Ập: nguyÊn hÀm vÀ tÍch phÂn a. tÓm tẮt lÝ thuyẾt i. …
TRANSCRIPT
ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Nguyên hàm
1. Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được gọi
là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu 'F x f x với mọi x K .
Định lí:
1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C cũng
là một nguyên hàm của f x trên K .
2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng
F x C , với C là một hằng số.
Do đó ,F x C C là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . Ký hiệu f x dx F x C .
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1: f x dx f x và 'f x dx f x C
Tính chất 2: kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3: f x g x dx f x dx g x dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số cơ bản
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp 0, 1ln
xx a
a dx C a aa
dx x C sin cosxdx x C
111
1x dx x C
cos sinxdx x C
1lndx x C
x
2
1tan
cosdx x C
x
x xe dx e C 2
1cot
sindx x C
x
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu f u du F u C và u u x là hàm số có đạo hàm liên tục
thì ' f u x u x dx F u x C .
2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K
thì 'u x v x dx . ' u x v x u x v x dx Hay udv uv vdu
II. TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa
Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ].a b Giả sử F x là một nguyên hàm của f x trên [ ; ].a b Hiệu số
( ) ( )F b F a được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ; ]a b của hàm số ( ),f x
kí hiệu là ( ) .
b
a
f x dx
Ta dùng kí hiệu ( ) ( ) ( )b
aF x F b F a để chỉ hiệu số ( ) ( )F b F a . Vậy ( ) ( ) ( ) ( )
bb
a
a
f x dx F x F b F a .
Nhận xét: Tích phân của hàm số f x từ a đến b có thể kí hiệu bởi ( )
b
a
f x dx hay ( ) .
b
a
f t dt Tích phân đó chỉ
phụ thuộc vào f x và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f x liên tục và không âm trên đoạn [ ; ]a b thì tích phân ( )
b
a
f x dx là
diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x , trục Ox và hai đường thẳng , .x a x b
Vậy ( ) .
b
a
S f x dx
2. Tính chất của tích phân
1. ( ) 0
a
a
f x dx 2. ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
3. ( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx ( a b c ) 4. . ( ) . ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx k
5. [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx .
3. Một số phương pháp tính tích phân
Dạng 1: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân
Sử dụng tính chất [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Dạng 2: Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số ( )u u x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ]a b và
( ) .u x Giả sử có thể viết ( ) ( ( )) '( ), [ ; ],f x g u x u x x a b với g liên tục trên đoạn [ ; ].
Khi đó, ta có ( )
( )
( ) ( ) .
u bb
a u a
I f x dx g u du
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ
1 Có ( )f x ( )t f x 3
3
0 1
x dxI
x
. Đặt 1t x
2 Có ( )nax b t ax b 1 2016
0( 1)I x x dx . Đặt 1t x
3 Có ( )f xa ( )t f x tan 3
420 cos
xeI dx
x
. Đặt tan 3t x
4 Có lndx
và xx
lnt x hoặc biểu thức
chứa ln x 1
ln
(ln 1)
e xdxI
x x
. Đặt ln 1t x
5 Có xe dx xt e hoặc biểu thức
chứa xe
ln 2 2
03 1x xI e e dx . Đặt 3 1xt e
6 Có sin xdx cost x 32
0sin cosI x xdx
. Đặt sint x
7 Có cos xdx sint xdx 3
0
sin
2cos 1
xI dx
x
Đặt 2cos 1t x
8 Có 2cos
dx
x tant x
24 44 20 0
1 1(1 tan )
cos cosI dx x dx
x x
Đặt tant x
9 Có 2sin
dx
x cott x
cot cot
42
61 cos2 2sin
x xe eI dx dx
x x
. Đặt cott x
Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số (t)x có đạo hàm và liên tục trên đoạn (*)[ ; ] sao cho ( ) , ( )a b và ( )a t b với mọi [ ; ].t Khi đó:
( ) ( ( )) '( ) .
b
a
f x dx f t t dt
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
1. 2 2a x : đặt | | sin ; ;2 2
x a t t
2. 2 2x a : đặt | |
; ; \{0}sin 2 2
ax t
t
3. 2 2x a : | | tan ; ;2 2
x a t t
4.
a x
a xhoặc
a x
a x: đặt .cos 2x a t
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn.
