pat1 54-10+key

เอกสารนี้พิมพและเรียบเรียงโดย อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท เพื่อประโยชนแกนักเรียนทั่วไป

กําหนดให A และ B เปนเซตจํากัด โดยที่ จํานวนสมาชิกของ P(A)เปนสองเทาของจํานวนสมาชิกของ P(B)

จํานวนสมาชิกของ P(A ∩ B) = 8

และจํานวนสมาชิกของ P(A ∪ B) = 256

จงหาจํานวนสมาชิกของ P(A − B) …

1. 2

2. 4

3. 8

4. 16

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ3 − เซต

ให U แทนเอกภพสัมพัทธ และ A, B, C ≠ ∅ เปนสับเซตของ U

โดยที่ n(U) = 44, n(B) = 19, n(A ∩ B ∩ C) = 2,

n[(A ∩ C) − B] = 3, n[A ∩ (B ∪ C) ] = 6, และ n(A′ ∩ B′ ∩ C′) = 9

จงหา n[(A ∪ C) − B] … .

1. 2

2. 4

3. 8

4. 16

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ26 − เซต

กําหนดให 푥 ⋆ 푦 = (푥 + 1)(푦 + 1) − 1 ขอใดตอไปนี้ผิด . .

1. ( 푥 − 1) ⋆ (푥 + 1) = (푥 ⋆ 푥) − 1

2. 푥 ⋆ (푦 + 2) = (푥 ⋆ 푦) + (푥 ⋆ 2)

3. 푥 ⋆ (푦 ⋆ 2) = (푥 ⋆ 푦) ⋆ 2

4. 푥 ⋆ (푥 ⋆ 푦) = (푥 + 1)(푥 ⋆ 푦) + 푥

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ26 − จํานวนจริง

กําหนดให 퐴 = {푥 ∈ 푅|23푥+1 − 17(22푥) + 2푥+3 = 0}

และ 퐵 = {푥 ∈ 푅||푥2 − 3푥 − 8| = 푥2 + 3푥}

จงหาผลบวกของสมาชิกใน 퐴 ∪ 퐵 . .

1. 2

2. 4

3. 8

4. 16

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ27 − เอกซโพเนนเชีลและลอการิทึม

กําหนดให 푓(푥) = |1 − 3푥|

และ 푠 เปนเซตของจํานวนจริง 푥 ทั้งหมดที่สอดคลองกับสมการ

(푓 ∘ 푓)(푥) = 푥 จงหาผลบวกของสมาชิกใน 푆 …

1. 1

2. 1.25

3. 1.35

4. 1.45

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ29 − ฟงกชน

กําหนดให 푝, 푞 และ 푟 เปนประพจนใดๆ

โดยที่ ∼ 푝 → 푞 มีคาความจริงเปนเท็จ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. (푝 ↔ 푟) → [(푝 ∨ 푟) → 푞] มีคาความจริงเปนเท็จ

ข. (푝 → 푟) → (∼ 푞 → 푝) มีคาความจริงเปนจริง

ขอใดสรุปถูกตอง … .

1. ก. ถูก และ ข. ถูก

2. ก. ถูก แต ข. ผิด

3. ก. ผิด แต ข. ถูก

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ1 − ตรรกศาสตร


กําหนดให 푃(푥) และ 푄(푥) เปนประโยคเปด

ถา ∀푥[푃(푥)] ∧ ∀푥[∼ 푄(푥)] มีคาความจริงเปนจริง

แลวประพจนใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ .

1. ∀푥[푃(푥) ⇒ 푄(푥)]

2. ∃푥[∼ 푃(푥) ∨∼ 푄(푥)]

3. ∃푥[푃(푥) ∧∼ 푄(푥)]

4. ∀푥[푃(푥) ⇒∼ 푄(푥)]

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ2 − ตรรกศาสตร

ให 푃 เปนจุดบนวงกลม 푥2 + 푦2 + 2푥 − 4푦 − 15 = 0

ที่อยูใกลจุด 퐴(1,3) มากที่สุด

จงหาระยะทางระหวางจุด 푃 กับเสนตรง 3푦 − 4푥 = 15 .

1. 3

2. 3.2

3. 3.4

4. 3.5

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ6 − ภาคตัดกรวย

ใหพาราโบลามีจุดยอดที่ (−3, −2) ผานจุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา

5푥 − 4푦 − 16푦 + 4 = 0

จงสรางสมการเสนไดเรกตริกซของพาราโบลา … .

