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GUÍA N° 2. DE ALGEBRA.

GRADO: OCTAVO

DOCENTE: SAMUEL HERNÁNDEZ

POLINOMIOS

LOGRO: Reconoce e identifica un polinomio a la vez sabe cuáles son las características de

los mismos.

EXPLORACIÓN: Mateo dice que si remplazas por 4 (cuatro) la X en la expresión 2x2+x+3

sabrás su edad. ¿Mateo es un niño o un adulto?

EXTRUCTURACIÓN:

Un polinomio es una expresión algebraica formada por varios monomios. Los monomios que

conforman el polinomio se denominan términos del polinomio.

Un polinomio recibe el nombre según las cantidades de término que tiene. Así, si el polinomio

tiene dos términos se denomina binomio, si tiene tres términos trinomio y cuando tiene más

de tres términos se le denomina polinomio.

CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO.

Grado absoluto de un polinomio: El grado absoluto de un polinomio es el grado del término de

mayor grado absoluto. Por ejemplo, el grado absoluto del polinomio 2x4 – 3x3 + x2 – 5 es (4) ya

que el término de mayor grado absoluto es 2x4.

Hallar el grado absoluto de 11x3y – 7xy2 + 5x – 13. Hallamos el grado absoluto de cada

monomio 11x3y= (3+1) = 4; 7xy2= (1+2)=3; 5x= (1). Como se puede determinar el grado

absoluto en este caso es 4 que corresponde al mayor número de los monomios que

componen el polinomio y cuyo término es 11x3y.

Grado relativo de un polinomio con respecto a una variable: El grado relativo de un polinomio

con respecto a una variable es el mayor exponente que tiene la variable en el polinomio. Así

en el polinomio -2x2y + 5x3, el grado relativo con respecto a x es 3, ya que es el mayor

exponente de esta variable en el polinomio.

Ejemplos:

1. Determinar cuántos términos tiene cada polinomio, luego establecer si es un binomio,

trinomio o polinomio.

a. 4x2 – 9y2; como está conformado por dos términos (4x2) y (9y2) es un binomio.

b. 3m2- 2mn + 5n2 tiene tres términos 3m2; - 2mn; 5n2 por lo tanto es un trinomio.

2. Identificar el grado absoluto del polinomio y su nombre de acuerdo al número de

términos.

2a2b – 5ab: Establecemos el grado absoluto de cada término:

(2+1) (1+1) Por lo tanto el grado absoluto es 3 y recibe el nombre de binomio por

tener dos términos.

3. Determinar el grado relativo con respecto a cada variable del polinomio. x5yz4 – x2z4: El

grado relativo con respecto a la variable x es 5 porque es el mayor exponente de esta

variable en el polinomio. Así mismo el grado relativo con respecto a la variable y es 1 y

con respecto a la variable z es 4.




4. Representar con un polinomio el siguiente enunciado:

El triple de un número menos el cubo de otro, más el producto de los números.

X: un número Y: otro número.

Entonces:

3x El triple de un número.

3x-y3 El triple de un número menos el cubo de otro número.

3x- y3 + xy El triple de un número menos el cubo de otro número más el producto de los

números: (Recuerda que producto en matemáticas significa multiplicación)

Término independiente de un polinomio: El término independiente de un polinomio es el

término de grado cero en el polinomio, es decir, la constante. Por ejemplo: en el polinomio 5y4

– 7y3 + 8y2 – y +19, el término independiente o constante es 19 porqué es el término de

grado cero (0), es decir: 19y0 = 19*1= 19.

Cuando no aparece el término independiente en el polinomio se entiende que este es igual a

cero. Así en el polinomio 3

2 m2n + 5mn – n. El término independiente es igual a cero.

Polinomio ordenado: Un polinomio se puede ordenar de acuerdo con una de sus variables. El

orden se puede establecer en forma ascendente o descendente.

Orden ascendente: Un polinomio se ordena de forma ascendente con respecto a una

variable, si los exponentes de la variable aparecen de menor a mayor en los términos

del polinomio.