Dạng 3: Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí : Nếu ( )u u x và ( )v v x là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì
( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) b b
b
aa a
u x v x dx u x v x u x v x dx ,
hay viết gọn là | b b
ba
a a
udv uv vdu . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính ( ). ( ) b
a
I P x Q x dx
Dạng
hàm
P(x): Đa thức
Q(x): sin kx hay
cos kx
P(x): Đa thức
Q(x): kxe P(x): Đa thức
Q(x): ax bln
P(x): Đa thức
Q(x):2
1
sin xhay
2
1
cos x
Cách
đặt
* ( )u P x
* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới
dấu tích phân
* ( )u P x
* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới
dấu tích phân
* lnu ax b
* dv P x dx
* ( )u P x
* dv là Phần còn lại của
biểu thức dưới dấu tích
phân
Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.
III. Bài toán tìm nguyên hàm của hàm số và bài toán tính tích phân của hàm số có gì khác nhau?
Nếu f x liên tục trên đoạn ;a b , Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng
;a b thì tích
phân ( ) ( ) ( ) ( )b
a
bf x dx F x F b F a
a
Như vậy bài toán tính tích phân của hàm số có 2 bước
Bước 1 : Tìm nguyên hàm F(x), ( không quan tâm đến cận tích phân và không còn chú ý đến hằng số C nữa)
Bước 2 : Sau khi tìm ra F(x) là nguyên hàm rồi ta áp dụng định nghĩa tích phân để tính giá trị tích phân.
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b]; F(x) = ( )f x dx là một nguyên hàm , thì tích phân của
( ) ( ) ( ) ( )b
a
af x dx F x F a F b
bở bài toán này ta không còn chú ý đến hằng số C nữa .
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I. NGUYÊN HÀM
Câu 1: Cho hàm số f x xác định trên K và F x là một nguyên hàm của f x trên K . Khẳng định nào
dưới đây đúng?
A. f x F x , x K . B. F x f x , x K .
C. F x f x , x K . D. F x f x , x K .
Câu 2: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. d dkf x x k f x x với k .
B. d d df x g x x f x x g x x với f x ; g x liên tục trên .
C. 11
d1
x x x
với 1 .
D. /f x dx f x C
Câu 3: Công thức nào sau đây sai?
A. 1
ln dx x Cx
. B. 1
d lnx x Cx
.
C. 2
1d tan
cosx x C
x . D.
1sin 2 d cos 2
2x x x C .
Câu 4: Số khẳng định đúng?
1.
11 ( )
( ) .1
ax bax b dx C
a, 1 5.
11d
1x x x
với 1 .
2. ( ) / ( ).u ( )du x u xe x x e C 6 .
( )( ) /.u ( )d , 0, 1
ln
u xu x a
a x x C a aa
3. /cos ( ).u sin ( )u x x dx u x C 7. /sin u .u cosx x dx u x C
4.
/
d ln , 1u x
x u x C u xu x
8.
/
2d tan
cos
u xx u x C
u x
A. 1 B.4 C. 5 D.8
Câu 5: Số khẳng định đúng?
A. 5 B.10 C. 12 D. 14
Nguyên hàm cơ bản
Câu 6. Nguyên hàm của hàm số 32 9f x x là:
A. 41
92
x x C . B. 44 9x x C . C. 41
4x C . D. 34 9x x C .
1. cos sin xd x dx 1a) cos .sin xd ax a a dx
2. sin x cos .d x dx 2 ) sin x cos .a d a a ax dx
3. 2tanx
cos
dxd
x 2
.3 ) tan x
cos
a dxa d a
ax
4. 2cotx
sin
dxd
x
2
4 ) cotsin
adxa d ax
ax
5. x xe e .d dx ax ax5 ) e e .a d a dx
6. 1x .x .a ad a dx 1
6 ) a.x+b . . ax+b .a
a d a dx
Câu 7: Nguyên hàm của hàm số 23 sinf x x x là
A. 3 cosx x C . B. 3 sinx x C . C. 3 cosx x C . D. 33 sinx x C .
Câu 8: Nguyên hàm sin 2 dx x bằng:
A. 1
cos 22
x C . B. cos 2x C . C. 1
cos 22
x C . D. cos 2x C .
Câu 9: Tất cả nguyên hàm của hàm số 1
2 3f x
x
là
A. 1
ln 2 32
x C . B. 1
ln 2 32
x C . C. ln 2 3x C . D. 1
ln 2 3ln 2
x C .
