1. Resumen El proyecto concluido consistió en el desarrollo de un prototipo de laboratorio de un sensor de campo eléctrico, utilizando fibras ópticas y un cristal de niobato de litio como transductor.

2. Introducción El propósito de este trabajo fue establecer la viabilidad de construir un sensor de campo eléctrico, para mediciones de compatibilidad electromagnética en celdas TEM; en estas es importante que los sensores de campo introduzcan perturbaciones mínimas, en la estructura del campo electromagnético.

Por lo que un sensor construido con materiales dieléctricos resulta el más adecuado, dado que no produce reflexiones internas en la celda.

El principio de operación del sensor es el efecto electro-óptico de Pockells, que consiste en la birrefringencia inducida por un campo eléctrico, en ciertos cristales como el niobato de litio.

3. Métodos y Materiales

En los apéndices del I al IX se describen en detalle los métodos y materiales utilizados en el desarrollo del proyecto.

4. Resultados Los resultados obtenidos se indican en los apéndices V, VI y VII

5. Impacto El beneficio fundamental del proyecto es la formación de recursos humanos capacitados para manejar las nuevas tecnologías electro-ópticas.

6. Conclusiones El sistema que se desarrolló es un prototipo de laboratorio de un sensor de campo eléctrico. Falta hacer un desarrollo adicional para llevarlo a la condición de prototipo práctico para aplicaciones en la industria.

Para esto se requiere utilizar componentes ópticos especiales para fibra óptica, como son los expansores de haz, polarizadores y prismas divisores de haz. Tambien se requieren cristales de niobato de litio de tamaño reducido mm21× . Con los resultados obtenidos y una inversión adicional puede desarrollarse el sensor práctico.

7. Descripción de actividades realizadas. a. Se inició el estudio teórico de las propiedades electro-ópticas del niobato de litio.

b. Se realizó un primer cálculo del sistema electro-óptico para caracterizar el cristal.

c. Se realizó el estudio teórico de las propiedades electro-ópticas del niobato de litio, y se obtuvo la primera aproximación al comportamiento del cristal. Apéndice I

d. Se construyeron diversas secciones mecánicas: soportes y guía móvil de la cabeza óptica. Apéndice II

e. Se montaron, ajustaron y alinearon láser, capacitor y cristal de LiNbO3. Apéndice III

f. Se desarrolló el programa de adquisición de datos por medio de LabView®. Apéndice IV

1

g. Se realizó la caracterización del láser, para comprobar la ley de Malus: ( ) ( ) ( )θθ 2sin0II = Apéndice V

h. Se determinaron las variaciones en la intensidad, intrínsecas del láser. Apéndice VI

i. Se obtuvo el tipo de respuesta que presentaba el cristal ante la aplicación de voltaje de CD y se determinó la ecuación modelo que describe la respuesta del sistema. Apéndice VII

j. Se aplicó voltaje de CA con distintas formas de onda: triangular, rectangular, sinusoidal y cuadrada y se determinó la respuesta del cristal. Apéndice VIII

k. Se diseñó y construyó la electrónica requerida (fotodetector). Apéndice IX

l. Se realizó el análisis estadístico de los datos obtenidos.

Los diversos anexos muestran la información que sustenta la realización de las actividades realizadas.

2

Apéndice I. Cálculo de las propiedades electro-ópticas del cristal de Niobato de Litio (LiNbO3).

La diferencia de fase del haz láser de salida como función de la geometría del cristal y del

campo eléctrico aplicado entre dos extremos.

Para el LiNbO3 se puede escribir la matriz del efecto electro-óptico como:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

====

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆∆∆∆∆∆

)_(00

000000

0000

22

51

51

33

1322

1322

6

5

4

3

2

1

ópticoejeEEEE

rr

rrrrrr

BBBBBB

ZC

Y

X

Z

Z

ZZ

Z

Z

ErBErBErB

ErErEr

BBBBBB

333

132

13133

13

13

6

5

4

3

2

1

000

=∆=∆=∆

⇒

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆∆∆∆∆∆

La geometría anterior supone que el campo eléctrico está aplicándose a lo largo del eje óptico (Ey), como se ilustra en la figura 1.

