parametri rasejanja za vod spregnut sa antisimetricnim ......za parametre transmisije i reﬂeksije...

Parametri rasejanja za vod spregnut saantisimetricnim rezonatorima

Vojislav Milosevic, Student Member, IEEE, Branka Jokanovic, Member, IEEE

Apstrakt—U ovom radu izvescemo priblizni analiticki oblik zaparametre rasejanja (transmisiju i refleksiju) za vod spregnutsa antisimetricnim rezonatorima – slucaj u kome geometrijane poseduje ravan simetrije, nego ostaje nepromenjena pridelovanju inverzije ili rotacije. Ovakav slucaj je zanimljiv zatosto je moguce pobuditi dodatne rezonante modove, koji sunedostupni u simetricnim strukturama. Izvodenje se bazira nateoriji spregnutih modova, a dobijene formule bice primenjenena slucaj mikrostrip voda spregnutog sa split-ring rezonatorima,nepoznati parametri bice odredeni fitovanjem i rezultati ce bitiuporedeni sa elektromagnetnim simulacijama.

Kljucne reci—teorija spregnutih modova; parametri rasejanja;split-ring rezonator.

I. UVOD

VODOVI spregnuti sa razlicitim rezonatorima predstavljajugradivni blok mikrotalasnih metamaterijala ili filtara, zbogcega je ova tema u znacajnoj meri zastupljena u literaturi.Usled lakoce fabrikacije, posebna paznja je posvecena pla-narnim strukturama, kod kojih se za vodenje talasa koristemikrostrip vod, koplanarni talasovod i druge slicne strukture.U svojstvu rezonatora veoma cesto se koristi split-ring rezo-nator (SRR), koji u najjednostavnijoj varijanti predstavlja najednom mestu prekinutu petlju kruznog ili kvadratnog oblika.U skladu sa izrecenim, strukture kod kojih su planarni vodovispregnuti sa SRR-ovima predmet su mnogih studija kojese bave problemima njihovog modelovanja, karakterizacije iprimena.

Karakteristicna za vecinu razmatranih struktura je reflek-siona simetrija u odnosu na ravan koja poprecno presecavod na sredini jedinicne celije, kao na Sl. 1a. Za razlikuod toga, modeli na Sl. 1b-d poseduju simetriju u odnosu narotaciju od 180� u odnosu na centralnu tacku. Ovakav slucajje zanimljiv zato sto je pokazano da je moguce pobuditi dvarezonantna moda, za razliku od jednog u slucaju na Sl. 1a, stomoze predstavljati osnovu za filtar viseg reda, ili zanimljiveefekte koji se mogu dobiti kombinovanjem vise rezonantnihmodova u metamaterijalima, kao sto je klasicna analogijaelektromagnetno indukovane transparencije [1].

Tipican nacin za analizu i modelovanje ovakvih strukturajeste koriscenje ekvivalentnih elektricnih sema. Izmedu osta-log, u prethodnom radu autora pokazano je kako se opsegvazenja seme moze drasticno povecati [2], kao i kako semogu modelovati antisimetricne strukture, i analizirati napojednostavljen nacin pomocu parnog i neparnog moda [1].Prednost ekvivalentnih sema je sto predstavljaju standardni

Vojislav Milosevic, Branka Jokanovic – Institut za fiziku, Univerzitet uBeogradu, Pregrevica 118, 11080 Beograd, Srbija (e-mail: [email protected],[email protected]).

(a) (b)

(c) (d)

Slika 1. Mikrotsrip vod spregnut sa dva SRR-a u simetricnoj (a), i antisime-tricnoj konfiguraciji (b) - (d).

nacin modelovanja u mikrotalasnoj tehnici, mogu se integrisatisa drugim modelima, i postoji veliki broj softverskih paketa zarad sa njima. Medutim, postoje odredeni problemi, od kojih seistice inherentna niskopropusna priroda ovih sema, koja ciniizracunavanje parametara rasejanja veoma teskim.