Câu 10: Cho hàm số 2e
x
f x
. Mệnh đề nào sau đây đúng
A. 21
d e2
x
f x x C
. B. 2d 2ex
f x x C
.
C. 21
d e2
x
f x x C
. D. 2d 2ex
f x x C
.
Câu 11. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 5xf x .
A. d 5xf x x C . B. d 5 ln 5xf x x C .
C. 5
dln 5
x
f x x C . D. 15
d1
x
f x x Cx
.
Câu 12. Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số lnF x x ?
A. .f x x B. 1
.f xx
C. 3
.2
xf x D. .f x x
Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 4
xf x
x
A. 22ln 4x C . B.
2
1
2 4C
x
. C.
2
2
1
4 4C
x
. D.
21ln 4
2x C .
Câu 14. Cho hàm số f x thỏa mãn 3 5cosf x x và 0 5f . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 3 5sin 2f x x x . B. 3 5sin 5f x x x .
C. 3 5sin 5f x x x . D. 3 5sin 5f x x x .
Câu 15. F x là một nguyên hàm của hàm số 2
.xy xe Hàm số nào sau đây không phải là F x ?
A. 21
22
xF x e . B. 21
52
xF x e .
C. 21
2
xF x e C . D. 21
22
xF x e .
Câu 16: Biết một nguyên hàm của hàm số y f x là 2 4 1F x x x . Khi đó, giá trị của hàm số y f x
tại 3x là.
A. 3 30f . B. 3 22f . C. 3 10f . D. 3 6f .
Câu 17. Nếu 1
ld n x Cx
f x x thì f x là
A. lnf x Cx x . B. 1
lnx x Cx
f x .
C. 2
1lnf C
xx x . D. 2
1f x
x
x
.
Câu 18: Cho biết 2 13
d ln 1 ln 2( 1)( 2)
xx a x b x C
x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2 8a b . B. 8a b . C. 2 8a b . D. 8a b .
Câu 19: Tìm 6 2
d3 1
xx
x
.
A. 4
2 ln 3 13
F x x x C B. 2 4ln 3 1F x x x C
C. 4
ln 3 13
F x x C D. 2 4ln 3 1F x x x C
Câu 20: Nguyên hàm
2
2
2 1d
1
xx
x
bằng
A. 2 21x x C . B.2
2
1 xC
x
. C. 21x x C . D.
21 xC
x
.
Câu 21: Nguyên hàm 2 1
d1
x xx
x
A. 2 ln 1x x C . B.2
ln 12
xx C .
C.
2
11
1C
x
. D.
1
1x C
x
.
Câu 22: Cho (x 2) 2 (x 1) 12 1
dxa x b x C
x x
. Khi đó 3a b bằng:
A. 1
3. B.
4
3. C.
2
3. D.
2
3
.
Câu 23: Biết rằng 2
3d ln 1
2 1 1
x bx a x C
x x x
với ,a b . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
sau:
A. 1
2 2
a
b . B. 2
b
a . C.
21
a
b . D. 2a b .
Câu 24: Họ nguyên hàm của 2
2 3
2 1
xdx
x x
:
A. 2 5ln 2 1 ln 1
3 3x x C B.
2 5ln 2 1 ln 1
3 3x x C
C.
2 5ln 2 1 ln 1
3 3x x C
D. 1 5ln 2 1 ln 1
3 3x x C
Câu 25: Cho hàm số 2 2
1
sin cosx xf x . Mệnh đề nào sau đây đúng
A. d tan cotf x x x x C . B. d tan cotf x x x x C .
C. d tan cotf x x x x C . D. d tan cotf x x x x C .
Câu 26: Nguyên hàm của hàm số ( ) sin3 . os5f x x c x là.
A. 1 1
( ) os2 os84 16
f x dx c x c x C . B. 1 1
( ) os2 sin84 16
f x dx c x x C .
C. 1 1
( ) sin 2 os84 16
f x dx x c x C . D. 1 1
( ) os2 os84 16
f x dx c x c x C .
Câu 27: Tính 8sin 3 cos d cos 4 cos 2I x x x a x b x C . Khi đó, a b bằng
A. 3. B. 1 . C. 1. D. 2.
Câu 28: Cho hàm số y f x xác định trên \ 1;1 và thỏa mãn 2
1
1f x
x
. Biết rằng 3 3 0f f
. Tính 2 0 4T f f f .