Por ejemplo, para ordenar con respecto a la variable m el polinomio -5m2n3 + 9n4m3 – 3 +

8mn2; se tiene: -3 +8mn2 – 5m2n3 + 9m3n4.

Orden descendente: Un polinomio se ordena de forma descendente con respecto a

una variable cuando los exponentes de la variable aparecen de mayor a menor.

Así, para ordenar el polinomio 16st + 3s3t3 – 5 + 22st2; con respecto a la variable t se tiene:

3s3t3 + 22st2 + 16st – 5.

Polinomio completo: Un polinomio es completo si al ordenarlo con respecto a una variable

aparecen sus exponentes en forma consecutiva, desde cero hasta el mayor exponente de la

variable.

Así para determinar si el polinomio 6 – 25x3y2 + xy3 es un polinomio completo con respecto a

la variable x, se debe ordenar en forma ascendente o descendente. Luego se establece si los

exponentes se representan en forma consecutiva. El polinomio ordenado en forma ascendente

con respecto a x es: 6 + xy3 – 25x3y2.

Como el término cuyo grado relativo 2 con respecto a x no está en el polinomio, entonces el

polinomio no es completo.

Términos semejantes de un polinomio: Dos términos de un polinomio son semejantes cuando

su parte literal es la misma, es decir, cuando las variables de ambos términos con sus

respectivos grados relativos, son exactamente iguales.

De acuerdo con lo anterior, en el polinomio 3x4 + 5x3 - 7 – 8x3; los términos semejantes son

5x3 – 8x3 porque tienen la misma variable x y el mismo grado relativo 3. En cambio, en el




polinomio 8ab2 - 2

3a2b, los términos 8ab2 -

2

3a2b no son

semejantes porque, aunque tienen las mismas variables sus exponentes son diferentes.

Polinomio opuesto: El opuesto de un polinomio se obtiene estableciendo el opuesto de los

coeficientes de sus términos. Así el opuesto del polinomio 7

2mn2 – 21n3m + 6 es: -

7

2mn2 +

21n3m – 6.

Ejemplos:

1. Establecer cuál es el término independiente en el polinomio 7p2q - 3

7p3 +

5

2 – 8p2q4. El

término independiente es 5

2.

2. Ordenar el siguiente polinomio en forma ascendente con respecto a la variable n. Luego

determinar si el polinomio es completo o no, con respecto a la misma variable.

-15mn2q + 3

2n3qm2 – 8mn + 5; se deben escribir los términos del polinomio de tal forma

que los exponentes de n aparezcan de menor a mayor, así el polinomio ordenado queda

como: 5– 8mn -15mn2q + 3

2n3qm2; luego el polinomio es completo con respecto a la

variable.

3. Ordenar el siguiente polinomio en forma descendente con respecto a m, luego

determina su grado absoluto: 8m2n – 3m3n2 – 7 + 4mn. Se escriben los términos del

polinomio de modo que aparezcan los exponentes de m de mayor a menor. - 3m3n2 +

8m2n + 4mn – 7; por lo tanto el grado absoluto del polinomio es 5 que corresponde a la

suma de los exponentes del término – 3m3n2 = (3+2=5).

4. Determinar en cada polinomio cuáles son los términos semejantes.

a. -8 + 3a3b - 4

5a2b + 7ab2 - √11ba3 + 5. Se debe obtener exactamente la misma parte

literal y los mismos exponentes o grados relativos. De acuerdo con esto 3a3b y

−√11ba3 son semejantes puesto que tienen las mismas variables con sus respectivos

grados relativos, así mismo -8 y +5 son semejantes porque ambos términos son

constantes. Es importante tener en cuenta que los términos - 4

5a2b y + 7ab2 no son

términos semejantes porque, aunque tienen las mismas variables sus exponentes no

son iguales.

b. yn-1 – yn+1 + 3y - 4

5yn +

1

2y + 9. Los únicos términos semejantes en el polinomio son

1

2y y

3y. Los demás términos no son semejantes entre sí porque no coinciden su parte literal,

aunque así lo parezca. Por ejemplo, los términos yn-1 y – yn+1 aparentemente son

semejantes sin embargo al observar con precisión sus exponentes tienen signos

diferentes por ello no son semejantes.




