otimizaÇÃo do despacho econÔmico atravÉs do mÉtodo primal-dual de pontos interiores puro

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN

CARLOS AUGUSTO DA SILVEIRA DE JESUS

OTIMIZAO DO DESPACHO ECONMICO ATRAVS DO MTODO PRIMAL-

DUAL DE PONTOS INTERIORES PURO

CURITIBA

2013

CARLOS AUGUSTO DA SILVEIRA DE JESUS

TRABALHO 1 RESOLUO DO PROBLEMA DE OTIMIZAO DO DESPACHO

ECONMICO ATRAVS DO MTODO PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES

PURO

Trabalho apresentado ao Programa de

Ps-Graduao em Engenharia Eltrica,

rea de Concentrao: Sistemas de

energia Sistemas de potncia,

Departamento de Engenharia Eltrica,

Setor de Tecnologia, Universidade

Federal do Paran, como primeira parte

da avaliao da disciplina TE-831

Tcnicas de otimizao aplicadas a

sistemas eltricos de potncia.

Docente: Prof. Dr. Thelma Fernandes

CURITIBA

2013

RESUMO

Desde a dcada de 80, houve um aumento significativo na utilizao da tcnica dos mtodos de pontos interiores na resoluo de problemas de sistemas eltricos de potncia. Esses mtodos se constituem basicamente em formulaes matemticas que transformam as restries de desigualdade de um problema em restries de igualdade, por meio da utilizao de variveis de folga com valores estritamente positivos. Estas, por sua vez, so introduzidas funo objetivo atravs do parmetro barreira logartmica. A funo Lagrangeana modelada para o novo problema modificado atravs da considerao destas variveis. As condies de otimalidade de primeira ordem (KKTs) so derivadas com base nessa funo Lagrangeana, sendo ento desenvolvidos algoritmos visando solucionar este problema e buscando o ponto de otimizao sob tais condies. Sendo assim, este trabalho tem por objetivo o desenvolvimento de algoritmos computacionais, objetivando a resoluo do problema de otimizao do despacho econmico atravs do mtodo primal-dual de pontos interiores puro.

Palavras-chave: Otimizao do despacho econmico. Mtodo dos pontos interiores

primal-dual puro.

LISTA DE TABELAS

TABELA 1: CUSTO E LIMITE OPERACIONAL DA USINA TRMICA ....................... 7

TABELA 2: DADOS DAS METAS ENERGTICAS DAS HIDRULICAS ................... 7

TABELA 3: CARGA TOTAL PARA TRS PATAMARES ............................................ 7

TABELA 4: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 1 .............................................. 20






SUMRIO

1 INTRODUO ..................................................................................................... 6

1.1 CONTEXTO ................................................................................................... 6

1.2 OBJETIVOS ................................................................................................... 6

1.2.1 Objetivo geral........................................................................................... 7

1.2.2 Objetivos especficos ............................................................................... 7

2 RESOLUO DO PROBLEMA PROPOSTO ...................................................... 9

2.1 FORMULAO DO PROBLEMA PROPOSTO ............................................. 9

2.2 FORMULAO DO PROBLEMA PROPOSTO BASEADA EM VARIVEIS

DE FOLGA E BARREIRA LOGARTMICA ............................................................ 13

2.3 FUNO LAGRANGEANA .......................................................................... 14

2.4 CONDIES DE OTIMALIDADE DE KARUSH-KUHN-TUCKER ............... 14

2.5 MTODO DE NEWTON ............................................................................... 15

2.6 APLICAO DO MTODO DE NEWTON S CONDIES DE KKT ......... 16

2.7 ATUALIZAO DE Zk E ........................................................................... 17

3 RESULTADOS OBTIDOS .................................................................................. 20

4 ANLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSO ................................................. 23

5 CONCLUSES E TRABALHOS FUTUROS ...................................................... 25

6

1 INTRODUO

O conceito de otimizao est implcito nos mtodos de resolues de

muitos problemas de sistemas eltricos de potncia. Usando a filosofia da

otimizao, pode-se analisar um problema de deciso envolvendo a seleo de

valores para um dado nmero de variveis inter-relacionadas, concentrando-se a

ateno num nico objetivo, formulado para quantificar desempenho e medir a

qualidade da deciso. Este objetivo , maximizado ou minimizado, dependendo da

formulao, sujeito s restries que podem limitar a seleo dos valores das

variveis envolvidas [3].