A. 1
ln 5 ln 32
T . B. 1
ln 3 ln 5 22
T . C. 1
ln 5 ln 3 12
T . D. 1
ln 5 ln 3 22
T .
Câu 29: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0; \2
thỏa mãn tanf x x , 5
; \4 4 2
x
,
0 0f , 1f . Tỉ số giữa 2
3f
và 4
f
bằng:
A. 22 log e 1 B. 2 C. 1 1 ln 2
2 ln 2
D. 22 1 log e
Câu 30. Cho tích phân 2
0
cos 2d
1 sin
xx a b
x
với ,a b . Tính 3 21P a b
A. 9P . B. 29P . C. 11P . D. 25P .
Phương pháp tìm nguyên hàm
Câu 31: Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của
1
20
d4 5
xx
x ?
A. 1
10. B.
1
5. C.
1
2. D.
1
3.
Câu 32: Khi tính nguyên hàm 3
d1
xx
x
, bằng cách đặt 1u x ta được nguyên hàm nào?
A. 22 4 du u u . B. 2 4 du u . C. 22 4 du u . D. 2 3 du u .
Câu 33: Nguyên hàm F x của hàm số 2 3sin 2 .cos 2f x x x thỏa 04
F
là
A. 3 51 1 1sin 2 sin 2
6 10 15F x x x . B. 3 51 1 1
sin 2 sin 26 10 15
F x x x .
C. 3 51 1 1sin 2 sin 2
6 10 15F x x x . D. 3 51 1 4
sin 2 sin 26 10 15
F x x x .
Câu 34. Tính tích phân 1
dln
A xx x
bằng cách đặt lnt x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. dA t . B. 2
1dA t
t . C. dA t t . D.
1dA t
t .
Câu 35: Tìm nguyên hàm d
1 x
xI
e
.
A. ln 1 xI x e C . B. ln 1 xI x e C .
C. ln 1 xI x e C . D. ln 1 xI x e C .
Câu 36: Tìm nguyên hàm 15
2 7 dx x x .
A.16
217
32x C . B.
1621
732
x C .
C.16
217
2x C . D.
1621
716
x C .
Câu 37: Nếu 2
1d
2 3
xF x x
x x
thì
A. 212 3
2F x x x C . B.
2
1ln
2 3
xF x C
x x
.
C. 21ln 2 3
2F x x x C . D. 2 2 3F x x x C .
Câu 38: Một nguyên hàm của hàm số 21y x x là:
A. 2 3
212
xx . B.
621
13
x . C. 3
211
3x . D.
2 221
2
xx .
Câu 39: Xét 5
3 44 3I x x dx . Bằng cách đặt 44 3u x , khẳng định nào sau đây đúng.
A.5I u du . B.
51
12I u du . C.
51
16I u du . D.
51
4I u du .
Câu 40: Nguyên hàm
10
12
2d
1
xx
x
bằng.
A.
111 2
33 1
xC
x
. B.
111 2
11 1
xC
x
.
C.
111 2
3 1
xC
x
. D.
111 2
11 1
xC
x
.
Câu 41: Cho tích phân
4
0
1 2d ln
33 2 1I x a b
x
với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 3a b . B. 3a b . C. 5a b . D. 5a b .
Câu 42: Nguyên hàm của hàm số 2
1
x
x
ey f x
e
là
A. lnI x x C . B. 1 ln 1x xI e e C .
C. lnI x x C . D. ln 1x xI e e C .
Câu 43: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. sin d cos sinx x x x x x C . B. sin d cos sinx x x x x x C .
C. sin d cos sinx x x x x x C . D. sin d cos sinx x x x x x C .
Câu 44. Biết 2 2 2d , .x x xxe x axe be C a b Tính tích ab .
A. 1
4ab . B.
1
4ab . C.
1
8ab . D.
1
8ab .
Câu 45. Kết quả của dxI xe x là
A. x xI xe e C . B.
x xI e xe C . C.
2
2
xxI e C . D.
2
2
x xxI e e C .
Câu 46. Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm số 5 1 exf x x và 0 3F . Tính 1F .
A. 1 11e 3F . B. 1 e 3F . C. 1 e 7F . D. 1 e 2F .
Câu 47: Tính ( ) sin 2F x x xdx . Chọn kết quả đúng?
A. 1
( ) (2 cos 2 sin 2 )4
F x x x x C . B. 1
( ) (2 cos 2 sin 2 )4
F x x x x C .
