palabras de bienvenida · el caso semmelweis. un caso histÓrico a tÍtulo de ejemplo problema 4...
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PALABRAS DE BIENVENIDA
A los estudiantes ingresantes les damos la bienvenida al ciclo de Inicio a la Trayectoria
Universitaria.
Más allá de la formalidad de estas palabras, estas quieren ser un abrirles los brazos al
largo camino que hoy comienzan a transitar por esta casa y donde el Taller de
Resolución de Problemas pretende vincularlos con la matemática y las ciencias
naturales de una manera diferente. Relacionarlos para que puedan resolver los
distintos problemas sin temor, animándose a equivocarse a construir a partir de la
duda, y del trabajo en grupo; a tomar decisiones.
Nuestra intención tiene que ver con una decisión tomada acerca de lo que este taller
les permita a partir de la presencia de un problema, organizar su forma de pensar y de
describir, analizar y resolver. No es la única, lo sabemos, pero si se sabe que si una
persona ha desarrollado un pensamiento lógico matemático está mejor preparado.
Finalmente el TRP quiere facilitar los recursos necesarios para que tengan
herramientas para enfrentarse a un problema y puedan encontrar las estrategias
necesarias para avanzar en su resolución.
Esperamos que a partir de esto puedan:
Usar y reconocer distintas estrategias en la resolución de problemas
matemáticos y su fundamentación, distinguiendo formas de razonamiento
correctas e incorrectas.
Trabajar en forma grupal, unificando criterios y elaborando respuestas.
Leer e interpretar los enunciados de problemas diversos y ser capaces de
formalizar las situaciones planteadas
Formular preguntas precisas acerca de lo que no comprenden
Interpretar, discutir, y aplicar definiciones leídas, decidiendo si un determinado
objeto matemático, físico o biológico responde o no a una definición dada
Construir soluciones a problemas nuevos, basándose en soluciones de
problemas anteriores
Trabajar de manera consensuada en grupos interdisciplinarios.
Desarrollar una actitud positiva frente a las Ciencias Naturales y Matemática.
Describir en ejemplos cotidianos, los distintos procesos de cambios en términos
de las energías intercambiadas, utilizando en el lenguaje coloquial, la
incorporación de términos específicos del área disciplinar.
En este cuadernillo van a encontrar en su mayoría problemas y textos
científicos, que pretenden llegar a los propósitos antes descriptos.
¡Muchos éxitos y a trabajar!
Lic. Viviana Granado Prof. Paula Labate
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Como se pensó este cuadernillo
Este cuadernillo tiene algo más de 90 problemas, la mínima cantidad que
consideramos necesaria para que puedan ganar la confianza en estos temas y
competencias
Estos problemas están escritos para que los lean, los piensen y los resuelvan. No
siempre los van a poder resolver al primer intento, pero es importante intentarlo
varias veces, antes de pedir ayuda.
Los problemas están organizados por temas que en general coinciden o al menos
están en el mismo orden en que van a transcurrir las clases.
Condiciones de aprobación.
Es necesario para que el TRP se considere aprobado y poder inscribirse en las
materias de los primeros años de las carreras, que se cumplan con las siguientes
condiciones:
- Tener por lo menos el 75% de asistencia (es decir, se puede faltar a un máximo
de 3 Clases)
- Cumplir con las entregas en tiempo y forma de los trabajos prácticos que los
docentes les irán indicando
- De las evaluaciones que se tomaran se podrán recuperar todas ellas
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“Si buscas resultados distintos
no hagas siempre lo mismo”
Albert Einstein
DIAGNOSTICO INICIAL
PARA EMPEZAR …
Este taller de Resolución de Problemas te proponemos que leas un texto que escribió
Pablo Amster, excelente matemático, músico, experto en kabbalah
https://www.youtube.com/watch?v=kGF2Oob8KYQ
La mano de la princesa
“Una conocida serie checa de dibujos animados cuenta, en sucesivos
capítulos, la historia de una princesa cuya mano es disputada por un gran
número de pretendientes.
Éstos deben convencerla; distintos episodios muestran los intentos de
seducción que despliega cada uno de ellos, de los más variados e
imaginativos.
Así, empleando diferentes recursos, algunos más sencillos y otros
verdaderamente magníficos, uno tras otro pasan los pretendientes pero nadie
logra conmover siquiera un poco a la princesa.
Recuerdo por ejemplo a uno de ellos mostrando una lluvia de luces y estrellas;
a otro, efectuando un majestuoso vuelo y llenando el espacio con sus
movimientos. Nada. Al fin de cada capítulo aparece el rostro de la princesa, el
cual nunca deja ver gesto alguno.
El episodio que cierra la serie nos proporciona el impensado final: en contraste
con las maravillas ofrecidas por sus antecesores, el último de los pretendientes
extrae con humildad de su capa un par de anteojos, que da a probar a la
princesa; ésta se los pone, sonríe y le brinda su mano”
Problema 1
En el libro El Hombre que Calculaba, de Malba Tahan en uno de sus cuentos “El Caso
de Los cuatro cuatros”, el protagonista dice a su compañero de viaje frente a una
tienda de obsequios:
“Se interesó Beremiz por un elegante y armonioso turbante azul claro que
ofrecía un sirio medio corcovado, por 4 dinares1. La tienda de este mercader
1 Dinar: unidad monetaria de diversos estados del mundo, en especial de lengua árabe.
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era además muy original, pues todo allí – turbantes, cajas, puñales, pulseras,
etc.- era vendido a 4 dinares. Había un letrero que decía en vistosas letras:
Los cuatro cuatros
Al ver a Beremiz interesado en comprar el turbante azul, le dije:
- Me parece una locura ese lujo. Tenemos poco dinero, y aún no pagamos la
hostería.
- No es el turbante lo que me interesa, respondió Beremiz. Fíjate en que esta
tienda se llama “Los cuatro cuatros”. Es una coincidencia digna de mayor
atención.
- ¿Coincidencia? ¿por qué?
- La inscripción de ese cartel recuerda una de las maravillas del Cálculo:
empleando cuatro cuatros podemos formar cualquier número cualquiera…
Y antes de que le interrogara sobre aquel enigma, Beremiz explicó mientras
escribía en la arena fina que cubría el suelo:
- ¿Quieres formar el cero? Pues nada más sencillo. Basta escribir: …
44 – 44
Ahí tienes los cuatro cuatros formando una expresión que es igual a cero.”
(Tahan, M. 1996:28)
Te proponemos que así como hicieron Beremiz y su amigo, escribas los números del 1
al 10 usando solo cuatro cuatros
Problema 2
Este problema es del libro “Matemática… ¿estás ahí?, sobre números, personajes,
problemas y curiosidades” de Adrián Paenza
Problema de los tres interruptores
Entre todos los problemas que requieren pensamiento lateral, éste es el que
más me gusta.
Quiero aclarar que no tiene “trampas”, no tiene “gato encerrado”. Es un
problema que, con los datos que se brindan, uno debería estar en condiciones
de resolverlo. Aquí va.
Se tiene una habitación vacía con excepción de una bombilla de luz colgada
del techo. El interruptor que activa la luz se encuentra en el parte exterior de la
habitación. Es más: no solo hay un interruptor, sino hay tres iguales,
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indistinguibles. Se sabe que sólo una de las “llaves” activa la luz (y que la luz
funciona, naturalmente)
El problema consiste en lo siguiente:
La puerta de la habitación está cerrada. Uno tiene el tiempo que quiera para
“jugar” con los interruptores. Puede hacer cualquier combinación que quiera
con ellos, pero puede entrar en la habitación solo una vez. En el momento de
salir, uno debe estar en condiciones de poder decir:” esta es la llave que
enciende la luz”. Los tres interruptores son iguales están en la misma posición:
la de apagado. (Paenza, A 2005:155)
Problema 3
Este problema es del libro ¿Matemática estas ahí? La vuelta al mundo en 34
problemas y 8 historias, de Adrián Paenza
a- Se corrieron los 100 metros llanos en los juegos olímpicos. Participaron
en la final cinco competidores: Bernardo, Diego, Ernesto, Antonio y
Carlos. Fíjense si , partiendo de los siguientes datos , pueden encontrar
el orden en el que llegaron a la meta:
1. Antonio no fue el primero
2. Antonio, sin embargo, quedó por delante de Bernardo.
3. Carlos corrió más rápido que Diego
4. Ernesto fue más rápido que Antonio pero más lento que Diego
PENSAMIENTO LATERAL
Una forma creativa de resolución de un
problema. Es una forma específica de
organizar los procesos de pensamiento
que busca soluciones mediante
estrategias no ortodoxas
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EL CASO SEMMELWEIS. UN CASO HISTÓRICO A TÍTULO DE EJEMPLO
Problema 4
Como simple ilustración de algunos aspectos importantes de la investigación científica,
parémonos a considerar los trabajos de Semmelweis en relación con la fiebre
puerperal. Ignaz Semmelweis, un físico de origen húngaro, realizó esos trabajos entre
1844 y 1848 en el Hospital General de Viena. Como miembro del equipo médico de la
Primera División de Maternidad del hospital, Semmelweis se sentía angustiado al ver
que una gran proporción de las mujeres que habían dado a luz en esa división
contraían una seria y con frecuencia fatal enfermedad conocida como fiebre puerperal
o fiebre de sobreparto. En 1844, hasta 260, de un total de 3.157 madres de la División
Primera - un 8,2 %- murieron de esa enfermedad; en 1845, el índice de muertes era
del 6,8 %, y en 1846, del 11,4. Estas cifras eran sumamente alarmantes, porque en la
adyacente Segunda División de Maternidad del mismo hospital, en la que se hallaban
instaladas casi tantas mujeres como en la Primera, el porcentaje de muertes por fiebre
puerperal era mucho más bajo: 2,3, 2,0 y 2,7 en los mismos años. En un libro que
escribió más tarde sobre las causas y la prevención de la fiebre puerperal,
Semmelweis relata sus esfuerzos por resolver este terrible rompecabezas2
El relato de la labor desarrollada por Semmelweis y de las dificultades con que tropezó
constituye una página fascinante de la historia de la medicina.
Semmelweis empezó por examinar varias explicaciones del fenómeno corrientes en la
época; rechazó algunas que se mostraban incompatibles con hechos bien
establecidos; a otras las sometió a contrastación.
Una opinión ampliamente aceptada atribuía las olas de fiebre puerperal a «influencias
epidémicas» que se describían vagamente como «cambios atmosférico-cósmicos-
telúricos», que se extendían por distritos enteros y producían la fiebre puerperal en
mujeres que se hallaban de sobreparto. Pero, ¿cómo -argüía Semmelweís- podían
esas influencias haber infestado durante años la División Primera y haber respetado la
Segunda? Y ¿cómo podía hacerse compatible esta concepción con el hecho de que
mientras la fiebre asolaba el hospital, apenas se producía caso alguno en la ciudad de
Viena o sus alrededores. Una epidemia de verdad, como el cólera, no sería tan
selectiva. Finalmente, Semmelweis señala que algunas de las mujeres internadas en
la División Primera que vivían lejos del hospital se habían visto sorprendidas por los
dolores de parto cuando iban de camino, y habían dado a luz en la calle; sin embargo,
a pesar de estas condiciones adversas, el porcentaje de muertes por fiebre puerperal
entre estos casos de «parto callejero era más bajo que el de la División Primera.
2 W. J. Sinclair Semmelweis: His Lile and His Doctrine (Manchester, Manchester UniversityPress,
1909). la carrera de Semmelweis están recogidos en el primer capítulo del libro de P. de
KruifMenAgainstDeatb (Nueva York, Harcourt, Brace&World, Inc., 1932).
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Según otra opinión, una causa de mortandad en la División Primera era el
hacinamiento. Pero Semmelweis señala que de hecho el hacinamiento era mayor en la
División Segunda, en parte como consecuencia de los esfuerzos desesperados de las
pacientes para evitar que las ingresaran en la tristemente célebre División Primera.
Semmelweis descartó asimismo dos conjeturas similares haciendo notar que no había
diferencias entre las dos divisiones en lo que se refería a la dieta y al cuidado general
de las pacientes.
En 1848 una comisión designada para investigar el asunto atribuyó la frecuencia de la
enfermedad en la División Primera a las lesiones producidas por los reconocimientos
poco cuidadosos a que sometían a las pacientes los estudiantes de medicina, todos
los cuales realizaban sus prácticas de obstetricia en esta división. División.
Semmelweis señala, para refutar esta opinión, que (a) las lesiones producidas
naturalmente en el proceso del parto son mucho mayores que las que pudiera producir
un examen poco cuidadoso; (b) las comadronas que recibían enseñanzas en la
División Segunda reconocían a sus pacientes de modo muy análogo, sin por ello
producir los mismos efectos; (c) cuando, respondiendo al informe de la comisión, se
redujo a la mitad el número de estudiantes y se restringió al mínimo el reconocimiento
de las mujeres por parte de ellos, la mortalidad, después de un breve descenso,
alcanzó sus cotas más altas.
Se acudió a varias explicaciones sicológicas. Una de ellas hacía notar que la División
Primera estaba organizada de tal modo que un sacerdote que portaba los últimos
auxilios a una moribunda tenía que pasar por cinco salas antes de llegar a la
enfermería: se sostenía que la aparición del sacerdote, precedido por un acólito que
hacía sonar una campanilla, producía un efecto terrorífico y debilitante en las
pacientes de las salas y las hacía así más propicias a contraer la fiebre puerperal. En
la División Segunda no se daba este factor adverso, porque el sacerdote tenía acceso
directo a la enfermería. Semmelweis decidió someter a prueba esta suposición.
Convenció al sacerdote de que debería dar un rodeo y suprimir el toque de campanilla
para conseguir que llegara a la habitación de la enferma en silencio y sin ser
observado. Pero la mortalidad no decreció en la División Primera.
A Semmelweis se le ocurrió una nueva idea: las mujeres, en la División Primera,
yacían de espalda, en la Segunda, de lado. Aunque esta circunstancia le parecía
irrelevante, decidió, aferrándose a un clavo ardiendo, probar a ver si la diferencia de
posición resultaba significativa. Hizo, pues, que las mujeres internadas en la División
Primera se acostaran de lado, pero, una vez más, la mortalidad continuó.
Finalmente, en 1847, la casualidad dio a Semmelweis la clave para la solución del
problema. Un colega suyo, Kolletschka, recibió una herida penetrante en un dedo,
producida por el escalpelo de un estudiante con el que estaba realizando una
autopsia, y murió después de una agonía durante la cual mostró los mismos síntomas
que Semmelweis había observado en las víctimas de la fiebre puerperal.
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Aunque por esa época no se había descubierto todavía el papel de los
microorganismos en ese tipo de infecciones, Semmelweis comprendió que la «materia
cadavérica» que el escalpelo del estudiante había introducido en la corriente
sanguínea de Kolletschka había sido la causa de la fatal enfermedad de su colega, y
las semejanzas entre el curso de la dolencia de Kolletschka y el de las mujeres de su
clínica llevó a Semmelweis a la conclusión de que sus pacientes habían muerto por un
envenenamiento del mismo tipo: los portadores de la materia infecciosa, porque él y su
equipo solían llegar a las salas inmediatamente después de realizar disecciones en la
sala de autopsias, y reconocían a las parturientas después de haberse lavado las
manos sólo de un modo superficial, de modo que éstas conservaban a menudo un
característico olor a suciedad.