Deve-se notar, entretanto que s vezes muito difcil representar todas as

complexidades das interaes das variveis, restries e objetivos apropriados

quando tentamos resolver um problema de deciso complexo. Sendo assim, uma

formulao particular deve ser entendida apenas como uma aproximao. No

entanto, uma boa modelagem e tambm uma interpretao consistente dos

resultados fornecidos so sempre fundamentais e necessrios para se obter

concluses coerentes [3].

1.1 CONTEXTO

O problema de otimizao, em particular o despacho econmico, esto

inseridos diretamente no contexto da programao da operao dos sistemas

eltricos de potncia. Atravs destes estudos que realizado o planejamento

energtico brasileiro.

1.2 OBJETIVOS

Os objetivos deste trabalho so a familiarizao com o problema de

otimizao do despacho econmico de sistemas de potncia, bem como o

desenvolvimento de algoritmos em um estudo de caso, resolvendo o problema

atravs do mtodo primal-dual de pontos interiores puro.

7

1.2.1 Objetivo geral

O objetivo geral deste trabalho a familiarizao com o problema de

otimizao do despacho econmico de sistemas de potncia utilizando o mtodo

primal-dual de pontos interiores puro.

1.2.2 Objetivos especficos

Alm da familiarizao com o problema utilizando o mtodo descrito

anteriormente, o trabalho prope um estudo de caso a ser programado no software

Matlab. O problema apresentado seguir ser resolvido atravs do mtodo j

supracitado anteriormente.

Problema: Suponha um sistema cuja carga alimentada por 1 usina trmica

e 2 hidrulicas. Os custos de gerao trmica e as capacidades de gerao so:

TABELA 1: CUSTO E LIMITE OPERACIONAL DA USINA TRMICA

Produtor Custo [$ / h] Capacidade [pu]

1 21111 12)( PgPgPgC 0 1Pg 5

FONTE: Enunciado 1 trabalho (1 sem/2013)

Alm disto, tm-se mais duas usinas hidrulicas, cujas metas energticas

para um ms esto apresentadas na Tabela 2.

TABELA 2: DADOS DAS METAS ENERGTICAS DAS HIDRULICAS

Barra Custo [$ / h] Capacidade

[pu]

Meta

[pu.h]

Meta 2 (hidrulica) 22222 00)( PgPgPgC

0 2Pg 3.5 880

Meta 3 (hidrulica) 23333 00)( PgPgPgC 0 3Pg 3.5 950


TABELA 3: CARGA TOTAL PARA TRS PATAMARES

Patamar horas [pu]

Pesada 148 4.3560

Mdia 428 3.9600

8

Leve 168 1.1880


Com isso deve-se apresentar os valores dos despachos da trmica e das

hidrulicas para os 3 patamares, analisando as solues determinadas sob os

seguintes aspectos:

- Dependncia da velocidade de convergncia (nmero de iteraes);

- Diferentes valores iniciais do parmetro barreira;

9

2 RESOLUO DO PROBLEMA PROPOSTO

Neste captulo ser apresentada a modelagem matemtica sugerida pela

disciplina para o problema proposto, utilizando os mtodos anteriormente descritos.

2.1 FORMULAO DO PROBLEMA PROPOSTO

Para o ms de estudo do problema proposto so fornecidas as metas

energticas de cada usina hidrulica:

950

880

3

2

Meta

MetaMeta

(1)

Onde:

iMeta : meta energtica da usina hidrulica i;

A carga que deve ser atendida ao longo de 3 patamares representada pelo

vetor Pd (demanda de potncia ativa) com dimenso [3 x 1]:

Assim,

3560.4

9600.3

1880.1

3

2

1

Pd

Pd

Pd

Pd

(2)

Onde:

kPd : representa a carga de potncia ativa do sistema no patamar k;

Outros dados de entrada so os vetores que representam os limites

mximos e limites mnimos de gerao de potncia ativa da usina termeltrica e das

usinas hidreltricas:

10

5.3

5.3

5

5.3

5.3

5

5.3

5.3

5

33

32

31

23

22

21

13

12

11

Pgmax

Pgmax

Pgmax

Pgmax

Pgmax

Pgmax

Pgmax

Pgmax

Pgmax

Pgmax

(3)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

33

32

31

23

22

21

13

12

11

Pgmin

Pgmin

Pgmin

Pgmin

Pgmin

Pgmin

Pgmin

Pgmin

Pgmin

Pgmin

(4)

Onde:

kiPgmin : Limite mnimo de gerao de potncia ativa para uma usina i no patamar k;

kiPgmax : Limite mximo de gerao de potncia ativa para uma usina i no patamar k.

