1.3 Classificação das Equações Diferenciais de 1ª Ordem

Existem numerosos métodos desenvolvidos para resolver equações diferenciais

ordinárias. Veremos de perto vários destes métodos. Certas equações diferenciais de

primeira ordem podem ser mais facilmente resolvidas usando o método de separação de

variáveis.

Uma equação diferencial de primeira ordem é uma relação envolvendo a primeira

derivada. Isto é, pode ser escrita na forma:

(1)

ou (multiplicando ambos os membros pela diferencial dx, onde dx 0)

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

(2)

onde M(x,y) e N(x,y) são funções envolvendo as variáveis x e y. Para esse tipo de

equação, pode-se juntar todos os termos contendo x com dx e todos os termos contendo

y com dy, obtendo-se uma solução através de integração. Tais equações são ditas

separáveis, e o método de solução é o método de separação de variáveis. O método é

descrito a seguir.

1.3.1 Equações Diferenciais Separáveis

* Método de Separação de Variáveis

1. Coloque a equação na forma diferencial

M(x)dx + N(y)dy = 0 ou M(x)dx = - N(y)dy (3)

2. Integre para obter a solução geral

1

.

Exemplo 01 Reescreva a equação diferencial de primeiro grau x2yy’ – 2xy3 = 0 na

forma da Equação (3).

x2yy’ – 2xy3 = 0

x2 ydy – 2xy3dx = 0 (multiplicando cada membro por dx)

-2xy3dx + x2 ydy = 0 (multiplicando cada membro por

1/x2y3)

ou

Neste exemplo, M(x) = - 2/x e N(y) = 1/y2. Por multiplicações e divisões

apropriadas separamos a equação em termos onde cada um envolve apenas uma variável

e a sua diferencial. Assim sendo, a solução geral pode ser obtida por integração de cada

termo.

Exemplo 2 Determinar a solução geral da equação diferencial x2yy’ – 2xy3 = 0.

No Exemplo 1 determinamos que x2yy’ – 2xy3 = 0 pode ser escrita como

ou

2

Integrando cada membro da equação, temos:

ou

1 + 2ylnx + Cy = 0.

Nota 1: Quando a solução de uma equação diferencial envolver a integração de um

termo na forma , escrevemos agora em vez de .

Estamos agora percebendo que a solução é válida apenas quando u é positivo.

Lembrar também de incluir a constante de integração C.

Nota 2: Algumas regras para logaritmo na base e (e 2,718....)

Sendo a > 0 e b > 0 e IR, então:

P1) ln (a . b) = ln a + ln b P3) ln (a) = .ln a

P2) ln (a : b) = ln a - ln b P4) elna = a

Exemplo 3 Resolver a equação diferencial .

Tornando a escrever, temos:

(multiplicar cada membro por dx)

(multiplicar cada membro por

1/y)

3

(integrar cada membro)

lny = arctg x + C

y = earctgx +C

y = k.e arctgx , onde k = eC

Exemplo 4 Resolver a equação diferencial x(1 + y2) – y(1 + x2)y’= 0.

Tornando a escrever, temos:

ou

ou

.

4

Como C é uma constante arbitrária, podemos tornar a escrever esta constante

como C = ½ lnk onde k > 0. Então temos:

ou

ou

ou

Esta última equação é mais fácil de trabalhar porque já não envolve logaritmos

naturais. As equações e são equivalentes. Elas

diferem apenas na forma da constante de integração. Praticando nos exercícios você

ganhará experiência na escolha da forma mais apropriada para esta constante arbitrária.

Exemplo 5 Resolver a equação diferencial y’ – 2x = 0 sujeita à condição inicial de que

y = 1 quando x = 2, ou seja, y(2) = 1.

A solução geral é:

y = x2 + C

Substituindo y = 1 e x = 2, temos:

1 = (2)2 + C 1 = 4 + C - 3 = C

Portanto, a solução particular é

y = x2 – 3

Exemplo 6 Resolver a equação diferencial y + xy’ = 0 sujeita à condição inicial de que

y = 2 quando x = 3, ou seja, y(3) = 2.

Tornando a escrever, temos:

5

ydx + xdy = 0

ou

lnx = - lny + C

lnx + lny = C

lnxy = C

ou lnxy = lnk, onde C = lnk

xy = k

Substituindo y = 2 quando x = 3, temos

3.2 = k 6 = k

Portanto, a solução particular desejada é

xy = 6 ou y = 6/x.

Exercícios

Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.

1. 9.

6

2. 10.

3. 11.

4. 12. (1 + x2)dy – dx = 0

5. 13. (1 + x2)dy + xdx = 0

6. 14.

7. 15.

8. 16.

Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas

às condições dadas.

17. ; y (1) = 1 19. ; y (0) = 4

18. ; y (0) = 2 20. ; y (1) = 1

Respostas

1) y.lnx + 1 = Cy 8) y = arc tg[(ex – 1)³.k] 15) y =

2) y = k. 9) y = 16) y =

3) y = C/x 10) 2y + e-2x = C 17) (2 – x³).y³ = 1

4) y = arc cos(senx – c) 11) y = sen 18) y =

5) 3y² = 2x³ + C 12) y = arc tg x + C 19) y² = 2.ln(x² + 1) + 16

6) y = k. 13) y = - 20) y =

7

7) 1 = 2y².(senx + C) 14) arc tg y = x + +C

Aplicações

21. O preço de revenda de certa máquina descreve em um período de 10 anos, segundo

uma taxa que depende do tempo de uso da máquina. Quando a máquina tem t anos de

uso, a taxa de variação do seu valor é 220(t-10) reais por ano. Expresse o valor da

máquina como função do tempo de uso e do valor inicial. Se a máquina valia

originalmente R$ 12.000,00, quanto valerá quando tiver 10 anos de uso? (Resp:V(t) =

110.t² - 2.200t + C e V(10) = R$ 1.000,00)

22. Segundo estatísticas, a população de certo lugar está crescendo a uma taxa

aproximada de 1.500 t-1/2 pessoas por ano, sendo t o número de anos transcorridos

após 1990. Em 1999, a população deste lugar era de 39.000 pessoas.

(a) Qual era a população, em 1990? (Resp: 30.000)

(b) Se este tipo de crescimento continuar no futuro, quantas pessoas estarão vivendo

neste lugar, em 2015? (Resp: 45.000)

23. Em certa região, às 7 horas da manhã, o nível de ozônio no ar é de 0,25 partes por

milhão. Ao meio-dia, sabe-se que, depois de t horas, a taxa de variação do ozônio no ar

será de partes por milhão por hora.

(a) Expresse o nível de ozônio como função de t. (Resp: Q(t) = 0,03.(36 + 16t –t²)1/2 + 0,07)

(b) Quando ocorre o pico do nível de ozônio? Qual é o nível de ozônio, neste momento?

(Resp:0,37 partes por milhão até 3 horas da tarde)

24. A taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua

temperatura e a do meio circundante. Um objeto cuja temperatura era de 40 graus foi

colocado num ambiente cuja temperatura é de 80 graus. Após 20 minutos, a temperatura

do objeto chegou a 50 graus. Expresse a temperatura do objeto como função do tempo.

(T(t) = 80 – 40.e-0,014t )

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