p-1 calcula iii

8/10/2019 P-1 CALCULA III

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Derive a funo implicitamente.

.xy+y+x=1

.1y+x.2y.y+y+1=0

Y(2xy+1)= -1-y

Y=

1)Prove que as retas tangentesas curvas 5y-2x+y-xy= 0 e 2y+5x+-xy= 0 no ponto (0, 0)so ortogonais.

a)5y-2x+y-xy= 0

Y=

=> Y=

=> Y=

=> Y0 = (X0) => Y= xb)2y+5x+-xy= 0Y=

=> Y=

=> Y= -

=> Y0 = - (X0) => Y= - xDando valores a X em a) e em b) ex) 1,2,3,4 notaremos que ao plotar um grfico veremos

que eles se cruso perpendicularmente.

2)Verifique se o ponto (1, 0) faz parte da curva y= 2.sen(.x-y) e encontre as retas tangente enormal.

y= 2.sen(.x-y) => y+2.sen(.x-y)= 0 => -Y+(-Y). 2cos(.x-y)= 0 => -Y+(.2cos(.x-y))(Y. 2cos(.x-y))= 0 => Y.(-1-2cos(.x-y))= - (.2cos(.x-y)) => Y= Y=

=> Y= 2.

Equao da reta tangente:

=> Y - 0= 2.(X1) => Y= 2x - 2Equao da reta normal:

=> Y - 0= (X1) => Y= + => Y=

3) Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 1,5 m/s. Um holofote

localizado no cho a 6 m do caminho mantido focalizado no homem. A que taxa o holofote

est girando quando o homem est a 8 m do ponto do caminho mais prximo da luz?


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h=x+y => h= 8+6 => h= 10 m

() => = 53,13Tg()= => Tg()= => x= 6.tg = 6. Sec => = 6. 1+tg => 1,5= 6.(1+(tg(53,13)) => = 0,09 rad/seg4) O gs de um balo esfrico est escapando a uma taxa de 2 m/min. A que taxa a superfcie

do balo esta encolhendo quando o raio 12 m?

V=.r => = 4..r. => 2 = 4..12. => = (raios esta diminuindo por

isso negativo.)

A= 4..r => = 8..r. => = 8..12.( ) => = - 0,33 m/min5) Dois lados paralelos de um retngulo esto sendo esticados a uma taxa de 2 cm/s, enquanto

os outros dois lados esto sendo encurtados de tal moto que a figura tenha sempre a forma

retangular e com a rea constante 50 cm. Qual a taxa de variao do permetro P, quando o

comprimento dos lados que esto sendo esticados : a) 5 cm: b) 10 cm: c) Quais so as

dimenses quando o permetro para de diminuir?


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P= 2(x+y) => = 2.(+)

A= X . Y => = x.

+ y.

a)x= 5 cm logo y = 10 cm ..

= 2 cm/s

x. + y.

= 0 => 5.

+ 10 . 2= 0 =>

= -4

= 2.(+) => = 2.(+(-4)) => = - 4 m/sb) x= 10 cm logo y = 5 cm ..= 2 cm/sx.

+ y.

= 0 => 10.

+ 5 . 2= 0 =>

= - 1

= 2.(+) => = 2.(+(-1)) => = 2 m/sc) O perimetro no ir mais diminuir se

= 0 assim

= 2.(+) ser. 0 = 2.(+) =>

= -

6)Encontrepor derivada implcita.

a) x=

x - 2yx = x+2y => 3x - 2Y.x+(-2y).2x = 1+2Y => -2Yx - 2Y = - 3x + 4xy+1 => Y =

b) (x + y) - (xy) = x+y

(x+2xy+y)(x-2xy+y) = x+y => 4xy= x+y

4y+4xY = 3x+3yY => 4xY 3yY = 3x - 4y => Y=

7) Ache as equaes das retas tangentes curva + = 1 nos pontos onde x = -1/8. + = 1 => = 1 - => = 1 - => = 1 - => y= =>y= => y =

+ = 1 => + . Y= 0 => Y = - . Y=

Equao da reta tangente:


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=> => Y= X. + . + => Y=

=> Y=

8) Um avio voa a 152,4m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220m nosentido oeste, tomando como referncia um holofote fixado no solo que o focalizae que se encontra esquerda da projeo vertical do avio em relao ao solo.Sabendo-se que a luz do holofote dever permanecer iluminando o avio, qualdever ser a velocidade angular (de giro) do holofote,no instante em que adistncia horizontal entre ele e a projeo vertical do avio for de 610m?

