IMA Matemática IIIEncontrarás aquí ejercitación para revisar tus saberes. No pretende ser ésto un modelo

de integrador, nada más es un recorrido por tus conocimientos. Verás tú que debes reforzar.

1- a) Dadas las siguientes expresiones algebraicas indica cual/cuáles corresponden a

expresiones racionales. Justifica en cada caso.

a1) (2 x−1 )⋅( 4−x2 )−1 a2)x2+1

2 a3 )√2−x a4 )32

x4−4 x5

a5) x−1+2 x−1

b) De la/las expresiones que no son racionales en el ítem anterior, ¿puedes distinguir a las polinómicas? ¿Cómo?

c) Escribe la/las expresiones polinómicas del ítem 1 a), e indica: su grado, su coeficiente principal y su término independiente. ¿Cómo lo sabes? Explica.

d) Escribe la/las expresiones racionales e indica para que valores de la variable están definidas (existen). ¿Cómo lo sabes? Explica.

2-a) Dada la siguiente función F(x) =

x+2x−1 ¿Cuál dirías es su dominio?

a1)(−∞;−2)¿ (−2;+∞ ) a2) R−{−2 } a3 )R−{−1 } a4 )R−{1 }a5)(−∞;1)¿ (1;+∞ ) a6 )Otro (escríbelo)

b) ¿En qué te basas para decidirlo? Explica.

c) ¿Cuál dirías es su ordenada al origen?

c1 )( 0;0 ) c2 ) (−2;0 ) c3 ) (0 ;2 ) c4 )(0 ;−2 ) c5 ) Otro (escríbelo)

d) ¿Cuál/les dirías es/son su/sus raíz/ces? Explica

d1 ) (1 ;0 ) d2 ) (−2;0 ) d3 ) (0 ;−2 ) d 4 )(2 ;0 ) d5 ) Otra/s (escríbela/s)

e) ¿Cuál dirías que es su gráfica? ¿Qué elementos has tenido en cuenta? Explica.

e1) e2)

e3) e4)

IMA Matemática IIIf) Indica cuál es el conjunto de positividad y negatividad para la gráfica que hayas elegido en el ítem e).

3-a) ¿Por qué te parece que es importante factorizar un polinomio?

b) Factoriza los polinomios P(x) = x2+6x+9 y Q(x) = x2-9.

c) Halla la expresión de R(x) =

P( x )Q( x ) ¿Qué nombre recibe esta expresión?

d) La expresión anterior existe( marca la opción y explica como lo decides):

d1 )∀ x∈R d2 )∀ x / x≠−3

d3 )∀ x / x≠3

d 4 )Otras restricciones

e) ¿Qué significa “hallar una expresión equivalente a la dada”?

f) Esta expresión, R(x), ¿tiene expresión equivalente? SI-NO (marca lo que corresponde)

Si contestas que NO, pasas al ítem 4; si contestas SI, al apartado g)

g) Escribe la expresión equivalente a R(x).

h) Los problemas de la expresión R(x)¿ son los mismos que los de su expresión equivalente? ¿Cómo lo sabes?

4-a) ¿Cómo te das cuenta que estás frente a una ecuación? ¿Qué significa resolverla? ¿Siempre habrá solución para la ecuación?

b) ¿Cómo lo haces en cada caso? Explicita en cada caso cuál es la variable o incógnita

b1)1

x+1−3=0

b2)

59(F−32 )=−40

b3)5k+6=25 b4 ) t4+5 t3+6 t2−4 t−8=0

b5) sen(4 t )=0 . 86

b6 ) log( x−3)=−1

5- a) Responde

a1)¿Es cierto que las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo son números naturales?

a2)¿Es cierto que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es dos rectos?

a3)¿Es cierto que en todo triángulo la longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia?

b) Indica y justifica el caso en que es posible tal construcción:

b1)15cm, 12cm, 27cm b2)2m, 6m, 3m b3)10cm, 6cm,8cm b4)3dm,3dm,6dm

c) Haz una figura de análisis con el triángulo posible del apartado b) y averigua sus ángulos interiores.

d) Clasifica el triángulo según sus lados y según sus ángulos.