5. Establecer el opuesto del siguiente polinomio: 1

2pq3 -

3p2q + 2. Se establece el opuesto del coeficiente de cada término, de tal forma que el

opuesto del polinomio es: -1

2pq3 + 3p2q – 2.

Valor numérico de un polinomio: El valor numérico de un polinomio es el resultado que se

obtiene al reemplazar las variables del polinomio por sus respectivos valores numéricos y

efectuar las operaciones indicadas.

Es importante tener en cuenta que las variables de un polinomio se les puede asignar distintos

valores numéricos. Así en el polinomio - 1

2a3 + 5a2 + 7 si a = -1.

= - 1

2(-1)3 + 5(1)2 +7 -

1

2 ( -1)+ 5(1) + 7 =

1

2 +5+7 =

1+(2∗5)+(2∗7)

2 =

1+10+14

2 =

25

2

Entonces si a= 0(cero) = - 1

2a3 + 5a2 + 7 = -

1

2(-0)3 + 5(0)2 + 7 = 7.

Ejemplo:

Establecer el valor numérico del polinomio x2y – 3xz + 6 si x=-1; y=1; z = 1

2

Se realiza el siguiente procedimiento:

(-1)2(1) – 3(-1) (1

2) + 6: aquí se remplazan las variables por sus respectivos valores numéricos

= 1 + 3

2 + 6 Se efectúan las multiplicaciones indicadas.

= 2+3+12

2 =

17

2 se realizan las sumas. Por lo tanto, el valor numérico del polinomio es

17

2.

OPERACIONES CON POLINOMIOS.

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS:

Suma de polinomios: La suma de dos o más polinomios se realiza de la siguiente manera:

1. Se escriben los polinomios

2. Se reducen los términos semejantes (que sean iguales sus variables y exponentes), de

los polinomios dados. En caso de que los polinomios no estén ordenados se ordena el

polinomio que resultó con respecto a una variable.

Resta de polinomios: La resta de dos polinomios es un polinomio que resulta de realizar la

suma del primer término del polinomio con el opuesto del segundo:

Ejemplo:

Realiza la suma de los siguientes polinomios: ( 1

2𝑦3 +

2

3y2) + (

3

2𝑦3 -

3

4y2 + 3) =

= ( 1

2𝑦3 -

3

2y3) + (

2

3𝑦2 -

3

4y2) + 3 se agrupan los términos semejantes.

= ( 1

2 +

3

2) y3 + (

2

3 -

3

4)y2 + 3 =

4

2y3+ ( 4∗2−3∗3

12)y2 + 3

=2y3+ (8−9

12) y2+3 =2y3 + (-

1

12) y2+3

=2y3- 1

12 y2+3.




Efectuar las siguientes restas de polinomios:

(3x2+5x+5) - (7x2+2x+1)

= (3x2+5x+6) + (-7x2-2x-1) Se suma el opuesto del segundo término (7x2+2x+1)

= (3x2-7x2) + (5x-2x)+(6-1)=-4x2+3x+5

Signos de agrupación. Los signos de agrupación se utilizan para escribir expresiones

algebraicas relacionadas por medio de las operaciones aritméticas. Los signos de agrupación

se suprimen de adentro hacia afuera teniendo en cuenta:

a. Si el signo de agrupación está precedido del signo más (+), las cantidades se escriben

con el mismo signo.

b. Si el signo de agrupación está precedido del signo menos (-) se cambia el signo de

todas las expresiones dentro del paréntesis.

Ejemplo: Simplificar la siguiente expresión suprimiendo los signos de agrupación.

-5x2+ [3y-(4x2+2y)]

=-5x2+ [3y-4x2-2y] Se elimina el paréntesis

=-5x2+3y-4x2-2y Se elimina el corchete

= (-5x2-4x2) + (3y-2y) Se agrupan términos semejantes.