Kao alternativni pristup modelovanju ovakvih strukturamoze se koristiti teorija spregnutih modova [3]. Ova metodapotice iz optike i autorima nije poznato da je do sada koriscenau mikrotalasnoj tehnici. Ipak, radi se o jednom generalnompristupu, koji se uvek moze primeniti na sisteme kod ko-jih lokalizovani rezonantni modovi interaguju sa putujucimtalasima, kao sto su talasi na vodovima ili talasovodima.Kao rezultat moze se dobiti aproksimativni opis rasejanja (tj.parametara transmisije i refleksije) u sistemu.

U nastavku rada cemo izloziti osnovne pretpostavke teo-rije spregnutih modova i prikazati kako se moze primenitina slucaj antisimetricnih SRR-ova spregnutih sa mikrostripvodom, kao na Sl. 1. Zatim cemo dobijene formule uporeditisa parametrima proracunatim na osnovu 2.5D elektromagnetnesimulacije. Nepoznati parametri u formulama bice odredenifitovanjem, i rezultati ce biti tabelarno prikazani na kraju rada.

Zbornik 61. Konferencije za elektroniku, telekomunikacije, računarstvo, automatiku i nuklearnu tehniku, ETRAN 2017, Kladovo, 05. do 08. juna 2017, ISBN 978-86-7466-692-0

str. MT1.2.1-4

α1, ω1

α2, ω2

a1

b1

a2

b2

d11 d21

d12 d22

κ

Slika 2. Vod bocno spregnut sa dva rezonantna moda.

II. TEORIJA SPREGNUTIH MODOVA

Kao sto je receno u uvodu, teorija spregnutih modovaje opsti nacin za opis interakcije lokalizovanih i prostirucihmodova. U sustini predstavlja perturbacionu analizu prvogreda, koja najtacnije rezultate daje u slucaju kada je spregaslaba. Na osnovu nje moguce je proracunati priblizne izrazeza parametre transmisije i refleksije (S-parametre), kao i stecidragocen uvid u ponasanje sistema.

Opsta reprezentacija dva rezonatora bocno spregnuta savodom, u okviru teorije spregnutih modova, data je na Sl. 2. Naslici, a1;2 su incidentni i reflektovani talas snage na odgova-rajucim portovima (kao u uobicajenoj definiciji S-parametara),a �1;2 su amplitude pozitivne frekvencije za odgovarajucerezonantne modove, ciji moduo je jednak kvadratnom korenusnage skladistene u modu, a faza odgovara fazi oscilacija.Sprega izmedu voda i rezonantnih modova data je pomocumatrice D = [di;j ] (v. Sl. 2). Vremenska evolucija rezonantnihmodova bice: [3], [4], [5]:

@

@t

��1

�2

�= (j� �)

��1

�2

�+DT

�a1a2

�(1)

gde je

j = j

�!1 �

�� !2

�matricni operator vremenske evolucije nespregnutih rezonatora(za koje pretpostavljamo da su bez gubitaka, zbog cega je hermitska matrica), i operator � = 1

2DyD predstavlja gubitke

u rezonantnim modovima usled sprege sa vodom. Reflektovanitalasi b1;2 na vodu bice:�

b1b2

�= S(0)

�a1a2

�+D

��1

�2

�; (2)

gde je S(0) matrica “direktnog” rasejanja, tj. transmisija irefleksija nezavisna od SRR-ova. Uzimajuci u obzir rotacionusimetriju sistema, mozemo da zakljucimo da matrice D, C i imaju sledeci oblik:

S(0) =

"S(0)11 S

(0)21

S(0)21 S

(0)11

#; D =

�d1 d2d2 d1

�; =

�!0 �

� !0

�;

(3)gde je � cisto realno, � 2 R, u ovom slucaju. Pod uslovimavremenski konstantne pobude i posle zamene (1) i (3) u (2),rezultirajuca transmisija kroz sistem bice:

S21 = S(0)21 +

(d1 + d2)2

2j(! � !0 + �) + jd1 + d2j2

�(d1 � d2)

2

2j(! � !0 � �) + jd1 � d2j2;

(4)

Slika 3. Struktura sa relevantnim dimenzijama: h = 1;27mm, Lr = 3mm,Lm = 0;25mm, Lg = 0;5mm, Wr = 0;2mm, Wl = 1;2mm, s =

