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IngenIeriacutea InvestIgacIoacuten y tecnologiacutea

volumen XX (nuacutemero 3) julio-septiembre 2019 1-11ISSN 2594-0732 FI-UNAM artiacuteculo arbitradoInformacioacuten del artiacuteculo Recibido 19 de junio de 2018 aceptado 4 de junio de 2019Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 40 International (CC BY-NC-ND 40) licensehttpdxdoiorg1022201fi25940732e201920n3033

ResumenLa dinaacutemica del fenoacutemeno de la cavitacioacuten es una funcioacuten principalmente de los nuacutemeros de cavitacioacuten Mach and Reynolds asiacute como de la fraccioacuten volumeacutetrica de gas maacutes vapor disuelta en el liacutequido y de los factores geomeacutetricos del dispositivo cavitante Ac-tualmente se usan algunos dispositivos de gran tamantildeo y complejidad para monitorear de forma no invasiva algunas de las variables previamente mencionadas Sin embargo son aparatosos costosos y en algunos casos peligrosos como la tomografiacutea eleacutectrica y de rayos X Una alternativa es el monitoreo de las emisiones acuacutesticas generadas por el fenoacutemeno de la cavitacioacuten junto con modelos teoacutericos simplificados como los paraacutemetros concentrados para determinar en forma simple e inmediata algunas de las variables mencionadas Debido a lo anterior en este trabajo se estudia a la cavitacioacuten en un tubo Venturi como un sistema de segundo orden capaz de generar y amortiguar frecuencias acuacutesticas usando las ecuaciones de Navier-Stokes para flujos estacionarios bifaacutesico ho-mogeacuteneos unidimensionales y barotroacutepicos En consecuencia el coeficiente de frecuencia determinado es una funcioacuten de las varia-bles mencionadas Para corroborar el modelo teoacuterico se implementa un sistema hidrodinaacutemico con vaacutelvulas una bomba y un tubo Venturi La acuacutestica asiacute como temperatura y la dinaacutemica del flujo se monitorean usando sensores piezoeleacutectricos un termoacutemetro una caacutemara de alta velocidad y un manoacutemetro diferencial De acuerdo con los resultados la frecuencia es un indicador de los cam-bios en la fraccioacuten volumeacutetrica de gas maacutes vapor disuelto en el liacutequido y del comportamiento del tubo Venturi como medidor o controlador de caudal Ademaacutes las variables que permiten a los flujos cavitantes propagar ondas de presioacuten son el nuacutemero de Mach y cavitacioacuten Aunque el presente modelo teoacuterico es consistente con las observaciones experimentales debe ser modificado para incluir la generacioacuten de ondas de presioacutenDescriptores Paraacutemetros concentrados cavitacioacuten hidrodinaacutemica flujo bifaacutesico tubo Venturi fraccioacuten volumeacutetrica de gas

AbstractDynamics of the cavitation phenomenon is mainly function of the cavitation numbers Mach and Reynolds as well as of the volume-tric fraction of gas plus vapor dissolved into the liquid and the geometric factors of the cavitating device Currently some large and complex devices are used to monitor in a non-invasive way some of the previously mentioned variables Nevertheless they are os-tentatious expensive and in some cases dangerous such as the electrical and x-ray tomography One alternative is the monitoring of acoustic emissions generated by the cavitation phenomenon together with simplified theoretical models such as the lumped para-meter models to determine in a simple and immediate way some of the mentioned variables Due to the above in this work the cavitation into a Venturi tube as a second order system able to generate and damping acoustic frequencies is studied using the Na-vier-Stokes equations for biphasic homogenous one-dimensional and barotropic flows Consequently the frequency coefficient determined is a function of the aforementioned variables To corroborate the theoretical model a hydrodynamic system with valves a pump and a Venturi tube is implemented The acoustic as well as the temperature and flow dynamic are monitored using pie-zoelectric sensors a thermometer a high speed camera and a differential manometer According to the results the frequency para-meter is a change indicator of the volumetric fraction of gas plus vapor dissolved into the liquid and the Venturi tube behavior as a meter or flow controller Furthermore the condition that allows cavitating flows to propagate pressure waves are the Mach and cavi-tation numbers Even though the present theoretical model is consistent with the experimental observations it must to be modified to include the generation of pressure waves Keywords Lumped parameters hydrodynamic cavitation biphasic flow Venturi tube gas volumetric fraction

Paraacutemetros concentrados locales de un tubo Venturi Cavitante Local lumped parameters of a Cavitating Venturi tube

Cruz-Vanegas SamuelUniversidad Nacional Autoacutenoma de MeacutexicoPosgrado en IngenieriacuteaCorreo samisam98hotmailcomhttpsorcidorg0000-0002-0061-8068

IngenIeriacutea InvestIgacIoacuten y tecnologiacutea volumen XX (nuacutemero 3) julio-septiembre 2019 1-11 ISSN 2594-0732 FI-UNAM2