6- Ciertas bacterias duplican su masa diariamente siguiendo alguno de estos modelos matemáticos, ¿Cuál? ¿Por qué lo dices?

M(t) = 2t+Mo M(t) = M0¿2t M(t)= 2t+Mo M(t) = Mo(1/2)t

donde M es la masa de las bacterias en un instante determinado, M0 es la cantidad inicial de masa y t es el tiempo medido en días.

a) En esta expresión elegida , distingue las variables de los parámetros y explica como lo pensaste.

b) Siguiendo el modelo elegido, supón una masa inicial de 300g, ¿qué cantidad de masa tendrás después de que haya transcurrido el tiempo? Completa una tabla como la de que te indico colocando las variables en el lugar que les corresponda según el tipo y las convenciones.

c) Realiza una gráfica aproximada respetando igualmente las convenciones.

d) Observa la curva y responde:

d1)¿Corta al eje de abscisas? ¿Qué significa esto en el contexto del problema?

(Escríbelas)

IMA Matemática IIId2) ¿Corta al eje de ordenadas? ¿Qué significa esto en el contexto del problema?

d3) ¿Es creciente o decreciente?

7- Plantea y resuelve

a) La recaudación total por venta de entradas para una fiesta privada un sábado a la noche de una confitería bailable fue de 1500$, siendo el importe de las entradas de 10$ para lo varones y de 5$ para las mujeres. Si el total de entradas vendidas es 198 ¿Cuántos varones y cuantas mujeres asistieron?

b) Un viajero que partiendo de Córdoba se dirige a Buenos Aires comprueba al llegar a Rosario que según su mapa carretero ha recorrido 5/9 partes de su viaje. Si aún le quedan 320km para arribar a su destino, ¿Cuál es la distancia entre Córdoba y Buenos Aires por este recorrido?

8- Analiza y responde:91- a) ¿Quién crece más rápido? ¿Por qué?b) ¿Qué significa el punto de intersección de estas gráficas?c) ¿Cuáles son las ecuaciones de las que las definen? Corresponden a funciones? ¿Por qué?d) ¿Tienen el mismo dominio? Y ¿Qué hay de las imágenes?

9- ¿En que se parecen? ¿En que difieren? Arma una tabla y expresa tus respuestas teniendo en cuenta dominio, imagen, ceros, tendencias, parámetros, positividad y negatividad, ordenada al origen.Qué significan los puntos marcados?

10- Están discutiendo cuatro de tus compañeros la posibilidad de un viaje en enero y la necesidad de alquilar un departamento en Monte Hermoso por diez días con opción a quedarse por lo menos tres días más. Todos quieren pasarla bien, ir a bailar a la noche, comer rico y fácil y acudir a la playa el mayor tiempo posible. Les interesa entonces que el departamento esté cerca de la playa y del centro. Están entre tres ofertas y les cuesta decidirse. ¿Les ayudás? ¿Qué les vas a decir a los chicos?

a) Departamento 1: Les cobran un seguro de 250$ y 340$ por día.

b) Departamento 2: Les cobran un seguro de 550$ y 310 por día.

c) Departamento 3: Les cobran 365 por día

11- A tus compañeros del 6t0 A del año pasado les han tomado un examen que incluye estas parcelas rectangulares iguales para realizar un sembrado que ocupa la mitad de la superficie. Lo que está más oscuro es lo sembrado. A ti te toca hacer la siguiente distribución de siembra: 25% de maíz y 50% trigo. El resto será alfalfa. ¿Cómo te quedaría en cada caso? Marcalo en los esquemas . Con esa distribución ¿Qué parte de la parcela ocupa cada sembrado?

