ottica geometrica e sistemi otticiottica geometrica e...
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Ottica geometrica e sistemi otticiOttica geometrica e sistemi ottici
1. Approssimazioni e postulati2. Sorgenti e immagini3. Specchi4. Il diottro5. Lenti spesse e sottili6. Sistemi e strumenti ottici
1. APPROSSIMAZIONI E POSTULATI 1. APPROSSIMAZIONI E POSTULATI
OTTICA: scienza della luce (visibile)OTTICA: scienza della luce (visibile)
ovveroLo spettro della luceLo spettro della luce
LUNGHEZZA D’ONDA λ (m)
105 10151010 1020 1025
FREQUENZA ν (Hz)
100 10-1010-5 10-15
RADIOFREQUENZE
RADIO TV
MICROONDE
VIS
IBIL
E
INFRAROSSOUV
RAGGI XRAGGI GAMMA
LUNGHEZZA D’ONDA λ (µm)0.7 0.30.40.50.6
I R U V
λ → 0
λ = 400 ÷ 700 nmλ = 400 ÷ 700 nm
approssimazioni e postulatiapprossimazioni e postulati
a confronto col mondo macroscopico, si può quindi considerare:
ciò comporta che:
1) la luce si propaga in linea retta lungo i raggi1) la luce si propaga in linea retta lungo i raggi
k
r
z
xy
z
xy
approssimazioni e postulatiapprossimazioni e postulati
λ → 0
2) ogni sorgente puntiforme emette infinite onde piane2) ogni sorgente puntiforme emette infinite onde piane
S
approssimazioni e postulatiapprossimazioni e postulati
λ → 0
3) ogni sorgente estesa è fatta di infinite sorgenti puntiformi3) ogni sorgente estesa è fatta di infinite sorgenti puntiformi
approssimazioni e postulatiapprossimazioni e postulati
λ → 04) formazione della visione4) formazione della visione
immagine sulla retina:
S’S
ma anche:
S
S’
specchio
immagine virtuale
Lezione n. 14 7
OTTICA GEOMETRICA
Raggio ottico: in ogni punto ha direzione e verso della linea lungo la quale avviene il flusso di energia.Nei mezzi isotropi: è perpendicolare ai fronti d’onda.Anche, direzione di propagazione dell’onda piana equivalente
Lezione n. 14 8
LEGGI DELL’OTTICA GEOMETRICA
1. In un mezzo omogeneo ed isotropo la luce si propaga lungo linee rette (RAGGI);
2. Alle superfici di separazione tra due diversi mezzi ottici, per ciascun raggio si applicano le leggi della riflessione e della rifrazione;
La velocità di propagazione della luce (onda e.m.) in un mezzo di permettività ε, µ vale
e l’impedenza caratteristica del mezzo è
εµ1v =
εµ
=0Z
Due mezzi sono diversi se hanno diversa impedenza caratteristica.
Lezione n. 14 9
LEGGI DELL’OTTICA GEOMETRICA
3. Leggi della riflessione e rifrazione.
(a) I raggi incidente, riflesso, rifratto e la normale alla superficie di discontinuità nel punto di incidenza giacciono nel medesimo piano.
mezzo 1
mezzo 2
normale
Raggio riflessoRaggio incidente
Raggio rifratto
i i’
r
i: angolo di incidenza
i’: angolo di riflessione
r: angolo di rifrazione
Lezione n. 14 10
LEGGI DELL’OTTICA GEOMETRICA
3. Leggi della riflessione e rifrazione.
(b) i = i
con ni = c / vi ; c : velocità della luce nel vuotovi: velocità della luce nel mezzo i-esimoni: indice di rifrazione assoluto del mezzo i-esimo
211
2 nnn
r sini sin
==
ririir00
ii
ii
iii
00 vcn ; 1 v; 1c εµε
µεµε
µεµε≅=====
2. SORGENTI E IMMAGINI 2. SORGENTI E IMMAGINI
definizionidefinizioni
Ssistema ottico S’
oggetto immagine
fascio omocentrico(coniugato) emergente
fascio omocentricoincidente
punti coniugati
definizionidefinizioni
reale virtuale
oggetto centro deiraggi incidenti
centro deiraggi emergentiimmagine
centro delprolungamento
dei raggi incidenti
centro delprolungamento
dei raggi emergenti
definizionidefinizioni
si noti la differenza:
oggetto
sistema ottico
immagine
S S’
sistema stigmatico
Ssistema ottico
oggetto immaginesistema astigmatico aberrazione
sorgenti e immagini
S’
oggettoreale
immaginereale
S
oggettoreale
immaginevirtuale
S’
SS’
immaginevirtuale
oggettoreale
specchio
sorgenti e immagini
S
S’
immaginereale
S’
sorgenti e immaginisorgenti e immagini
oggettovirtuale
S’ S
oggettovirtuale
immaginevirtuale
βα
θθ
P
ω
3. SPECCHI SFERICI 3. SPECCHI SFERICI
C
R
O
s
S
h
S’
specchio sferico concavoC ≡ centro
O ≡ verticeh ≡ apertura lineare
R ≡ raggio
tutti i raggi uscenti da S passano per S’ ?tutti i raggi uscenti da S passano per S’ ?
