Fonaments Matematics de l’Enginyeria II 1er

Primer ParcialNom i cognoms: DNI:

Exercici 1 [1.5 punts]

Donades les funcions:{

f : R2→ R

3

(x, y) → (x+ y, x− y, xy){

g : R3→ R

2

(x, y, z) → ( zx−y

, x+ y)

π

−π π

y

x

Calcula: la Jacobiana def (0.5 punts), la Jacobiana deg(0.5 punts) i la Jacobiana de(g ◦ f) (0.5 punts).

Exercici 2 [2 punts]

Calcula la integral de la funcio f(x, y) = sin(x +y) sobre el suport que s’indica al diagrama de lafigura.

Exercici 3 [1 punts]

En les seguents funcions, digues per quin o quins valors d’α

les funcions son homogenies. Si no poden ser homogeniesper cap valor d’α posaper cap valor:

a) f(x, y) = 1 +

(

2y

x− y

)α

b) f(x, y) = ln xα− ln y

(1)

Exercici 4 [2 punts]

Troba la funcio y(x) quees solucio de l’equacio diferencial

y′

y − 1−

y + 1

x+ 1= 0 (2)

i verifica la condicio y(x = 0) = 2.

Exercici 5 [1.5 punts]

Troba la solucio general de l’equacio diferencial:

y′ = −

2 + 1

yex/y

2y − xy2ex/y

(3)

Exercici 6 [2 punts]

Trobeu la solucio general de la seguent equacio diferencial

y′′ + 4y′ = sin 2x+ sin x. (4)