Paraacutemetros concentrados locales de un tubo Venturi caVitante

httpdxdoiorg1022201fi25940732e201920n3033

IntroduccIoacuten

En ingenieriacutea el fenoacutemeno de la cavitacioacuten se define como la formacioacuten y crecimiento de burbujas en un flu-jo cuando el liacutequido alcanza su presioacuten de vapor y sus posteriores colapsos cuando se recupera la presioacuten (Franc amp Jean 2005) La presencia de estas burbujas in-duce oscilaciones en el flujo y vibraciones debido a los cambios volumeacutetricos que sufren Existen modelos ma-temaacuteticos que relacionan la frecuencia de las oscilacio-nes con la geometriacutea esfeacuterica inicial (Plesset amp Prosperetti 1977) y la asimetriacutea de las burbujas (Lon-guet amp Michael 1989) A partir de los modelos anterio-res se proponen diversos modelos teoacutericos analiacuteticos y numeacutericos que consideran tanto paraacutemetros fiacutesicos como quiacutemicos para estudiar el fenoacutemeno denominado ldquocavitacioacuten hidrodinaacutemicardquo como los de Brennen (1995) Gonccedilalves et al (2001) Gastona et al (2001) Kyuichi et al (2010) y Gnanaskandan amp Mahesh (2015) De acuerdo con los resultados presentados en los traba-jos anteriores en teacuterminos generales los efectos ma-croscoacutepicos del flujo son funcioacuten de la energiacutea contenida en las burbujas

Tanto los modelos de la mecaacutenica claacutesica como los fisicoquiacutemicos se complican considerablemente al es-calar el fenoacutemeno para aplicaciones de ingenieriacutea En consecuencia las teoriacuteas de paraacutemetros concentrados adquieren importancia al aproximar el comporta-miento dinaacutemico de las burbujas inspeccionando los paraacutemetros macroscoacutepicos del sistema (Hidraacuteulicos) Basaacutendose en este concepto Louis (1940) establece la primera matriz de transferencia dinaacutemica para flujos ideales y estacionarios En antildeos posteriores DrsquoSouza amp Oldenburger (1964) establecen la funcioacuten de transfe-rencia para redes hidraacuteulicas con tuberiacuteas ciliacutendricas usando las ecuaciones de Navier-Stokes y la transfor-mada de Laplace Concluyendo que en los flujos de comportamiento oscilante superiores a 102 Hz es fac-tible despreciar los efectos de la viscosidad y friccioacuten de las paredes

Aunque el meacutetodo de paraacutemetros concentrados se ha utilizado desde 1940 son Brennen amp Acosta (1973) (1975) y (1976) los primeros en modelar la cavitacioacuten hidrodinaacutemica en una bomba hidraacuteulica parametri-zando en un coeficiente resistivo capacitivo e inducti-vo Estableciendo asiacute el factor de ganancia de flujo maacutesico causado por la produccioacuten fluctuante de bur-bujas En trabajos posteriores como Brennen (1978) y (2007) se introdujo un factor de acoplamiento que con-sidera la inercia de la bomba del flujo y la concentra-cioacuten de las burbujas Permitiendo estudiar el estado transitorio de los flujos y demostrando que la produc-

cioacuten fluctuante de las burbujas genera ondas de presioacuten cinemaacuteticas y dinaacutemicas que superan los liacutemites de di-sentildeo Basaacutendose en los trabajos anteriores Yamamoto amp Tsujimoto (2009) desarrollan un modelo de balance de energiacuteas y otro en paraacutemetros concentrados de un circuito hidraacuteulico que consta de una bomba hidraacuteuli-ca una vaacutelvula y tanques de almacenamiento En su trabajo muestran que la estabilidad del conglomerado de burbujas estaacute relacionada con el valor negativo del factor de ganancia de flujo

Modelos como el de Ashok et al (2002) estaacuten ya dis-ponibles en coacutedigos computacionales para determinar con ligeras consideraciones la histeacuteresis del moacutedulo volumeacutetrico del flujo y la densidad en el proceso de compresioacuten y descompresioacuten de una mezcla Tal es el caso de Junjie et al (2013) quien determina el modulo volumeacutetricos y la densidad transitoria en un pistoacuten hi-draacuteulico Otros modelos teoacutericos para estudiar el reacutegi-men transitorio mediante paraacutemetros concentrados son los de Donghyuk amp Kazuhiko (2014) Shihua et al (2015) y Kamil amp Zbigniew (2015) Estos modelos per-miten determinar la frecuencia de operacioacuten histeacuteresis factor de peacuterdidas calidad tiempo de respuesta factor de ganancia y estabilidad

