7/26/2019 Parcial Mtodos Matemticos

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Variable compleja

El objetivode este primer parcial es poder resolver integrales de la

forma:1

2i

f(z)

z a dz

o similar usando las herramientas y propiedades (teoremas) vistos en

clases.

Se proponenalgunos problemas para examen. Recuerde comen-

zar con los ejercicios resueltos del Kurmyshev (Cap.3) y del Derrick

(Caps.1 y 2), y posteriormente trate de resolver los ejercicios plantea-

dos en esos textos. Luego trate de realizar los siguientes ejercicios.

Calcular 51.

Calcular cos5(+)usando la frmula de Euler.

Considere los siguientes tres caminos1, 2,3: [0, 2] C,dados por

1(t) =exp(it)

2(t) =exp(2it)

3(t) =exp(it)

parat [0, 2]. Muestre que las imgenes en C (planoz) son lasmismas pero que las integrales de contorno:

1

dz

z ,

2

dz

z ,

3

dz

z

son todas diferentes.

Sea un contorno circular con centro 0 y radio 1, atravesado en

sentido positivo. Muestre que para 0 k n, se tiene

n

k

=

n!

k!(n k)! = 1

2i

(1+z)n

zk+1 dz

7/26/2019 Parcial Mtodos Matemticos

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16 mtodos matemticos para ingeniera

Dadou(x,y) =x2 y2 +y, calcule el conjugado armnicov(x,y)ydetermine la funcin f(z) = u+iv tal queu+iv es diferenciable.

Use para ello las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Demuestre la frmula integral de Cauchy.

Obtener la expansin en serie de la funcin

f(x) = 1

1+z

alrededor de a) z0 = 0; b)z0 = 1

2 ; c)z0 = i . Obtenga los radios de

convergencia para cada caso y dibuje las regiones de convergencia

en el plano complejo.

Desarrolle la expansin en serie de f(z) = 11+z para los casos a)

|z| > 1; b) |z 12 | > 32 .Desarrolle la expansin en serie de la funcin

f(z) = 1

(1z)(2+z)para diferentes regiones y radios de convergencia (use las series de

Taylor y de Laurent segn corresponda).

En la funcin

f(z) = ez

z 1cul es el polo (la singularidad aislada) y de qu orden es?

Igual que en la pregunta anterior, con f(z) =cot(z) csc(z).

Demuestre la siguiente igualdad:

T0

eaT cos(bt)dt= eaT(a cos(bT) +b sen(bT)) a

a2 +b2

Ayuda:Trate de integrar f(z) =ez a lo largo del segmento de recta

que une el punto 0 con (a+ib)T.

A revisar/recordar

Pgina78 del Derrick. Tiene que ver con que f(z)sea acotada:

|f(z)

|< M, siendo M un valor finito.