s’
asse otticoasse ottico
superficie sfericasuperficie sferica
H
triangolo SCP : α + θ = ωtriangolo CPS’: ω + θ = β α+β =2ω
approssimazione parassiale : α molto piccolo → α ≈ sin α ≈ tg αe analogamente per gli altri angoli
inoltre H ≈ O : SH ≈ s ; CH ≈ R ; S’H ≈ s’
tgα+tgβ =2tgω
Rss
CHPH
HSPH
SHPH
2'
11
2'
=+
=+
equazione degli specchi
SPECCHI SFERICI (altra dimostrazione)SPECCHI SFERICI (altra dimostrazione)
specchio sferico concavosuperficie sfericasuperficie sfericaC ≡ centro
φ’φ
θθ
P
αC
R
Oa’
s
a
S
h
S’
O ≡ verticeh ≡ apertura lineare
s’
R ≡ raggio
asse otticoasse ottico
tutti i raggi uscenti da S passano per a’ ?tutti i raggi uscenti da S passano per a’ ?
φ’θ
φ
P
CR
Oa’
S’
Cerchiamo la relazione fra
dalla legge dei seni a SPC:
θ
α
cosα cotθ sinα sinθ
θ)sin(α −=−
=aR
cosα cotθ sinα sinθ
θ)sin(α '
+=+
=aR
e a CPS’: cosα2 '
aRRaa
+=
(specchi concavi)
specchio sferico concavospecchio sferico concavo
S
a
a e a’:Cerchiamo la relazione fra a e a’:
specchio sferico concavospecchio sferico concavo
dipende da cosα2
'aR
Raa+
=
(specchi concavi)
se: 0 α→
R
ma:
RaRaa+
≅2
' 0 ' ≅δa φ < α << 1 raggi parassialiapprossimazione parassiale
P
C
R
Oδa’S α
P’
P’’
OS C
α!dipende da α!
φ’
θθ
φ
P
α CR’’
O S’
a’’
specchio sferico convessospecchio sferico convesso
S
s
a
''cosα2'' ''
RaaRa−
=
(specchi convessi)
''2'' ''RaaRa
−≅
(specchi convessi)
parassialeapprossimazione
I
specchi sfericispecchi sfericiconvenzioniconvenzioni
I raggi provengono sempre da sinistra
II s > 0 se i raggi divergono (S a sinistra dello specchio)s < 0 se i raggi convergono (S a destra dello specchio)
III s’ > 0 se i raggi convergono (S’ a sinistra dello specchio)s’ < 0 se i raggi divergono (S’ a destra dello specchio)
IV R > 0 se: oggetto reale → immagine reale (C a sinistra dello specchio)R < 0 se: oggetto reale → immagine virtuale (C a destra dello specchio)
I I raggi provengono sempre da sinistra
II s > 0 se i raggi divergono (S a sinistra dello specchio)s < 0 se i raggi convergono (S a destra dello specchio)
III s’ > 0 se i raggi convergono (S’ a sinistra dello specchio)s’ < 0 se i raggi divergono (S’ a destra dello specchio)
IV R > 0 se: oggetto reale → immagine reale (C a sinistra dello specchio)R < 0 se: oggetto reale → immagine virtuale (C a destra dello specchio)
SS’
s < 0 e s’ < 0
S’S S’
s > 0 e s’ < 0
S S’
s > 0 e s’ > 0
riassumendo:specchi sfericispecchi sferici
CR
S S’
s’a’
Oa
s
CR’’
OS S’
a’’s’’s
a
''2'' ''RaaRa
−≅
RaRaa+
≅2
'
' ' sRaRsa −=−= '' '' '' '' sRaRsa −=+=
equazione degli specchiequazione degli specchi
con le convenzioniintrodotte:
2 '
1 1 Rss
=+
esempio 1R
CS’
s’s
a)
Sspecchio sferico concavo R = 20 cmtrovare s’ per:a) s = 30 cm
b) s = 15 cm
c) s = 5 cm
specchio sferico concavo R = 20 cmtrovare s’ per:a) s = 30 cm
b) s = 15 cm
c)
O
s = 5 cm
b)
OS’SC
c)
O S’SC
s’s
2 '
1 1 Rss
=+
1 ' 12 sR
s−
=
a) s’ = 15 cm
b) s’ = 30 cm
c) s’ = -10 cm
esempio 2 2
'1 1
Rss=+
specchio sferico
0 1 0 >⇒>s
s
c)
0 1 ' 12
<−
=sR
s 0 >∀s
OS2
S2’S1S’1S3
S’3
R 01 <R
oggetto reale