L

Figura 1 Ubicación del eje óptico considerando la geometría del cristal y dirección de la aplicación de voltaje.

3

Figura 2Ubicación del eje óptico y aplicación del voltaje a través del cristal.

En éste caso particular el elipsoide de índices se puede escribir como:

1111332

2132

0

2132

0

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ Z

e

ZZ Ern

zErn

yErn

x , donde n0 y ne son el índice de

refracción ordinario y extraordinario, respectivamente. Si realizamos algunas rotaciones, podremos escribir el elipsoide de índices como:

12

2

2

2

2

2

=++zyx n

zny

nx

De lo anterior tendremos:

( )( )( ) 2

1

332

21

13200

21

13200

3322

1320

2

1320

2

111

11

11

11

−

−

−

+=

+=+=

⇒

+=

+=

+=

zeez

zy

zx

z

ez

z

y

z

x

ErnnnErnnnErnnn

Ernn

Ernn

Ernn

Si usamos la expansión binomial dada por la expresión ( ) ( ) nnnn xxnx +++=+ − ...111 11,

obtendremos:

zeez

zy

zx

Ernnn

Ernnn

Ernnn

333

13300

13300

21

21

21

−=

−=

−=

Debido a que estamos usando un láser de Helio-Neón, su longitud de onda es de 632.8 nm, o λ0=633 nm en el espacio libre. Sabemos que el índice de refracción es función de λ y de la temperatura (ecuación de Sellmeier), y podremos obtener los siguientes valores: & Los coeficientes electro-ópticos para el Niobato de Litio en

baja frecuencia son: y

286.20 =n 200.2=enVmr /106.9 12

13−×= Vmr /109.30 12

33−×= , en el caso de las altas

4

frecuencias tendremos los siguientes valores: Vmr /106.8 1213

−×= y

Vmr /108.30 1233

−×=El arreglo experimental propuesto se muestra a continuación:

LASER He-Ne

CAPACITOR DEPLACAS

PARALELAS,CONTENIENDO

EL LiNbO3

FOTO

DETE

CTO

RESPEJO

ESPEJO

DIAFRAGMA POLARIZADORLINEAL A +45

DIAFRAGMAPOLARIZADORLINEAL A -45

LASER He-Ne

CAPACITOR DEPLACAS

PARALELAS,CONTENIENDO

EL LiNbO3

FOTO

DETE

CTO

RESPEJO

ESPEJO

DIAFRAGMA POLARIZADORLINEAL A +45

DIAFRAGMAPOLARIZADORLINEAL A -45

Figura 3 Boceto del arreglo experimental propuesto.

El láser de Helio-Neón que tenemos entrega el haz de luz láser polarizada. El láser de He-Ne entrega un haz en dos ejes ortogonales fijos y la salida se reparte aleatoriamente entre ambos, no es que gire el eje de polarización, ni que varíe la potencia entre el eje y el resto no polarizado, más bien se reparte entre los dos, además varía lentamente, pueden pasar segundos cerca de una posición, tan lento como para permitir el estudio con un polarizador. Por eso sólo se requiere la colocación de un polarizador lineal. El cristal actuará como una placa retardadora en función del campo eléctrico aplicado. La placa retardadora cambiará el estado de polarización que inicialmente entrará lineal a 45º respecto al eje x, debido al segundo polarizador, al cambiar el estado de polarización con el cristal por medio del voltaje, se podrá modular la intensidad de la radiación óptica. Para una placa retardadora, la diferencia relativa de fase estará dada por:

∆= 0Kδ ∆=∆n*L,diferencia de caminos ópticos K0 = 2π/λ0 magnitud del vector de propagación en el vacío. λ0 representa la longitud de onda en el espacio libre. L es la longitud fija del cristal. ∆n=nz-nx El campo eléctrico se puede representar con la siguiente expresión:

[ ] mmddV

mV

zVE zz

z 5.0=∀==

En nuestro cristal el eje z es el eje que va a lo largo de la cara con menor espesor (de 0.5 mm), y tenemos la ventaja de que nx y ny son iguales, debido a que el cristal del Niobato de Litio (LiNbO3) es uniaxial. Si tomamos en cuenta todo lo anterior, podemos obtener la siguiente expresión:

5

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ ⋅−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 33

313

300

0 22 rnrn

dVnnL e

zeλ

πδ

La ecuación anterior significa que sin voltaje aplicado sólo se tendrá la birrefringencia natural del cristal. Si aplicamos el campo eléctrico (que es proporcional al voltaje) entre los extremos del cristal, se puede cambiar la diferencia de fase de la placa retardadora.

La Intensidad luminosa como función del campo eléctrico.

Nuestro equipo de medición que consiste en un medidor óptico Hewlett-Packard con una cabeza óptica de GaAs, en consecuencia debemos conocer la manera en que varía la intensidad de la luz con respecto al voltaje aplicado, para resolverlo tenemos que aplicar el tratamiento de las matrices de Jones, empezaremos diciendo que en un principio se tiene un haz de luz con cierto estado de polarización dada por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0

0

0

δjz

x

eEE

Jr

Dónde se conoce que representa la amplitud inicial de la onda que viaja en el eje x, es

la amplitud correspondiente en el eje z, xE0 zE0

0δ se refiere a la diferencia relativa de fase. La expresión analítica que describe cualquier estado de polarización está dada por la superposición de dos ondas planas, si no necesitamos cambiar la orientación de los ejes que viajan perpendiculares entre sí y que están desfasados por delta, tendremos:

( ) ( )z

wtkyjzx

wtkyjx eeEeeEE ˆˆ 0

00 ⋅⋅+⋅⋅= +−− δr

Debido a que el láser de He-Ne del que disponemos entrega un haz que está polarizado linealmente, y al acoplarlo a la entrada del cristal, la luz incidirá con ángulo θ respecto a la horizontal, la matriz de Jones para este elemento será:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

θθθθθθ

θθθθ

θθθθ

2

2

sinsincossincoscos

cossinsincos

0001

cossinsincos

Debido a que el haz que entra al cristal deberá estar posicionado a 45° respecto de la vertical, tendremos:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=°=

1111

210θ

lP

Debemos considerar que el cristal actúa como placa retardadora y tendrá la siguiente matriz de Jones:

φδ

δ

j

j

j

ee

eP −

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

2

horizontalrápido eje

aretardador0

0 En ésta expresión φ representa una fase que no es de interés en

nuestro análisis. Finalmente tenemos el polarizador lineal con °−= 45θ :

6

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=°=

1111

21452 θl

P

Uniendo todo lo anterior en la expresión correspondiente del campo eléctrico tendremos

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= −

−

0

0

0

2

2

1111

21

00

1111

21

δφ

δ

δ

jz

xj

j

j

eEE

ee

eEr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−−

0

0

0

22

22

1111

4 δδδ

δδφ

jz

x

jj

jjj

eEE

eeeee

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−−=

−−

−−−

0

0

0

2222

2222

4 δδδδδ

δδδδφ

jz

x

jjjj

jjjjj

eEE

eeeeeeeee

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−=

−

0

0

0

2sin22sin22sin22sin2

4 δ

φ

δδ

δδj

z

xj

eEE

jj

jje

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

0

0

0

1111

2sin24 δ

φ δj

z

xj

fz

fx

eEE

jeEE

( ) [ ]0

0011

2sin24δφ δ j

zx

jeEEje +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

−

Finalmente la Intensidad del campo eléctrico es:

( )( )[ ]zxj

zx

j

f eeeEEjeE ˆˆ2sin20

00 +−+⋅=− δφ δr

La irradiancia dada en (W/m2) se puede obtener de la siguiente expresión:

20

2 fEcIrε

=

En donde representa la velocidad de la luz en el medio y c 0ε es la permitividad del espacio libre.