Una vez más, Semmelweis puso a prueba esta posibilidad. Argumentaba él que si la
suposición fuera correcta, entonces se podría prevenir la fiebre puerperal destruyendo
químicamente el material infeccioso adherido a las manos. Dictó, por tanto, una orden
por la que se exigía a todos los estudiantes de medicina que se lavaran las manos con
una solución de cal clorurada antes de reconocer a ninguna enferma. La mortalidad
puerperal comenzó a decrecer, y en el año 1848 descendió hasta el 1,27% en la
División Primera, frente al 1,33 de la Segunda.
En apoyo de su idea, o, como también diremos, de su hipótesis Semmelweis hace
notar además que con ella se explica el hecho de que la mortalidad' en la División
Segunda fuera mucho más baja: en ésta las pacientes estaban atendidas por
comadronas, en cuya preparación no estaban incluidas las prácticas de anatomía
mediante la disección de cadáveres.
La hipótesis explicaba también el hecho de que la mortalidad fuera menor entre los
casos de “parto callejeros”: a las mujeres que llegaban con el niño en brazos casi
nunca se las sometía a reconocimiento después de su ingreso, y de este modo tenían
mayores posibilidades de escapar a la infección.
Asimismo, la hipótesis daba cuenta del hecho de que todos los recién nacidos que
habían contraído la fiebre puerperal fueran hijos de madres que habían contraído la
enfermedad durante el parto; porque en ese caso la infección se le podía transmitir al
niño antes de su nacimiento, a través de la corriente sanguínea común de madre e
hijo, lo cual, en cambio, resultaba imposible cuando la madre estaba sana.
Posteriores experiencias clínicas llevaron pronto a Semmelweis a ampliar su hipótesis.
En una ocasión, por ejemplo, él y sus colaboradores, después de haberse
desinfectado cuidadosamente las manos, examinaron primero a una parturienta
aquejada de cáncer cervical ulcerado; procedieron luego a examinar a otras doce
mujeres de la misma sala, después de un lavado rutinario, sin desinfectarse de nuevo.
Once de las doce pacientes murieron de fiebre puerperal. Semmelweis llegó a la
conclusión de que la fiebre puerperal podía ser producida no sólo por materia
cadavérica, sino también por “materia pútrida procedente de organismos vivos”.
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Responder:
a) Indica cuál es el problema que da origen a la investigación
b) Enumera las distintas hipótesis que aparecen en el texto.
c) Comenta el modo en que Semmelweis rechaza las primeras hipótesis.
d) ¿Mediante qué experiencia confirma su propia hipótesis?
e) ¿Cómo se explica, a través de su hipótesis, que la mortalidad en la Segunda
División, fuera más baja?
En: laboralfq.files.wordpress.com/2011/10/semmelweis-completo1.pdf. Consultado el
12/07/2014
PRODUCCIÓN DE FÓRMULAS
Problema 5
Escribí algunos términos más de las sucesiones numéricas y explica por qué las
continuaste así:
a) 5, 9, 13, 17, …
b) 1, 4, 9, 16, …
c) 1, 9, 25, 49, …
d) 2, 2, 4, 4, 2, 6, 6, 2, 8, 8,16, …
e) 3, 6, 12, 21, 33,…
f) 1, 1, 2 , 3, 5, 8 ,13…
Problema 6
Pedro organizo las mesas y las sillas de una reunión de esta forma, en una mesa
coloco cuatro sillas
Grupo 1
Luego unió dos mesas, entonces las mesas irían así.
Grupo 2
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Y luego agregó otra mesa
Grupo 3
a.
Cuenta el número de personas que están sentadas en la reunión de Pedro
alrededor de una mesa. ¿Que cuenta harías para calcular el número de
personas, que como máximo pueden sentarse en 5 mesas?
b.
Construye una fórmula que permita calcular cuantas personas pueden sentarse
para una cantidad N de mesas posibles
c.
¿Cuántas mesas se necesitan para que puedan sentarse 20 personas?
d.
¿Cuántas mesas se necesitan para que puedan sentarse 135 personas?
¿Sobran lugares?
e.
Piensa el problema y su solución donde por cada hilera de la mesa se sienten
dos
Problema 7
Mediante puntitos se armó una colección de figuras como las del dibujo: el primer lugar
de la colección lo ocupa un solo puntito, el segundo lo ocupan 3 puntitos, el tercer
lugar lo ocupan 6 puntitos. Esta serie continúa de la misma forma.
Calculá cuántos puntitos hay en la figura que está en el séptimo lugar. ¿Y en la que
está en lugar número 18?
1er. lugar 2do lugar 3er lugar
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Problema 8
La siguiente serie de dibujos está constituida por bordes formados por cuadraditos, tal
como se muestra en el dibujo:
a. ¿Cuántos cuadraditos habrá en el cuadrado que se encuentra en el décimo
lugar? ¿ Y en el lugar 22? ¿Y en el que está en el lugar 41?
b. ¿Cuál o cuáles de las siguientes fórmulas permite conocer la cantidad de
cuadraditos de una figura que está en el lugar n?
c. Redactar como te diste cuenta cual era la solución
Problema 9
a- Utilizando diferentes palitos se puede construir una serie de figuras con
triángulos como se muestra en el dibujo, que continua siguiendo el mismo
patrón.
1. Completa la tabla de valores que muestra la relación entre la
cantidad T de triángulos que forman la figura la cantidad P de palitos
que se necesitan
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T
P
2. ¿Cuántos palitos hacen falta para armar una figura de 100
triángulos?
3. ¿Es cierto que para formar el doble de triángulos se requiere el
doble de palitos?
4. Escribí una fórmula que te permita calcular cuántos palitos
necesitas para armar una figura con una cantidad cualquiera de
triángulos
Problema 10
Proponer un diseño experimental de laboratorio que permita poner a prueba la
hipótesis: “Los roedores de campo que viven en una población de alta
densidad se reproducen con una tasa menor que los que viven en una
población de baja densidad”
Observa los diagramas y responde:
El diagrama 2 tiene 2 cuadrados de altura, ¿Qué altura tendrá el diagrama 5, diagrama
10 y diagrama n?
El diagrama 2 tiene 3 cuadrados de base, ¿Qué base tendrá el diagramas 5, diagrama
10 y diagrama n?
El diagrama 2 está formado por 6 cuadrados y hay 15 cuadrados en el diagrama 3,
¿Qué cantidad de cuadrados hay el diagrama 5, diagrama 10 y diagrama n?
El diagrama 2 tiene 5 cuadrados sin pintar, ¿Cuántos cuadrados tendrá el diagrama 5,
diagrama 10 y diagrama n?
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FRACCIONES I – DIFERENTES REPARTOS–
Problema 11
Diferentes repartos
a) Braulio está en su casa con 4 amigos, todos quieren algo de comer y Braulio
trae para compartir 17 alfajores. Si quiere darle a todos la misma cantidad.
¿Cuánto le tocará a cada uno?
b) Otro día Braulio encuentra para compartir con sus amigos una bolsa de cereal
de 2 kilos. Si quiere repartir con sus amigos en bolsas todas de igual peso.
¿Cuánto pesará cada una? ¿qué parte del total le da a cada uno?
c) El director de la escuela donde estudia Braulio recibió 25 ventiladores para
repartir, en igual cantidad en las 8 aulas. ¿cuántos ventiladores puede poner en
cada aula? ¿le sobran ventiladores?
d) La hermana de Braulio se compró una bolsa con caramelos. La bolsa pesa
0,35 kg, si los quiere repartir con 5 amigas Si quiere repartir con sus amigas en
bolsas todas de igual peso. ¿Cuánto pesará cada una? ¿qué parte del total le
da a cada uno?
Problema 12
a) ¿En cuáles de estos dibujos se sombreó la mitad? Explica como lo pensaste.
b) ¿Sera cierto que en cada rectángulo se sombreó su cuarta parte? Explica
cómo te diste cuenta.
a b c d
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Problema 13
Problema 14
Joaquín tiene una bolsa con caramelos y le da a su hermano 2/3 del total. Su
hermano le regala a un amigo la mitad de lo que le tocó. ¿Qué parte de la bolsa
recibió el amigo de Joaquín? Puedes resolver este problema ayudándote con un dibujo
Problema 15
Mabel fue a Miramar y trajo de regalo una caja con 24 alfajores. En la caja 1/3 de los
alfajores son de chocolate, 5/12 son de dulce de leche y el resto es de fruta.
a- ¿Cuántos alfajores trajo de cada tipo?
b- Si a su papá le gustan los alfajores de chocolate y de dulce de leche, ¿qué
parte del total de alfajores puede comer?
c- Además, como Mabel sabe que a su hermana le gustan los caramelos, trajo una
bolsa de 40 caramelos, de la que ½ son de menta, ¼ son de ananá, ¼ son de
naranja y el resto son de frutilla. La hermana de Mabel se enojó mucho, porque
dice que puede asegurar sin contarlos que en la bolsa no hay caramelos de
frutilla, que son los que más le gusta ella. ¿Es cierto lo que dice la hermana de
Mabel?
Porcentaje de una cantidad es hablar de
una parte de esa cantidad: por ejemplo,
El 25% de 240 equivale a 25 de esos
centésimos. O sea,
Esto es lo mismo que hacer
O sea 60 es el 25% de 240
Pero entonces el 25% sería
exactamente la cuarta parte
a) Braulio esta vez se junta con sus amigos a comer pizzas. La pizza viene dividida
en 6 porciones. Si Braulio come 3 porciones y Aurelio se come 2 porciones.
Encuentren la manera de representar qué parte de la pizza comen entre los dos.
¿Qué parte sobra?
b) Este sábado a la casa de Braulio van Aurelio y Bartolomé, si Bartolomé se
come 4 porciones. ¿Alcanza o tienen que pedir más? ¿Cuántas pizzas de 6
porciones se comen entre los tres? ¿Cuánta pizza sobra?
Ojo no es lo mismo
parte que cuantos ¡!!
mis
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Problema 16
Franco está resolviendo problemas para el examen de física que tiene el próximo
jueves. El primer día hace la mitad de los problemas, el segundo día resuelve un
cuarto de los que le quedaban y el tercer día resuelve un tercio de lo que le quedaba.
a) ¿Qué día resolvió menos problemas?
b) ¿Qué parte de los problemas le falta resolver?
c) Si los problemas por resolver fueran 80. ¿Cuántos problemas resolvió cada
día?
d) ¿Qué porcentaje de los problemas resolvió? ¿qué porcentaje le falta resolver?
Problema 17
Fabián tiene que viajar una cierta distancia. Recorrió 3/5 del total y decidió para a
descansar. Al retomar su viaje, recorre la cuarta parte delo que le resta y le faltan 135
km para llegar. ¿Qué distancia tenía que recorrer?
Problema 18
Una familia tenía dinero en una caja. La señora retiró un quinto del dinero que había.
Su marido se llevó tres cuartos del total. La hija mayor se llevó $600, que representan
3/5 de lo que quedó después que sus padres sacaron el dinero que necesitaban.
¿Cuánto dinero había en la caja antes de las extracciones?
Problema 19
Julián compró empanadas. Entre las de carne eligió; 2/5 de carne suave y las 9
restantes de carne picante. Además, llevó 8 empanadas de verdura. ¿Cuántas
empandas compró? ¿Cuántas empanadas de carne compró?
Problema 20
Tres amigos hacen un viaje en automóvil y cada uno maneja durante una parte del
trayecto. Uno de ellos maneja durante el primer quinto del recorrido, el siguiente en
tomar el volante maneja durante un tercio del resto del camino, y el tercero 720 km.
¿Qué distancia del camino recorrieron en total?
Para calcular los ¾ de 24, podemos
multiplicar 24 por 3 y al resultado dividirlo
por 4. También podemos hacer 24:4 y al
resultado multiplicarlo por 3
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Problema 21
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
½ es menor que ¾
½ es lo mismo que 0,5
½ es lo mismo que el 50%
¾ es mayor que 1
¾ es menor que el 100%
¾ no es lo mismo que el 75%
Problema 22
Un estanciero tenía 2100 animales; compro una cantidad igual a los 2/5 de aquella y
compro luego ¼ del total que entonces tenía. ¿Cuántos animales reunió?
Problema 23
Después de gastar los 2/7 de mis ahorros, compré con los 3/5 que me restaba un libro.
Si aún tengo $30,20. ¿Cuánto dinero tenía?
Problema 24
Mariana gana $9000 y gastó 4/5 de su sueldo ¿Cuánto dinero gastó y cuanto le
quedó?
Problema 25
¿Qué es más? ¿El 37% de 78 o el 78% de 37? (Paenza A, 2005:33)
FRACCIONES II- SISTEMAS DE UNIDADES-
Problema 26
Inés tiene una jarra y un balde. A partir de volcar el contenido de la jarra en el balde
establece que con 8 jarras llena 3 baldes.
a- ¿qué parte del balde es la jarra?
b- ¿Cuántas jarras necesita para llenar el balde?
c- Para llenar un balde necesita 2 jarras y “un poquito”. ¿Qué parte de la jarra es
ese poquito?
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Problema 27
Con 3 tiras A se tiene la misma longitud que con 8 tiras B. Encontrá una tira C que
entre una cantidad entera de veces A y B
Problema 28
En una fábrica de gaseosas hay botellas de ½ litro, ¼ litro y 1/3 litro
a) Completen la tabla con la cantidad de gaseosa que se obtiene en cada caso.
12 botellas
tienen
18 botellas
tienen
300 botellas
tienen
6000 botellas
tienen
Botellas de ½
litro
Botellas de
1/3 litro
Botellas de ¼
litro
b) Escriban diferentes cálculos que permitan averiguar los resultados de la
segunda columna.
Problema 29
En una receta para un postre se lee “por cada taza de harina usar tres tazas de
azúcar” Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de harina con la cantidad
de tazas de azúcar necesarias.
Harina
(en
tazas)
¼ 1/2 1 2 3 3/4 6 1/2 7
Azúcar
(en
tazas)
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Problema 30
Para preparar un jugo se mezclan 3 litros de líquido concentrado con 10 litros de agua.
Si se quiere preparar jugo con el mismo gusto pero usando 4 litros de líquido
concentrado:
a) ¿qué cantidad de agua hay que usar?
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b) Si se usan 12 litros de agua, ¿cuántos litros de líquido concentrado se
necesitan?
c) Escribí otras mezclas que permitan obtener el mismo gusto
Problema 31
Completa la tabla, que relaciona la cantidad de dulce que se obtiene según la cantidad
de fruta
Cantidad de
peras(en kg)
1/2 1 2 3 5 9
Cantidad de
dulce(en kg)
1/2 3/2
Problema 32
Se colocan uno sobre otro 12 libros, todos iguales, y se obtiene una pila de 43/5 cm.
¿cuál es el espesor de cada libro?
Problema 33
El auto de Martín consume 6 ½ litro de combustible cada 40km y el de Gustavo 4 ¾
litro cada 30km. ¿cuál delos consume menos?
Problema 34
Para una reunión se calculó que cada invitado toma ¾ litro de gaseosa.
a. Si hay 17 invitados, ¿Cuántos litros de gaseosa se deberán comprar?
Si la gaseosa se compra en botellas de 2 ¼ litro, ¿Cuántas botellas hay que
comprar?
b. ¿y si hubieran invitado a 23 personas?