Os custos quadrticos e lineares das usinas para cada patamar so

representados pela matriz Q e vetor b:

)

0

0

1

0

0

1

0

0

1

(

diagQ

(5)

11

0

0

2

0

0

2

0

0

2

b

(6)

Para o ms em estudo, deve-se fazer o despacho de gerao hidrotrmico

para cada patamar considerado no problema (por exemplo: patamares pesada,

mdia e leve). Ou seja, deve-se otimizar a varivel de otimizao que referente

gerao de potncia ativa Pg:

33

32

31

23

22

21

13

12

11

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

(7)

Onde:

kiPg : gerao de potncia ativa para uma usina i no patamar k;

A funo objetivo do problema uma funo custo de gerao de usinas

trmicas:

C(Pg) = Pgt Q Pg + bt Pg

(8)

As restries a que este problema est sujeito so:

12

a) Restries de igualdade: Equaes de balano de potncia ativa,

que colocam a premissa de que a potncia gerada total por patamar deve

ser igual carga por patamar:

Iaux x Pg Pd = 0 (9)

Onde:

0

0

0

111000000

000111000

000000111

3

2

1

33

32

31

23

22

21

13

12

11

Pd

Pd

Pd

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

(10)

b) Restries de desigualdade:

Os limites de gerao so:

Pgmin Pg Pgmax (11)

-Pg + Pgmin 0 (12)

Pg - Pgmax 0 (13)

As metas energticas devem ser satisfeitas:

MetaPgasMatriz_hor (14)

13

950

880

168004280014800

016800428001480

3

2

3

3

3

2

3

1

2

3

2

2

2

1

1

3

1

2

1

1

Meta

Meta

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

Pg

(15)

Problema a ser resolvido:

min C(Pg) = Pgt Q Pg+ bt Pg

(16)

s.a

Iaux x Pg Pd = 0

-Pg + Pgmin 0

Pg - Pgmax 0

0 MetaPgasMatriz_hor

2.2 FORMULAO DO PROBLEMA PROPOSTO BASEADA EM VARIVEIS

DE FOLGA E BARREIRA LOGARTMICA

Para se transformar as restries de desigualdade em restries de

igualdade, so introduzidas variveis de folga ao problema. As restries passam a

ser representadas da seguinte maneira:

Pg - Pgmax + smax = 0 (17)

Pg + Pgmin + smin = 0 (18)

0 smetaMetaPgasMatriz_hor (19)

Obs: As variveis de folga smin, smax, smeta devem ser todas 0.

14

A fim de se representar as restries de no negatividade das variveis de

folga, o problema modificado com a introduo da barreira logartmica na funo

objetivo do problema. O objetivo da barreira penalizar a funo objetivo quando as

variveis de folga se aproximam da barreira.

O problema modificado passa a ser assim representado:

)}(ln)]ln()([ln{ - )C(min 2

1

9

1

i

i

ii

i

tt smetaspmaxspminco

PgbPgQPgPg (20)

s.a

Iaux * Pg Pd = 0

Pg - Pgmax + smax = 0

Pg + Pgmin + smin = 0

0 smetaMetaPgasMatriz_hor

2.3 FUNO LAGRANGEANA

A funo Lagrangeana associada a este problema :

)(

) () - (][

)}(ln)]ln()([ln{ - ) ,,(

2

1

9

1

smetaMetaPgasMatriz_hormeta

smin PgminPgminsmax PgmaxPgmaxPd - PgIaux

PgbPgQPgPg

t

ttT

ii

iii

tt smetaspmaxspmincoL

(21)

As variveis do problema primal so: Pg, smin, smax, smeta.

As variveis duais so os multiplicadores de Lagrange associados s

restries: ,maxe min , meta .

2.4 CONDIES DE OTIMALIDADE DE KARUSH-KUHN-TUCKER

15

As condies necessrias de otimalidade de primeira ordem para este novo

problema de otimizao so:

metaasMatriz_horminmaxIauxbPgQPg TTL 2 (22)

][ Pd - PgIaux L (23)

smaxPgmaxPgpmax - L (24)

smin PgminPgpm - Lin (25)

smetaMetaPgasMatriz_hormeta L (26)

maxmaxsmax Se - L (27)

minminsmin Se - L (28)

metaSe metasmeta - L (29)

onde:

maxS : matriz diagonal das variveis smax;

minS : matriz diagonal das variveis smin;

metaS : matriz diagonal das variveis smeta;

max : Vetor das variveis max ;

min : Vetor das variveis min ;

meta : Vetor das variveis meta ;

2.5 MTODO DE NEWTON

Suponhamos uma f(z), que se deseja encontrar o timo da funo. A partir de

um ponto inicial de partida zk busca-se o ponto timo atravs da direo de busca

zk, sendo que:

zk = - [ W(zk)]-1 * f(zk) (30)

Onde:

W(zk ) a Matriz Hessiana de f(zk).