1. 4푦 + 15 = 0

2. 4푦 + 9 = 0

3. 4푥 + 9 = 0

4. 4푥 + 15 = 0


กําหนดให 푀(푎, 푏) เปนจุดกึ่งกลางของเสนตรงที่เชื่อมจุดตัด

ไฮเพอรโบลา 푥푦 = 6 กับเสนตรง 푥 − 푦 − 1 = 0

จงหาระยะระหวางจุด 푀 กับเสนตรง 6푥 − 8푦 + 13 = 0 .

1. 2

2. 4

3. 8

4. 16


ให 퐿 เปนเสนตรงที่ผานจุด (0,10) และมีความชันมากกวา − 1

แตนอยกวา 0 ถาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปดลอมดวยเสนตรง 퐿

กับแกน x จาก 푥 = 0 ถึง 푥 = 6 มีคาเทากับ 51 ตารางหนวย

แลว จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปดลอมดวยเสนตรง 퐿

กับแกน x จาก 푥 = 0 ถึง 푥 = 3 …

1. 25.5

2. 26.65

3. 27.75

4. 28.85

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ39 − แคลคูลัส

กําหนดให 푟 = {(푥, 푦) ∈ 푅 × 푅| 푦 =1

√5 − |3 − 푥|}

เมื่อ 푅 แทนเซตของจํานวนจริง จงหาโดเมนของ 푟 .

1. {푥 ∈ 푅| − 2 < 푥 < 8}

2. {푥 ∈ 푅| − 6 < 푥 < 3}

3. {푥 ∈ 푅|0 < 푥 < 3}

4. {푥 ∈ 푅 ∣∣ 푥 < 8}

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ5 − ความสัมพันธ + จํานวนจริง


ให R แทนเซตของจํานวนจริง และ 푓: 푅 → 푅 เปนฟงกชัน

ที่มีสมบัติสอดคลองกับ

푓(푥) =0, 푥 = −1

푥 − 1푥 + 1 , 푥 ≠ −1

ถา 퐴 = {푥 ∈ 푅|(푓 ∘ 푓)(푥) = 푐표푡 75°}

แลวขอใดตอไปนี้ไมเปนเซตวาง . .

1. 퐴 ∩ (−3, −2)

2. 퐴 ∩ (−4, −3)

3. 퐴 ∩ (2,3)

4. 퐴 ∩ (3,4)

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ7 − ฟงกชัน

ให 푓, 푔, ℎ เปนฟงกชันบนสับเซตของจํานวนจริงที่มีสมบัติดังตอไปนี ้(푓 ∘ 푔)(푥) = 3푥 − 14,

푓(푥 + 63) = 푥 − 2

และ ℎ(2푥 − 1) = 6푔(푥) + 12

จงหาคาของ ℎ′(0) …

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ28 − แคลคูลัสและฟงกชัน

กําหนดให 푓: 푁 → 푁 สอดคลองกับสมการ

푓(푥 + 푦) = 푓(푥) + 푓(푦) + 4푥푦

โดยที่ 푓(1) = 4푓(1) = 4 จงหาคาของ 푓(20) .

1. 840

2. 850

3. 860

4. 870

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ49 − ฟงกชัน

กําหนดให 180° < 휃 < 270°

ถา 3(2)sin 휃 4

9

푐표푠2 휃

= 2(3)푠푖푛 휃

แลวคาของ 3푡푎푛2휃 − 2푠푖푛3휃 เทากับเทาใด . .

1. 1

2. 3

3. 7

4. 9

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ8 − เอกซโพเนนเชียลและตรีโกณ


จากรูป 푎⃗ + 푏⃗ + 푐⃗ = 0⃗

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง ….

1. |푎⃗|푐표푠푒푐 35° = |푐⃗|(1 +푐표푡 20°푐표푡 35°)

2. |푎⃗|푐표푠푒푐 20° = |푐⃗|(1 +푐표푡 35°푐표푡 20°)

3. |푎⃗|푐표푠푒푐 35° = |푐⃗|(1 +푡푎푛 20°푡푎푛 35°)

4. |푎⃗ |푐표푠푒푐20° = |푐⃗ |(1 +푡푎푛35°푡푎푛20°)

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ12 − เวคเตอร

กําหนดให 푐 = 푎푟푐푠푖푛3

5+ 푎푟푐푐표푡

5

3+ 푎푟푐푡푎푛

8

9

ถา 퐴 เปนเซตคําตอบของสมการ

푎푟푐푐표푡1

2푥 + 푎푟푐푐표푡1

3푥 = 푐 จงหาผลคูณของสมาชิกใน 퐴 …

1. −14

2. 14

3. − 16

4. 16

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ16 − ตรีโกณ

คาของ 푡푎푛20° + 4푠푖푛20°

푠푖푛20°푠푖푛40°푠푖푛80°

มีคาของเทาไร … .