0;1mm, i "r = 10;2.

a refleksija:

S11 = S(0)11 +

(d1 + d2)2

2j(! � !0 + �) + jd1 + d2j2

+(d1 � d2)

2

2j(! � !0 � �) + jd1 � d2j2:

(5)

U izrazima (4)-(5) prvi razlomak odgovara neparnom modu,kada je �1 = ��2, a drugi parnom modu, �1 = �2.Odgovarajuce rezonantne ucestanosti su !� = !0 � �, a Q-faktori:

Q� =!�

jd1 � d2j2; (6)

gde znak (+) odgovara parnom modu, a (-) neparnom.Takode, polazeci od opstih principa moze se pokazati da

vazi relacijaS(0)D� = �D; (7)

koja omogucava odredivanje faze elemenata matrice D [4].

III. REZULTATI I POREDENJE

Da bi se testirale izvedene relacije (4)-(5), izvrsena je2.5D elektromagnetna simulacija struktura sa Sl. 1, baziranana metodi momenata. Relevantne dimenzije i parametri die-lektrika dati su na Sl. 3. Zatim je pristupljeno odredivanjunepoznatih konstanti u formulama (4)-(5). Sa tim ciljem,najpre je izvrsena simulacija strukture sa uklonjenim SRR-ovima, koja omogucava da priblizno odredimo matricu S(0).Na osnovu nje, moguce je odrediti faze koeficijenata matriceD na osnovu relacije (7). Na ovaj nacin, ostaju nam samocetiri realne konstante koje treba odrediti za svaki konkretanslucaj: !�, jd1�d2j. Za tu svrhu koriscen je postupak fitovanjabaziran na metodi najmanjih kvadrata. Treba napomenuti daje broj parametara koji se fituju na ovaj nacin drasticno manjinego kada se koristi genericka metoda kao sto je aproksimacijapomocu racionalne funkcije. Vrednosti parametara date suu tabeli I, a poredenje dobijenih koeficijenata transmisije irefleksije za sva tri slucaja prikazano je na Sl. 4-6. Primetno jebolje slaganje transmisije (S21) u odnosu na refleksiju (S11).Razlog je sto je kao parametar za fitovanje korisceno samoS21, sto je motivisano mnogo vecom osetljivoscu S11 na neke

4 5 6 7 8- 4 0- 3 5- 3 0- 2 5- 2 0- 1 5- 1 0- 50

S11 (

dB)

F r e k v e n c i j a ( G H z )

S 1 1 s i m u l i r a n o S 1 1 f i t o v a n o

(a)

4 5 6 7 8- 3- 2- 10123

S11 (

rad)



(b)

4 5 6 7 8- 4 0- 3 5- 3 0- 2 5- 2 0- 1 5- 1 0- 505

S21 (

dB)



(c)

4 , 0 4 , 5 5 , 0 5 , 5 6 , 0 6 , 5 7 , 0 7 , 5 8 , 0- 3- 2- 10123

S21 (

rad)



(d)

Slika 4. Magnituda (a), (c) i faza (b), (d) S-parametera dobijenih simulacijom i na osnovu izraza (4), (5) za slucaj sa Sl. 1b.

4 5 6 7 8- 4 0- 3 5- 3 0- 2 5- 2 0- 1 5- 1 0- 50

S11 (

dB)



(a)

4 5 6 7 8- 3- 2- 10123

S11 (

rad)



(b)

4 5 6 7 8- 4 0- 3 5- 3 0- 2 5- 2 0- 1 5- 1 0- 505

S21 (

dB)



(c)

4 , 0 4 , 5 5 , 0 5 , 5 6 , 0 6 , 5 7 , 0 7 , 5 8 , 0- 3- 2- 10123

S21 (

rad)



(d)

Slika 5. Magnituda (a), (c) i faza (b), (d) S-parametera dobijenih simulacijom i na osnovu izraza (4), (5) za slucaj sa Sl. 1c.

parametre od sekundarnog znacaja, kao sto su male varijacijeu karakteristicnoj impedansi voda.

