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1. Introducción. 2. Tablas y gráficas bivariadas.3. Variables cuantitativas.
3.1. Covarianza.3.2. Coeficiente de correlación de
Pearson.ventajas y desventajas 3.3. Matriz de varianzas/covarianzas
y matriz de correlaciones.4. Variables semicuantitativas: Coeficiente de Spearman.ventajas y desventajas.
.1 Introducción
Hasta ahora nos hemos centrado en medidas de tendencia central, variabilidad, asimetría y curtosis de una única variable.
No obstante, en la práctica es común examinar dos o más variables conjuntamente (v.g., relación entre inteligencia y rendimiento, etc.)
En este tema nos centraremos en la relación entre 2 variables (a partir de n observaciones apareadas) y calcularemos (en particular) un índice que nos dará el grado de relación/asociación entre ambas variables: el coeficiente de correlación lineal (de Pearson)
.2 Representación gráfica de una relación
inteligencia
rend
imie
nto
rend
imie
nto
rend
imie
nto
inteligenciainteligencia
Relación lineal positiva Relación lineal negativaSin relación
Representación gráfica de una relación
rend
imie
nto
rend
imie
nto
inteligenciainteligencia
Relación lineal Relación no lineal
El coeficiente de correlación de Pearson mide relación LINEAL.
Representación gráfica de una relación (3)
inteligencia
rend
imie
nto
rend
imie
nto
rend
imie
nto
inteligenciainteligencia
Relación lineal perfecta (casi perfecta) Relación lineal débilRelación lineal
fuerte/moderada
Ahora necesitamos un índice que nos informe tanto del grado en que X e Y están relacionadas, y si la relación es positiva o negativa
5.3 Covarianza e índice de correlación de Pearsonre
ndim
ient
o
inteligencia
Observad que cuando la relación lineal es positiva, cuando las puntuaciones diferenciales de X son positivas, las puntuaciones diferenciales de Y suelen ser positivas.
inteligencia
rend
imie
nto
Observad que cuando la relación lineal es negativa, cuando las puntuaciones diferenciales de X son positivas, las puntuaciones diferenciales de Y suelen ser negativas.
Caso 1
Caso 2
Covarianza
La covarianza aprovecha esta característica señalada en la transparencia anterior (al emplear el producto de las puntuaciones diferencias de X e Y). He aquí la fórmula:
1
n
i ii
xy
X X Y Ys
n
En el caso 1, la covarianza será un valor positivo, y en el caso 2, la covarianza será un valor negativo. Por tanto la covarianza nos da una idea de si la relación entre X e Y es positiva o negativa.
Problema: la covarianza no en un índice acotado (v.g., cómo interpretar una covarianza de 6 en términos del grado de asociación), y no tiene en cuenta la variabilidad de las variables. Por eso se emplea el siguiente índice....
Coeficiente de correlación (lineal) de Pearson
El coeficiente de correlación de Pearson parte de la covarianza:
1
n
i ii
xyx y
X X Y Yr
n s s
xyxy
x y
sr
s s
Coeficiente de correlación (lineal) de Pearson
Propiedad 1. El índice de correlación de Pearson no puede valer menos de -1 ni más de +1.
Un índice de correlación de Pearson de -1 indica una relación lineal negativa perfecta
Un índice de correlación de Pearson de +1 indica una relación lineal positiva perfecta.
Un índice de correlación de Pearson de 0 indica ausencia de relación lineal. (Observad que un valor cercano a 0 del índice no implica que no haya algún tipo de relación no lineal: el índice de Pearson mide relación lineal.)
Coeficiente de correlación (lineal) de Pearson
Propiedad 2. El índice de correlación de Pearson (en valor absoluto) no varía cuando se transforman linealmente las variables.
Por ejemplo, la correlación de Pearson entre la temperatura (en grados celsius) y el nivel de depresión es la misma que la correlación entre la temperatura (medida en grados Fahrenheit) y el nivel de depresión.
Evidentemente, el índice de correlación de Pearson es el mismo entre las puntaciones directas de X e Y, o entre las puntuaciones diferenciales de X e Y, o entre las puntuaciones típicas de X e Y. (Recordad que las puntuaciones diferenciales y las puntuaciones típicas son transformaciones lineales de las puntuaciones directas.)
Coeficiente de correlación (lineal) de Pearson
Interpretación
Hemos de tener en cuenta qué es lo que estamos midiendo para poder interpretar cuán grande es la relación entre las variables bajo estudio. En muchos casos, depende del área bajo estudio.
rend
imie
nto
inteligencia
En todo caso, es muy importante efectuar el diagrama de dispersión. Por ejemplo, en el caso de la izquierda, es claro que no hay relación entre inteligencia y rendimiento. Sin embargo, si calculamos el índice de correlación de Pearson nos dará un valor muy elevado, causado por la puntuación atípica en la esquina superior derecha.