( ) ( ) ( ) [ ]22

00

222 ˆˆ2sin2

0

zxj

zx

j

f eeeEEjeE +−+⋅=− δφ δr

La fase representada por φ no nos interesa, tampoco es relevante el signo de la expresión, en consecuencia podremos eliminarlos de la expresión

( )( )[ ]222sin41 2

00020

22 0

zj

zxxf EeEEEE ++⋅= δδr

( ) ( )( )200000

20

2 sincos22sin42

zzxx EjEEE +++⋅= δδδ

Centramos nuestro interés en la parte real de la expresión anterior

( )( )20000

20

22 cos22sin21

zzxxf EEEEE ++⋅= δδr

Ahora hacemos el análisis de algunos casos de interés:

7

Cuando la luz lineal está a 0°, tendremos que 00 =zE y δ0 puede tener cualquier valor,

entonces: 2sin22

202 δ⋅= x

fEE

r, si sustituimos la expresión obtenida, en la correspondiente a

la irradiancia, tendremos como resultado: ( ) 20

20

2sin21

2 xf EcI δε=

Si consideramos una irradiancia inicial 00

020

20000

221

εε

cIEEcI xx =⇒=

Expresión que nos permitirá obtener: ( )00

020 22sin

21

2 εδε

cIcI f = , finalmente como el medio

final es también el espacio libre, entonces 0cc = , concluimos con la siguiente expresión:

( )2sin2

20 δII f =

Si tenemos luz lineal a 45°, tendremos que 000 EEE zx == y °= 00δ , entonces obtendremos:

( )[ ]20

20

200200 222sin21

22EEcEcI ff +== δεε

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

0200 242sin21

2 εδε

cIcI f

Que finalmente nos dará: ( )2sin2 20

δII f = , podemos sustituir todo lo que conocemos para

obtener: ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−= 33

313

300

0

20 2sin2 rnrn

dVnnLIVI e

zef λ

π

Tenemos los siguientes datos:

600~1010510633109.30286.21089.22

106.9200.21014.8

490

1233

3

1213

60

=×=×=×==×=×==×=

−−

−−

−−

z

o

e

VdrnLrnI

λ

Sustituyendo, tendremos la siguiente expresión dependiente del voltaje: ( ) ( )zf VVI ××−×−×= −− 2326 10434.210770.9sin1028.16

8

Apéndice II. Construcción de placas del capacitor, soportes mecánicos y guía móvil de la cabeza óptica.

1. Placas del capacitor:

2. Soportes del sistema opto-mecánico.

3. Construcción de soporte cilíndrico de las placas del capacitor.

9

4. Construcción y montaje de la guía móvil de la cabeza óptica.

10

Apéndice III. Montaje, ajuste y alineación del láser, capacitor con cristal de LiNbO3 y cabeza óptica.

1. Alineación del láser, capacitor con LiNbO3 y cabeza óptica.

11

Apéndice IV. Desarrollo, y aplicación del programa de adquisición de datos por medio de LabView®. A continuación se muestra parte del programa elaborado.

12

Apéndice V. Caracterización del láser para comprobación de la ley de Malus Hay muchos dispositivos ópticos que modifican el estado de polarización de una onda electromagnética que lo cruce. Tendremos un polarizador lineal cuando se permita el paso de las oscilaciones de campo eléctrico a lo largo de uno de los ejes, denominado eje de transmisión, y para la correcta interpretación de los datos, debemos conocer el comportamiento de la intensidad óptica en respuesta a la variación del ángulo de polarización, conocida como Ley de Malus ( ) ( ) ( )θθ 2sin0II =

