Equipo 1

1

La

bo

rato

rio d

e fe

nóm

eno

s co

lect

ivos – G

rupo

80

63

Cuerdas vibrantes

Aguila Castro Fernando Jefte Herrera Ruíz Diego Arturo Rodríguez Ramírez Alejandro

Facultad de Ciencias, UNAM

Av. Universidad 3000, Circuito Exterior S/N

Delegación Coyoacán, CP: 04510

Ciudad Universitaria, DF, México

lunes 11 de noviembre de 2013

1 RESUMEN

2 INTRODUCCIÓN

Un movimiento periódico es aquel que se

repite en intervalos de tiempo iguales. Si el

movimiento oscila sobre el mismo camino, se

llama oscilatorio. El periodo es el tiempo

requerido para completar una vibración. La

frecuencia es el número de vibraciones

completas por unidad de tiempo, i.e.:

𝑓 =1

𝑇 (1)

Donde T es el periodo.

La ecuación que describe un movimiento

ondulatorio armónico es:

𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 [2𝜋 (𝑡

𝑇−

𝑥

𝜆)] (2)

Una onda estacionaria es el resultado de la

superposición de dos movimientos

ondulatorios armónicos de igual amplitud y

frecuencia que se propagan en sentidos

opuestos a través de un medio. La ecuación

que describe este movimiento es:

𝑦1 + 𝑦2[2𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑡)]𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑥

𝜆) (3)

Esta onda tiene la característica de mantener

su forma constante, mientras que es su

amplitud la que varía con el tiempo. Ciertos

puntos, llamados nodos, se mantienen siempre

en reposo; por otro lado, en los antinodos se

encuentra la máxima fluctuación, mismos que

se encuentran en el punto medio entre dos

nodos. Entonces tenemos que:

𝐷 =𝜆

2 (4)

Donde 𝜆 es la longitud de onda y D es la

distancia entre dos nodos adyacentes, por lo

tanto:

𝜆 = 2𝐷 (5)

En ésta práctica se exponen las leyes de las cuerdas vibrantes que relacionan los

parámetros: Longitud de onda, frecuencia, densidad lineal y velocidad de propagación. Se

propone realizar el experimento de Melde con el cual se obtiene la frecuencia fundamental

𝑓1 =1

2𝐿√

𝑇

𝜇 mediante la cual se verifica la relación entre los parámetros anteriores.

Equipo 1

2

La velocidad de propagación es la velocidad

con la que se propaga una onda o una

perturbación en un medio determinado. i.e.:

𝑢 = √𝑇

𝜇 (6)

Otra forma de expresar la velocidad de

propagación es:

𝑢 = 𝑓𝜆 (7)

Por lo tanto:

𝑓 =𝑢

𝜆 (8)

Donde 𝜇 es la densidad lineal y T es la tensión.

La densidad lineal se define como:

𝜇 =𝑚

𝐿 (9)

Donde m es la masa y L es la longitud.

Consideremos ahora el caso en el cual tenemos

una cuerda fija en sus dos extremos que se

encuentra vibrando. Una sucesión continúa de

ondas con forma de senos y cosenos viajan de

un extremo a otro reflejándose en los

extremos, como ambos extremos son fijos, se

pueden considerar como nodos. Como la

distancia entre dos nodos es la mitad de la

longitud de onda, la longitud de la cuerda

puede ser 𝜆

2, 2

𝜆

2, 3

𝜆

2, … i.e. cualquier múltiplo

entero de la mitad de la longitud de onda. Otra

forma de abordar este problema es considerar

una cuerda de longitud L, entonces se pueden

producir ondas estacionarias a diferentes

frecuencias, las cuales generan ondas con

longitud de onda 2𝐿

1,

2𝐿

2,

2𝐿

3, etc. De la relación

(8) y como u es la misma para todas las

frecuencias; por lo tanto las frecuencias

correspondientes son:

1𝑢

2𝐿, 2

𝑢

2𝐿, 3

𝑢

2𝐿, … , 𝑛

𝑢

2𝐿 (10)

La frecuencia fundamental es la mínima

frecuencia a la cual el medio vibra, i.e. 𝑢

2𝐿 .

Ésta se define como

𝑓1 =1

2𝐿√

𝑇

𝜇 (11)

Donde L es la longitud de la cuerda, T es la

tensión de la cuerda; donde T es

𝑇 = 𝑚𝑎 (12)

Un armónico es un múltiplo entero de la

frecuencia fundamental.

3 DESARROLLO EXPERIMENTAL

Tabla 3.1 – Material: δ representa la medida, α y β dependen de la resolución del instrumento.

No Instrumento u objeto Mínima escala Error absoluto Cantidad

1 Cámara de alta velocidad / / 1

2 Cuerda de goma / / 1

3 Flexómetro (δ ± α) 𝑚 (δ ± β) m 1

4 Generador de señales (δ ± α) Hz (δ ± β) Hz 1

5 Generador de vibraciones (δ ± α) Hz (δ ± β) Hz 1

6 Masa / / 2

7 Polea / / 1

8 Soporte universal / / 2

9 Trípode / / 1

La

bo

rato

rio d

e fe

nóm

eno

s co

lect

ivos – G

rupo

80

63

Equipo 1

3

3.1 EXPERIMENTO

Se deberá construir un sistema de tal forma

que la cuerda de goma se encuentre en forma

horizontal, después uno de los extremos se une

a un generador de vibraciones, el otro extremo

se une a una masa para que ésta le proporcione

una tensión, esto se muestra en la fig. 1.1.

fig. 1.1 – Modelo del experimento de Melde donde

cada nodo es propio de la onda estacionaria.