=-9x2+y Se realizan las operaciones de los paréntesis

Combinación de suma y resta. En la suma y resta de varios polinomios, se tiene en cuenta la

eliminación de los signos de agrupación y luego la reducción de términos semejantes.

Por ejemplo: (-5x3+4x2-4x+1) + (5x3+4x2-3x-1) - (2x3+3x2-5x-4)

= -5x3+4x2-4x+1+5x3+4x2-3x -1 -2x3 - 3x2 +5x +4

= -5x3+5x3-2x3+4x2+4x2-3x2-4x-3x+5x+1-1+4

= -2x3+5x2-2x+4 Se suman los términos semejantes.

Multiplicación de polinomios: La multiplicación de polinomios es otro polinomio que se

obtiene al realizar el producto (Multiplicación) de cada término del primer polinomio con cada

uno de los términos del segundo polinomio, aplicando la propiedad distributiva y las

propiedades de la potenciación.

Ejemplo:

Efectuar la siguiente multiplicación (2m2+5n3)(m2n-3n2)

=(2m2+5n3)(m2n-3n2) Se toma el primer término del polinomio y se multiplica por cada uno de

los términos del segundo polinomio, luego realizamos el mismo procedimiento con el segundo

término del primer polinomio.

=(2m2)(m2n)+(2m2)(-3n2)+(5n3)(m2n)+(5n3)(-3n2)

=2m2+2n+(-6m2n2)+5m2n3+1+(-15n3+2)




=2m4n-6m2n2+5m2n4-15n5

Operaciones combinadas entre polinomios: En algunas operaciones entre polinomios

aparecen simultáneamente sumas, restas y multiplicaciones, con los signos de agrupaciones.

Se realizan los siguientes pasos:

1. Se resuelven los productos indicados entre los paréntesis.

2. Se eliminan los signos de agrupación.

3. Se reducen términos semejantes.

Ejemplo:

a. Simplificar la siguiente expresión algebraica: 2a4-7{a3+3a[4a2-6a(2a2+a)]-9a2}. Vamos a

suprimir los signos de agrupación de adentro hacia afuera, en ese orden de ideas vamos

a desaparecer el paréntesis, además aplicamos la propiedad distributiva.

= 2a4-7{a3+3a[4a2-(6a)(2a2)-(6a)(a)]-9a2}

=2a4-7{a3+3a[4a2-12a3-6a2]-9a2}

Vamos a eliminar el corchete aplicando la ley distributiva

=2a4-7{a3+3a*4a2-3a*12a3-3a*6a2-9a2}

=2a4-7{a3+12a3-36a4-18a3-9a2}

Ahora se elimina la llave, aplicando la ley distributiva

=2a4-7a3-84a3+252a4+126a3+63a2

Los agrupamos por términos semejantes.

=(2a4+252a4) +(-7a3-84a3+126a3)+63a2

=254a4+(-91a3+126a3) +63a2

Rta =254a3+35a3+63a2.

b. ( 1

2x -

1

4 y) (

1

2𝑥 +

1

4𝑦) – 12xy(

2

3𝑥 −

3

4𝑦) vamos a aplicar la ley distributiva.

=1

2𝑥 ∗

1

2𝑥 +

1

2𝑥 ∗

1

4𝑦 −

1

4𝑦 ∗

1

2𝑥 −

1

4𝑦 ∗

1

4𝑦 − 12𝑥𝑦 (

2

3𝑥 −

3

4𝑦).

=1

2∗2x1+1+

1∗𝑥𝑦

2∗4 -

1∗𝑦𝑥

4∗2−

1

4∗4𝑦1+1-12xy*

2

3𝑥+12xy*

3

4𝑦 =

𝑥2

4+

𝑥𝑦

8−

𝑥𝑦

8−

𝑦2

16−

24

3x2y+

36

4xy2

=1

4x2+

1

8xy-

1

8xy-

1

16y2-8x2y+9xy2 Se realizan las operaciones

=1

4x2 -

1

16y2 -8x2y +9xy2 Esta es la respuesta a la expresión simplificada.