convesso R = 20 cmtrovare s’ per:a) s = 30 cm
b) s = 15 cm
s = 5 cm
specchio sferico convesso R = 20 cmtrovare s’ per:a) s = 30 cm
b) s = 15 cm
c) s = 5 cm
→ immagine virtualeoggetto reale → immagine virtuale
3.1 Fuoco e distanza focalespecchi sfericispecchi sferici 3.1 Fuoco e distanza focale
2 '
1 1 Rss
=+
se, nella:
prendiamo ∞→s si ha:
C
R
OC
R
OF F
2
' ≡== fRs distanza focale dello specchio 2
'1 1 ⇒=+
∞ Rs
1 '
1 1 fss
=+
fuoco e distanza focalefuoco e distanza focale
1 '
1 1 fss
=+
si noti che, per la reversibilità:
C
R
OF
C
R
OF
esempio: concentratori solari esempio: riflettori per fari
fuoco e distanza focalefuoco e distanza focale
1 '
1 1 fss
=+
in realtà, per la aberrazione sferica, fuori dalla approssimazione parassiale:
O
il fuoco è un segmento
C
3.2 Oggetti estesi e costruzioni delle immagini3.2 Oggetti estesi e costruzioni delle immagini
si fa il tracciamento dei raggi (ray tracing) di due dei quattro raggi principali:
OC
Fy
y’
OC
Fy
y’ '
yym ≡ ingrandimento
lineare trasversale
ad esempio, avendo solo il fuoco:
costruzioni delle immaginicostruzioni delle immagini
analogamente per gli specchi convessi:
O CF
yy’
P
' yym ≡ ingrandimento
lineare trasversale
Ingrandimento lineare trasversaleIngrandimento lineare trasversale
OC
Fy
y’
dalle relazioni sui triangoli simili:
ss
yym ' ' −=≡ concavo/convesso
s’s
comunque, in entrambi i casi:
O CF
yy’
P
s’s
y’ >0
y’ <0
applicazioni
C F
realerimpicciolita,
rovesciata
obiettivo telescopio
l’immagine è:
s > R
C F
realeingrandita,rovesciata
obiettivo proiettore
f < s < R
C Fvirtuale
ingranditaspecchio per
radersi, truccarsi
s < f
esempi:costruzioni delle immagini lo specchio concavoesempi: lo specchio concavocostruzioni delle immagini
F
oggetto reale immagine virtualespecchioconcavo
esempi:costruzioni delle immagini lo specchio concavoesempi: lo specchio concavocostruzioni delle immagini
applicazioni
CFvirtuale
rimpicciolitaspecchietti retrovisori
l’immagine è:
s > 0
virtualerimpicciolita
specchietti retrovisoriCF
s > 0
realeingrandita
oculare cannocchialeCF
s < 0
esempi:costruzioni delle immagini lo specchio convessoesempi: lo specchio convessocostruzioni delle immagini
Riepilogo: le espressioni da ricordareRiepilogo: le espressioni da ricordare
leggi della riflessione,convenzioni sui segni,
approssimazione parassiale
leggi della riflessione,convenzioni sui segni,
approssimazione parassiale
equazione degli specchi
2 '
1 1 Rss
=+
equazione degli specchi
1 '
1 1 fss
=+
ss
yym ' ' −=≡
ingrandimento
aberrazione sferica,astigmatismo
aberrazione sferica,astigmatismo
tracciamento delle immagini
tracciamento delle immagini
Esercizio numericoEsercizio numerico
6.1 Uno specchio sferico concavo R = 80 cm, un volto umano a 20 cm dal vertice. Calcolare: a) il rapporto di ingrandimento m; b) la posizione apparente dell’immagine.6.1 Uno specchio sferico concavo R = 80 cm, un volto umano a 20 cm dal vertice. Calcolare: a) il rapporto di ingrandimento m; b) la posizione apparente dell’immagine.