IV. ZAKLJUCAK

U radu je prikazano kako se teorija spregnutih modovamoze primeniti na slucaj mikrostrip voda spregnutog sa split-

4 5 6 7 8- 4 0

- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

S11 (

dB)



(a)

4 5 6 7 8- 3- 2- 10123

S11 (

rad)



(b)

4 5 6 7 8

- 5 0

- 4 0

- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

S21 (

dB)



(c)

4 , 0 4 , 5 5 , 0 5 , 5 6 , 0 6 , 5 7 , 0 7 , 5 8 , 0- 3- 2- 10123

S21 (

rad)



(d)

Slika 6. Magnituda (a), (c) i faza (b), (d) S-parametera dobijenih simulacijom i na osnovu izraza (4), (5) za slucaj sa Sl. 1d.

Tabela IPARAMETRI DOBIJENI ZA STRUKTURE SA SL. 1.

Sl. jd1 + d2j jd1 � d2j !�

!+

jed. 108rad

s108

rad

sGHz GHz

1b 8,69 4,78 5,89 5,65

1c 9,62 2,53 5,68 5,47

1d 1,68 11,8 6,03 5,86

ring rezonatorima u antisimetricnoj konfiguraciji. Dobijene suformule za transmisiju i refleksiju sa minimalnim brojem slo-bodnih parametara. Formule su primenjene na tri strukture, cijiparametri rasejanja su dobijeni elektromatnetnom simulacijom,i dobijeno je jako dobro slaganje u svim slucajevima, kako pomagnitudi tako i po fazi u veoma sirokom opsegu (4–8 GHz).Dobijeni rezultati mogu biti od velike koristi prilikom projek-tovanja i optimizacije ovakvih sistema, koji su interesantni zasirok skup primena, kao sto su filtri viseg reda, ili klasicnaanalogija elektromangetno indukovane transparencije.

ZAHVALNICA

Ovaj rad je finansiran sredstvima Ministarstva prosvete,nauke i tehnoloskog razvoja preko projekta tehnoloskog ra-zvoja TR-32024 i projekta integralnih i interdisciplinarnihistrazivanja III-45016.

LITERATURA

[1] V. Milosevic, R. Bojanic, and B. Jokanovic, “Analiza antisimetricnihsplit-ring rezonatora spregnutih sa vodom pomocu parnog i neparnog

moda,” in ETRAN 2016 – Zbornik radova 60. konferencije za elektroniku,telekomunikacije, racunarstvo, automatiku i nuklearnu tehniku, 2016.

[2] R. Bojanic, V. Milosevic, B. Jokanovic, F. Medina-Mena, and F. Mesa,“Enhanced modelling of split-ring resonators couplings in printed circu-its,” IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 62,no. 8, pp. 1605–1615, Aug 2014.

[3] H. Haus, Waves and fields in optoelectronics, ser. Prentice-Hall Series inSolid State Physical Electronics. Prentice Hall, Incorporated, 1984.

[4] W. Suh, Z. Wang, and S. Fan, “Temporal coupled-mode theory and thepresence of non-orthogonal modes in lossless multimode cavities,” IEEEJournal of Quantum Electronics, vol. 40, no. 10, pp. 1511–1518, Oct2004.

[5] Q. Li, T. Wang, Y. Su, M. Yan, and M. Qiu, “Coupled mode theoryanalysis of mode-splitting in coupled cavity system,” Opt. Express,vol. 18, no. 8, pp. 8367–8382, Apr 2010.

ABSTRACT

In this paper we will derive approximate analytical form ofS-parameters for transmission line coupled with antisymmetricresonators – the case in which the geometry has no mirrorsymmetry, but instead it remains unchanged under inversionor rotation. Such case is interesting because it is possible toexcite additional modes, which are unavailable in symmetricstructures. Derivation is based on coupled mode theory, andobtained expressions will be applied to the case of microstripline coupled with split-ring resonators, unknown parameterswill be obtained by fitting, and final results will be comparedto numeric simulations.

Scattering parameters for transmission line coupled withantisymmetric resonators

Vojislav MilosevicBranka Jokanovic

parametri rasejanja za vod spregnut sa antisimetricnim ......za parametre transmisije i reﬂeksije...

Documents