Coeficiente de correlación (lineal) de Pearson desventajas y ventajas
Es importante indicar que “CORRELACIÓN NO IMPLICA CAUSACIÓN”. El que dos variables estén altamente correlaciones no implica que X causa Y ni que Y causa X.
(Esa es una de las razones empleadas por las tabaqueras en el tema de la correlación entre cáncer de pulmón y el hecho de fumar.)
Coeficiente de correlación (lineal) de Pearson ventajas
Es importante indicar que el coeficiente de correlación de Pearson puede verse afectado por la influencia de terceras variables.
Por ejemplo, si fuéramos a un colegio y medimos la estatura y pasamos una prueba de habilidad verbal, saldrá que los más altos también tienen más habilidad verbal...claro, que eso puede ser debido simplemente a que en el colegio los niños más altos serán mayores en edad que los más bajos.
Habi
lidad
num
éric
a
Estatura
6 años8 a
10 a
12 a
14 a
Si se parcializa esta “tercera” variable (mediante “correlación parcial”, que ya veremos más adelante), difícilmente habrá una relación de importancia entre estatura y habilidad numérica.
Hay muchos casos en que es la tercera variable la causante de una alta relación entre X e Y (y ello muchas veces es difícil de identificar)
Coeficiente de correlación (lineal) de Pearson
Por otra parte, el valor del coeficiente de Pearson depende en parte de la variabilidad del grupo.
Rend
imie
nto
inteligencia
CI bajo CI alto
Si efectuamos el coeficiente de Pearson entre inteligencia y rendimiento con todos los sujetos, el valor del coeficiente de Pearson será bastante elevado.
Sin embargo, si empleamos únicamente los individuos con CI bajo (o CI alto) y calculamos la correlación con Rendimiendo, el valor del coeficiente de Pearson será claramente menor.
Un grupo heterogéneo daría pues un mayor grado de relación entre variables que un grupo homogéneo.
Coeficiente de correlación de Spearman
Lo que tenemos ahora son 2 sucesiones de valores ordinales.
El coeficiente de Spearman es un caso especial del coeficiente de correlación de Pearson aplicada a dos series de los n primeros números naturales (cuando no hay empates; si hay –muchos- empates hay otra fórmula
2
12
61
1
n
ii
s
dr
n n
id es la diferencia entre el valor ordinal en X y el valor ordinal en Y del sujeto i
PROCEDIMIENTO:Los datos brutos usados en este ejemplo se ven debajo. El primer paso es ordenar los datos de la primera
columna. Se agregan dos columnas 'orden(i)' y 'orden(t)'
Para el orden i, se corresponderán con el número de fila del cuadro, para 99, orden(i) =3 ya que ocupa el 3.er lugar, ordenado de menor a mayor
para el orden t, se debe hacer lo mismo pero ordenando por 'Horas de TV a la semana', para no hacer otro cuadro, la secuencia ordenada quedaría
T = { 0, 7, 7, 12, 17, 20, 28, 28, 28, 50 }
para este caso, el orden sería para cada elemento, respectivamente:
orden(t) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
sin embargo, el valor de orden está dado por el valor promedio de sus posiciones, así para:
7 aparece 2 veces, sumando sus posiciones = ( 2 + 3 ) / 2 = 2.5
28 aparece 3 veces, sumando sus posiciones = ( 7 + 8 + 9 ) / 3 = 8
50 aparece 1 vez, sumando sus posiciones = 10 / 1 = 10Después de realizar todo esto con los datos del ejemplo, se debería acabar con algo como lo siguiente: Nótese como el número
de orden de los valores que son idénticos es la media de los números de orden que les corresponderían si no lo fueran.Los valores de la columna d2 pueden ser sumados para averiguar . El valor de n es 10. Así que esos valores pueden ser sustituidos en la fórmula.
De lo que resulta
Coeficiente de correlación de Sperman (ventajas y desventajas )
Primera. Se encuentra acotado, como el coeficiente de Pearson entre -1 y +1.
Un coeficiente de Spearman de +1 quiere decir que el que es primero en X es primero en Y, el que es segundo en X es segundo en I, etc
Un coeficiente de Sperman de -1 quiere decir que el que es primero en X es último en Y, el segundo en X es el penúltimo en Y, etc.
Segunda. Su cálculo es muy sencillo (más que el del coeficiente de correlación de Pearson). No obstante, con los ordenadores y un programa estadístico, esto es irrelevante estos días...
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