Esercizio numericoEsercizio numerico
6.2 Uno specchio retrovisore sferico convesso R = 40 cm, un’auto a 10 m. Calcolare: a)il rapporto di ingrandimento m; b) la posizione apparente dell’immagine.6.2 Uno specchio retrovisore sferico convesso R = 40 cm, un’auto a 10 m. Calcolare: a)il rapporto di ingrandimento m; b) la posizione apparente dell’immagine.
Esercizio numericoEsercizio numerico
6.3 Uno specchio in un parco dei divertimenti mostra l’immagine dritta di una persona che gli sta di fronte a distanza di 1.3 m. Se l’immagine è alta tre volte la statura della persona, qual è il raggio di curvatura dello specchio?
6.3 Uno specchio in un parco dei divertimenti mostra l’immagine dritta di una persona che gli sta di fronte a distanza di 1.3 m. Se l’immagine è alta tre volte la statura della persona, qual è il raggio di curvatura dello specchio?
Esercizio numericoEsercizio numerico
6.4 Volendo fotografarsi mentre ci si guarda in uno specchio piano a 1.5 m di distanza, per quale distanza occorre mettere a fuoco?6.4 Volendo fotografarsi mentre ci si guarda in uno specchio piano a 1.5 m di distanza, per quale distanza occorre mettere a fuoco?
Esercizio numericoEsercizio numerico
6.5) Ipotizzando gli specchi ustori di Archimede con un raggio R = 200 m e un’ apertura lineare di 2h = 10 m, si calcoli l’intensità della radiazione solare riflessa nell’immagine del sole prodotta dallo specchio stesso. Si assuma che l’intensità della radiazione solare al suolo sia circa pari a Is ≅ 1000 W (costante solare), per il raggio solare Rs ≅ 0.696 ⋅106 km, e per la distanza Terra-Sole d = 149.6 ⋅ 106 km
6.5) Ipotizzando gli specchi ustori di Archimede con un raggio R = 200 m e un’ apertura lineare di 2h = 10 m, si calcoli l’intensità della radiazione solare riflessa nell’immagine del sole prodotta dallo specchio stesso. Si assuma che l’intensità della radiazione solare al suolo sia circa pari a Is ≅ 1000 W (costante solare), per il raggio solare Rs ≅ 0.696 ⋅106 km, e per la distanza Terra-Sole d = 149.6 ⋅ 106 km
4. RIFRAZIONE DA SUPERFICIE SFERICA: IL DIOTTRO 4. RIFRAZIONE DA SUPERFICIE SFERICA: IL DIOTTRO
OS S’
P
C
n2R
I I raggi provengono sempre da sinistra
II s > 0 se i raggi divergono (S a sinistra dello specchio)s < 0 se i raggi convergono (S a destra dello specchio)
III s’ > 0 se S’ a destra del vertice Os’ < 0 se S’ a sinistra del vertice O
IV R > 0 se la superficie è convessa rispetto ai raggi incidentiR < 0 se la superficie è concava rispetto ai raggi incidenti
I I raggi provengono sempre da sinistra
II s > 0 se i raggi divergono (S a sinistra dello specchio)s < 0 se i raggi convergono (S a destra dello specchio)
III s’ > 0 se S’ a destra del vertice Os’ < 0 se S’ a sinistra del vertice O
IV R > 0 se la superficie è convessa rispetto ai raggi incidentiR < 0 se la superficie è concava rispetto ai raggi incidenti
convenzioni che vanno modificate rispetto agli specchi (in colore)convenzioni che vanno modificate rispetto agli specchi (in colore)superficie sferica
s s’
n1asse otticoasse ottico
superficie sferica
OS S’
s s’
P
C
n1 n2θi
α ωl l’
θr
il diottroil diottro
βH
R
approssimazione parassiale : α molto piccolo → α ≈ sin α ≈ tg αe analogamente per gli altri angoli
inoltre H ≈ O : SH ≈ s ; CH ≈ R ; S’H ≈ s’
e 1
2
1
2
nn
nn
sin sin
≅⇒=r
i
r
i
θθ
θθ
triangolo SCP : α + ω = θitriangolo CPS’: β + θr = ω
α+ω = θi β−ω = −θr 1
2
nn
−=−+
ωβωα
( )
( )CH
PHnn
HS
PHn
SH