Para este experimento los valores de la

longitud de la cuerda y la masa se obtienen

mediante medidas directas.

El proceso se graba con la cámara de alta

velocidad y el vídeo obtenido se debe analizar

con el programa Tracker -video analysis and

modeling tool- proyecto de Open Sourse

Physics.

fig. 1.2 – Onda estacionaria, cada punto

representa un nodo.

Primero se elige un valor arbitrario para que el

generador de vibraciones le proporcione una

frecuencia a la cuerda y observar cómo se

comporta, después se obtendrá el valor de la

longitud de onda para esta frecuencia con la

ayuda del Tracker.

Una vez conociendo la longitud de onda y la

frecuencia (la cual se elige arbitrariamente)

podemos calcular la velocidad de propagación.

Debido a que no es un proceso de propagación

infinito, podemos calcular la velocidad de

propagación con el Tracker y así comparar

ambos valores para poder calcular una buena

aproximación de éste valor.

Ahora calculamos la tensión (que en este caso

es el peso que genera la masa en uno de los

extremos) y calculamos la densidad lineal

directamente con la ecuación (9).

La

bo

rato

rio d

e fe

nóm

eno

s co

lect

ivos – G

rupo

80

63

Equipo 1

4

4 RESULTADOS Y ANÁLISIS

Una vez que tengamos los datos necesarios (y

obtenidos mediante el experimento) ya

podemos obtener el valor de la frecuencia

fundamental para la cuerda de goma, entonces

simplemente usamos directamente la ecuación

(11), debemos tener en cuenta que este valor

no es global, sino que es sólo un valor

específico para la cuerda respecto al sistema.

𝑓1 =1

2𝐿√

𝑇

𝜇 (11)

Si revisamos de nuevo la ecuación de la

frecuencia fundamental podemos notar que 𝑓1

depende de la densidad lineal de la cuerda 𝜇,

de la longitud L de ésta y de la tensión T

generada por la masa en un extremo, en esta

relación supondremos que la longitud y la

masa de la cuerda no varían y por lo mismo la

densidad lineal tampoco, entonces si

consideramos a estos parámetros como

constantes podemos hacer variar a la tensión

con diferentes masas, esto siempre y cuando

T < límite elástico de la cuerda, por lo que con

la variación de T tendremos diferentes

frecuencias fundamentales para el sistema que

sólo dependen de la tensión. Si medimos estás

distintas frecuencias y dado que 𝑓1 sólo

depende de T al graficar esta serie de datos

esperamos que tengan una tendencia como se

muestra en la fig. 1.3.

fig. 1.3 – Tendencia esperada: podemos considerar

a los demás datos como una constante k quedando

sólo: 𝑓1 = 𝑘√𝑇 entonces la tendencia de los datos

será similar a la de la gráfica.

Si se realizan las mediciones suficientes (al

menos 20-30) se podrá observar este

comportamiento, y al ser una serie de datos

con un comportamiento específico podremos

realizarle un ajuste que quedará:

𝒇𝟏(𝑻) = (𝑘 ± 𝜆1)√𝑻 ± 𝜆2 [𝐻𝑧]

Donde 𝜆1 y 𝜆2 son las incertidumbres

correspondientes.

Así obtendremos una ecuación que describe la

variación de la frecuencia fundamental

respecto a la variación de la tensión para un

sistema bajo ciertas condiciones y con esto

comprobamos que la relación entre los

parámetros es verídica lo cual implica que las

leyes de las cuerdas vibrantes se cumplen.

Nota: el cálculo de las incertidumbres se realiza con la teoría de propagación de errores (ver referencias)

La

bo

rato

rio d

e fe

nóm

eno

s co

lect

ivos – G

rupo

80

63

Equipo 1

5

5 CONCLUSIONES

El experimento de Melde es un proceso sencillo para comprobar que las leyes de las cuerdas vibrantes

se cumplen, los materiales utilizados se pueden conseguir fácilmente en un laboratorio, por lo que la

reproducibilidad de éste no representa un problema. Si además el experimento se realiza con

instrumentos con una buena resolución, entonces las incertidumbres serán muy pequeñas respecto a

las mediciones, por lo cual nuestros resultados finales serán muy buenos.

6 REFERENCIAS

Sears, W. Francis et al. College physics, cuarta edición, editorial Wesley 1974.

Alonso, Marcelo. Physics, editorial Addison-Wesley.

Hugh D. Young y Roger A. Freedman, Física Universitaria vol.1, decimosegunda edición,

editorial Pearson, 2009.

Berta Oda Noda, Introducción al análisis gráfico de datos experimentales, tercera edición, las

prensas de ciencias, Facultad de Ciencias, UNAM. Págs. 17-18.

La

bo

rato

rio d

e fe

nóm

eno

s co

lect

ivos – G

rupo

80

63