División entre polinomios: Existe un polinomio dividendo, un polinomio divisor, un polinomio

cociente y un polinomio residuo. En algunos casos el residuo no es un polinomio sino un

número. Si el número de la división es cero, se dice que la división es exacta y que el polinomio

dividendo es divisible entre el polinomio divisor.

Para que el cociente de una división entre polinomios sea un polinomio se requiere que el




grado del polinomio dividendo sea mayor que el grado del

polinomio divisor (Recuerda que grado es lo mismo que exponente).

La división de polinomios se realiza de la siguiente manera:

1. Se escriben los dos polinomios ordenados en forma descendiente con respecto a una

de las variables; si faltan términos se deja el espacio.

2. Se confirma que el grado del polinomio dividendo es mayor que el grado del polinomio

divisor.

3. Se ubican los polinomios de la misma forma que la división de números naturales.

4. Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del polinomio

divisor, cuyo resultado será el termino del cociente.

5. Se multiplica el término que se obtiene por cada uno de los términos del polinomio

divisor y se restan de los términos del polinomio del dividiendo.

6. Se baja el siguiente termino del dividendo y se realiza la división entre el primer término

que aparece después de efectuada la resta y el primer término del divisor y este será el

segundo término del polinomio cociente.

7. Luego, se repite el procedimiento hasta llegar a un residuo con menor grado que el

polinomio divisor.

Por ejemplo: Al divisor (9x2 +4 -12x) ÷(3x-1), se debe tener en cuenta que: el polinomio

dividendo es 9x2+4-12x. Y procedemos a ordenarlo con respecto a la variante x en forma

descendente:

9x2-12x+4.

El polinomio divisor es 3x-1: Ya está ordenado con respecto a x.

El grado del polinomio dividendo en este caso es 2, es mayor que el grado del polinomio

divisor que es 1.

Luego se divide así:

9x2-12x+4 3x-1

-9x2+3x 3x-3

-9x+4

9x-3

1

Luego se multiplica -3(3x-1) y se realiza el mismo proceso hasta obtener residuo 1.

Por tanto, el cociente o resultado es: 3x-3. Para verificar el resultado de la división se suma

el residuo al producto o resultado de multiplicar el cociente por el divisor, así:

[(3x-3)(3x-1)]+1

=9x2-3x-9x+3+1

=9x2-12x+4

Como el resultado es igual al dividendo la división es correcta.

Se divide 9x2 entre 3x de donde se obtiene 3x.

Se multiplica: 3x(3x-1) y se resta el opuesto del producto al polinomio del dividendo.

Ahora se divide -9x entre 3x donde resulta -3.




Ejemplos:

1. Realizar cada división entre polinomios.

a. (6x6 -2x4) ÷ (2x3-x)

El polinomio dividiendo es: 6x2-2x4 y su grado es 6

El polinomio divisor es: 2x3-x y su grado es 3

El grado del polinomio dividendo es mayor que el grado del divisor. Por lo tanto, se

divide así:

6x6-2x4 2x3-x

-6x6+3x4 3x3+1

2x

x4

-x4 +

1

2x2

1

2x2

Se divide x4 entre 2x3. Luego, se multiplica por (2x3-x) y se repite el procedimiento.

b. (1

2x2+

1

3x -

1

4)÷(

1

2x+

2

3)

El polinomio dividendo es 1

2x2+

1

3x -

1

4, ya se encuentra ordenado en forma descendente con

respecto a la variable x, su grado es 2.

El polinomio divisor es 1

2x+

2

3, ya esta ordenado y su grado es 1.

Luego se divide así

1

2x2+

1

3x-

1

4 1

2x+

2

3

-1

2x2+

1

3x x-

2

3

-1

3x -

1

4

1

3x+

4

9

7

36

Se divide 6x6 entre 2x3. Luego se multiplica el resultado por (2x3-x). El opuesto del producto se ubica debajo del

polinomio del dividendo y se suma.

Se divide 1

2x2 entre

1

2x. Luego se multiplica el

resultado por (1

2𝑥+

2

3).

El opuesto del producto se suma al polinomio

dividendo.