Son Zuo et al (2006) quienes al estudiar la impedan-cia de un sistema hidraacuteulico con un tubo Venturi aso-cian el comportamiento colectivo de las burbujas con las presiones dinaacutemicas de bajas frecuencias (lt102 Hz) En ese mismo antildeo Li et al (2006) determinan que para un sistema hidrodinaacutemico semejante al anterior las fa-ses del flujo tienen frecuencias propias que se acoplan mediante la velocidad de flujo En antildeos posteriores Zuo et al (2009) demuestra ademaacutes que las oscilaciones volumeacutetricas de un conglomerado de burbujas en un Venturi tienen las mismas frecuencias que las oscilacio-nes de presioacuten Siguiendo los trabajos anteriores Cruz amp Navarrete (2016) demuestran teoacutericamente que la fre-cuencia de oscilacioacuten de los conglomerados de burbujas es una funcioacuten de las caracteriacutesticas de su poblacioacuten la geometriacutea del tubo Venturi y la fraccioacuten volumeacutetrica de gas y vapor disuelta

Debido a lo anterior en este trabajo se estudia en forma teoacuterica y experimental el flujo cavitante a traveacutes de un tubo Venturi Se aplica un enfoque matemaacutetico en paraacutemetros concentrados partiendo de las ecuacio-nes de conservacioacuten de flujos (masa y momento) junto con las analogiacuteas eleacutectrica e hidraacuteulica Asiacute se estable-cen los coeficientes locales de capacitancia inductancia y frecuencia Este uacuteltimo coeficiente es dependiente tanto de la geometriacutea del tubo Venturi como del nuacuteme-ro de cavitacioacuten Mach y la fraccioacuten volumeacutetrica de la fase gaseosa Experimentalmente se observa la dismi-

3IngenIeriacutea InvestIgacIoacuten y tecnologiacutea volumen XX (nuacutemero 3) julio-septiembre 2019 1-11 ISSN 2594-0732 FI-UNAM

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nucioacuten del contenido espectral que se determina teoacuteri-camente al incrementar el caudal y asiacute el nuacutemero de Mach y la fraccioacuten volumeacutetrica de la fase gaseosa

Modelo teoacuterIco

Es factible modelar un sistema dinaacutemico mediante pa-raacutemetros concentrados cuando la dependencia espacial de las variables no se considera es decir cuando un cambio en las variables es igual y simultaacuteneo en todo el volumen de estudio (Benson amp Benson 1991) Se consi-dera un flujo estacionario bifaacutesico homogeacuteneo unidi-mensional y barotroacutepico con una fase liacutequida newtoniana y una mezcla ideal de vapor y gas denomi-nada desde ahora como fase gaseosa Ademaacutes no existe transferencia de calor y masa entre las fases El flujo pasa a traveacutes de un tubo Venturi con la geometriacutea mos-trada en la Figura 1

Como sabemos todo sistema se modela mediante estados a partir de las ecuaciones que rigen su dinaacutemi-ca Dos estados son fundamentales en el anaacutelisis de los sistemas dinaacutemicos concentracioacuten y disipacioacuten de energiacutea Para modelar estos estados se usan los coefi-cientes capacitivo C inductivo L y resistivo R asiacute como las principales variables que constituyen una analogiacutea

entre los sistemas eleacutectricos e hidraacuteulicos Donde la in-tensidad de corriente i es anaacuteloga con el flujo maacutesico ṁ y la diferencia de voltaje Dv con la diferencia de presioacuten DP La Tabla 1 muestra la comparativa entre las expre-siones de los sistemas eleacutectrico e hidrodinaacutemico

Los factores geomeacutetricos del volumen de control y las propiedades del flujo estaacuten contenidos en los coefi-cientes C L y R El coeficiente capacitivo C se asocia al cambio volumeacutetrico de las fases el inductivo L a la caiacute-da de presioacuten que acelera el flujo y el resistivo R al amortiguamiento generado por la viscosidad del flujo

coefIcIente capacItIvo

Se aplica la siguiente ecuacioacuten de continuidad bifaacutesica para flujos confinados (Brennen 2005)

(1)

donde t x ṁ ρl ρg Ax a son el tiempo la coordenada longitudinal flujo maacutesico densidad del liacutequido densi-dad de la fase gaseosa aacuterea transversal del tubo Ventu-ri y la fraccioacuten volumeacutetrica de la fase gaseosa

[ (1 ) ]x l gm Ax t

ρ a aρpart part= - - +

part part

Figura 1 Esquema del tubo Venturi modelado

Tabla 1 Analogiacutea entre sistemas eleacutectricos e hidrodinaacutemicos donde C L R i DP Dv ṁ t son los coeficientes de capacitancia inductancia y resistencia asiacute como la intensidad de corriente diferencia de presioacuten diferencia de voltaje flujo maacutesico y tiempo respectivamente

Sistema Eleacutectrico Sistema Hidraacuteulico

d vdtDi = C d Pm C

dtD

=

didt

D =v L dmPdt

D =

L

vDi =R

PmR

D =




respectivamente Considerando que los cambios en la densidad del liacutequido y gas son debidos principalmente a la presioacuten y considerando ademaacutes que ρlgtgt ρg se esta-blece la siguiente expresioacuten