La siguiente tabla indica algunas equivalencias entre unidades de Medida de longitud correspondientes al SIMELA (Sistema Métrico
Legal Argentino)
Kilometro(km) Hectómetro(hm) Decámetro(dam) Metro(m) Decímetro(dm) Centímetro(cm) Milímetro(mm)
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Medidas de capacidad
Kilolitro(kl) Hectolitro(hl) Decalitro(dal) Litro(l) Decilitro(dl) Centilitro(cl) Mililitro(ml)
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Medidas de peso
Kilogramos(kg) Hectogramos(hg) Decagramos(dag) Gramo(g) Decigramo(dg) Centigramo(cg) Miligramo(mg)
1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
20
Problema 35
Una hormiga camina sobre una línea verde. La primera vez llega hasta el final de la
línea verde y regresa. En las veces siguientes solo llega hasta la mitad del camino
recorrido la vez anterior y vuelve. La cuarta vez que llega al punto de partida recorrió
en total 15,75m ¿cuál es la longitud de la línea verde?
NOTACION CIENTIFICA
Problema 36
¿Cuántas veces puedo doblar un papel?
“Supongamos que uno tuviera una hoja de papel bien finita como las que se
usan para imprimir la Biblia.
Para fijar ideas digamos que tiene un grosor de una milésima de centímetro. O
sea, 10 -3 cm=0,001cm
Supongamos ahora también que uno tiene una hoja grande de ese papel,
como si fuera la hoja de un diario.
Ahora, empecemos a doblarlo por la mitad.
¿Cuántas veces creen ustedes que podrían doblarlo?
Si lo pudieran doblar unas… treinta veces. ¿Cuál creen que sería el grosor que
tendrían en la mano entonces?” (Paenza A, 2005:32)
NOTACION CIENTIFICA
La notación científica es un método que utilizan las calculadoras para expresar de modo
reducido números muy grandes o demasiado pequeños. Para expresar un número en
notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la
izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1
(empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea
necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma
esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.
Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de
10 será positivo .Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de
la potencia de 10 será negativo
21
Te proponemos que cuando hayas hecho estos ejercicios pienses en el
problema
Expresen en notación científica los siguientes datos
a- El diámetro del sol de 1 400 000km
b- La distancia de La Tierra a Neptuno es de 4 308 000 000 km
c- El radio de un protón es de 0,00000000005 m
Problema 37
Si quisiéramos expresar la medida del papel doblado en km. ¿Cuál sería su
medida? ¿Y en mm? Expresa estas cantidades en notación científica
Problema 38
Queremos saber cuánta cantidad de sangre hay en el mundo.
¿Cuánta sangre circula por el cuerpo de una persona adulta?
La cantidad es obviamente variable, pero si queremos hacer una aproximación
por exceso, es decir, si uno trata de evaluar lo máximo posible, entonces
digamos que es de cinco litros (sabemos que el promedio es mucho más cerca
de cuatro que de cinco. Pero se trata de una estimación). Un niño tiene
considerablemente menos, pero sigamos suponiendo que adulto o no tienen
cinco litros en su cuerpo.
Se sabe que hay 6 mil millones de personas en el mundo (en realidad ya debe
haber más).
Entonces ¿cuántos litros de sangre circulan por el mundo?
Averigua cuantos metros cúbicos de sangre hay.
Si quisiéramos poner toda esa sangre en un cubo ¿de qué dimensiones tendría
que ser el cubo? (Paenza A, 2005:144)
Problema 39
Un año luz es la mitad de medida que se utiliza para distancias muy grandes. Mide la
distancia que recorre la luz en un año.
a) Si la luz recorre 300 000 km por segundo. ¿A cuántos km equivale 1 año luz?
b) Si la distancia entre la Tierra y el Sol es de 150 millones de kilómetros.
¿Cuantos segundos tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra?
22
Problema40
a- El modo de patentar los autos consiste en una combinación de tres letras y tres
números, por ejemplo
1. ¿Cuántos autos es posible patentar con este sistema?
2. Si hubiera que ampliar la cantidad de autos por patentar, ¿Sería
más conveniente agregar una letra o un numero?
3. Intenta escribir el resultado en notación científica
Problema 41
En el club de futbol “La Bola Loca”, se realiza en Octubre un torneo donde participan 7
equipos.
1. Realiza un fixture de manera tal que todos los equipos inscritos jueguen
entre si
2. ¿Cuántos partidos juega cada equipo?
3. ¿Cuántos partidos se juegan en total?
Problema 42
Para resolverlo, se sugiere leer del Anexo el tema “Ondas, Sonido y Luz
Sabemos que la luz que llega a la Tierra proviene del Sol después de atravesar el
espacio. También estamos en condiciones de decir que la radiación del sol es una
forma de energía que nos da calor y luz. Sin embargo cuando escuchamos hablar de
años luz no sabemos exactamente qué significa. ¿Es una forma de medir el tiempo?
No, aunque diga años! Un año luz es una medida de Distancia que indica el camino
que recorre la luz en un año.
Ahora bien, si la luz tiene una velocidad de 300000 kilómetros por segundo,
¿Cuál será la distancia que recorre la luz en un año (365 días)?
ESTADISTICA
AMN114
Estadística: proceso matemático de
recolección, descripción,
organización, análisis e interpretación
de datos.
La estadística descriptiva, tabula,
representa y describe una serie de
datos que pueden ser cuantitativos o
cualitativos, sin sacar conclusiones
23
Problema 43
Para la próxima clase deberán preguntar a cinco personas que no estén en su clase
a. Que día nacieron y en qué mes
b. Su número de calzado , estatura y peso
Escribir los datos organizados como consideren necesario, de manera que un mismo
atributo sea de la misma persona (no hace falta saber su nombre)
Para hacer en clase con el docente
Reúnan todos los datos de los compañeros del curso
a) ¿Cuántas personas nacieron en un mes de una cifra? ¿qué porcentaje
representa del total?
b) ¿Qué porcentaje de personas nacieron en un día par?
c) ¿Qué porcentaje de personas nacieron días de dos cifras?
d) Ahora se proponen agrupar los datos en intervalos de estatura y peso, como
consideres necesario
e) Con los datos recogidos; podríamos decir que las personas que nacieron en el
intervalo (11, 20) corresponden a personas de mucha estatura
Problema 44 ( para hacer en clase)
a- Investiga sobre el número de hermanos da cada estudiante de tu comisión y
dispone los datos obtenidos en una tabla.
b- ¿cuántos estudiantes de tu comisión tienen al menos 2 hermanos?
c- ¿Qué porcentaje de estudiantes de tu comisión tiene más de 2 hermanos?
Problema 45
Las siguientes medidas corresponden a la estatura (en cm) de un grupo de chicos que
concurre a una colonia de vacaciones en el club Los Muchachos del Barrio
Población: conjunto de observaciones efectuadas
Individuo: cada elemento de la población
Atributo: característica investigada en la observación
Los atributos pueden ser:
Cualitativos (sexo, religión) cuantitativos, las cuales a su vez son discretas (números enteros) o continuas (números reales)
24
145-144-152-155-142-150-149-155-156-161-148-155-154-160-144-144-161-155-158-
159-149-147-150
a. Elije un intervalo adecuado para esta muestra y realiza una tabla de
frecuencias
b. Realiza un gráfico de barras
c. ¿Cuántos chicos tienen una estatura que no supera los 155cm?
Problema 46
Una enfermera necesita mostrar al director del Hospital, la estadística de la cantidad
de pacientes con temperatura controlada que están internados en la Sala de la cual
ella es la responsable. La enfermera considera que haciendo un Gráfico de Barras,
logrará mostrar de forma más evidente su buen desempeño y cuidados brindados a
sus pacientes.
Tabla de Datos:
Temperatura (ºC) Nº de Enfermos
37 7
38 10
39 4
40 2
a) Realice un gráfico de tortas con los datos de la Tabla
b) De acuerdo al gráfico que hizo, ¿el Director del hospital la felicitará o no?
Problema 47
Los estudiantes de tercer año de Comunicación Social hicieron una encuesta en la que
preguntaron a todos los alumnos, qué país, que no sea Argentina elegirían para que
gane el mundial de futbol. Teniendo en cuenta que solo podían elegir un país, se
obtuvo
FRECUENCIA
Frecuencia absoluta (f): número que indica la cantidad de veces que la variable toma un cierto valor
Frecuencia relativa (fr): cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones
25
Este gráfico, que resume los resultados de la encuesta
a) ¿qué porcentaje corresponde a la categoría Ninguno?
b) Si se hubieran entrevistado 450 alumnos, ¿cuántos hubieran votado por cada
país?
c) ¿a qué parte del total corresponde Colombia?
Problema 48
Con la siguiente información obtenida en las elecciones presidenciales de 1963 realiza
un gráfico de tortas
a- ¿qué porcentaje de votos corresponde a otros partidos políticos no incluidos en
la tabla?
26
Problema 49
Se siembran 6 semillas de una especie de maíz en cada una de un total de 50
macetas.
X: número de semillas germinadas por maceta. Se obtuvieron los siguientes
resultados:
1 4 2 5 5 4 6 2 6 3
2 4 3 5 2 4 4 5 5 4
6 3 4 3 6 4 3 5 1 4
4 5 3 3 4 5 4 3 5 5
0 6 5 3 6 3 4 4 5 4
Con estos datos completar la siguiente Tabla de valores y luego realizar un Gráfico de
Barras.
Nº de semillas
germinadas
Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa
0
1
2
3
4
5
6
Total 50 1
27
Problema 50
El agua es un componente inorgánico fundamental para todos los seres vivos. La vida
se originó en el agua, nuestro cuerpo está formado entre un 65 a un 70 % de agua,
todas las reacciones químicas dentro de los organismos ocurren en presencia de
agua. Aproximadamente un 75% de la Tierra está formada por agua en estado líquido,
sólido (hielo) y gaseoso (vapor de agua). También hay agua en otras partes del
Sistema Solar aunque se encuentra en estado sólido.
El siguiente gráfico muestra cuál es la distribución del agua en la Tierra:
Océano: 97
Hielo: 2
Agua Dulce: 1
0
20
40
60
80
100
120
Océano Hielo Agua Dulce
Utilizando estos datos aproximados del gráfico de barras, realice un Gráfico de torta.
PARA SEGUIR EJERCITANDO VER EJERCICIOS PARA ESTUDIAR DE
ESTADISTICA EN EL ANEXO
GENETICA
Problema 51
Heredamos de nuestros progenitores dos juegos de cromosomas, uno procedente del
padre y otro de la madre. Los genes trabajan por parejas, ya que para un mismo
carácter (por ejemplo color de ojos) hay dos alelos (formas alternativas o
posibilidades). Si tenemos por ejemplo:
28
¿Cuántas combinaciones podré obtener a partir de los alelos A y a?
Problema 52
Esta es una forma de representar las combinaciones posibles entre los gametos
masculinos y los femeninos:
a) Complete el cuadro
b) ¿Qué probabilidades o proporción de hijos con ojos azules pueden tener esta
pareja?
A
A a
a
Cuadro de
Punnett
Alelo a procedente
de la madre
Gen responsable
del “color de ojos”
Alelo A procedente
del padre
Cromosoma
procedente del
padre
Cromosoma
procedente de
la madre
29
Problema 52
a- Se sugiere leer del Anexo el tema “Ecología”
En una granja ictícola se crían, se cosechan y se venden peces comestibles de agua
dulce. El crecimiento de la población de peces es logístico. Para asegurar la obtención
de un rendimiento máximo de peces durante años:
a) ¿Qué tamaño debería alcanzar la población de peces antes de comenzar la
cosecha?
Ahora pensando en las condiciones ambientales que deben tener los peces que se
encuentran en un acuario o en una casa; y considerando que hay épocas del año
donde se les indica a los pescadores de ríos y/o lagos, que deben devolver los peces
pescados (pesca con devolución) o bien que pueden llevarse sólo aquellos pescados
que no sobrepasen cierto tamaño de acuerdo a la especie.
b) ¿Qué factores o variables se le ocurre que podría regular para obtener una
producción óptima?
Fuente: Curtis, H. (2008). Cap. 47
30
ENERGIA
Problema 53
En nuestra vida diaria realizamos muchas actividades distintas y en todas ellas está
presente la energía. Muchas veces decimos que estamos llenos de energía y con
ganas de hacer alguna cosa. Esto nos lleva a pensar que existe una estrecha relación
entre energía y trabajo. Siguiendo con este pensamiento, sabemos por ejemplo que un
auto no funciona sin combustible o que no podemos cocinar sin gas u otro tipo de
fuente de energía como la leña.
Responde en forma breve, las siguientes preguntas:
a) ¿Se te ocurre algún otro ejemplo de fuente de energía?
b) ¿Podes nombrar algunos tipos de energías alternativas que no contaminan el
ambiente?
c) ¿Pensaste alguna vez por qué es importante tener una correcta alimentación?
Problema 54
Se sugiere leer del Anexo el tema “Energía y Trabajo”
La siguiente lista de palabras indica una serie de transformaciones de energía desde
su producción hasta su consumo. Analicen en grupo, discutan y ordenen
cronológicamente las palabras. Expliquen en forma escrita y brevemente las
transformaciones de energía que tienen lugar
Vaca Persona corriendo Trozo de queso Pastos Sol Lluvia
Represa Hidroeléctrica Torres de alta tensión y cables eléctricos
Lavarropas
Problema 55
¿Qué ocurre cuando se enciende carbón vegetal o leña para hacer un asado?
Problema 56
Los deportistas de alto rendimiento antes de una competencia consumen hidratos de
carbono u otros alimentos ¿Por qué?
Los andinistas llevan en sus mochilas barras de cereal y de chocolate ¿Por qué?
31
TABLAS Y GRAFICOS
Problema 57
Imaginemos una máquina de funcionamiento extraño en el año 2101. Esta máquina
transforma productos de manera inverosímil, por ejemplo, ingreso semilla salen
carozos, ingreso flores sale polen, ingreso pétalos salen ramas y así sucede con otros
objetos, ahora si ingreso números salen números, pero siempre diferentes. La única
forma que tengo de averiguar qué sucede con los números es probar.
Te proponemos que junte con el docente ingresen diferentes números
a. ¿qué diferencias observan en las diferentes máquinas? ¿todas las máquinas
reciben cualquier número? ¿pueden conseguir que de la máquina salga
cualquier número?
b. ¿podremos deshacer el proceso de la máquina? Analizar todos los casos.
Debe haber casos en los cuales no es posible deshacer, encuentren
argumentos que justiquen este hecho.
c. Ahora escriban a partir de qué relaciones, fórmulas, los números fueron
transformados en otros
d. En caso de que puedan existir máquinas deshacedoras ¿cómo podrías hacer
para descubrir la fórmula?
Problema 58
a) Asocia cuando sea posible, las tablas que construiste con los siguientes
gráficos
b) Construí los gráficos de las tablas que no estén
c) Discute con tus compañeros que condiciones tienen que cumplirse para que al
mirar el gráfico descubra su máquina o fórmula correspondiente.
32
Problema 59
La siguiente Tabla muestra los datos de temperatura registrados con un termómetro a
escala Celsius y obtenidos a través de las horas.
a. Graficar la variación de temperatura en función del tiempo en un sistema de
ejes cartesianos
b. ¿Cuál es la variable dependiente y cual la independiente?
c. ¿A qué hora se registra la mayor temperatura? ¿Y la menor temperatura?
d. ¿Qué pasa entre las 10 horas y las 13 horas con la temperatura?
e. ¿Entre qué horas se mantienen constante la temperatura?
Tiempo (hs) 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura
(ºC)
14 16 19 20 18 17 16 16
Problema 60
La Doctora Dietnutricionista registra una vez al mes, en un grafico con cartesiano, la
variación del peso en gramos de sus pacientes en función del tiempo. Este grafico
corresponde una señora, quien comenzó la dieta con 98 Kg y realiza su consulta a la
doctora Diet una vez por mes.