12- a) Las agujas de un reloj marcan las 10hs: 46’. ¿Qué ángulo cóncavo forman las agujas entre sí en esta posición? Volverán a estar los extremos de las agujas a esta distancia? Si es así ¿Cuándo?

b) b1- ¿Que significa resolver una ecuación? Responde , da un ejemplo y resuélvelo.

b2- ¿Siempre podrás encontrar soluciones reales a una ecuación? Explica y da un ejemplo

AB

y

x

y

x

IMA Matemática IIIb3) Une con flechas, si es posible, indicando el intervalo en el que está definida la función si:

f ( x )= 4−xx

(−∞ ,+∞ )

g ( x )=log3 (2 x−1 ) R>-1/2

h ( x )=41− x [ 0 ;+∞ ]

r ( x )=−x2 R-

c) Valentina y Karen depositan en bancos diferentes $ 5000 y $ 4800, respectivamente. Las tasas anuales de interés respectivas son del 5% y 8% anual.

c1) El capital de Valentina se incrementará según la fórmula:

Cf= 5000 . 0,05t

Cf= 5000 . 1,5t

Cf= 5000 . 1,05t

Cf= 5000 . 0.95t

c2) Los capitales acumulados coinciden

antes de 2 años Alrededor del3 años A los 5 años Un t distinto de los anteriores

c3) El capital inicial de Karen se duplicará cuando hayan transcurrido:

6 años 9 años 11 años Otro valor de t

13- Indica cual o cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas. En cada caso explica tu decisión ya sea que digas que es cierto no lo que la afirmación enuncie.

a) ∀a ,b , c∈ R>0 ; se verifica que logb ¿¿ b) ∀ xϵR, se verifica que3x ∙10x=30x

c) Un grado sexagesimales igual a 1 radian.d) Con tres ángulos de distintas amplitudes siempre podre construir un triángulo

e) ∀ a ,b ϵ R>0 ;se verifica que : loga b= log alogb

14- a) Martín ha decido regalarle a su mejor amigo una camisa estampada. La prenda cuesta 179,90$, paga con dos billetes de 100$ y le dan 20$ de vuelto y una disculpa por no tener monedas para darle lo que falta de vuelto. Sin más Marín sale muy contento del negocio con su regalo. Dos cuadras más adelante se detiene en un quiosco y pide una botella de agua de 250cm3. El precio es de 3,90$. Cuando va a pagar, entrega 5$ y le devuelven 1$, debe escuchar nuevamente una disculpa por no haber monedas para dar el vuelto. Martín decide dejar la botella de agua y seguir su camino sin ella. ¿Por qué te parece que tomo esa decisión? ¿Habrá sido un capricho o una acertada conclusión matemática lo que lo llevó a dejar la botella de agua? Explicate

b) Tienes la siguiente situación: “En un viaje largo planificar etapas , permite anticipar problemas de combustible, de alimentación o de cansancio . Una familia decide realizar uno de estos viajes en tres etapas, en la primera realizan un tercio del camino, en la segunda la mitad del resto, en la tercera han andado 532km. ¿Qué parte del camino recorrieron en la tercera etapa? ¿Que distancia total recorrieron?

c) Desde la playa Carolina ve la parte más alta del faro con un ángulo de elevación de 30º, cuando se acerca 42m lo ve con un ángulo de elevación de 40º. La altura “h” del faro en metros:

d1) h ϵ (70,80 ) d2)h ϵ (80,100 ) d3)h ϵ (140,180 ) d4)h ϵ [100,110 ]

15- Como sabrás la matemática sirve para modelizar fenómenos.

Mediante este lenguaje se pueden expresar propiedades de diferentes sistemas ya sean éstos pertenecientes al mundo biológico, físico, químico. También se pueden estudiar tendencias respecto a crecimientos poblacionales, magnitud de un terremoto o cálculos financieros.

Explica como lo pensaste

Marca la expresión correcta y justifica la elección

Marca la expresión correcta y justifica la elección

Marca la expresión correcta y justifica la elección

IMA Matemática III15-1) ¿Qué modelo expresa mejor el crecimiento anual de la población de Pilar en función de los años transcurridos desde 1993? Lee atentamente el texto y luego justifica tu elección. Realiza la gráfica aproximada.