(2)

Note que en la Ecuacioacuten (2) el teacutermino дρl дP = al-2 es la

definicioacuten termodinaacutemica de la velocidad del sonido en el liacutequido Aplicando la siguiente ecuacioacuten establecida por Cruz amp Navarrete (2016) para determinar el cambio en la fraccioacuten volumeacutetrica de la mezcla gaseosa debido a la variacioacuten en presioacuten

(3)

donde α P y γ son la fraccioacuten volumeacutetrica de la fase gaseosa la presioacuten local y el iacutendice politroacutepico del gas respectivamente Sustituyendo la Ecuacioacuten (3) y la velo-cidad del sonido en el liacutequido en la Ecuacioacuten (2) e inte-grando respecto de x se obtiene la siguiente expresioacuten

(4)

La ecuacioacuten anterior es vaacutelida cuando los cambios de presioacuten como una funcioacuten del tiempo son predominan-tes Esta condicioacuten se logra cuando la generacioacuten de on-das de presioacuten se suma a la caiacuteda de presioacuten perma- nente ocasionada por los factores geomeacutetricos

Dado que a a la Ecuacioacuten (4) se simplifica como

(5)

donde la caiacuteda de presioacuten DP = P-Pv se establece consi-derando la presioacuten de vapor del liacutequido Pv y una pre-sioacuten local P en el tubo Venturi Esta consideracioacuten nos permite determinar un paraacutemetro concentrado local para determinar propiedades del flujo en una posicioacuten especiacutefica del tubo Venturi

Multiplicando y dividiendo la Ecuacioacuten (5) por el cuadrado de la velocidad media del flujo y por el cuadrado de la velocidad del sonido en el flujo a2 la Ecuacioacuten (5) se reescribe como

(6)

donde s y M son el nuacutemero de cavitacioacuten y Mach res-pectivamente

coefIcIente InductIvo

Se usa la siguiente ecuacioacuten de movimiento para flujos sin friccioacuten (Brennen 2005)

(7)

donde P x u ṁ t Ax son la presioacuten local coordenada longitudinal velocidad local del flujo flujo maacutesico tiempo y el aacuterea transversal del tubo En la Ecuacioacuten (7) las fuerzas de superficie no son consideradas ya que representan el coeficiente resistivo dado por esfuerzos viscosos El primer teacutermino de la derecha expresa el coeficiente inductivo mostrado en la Ecuacioacuten (8) y que es de nuestro intereacutes El segundo teacutermino de la derecha expresa tambieacuten un coeficiente resistivo debido a los cambio de velocidad por la geometriacutea Venturi

(8)

Note que el paraacutemetro inductivo solo depende de los factores geomeacutetricos del tubo Venturi de acuerdo con las consideraciones

coefIcIente de frecuencIa

Se determina a partir de la expresioacuten de frecuencia de un sistema de segundo orden por su capacidad de emi-tir y amortiguar frecuencias (Ecuacioacuten (9))

(9)

Sustituyendo las Ecuaciones (6) y (8) en (9) se obtiene la siguiente expresioacuten

(10)

( 1) lx l g

m PAx P t

ρ aa ρ aρρ

part part part partasymp - + part part part part

P Pa a

gpart -

=part

2

1(1 ) lx

l

Pm A xP ta

ρ aa

g part

asymp - part - + D part int =

2 0la - rarr

lx

Pm A xP t

ρ ag

partasymp - part D part

int

2u

2

2x

MC A xPa

as

asymp - part

int g

1 1

x x

P dm u mx A dt A x

part part= - -

part part

1

x

L xa

= - partint Ax

2 1CL

w =

212 2

af

Ms g ε

π a=


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donde ε = (intAxdx) -1(intAx-1dx)-1 engloba los factores geo-

meacutetricos del tubo Venturi Como la transferencia de ca-lor y masa no son considerados en este modelo entonces es factible utilizar la expresioacuten barotroacutepica de Ciro et al (2003) para relacionar la fraccioacuten volumeacutetrica de la fase gaseosa y la velocidad de sonido en el flujo a considerando que al

-2 rarr 0 Asiacute la Ecuacioacuten (10) se rees-cribe como

(11)

donde ρl ag ρg son la densidad de la fase liacutequida asiacute como la velocidad del sonido en la fase gaseosa y la densidad de la fase gaseosa respectivamente

arreglo experIMental

En la Figura 2 se esquematiza el circuito hidraacuteulico a utilizar por el cual fluye agua sin ninguacuten tratamiento previo Cuenta con un tanque de refrigeracioacuten capaz de mantener una temperatura maacutexima de 33 degC en reacutegi-men de cavitacioacuten desarrollada una bomba de 5 Hp controlada por un convertidor de frecuencia que asegu-ra un ajuste de la tasa de flujo del liacutequido una vaacutelvula de regulacioacuten de gasto vaacutelvula de purga dos vaacutelvulas de paso un manoacutemetro diferencial de mercurio y un tanque de almacenamiento 70 L La tuberiacutea es de PVC (policloruro de vinilo) de 508 mm de diaacutemetro ceacutedula 40 y 80 asiacute bien el tubo Venturi es manufacturado en