16

A cada iterao k=k+1, o valor de zk atualizado da seguinte forma: zk+1 = zk

+ zk, at que se encontre o timo.

2.6 APLICAO DO MTODO DE NEWTON S CONDIES DE KKT

Aplicando o Mtodo de Newton s condies de KKT para resoluo do

sistema por mtodo iterativo, obtm-se o seguinte sistema de equaes

linearizadas:

W * z = - zL

(31)

Onde:

smeta

smin

smax

meta

min

max

Pg

z

(32)

A matriz Hessiana W apresenta a estrutura abaixo:

metameta

maxmin

maxmax

S

S

S

emasMatriz_hor

ee

ee

Iaux

asMatriz_horeeIauxQ

W

000000

00000

000000

)(000000

0)(00000)(

00)(0000)(

0000000

000)()(2

diag

diagdiag

diagdiag

diagdiag TT

(33)

O sistema de equaes resolvido a cada iterao:

17

L

L

L

L

L

L

L

L

.

smeta

smin

smax

meta

min

max

Pg

smeta

smin

smax

meta

min

max

Pg

W

(34)

2.7 ATUALIZAO DE Zk E

A cada iterao, o sistema linear do item anterior resolvido, sendo a

prxima etapa a determinao do comprimento do passo nos espaos primal e dual,

de modo que:

- as variveis de folga smin, smax, smeta sejam todas 0;

- os multiplicadores de Lagrange sejam: min 0, max 0 ; meta 0;

p = min { minsi

18

zpk+1 = zpk + p . zpk (37)

zdk+1 = zdk + d . zdk

(38)

Onde:

p e d garantem que as restries de desigualdades no seja violadas,

uma constante que tem por finalidade garantir a interioridade da nova

aproximao, sendo utilizado o valor 0,9995 ;

smeta

spmax

spmin

Pg

zp

(39)

meta

max

min

zd

(40)

O ltimo passo dentro de cada iterao recalcular o valor do parmetro

barreira . O clculo do parmetro baseado na relao:

l

t

2

s

(41)

Onde:

l: nmero de restries de desigualdade;

: fator de acelerao ( 1);

s : vetor formado pelos elementos de [ smin ; smax; smeta] T;

: vetor formado pelos elementos de[min ; max; meta] T.

19

2.8 ALGORITMO PARA RESOLUO DO PROBLEMA DE OTIMIZAO VIA

PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES.

Passo 0 : Escolha o , valores iniciais para variveis primais e duais. Faa k = 0.

Passo1: Calcule o valor das condies de otimalidade ( clculo de z L ).

Passo2: Se (norma infinita de z L) < tol = 10-6 , FIM, a soluo zk. Caso

contrrio, faa k= k+1 e v ao Passo 3.

Passo 3: Resoluo do Sistema Linear:

Wk * zk = - z L (50)

Passo 4: Determine o comprimento do passo nos espaos prima e dual (p e d ).

Passo 5 : Atualize todas as variveis.

Passo 6: Atualize o parmetro barreira .

Passo 7:Retorne ao Passo 1.

20

3 RESULTADOS OBTIDOS

Para o problema exposto foram simuladas no Matlab seis situaes:

1. Cenrio 1: Parmetro barreira ( ) = 1, Fator de acelerao ( ) = 1;

2. Cenrio 2: Parmetro barreira ( ) = 0.1, Fator de acelerao ( ) = 0.5;

3. Cenrio 3: Parmetro barreira ( ) = 10, Fator de acelerao ( ) = 20;

4. Cenrio 4: Parmetro barreira ( ) = 0,025, Fator de acelerao ( ) = 30;

5. Cenrio 5: Parmetro barreira ( ) = 0,5, Fator de acelerao ( ) = 0,5;

6. Cenrio 6: Parmetro barreira ( ) = 5000, Fator de acelerao ( ) = 0,5;

Os resultados obtidos para o problema exposto seguem abaixo e sero

discutidos no captulo seguinte.