Se divide - 1

3𝑥 entre

1

2𝑥 y se nefectua el mismo

procedimiento.




ACTIVIDAD:

1. De tres ejemplos de binomio, trinomio y polinomio.

2. Establece el grado absoluto de cada polinomio. Luego determina el grado relativo del

polinomio con respecto a la variable x.

a. 6x5y2 + 3x4y – 8x3 + 1

b. - 7

8m11x9 -

2

3x4m15 – 5 +

1

4m10x10

3. Ordena los siguientes polinomios en forma ascendente con respecto a la variable

indicada. Luego, determina el término independiente en cada polinomio.

a. –a4b3 + 3a3b4 – 10 + 1

2a2b5, con respecto a b.

b. x4m3 - 2

5x2m2 – 13, con respecto a m.

4. Determinar en cada polinomio cuáles son los términos semejantes.

a. 3x – 8y + 5x – 4z + 2x – 11y – 2z.

b. 8

7m2 -

3

10m3n +

1

4n2 +

2

5nm3 -

1

7m2

5. Hallar el opuesto de cada polinomio.

POLINOMIO POLINOMIO OPUESTO

-[2m6 – 8m4 + 3]

7a2b – 4ab + 2b - 1

−1

5m5 + 4m4 + 2mn - 8

6. Determina el valor numérico de los siguientes polinomios si x= -2, y= 1

3 y z= -5.

a. 3x2y - 5xy2 + x - 3y + 2

b. 3

4x3y2z -

7

2x2y3z2 +

1

5xy4z

7. Determina el perímetro de las siguientes figuras si a=3, b=2 y c= 1

2.

8. Determina el área de la siguiente figura si x=6, y=4 y z=1.

a. b.




9. El dueño de una fábrica de mesas elaboradas a mano, ha observado que el costo por

mesa depende del número de mesas producidas.

El costo total C, para elaborar x mesas está dado por la siguiente expresión:

C= x3+5x+16.000

Responde:

a. ¿Cuál es el costo de producción por una mesa?

b. ¿Cuál es el costo de producción por 40 mesas?

10. Realiza las siguientes sumas

a. (-15xy2 + 8x2y - 9x) + (-18x2y - 3x + 6)

b. (-12x3y2 + 5x2y3 - 9) + (- 8

3x3y2 +

4

7)

11. Realiza las siguientes restas

a. (6x2 - 3x + 8) - (8x2 + 7x + 5)

b. (-6xy2 + 8x2y) - ( 1

5xy2 -

3

4x2y2)

12. Elimina los signos de agrupación y, luego, reduce términos semejantes

a. -4x -(5x2 + 7x) + (8x2-15x)

b. [7

5x2 - (

5

2𝑥 +

2

7)] - [

3

2x2-

7

5x + 1]

13. Halla el polinomio que hace falta en la operación

(5m - 3n -1) + = 4n-10

14. Hallar los términos de la siguiente operación

5x2 - + 7y2 – 30

5xy - +

+ xy – 36y2 ____________________ -21x2 – 8xy + 2y2 + 15

15. Realiza los siguientes productos

a. (5m2)(-3m2n+8)




b. (-3

2xy2+

4

5x2y)(-

1

7𝑥𝑦)

16. Multiplica los siguientes polinomios

a. (4m2n+7mn2)(-3m2n+2mn2)

b. (2

3a3b -

4

7ab)(

8

5ab-

6

5a2b)

17. Realiza las siguientes divisiones

a. (x2+3x+8) ÷ (x+2)

b. (m2-m+2m3-16) ÷ (m-2)

c. ( 1

6a2 +

5

36a -

1

36) ÷ (

1

3a -

1

3)

NOTA: De esta actividad saldrán 4 notas de la siguiente manera:

La primera nota será sobre la realización de los ejercicios del 1 al 5.

La segunda saldrá de calificar los ejercicios del 6 al 9.

La tercera nota se obtendrá de revisar los ejercicios del 11 al 14.

La cuarta nota se obtendrá de la calificación de los ejercicios 15 al 17.

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