PMMA (Polimetacrilato de metilo) Para monitorear los cambios en frecuencia se aplica un golpe con un sensor de fuera en caiacuteda libre al tubo Venturi y las sentildeales generadas son censadas con un transductor piezoeleacutec-trico de 1 MHz de ancho de Banda La temperatura se monitorea con un termopar tipo J en el tanque de alma-cenamiento Finalmente la caacutemara de alta velocidad se programa para adquirir 49000 cuadros por segundo del tubo Venturi

resultados y dIscusIoacuten

El presente modelo teoacuterico se aplica entre la entrada de la zona convergente y garganta del tubo Venturi ya que en estas zonas la presioacuten del flujo puede caer hasta la presioacuten de vapor del liacutequido y generar una mezcla bifaacute-sica (Figura 1) Este flujo cavitante se considera una mezcla de agua y vapor de agua a 25degC y sus propieda-des fiacutesicas se muestran en la Tabla 2 Dos casos de estu-dio se consideran en la parte teoacuterica

1) Flujo cavitante subsoacutenico a supersoacutenico (Figura 3) y

2) Flujo con diversos nuacutemeros de cavitacioacuten desde una condicioacuten soacutenica a supersoacutenica y con constante (Fi-guras 4 y 5)

Los datos de la caiacuteda de presioacuten se adquieren entre la entrada de la zona convergente y garganta del tubo Venturi desde una condicioacuten subsoacutenica y a diferentes temperaturas iniciales (Figuras 6 y 7)

1

22

1 1 (1 )2 2

l

gg

fM a

ρs g εa a a

π a ρ

- = + -

Figura 2 Representacioacuten esquemaacutetica del arreglo experimental

Tabla 2 Propiedades fiacutesicas del agua a 25 oC

Velocidad del sonido 1542 ms

Densidad 989 kgm3

Velocidad del sonido(vapor de agua)

443 ms

Densidad de vapor 0083 kgm3

Iacutendice politroacutepico 14




En la Figura 3 se observa que los flujos con una frac-cioacuten volumeacutetrica gaseosa cercana a cero transmiten on-das de presioacuten con frecuencias tan altas como 10 KHz Por el contrario los flujos bifaacutesicos transmiten ondas de presioacuten con frecuencias inferiores a 1 KHz Cuando el flujo es principalmente gaseoso la frecuencia se recu-pera Ademaacutes al incrementar el nuacutemero de Mach la magnitud del coeficiente de frecuencia disminuye El valor miacutenimo de frecuencia se consigue al tener 60 de mezcla gaseosa en el flujo

La Figura 4 muestra el comportamiento decreciente de la frecuencia al disminuir el nuacutemero de cavitacioacuten Este comportamiento se observa por Li et al (2006) al es-tudiar la cavitacioacuten del Warwick Venturi No obstante tanto la Figura 4 como la Figura 3 sugieren ademaacutes que

los nuacutemeros de cavitacioacuten y Mach establecen las frecuen-cias que seraacuten amortiguadas en el flujo cavitante

En la Figura 5 se despliega el comportamiento en frecuencia como una funcioacuten del nuacutemero de Mach con 10 de fase gaseosa o a = 001 Donde se observa que la frecuencia disminuye de forma exponencial cuando el flujo cambia de subsoacutenico a supersoacutenico Debido a este comportamiento el nuacutemero de Mach es la principal variable que interviene en la atenuacioacuten de las ondas de presioacuten

En la Figura 6 se despliega la caiacuteda de presioacuten entre la entrada de la zona convergente y la garganta del tubo Venturi (Figura 1) asiacute como el incremento en la tempe-ratura Donde se observa que a bajos porcentajes de tra-bajo de la bomba hidraacuteulica (lt40) se presenta un

Figura 3 Comportamiento del coeficiente de frecuencia de un flujo cavitante en agua como una funcioacuten de la fraccioacuten volumeacutetrica de la fase gaseosa a y el nuacutemero de Mach M Considerando un nuacutemero de cavitacioacuten s=1

Figura 4 Comportamiento del coeficiente de frecuencia de un flujo cavitante de agua como una funcioacuten del nuacutemero de cavitacioacuten s y del nuacutemero de Mach M Considerando una fraccioacuten volumeacutetrica a=001 Donde se observa que el incremento de M y el decremento de s disminuyen la magnitud del coeficiente de frecuencia