Resultados para o cenrio 1:

Parmetro barreira ( ) = 1

Fator de acelerao ( ) = 1;

Nmero de Iteraes (K) = 21;

Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = - 3.94027e+008

TABELA 4: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 1

Patamar 1Pg (pu) 2Pg (pu) 3Pg (pu)

Leve 0.0000 2.1497 2.2063

Mdia 1.6423 1.0900 1.2277

Pesada 0.0372 0.5674 0.5834


Parmetro barreira ( ) = 0,2

Fator de acelerao ( ) = 0,5;

21


Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = - 40253.7;



Leve 0.1609 2.0686 2.1265

Mdia 1.5662 1.1275 1.2663

Pesada 0.1759 0.5000 0.5121





Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = - 3.33286e+009;



Leve 0.0000 2.1564 2.1996

Mdia 1.6423 1.0875 1.2302

Pesada 0.0372 0.5677 0.5831





Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = - 3.76568e+009;



Leve 0.0000 2.1647 2.1913

22

Mdia 1.6423 1.0746 1.2431

Pesada 0.0372 0.5933 0.5575



Fator de acelerao ( ) = 0,5


Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = 40316.8



Leve 0.3852 1.9547 2.0161

Mdia 1.5635 1.1293 1.2672

Pesada 0.2852 0.4466 0.4562



Fator de acelerao ( ) = 0,5


Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = - 3.8315e+008



Leve 2.1528 1.0818 1.1214

Mdia 2.5619 0.6728 0.7253

Pesada 0.4548 0.3636 0.3696

23

4 ANLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSO

A anlise dos resultados de fundamental importncia para a interpretao

dos resultados do problema.

.Cabe ressaltar algumas particularidades do mtodo:

O nmero de iteraes para convergncia depende ao valor inicial

dado o parmetro barreira, sendo que o valor ideal varia conforme

cada sistema [3].

A medida que o sistema vai se aproximando da soluo tima, a

matriz W (equao 33) tende a se tornar mal condicionada, o que

pode dificultar a convergncia. Para contornar este problema, deve-se

ter domnio sobre o mtodo e o problema, alm de estabelecer limites

para o parmetro barreira [3].

A escolha do fator de acelerao, utilizado para atualizao do

parmetro barreira em (44), principalmente para sistemas mal

condicionados, fundamental para a convergncia do algoritmo [3].

Para as situaes simuladas, podem-se tirar as seguintes concluses:

Quanto menor o valor de , maior a chance de ocorrerem problemas de

estabilidade numrica.

A usina trmica despacha energia para o patamar de carga leve apenas para

valores baixos de (ao redor de 0,5). Para os demais casos, para atender o

as metas energticas propostas o sistema prioriza a gerao hidrulica.

Para todos os casos o sistema convergiu com um nmero relativamente baixo

de iteraes (entre 6 e 9). Apenas no cenrio 1, onde os valores de e

so valores baixos e prximos que o sistema demorou um pouco mais para

convergir (21 iteraes).

Para o cenrio 6, onde o valor inicial de elevado com um beta quase que

no limite inferior de estabilidade numrica, percebe-se que o sistema utiliza a

24

unidade trmica para gerao de valores que ultrapassam os 50% de sua

capacidade.de potncia para os patamares de carga leve e mdia.

O cenrio 5 obteve o melhor resultado de velocidade de convergncia. Neste

caso, foram utilizados baixos valores para e de 0,5 e a usina trmica foi

acionada para os trs patamares de carga.

25

5 CONCLUSES E TRABALHOS FUTUROS

Este trabalho proporcionou a familiarizao com o problema proposto. A

otimizao do despacho econmico no sistema eltrico de potncia de

fundamental importncia no contexto do mbito de operao do sistema interligado

nacional. Em particular, o estudo gerou um maior conhecimento no mtodo de

pontos interiores verso primal-dual puro aplicado a este tipo de problema. O

desenvolvimento de algoritmos de programao contextualizou e proporcionou

resultados satisfatrios para os objetivos propostos inicialmente.

Como estudos futuros, deseja-se aplicar a metodologia em sistemas mais

robustos, bem como em problemas com funes multiobjetivos.

26

REFERNCIAS

[1] ABNT. NBR 6023 Informao e documentao - Referncias -

Elaborao. 2002.

[2] UFPR. Normas para apresentao de documentos cientficos, 2 - Teses,

dissertaes, monografias e outros trabalhos acadmicos. 2007.

[3] UFPR. Notas de aula da disciplina TE831: Tcnicas de Otimizao

Aplicadas a Sistemas Eltricos de Potncia. 2013.

[4] UFPR. Enunciado do primeiro trabalho de aula da disciplina TE831:

Tcnicas de Otimizao Aplicadas a Sistemas Eltricos de Potncia. 2013.

otimizaÇÃo do despacho econÔmico atravÉs do mÉtodo primal-dual de pontos interiores puro

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