C. 1
( ) (2 cos 2 sin 2 )4
F x x x x C . D. 1
( ) (2 cos 2 sin 2 )4
F x x x x C .
Câu 48: Ta có 2 2. dx xx e x x mx n e C khi đó .m n bằng.
A. 4 . B. 5 . C. 4 . D. 0 .
Câu 49: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số 3
e xf x và 0 2F . Hãy tính 1F .
A. 15
6e
. B. 10
4e
. C. 15
4e . D.
10
e.
Câu 50: Biết 2 212d3 . x xx e x e x n C
m
. Khi đó tổng 2 2S m n có giá trị bằng.
A. 41 . B. 10 . C. 65 . D. 5 .
II. TÍCH PHÂN
1. Tích phân cơ bản
Câu 1: Cho hàm số f x liên tục trên và F x là nguyên hàm của f x , biết 9
0
d 9f x x và 0 3F .
Giá trị của 9F bằng
A. 9 6F B. 9 12F C. 9 6F D. 9 12F
Câu 2: Nếu 5
2
d 3f x x và 7
5
d 9f x x thì 7
2
df x x bằng bao nhiêu?
A. 3 . B. 6 . C. 12 . D. 6 .
Câu 3: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn ;a b và 2f a , 4f b . Tính db
a
T f x x
.
A. 6T . B. 2T . C. 6T . D. 2T .
Câu 4: Biết F x là nguyên hàm của 4xf x và 3
1ln 2
F . Khi đó giá trị của 2F bằng.
A. 9
ln 2. B.
8
ln 2. C.
3
ln 2. D.
7
ln 2.
Câu 5: Cho hàm số 2ln 1f x x x . Tính 1
0
df x x .
A. 1
0
d 1 ln 2f x x . B. 1
0
d ln 2f x x .
C. 1
0
d 2ln 2f x x . D. 1
0
d ln 1 2 .f x x
Câu 6: Cho f x , g x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0;1 và 1
0
. d 1 g x f x x ,
1
0
. d 2 g x f x x . Tính tích phân 1
0
. d I f x g x x .
A. 3I . B. 1I . C. 2I . D. 1 I .
Câu 7: Cho f x , g x là các hàm số liên tục trên đoạn ;a b với ,a b d 3
b
a
f x x và
3 5 d 4
b
a
f x g x x . Tính db
a
I g x x .
A. 13
5I . B. 1I . C. 1I . D. 0I .
Câu 8: Cho các số thực a ,b khác không. Xét hàm số
3e
1
xaf x bx
x
với mọi x khác 1 . Biết
0 22f và 1
0
d 5f x x . Tính a b ?
A. 19 . B. 7 . C. 8 . D. 10 .
Câu 9: Tính
24
2
1dx x
x
.
A. 208
17. B.
196
15. C.
305
16. D.
275
12.
Câu 10: Tính tích phân 0
sin 3 dx x
A. 1
3 B.
1
3 C.
2
3 D.
2
3
Câu 11: Tích phân 4
0
cos d2
x x
bằng.
A. 1 2
2
. B. 1 2 . C.
2 1
2
. D. 2 1 .
Câu 12. Tích phân2
0
1
2 2I dx
x
bằng
A. 1
12
I . B. 2 2I . C.1
22
I . D. 2 2I .
Câu 13. Tích phân
e
1
1d
3I x
x
bằng:
A. ln 4 e 3 . B. ln e 2 . C. ln e 7 . D. 3 e
ln4
.
Câu 14: Tính tích phân
2
0
4 1 dI x x .
A. 13 . B. 13
3. C. 4 . D.
4
3.
Câu 15: Tích phân
1
0
dxe x
bằng
A. 1e B.1
1e C.
1e
e
D.
1
e
Câu 16: Có bao nhiêu giá trị thực của a để có 0
2 5 d 4
a
x x a
A. 1 B. 0 C. 2 D. Vô số
Câu 17: Giả sử
2
1
dln
3
x a
x b
với a , b là các số tự nhiên và phân số a
b tối giản. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 2 2 41a b . B. 3 12a b . C. 2 13a b . D. 2a b .
Câu 18: Biết 1
4
0
1d
ax e
e xb
với , , 0a b b . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. a b . B. a b . C. 10a b . D. 2a b .