PHn
nnnn
1221
1221
'
−=+
−=+ ωβα
( )R
nnsn
sn 1
' 1221 −=+
equazione del diottro
il diottro (altra dimostrazione)il diottro (altra dimostrazione)
OS S’
a’
’
P
C
n2θi
φ αl l’
θrR
n1
s s
a
Cerchiamo la relazione fra a e a’:
dalla legge dei seni a SPC e S’PC :
ial
sinθsinα = e
ral
sinθsinα
''
=
'' 21
lan
lan
=
utilizzando la legge di Snell:
il diottroil diottro
OS S’
a’
’
P
C
n2θi
φ αl l’
θr
D
R
n1
s s
a
se α << 1 rad:2
212
21 α )α11( αcos RRRROD =+−≅−=
e α sinα RRPD ≅=
( ) ( ) ( ) sRsPDsl RsOD α 22222
1 ≅++≅++=
da Pitagora:
( ) ( ) ( ) ' 1α' ''22222 ' sRsPDsl R
sOD ≅−+≅+−=
il diottroil diottro
OS S’
a’
’
P
C
n2θi
φ αl l’
θr
D
sl ≅ ' ' sl ≅
R
'' 21
lan
lan
=
che, inserite nella:
n1
s s
a
danno:
Rnn
sn
sn 1221
' −
=+ equazione del diottro
il diottroil diottro
anche nel diottro concavo:
OSS’
as
s’
P
C
n1 n2
αR
a’
equazione del diottro
vale la:
Rnn
sn
sn 1221
' −
=+
il diottroil diottro
Rnn
sn
sn 1221
' −
=+si consideri il caso:
F’
n1 n2
∞→ s
Rnn
fnn 1221
' −
=+∞
12
2 ' 'nn
Rnfs−
==con
fuoco secondario
fuoco primario12
1 nn
Rnfs−
==conin conclusione:
'
' 211221
fn
fn
Rnn
sn
sn
==−
=+
∞→ 's
F
n1n2
Rnnn
fn 1221 −
=∞
+
4.1 Oggetti estesi e costruzioni delle immagini4.1 Oggetti estesi e costruzioni delle immagini
Tracciamento dei raggi con due dei tre raggi principali:
O
P
CFF’
n2
s’s
snsn
yym
2
1 ' ' −=≡
da cui si ricava:
superficie convessasuperficie convessa
immagine realeimmagine reale
n1
O C
n1 n2
s’s
superficie convessasuperficie convessa
y
y’θi
θr
Ingrandimento lineare trasversaleIngrandimento lineare trasversale
2
1r
''
sinsin
sintan e sintan raggi, dei tàparassiali di zioneapprossimal'per
negativa è y' perchè negativo segno ''tan e tan
nn
ys
sy
sy
sy
i
rrii
ri
=−=
≅≅
−==
θθ
θθθθ
θθ
snsn
yym
2
1 ' ' −=≡da cui si ricava:
il diottroil diottro
Tracciamento dei raggi con due raggi principali:superficie concavasuperficie concava
OC
n1 P
F’F
n2
s’
s
snsn
yym
2
1 ' ' −=≡
da cui si ricava:immagine virtualeimmagine virtuale
4.2 Un diottro particolarmente semplice: il piano4.2 Un diottro particolarmente semplice: il piano
∞→ Rsi consideri il caso:
0 '
1221 =−
=+R
nnsn
sn
Ss
s’
Pn1
n2
φS’
n1 < n2 ⇒ s < s’
Ss
s’
Pn1 n2
S’
n1 > n2 ⇒ s > s’
Riepilogo: le espressioni del diottroRiepilogo: le espressioni del diottro
leggi della rifrazione,convenzioni sui segni,
approssimazione parassiale
leggi della rifrazione,convenzioni sui segni,
approssimazione parassiale
equazione del diottro
'
' 211221
fn
fn
Rnn
sn
sn
==−
=+
snsn
yym
2
1 ' ' −=≡
ingrandimento
esempio 1Il diottro pianoIl diottro piano
la matita “spezzata”la matita “spezzata”
acquan = 1.33 acqua
n = 1.33
∆h
la moneta “avvicinata”la moneta “avvicinata”
Il diottro pianoIl diottro pianoEsercizio numericoEsercizio numerico
6.6
acquan = 1.33
∆h
la moneta “avvicinata”la moneta “avvicinata”
θr
θi
arian = 1.00
h
h’
h = 1 m. A che profondità sembraUna moneta giace sul fondo di una vasca piena di acqua profonda
essere se guardata dall’alto.6.6 Una moneta giace sul fondo di una vasca piena di acqua profonda h = 1 m. A che profondità sembra essere se guardata dall’alto.
Esercizio numericoEsercizio numerico
6.7 Un diottro è costituito da una superficie sferica convessa con R = 12 cm, fatta con vetro flint con indice di rifrazione n = 1.58, in aria. Una sorgente puntiforme è posta sull’asse ottico a distanza s dal vertice. Calcolare s’ , m e il carattere dell’immagine per s uguale a : a) 90 cm;b) 32 cm;c) 20.7 cm;d) 15 cm.
