OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED

MATEMATIKA

UPUTSTVO ZA RAD Drage učenice i učenici, Čestitamo! Uspjeli ste da dođete na državno takmičenje iz matematike i samim tim ste već napravili veliki uspjeh. Zato zadatke koji su pred vama posmatrajte kao interesantne probleme i potrudite se da ih rješavate s punom pažnjom i zalaganjem, ali i sa uživanjem.

Redoslijed izrade zadataka nije bitan. Ako vam je neki zadatak suviše težak, nemojte

se na njemu dugo zadržavati, već pređite na sljedeći. Ukoliko vam bude preostalo vremena, vratite se i pokušajte uraditi zadatke koje nijeste rješavali.

Pišite čitko, naročito brojeve! Radite samostalno. Nijesu dozvoljena nikakva dogovaranja. U radu možete koristiti školski pribor za crtanje geometrijskih figura, ali nije

dozvoljeno upotreba mobilnih telefona, kalkulatora i bilo kojih drugih elektronskih pomagala.

Za svaki zadatak je predviđeno po 25 bodova.

Za rad imate 180 minuta.

Počnite sa radom. Srećno!

ZADACI

1. Za tri minuta iz česme A istoče 2 litra vode. Za šest minuta iz česama A i B istoči

ukupno 13 litara vode. Dok iz česme B istoči jedan litar, iz česme C istoče 2 litra

vode. Koliko će ukupno vode istočiti iz česama A i C za tri minuta?

2. Najmanji prost broj veći od datog prirodnog broja se zove prostosljedbenik i

označava sa . Evo nekoliko primjera prostosljedbenika:

Odrediti posljednjih pet cifara proizvoda svih prostosljedbenika iz date tabele.

3. Prije nekoliko godina je pored jedne stare masline u zaleđu Bara posađena nova

maslina. Trebaće da mlada maslina postane šezdeset šest puta starija nego što je

sada da bi bila dvostruko mlađa od stare masline, a prošle godine je bila čak sto

puta mlađa od nje. Koliko je godina bilo staroj maslini kada je posađena nova

maslina?

4. Za potrebe posebnog projekta grupa arhitekata pravi žičane mreže u obliku kvadra

koje izgledaju kao da su napravljene od kockica ivice 1cm. Na slici je jedna takva

mreža široka dvije kockice, dugačka dvije kockice i visoka jednu kockicu. Jedna

mreža koju su arhitekti napravili se sastoji od 37 kockica. Koliko su žice upotrijebili u

izradi te mreže?

RJEŠENJA

1. Neka su , i količine vode u litrima koje istoče za jedan minut iz česama A, B i C

redom.

Iz prvog uslova imamo da je , pa je .

Iz drugog uslova imamo ; lako dobijemo da je .

Po uslovu zadatka voda iz česme C toči dvostruko brže nego iz česme B, pa

je .

Odgovor na pitanje je .

2. Primijetimo: Vidimo da traženi proizvod rastavljen na proste

činioce sadrži i dvojke i petice, pa ćemo prvo provjeriti sa koliko se nula završava.

Proizvod glasi:

. Uvrštavajući dosad nađene prostosljedbenike dati proizvod možemo zapisati ovako:

. Nakon zamjene mjesta činilaca možemo ga zapisati i ovako:

. A kada izmnožimo desetke koje se dobiju množeći činioce u zagradama dobijamo:

.

Primijetimo da je proizvod djeljiv sa , a nije djeljiv sa , pa se završava peticom. Dakle, naš proizvod je proizvod broja koji se završava peticom i broja , pa zaključujemo da se završava sa

.

3. Neka je broj godina mlade masline danas. Od danas do trenutka kada mlada

maslina bude stara godina proći će godina. U tom trenutku stara maslina će

biti stara godina. Dakle, za godina stara maslina će imati

godina, pa trenutno ima godina.

Prošle godine je mlada maslina bila sto puta mlađa od stare pa važi i . Rješenje ove jednačine je . To znači da je mlada

maslina danas stara tri godine, a stara masline je stara godinu. Dakle, stara maslina je bila stara godina kada je posađena mlada maslina.

4. Kako je broj 37 prost, jedini kvadar koji sadrži toliko kockica je onaj koji se

sastoji iz 37 kockica “naslaganih” jedna na drugu: kvadar širine i dužine

1cm, a visine 37cm.

Osnova tog kvadra je kvadrat ivice 1cm, za čiju je izradu potrebno 4cm žice. Žičanu mrežu kvadra možemo posmatrati kao niz takvih kvadrata, pri čemu su svaka dva susjedna kvadrata spojena sa slojem od po četiri žičice dužine 1cm (kao na slici). Kvadrata ima ukupno 38: osnova kvadra i još po jedan kvadrat za svaku kockicu (kao njena gornja strana). Za izradu tih kvadrata je potrebno 38·4=152cm žice. Spojnih slojeva od po četiri žice ima 37, i za njihovu izradu se upotrijebi 37·4=148cm žice. Ukupno je potrošeno 152+148=300cm žice.