Figura 5 Comportamiento del coeficiente de frecuencia como una funcioacuten del nuacutemero de Mach con una fraccioacuten volumeacutetrica de fase gaseosa constante a


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comportamiento casi lineal con ligeras desviaciones estaacutendar Este comportamiento nos sugiere que sin im-portar la temperatura inicial del liacutequido es factible esti-mar el caudal con el tubo Venturi a bajas velocidades de flujo Al incrementar el porcentaje de trabajo de la bom-ba de 40 a 50 aumenta tambieacuten la desviacioacuten estaacuten-dar ya que se generan variaciones de presioacuten por los colapsos colectivos de burbujas Un comportamiento similar se observa para porcentajes de trabajo mayores a 50 por lo que el comportamiento del tubo Venturi como controlador de gasto es dependiente tambieacuten de la temperatura

En la Figura 7 se muestran los espectros en frecuen-cias y espectrogramas de un golpe dado por el sensor de fuerza al tubo Venturi Inicialmente se muestra la respuesta del sensor de fuerza y el piezoeleacutectrico de re-cepcioacuten encontrados donde se observa una densidad espectral de hasta 60 kHz Al montar el instrumento en el tubo Venturi y dar un golpe a 22 de trabajo de la bomba hidraacuteulica la magnitud y la frecuencia disminu-yen considerablemente debido a la separacioacuten entre los transductores y a la fraccioacuten volumeacutetrica gaseosa ini-cial Al rededor de un 38 de trabajo de la bomba hi-draacuteulica el contenido espectral disminuye indicando que el nuacutemero de Mach aumentoacute por el incremento de la velocidad del flujo Finalmente en un 53 de trabajo de la bomba hidraacuteulica se amortiguan algunas frecuen-cias generadas por el golpe del sensor de fuerza y apa-recen otras que no se observan en las condiciones anteriores Un comportamiento similar se observa en un 56 de trabajo pero las frecuencias que aparecen muestran mayor magnitud Esto sugiere que se gene-ran ondas de presioacuten que se superponen con la sentildeal del golpe y son detectadas por el transductor piezoeleacutec-trico de recepcioacuten Ademaacutes a mayor potencia suminis-

trada al flujo mayor seraacute la cantidad e intensidad de las ondas de presioacuten generadas

La Figura 8 muestra un ciclo del comportamiento dinaacutemico del flujo bifaacutesico en la zona divergente a 56 de la potencia de bombeo La imagen a) ilustra la frac-cioacuten volumeacutetrica gaseosa (una sola estructura) que lle-na toda la garganta y una parte de la zona divergente En b) se muestra un zoom de la zona divergente y c) muestra una nube de burbujas que se separoacute de la uacutenica estructura de cavitacioacuten por una onda de presioacuten que se generoacute Esta nube de burbujas se mueve a traveacutes de la zona divergente hasta una posicioacuten donde colapsa emi-tiendo una segunda onda de presioacuten (ver d)) que posi-blemente en su origen haya sido una onda de choque (ver e)) Desde f) hasta i) se observa coacutemo la onda de presioacuten se propaga en el flujo De acuerdo con las imaacute-genes adquiridas por Pavel et al (2014) para un sistema similar al nuestro se establecioacute que el reacutegimen del flujo cavitante presente en el tubo Venturi es del tipo parcial Esto nos permite determinar un intervalo de nuacutemeros de cavitacioacuten (02 lt s lt 07) en el cual este arreglo expe-rimental estaacute funcionando

Figura 6 Comportamiento de la caiacuteda de presioacuten y temperatura como una funcioacuten del porcentaje de trabajo de la bomba hidraacuteulica




Figura 7 Anaacutelisis en tiempo y frecuencia de la respuesta generada por un sensor de fuerza en caiacuteda libre a un tubo Venturi cavitante Las sentildeales fueron adquiridas a diferentes porcentajes de trabajo de la bomba hidraacuteulica y con una temperatura inicial de 33 degC Donde ua significa unidades adimensionales


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conclusIones

Se establecieron los coeficientes locales de inductancia capacitancia y frecuencia para flujos estacionarios bifaacute-sico homogeacuteneo y unidimensional El coeficiente de frecuencia es dependiente de la geometriacutea del tubo Venturi la fraccioacuten volumeacutetrica de la fase gaseosa los nuacutemeros de Mach y cavitacioacuten Debido a que la fre-cuencia depende de las variables anteriormente men-cionadas es factible utilizarlo en futuros trabajos para determinar la presencia y el reacutegimen de cavitacioacuten Con

base en el modelo establecido se determinoacute que los flu-jos con un reacutegimen de cavitacioacuten parcial amortiguan frecuencias superiores a 10 KHz Asiacute bien es posible que cada reacutegimen cavitante amortiguumle un determinado intervalo de frecuencias ya que las principales varia-bles que activan esta condicioacuten son el nuacutemero de Mach y cavitacioacuten Experimentalmente se demostroacute el amor-tiguamiento de las frecuencias generadas por el golpe del sensor de fuerza en caiacuteda libre a diferentes porcen-tajes de trabajo de bombeo Mediante la caacutemara de alta velocidad se demostroacute la generacioacuten de ondas de pre-