6.7 Un diottro è costituito da una superficie sferica convessa con R = 12 cm, fatta con vetro flint con indice di rifrazione n = 1.58, in aria. Una sorgente puntiforme è posta sull’asse ottico a distanza s dal vertice. Calcolare s’ , m e il carattere dell’immagine per s uguale a : a) 90 cm;b) 32 cm;c) 20.7 cm;d) 15 cm.
OS S’
s s’
P
C
n1 n2
R
Rnn
sn
sn 1221
' −
=+
Esercizio numericoEsercizio numerico
6.8 Uno piccolo pesce rosso si trova in una boccia sferica piena di acqua di raggio R = 12 cm. Trascurando le dimensioni del pesce e l’effetto della sottile parete di vetro della boccia, calcolare di quanto ingrandita ci apparirà la sua immagine: a) quando si trova a 7 cm dal vetro anteriore; b) al centro della boccia; c) a 7 cm dal vetro posteriore dal vertice.
6.8 Uno piccolo pesce rosso si trova in una boccia sferica piena di acqua di raggio R = 12 cm. Trascurando le dimensioni del pesce e l’effetto della sottile parete di vetro della boccia, calcolare di quanto ingrandita ci apparirà la sua immagine: a) quando si trova a 7 cm dal vetro anteriore; b) al centro della boccia; c) a 7 cm dal vetro posteriore dal vertice.
rifrazione e formazione dell’immagine da diottri successivirifrazione e formazione dell’immagine da diottri successivi
5. LE LENTI5. LE LENTI
S3’
n2 n3n1 n1
S1 S1’= S2
S2’= S3
D1 D3D2
le lentile lenti
combinazioni di più diottri: le lenticombinazioni di più diottri: le lenti
semplicisemplici
compostecomposte
(esempio)
S1
s2
-s’1
n1
n2S’1 = S2 V1 V2S’2
s’2
s1
t
n1
le lentile lentila teoriala teoria
t ≡ spessore della lente
per il primo diottro
1 1 '
1
11
21
1
21
1 fRn
sn
s=
−=+
per il secondo diottro
'
1 1 '1
22
21
22
21
fRn
ssn
=−
=+
12 ' t ss −=
le lentile lenti
se la lente è sottile:
quindi: 112 ' ' t sss −=−=
0t →
'
1 1 '1
22
21
22
21
fRn
ssn
=−
=+
1 1 '
1
11
21
1
21
1 fRn
sn
s=
−=+
possiamo sommare le due equazioni:
ottenendo:
1 1)1( '
1 1
2121
−−=+
RRn
ssequazione del
costruttore di lenti
FF’O
s s’
S
S’
lenti sottililenti sottili 1 1)1(
'1 1
2121
−−=+
RRn
ssequazione del
costruttore di lenti
i punti focali sono equidistanti dal punto principale O
1 1)1( 1 21
21
−−=
RRn
f
FF’O
S
s s’
S’
l’equazione del “costruttore” diventa:
fss1
'1 1
=+ potenzadiottrica≡ 1
f
e l’ingrandimento:
ss
yym ' ' −=≡
lenti sottililenti sottilifx
F
F’O
SS’
s s’
si noti che, definendo:f x’
x = s - f e x’ = s’ - f
sostituendo nella:
fss1
'1 1
=+
si ottiene:
ffxfx1
'1 1
=+
++
' ' ' fx
xf
ss
yym −=−=−=≡
da cui:
( ) ( ) ( )( )( )( )
2 0 '
'' fxx'ffxfx
fxfxffxffx==
++++−+++ ⇒
ovvero:
forma Newtonianaequazione delle lenti
lenti sottililenti sottili
fss1
'1 1
=+
per il tracciamento si usano due dei tre raggi principali:
piani focali
F
F’O
s s’
SS’
lenti sottili convergenti (positive)lenti sottili convergenti (positive)costruzioni delle immaginicostruzioni delle immagini
FF’
S
S’
oggetto reale, immagine reale
yy’
obiettivo dimacchina fotografica
| m| << 1F
F’y
pellicola
obiettivo diproiettore| m| >> 1
FF’
y
I)
lenti sottili convergenti (positive)lenti sottili convergenti (positive)costruzioni delle immaginicostruzioni delle immagini
FF’y
y’oggetto reale,
immagine virtuale
II)
lente di ingrandimento,oculari microscopio, telescopio