() => ( ) => = 63,43tg = () => tg = ( ) => tg . X= 0x.sec . + tg . 1 = 0 => x.(1+(tg())). + tg . 1 = 0 => = = 0,09999=

= 0,1 rad/s

9) Uma ponte est a 6 m acima de um rio e em ngulos retos com ele. Um homem em um

trem a 60 km/h passa pelo centro da ponte no mesmo instante em que o outro homem em um

barco a motor passa sob o centro da ponte a 20 km/h. Com que velocidade os dois homens

esto se afastando um do outro 60 segundos mais tarde?


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(Como a altura de 6 metros seria Z. e no iria varia em funo do tempo: ser uma constante

e poder ser descartada)

Logo:

= => Y = 0,333 km

= => X = 1 km

H= X+Y => H= 1+0,333 => H= 1,05 km

h= x + y => 1,05= 1.60+0,333.20 => = 63,49 km/h10) Um avio est a uma velocidade constante de 580 km/h e subindo a um ngulo de 45

graus. No momento em que ele est a uma altura de 3,2 km, passa diretamente sobre uma

torre de controle no solo. Ache a taxa de variao da distncia do avio torre um minutomais tarde.

180-45 = 135

=

=> x= 9,7 km

=>

+ b) .=> obs:(=0) b => (3,2).(580)) 11) Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da

base 2 m. Se a gua entra no tanque razo de 0,001 m/min , calcule a razo em que o nvel

de gua est subindo quando a altura 1 m.


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=

=> r=

=> r=

V= . . r . h => V= . . () . h => V= => = . => 0,001= .

=> = 1,27xm/min

12) Uma luz est no alto de um poste de 5 m. Um menino de 1,6 m se afasta do poste em linha

reta razo de 1,2 m/s. A que taxa se move a ponta da sua sombra quando ele est a 6 m do

poste? A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra?

=

=> 3,4.S=1,6 X => 3,4

= 1,6. => 3,4=

1,6.1,2 =>= 0,565 m/s

= => 5.S=1,6 X => 5.= 1,6. => 3,4.0,564 = 1,6. => = 1,766 m/s

13) Derive implicitamente e derive uma espresso esplicita de y. Em ambos os casos, mostre

que as duas respostas so iguais.

a)x+y=12

2x+3y.y = 0 => y =

=>... y =

= >

Y = 12x => y = => y = . . (-2x) => y =

b) x+= 5

1 + = 5 => 1 -1..y = 0 => . y = 0 => y= y => y = ( ) => y =

= 5-x => y =

=> y =

=> y =

c) xy + 2y = 3


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y + xy+2y = 0 => y =

=> y = => y =

y =

=> y = => y =

d) xy + 2y = x

y + xy + 2y = 2x => y = => y=

=> y =

=> y =

y =

=> y =

=> y =

=> y =

14) Determine a equao da reta tangente curva dada no ponto especificado.

a)-

= 2 ; (

,

)

- = 2 => + . y = 0 => y = . => y = => y = ()

y =

=> y = 4

=> => y = 4x - b) xy - 2xy = 6x + y +1 ; (0, -1)

2xy+3xyy 2y2y2xy = 6 + y => y =

y =

=> y = - 4

=> => y = - 4x - 1c) (1x + y) = x + 7 ; (1, 2)

3(1-x+y) . (-1+y) = 1 => (-3+3y).( 1-x+y) = 1 => -3+3y =

=> 3y =

+3 =>y =

=>y =

=> y =

=> => y = x + d) (x + 2y) = 2xy + 64 ; (0, 2) (OBS; (a+b) = (a+3a.b+3ab+b)

+3.2y+3x4y+8y = 2xy+64 => 6+12x2y+3.2y+6x4y+3x.8y.y= 2y+2xy.y =>y =

=> y =

=> y =

=> y =

=> => y = +


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15) Uma lmpada est pendurada a 4,5 m de um peso horizintal. Se um homem com 1,80 m de

altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 m/s, qual a velocidade de

crescimento da sombra?

=

=> 2,7.S=1,8 X => 2,7

= 1,8. => 2,7= 1,8.1,5 => = 1 m/s

16) Uma viga com 20 m est encostada em um aterro inclinado de 60 em relao horizontal.

Se o p da viga estiver sendo movido horizntalemnte em direlao ao aterro a 1 m/s, com que

velicidade o topo da viga estar se deslicando quando o p estiver a 4 m do aterro?

c+4c384= 0 bascara -b => + b) .=> obs:(=0) .+ 1(17,7 . 1 + 4 .) => => 17) Uma viga com 30 m de comprimento est apoiada em uma parede e o seu topo est se

deslocando para baixo a uma velocidade de 0,5 m/s. Qual ser a taca de variao da medida

do ngulo agudo formado pela viga e pelo cho quando o topo da viga estiver a 18 m do cho?


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h = x+y => 30= x+18 => x = 24 m

() => sen = ( ) => y = 30 . sen => = cos. 30 => 0,5 = . 30 => = rad/s

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