Un gráfico es una representación que permite
visualizar de qué manera se relacionan dos
magnitudes y como se modifica una cuando
cambia la otra. A estas magnitudes la llamamos
Variables
FUNCIÓN: cuando entre dos cantidades variables, se verifica
que a cada valor de la primera le corresponde un único valor
de la segunda, se dice que la relación entre esas dos
variables es una función. La primera variable independiente y
la otra, variable dependiente
Dominio: el conjunto formado por los valores de la
variable independiente
Imagen: el conjunto formado por la variable
dependiente
33
a) ¿Cuánto pesaba en la tercera consulta?
b) ¿Cuánto aumento entre el cuarto y el quinto mes?
c) ¿En qué mes esta paciente alcanzó su menor peso? ¿Y el mayor?
d) ¿En que periodos bajo de peso?
e) ¿En qué periodos subió de peso?
f) ¿Hubo algún momento en el que su peso no varió?
g) ¿En qué meses la paciente volvió a pesar lo mismo que al comenzar el
tratamiento?
Problema 61
Fiebre: “Temblando de frío o sudando”
Esta gráfica muestra la evolución de la temperatura de un paciente.
a. ¿Qué variables se relacionan?
b. ¿Cuál es el dominio de la función?¿ y cual la imagen?
c. ¿Qué máximos alcanza la temperatura? ¿Cuándo?
d. ¿Y mínimos? ¿Cuándo?
e. Explica en dos o tres líneas la evolución de la temperatura de este
paciente.
34
Problema 62
¿Cuáles de las siguientes tablas corresponden a funciones? ¿Por qué?
Talle 2 4 6 8 10 12
precio($) 9 9 10 10 11 11
Contenido en gramos 100 200 400
Precio($) 2,45 4,50 8
X 5 10 15 15 20 25
Y 2 4 6 8 10 12
Problema 63
El peso medio de los chicos desde que nacen hasta los
20 años viene dado por el siguiente gráfico:3
Observando el grafico responde
a) ¿cuál es el peso medio de los varones a los 9 años?
b) ¿a qué edad tienen las mujeres un peso medio superior a 40kg?
c) ¿en qué período el peso medio de las mujeres supera al de los varones?
3 CBC matemática 1995, pág. 13
35
Problema 64
Indiquen el dominio de cada una de las siguientes funciones
1. Precio de un paquete de galletitas en función del peso
2. Cantidad de harina necesaria para una receta en función delas porciones
que se quiere hacer
3. Variación de la temperatura en una ciudad en función del tiempo
TABLAS Y GRAFICOS II
Problema 65
Pongo un recipiente con agua al fuego, cuando lo retiro, durante los primeros 5
minutos, se enfría rápidamente, durante los 15 minutos siguientes la temperatura
sigue bajando pero más lentamente, finalmente se estabiliza la temperatura
ambiente (20º aproximadamente) 4
Traza un gráfico de la temperatura en función del tiempo que interprete la
evolución descripta anteriormente.
Problema 66
Se sugiere leer del Anexo el tema “Ondas, Sonido y Luz”
Analizar las siguientes ondas en cuanto a frecuencia, amplitud y longitud de onda.
4 CBC matemática 1995, pág. 13
36
Problema 67
Pedro y Julio deben realizar un experimento para una feria de ciencias y necesitan
sacarse un diez, así que no pueden equivocarse. Después de pensar y discutir
bastante deciden crear una caja de vidrio que esté libre de Ondas Sonoras. Para ello
le extraen todo el aire que contiene la caja y colocan un teléfono celular dentro
cuidando que no entre nada de aire para demostrar que su experimento es correcto.
Luego llaman al celular.
¿Qué va a pasar? ¿Escucharan el sonido del celular?
Problema 68
Lean atentamente la siguiente información y luego responda las preguntas:
“No es nada fácil escalar una montaña, no solo por la inmensa preparación física y
mental que necesita un alpinista, sino también porque las condiciones en altura no
son las mismas a las que está acostumbrado el cuerpo que vive a nivel del mar o en
alturas más moderadas. Porque a medida que vamos ascendiendo metros hacia el
cielo cambia la presión, y con ello la cantidad de oxígeno del aire (aunque no la
proporción, que se mantiene hasta los 100 km de altura). El ser humano necesita una
cantidad de oxígeno determinada en su sangre para sobrevivir, y cuando la presión
parcial exterior varía, ésta también lo hace. Al nivel del mar, la presión parcial de
oxígeno de un individuo normal se sitúa entre 75 y 100 mm de Hg (0,1 atm – 0,13
atm). Cuando los alpinistas pretenden escalar cumbres elevadas como el K2 o el
Everest deben aclimatarse a las nuevas concentraciones de oxígeno durante varias
semanas, ya que de lo contrario pueden sufrir problemas de salud severos”.
37
a) Analicen cómo varía la presión parcial de oxígeno en el aire y en la sangre en
relación con la altura.
b) ¿Por qué los habitantes de Nepal o sherpas, pueden vivir normalmente en esa
altitud?
c) ¿Qué puede decir sobre la aclimatación?
d) ¿Está relacionado este caso con los jugadores de fútbol de Argentina cuando
tienen un partido en una ciudad como La Paz en Bolivia?
MODELOS LINEALES
Problema 70
Una sustancia se encuentra a 15º C, pero a partir del comienzo de un experimento su
temperatura disminuye de manera uniforme a razón de 2ºC por minuto.
a) ¿qué temperatura alcanzó la sustancia 15 minutos después del comienzo del
experimento?
b) ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que alcance los 0º C?
c) ¿Cuál de estas fórmulas representa mejor la situación? (T representa la
temperatura y M, los minutos transcurridos desde el comienzo).
Problema 71
En un edificio en refacción, un pintor cobra $50 por hora de trabajo. Además, la
empresa que lo contrata le paga $4000 mensuales por otros trabajos.
a- Completa la tabla de valores
Cantidad
de horas
de trabajo
por mes en
el edificio
0 1 2 3 4 5 8 10 12
Sueldo
mensual
(en $)
b- Escribe una fórmula que te permita calcular el sueldo mensual del pintor en
función de la cantidad de horas de trabajo en el edificio.
c- ¿Cómo cambiarias la fórmula si el pintor cobrará $70 por hora de trabajo en el
edificio?
38
d- La siguiente relación permite calcular el sueldo mensual (S) que le corresponde
a otro pintor, según la cantidad de horas (H) trabajadas en el mismo edificio
S=9 * H +360. ¿Cuál de los dos pintores cobraría más si ninguno trabajara este
mes en ese edificio? ¿y si trabajaran en el edificio 1 hora al mes? ¿y 10 horas?
¿y 20?
Problema 72
Un tubo de oxigeno de 682 litros de capacidad, que originalmente estaba lleno,
se está vaciando a razón de 10 litros por minuto. ¿Cuál de estos gráficos
podrían representar la cantidad de oxigeno que queda en el tubo a medida que
transcurre el tiempo? ¿Cómo te das cuenta?
y y y
x x x
Coordenada Y: Litros de oxígeno en el tanque
Coordenada X: Tiempo desde que comienza a salir (Minutos)
a) ¿que podrías hacer para saber cuánto tiempo pasará hasta que el tubo tenga la
mitad del contenido original?
Problema 73
A Martín le regalaron un autito a pila que viaja a velocidad constante y una pista de
madera. Jugando realizó las siguientes mediciones:
Tiempo de marcha
(seg)
Distancia al inicio
De la pista(cm)
10 65
15 90
25 140
a) ¿a qué distancia del inicio de la pista largó Martín el auto?
b) ¿a qué distancia del inicio de la pista llegó el auto a los 20seg de marcha?
c) ¿cuántos cm recorrió el auto en 20seg?
d) ¿cuál es la velocidad del autito?
e) ¿Cuánto tiempo tardó en estar a 60 cm del inicio de la pista?
39
f) ¿cuál será la fórmula que permita calcular la distancia al inicio de la pista en
función del tiempo?
Problema 74
Franco tiene en el bolsillo $42 en billetes. Tiene solo billetes de $2 y de $5.
a) ¿Cuántos billetes de $2 y cuántos de $5 puede tener?
b) Ubiquen en este gráfico los puntos que corresponden a las posibilidades que
encontraron en la pregunta anterior.
A
B
c) ¿Cuáles son las distintas posibilidades?
d) ¿Cuál o cuáles de estas fórmulas relacionan la cantidad A billetes de $2 y la
cantidad B billetes de $5?
2 A + 5B= 102 5 A + 2 B= 29
2 A + 42 = 5 B 2 A + 5 B =42
5 B + 2 A = 42 5 (2 A + B) =42
2 (A + B) =42 42= 2 A + 5 B
Problema 75
Para preparar 1kg de pan dulce hace falta ¼ kg de frutas secas. Si se designa con la
letra d la cantidad de pan dulce y con la letra f la cantidad de frutas secas necesarias,
¿cuál o cuáles de las siguientes expresiones permiten encontrar la cantidad de fruta
seca que se precisa en función de la cantidad de pan dulce que se quiere preparar?
Problema 76
En un estacionamiento hay motos y autos. En total se cuentan 78 ruedas.
e) ¿es posible que haya 20 autos? ¿por qué?
f) ¿es posible que haya 10 motos? ¿y 11? ¿Por qué?
g) ¿Cuántos autos y cuántas motos hay?
40
ECUACIONES LINEALES
Problema 77
En un corral hay conejos y gallinas. Entra Federico el veterinario, y cuenta 36 animales
y 112 patas. ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas hay en el corral?
Problema 78
En un restaurante hay capacidad para 100 personas. En total hay 21 mesas para 6
personas y 4 personas cada una. ¿Cuántas mesas de cada capacidad hay en el
restaurante?
Problema 79
Escribe un enunciado para resolver el siguiente sistema de ecuaciones
2x – y =8
x + y =1
Problema 80
Dos pescadores tienen 5 y 4 truchas respectivamente. Se encuentran con un cazador
cansado y con hambre, con quien comparten las truchas en partes iguales. El cazador
al despedirse, como agradecimiento, les obsequia $ 42, ¿cuánto le corresponde a
cada pescador?
Problema 81
Si tengo como mascotas: perros, gatos y canarios y además si todos son perros
menos 8, todos son gatos menos 5, y todos son canarios menos 7, ¿cuántos perros
tengo?
A) 2 C) 4
B) 3 D) 5
Problema 82
Cecilia compró una bicicleta y un casco de ciclista por $1080.Si el casco cuesta $720
menos que la bici. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
41
Problema 83
En un tanque hay cierta cantidad de litros de agua. Si de este tanque extraigo el 30%
de lo que no extraigo y de lo que extraje devuelvo al tanque el 50% de lo que no
devuelvo, resulta que en el tanque hay 990 litros. ¿Cuántos litros de agua había al
inicio en el tanque?
A) 900 B) 1260 C) 1170 D) 1100 E) 1800
Problema 84
En una tienda especialista en música, 4 cintas y 2 discos compactos cuestan $400,
mientras que dos cintas y 4 compactos cuestan $500. ¿Cuánto cuestan cada cinta y
cada disco?
Problema 85
Si compro 2 lápices y 2 gomas de borrar en la librería de la esquina, me cuestan $100,
pero si compro en el mismo negocio y del mismo tamaño y precio un lápiz y 2 gomas
de borrar, tengo que pagar $ 70. ¿Cuánto vale el lápiz en la librería?
Problema 86
En el patio de mi casa mi hermano que es un poco extravagante tiene serpientes y
tortugas. De las tortugas aprende a tener paciencia para encantar a las serpientes. El
número total de animales es 6 y el número de sus patas es 16. ¿Cuántos animales de
cada uno tiene?
Problema 87
Si 5 kg de manzanas y 3kg de naranjas cuestan $99. Y 2 kg de manzanas y 1kg de
naranjas cuestan $38. ¿Cuánto cuesta el kg de cada fruta?
Problema 88
Se sugiere leer del Anexo el tema “Fuerza y Movimiento”
Un cuerpo u objeto que al ser lanzado se mueve verticalmente y también
horizontalmente, se dice que tiene un “movimiento de proyectil”. Si se grafica este
movimiento se obtiene una Parábola o Semiparábola. En la vida cotidiana hay muchos
ejemplos: Lanzamiento de pelotas de tenis, pelotas de básquet, salto en alto y en
largo, golf, en natación cuando saltan desde un trampolín, etc.
La siguiente figura es un ejemplo de una semiparábola. El cañón arroja la bala con una
cierta velocidad (v > 0) y sobre él actúa la gravedad (g > 0)
42
a) Dibujar cómo sería la trayectoria de la bala de cañón si no existiera la
gravedad. (g = 0)
b) Dibujar cómo sería la trayectoria de la bala de cañón si la velocidad inicial de la
bala fuera cero (v = 0)
Problema 89
Analice el siguiente gráfico y luego indique si corresponde al movimiento de la opción
a) o b)
a) El auto se mueve en línea recta aumentando su velocidad.
b) El auto se mueve en línea recta disminuyendo su velocidad.
43
Problema 90
Si queremos darle la misma aceleración, o sea, alcanzar la misma velocidad en un
determinado tiempo, a un automóvil grande y a uno pequeño. ¿Cuál de los dos autos
necesitará mayor fuerza? ¿Por qué?
Problema 91
¿Por qué cuando viajamos en un colectivo y estamos parados, nos vamos hacia
adelante si frena de forma brusca? Indique la ley de Newton que explica este caso.
Problema 92
Si se dispara una escopeta, ¿qué movimiento ocurrirá? Indique la ley que justifique su
respuesta.
Problema 93
Un ciclista en una pista horizontal termina por detenerse si deja de pedalear. ¿Por qué
piensa que ocurre esto? Indique otros ejemplos donde pase lo mismo.
TEXTO CIENTIFICO
Problema 94
1865. Los experimentos de Gregor Mendel
Aproximadamente en la misma época en que Darwin estaba escribiendo El Origen de
las Especies, un monje austríaco, Gregor Mendel (1822-1884), iniciaba una serie de
experimentos que llevaría a la comprensión del mecanismo de la herencia. Mendel,
que había nacido en una familia de campesinos en 1822, entró en un monasterio en
Brünn (actualmente Brno, República Checa), en el que pudo recibir educación. Asistió
a la Universidad de Viena durante dos años, donde estudió matemática y otras
ciencias. Luego de fracasar en los exámenes para obtener el certificado de docencia al
que aspiraba, se retiró al monasterio, en el que finalmente llegó a ser abad. El trabajo
de Mendel, llevado a cabo en un tranquilo jardín del monasterio e ignorado hasta
después de su muerte, marca el comienzo de la genética moderna. Según algunos
historiadores de la ciencia, la gran contribución de Mendel fue demostrar que las
características heredadas se llevan en unidades aisladas que se reparten por
separado –se redistribuyen– en cada generación. Estas unidades aisladas, que
Mendel llamó elemente, son las que hoy conocemos como genes. Para sus
44
experimentos sobre herencia, Mendel escogió el guisante común, Pisumsativum, lo
que resultó una muy buena elección. Las plantas se conseguían en el comercio, eran
fáciles de cultivar y crecían con rapidez. Las distintas variedades de plantas tenían
características cuyas variantes eran claramente diferentes y constituían líneas que se
reproducían puras y reaparecían sin cambios de una generación a la siguiente. Como
dijo Mendel en su trabajo original, "El valor y la utilidad de cualquier experimento
dependen de la elección del material adecuado al propósito para el cual se lo usa". La
elección de Mendel de la planta de guisante para sus experimentos no fue original. Sin
embargo, su éxito en la formulación de los principios fundamentales de la herencia, en
la que otros habían fracasado, se debió a su enfoque del problema. En primer lugar,
sometió a prueba una hipótesis muy específica en una serie de experimentos lógicos.