FF’
y
y’oggetto virtuale, immagine reale
III)
lenti sottili divergenti (negative)lenti sottili divergenti (negative)costruzioni delle immaginicostruzioni delle immagini
F’F oggetto reale,
immagine virtualey
y’
I)
oggetto virtuale, immagine realeF’
Fy y’
II)
oggetto virtuale, immagine virtualeF’
F yy’
oculare cannocchiale
III)
lenti sottililenti sottili
si noti che:
in approx. parassiale manca l’aberrazione sfericain approx. parassiale manca l’aberrazione sferica
ma la dispersione provoca la:
F’F
aberrazione cromaticaaberrazione cromatica
)( ω= ff
)( ω= nn
lenti sottili
F’F)( ω= ff
)( ω= nnaberrazione cromaticaaberrazione cromatica
lenti sottili
parzialmente correggibile con lenti composte
6. SISTEMI E STRUMENTI OTTICI 6. SISTEMI E STRUMENTI OTTICI
6.1 L’occhio umano 6.1 L’occhio umano
Umor vitreoUmor acqueo
oggetto esteso
Disegno schematico dell’occhio umano
l’occhio umanol’occhio umano
il processo di accomodamento:
oggetto all’infinito
oggetto adistanza finita
l’occhio umanol’occhio umano
nel processo di visione distinta naturale:
φ0y’
y
dy
dy arctg 0 ≅=φ grandezza angolare (apparente)
15 cm ≤ d ≤ ∞
definiamo:
ma la visione è più distinta per d = d0 ≅ 25 cm
d
6.2a Il microscopio semplice (lente di ingrandimento)6.2a Il microscopio semplice (lente di ingrandimento)
Fy
φ’
d’
y’
si confronti con la situazione di visione distinta naturale:
y φ0
d0
definiamo ingrandimento angolare:
'
' ' 0
0
≅≡
dd
yyM
φφ
( ) tan φφ ≅
microscopio semplicemicroscopio semplicefx
F
F’O
SS’
s s’
si noti che, definendo:f x’
x = s - f e x’ = s’ - f
sostituendo nella:
fss1
'1 1
=+
si ottiene:
ffxfx1
'1 1
=+
++
( ) ( ) ( )( )( )( )
2 0 '
'' fxx'ffxfx
fxfxffxffx =⇒=++
++−+++
ovvero:
forma Newtonianaequazione delle lenti
microscopio semplicemicroscopio semplice
F
F’O
s s’
SS’
x x’f f
sostituendo le definizioni:x = s - f e x’ = s’ - f
nell’espressione dell’ingrandimento laterale:
' ' ss
yym −=≡ si ha:
fxfx
xfxf
ssm
−
−−=
−−
−=−=1
1 ' '
'
2 fx
x'f fxx' =⇒= forma Newtoniana
equazione delle lenti
utilizzando la:
fx
xfm
fxf
xfx
fxxf
fxfx
' 11
1
1
'−=−=−=
−−
−=−
−−= −
−
l’ingrandimento angolare diventa quindi:
'
' '
' '
' 000
−=
−=
≅
dd
fsf
dd
fx
dd
yyM
Fy
φ’
s
d’
-s’e poiché -s’ = d’ - d si ha:
∞≤≤
−+
≅ ' '
' 0
0 con ddf
ddfddM y’
se -s’ = d’ = ∞ si ha:
fdM 0 ≅ immagine
all’infinito df
se, invece, d’ = d0 allora:
fddfM −+
≅ 0 immagine
in d0 fdM 0 ≅
in generef , d << d0
6.2b Il microscopio composto6.2b Il microscopio compostooculare
F1
F1’Oy’=y0
F2
F2’y
φ’
obiettivoy0’
d’
s s’
''
' ' '' 0
0
0
0
=
−=
=
yy
dd
yy
yyM
φφ - mob Moc
tipic. mob ≈ 50 ÷ 200, Moc ≈ 5 ÷ 10 M ≈ 200× ÷ 2000×
6.3 Il telescopio a rifrazione6.3 Il telescopio a rifrazione
telescopio galileiano (cannocchiale)oculare
F1’≡ F2
φ’
obiettivo
0 ' 2
1 >−=φφ
=ffM
MGalileo = 33
telescopio a rifrazionetelescopio a rifrazione
telescopio astronomico (kepleriano)
F1’ F2
oculare
obiettivo
0 ' 2
1 <−=φφ
=ffM
6.4 Il telescopio a riflessione6.4 Il telescopio a riflessione
telescopio newtoniano
obiettivo(specchio concavo)
ocularespecchiopiano
0 ' 2
1 <−=φφ
=ffM
MNewton ≅ 40
non c’èaberrazione cromatica
F1
6.5 La macchina fotografica6.5 La macchina fotografica
D
≅ f
pellicolaobiettivo