“Los censos realizados en la ciudad de Pilar (prov. de Bs As) registraron un aumento vertiginoso de la población en los últimos años. En enero de 1993 había 130000 habitantes, en enero de 1994, 145600hab., en enero de 1995 163072 hab. y en el 1998 229105 habitantes.”

(Suponemos que el porcentaje de crecimiento anual ha permanecido constante.)

a)130000+130000 .

12100

x=F( x )c)

130000(1+12100

)x=G( x )

b) 130000(1−12

100)x=H ( x )

d) 130000−130000.

12100

x=L( x )

15-2) Debes preparar una fiesta para celebrar el cumpleaños de alguien muy querido. Cuando buscas salones y servicio de comidas empiezan los problemas pues tienes varias opciones.

a) Salón 1:Música 5500$ Servicio de comida y mozos: 80$ por persona

b) Salón 2: Música 4000$ Servicio de comida y mozos: 100$ por persona

c) Salón 3: 154$ por persona

Cuando tienes los presupuestos y teniendo en cuenta que habrá 75 comensales, ¿qué salón te convendrá? Si una semana antes te avisan 4 invitados que no acudirán ¿tu elección se verá afectada? ¿Por qué?

Cuestiones varias……para tener en cuenta Qué enunciados me indican que estoy frente a una función( racional, o de cualquier tipo)?¿Cuáles frente a una

expresión algbraica ( racional o de cualquier tipo)? Cuando estudiamos funciones ¿Qué debemos escribir para definirla? Y cuando estudiamos una expresión

algebraica? Si necesito representar en el plano, será porque estoy frente a una ___________ . En una expresión algebraica (polinomica o racional) podré agrupar términos en todas las ocasiones? ¿Cómo

deben ser esos términos? ¿Por qué te parece que es importante conocer la manera de calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m) entre

polinomios? Que usos les has dado a esta actividad? Las variables ¿siempre tienen el mismo significado? ¿Se llaman de una sola manera? En una tabla, ¿cómo distingues la variable independiente de la variable dependiente si no cuentas con la

fórmula que te lo indique? En un gráfico de coordenadas cartesianas, ¿cómo distingues la variable independiente de la variable

dependiente si no cuentas con la fórmula que te lo indique? ¿Cómo distingues al dominio de una función? Y a la imagen? ¿Cómo se llaman los puntos de intersección de la función con los ejes? ¿A qué llamamos parámetros de una función? ¿Cuáles son los parámetros de una función lineal? Ejemplifica ¿Y

de una cuadrática? Ejemplifica. ¿Y de una exponencial? Ejemplifica. Qué nombre recibe la ordenada al origen cuando trabajas un polinomio de grado mayor que uno? Por qué? En las funciones racionales ¿Cómo encuentras la ordenada al origen? Ejemplifica. Qué utilidad tiene la factorización de polinomios? En qué oportunidad tuviste que valerte de ella para trabajar

un concepto nuevo? ¿Qué significa encontrar expresiones equivalentes a una dada? Siempre es posible? Amplia. Los problemas de una expresión algebraica racional son siempre los mismos que en su expresión

equivalente? Explica y ejemplifica. ¿Podemos hablar de asíntotas verticales u horizontales al trabajar las expresiones algebraicas

racionales? ¿Qué debemos hacer entonces? Por qué? Qué significa resolver una ecuación? Siempre tienen solución la ecuación dada? ¿Puede una solución de una ecuación racional hacer imposible el cálculo? Explica Cuando sumas o restas expresiones algebraicas racionales ¿qué debes tener en cuenta al comenzar? Las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo son números _ _ _ _ _ _, el coseno, toma

valores entre ___________, el seno, entre ________________ y la tangente _____.