Planeó sus experimentos con cuidado e imaginación y eligió para su estudio
solamente características hereditarias con variantes bien definidas y mensurables. En
segundo lugar, no sólo estudió la progenie de la primera generación, sino también la
de la segunda y de las subsiguientes. Tercero, y lo más importante, contó los
descendientes y luego analizó los resultados matemáticamente. Aunque su
matemática era simple, la idea de que un problema biológico se podía estudiar en
forma cuantitativa fue sorprendentemente nueva. Finalmente, organizó los datos de tal
manera que sus resultados se pudieran evaluar en forma simple y objetiva. Los
experimentos mismos fueron descritos con tanta claridad que pudieron ser repetidos y
controlados por otros científicos. Mendel comunicó sus experimentos en 1865, ante un
pequeño grupo de asistentes a una reunión de la Sociedad de Historia Natural de
Brünn. Aparentemente, nadie comprendió el significado de sus resultados. Sin
embargo, al año siguiente, su trabajo fue publicado en las Actas de la Sociedad, una
revista que circulaba por las bibliotecas de toda Europa. A pesar de ello, fue ignorado
durante 35 años, en la mayor parte de los cuales Mendel se dedicó a sus deberes de
abad sin recibir reconocimiento científico alguno sino sólo después de su muerte.
Actividad
a) ¿Qué contribución importante hizo Gregor Mendel a la Ciencias Naturales?
b) ¿A qué se debe su éxito en la formulación de los principios fundamentales de la
herencia?
c) ¿Pudieron los experimentos de Mendel ser reproducidos por otros científicos?
d) ¿Por qué piensa que los hallazgos de Mendel no tenidos en cuentas sino hasta
35 años después?
45
Problema 95
1836. Darwin y el nacimiento de la teoría de la evolución moderna
En 1831, el joven Charles Darwin (1809-1882) zarpó desde Inglaterra en un viaje que
sería el más significativo en la historia de la biología. Antes de cumplir los veintitrés
años, Darwin ya había abandonado la carrera de medicina y era un candidato reacio al
clero, profesión que se juzgaba adecuada para el hijo menor de un caballero inglés.
Estudiante mediocre, Darwin era un apasionado cazador y jinete, coleccionista de
coleópteros, moluscos y conchas, botánico y geólogo aficionado. Cuando Fitz Roy, el
capitán del buque de exploraciones H. M. S. Beagle, poco mayor que Darwin, ofreció
un pasaje para un joven caballero que fuera voluntario sin remuneración, Darwin
aprovechó esta oportunidad para ampliar sus conocimientos sobre historia natural. El
viaje, que duró cinco años, forjó el curso del trabajo futuro de Darwin. Mientras el
Beagle descendía a lo largo de la costa atlántica de Sudamérica, atravesaba el
Estrecho de Magallanes y ascendía por la costa del Pacífico, Darwin viajaba por el
interior del continente y exploraba los Andes a pie y a caballo. Allí observó estratos
geológicos y descubrió conchas marinas fósiles a aproximadamente 3.700 metros y
fue testigo del cataclismo terrestre producido por un gran terremoto que ocurrió
mientras estaba allí. Además, coleccionó ejemplares de los numerosos tipos nuevos
de plantas y animales que encontró. Darwin tenía muy frescas en su mente las teorías
de Charles Lyell (1797-1875), quien sostenía que el efecto de las fuerzas naturales
había producido un cambio continuo en el curso de la historia de la Tierra. Lyell fue
una de las personas que más influyó en él. Darwin se impresionó fuertemente durante
su largo y lento viaje a lo largo de una y otra costa por el cambio constante de las
variedades de organismos que vio. Las aves y otros animales de la costa oeste, por
ejemplo, eran muy diferentes de los de la costa este, e incluso, a medida que él
ascendía lentamente por la costa occidental, una especie iba siendo reemplazada por
otra. Lo más interesante para Darwin fueron los animales y plantas que encontró en un
grupo de islas áridas, pequeñas y deshabitadas, las Galápagos, situadas a unos 950
km de la costa del Ecuador. Las Galápagos tomaron este nombre de los habitantes
más notables de estas islas, las tortugas gigantes o Galápagos, algunas de las cuales
pesan 100 kg o más. Cada isla posee su tipo propio de tortuga. Los marineros las
llevaban a bordo y las mantenían como fuente adecuada de carne fresca para sus
viajes en el mar y podían decir prontamente de qué isla provenía una tortuga en
particular. También había un grupo de pájaros del tipo de los pinzones, 13 especies en
total, que diferían entre sí por los tamaños y las formas de sus cuerpos y picos y en
particular por el tipo de alimento que ingerían. En realidad, aunque sin dudas eran
pinzones, tenían muchas características que se veían sólo en tipos completamente
diferentes de pájaros del continente. Con sus conocimientos de geología, Darwin sabía
que estas islas, de claro origen volcánico, eran mucho más jóvenes que el continente.
Pero sus plantas y animales eran diferentes de las del continente y, de hecho, los
habitantes de las distintas islas del archipiélago diferían entre sí. ¿Eran los seres vivos
46
de cada isla el producto de una creación especial separada? "Uno podría realmente
imaginar", reflexionaba Darwin más tarde, "que a partir de la escasez originaria de
aves en este archipiélago, una especie había sido tomada y modificada para fines
diferentes". Este problema continuó, según sus propias palabras, "obsesionándolo".
Cuando Darwin volvió a Inglaterra, en 1836, dedicó largos años al estudio de las
colecciones que había recogido durante el viaje. En 1839 se casó y, a partir del año
1842, se estableció con su esposa en una casa en las afueras de Londres, en la
localidad de Down, donde vivió el resto de su vida estudiando, experimentando y
escribiendo. Los primeros intentos de Darwin por imaginar el proceso de
transformación de los seres vivos se enmarcaron en la idea de que la evolución no era
necesariamente un proceso lineal de cambio ascendente. Los organismos simples
podían dar origen a otros más complejos sin desaparecer durante el proceso y, por lo
tanto, no era necesario recurrir a la generación espontánea para explicar la reposición
de los organismos que se agotaban por el cambio constante. Además, tomó
conocimiento de un tratado sociológico breve, pero muy comentado, escrito por el
reverendo Thomas Malthus (1766-1834), que apareció por primera vez en 1798. En
este ensayo, Malthus advertía, al igual que los economistas lo han hecho desde
entonces, que la población humana estaba incrementándose tan rápidamente que en
poco tiempo sería imposible alimentar a todos los habitantes de la Tierra. Darwin vio
que la conclusión de Malthus, que la disponibilidad de alimentos y otros factores
limitan el crecimiento de la población, es válida para todas las especies, no sólo para
la humana. El proceso por el cual los sobrevivientes son "elegidos" fue llamado por
Darwin "selección natural". La selección natural, según Darwin, era un proceso
semejante al tipo de selección practicado por los criadores de ganado, caballos, perros
o palomas. En la selección artificial, nosotros, los humanos, elegimos especímenes
individuales de plantas o de animales para reproducirlos sobre la base de las
características que nos parecen deseables. El propio Darwin era socio de la sociedad
colombófila (criadores de palomas) y experimentaba los efectos de la selección
artificial. Según Darwin, las variaciones que aparecen en cada población natural y se
heredan entre los individuos son una cuestión de azar. No las produce el ambiente, ni
una fuerza creadora ni el esfuerzo inconsciente del organismo. Por sí mismas, no
tienen meta o dirección, pero a menudo tienen valores adaptativos positivos o
negativos, o sea, pueden ser más o menos útiles para un organismo si se juzga su
supervivencia y su reproducción. Es el funcionamiento de la selección natural, la
interacción de organismos individuales con su ambiente durante una serie de
generaciones, lo que confiere dirección a la evolución. El Origen de las Especies que
Darwin "rumió" durante más de veinte años después de su regreso a Inglaterra es,
según sus propias palabras, "un largo razonamiento". Hecho tras hecho, observación
tras observación, escogidos de la isla más remota del Pacífico o del jardín de un
vecino, fueron registrados, analizados y comentados. Cada objeción fue sopesada,
anticipada y replicada. Así, en 1842 escribió el esbozo preliminar de su teoría, que
revisó en 1844. Después de completar la revisión, escribió una carta formal a su
47
esposa pidiéndole que en caso de su muerte publicara el manuscrito de
aproximadamente doscientas treinta páginas. Entonces, con el manuscrito y la carta
en lugar seguro, regresó a otro trabajo que incluía un tratado en cuatro volúmenes
sobre los cirrípedos o percebes. Durante más de veinte años después de su regreso
de las Galápagos, Darwin sólo mencionó sus ideas sobre evolución en sus cuadernos
personales y en cartas a sus colegas científicos. En 1856, urgido por sus amigos Lyell
y el botánico Joseph Hooker (1817-1911), Darwin comenzó a preparar lentamente un
manuscrito para su publicación. En 1858, cuando ya había redactado
aproximadamente diez capítulos, recibió una carta del Archipiélago Malayo que le
enviaba otro naturalista inglés, Alfred Russel Wallace (1823- 1913), quien había
mantenido correspondencia con Darwin en varias ocasiones previas. Wallace
presentaba una teoría de la evolución exactamente igual a la teoría de Darwin. Al igual
que Darwin, Wallace había efectuado largos viajes y también había leído el ensayo de
Malthus. Revolviéndose una noche en la cama, con fiebre, Wallace tuvo un repentino
destello de intuición. "Entonces vi inmediatamente", rememoró Wallace, "que la
perpetua variabilidad de todos los seres vivos tendría que suministrar el material a
partir del cual, por la simple supresión de aquellos menos adaptados a las condiciones
del medio, sólo los más aptos continuarían en carrera". En dos días el manuscrito de
veinte páginas de Wallace quedó completo y fue despachado por correo. Darwin,
impresionado, le escribió a Lyell para comentarle lo sucedido y pedirle consejo acerca
de cómo proceder. Tenía un dilema moral, ante la sospecha de que podría
interpretarse que él se había apropiado de las ideas de Wallace: publicar o no publicar.
Escribía al respecto: "Prefería quemar mi libro entero a que él o cualquier otro pensara
que me comporté como un miserable". Sus amigos y colegas, el mencionado geólogo
Lyell y Hooker, que eran testigos de la paternidad de la teoría, insistieron en que la
publicara. Lyell y Hooker, tomando el asunto en sus propias manos, presentaron la
teoría de Darwin y Wallace en una reunión científica casi un mes después. (Darwin
describió a Wallace como noble y generoso, y aparentemente así era en realidad.) Su
presentación recibió poca atención, pero para Darwin las compuertas habían sido
abiertas. Darwin terminó su largo tratado en poco más de un año. Finalmente, se llegó
a un digno y afortunado final: el 1 de julio de 1858, Darwin y Wallace presentaron en
conjunto sus ideas frente a la Sociedad Linneana de Londres, en un artículo que se
llamó Sobre la tendencia de las especies a crear variedades y sobre la perpetuación
de las variedades y de las especies por medio de la selección natural.
Actividad
a) ¿Cómo se llamaba el barco en barco en el que viajó Darwin y quién era su
capitán? ¿Podés decir qué recurso natural en Argentina lleva el nombre del
capitán?
48
b) En su largo viaje en barco como naturalista, ¿Darwin visitó nuestro país, si es
así qué regiones?
c) ¿Cuál era la idea que tenía Darwin sobre la evolución?
d) Darwin tenía conocimientos sobre un tratado sociológico realizado por Thomas
Malthus, ¿qué decía ese ensayo?
e) ¿A qué llama Darwin “Selección natural”? Ejemplifique con hechos conocidos
cotidianos.
f) De acuerdo a lo que pensaba Darwin sobre las Variaciones que aparecían en
las poblaciones naturales, y la siguiente información, explique qué tipo de
polilla (negra o blanca) presentaba ventajas sobre las condiciones del ambiente
y por qué.
En una época en que el hollín de las fábricas de carbón oscurecía a los árboles y
edificios en pleno siglo XIX en Inglaterra, los naturalistas cuentan que las polillas
fueron también salpicadas de manchas negras. En tan sólo unas pocas décadas
desde su aparición por primera vez cerca de Manchester, las polillas negras
dominaban, lo que representa el 90 por ciento o más de la población de polilla en las
zonas urbanas locales.
Bibliografía utilizada
Páginas en internet:
URL: http://rsta.pucmm.edu.do/tutoriales/fisica/Leccion6/6.1.htm
http://www.scribd.com/doc/5020146/Movimiento-Parabolico
laboralfq.files.wordpress.com/2011/10/semmelweis-completo1.pdf. Consultado el 12/07/2014
http://bogam12.wordpress.com/
http://mipropiadecadencia.blogspot.com.ar/2011/04/la-mutacion-de-la-polilla-explica-
el.html
Una forma completamente negra de polillas moteadas (izquierda) casi
sustituye la forma típica de color claro (derecha) durante la revolución
industrial en Inglaterra. Investigadores cultivaron este macho negro y
hembra blanca típica para ayudar a determinar que una sola mutación que
ocurrió en la década de 1840 produjo la famosa adaptación. Créditos: Ilik
Saccheri, Science/AAAS
49
Libros:
A.A.V.V. (2010) Biofísica para el CBC, Parte 1, Segunda Edición. Editorial Asimov. Buenos Aires
A.A.V.V. (2010) Biofísica para el CBC, Parte II, Segunda Edición. Editorial Asimov. Buenos Aires
A.A.V.V. (2010). Química para el CBC. Segunda Edición. Editorial Asimov. Buenos Aires.
Abálsamo, R… [et.al.]. (20013). Activados 1Matemática. Editorial Puerto de Palos. San Isidro. Buenos Aires.
Abellán, K… [et.al.].(2007). Ciencias Naturales 2 ES. Editorial Dirección General de Cultura y Educación de la provincia de Buenos Aires. La Plata.
Altman, S., Comparatore, C y Kurzrok, L. Matemática 3. Números y sucesiones. Editorial Longseller SA. Buenos Aires
Barderi, M… [et. al.]. (2006). Ciencias Naturales 9º. Ediciones Santillana S.A. Buenos Aires
Curtis, H., Barnes, N., Schnek, A., Flores, G. (2007). Invitación a la biología: sexta edición en Español. Madrid: Editorial Médica Panamericana.
Curtis, H.; Barnes, N., Schnek, A y Massarini, A. (2008). Biología. Séptima Edición. Editorial Médica Panamericana. Buenos Aires.
Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr. (1977) Mecánica para ingenieros (Dinámica) Mc Graw Hill Book Company Inc.
Furriol, A… [et.al]. (2014). Ciencias Naturales 1. Ediciones sm. Ciudad de Buenos Aires.
Golombek, D. y Schwarzbaum, P. (2012). El nuevo cocinero científico. Cuando la ciencia se mete en la cocina. Cuarta Edición. Siglo Veintiuno Editores. Argentina.