Câu 19: Cho
1
0
1 1lnc lnd
1 2dx a b
x x
với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. 2a b c d . B. 2 10a b c d . C. 2 2a b c d . D. 2 5a b c d .
Câu 20: Cho hàm số 23 khi 0 1
4 khi 1 2
x xy f x
x x
. Tính tích phân
2
0
df x x .
A. 7
2. B. 1 . C.
5
2. D.
3
2.
Câu 21: Biết rằng
3 2
2
1 4d
1
x x a bx
cx x
, với a , b , c là các số nguyên dương. Tính T a b c .
A. 31 B. 29 C. 33 D. 27
Câu 22: Biết
1 3
2
0
3d ln 2 ln 3
3 2
x xx a b c
x x
với a , b , c là các số hữu tỉ, tính giá trị của 2 22S a b c .
A. 515S . B. 164S . C. 436S . D. 9S .
Câu 23: Biết
3
2
2
5 12d ln 2 ln5 ln 6
5 6
xx a b c
x x
. Tính 3 2S a b c .
A. 3 . B. 14 . C. 2 . D. 11 .
Câu 24: Cho y f x là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết 1 2
0 1
1d d 1
2f x x f x x . Giá trị của
2
2
d3 1x
f xx
bằng
A. 1. B. 6 . C. 4 . D. 3 .
Câu 25: Cho tích phân 0
3
cos 2 cos 4 d 3x x x a b
, trong đó ,a b là các hằng số hữu tỉ. Tính 2logae b .
A. 2 . B. 3 . C. 1
8. D. 0 .
Câu 26: Cho 4
2 2
6
d3
cos .sin
xI a b
x x
với a , b là số thực. Tính giá trị của a b .
A. 2
3 . B.
1
3 . C.
1
3. D.
2
3.
Câu 27: [Tính tích phân 34
2
6
1 sind
sin
xx
x
ta được kết quả là 3 2a b c
với , ,a b c Q , khi đó tổng a b c
bằng.
A. 1. B. 0 . C. 1 . D. 2 .
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Câu 28: Cho tích phân
1 7
52
0
d1
xI x
x
, giả sử đặt 21t x . Tìm mệnh đề đúng.
A.
32
5
1
11d
2
tI t
t
. B.
33
5
1
1d
tI t
t
.
C.
32
4
1
11d
2
tI t
t
. D.
34
4
1
13d
2
tI t
t
.
Câu 29: Cho tích phân
e
1
3ln 1d
xI x
x
. Nếu đặt lnt x thì
A.
1
0
3 1d
et
tI t
B.
e
1
3 1d
tI t
t
C.
e
1
3 1 dI t t D. 1
0
3 1 dI t t
Câu 30. Xét tích phân 2
2
1
.e dxI x x . Sử dụng phương pháp đổi biến số với 2u x , tích phân I được biến đổi
thành dạng nào sau đây:
A.
2
1
2 e duI u . B.
2
1
1e d
2
uI u . C.
2
1
1e d
2
uI u . D.
2
1
2 e duI u .
Câu 31. Cho
4
0
1 2 dI x x x và 2 1u x . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. 3
2 2
1
11 d
2I x x x . B.
3
2 2
1
1 dI u u u .
C.
35 3
1
1
2 5 3
u uI
. D.
3
2 2
1
11 d
2I u u u .
Câu 32. Tính tích phân
e
1
1 3lnd
xI x
x
bằng cách đặt 1 3lnt x , mệnh đề nào dưới đây sai?
A. 23
1
2
9I t . B.
2
1
2d
3I t t . C.
22
1
2d
3I t t . D.
14
9I .
Câu 33. Cho 4
0
sin 2 ln tan 1 dx x x
ln 2a b c với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính 1 1
T ca b
.
A. 2T . B. 4T . C. 6T . D. 4T .
Câu 34: Biết
1 2
2
0
2 3 3dx ln
2 1
x xa b
x x
với ,a b là các số nguyên dương. Tính 2 2P a b .
A. 13 B. 5 C. 4 D. 10
Câu 35: Biến đổi
3
0
d1 1
xx
x thành
2
1
df t t với 1t x . Khi đó f t là hàm số nào trong các hàm số sau
đây?
A. 22 2f t t t . B. 2f t t t . C. 22 2f t t t . D. 2f t t t .
Câu 36: Cho hàm số y f x liên tục trên . Biết 2
2
0
. d 2x f x x , hãy tính 4
0
dI f x x
A. 2I . B. 1I . C. 1
2I . D. 4I .
