Particle Filter

תומר באום

ב"ה

מוטיבציה

אנו רוצים להעריך מצב של מערכת )מיקום,•מהירות טמפרטורה וכו'( בעזרת מדידות

שנעשות בזמנים שונים. ) כמו טווח לנקודות ידועות במרחב או קריאות ממכשירי מדידה(.

המדידות והמערכת רועשות.

סידרת מצבים )ווקטורים אקראיים(

כאשר:

iid נקרא רעש התהליך והוא

ו בלתי תלויים k:ולכל

נתון:

1 ( , )k k k kx f x v

{ , }kv k N

kv

kx

kx

{ , }kx k N

בנוסף מהווה שרשרת •מרקוב:

{ , }kx k N

1: 1 1( | ) ( | )k k k kp x x p x x

לשערך את מהמדידות:

iid נקרא רעש המדידה והוא

ו בלתי תלויים k:ולכל

המטרה:

( , )k k k kz h x w

{ , }kw k N

kw

kx

kx

דוגמא:

הערכת מיקום ומהירות במישור של מטרה נעה במהירות קבועה •בעזרת מכ"ם:

ו הם המיקום והמהירות•

המדידה:•

אזימוט וטווח

h ? ו fמה יהיו

[ ; ]k k kx kk

( , )kz r

( , )tan( (2) / (1))

k kk k k k

k k k

rZ h x w w

a

11

1

( , )k k kk k k

k k

x f x v

ניסוח מחדש:posterior densityהמטרה

אנו מעונינים בעצם לחשב את•

כאשר נתון: •

1:( | )k kp x z

מדידה נבצע שני שלבים:Kלכל ועדכון

1( | )k kp x x

( | )k kp z x

משמעות:

1:

1

( | ) .1

( | ) .2

( | ) .3

k k

k k

k k

p x z posterior

p x x prior

p z x likelihood

kההסתברות שהמצב הוא בהינתן התצפיות עד זמן 1.

מודל התנועה או ההשתנות של המצב2.

ההסתברות לקבל תצפית מסוימת בהינתן המצב3.

kx

:K=0

מדידה:•

עדכון:•

0 00 0 0

0

( | )( | ) ( )

( )

p z xp x z p x

p z

1 0 1 0 0 0 0( | ) ( | ) ( | )p x z p x x p x z dx

:K>0

מדידה:•

כאשר

עדכון:•

1: 1: 11: 1

( | )( | ) ( | )

( | )k k

k k k kk k

p z xp x z p x z

p z z

1 1: 1 1:( | ) ( | ) ( | )k k k k k k kp x z p x x p x z dx

1 1: 1: 1( | ) ( | ) ( | )k k k k k k kp z z p z x p x z dx

Monte Carlo Samplingהרעיון אנחנו רוצים ע"י דגימות לשחזר התפלגות לא •

ידועה. כמות הדגימות בד"כ משפיעה על איכות השיערוך.

אפשרות לשיערוך:•

הן הדגימות

1

1

ˆ ( ) ( )s

s

Ni

Ni

p x x x

1{ ,..., }sNx x

Importance sampling

ע"י pאנו רוצים להעריך התפלגות מסוימת •דגימת המרחב.

הבעיה היא שכדי שהדגימה תהיה יעילה יש • צורך באיזה שהוא מידע הסתברותי על המרחב

)יכולות להיות סיבות q - התפלגות נוספת (qשונות לצורך להשתמש ב

יש לנו אוסף של תהליכים מרקוביים )החלקיקים הרעיון:particles שכל אחד מהם מקבל משקל. המשקל יכול )

מסוים )זמן מסוים( , kלהשתנות עם הזמן. עבור

הוא משקל שמתאים לתהליך ה

לכן גם:

Sequential Importance Sampling

0: 1{ , } sNi ik k ix w

ikwi

Random Measure:

1ikiw

Posterior density approximation

0: 1: 0: 0:1

( | ) ( )sN

i ik k k k k

i

p x z w x x

כלומר ההסתברות למצב מסוים הוא סכום המשקלים של

החלקיקים שמגיעים למצב הזה, לכן יש חשיבות גדולה לקביעת המשקלים בצורה נכונה.

כך ש:q אם נבחר

נקבל:

0: 1: 0: 1 1: 0: 1 1: 1( | ) ( | , ) ( | )k k k k k k kq x z q x x z q x z

11

0: 1 1:

( | ) ( | )

( | , )

i i ii i k k k kk k i i

k k k

p z x p x xw w

q x x z

תרחיש חשוב:•

אז:•

0: 0: 1 1: 1( | , ) ( | , )k k k k k kq x x z q x x z

11

1

( | ) ( | )

( | , )

i i ii i k k k kk k i i

k k k

p z x p x xw w

q x x z

מקרה נפוץ )שדורש הנחות נוספות(:•

1 ( | )i i ik k k kw w p z x

וגם:•

ניתן להראות שכאשר מספר הדגימות שואף •לאינסוף זה מתקרב לשיוויון

0: 1: 0: 0:1

( | ) ( )sN

i ik k k k k

i

p x z w x x

חשוב לשמור על וואריאנס קטן:p קרוב לqאנו יוצאים מנקודת הנחה ש •

וש: •

1: 1:

1: 1:

( | )1

( | )k k

qk k

p x zE

q x z

1: 1:

1: 1:

( | )0

( | )k k

qk k

p x zVar

q x z

צפוי להתחזק חלקיק אחד בלבד )הסביר SISבתהליך •( על חשבון כל האחרים. ) כמו ( במקום ביותר

ההתפלגות.הפתרון: נוסיף שלב נוסף דגימה מחדש •

((RESAMPLINGנחליף את:•

ב:•

Resampling

0: 1: 0: 0:1

10: 1: 0: 0:

1

ˆ ( | ) ( )

( | ) ( )

s

s

s

Ni i

k k k k ki

Ni i

k k k k kNi

p x z w x x

p x z N x x

לכל חלקיק נתאים דגימות חדשות•

בהתאם למשקל שלו. לדגימות הללו נקרא "צאצאים".

את ההתפלגות נעריך לפי מספר הצאצאים

0:k

ixk

iN

0: 1~ ( | )i ik k kx p x x

1 ( | )i i ik k k kw w p z x

דגימה לפי:)1(

חישוב משקל חדש לפי התצפית החדשה:)2(

(הוצאת צאצאים לפי המשקל היחסי3)

( דגימה מחודשת לפי עדכון משוערך של 4)ההתפלגות

NICE DEMO MOVIE:

http://www.truveo.com/hand-tracking-using-particle-filters/id/4039684262

Reference:

• “Theory and Implementation of Particle Filters”: )ppt( by Miodrag Bolic )u. of Ottawa(

• “Condensation - Conditional Density Propagation for Visual Tracking”:

Blake, A. Isard, M. INTERNATIONAL JOURNAL OF COMPUTER VISION )1998(

• “A Tutorial on Particle Filters for Online Nonlinear/Non-Gaussian Bayesian Tracking”: Arulampalam et al IEEE TRANSACTIONS ON SIGNAL PROCESSING )2002(

• http://osiris.sunderland.ac.uk/ncaf/htm/pubs/particle.ppt• A good book :“Sequential Mote Carlo Methods in Practice”

Doucet et. al