Henderson, M. (2010). 50 cosas que hay que saber sobre genética. Madrid: Editorial Ariel
Itzcovich,H ( 2008), Estudiar matemática 8.Editorial Santillana . Buenos Aires Itzcovich,H ( 2008), Estudiar matemática 9.Editorial Santillana . Buenos Aires Malba,Tahan. (1996) El Hombre que Calculaba. Editorial .Santiago Rueda
Editor .Buenos Aires Mérega, H… [et. al.]. (1997). Ciencias Naturales 8. Ediciones Santillana S.A.
Buenos Aires Paenza, A (2005) Matemática…¿Estás ahí? Editorial Siglo XXI. Buenos Aires Profesores del Ciclo Básico Común .Matemática Prácticas 0 a 6. (1995)
Talleres Gráficos La Copia. Buenos Aires Wilson, J. (1996). Física, Segunda Edición. Editorial Pearson Educación.
Distrito Federal, Naucalpan de Juárez. Edo. de México.
50
ANEXO
“APUNTES TEORICOS PARA CIENCIAS NATURALES”
51
ENERGÍA Y TRABAJO
En nuestra vida diaria realizamos muchas actividades distintas y en todas ellas está
presente la energía. Muchas veces decimos que estamos llenos de energía y con
ganas de hacer alguna cosa. Esto nos lleva a pensar que existe una estrecha relación
entre energía y trabajo. Siguiendo con este pensamiento, sabemos por ejemplo que un
auto no funciona sin combustible o que no podemos cocinar sin gas u otro tipo de
fuente de energía como la leña.
Sí, el Sol es una fuente de energía, también los combustibles fósiles como la nafta
producen energía. Existen varias formas de energía: energía mecánica, energía
química, energía eléctrica, energía térmica, energía nuclear y otras más.
Hay tres tipos principales de energía: radiante, potencial y cinética.
Para saber un poco más:
Energía es la capacidad que tiene un
cuerpo de realizar trabajo. Ejemplo:
cuando le entregamos energía a un
martillo para clavar un clavo en la pared.
TIPOS DE ENERGÍA
RADIANTE
Luz visible, microondas, ondas
de radio, rayos X, etc
CINÉTICA
Cuerpos en movimiento, energía
sonora, energía térmica
POTENCIAL
GRAVITATORIA, QUÍMICA,
ELÁSTICA, NUCLEAR
52
Tres ejemplos de transformaciones de la energía en la naturaleza
1. La energía solar: en el interior del Sol ocurren continuas reacciones
termonucleares convirtiendo toneladas de Hidrógeno en toneladas de Helio.
Esta fusión nuclear, libera energía radiante que viaje a través del vacío hasta
llegar a la superficie y a la atmósfera de nuestro planeta Tierra.
El 92% de la composición del Sol es Hidrógeno
2. Las plantas aprovechan esta energía radiante y la transforman por el proceso
de fotosíntesis, en energía química. Así “fabrican” su propio alimento o hidratos
de carbonos, también llamados comúnmente azúcares.
3. Las plantas, animales y nosotros, por un proceso llamado respiración celular,
degradan los nutrientes para generar energía de movimiento, energía térmica o
calórica para mantener la temperatura corporal, etc. De esta forma en el
transcurso de la red trófica, es decir desde un animal herbívoro que se alimenta
de plantas hasta los carnívoros y finalmente los organismos descomponedores,
ocurre un flujo de energía que se inicia en el Sol y que hace posible el
desarrollo de la vida sobre la Tierra.
53
Los siguientes son algunos ejemplos muy comunes de transformación de energía:
Cuando una persona salta sobre un trampolín, este se deforma y acumula
energía potencial elástica. Cuando recupera su forma devuelve esta energía e
impulsa al nadador.
Cuando una persona sostiene algo a 1 metro del piso y la deja caer, al principio
ese “algo” tiene una velocidad inicial cero. Cuando llega al piso, tiene una
velocidad que llamamos final. Entonces inicialmente la energía cinética (de
movimiento) vale cero y la energía final es distinta de cero. ¿Quién le
entregó energía al cuerpo? La persona no fue, ¿entonces? La respuesta a esta
pregunta es: La fuerza Peso, esta fuerza es la que le dio energía al cuerpo o
“algo”. El peso recorrió una distancia de 1 metro e hizo un trabajo que termina
convirtiéndose en energía cinética.
Un automóvil estacionado en lo alto de una calle en subida. Se le saca el freno
de mano y comienza a moverse y baja por la calle. La energía potencial
(gravitatoria o de altura) se transformó en energía cinética o de movimiento.
Siguiendo con el ejemplo del auto, cuando se enciende el motor ocurre un
cambio de energía química, contenida y liberada en su combustión, en energía
cinética.
CALOR Y TEMPERATURA
Hasta ahora vimos que la energía se encuentra en todos lados y que se transforma de
un tipo a otro. Pero también la energía se transmite de un cuerpo a otro como calor o
como trabajo.
Para saber un poco más:
Se puede transformar un tipo de energía en otro tipo, pero la
cantidad total de energía se conserva.
El 1º Principio de la Termodinámica dice que: “La energía no
puede ser creada ni destruida, solo puede ser transformada de
una forma a otra” Conocida también como la Ley de la
Conservación de la Energía.
54
Como trabajo: Supongamos que tengo un cuerpo que está quieto. Lo empiezo a
empujar y comienza a moverse. Ahora tiene velocidad y por lo tanto tiene energía
cinética. ¿De dónde salió esa energía? Salió del trabajo que hizo la fuerza. Todo el
trabajo se transformó en energía cinética.
¿Y cómo calor?
Es común usar indistintamente los términos: calor y temperatura, en el lenguaje
cotidiano. En física, en cambio, los dos términos tienen significado muy distinto. Calor
es el proceso de transferencia de energía entre diferentes cuerpos o diferentes zonas
de un mismo cuerpo que se encuentran a distintas temperaturas. Este flujo siempre
ocurre desde el cuerpo de mayor temperatura hacia el cuerpo de menor temperatura,
ocurriendo la transferencia hasta que ambos cuerpos se encuentren en equilibrio
térmico.
Un ejemplo cotidiano es cuando nos preparamos un café bien caliente y dejamos la
cucharita de metal dentro de la taza. Si tocamos la cucharita un tiempo después
notaremos que ¡está caliente! ¿Qué pasó? Ocurrió una transferencia de calor desde el
café que estaba más caliente hacia la cucharita de metal que estaba más fría hasta
llegar a un equilibrio térmico, es decir, ambos a igual temperatura.
Pero en realidad la materia (café o cucharita) no tienen calor, tiene lo que en física se
llama Energía Interna. Se la puede definir como la suma de todas las energías que
tiene un sistema o un cuerpo.
Todos sabemos que los alimentos tienen calorías y si estamos haciendo dieta, le
prestamos mucha atención a las calorías que consumimos porque nuestro cuerpo
guarda esas calorías para después usarlas en por ejemplo, movimiento, calentarnos,
etc.
Cuando un sistema (café) le cede calor a otro
(cucharita), en realidad le está cediendo parte de
su energía interna. Esta parte de energía es lo
que llamamos Calor, energía calórica o térmica.
55
Ahora sabemos que calor es aquella parte de la energía interna de un cuerpo que
cede a otro cuerpo. Pero entonces ¿Qué es la temperatura? Es una magnitud escalar,
es decir es un número que me indica qué tan caliente está un cuerpo respecto a otro
tomado como referencia. La temperatura es una medida de la capacidad que tiene un
material de cederle energía interna a otro.
La energía calórica hace que las moléculas de un cuerpo se muevan muy rápido y
llamamos temperatura a esa agitación de las moléculas. Este movimiento de las
moléculas provoca Dilatación, es decir el volumen del cuerpo aumenta al aumentar la
temperatura. Por el contrario, si bajo la temperatura, el volumen del cuerpo disminuye
y ocurre Contracción.
ESCALAS TERMOMÉTRICAS
El termómetro es el instrumento con el cual puedo medir la temperatura.
Cuando este termómetro se pone en contacto con un cuerpo caliente, el líquido dentro
del bulbo se dilata y la columna sube hasta llegar a una marca en la escala. Así se
puede saber la temperatura del bulbo que es la misma que la del cuerpo que estoy
midiendo. (Recordar el ejemplo del café y equilibrio térmico).
Hay tres escalas termométricas principales:
Escala Kelvin o absoluta (K): es utilizada en investigaciones científicas.
Escala Celsius (C): es la utilizada en Argentina.
Escala Fahrenheit (F): es utilizada en Estados Unidos.
56
TRANSMISIÓN DEL CALOR
El calor es una forma de energía que se transfiere de un objeto a otro debido a una
diferencia de temperatura. Puede viajar de un lado a otro mediante 3 mecanismos:
Conducción
Debe existir un medio material para que se
propague el calor. Se transmite calor sin transporte de Materia. El flujo de calor
dependerá de la longitud de la barra, su área, su diferencia de temperatura y de su
coeficiente de conductividad.
Transmisión del Calor
Conducción
Convección
Radiación
57
Convección
Se propaga el calor a través de un medio
material fluido (gases y líquidos). El calor se transmite con transporte de materia.
Radiación
El calor se transmite por ondas llamadas radiación. No necesita de un medio
material. Se transmite sin transporte de materia.
Mecanismos de regulación de los seres vivos
La vida sobre la Tierra depende de la
transferencia de energía solar que viaja
a través del espacio
58
Todos los seres vivos son sensibles a los cambios térmicos del ambiente en el cual
viven. Hay una temperatura máxima y una mínima en la que pueden vivir y otra que es
óptima para que puedan realizar sus funciones normalmente. Sin embargo una de las
características de los seres vivos es la capacidad de regular su medio interno cuando
las condiciones del ambiente varían. Esta capacidad se la llama Homeostasis. Y la
presentan tanto los animales como las plantas, bacterias, hongos y protistas.
ONDAS, SONIDO Y LUZ
Si observamos la naturaleza vamos a ver hechos que son el resultado de fenómenos
físicos. Aunque no sepamos definir científicamente estos conceptos, seguramente en
algún momento de nuestra vida cotidiana lo vivimos o percibimos y podemos explicar
qué es lo que sucede.
Por ejemplo:
Vemos un lago o un estanque de aguas muy tranquila y modificamos esa “calma” que
tiene tirando una piedra. Decimos que perturbamos la zona donde cayó la piedra y a
partir de ahí se producen unas ondas en el agua. Esta perturbación se va propagando
y las moléculas del agua se van moviendo en torno a su posición inicial. De esta forma
se van produciendo ondas a partir de la zona donde cayó la piedra hacia las zonas
más alejadas del estanque o lago.
La luz
Al igual que el sonido, es una forma de energía. También se la llama Energía Radiante
y se propaga mediante ondas.
La luz puede ser emitida por Fuentes Naturales, como por ejemplo la que proviene del
Sol, los relámpagos y también algunos animales como las luciérnagas emiten luz.
Cuando encendemos una lámpara también emite luz pero en este caso se trata de una
Fuente Artificial (es decir, creada por el Hombre).
Según las características del material que se interponga en el camino de la luz,
pasarán más, menos o ningún rayo de luz. Es decir que la luz puede transmitirse,
reflejarse o absorberse.
La luz viaja en línea recta y en todas direcciones a una gran velocidad, alcanza
300.000 kilómetros por segundo.
59
“La luz blanca es la combinación de todos los colores visibles (los colores que puede
ver el ojo humano). Cuando vemos algo blanco es porque está reflejando todos los
colores de la luz y cuando lo vemos negro es porque está absorbiendo todos los
colores.
Para saber un poco más:
Se llama Onda o Movimiento
Ondulatorio a toda
perturbación que viaja por el
espacio y sólo transporta
Energía.
Ondas
Según el medio de la
propagación Según la dirección de la
perturbación
Mecánicas
(medio material)
Electromagnéticas
(pueden viajar en el vacío)
Longitudinales Transversales
60
Si nos piden que dibujemos una onda cualquiera, seguramente haremos algo parecido
a la siguiente figura:
No está mal, pero podemos sumar un poco más de información:
FUERZA Y MOVIMIENTO
Si miramos con atención a nuestro alrededor vamos a notar que todas las cosas se
mueven: las hojas de los árboles, personas caminando, autos circulando, estrellas
fugaces. Otros movimientos no llegamos a percibirlos porque son microscópicos. Pero
igualmente se mueven, entonces podemos decir que todo el universo está en
movimiento. Lo cual significa que un cuerpo cambia su posición respecto a otro cuerpo
que se toma como referencia.
Si sabemos las distintas posiciones de auto por ejemplo, podemos conocer su
“camino” o trayectoria.
61
Los movimientos pueden ser rectilíneos o curvilíneos es decir cuando describen una
parábola y la Cinemática es la rama de la Física que se ocupa de la descripción de los
movimientos de los cuerpos sin tener en cuenta sus causas.
Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)
Si un objeto se mueve con un Movimiento rectilíneo y uniforme, es porque se está
moviendo en línea recta y a una velocidad constante. Es decir, que el objeto, por
ejemplo un auto, está recorriendo espacios (o distancias) iguales en tiempos iguales.
Como el cuerpo se está moviendo en todo momento con una velocidad constante,
decimos que no acelera, es decir que la aceleración es cero (a=0).
Si hacemos una tabla de esta imagen:
Posición (x) en metros Tiempo (t) en segundos
0 0
2 1
4 2
6 3
x
t
62
Ahora podemos hacer un gráfico:
Coordenada y, la variable es la posición en metros
Coordenada x, la variable es el tiempo en segundos
Para calcular el espacio recorrido por el ciclista:
Δx = xf - x0
Donde:
Xf : posición final, es decir hasta donde llegó el ciclista
X0: posición inicial, es decir el lugar de donde salió el ciclista
Δx: es el espacio recorrido (es la diferencia entre su posición final e inicial)
Para calcular su velocidad:
Gráfico de la posición
del ciclista en función
del tiempo
63
Movimiento uniformemente variado o acelerado (M.U.V.)
Es un tipo especial de movimiento en el cual se mantiene constante la aceleración.
Como la velocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad
en un instante determinado. En el caso de una aceleración a constante, considerando
una velocidad inicial nula (v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrido el
tiempo t será:
v = a.t
Y la distancia recorrida durante ese tiempo será:
e = ½.a.t²
En el movimiento uniformemente variado la velocidad varía y la aceleración es distinta
de cero y constante.
a ≠ 0 = constante
v = variable
1) Acelerado: a > 0
xf = xo + vo.t + ½.a.t² (Ecuación de posición)
vf = vo + a.t (Ecuación de velocidad)
vf² = vo² + 2.a.Δx
2) Retardado: a < 0
xf = xo + vo.t - ½.a.t² (Ecuación de posición)
vf = vo - a.t (Ecuación de velocidad)
vf² = vo² - 2.a.Δx
64
Tiro parabólico
Se trata de un “movimiento rectilíneo uniforme” en su desarrollo horizontal (en el eje x)
y un “movimiento uniformemente variado o acelerado” en su desarrollo vertical (en el
eje y).
Por ejemplo: una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal.
Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia
abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y
después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la
componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de
la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en
dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal
del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria
de la pelota resulta ser una parábola.
Este tipo de movimiento se lo conoce como “movimiento de proyectil” y sobre el
cuerpo que es lanzado actúa la fuerza peso (W) que le produce una aceleración
constante igual al valor de la gravedad. Gráficamente:
65
Todos sabemos qué es una fuerza: tenemos que hacer fuerza para levantar una mesa,
hay que pegarle con mucha fuerza a la pelota de tenis en un saque para ganar el
tanto, hay que nadar con fuerza en un río que tiene mucha corriente, etc.