0 1 ≈⇒>>s
fs
sostituendo nella:
fsfss
' 1 '
1 1≅⇒=+ f
sf
ssm ' ∝−≅−≡e
' fysfmyy ∝−==
f - number D
≡f
Ip è proporzionale a:
)'(
222
2
2
=
=
ππ
=f
DysIs
yfDI
yDII ss
sp
quindi l’intensità sulla pellicola:
Is
Riepilogo: le espressioni degli strumenti otticiRiepilogo: le espressioni degli strumenti ottici
fdM 0 ≅
ingrandimento angolare lente
semplice
M = - mob Mocingrandimento microscopio
2
1
ffM −=
ingrandimento telescopio
Le 10 leggi dell’ottica geometricaLe 10 leggi dell’ottica geometrica
ir sinsin nn θ θ 12 =legge di Snell
angolo di Brewster )/arctg( θ 12 nniB =
R 1 T R ,2
21
21 −=
+−
=nnnnincidenza normale
1 2 '
1 1 fRss
==+equazione degli specchi
'
' 211221
fn
fn
Rnn
sn
sn
==−
=+equazione del diottro
fRRn
ss1 1 1)1(
'1 1
2121 =
−−=+equazione della lente
ingrandimentolaterale della lente s
syym ' ' −=≡
ingrandimento angolare della lente f
dM 0 ≅
ingrandimento microscopio M = - mob Moc
ingrandimento telescopio
2
1
ffM −=
Esercizio numericoEsercizio numerico
6.9 Una candela accesa è posta a 30 cm davanti a una lente convergente con lunghezza focale f1=15 cm, che è a sua volta davanti a un’altra lente avente f2=10 cm e distante 50 cm. a) Tracciare il diagramma dei raggi; b) calcolare la posizione e le dimensioni dell’immagine finale.
6.9 Una candela accesa è posta a 30 cm davanti a una lente convergente con lunghezza focale f1=15 cm, che è a sua volta davanti a un’altra lente avente f2=10 cm e distante 50 cm. a) Tracciare il diagramma dei raggi; b) calcolare la posizione e le dimensioni dell’immagine finale.
F1
F1’
SS’ F2
S’’
s’
d
s’’
cm 20 '
)'( '' 1 ''
1 '
1
2
2
2
=−−−
=⇒=+− fsd
sdfsfssd
cm 30 ' 1 '
1 1
1
1
1
=−
=⇒=+fs
sfsfss
Esercizio numericoEsercizio numerico
F1
F1’
SS’ F2
S’’
1 '
''' '' 21 =
−−
−==≡
sds
ssmm
yym tot
s’
d
Esercizio numericoEsercizio numerico
6.10 La ricetta di una lente correttiva prescrive +1.50 diottrie. Il fabbricante mola la lente da un pezzo di vetro con n = 1.56 e la superficie frontale convessa preformata avente raggio di curvatura R1 = 20 cm. Quale deve essere il raggio di curvatura dell’altra superficie?
6.10 La ricetta di una lente correttiva prescrive +1.50 diottrie. Il fabbricante mola la lente da un pezzo di vetro con n = 1.56 e la superficie frontale convessa preformata avente raggio di curvatura R1 = 20 cm. Quale deve essere il raggio di curvatura dell’altra superficie?
R1R2
1-
2121 m .51 D 1 1)1( 1 ==
−−=
RRn
f
R1R2
cm 43 5.12.056.
56.02.0 D)1(
)1( 121
2112 =
×−×
=−−−
=Rn
nRR
Esercizio numericoEsercizio numerico
F1’
obiettivo
oculare
telescopio astronomico (kepleriano)
F2
6.11 Un fisico che si è perso in montagna cerca di costruire un telescopio usando le lenti dei suoi occhiali da lettura. Esse hanno potenza diottrica di +2.0 e +4.5. a) Qual è il massimo ingrandimento che può ottenere con il suo telescopio? b) Quale lente dovrebbe usare come oculare?
6.11 Un fisico che si è perso in montagna cerca di costruire un telescopio usando le lenti dei suoi occhiali da lettura. Esse hanno potenza diottrica di +2.0 e +4.5. a) Qual è il massimo ingrandimento che può ottenere con il suo telescopio? b) Quale lente dovrebbe usare come oculare?
2.25 25.4
DD '
1
2
2
1 −=−=−=−=φφ
=ffM