

= 12.46 cm ⇒ UØ12/10

Horizontalna armatura Za pritvatanje napona smicanja usled dejstva momenta torzije za čitav presek potrebno je:

( ) ( )A MA

ctg Oa

Tu

b vb∑ =

× ×× + × × =

×× ×

× + × ×2

80 102 1836 24

1 0 1 1740

0

2

σα α θcos sin = 15.80 cm2

usvojeno: 14Ø12 (15.83 cm2)

Kako se u slučaju simultanog naprezanja torzijom i transverzalnim silama praktično podrazumeva osi-guranje VERTIKALNIM uzengijama (α=90°), izrazi za određivanje potrebne površine armature se mogu napisati u obliku:

abm

tg eu

T

vu

Ru,T

( )1 =×

×× ×

τ

σθ

aMA

tg eu MTRu

b vuT,

( )1

02=

× ×× ×

σθ

aMA

ctg ep MTu

b vpT,

( )1

02=

× ×× ×

σθ ; odnosno A M

Actg O

aTu

b vb∑ =

× ×× ×

2 00σ

θ