Sin embargo no es tan fácil de definirla. Pensando en los ejemplos de arriba, vemos
que ocurre un efecto sobre el cuerpo al cual le aplicamos una fuerza y se genera una
interacción.
Primera Ley de Newton: “Todo cuerpo tiende a mantener su estado de reposo o
movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por
fuerzas ejercidas sobre él”.
Segunda Ley de Newton: “Cuando se aplica una fuerza a un objeto, éste se acelera.
Dicha a aceleración es en dirección a la fuerza y es proporcional a su intensidad y es
inversamente proporcional a la masa que se mueve”.
66
Tercera Ley de Newton: “Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, el
segundo cuerpo ejerce sobre el primero una fuerza de igual módulo y dirección en
sentido opuesto”
http://www.universoformulas.com/fisica/cinematica/movimiento-parabolico/
http://www.aulafacil.co./l10319/ciencia/fisica-general-ii/movimiento-de-proyectiles
COMPOSICIÓN DE LA MATERIA
Antes de saber cómo está formada la materia, es necesario definir qué es un Sistema
Material.
Decimos que un Sistema Material es todo cuerpo o conjunto de ello que nos interesa
estudiar. Todos los cuerpos están formados por materia. Entonces la pregunta ahora
es:
¿Qué es la materia?
Para recordar:
Fuerza es todo agente capaz de
modificar el movimiento o la forma de
un cuerpo
La Materia es todo lo que nos
rodea, ocupa un lugar en el
espacio y podemos percibirla a
través de nuestros sentidos
Estado físico de la materia:
Sólido, Líquido y Gaseoso
Para recordar: La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que ese
cuerpo tiene.
67
Supongamos ahora que coloco una olla con agua a calentar sobre una hornalla. Al
poco tiempo el agua empieza a hervir y me doy cuenta porque hace burbujas. ¿Qué es
lo que está ocurriendo a nivel de la física y química?
Está ocurriendo un cambio de estado de la materia, el agua está pasando de su
estado líquido al gaseoso (vapor) porque se le está entregando calor, y como ya vimos
el calor es una forma de energía. Entonces podemos decir ahora que los cambios de
estado de la materia ocurren cuando la materia absorbe o libera calor. Estos cambios
son físicos y no ocurren reacciones químicas, es decir que la composición química, en
nuestro ejemplo el agua, sigue siendo la misma en estado líquido, gaseoso o sólido.
http://www.profesorenlinea.cl/fisica/LeyesdeNewton.html
En resumen:
Ejemplos: cambios de estado Ejemplos: combustión, oxidación
Calentamos
Cambios de la Materia
Cambios Físicos Cambios Químicos
No cambian las sustancias, son las
mismas antes que después del
cambio.
Cambian las sustancias, al finalizar
el cambio las sustancias iniciales
se habrán transformado en otras.
68
Retomando los Sistemas Materiales, podemos clasificarlos en:
Sistemas Homogéneos: intuitivamente podemos decir que son aquellos que
son uniformes y no presentan ningún límite de separación o fases como se
llama en química. Ejemplos: agua con azúcar, agua con sal fina, agua y
alcohol.
Sistema Heterogéneo: Ahora ¿qué pasaría si a un vaso que tiene agua y
azúcar, le agrego rodajas de limón, seguirá siendo un sistema uniforme?
¡Evidentemente no! Entonces un sistema heterogéneo es aquél en el cual
podemos distinguir dos o más fase. Un ejemplo que todos conocemos es el
agua y aceite.
Teniendo en cuenta estos dos sistemas (homogéneos y heterogéneos) podemos
diferenciar una Sustancia de una Solución.
Un ejemplo para saber un poco más sobre soluciones: Tenemos un vaso con agua y le
agregamos un cucharadita de sal, después agitamos y ¿qué vemos?. La sal
desapareció, en realidad se disolvió en el agua formándose una solución (sistema
homogéneo) con dos componentes. El que está en mayor cantidad, en nuestro caso el
agua, es el Solvente y el que está en menor cantidad (la sal) es el Soluto.
Sustancia: es un sistema
homogéneo que posee un solo
componente, por ejemplo el agua
destilada, el hielo.
Solución: también es un sistema
homogéneo pero está formado
por dos o más sustancias puras.
69
Ahora ¿qué pasará si sigo agregando sal fina al mismo vaso con agua? Va a llegar un
momento en el cual por más que agite, la sal no va a disolverse y va a empezar a caer
al fondo del vaso, en química se dice que está precipitando la sal. Esto pasa porque el
agua que está en el vaso puede disolver cierta cantidad de sal, es decir hay un límite
de disolución y la solución así formada estará Saturada.
Por el contrario, en nuestro primer ejemplo cuando agregamos una cucharadita de sal
en el vaso con agua, formamos una solución Diluida. Decimos que una solución está
Concentrada cuando está cerca del límite de saturación.
La temperatura influye sobre la disolución:
¿Cómo está formada la Materia?
Llamamos cuerpo a una porción limitada de materia. Por ejemplo: un lago, una mesa,
una cacerola, son distintos cuerpos formados por materia y ésta a su vez está
compuesta por partículas llamadas Átomos que tienen un tamaño tan pequeño que
no se pueden observar ni con un microscopio electrónico.
Solución Saturada: Tiene el
máximo de soluto (ej. Sal) que
puede disolver esa cantidad de
solvente (Ej. Agua) a esa
temperatura.
Solución Concentrada: La
cantidad de soluto está cerca
al límite máximo posible
Solución Diluida: La
cantidad de soluto es
mucho menor que el
máximo posible para esa
temperatura.
70
Cuando decimos que un cuerpo está formado por materia, nos estamos refiriendo a la
Masa de ese cuerpo.
Vimos que la materia está formada por átomos.
A través de la historia, esta fue una pregunta que se realizaron muchos científicos. Así
surgieron los distintos Modelos Atómicos.
Los primeros científicos que estudiaron los átomos, pensaban que éstos eran las
unidades más pequeña de la materia. Siguieron las investigaciones y llegaron a
descubrir que ¡los átomos estaban formados por partículas más chicas todavía! Las
llamaron partículas subatómicas. Si viste en la televisión alguna vez el dibujito de
Jimmy Neutrón, bueno una de estas partículas subatómicas es el neutrón. Las otras
son los electrones y los protones. Los neutrones no tienen carga (por eso su nombre),
los protones tienen carga positiva y ambos se encuentran en el núcleo atómico. Los
electrones tienen carga negativa, su masa es despreciable porque son muy chiquitos,
y están girando en una nube alrededor del núcleo.
Existen diferentes tipos de átomos y cada uno de ellos está representado mediante un
símbolo, en la Tabla Periódica de los Elementos. Por ejemplo el Hidrógeno es el
átomo más simple que se encuentra en la naturaleza y su símbolo es H.
Distintos átomos se pueden unir mediante uniones químicas, para formar sustancias
En el siglo V a. C., Demócrito
bautizó a las partes indivisibles
de materia como “Átomos”
¿Qué pasaría si dividiéramos un trozo
de materia muchas veces?
¿Llegaríamos hasta una parte
indivisible o podríamos seguir
dividiéndolo sin parar?
71
Estas sustancias pueden ser Simples, cuando están formadas por átomos iguales
entre sí, es decir por un solo elemento. O pueden ser sustancias Compuestas cuando
están formadas por átomos diferentes, es decir por más de un elemento químico.
EL AGUA
El agua es una molécula inorgánica muy importante para todos los seres vivos y la
más abundante en la Tierra. La vida se originó en el agua, las células tienen entre 70 y
90% de agua. El agua es el solvente biológico y el medio donde ocurren todas las
reacciones químicas, por ejemplo:
Respiración Celular
O2 + Glucosa____________ CO2 + H2O + ATP
Fotosíntesis
CO2 + H2O _______________ Glucosa + O2
a) Estructura de la molécula de agua y b) unión de muchas moléculas entre sí:
Todos los seres vivos están formados al menos por un 50% de agua.
Algunos cactus del desierto contienen un 90% de agua
Sustancia Simple: El gas
hidrógeno (H2) está formado
por moléculas compuesta por
dos átomos de H
Sustancia Compuesta: El agua H2O,
es una molécula triatómica porque
está formada por tres átomos, uno de
oxígeno y dos de hidrógeno
72
Algunas especies de ballenas contienen un 75% de agua
El cuerpo humano posee aproximadamente un75% de agua.
Sin agua nuestros pulmones no podrían funcionar y en consecuencia no podríamos
respirar.
Sin agua no podríamos formar lágrimas y nuestros ojos estarían irritados siempre y no
podríamos sacar cuerpos extraños como cuando nos entran granitos de arena o una
pestaña.
Sin agua no podríamos formar saliva y por lo tanto no podríamos ingerir alimentos.
La encontramos en los tres estados de la materia: Sólido, Líquido y Gaseoso gracias
al Ciclo del Agua o Ciclo Hidrológico5 donde se da un transporte de agua desde la
superficie terrestre a la atmósfera y de ahí nuevamente hacia el continente:
Toda nuestra vida pero también a nivel celular y de ecosistemas dependen del agua.
Es importante tener acceso al agua en cantidad pero también en calidad. Muchas
zonas de nuestro país no cuentan con agua apta para el consumo por estar
contaminada por sustancias naturales, como es el caso del arsénico en algunas
zonas, o por la actividad del Hombre. La agricultura que utiliza agroquímicos en
grandes cantidades, las industrias que tiran sus residuos líquidos a los río y arroyos
5 http://www.jmarcano.com/nociones/ciclo1.html. Consultado 24/07/14; 22.00 hs
73
sin tratamiento previo, la basura que arrojan las personas a los río o lagos, los
derrames de petróleo en el mar, entre muchas otras, impactan el recurso agua. Este
recurso es renovable por el ciclo del agua pero si continuamos contaminando y
derrochándola, podría pasar a ser no renovable en un futuro.
CARACTERÍSTICAS DE LOS SERES VIVOS
Todos los seres vivos comparten una historia evolutiva que les otorga características
propias y en consecuencia se los puede diferenciar de los seres que no están vivos.
¿Cuáles son esas propiedades?
1. Niveles de Organización: presentan una organización jerárquica de niveles de
complejidad.
http://seforabelen.blogspot.com.ar/2013/05/niveles-de-organizacion-biologica.html
2. Homeostasis: Es la capacidad de un sistema de mantener constante su medio
interno cuando las condiciones del ambiente cambian. Por ejemplo: en el
verano cuando la temperatura ambiente es muy alta, transpiramos para evitar
74
que nuestra temperatura interna aumente (la temperatura interna de nuestro
cuerpo es de aproximadamente 36º) en cambio los perros jadean y buscan
lugares frescos.
3. Reproducción: los seres vivos son capaces de dejar descendencia y así
transmitir información genética.
4. Sistemas termodinámico obligatoriamente abierto: Esto significa que los seres
vivos intercambian materia y energía con el medio:
ECOLOGÍA6
La ecología es una rama de la Biología, relativamente nueva, y también es una
ciencia. Estudia las interacciones que ocurren entre los distintos seres vivos entre sí y
entre ellos y el ambiente en el cual se encuentran.
Pero también la ecología estudia la forma en que estas interacciones afectan el tipo y
el número de individuos presentes en un lugar en un tiempo determinado. Son
ejemplos de interacciones: competencia, depredación, parasitismo, comensalismo y
mutualismo.
Una población es un grupo de individuos de una misma especie que se reproducen
entre sí y que comparten un ambiente en un determinado tiempo. El tamaño de la
población puede variar a lo largo del tiempo y puede generar efectos positivos o
negativos sobre otras poblaciones.
La capacidad de carga (K) es el número total de individuos de una población que el
ambiente puede sustentar en ciertas condiciones particulares. Y dependerá de la
cantidad de recursos. Por ejemplo, el principal recurso es el alimento pero también la
6 Curtis,H; Barnes, N. Sue; Schnek, A; Massarini, A. (2008). Cap.47: Estructura y Dinámica de las
poblaciones” en Biología. 7º edición. Ed. Panamericana. Buenos Aires.
75
disponibilidad de refugios. Para las plantas los recursos más importantes son la luz,
disponibilidad de agua y nutrientes. Estos recursos pueden variar estacionalmente
(épocas de lluvia y épocas de sequías, incendios naturales, etc).
En el modelo logístico de aumento de la población, el número de individuos tiende a
estabilizarse y oscila alrededor de la capacidad de carga.
La migración es el movimiento de un gran número de individuos de una misma especie
de un lugar a otro y afecta al tamaño de la población.
La competencia que ocurre cuando distintos organismos utilizan el mismo recurso
(comida, refugio, etc) puede reducir el éxito reproductivo de los individuos y uno de
estos competidores puede por ejemplo obtener más recursos que el otro, pero a largo
plazo el perjuicio es para ambos. La población competitivamente más débil puede
llegar a extinguirse.
Para muchas poblaciones, la depredación es la principal causa de muerte, pero no
siempre reduce el tamaño poblacional por debajo de la capacidad de carga del
ambiente. Puede ser más intensa en ciertos grupos etarios (por ejemplo las crías en
general son más vulnerables a la depredación) o en ciertas etapas de la vida. La
depredación puede alterar la estructura poblacional y promover ajustes en las
estrategias reproductivas. En algunos casos afecta diferencialmente a organismos
físicamente disminuidos.
Crecimiento Logístico
www.fisicanet.com.ar/biologia/ecologia/ap01_poblaciones.php (consultado: 14/09/14, 21:30 hs)
76
Es uno de los modelos de crecimiento más simple que se puede observar en
poblaciones naturales.
Inicia como un crecimiento exponencial, crece lentamente cuando el número de
individuos (N) es pequeño y luego rápidamente a medida que crece N. Sin embargo, a
diferencia del crecimiento exponencial, el crecimiento logístico se hace gradualmente
más lento a medida que la población se aproxima a la capacidad de carga. Cuando las
poblaciones naturales llegan a este punto, el número de individuos que conforman esa
población se estabiliza cerca de la capacidad de carga. El gráfico entonces se
presenta como una curva sigmoidea o en forma de S
Analizando la curva de arriba:
1 Fase Inicial: se establece la población en un ambiente y crece lentamente. El
número de individuos es bajo.
2 Fase de crecimiento rápido
3 y 4 Fases de crecimiento más lento porque se acerca a la capacidad de carga y los
recursos disminuyen, se vuelven más escasos.
5 Fase de estabilización del crecimiento poblacional y puede haber fluctuaciones
alrededor de la capacidad de carga.
Estudiar la dinámica y estructura de las poblaciones tiene aplicaciones prácticas
importantes para el control de plagas. Por ejemplo, si se quiere controlar una
población de roedores y para ello se elimina a la mitad de los individuos que
conforman esa población, se estará llevando a la nueva población a la Fase 2, es decir
a la fase de crecimiento rápido. Una mejor estrategia sería bajar la capacidad de carga
para así disminuir el número de individuos. Esto se logra por ejemplo disminuyendo la
basura, los basurales, etc. (recurso: alimentos)
Retroalimentación y regulación en poblaciones
La retroalimentación es una fuerza que moldea el comportamiento de todos los seres
vivos, desde el nivel celular a los sistemas sociales y ecosistemas.
Tiene un efecto de cambio sobre una parte del sistema después de haber pasado por
otras zonas del sistema:
77
A y B son diferentes partes o zonas de un sistema.
Retroalimentación
Un ejemplo de retroalimentación positiva, ocurre cuando hay un exceso de alimentos,
espacios para refugio u otros recursos, que permite que una población crezca
rápidamente casi sin límites. Este tipo de retroalimentación es la responsable de la
aparición de problemas ambientales y de cambios rápidos.