A todos los ángulos,α , con 0 º ¿¿,se les puede calcular el seno, coseno y tangente? Buscá algunos ejemplos de lo que digas

Cuál es la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Vale para todos? Cuando clasificas los triángulos por sus lados los llamas….Cuando los clasificas según sus ángulos … En el triángulo rectángulo siguiente indica las razones trigonométricas y halla los ángulos interiores del mismo

y el valor de X.10cm

X cm8cm

IMA Matemática III

Siempre podré construir un triángulo cuando me dan los tres ángulos? Y cuando me dan los tres lados? En todos los triángulos podré escribir que el seno de un ángulo es la razón entre el lado opuesto a ese ángulo

y su lado mayor? Cuándo esto es válido? Que herramienta usarás entonces para resolver un triángulo que no sea rectángulo? ¿Qué me dices de la tendencia de las funciones? Cómo distingues los intervalos de crecimiento y

decrecimiento en una función suponiendo que cuentes con su gráfica? Qué tienes en cuenta para pensar los conjuntos de positividad y negatividad de una función? Reconoce funciones ahora y colócales su nombre.

Para cada función indica: dominio, imagen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de positividad y negatividad, raíces y ordenada al origen, asíntotas.

Cuando decimos el ángulo que forma la visual con la vertical ¿Cómo lo dibujas? Cuando decimos ángulo de elevación ¿qué ángulo marcamos? Cuando decimos ángulo de depresión ¿Qué ángulo marcamos? Cuando diriges la visual al punto más alto de un árbol o edificio ¿qué ángulo marcas? Cuál de las siguientes funciones no está definida para x=-3?

a ) f ( x )= 32 x+6

b ) f ( x )=2 x+63

c ) f ( x )= x+3x−3

d ) f ( x )= 3+x3−x

¿Es lo mismo √a+b que √a+√b ? Explica en que te basas

¿Es lo mismo √a⋅bque √a⋅√b ? Explica en que te basas

Cuando resuelves….2 x2+3=6 ¿Es lo mismo x=√6−3/2que √ 6−32 ? ¿ Cuál es la correcta? ¿Cómo

lo pensás?

Es lo mismo log b(a+d )

que logb a+ logb d

? en que te basas?

Es lo mismo log b(a⋅d )

que logba⋅logb d

? en que te basas? Es lo mismo 30x que 3¿10x? en que te basas? Cuál de las expresiones corresponden a proporcionalidades inversas? Cuales a directa?

a) a⋅b=50 b) a :b=50 c) a+b = 50 d) a = 50:b e) a= b:50 f) a= 50b El rectángulo representa el plano del local donde pedro va a instalar su negocio. Piensa dividir el plano de manera que la mitad sea depósito y de lo que queda, el 25% lo ocupará la administración. El resto lo dedicará a ventas. ¿cuál/les de estos esquemas representan la decisión de Pedro, todos, uno algunos o ninguno? Justifica

IMA Matemática III

Una remera que tiene un costo de 10$ se vende a 14$¿cuál es el porcentaje de recargo sobre el costo?

a) 40% b) 14% c) 10% d) 4%

Los estudiantes de una clase se ordenaron en el aula de r filas de s bancos cada fila, dejando 2 bancos sin ocupar en toda el aula. Expresado en términos de r y s, el número de alumnos de la clase es:

a) 2r-s b) r. s +2 c) 2s – r d) r. s - 2 Marcá en el gráfico dos puntos A y B que pertenezcan a la función y escribí las coordenadas de cada uno en:

A estas cuestiones agrega ejercicios de clase, no descuides las operaciones, los gráficos de representación para los problemas de trigonometría pero sobre todo revisa con tiempo los conceptos y haz las preguntas que necesites a tu profe (a mi) antes del examen. Trata de pensar esto tu solo/a, siendo que es una revisión de saberes, tus herramientas deben ser los textos de biblioteca o tuyos , tus carpetas(de este año y las anteriores), la calcu y elementos de geometría.

Éxitos mil

x

y

11

y

x

11