Intensidad óptica vs ángulo de polarización

0,0E+00

2,0E-06

4,0E-06

6,0E-06

8,0E-06

1,0E-05

1,2E-05

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

ángulo (grados)

Inte

nsid

ad ó

ptic

a (W

atts

)

RMS

Mahlus

13

Apéndice VI. Determinación de variaciones de intensidad, intrínsecas del láser. La intensidad óptica del láser no es constante y es deseable conocer la manera en que varía en el tiempo, para determinar la manera en que responderá nuestro sistema. A continuación se muestra la medición en tiempo real de la Intensidad óptica en función del tiempo y pueden observarse las variaciones correspondientes.

1. Se realizó la captura de datos por medio de LabView® la figura muestra la captura de valores en tiempo real, posteriormente se aplicó análisis estadístico y se obtuvo el valor RMS de las muestras.

14

Apéndice VII. Respuesta del cristal ante la aplicación de voltaje de CD.

1. Se caracterizó la respuesta del cristal ante la aplicación de voltaje de CD Se aplicó voltaje de CD en un intervalo de 10-460 Volts y se obtuvo la siguiente curva, donde es evidente la presencia de un nivel constante alrededor del que se presentan las esperadas variaciones producidas por el voltaje de CD.

Intensidad óptica vs Voltaje de CD aplicado

0,00E+00

1,00E-06

2,00E-06

3,00E-06

4,00E-06

5,00E-06

6,00E-06

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Voltaje de CD (Volts)

Inte

nsid

ad ó

ptic

a (W

atts

) Práctico

2. En la siguiente gráfica se muestran sólo las pequeñas variaciones en la intensidad

luminosa en respuesta al voltaje aplicado.

Intensidad óptica vs Voltaje de CD aplicado

5,80E-06

5,90E-06

6,00E-06

6,10E-06

6,20E-06

6,30E-06

6,40E-06

6,50E-06

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Voltaje de CD (Volts)

Inte

nsid

ad ó

ptic

a (W

atts

)

Práctico

Se procedió a modelar los resultados obtenidos, comprobando que cumple con la siguiente expresión: ( ) ( )[( ])δ+Γ+= VkIVI 2

0 sin1 expresión en la que I0 que representa el nivel de intensidad sin aplicación de voltaje, k representa la variación de amplitud de la función sinusoidal

15

cuadrada, Γ representa la diferencia de fase entre las componentes ortogonales del haz de luz láser y es dependiente del voltaje, δ representa el corrimiento en fase debido al recorrido.

3. En la siguiente gráfica se muestra una comparación visual de los valores teóricos y prácticos.

Intensidad óptica vs Voltaje de CD aplicado

5,90E-06

6,00E-06

6,10E-06

6,20E-06

6,30E-06

6,40E-06

6,50E-06

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Voltaje de CD (Volts)

Inte

nsid

ad ó

ptic

a (W

atts

) PrácticoTeórico

16

Apéndice VIII. Respuesta del cristal ante la aplicación de voltaje de CA y distintas formas de onda: triangular, rectangular, sinusoidal y cuadrada.

Debido a que la intensidad óptica propia del láser tiene variaciones considerables, se esperaban pequeñas modificaciones en la misma, como consecuencia de la aplicación de voltaje y el cambio en las características de polarización producidas por el cristal, lo que quedó confirmado al aplicar señales de diversas formas como se muestran a continuación. En cada una de las gráficas obtenidas se obtuvieron los valores RMS por medio de análisis estadístico.

1. Aplicación de una forma de onda sinusoidal con periodo de 107.443 segundos. Observe que la forma de onda sinusoidal está modulando a la señal intrínseca del láser.

17

2. Aplicación de una forma de onda triangular con periodo de 107.443 segundos. Observe que la forma de onda triangular está modulando a la señal intrínseca del láser.

3. Aplicación de una forma de onda cuadrada con periodo de 107.443 segundos.

Observe que la forma de onda cuadrada está modulando a la señal intrínseca del láser.

18