Un ejemplo de retroalimentación negativa conocido por todos, es lo que ocurre con
nuestro cuerpo cuando aumenta nuestra temperatura corporal, por ejemplo por una
infección (estado gripal):
Si la temperatura corporal es mayor a 37 ºC: se incrementa la pérdida de calor.
Si la temperatura corporal es menor a 37 ºC: se incrementa la generación de calor.
A B
Negativa (genera estabilidad)
Positiva (genera cambios)
Temperatura corporal Comparación con 37 ºC
Respuesta corporal para disminuir
la diferencia
Diferencia entre la temperatura
corporal y 37 ºC
78
PRINCIPALES TEORÍAS EN BIOLOGÍA
En el Siglo XIX, se formularon tres Teorías muy importantes para la Biología:
Teoría celular
Teoría de la evolución
Teoría mendeliana de la herencia
Estos científicos, que investigaron hasta formular sus teorías, tuvieron que explicar los
hechos que ellos observaban utilizando las herramientas de toda investigación
científica:
Herramientas de la investigación científica:
¿Qué es una Hipótesis? Es la respuesta a una pregunta que se hace el investigador
ante por ejemplo una observación.
Esquema que muestra las etapas del Método Científico como se lo conoce hoy y como
fuera aplicado por Gregorio Mendel en sus experimentos:
Observación Medidas directas de
fenómenos naturales
Experimento controlado
Conocimiento disponible
Problema Hipótesis
Predicciones Experimentación
Nuevos conocimientos
disponibles
Nuevos problemas
79
¿Cómo llegaron a formular sus teorías?
Pregunta que surge ante una cuestión
Formulación de una Hipótesis
Comprobación de la Hipótesis
Observación Experimentación
Recolección e interpretación de datos
Datos no confirman la Hipótesis
Datos confirman la Hipótesis
Formulación de una Teoría
GENÉTICA
Todos los seres vivos tienen características que se pueden transmitir de padres a
hijos. La genética es la ciencia que estudia los componentes hereditarios que
producen variabilidad entre los seres vivos, esto es, la herencia.
Como sabes, tanto las plantas como los animales están formados por células. En el
núcleo de todas las células se encuentran los cromosomas, que son los encargados
de transmitir los caracteres.
Un gen es un fragmento de ADN que lleva la información para un carácter hereditario.
El conjunto de genes que determina todos los caracteres hereditarios de una especie
recibe el nombre de genoma.
80
¿Qué son los cromosomas?
Son cadenas de ADN superenrolladas, compuestas por moléculas unidas como las
cuentas de un collar. Cada cierto número de cuentas constituye un gen, es decir, un
determinado trozo de ADN. Los genes portan la información que permitirá crear un
nuevo organismo y la transmiten mediante un código químico. Existen genes para el
tamaño, el color, la forma, etc. Cada cromosoma contiene numerosos genes.
¿Todos los genes se manifiestan?
El ambiente puede influir en la manifestación de los genes, de manera que un mismo
carácter genético puede presentarse de diversas formas.
La altura es un factor genético sobre el que ejerce una gran influencia el ambiente
externo al individuo, ya que, dependiendo de la alimentación, el sol, las vitaminas, etc.,
este será más o menos alto.
http://www.iessuel.org/ccnn I.E.S.Suel-Fuengirola – Departamento de Ciencias Naturales
Cromosoma que
proviene del
padre
Cromosoma que
proviene de la
madre
Par de
cromosomas
Homólogos
81
Los alelos son formas alternativas del mismo gen que ocupan una posición idéntica en
los cromosomas homólogos y controlan los mismos caracteres (pero no
necesariamente llevan la misma información)
El alelo dominante se representa con letra mayúscula. La misma letra, pero en
minúscula, se emplea para el alelo recesivo.
Cuando el alelo de un gen (por ejemplo A) domina sobre otro alelo del mismo gen (por
ejemplo a) se expresa así:
Se pone el signo matemático “mayor que”, que aquí significa “domina sobre”
A: alelo dominante; se pone en mayúscula
a: alelo recesivo; se escribe en minúscula
En estos casos se habla de Dominancia
A > a
82
BIBLIOGRAFÍA
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Curtis, H.; Barnes, N., Schnek, A y Massarini, A. (2008). Biología. Séptima
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http://www.scribd.com/doc/5020146/Movimiento-Parabolico
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el 12/07/2014
http://bogam12.wordpress.com/
http://mipropiadecadencia.blogspot.com.ar/2011/04/la-mutacion-de-la-polilla-
explica-el.html
I.E.S. Suel – Fuengirola – Departamento de Ciencias Naturales
www.iessuel.org/ccnn
83
ANEXO
PROBLEMAS PARA QUIENES QUIEREN PRACTICAR
84
NÚMEROS RACIONALES
1- Un robot sale del 0 y con 8 pasos, todos iguales, llega al 1 y se detiene.
¿cuáles son todos los números que pisa?
a. Otro robot también sale del 0 y tras 5 pasos iguales llega al 2 y se detiene
¿Cuales son todos los números que pisa?
b. Un robot parte de 0 y todos los pasos que da miden 4/5 ¿Pisa el 4? ¿y el 5?
2- Rodea la fracción menor
3- Rodea la fracción mayor
4- Encontrar 5 fracciones entre ¿Es posible encontrar más de 5?
5- Se colocan uno sobre otro 12 libros, todos iguales, y se obtiene una pila de
43/5 cm. ¿cuál es el espesor de cada libro?
6- Si bien la cantidad de estrellas en una galaxia varia, puede decirse que en
promedio están formadas por estrellas. Si se considera que en todo el
universo existen galaxias. ¿Cuántas estrellas habría en total?
7- Indica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos .Justifica en el
caso de los falsos.
a. La expresión decimal de es 4,5…………………………….
b. La expresión 1,3 corresponde a ……………………………..
c. ¼ es equivalente al 25 por ciento …………………..
d. La fracción tiene por expresión decimal a 3,70………........
e. Las fracciones son equivalentes……………………….
f. La fracción supera a uno……………………………………
g. 0.7 es mayor que 0, ………………………………………….
h. El opuesto de 8 es -8………………………………………….
i. es un entero positivo……………………………….
j. ……………………………………….
k. ……………………………………
l. El cuadrado de 0,1 es mayor que 0,1…………………………
m. ………………………………………………
n. Toda fracción es positiva…………………………………
85
o. ……………………………………………….
8- Indica qué número sigue en cada una de las secuencias numéricas.
7, 10, 13, 16, ___, ___
15, 19, 23, 27, ___, ___
4, 8, 16, 32, ___, ___
49, 64, 81, 100, 121, 144,___,___
4, 12, 36, 108,___, ___
9- Un señor gana $22320 por mes y los distribuye así: 1/5 para alimentación, 2/9
para alquiler, 1/8 para ropa y 3/10 para gastos varios. Si ahorra lo restante.
¿Cuánto ahorra en 1 año?
10- Andando en bicicleta un hombre recorre 2,7 km en diez minutos. ¿cuánto
recorrería, aproximadamente en media hora? (se supone marcha constante)
11- En una fábrica de papel se producen entre otras cosas planchas de cartón.
Varias de ellas están amontonadas: una de ellas de 0,25 cm de espesor, tres
de 0,12 cm , cinco de 0,65 cm y dos de 0,85 cm. ¿Qué altura tiene el montón?
12- Después de gastar los 2/7 de mis ahorros, compré con los3/5 que me restaba
un libro. Si aún tengo $30,20. ¿Cuánto dinero tenía?
13- Completa la tabla, que relaciona la cantidad de dulce que se obtiene según la
cantidad de fruta
Cantidad de
peras(en kg)
1/2 1 2 3 5 9
Cantidad de
dulce(en kg)
1/2 3/2
Ejercicios para estudiar de Estadística
1) En un negocio de ventas de frutas del país, se examinó de un lote de 500 cajas de
manzanas, se eligieron 25 cajas por sorteo. Cada una teniendo un contenido de 48
manzanas.
El número de manzanas en mal estado en cada caja fue:
3 –4 –1 –2 –1 – 2 – 5 – 2 – 1 – 2 – 3 – 0 – 1
0 – 3 – 3 – 2 – 0 – 2 – 1 – 3 – 4 – 1 – 2 – 2.
a) Ubica los datos que faltan en la tabla y luego, a partir de ella, completa los datos en
el gráfico sabiendo que cada manzana representa una manzana en mal estado.
86
b) ¿Cuántas cajas contienen menos de 3 manzanas en mal estado?
c) ¿Qué porcentaje de cajas contienen al menos 3 manzanas en mal estado?
d) ¿Cuántas cajas contienen de 2 a 4 manzanas en mal estado?
e) ¿Qué porcentaje de cajas contienen a lo más 2 manzanas en mal estado?
2) Realiza el gráfico que creas más convenientes para representar los siguientes
datos: (no utilizar el mismo tipo de gráfico para cada tabla)
Número de
manzanas en
mal estado
Cajas con esa
cantidad de
manzanas en
mal estado
0
1
2 8
3
4
5
87
3) Los empleados de una empresa electrónica moderna tienen un sistema de horario
flexible. Pueden comenzar su jornada de trabajo a las 7:00, 7:30, 8:00, 8:30 o 9:00.
Los datos siguientes representan una muestra de las horas de entrada que
seleccionaron.
a) Resumir los datos formando una distribución de frecuencias y graficarlos en barras
y circular.
b) ¿Que le dicen los resúmenes respecto a las preferencias horarias?
Horas de entrada
7:00 8:30 9:00 8:00 7:30 7:30 8:30 8:30 7:30 7:00 8:30 8:30 8:00 8:00 7:30
8:30 7:00 9:00 8:30 8:00
4) Registra las notas de matemática del primer trimestre de tus compañeros, realiza
una tabla de frecuencias y represéntalas en un gráfico.
5) Los datos siguientes corresponden a los tiempos de reacción de una muestra de 33
sujetos, medidos en centésimas de segundo:
55, 51, 60, 56, 64, 56, 63, 63, 61, 57, 62, 50, 49, 70, 72, 54, 48, 53, 58, 66, 68, 45, 74,
a) 65, 58, 61, 62, 59, 64, 57, 63, 52, 67.
Contesta: ¿Qué valor se repite más?
b) ¿Cuál es el promedio de reacción?
Estadísticas Generales:
Campeones
Campeón Mundiales
Brasil 5 -
Italia 4 -
Alemania 3 -
Argentina 2 -
Uruguay 2 -
España 1 -
Francia 1 -
Inglaterra 1 -
Todas las selecciones...
Goleadores
Jugador Goles
Ronaldo 15
Miroslav Klose 14
Gerd Mueller 14
Just Fontaine 13
Pelé 12
Juergen
Klinsmann 11
Sandor Kocsis 11
Gabriel Batistuta 10
Más máximos goleadores...
Tabla Histórica
Selección PTS Partidos
Brasil 216 97
Alemania 199 99
Italia 153 80
Argentina 124 70
Inglaterra 97 59
España 96 56
Francia 86 54
Holanda 76 43
Tabla histórica completa...
88
6) Completar la siguiente tabla sabiendo que el peso de los recién nacidos en 5
Hospitales de una localidad, registrados durante un mes
7) Completar la siguiente tabla de frecuencias que corresponde al problema
anterior
PROBLEMAS CON ECUACIONES PARA QUIENES LOS DESEEN
1. En una asamblea el número de votantes fue 58.el presidente fue elegido con
una mayoría de 20 votos y hubo 12 votos en blanco. ¿Cuántos votos en contra
hubo?
2. La edad del padre es 41 y la de su hijo 9. ¿ Al cabo de cuantos años la edad
del padre es el triple que la del hijo?
3. Una persona juega con otra 20 partidos estableciendo que la primera debe
pagar $50 por cada una que pierda y recibir $ 75 por cada partido que gane.
¿Cuántos partidos gano y perdió si al finalizar el juego no recibió ni debe
nada?
Peso( gramos) De 2650 a
2950
2950 a 3250 3250 a 3550 3550 a 4150 4150 a 4450
Cantidad de
recién nacidos
80 200 300 450 500
Porcentaje de
la población
Peso(gramos) De 2650 a
2950
De 2950 a
3250
De 3250 a
3550
De 3550 a
4150
De 4150 a
4450
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
89
4. En una bolsa hay $3,50 en monedas de 5 y 25 centavos sabiendo que hay 50
monedas en total ¿Cuántas de cada clase hay?
5. Si en una escuela se colocan 35 alumnos por aula, quedan 28 sin asientos.
Pero si se colocan 30 por aula quedan solo 2 asientos disponibles. ¿Cuántos
alumnos y aulas hay en la escuela?
6. Dos aviones parten del mismo lugar y en el mismo momento en direcciones
diferentes. Uno avanza a 8 km/h de velocidad mayor que el otro. Al cabo de 5
horas a 680 km el uno del otro ¿Cuál es la velocidad de cada uno?
7. En una bicicletería hay bicis y triciclos. El número total de rodados es 50 y el de
ruedas 120 ¿Cuántos triciclos y bicicletas hay?
PROBLEMAS CON FUNCIONES
1- Para preparar un informe sobre las temperaturas de un día de invierno en una
Ciudad del Sur se confecciono la siguiente tabla:
Hora 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Temperatura (º C) -6 -8 -9 -7 -4 0 3 5 3 0 -3 -5 -7
Se realizó el gráfico de la temperatura en función de la hora:
a) ¿A qué hora la temperatura fue 3ºC?
b) ¿A qué hora aproximadamente la temperatura fue de -3ºC?
90
c) ¿Entre qué horas la temperatura fue sobre cero?
d) ¿Entre qué horas la temperatura fue bajo cero?
e) ¿Cuánto subió la temperatura entre las 8 y las 14 horas?
f) ¿Cuánto tardo en subir de -4ºC hasta 5ºC?
g) ¿Entre qué horas la temperatura creció?
h) ¿Entre qué horas la temperatura decreció?
i) ¿A qué hora la temperatura fue máxima? ¿Cuál fue la temperatura máxima?
j) ¿A qué hora la temperatura fue mínima? ¿Cuál fue la temperatura mínima?
2- ¡Cuidado con los medicamentos!
En las instrucciones de un medicamento, que hay que administrar a un diabético, se
establece que la dosis del mismo, expresada en mg, está en función del peso del
paciente según la gráfica:
a) ¿Cuál es el dominio de la función?
b) ¿Qué dosis hay que administrar a una persona de 75kg?
c) Se puede administrar a bebés?¿Y a personas obesas?
d) ¿Cuál es la dosis máxima que se puede administrar? ¿para que peso?
e) ¿Qué peso tenía una persona a la que se le suministraron 30mg del
medicamento?
f) ¿Para qué pesos la dosis va en aumento?
3- Vamos de Benalmádena a unas clases en Alhaurín de la Torre. La distancia
aproximada es de unos 10 Km. La clase comienza a las 8:15 y salimos de casa
a las 7:30.
Las siguientes gráficas muestran cómo las cosas son bastante distintas para Antonio,
Bernabé, Carlos y Delicia.
91
Antonio: Salgo con calma. En el camino comienzo a pedalear más fuerte.
Bernabé: Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvidé las zapatillas y tuve
que volver.
Carlos: Fui en moto, pero por el camino me quedé sin gasolina. Así que pie al suelo y
andando.
a.) ¿A quién corresponde cada gráfica?
b.) ¿Qué diría Delicia?
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nes/teoriainterpretaciondegraficas/teoriainterpretaciondegraficas.htm