Figura 8 Comportamiento dinaacutemico del flujo cavitante a 56 de la potencia de bombeo en la zona divergente Este video fue tomado a 49000 cuadros por segundo




sioacuten que nos indica que el flujo cavitante dejo de amor-tiguar ondas de presioacuten y comenzoacute a generarlas Este comportamiento de los flujos cavitantes como genera-dores de ondas de presioacuten no es predicho por el modelo teoacuterico y seraacute tratado en futuros trabajos

noMenclatura

C Coeficiente capacitivoL Coeficiente inductivoR Coeficiente resistivof Coeficiente de frecuenciai Intensidad de corrienteṁ Flujo maacutesicoDv Diferencia de voltajeDP Diferencia de presioacuten P Presioacuten localPv Presioacuten de vapor del liacutequidot Tiempox Coordenada longitudinalρl Densidad de la fase liacutequidaρg Densidad de la fase gaseosaα Fraccioacuten volumeacutetrica de la fase gaseosaAx Aacuterea transversal del tubo Venturia Velocidad del sonido en la mezclaal Velocidad del sonido en la fase liacutequidaag Velocidad del sonido en la fase gaseosaγ Iacutendice politroacutepico de la fase gaseosaσ Nuacutemero de cavitacioacutenM Nuacutemero de Machū Velocidad media del flujou Velocidad local del flujow Frecuencia angularε Factores geomeacutetricos del tubo Venturi

agradecIMIentos

Investigacioacuten realizada gracias al Programa UNAM-DGAPA-PAPIIT proyectos IN106515 ldquoEstudios de los fenoacutemenos fiacutesicos y quiacutemicos en la emisioacuten de frentes de choquerdquo IN112515 ldquoEstudio de la dinaacutemica de mi-crocaacutepsulas bajo la accioacuten de campos acuacutesticosrdquo IN105117 ldquoErosioacuten por cavitacioacuten oacuteptica ultrasoacutenica e hidrodinaacutemicardquo

referencIas

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IntroduccIoacuten

En ingenieriacutea el fenoacutemeno de la cavitacioacuten se define como la formacioacuten y crecimiento de burbujas en un flu-jo cuando el liacutequido alcanza su presioacuten de vapor y sus posteriores colapsos cuando se recupera la presioacuten (Franc amp Jean 2005) La presencia de estas burbujas in-duce oscilaciones en el flujo y vibraciones debido a los cambios volumeacutetricos que sufren Existen modelos ma-temaacuteticos que relacionan la frecuencia de las oscilacio-nes con la geometriacutea esfeacuterica inicial (Plesset amp Prosperetti 1977) y la asimetriacutea de las burbujas (Lon-guet amp Michael 1989) A partir de los modelos anterio-res se proponen diversos modelos teoacutericos analiacuteticos y numeacutericos que consideran tanto paraacutemetros fiacutesicos como quiacutemicos para estudiar el fenoacutemeno denominado ldquocavitacioacuten hidrodinaacutemicardquo como los de Brennen (1995) Gonccedilalves et al (2001) Gastona et al (2001) Kyuichi et al (2010) y Gnanaskandan amp Mahesh (2015) De acuerdo con los resultados presentados en los traba-jos anteriores en teacuterminos generales los efectos ma-croscoacutepicos del flujo son funcioacuten de la energiacutea contenida en las burbujas

Tanto los modelos de la mecaacutenica claacutesica como los fisicoquiacutemicos se complican considerablemente al es-calar el fenoacutemeno para aplicaciones de ingenieriacutea En consecuencia las teoriacuteas de paraacutemetros concentrados adquieren importancia al aproximar el comporta-miento dinaacutemico de las burbujas inspeccionando los paraacutemetros macroscoacutepicos del sistema (Hidraacuteulicos) Basaacutendose en este concepto Louis (1940) establece la primera matriz de transferencia dinaacutemica para flujos ideales y estacionarios En antildeos posteriores DrsquoSouza amp Oldenburger (1964) establecen la funcioacuten de transfe-rencia para redes hidraacuteulicas con tuberiacuteas ciliacutendricas usando las ecuaciones de Navier-Stokes y la transfor-mada de Laplace Concluyendo que en los flujos de comportamiento oscilante superiores a 102 Hz es fac-tible despreciar los efectos de la viscosidad y friccioacuten de las paredes