Câu 37: Tính tích phân
π
2
0
cos 2 dI x x x bằng cách đặt
2
d cos 2 d
u x
v x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
π
2 π
0
0
1sin 2 sin 2 d
2I x x x x x . B.
π
2 π
0
0
1sin 2 2 sin 2 d
2I x x x x x .
C.
π
2 π
0
0
1sin 2 2 sin 2 d
2I x x x x x . D.
π
2 π
0
0
1sin 2 sin 2 d
2I x x x x x .
Câu 38: Cho biết 2e dxx x 21e
4
x ax b C , trong đó ,a b và C là hằng số bất kì. Mệnh đề nào dưới đây
là đúng.
A. 2 0a b . B. b a . C. ab . D. 2 0a b .
Câu 39. Cho tích phân
1
20
d
4
xI
x
. Nếu đổi biến số 2sinx t , ;
2 2
π πt
thì:
A.
3
0
d
π
I t . B.
6
0
d
π
I t t . C.
6
0
d
π
I t . D.
6
0
d
π
tI
t .
Câu 40: Biết
3
2
0
1d
1
ax
x b
, với a , b là các số nguyên. Tính M a b .
A. 3M . B. 6M . C. 4M . D. 7M .
Câu 41. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;5 và 5 10f , 5
0
d 30xf x x .
Tính 5
0
df x x .
A. 20 . B. 30 . C. 20 . D. 70 .
Câu 42. Biết 1
lnd
ex
x a e bx
với ,a b . Tính .P a b .
A. 4P . B. 8P . C. 4P . D. 8P .
Câu 43. Biết rằng 2
1
ln 1 d ln3 ln 2x x a b c với a , b , c là các số nguyên. Tính S a b c
A. 0S . B. 1S . C. 2S . D. 2S .
Câu 44: Cho 2
0
2 1 e d
m
xI x x . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I m là khoảng ;a b . Tính
3P a b .
A. 3P B. 2P C. 4P D. 1P
Câu 45: Tính tích phân
10002
2
1
ln.
1
xI dx
x.
A. 1000
1000 1000
ln2 21000ln
1 2 1 2I . B.
1000
1000 1000
1000ln2 2ln
1 2 1 2I .
C. 1000
1000 1000
1000ln2 2ln
1 2 1 2I . D.
1000
1000 1000
ln2 21000ln
1 2 1 2I .
Bài toán liên môn; Bài toán có sử dụng máy tính cầm tay
Câu 46: Một ô tô đang chạy với vận tố 10 /m s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm
dần đều với vận tốc 5 10 /v t t m s trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp
phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh tới khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ?
A. 0,2m B. 2m C. 10m D. 20m
Câu 47: Lúc 9h sáng, một ô tô bắt đầu xuất phát từ Nhà hát Lớn thành phố Hà Nội đi thành phố Hồ Chí Minh.
Trong 1 giờ đầu tiên, vì xe đi trong nội thành nên tốc độ di chuyển chưa nhanh, xe ô tô đi với vận tốc
0,5 0,2.cosv t t (km/phút), trong đó t là thời gian kể từ lúc xe ô tô xuất phát được tính bằng đơn vị phút.
Hỏi lúc 9 10 'h x ô tô đi được quãng đường bao nhiêu km ?
A. 0,7 B. 5 C. 0,3 D. 5,2
Câu 48: Một vật đang đứng yên và bắt đầu chuyển động với vận tốc 23 m/sv t at bt , với ,a b là các số
thực dương, t là thời gian chuyển động tính bằng giây. Biết rằng sau 5 giây thì vật đi được quãng đường là 150m ,
sau 10 giây thì vật đi được quãng đường là 1100m . Tính quãng đường vật đi được sau 20 giây.
A. 7400m . B. 12000m . C. 8400m . D. 9600m .
Câu 49: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h t là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho
2' 3h t at bt với ,a b là các tham số. Ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150 mm
, sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 31100m . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.
A. 38400m B. 32200m C. 3600m D. 34200m
Câu 50: Hãy viết câu lệnh dùng casio để giải bài toán này
Cho 2
4
sin cosln 3 ln 2
sin cos
x xI dx a b c
x x
, ,a b c Q . Tính giá trị của biểu thức : A a b c
A. 0 B. 1
2 C.
1
3 D. 2