Aunque el meacutetodo de paraacutemetros concentrados se ha utilizado desde 1940 son Brennen amp Acosta (1973) (1975) y (1976) los primeros en modelar la cavitacioacuten hidrodinaacutemica en una bomba hidraacuteulica parametri-zando en un coeficiente resistivo capacitivo e inducti-vo Estableciendo asiacute el factor de ganancia de flujo maacutesico causado por la produccioacuten fluctuante de bur-bujas En trabajos posteriores como Brennen (1978) y (2007) se introdujo un factor de acoplamiento que con-sidera la inercia de la bomba del flujo y la concentra-cioacuten de las burbujas Permitiendo estudiar el estado transitorio de los flujos y demostrando que la produc-

cioacuten fluctuante de las burbujas genera ondas de presioacuten cinemaacuteticas y dinaacutemicas que superan los liacutemites de di-sentildeo Basaacutendose en los trabajos anteriores Yamamoto amp Tsujimoto (2009) desarrollan un modelo de balance de energiacuteas y otro en paraacutemetros concentrados de un circuito hidraacuteulico que consta de una bomba hidraacuteuli-ca una vaacutelvula y tanques de almacenamiento En su trabajo muestran que la estabilidad del conglomerado de burbujas estaacute relacionada con el valor negativo del factor de ganancia de flujo

Modelos como el de Ashok et al (2002) estaacuten ya dis-ponibles en coacutedigos computacionales para determinar con ligeras consideraciones la histeacuteresis del moacutedulo volumeacutetrico del flujo y la densidad en el proceso de compresioacuten y descompresioacuten de una mezcla Tal es el caso de Junjie et al (2013) quien determina el modulo volumeacutetricos y la densidad transitoria en un pistoacuten hi-draacuteulico Otros modelos teoacutericos para estudiar el reacutegi-men transitorio mediante paraacutemetros concentrados son los de Donghyuk amp Kazuhiko (2014) Shihua et al (2015) y Kamil amp Zbigniew (2015) Estos modelos per-miten determinar la frecuencia de operacioacuten histeacuteresis factor de peacuterdidas calidad tiempo de respuesta factor de ganancia y estabilidad

Son Zuo et al (2006) quienes al estudiar la impedan-cia de un sistema hidraacuteulico con un tubo Venturi aso-cian el comportamiento colectivo de las burbujas con las presiones dinaacutemicas de bajas frecuencias (lt102 Hz) En ese mismo antildeo Li et al (2006) determinan que para un sistema hidrodinaacutemico semejante al anterior las fa-ses del flujo tienen frecuencias propias que se acoplan mediante la velocidad de flujo En antildeos posteriores Zuo et al (2009) demuestra ademaacutes que las oscilaciones volumeacutetricas de un conglomerado de burbujas en un Venturi tienen las mismas frecuencias que las oscilacio-nes de presioacuten Siguiendo los trabajos anteriores Cruz amp Navarrete (2016) demuestran teoacutericamente que la fre-cuencia de oscilacioacuten de los conglomerados de burbujas es una funcioacuten de las caracteriacutesticas de su poblacioacuten la geometriacutea del tubo Venturi y la fraccioacuten volumeacutetrica de gas y vapor disuelta

Debido a lo anterior en este trabajo se estudia en forma teoacuterica y experimental el flujo cavitante a traveacutes de un tubo Venturi Se aplica un enfoque matemaacutetico en paraacutemetros concentrados partiendo de las ecuacio-nes de conservacioacuten de flujos (masa y momento) junto con las analogiacuteas eleacutectrica e hidraacuteulica Asiacute se estable-cen los coeficientes locales de capacitancia inductancia y frecuencia Este uacuteltimo coeficiente es dependiente tanto de la geometriacutea del tubo Venturi como del nuacuteme-ro de cavitacioacuten Mach y la fraccioacuten volumeacutetrica de la fase gaseosa Experimentalmente se observa la dismi-


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Modelo teoacuterIco







(1)


[ (1 ) ]x l gm Ax t


part part




d vdtDi = C d Pm C

dtD

=

didt

D =v L dmPdt

D =

L

vDi =R

PmR

D =





(2)



(3)


(4)



(5)



(6)




(7)


(8)




(9)


(10)

( 1) lx l g

m PAx P t

ρ aa ρ aρρ


P Pa a

gpart -

=part

2

1(1 ) lx

l

Pm A xP ta

ρ aa

g part


2 0la - rarr

lx

Pm A xP t

ρ ag


int

2u

2

2x

MC A xPa

as

asymp - part

int g

1 1

x x

P dm u mx A dt A x

part part= - -

part part

1

x

L xa

= - partint Ax

2 1CL

w =

212 2

af

Ms g ε

π a=


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(11)










1

22

1 1 (1 )2 2

l

gg

fM a

ρs g εa a a

π a ρ

- = + -




Densidad 989 kgm3


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Modelo teoacuterIco







(1)


[ (1 ) ]x l gm Ax t


part part




d vdtDi = C d Pm C

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didt

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L

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D =





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( 1) lx l g

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ρ aa ρ aρρ


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( 1) lx l g

m PAx P t

ρ aa ρ aρρ


P Pa a

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