1. 2

2. 4

3. 6

4. 8


กําหนดให 푎 และ 푏 เปนจํานวนจริงบวก และ 푡푎푛휃 =푎

푏

ถา 푐표푠 휃

푎

4

+ 푠푖푛 휃

푏

4

=푠푖푛2휃

푎푏(푎2 + 푏2)

แลว จงหาคาของ 3푎

푏

3

+푏

2푎

2

…

1. 25.25

2. 25.75

3. 27.25

4. 27.75


กําหนดใหรูปสามเหล่ียม퐴퐵퐶 มีดานตรงขามมุม 퐴, 퐵 และ 퐶

ยาว 푎, 푏 และ 푐 ตามลําดับ และ (푠푖푛퐴 − 푠푖푛퐵 + 푠푖푛퐶)(푠푖푛퐴 + 푠푖푛퐵 + 푠푖푛퐶) = 3푠푖푛퐴푠푖푛퐶

แลวคาของ √3푐표푠푒푐2퐵 + 3푠푒푐2퐵 มีคาเทาไร ..

1. 2

2. 4

3. 6

4. 8



สําหรับ 0 ≤ 푥 ≤ 2휋 กําหนดให 퐴 = {푥 ∣ log (−3푐표푠푥) = 1 + 2 log 푠푖푛푥}

และ 퐵 = {푠푒푐3푥 − 푐표푠2푥 ∣ 푥 ∈ 퐴}

จงหาคาของผลบวกของสมาชิกทั้งหมดที่อยูใน 퐵 . .

1. 1

2. 1.5

3. 2

4. 2.5


กําหนดให 퐴 = {푥 ∈ 푅|22푥 − 2푥+2 > 2푥+12 − √32}

เมื่อ 푅 แทนเซตของจํานวนจริง

จงหาจํานวนสมาชิกที่เปนจํานวนเต็มของ 푅 − 퐴 . .

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ4 − เอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม

กําหนดให {푎푛} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ 푎1 = 1 และ

푎 = (−1) ( log12)(log

13) ⋯ (log

1푛)

สําหรับ 푛 > 1 และ

푏 = 푘

푘 + 푘 + 1

จงหาคา 푐 ที่ทําให lim푛→∞

(푎푛 + 푐푏푛) = 4 .

1. 10

2. 11

3. 12

4. 14

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ37 − ลิมิต ลําดับและอนุกรม

กําหนดให 퐴 =0 3푎 푏

, 푎 ≤ 0 , 퐵 เปนเมทริกซขนาด 2 × 2

และ 퐼 เปนเมทริกซเอกลักษณขนาด 2 × 2

ถา 퐴2퐵 = 퐼 และ 2퐴−1 − 3퐵 = 퐼2퐴 − 1 − 3퐵 = 퐼

จงหาคาของ 2푎 + 3푏 .

1. 4

2. 3

3. 2

4. 1

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ10 − เมทริกซ

กําหนดให

퐴 =2푥 1 00 −1 30 0 −푥

และ 푑푒푡(퐼 − 퐴−1 ) = 0 เมื่อ 푥 เปนจํานวนจริงบวก

จงหาคาของ 푑푒푡1

2퐴−1(3퐼 − 2퐴푇) ..

1. 3

2. 5

3. 7

4. 9

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ32 − เมทริกซ

ให 퐴, 퐵, 퐶 เปนจุดยอดของสามเหล่ียม 푃 เปนจุดกึ่งกลางดาน 퐴퐶, 푄 อยูบน 퐴퐵 ซึ่งทําให 퐴푄: 푄퐵 = 1: 2 ถา 퐴퐵⃗ = 6푖⃗ − 3푗⃗ และ 퐵퐶⃗ = 2푖⃗ + 3푗⃗ จงหา 푃푄⃗ …

1. − 횤⃗ − 2횥⃗ 2. 2횤⃗ + 횥⃗ 3. − 2횤⃗ − 횥⃗ 4. 횤⃗ + 2횥⃗

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ13 − เวกเตอร


กําหนดจุด 퐴(3,0), 퐵 3 + √3, 1 และ 퐶(푎, 푏)

โดยที่ 퐶 อยูในจตุภาคที่ 4

퐴퐵⃗ กับ 퐴퐶⃗ ทํามุมกัน 60° และ|퐴퐶⃗| = 2√3|퐴퐵⃗|

จงหาคาของ 푎2 + 푏2 ….

1. 90

2. 91

3. 92

4. 93

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ33 − เวกเตอร

กําหนดให 푧1, 푧2, 푧3 เปนรากของสมการ (푧 + 2푖)3 = 8푖

จงหาคาของ |푧1| + |푧2| + |푧3| ..

1. 6

2. 8

3. 6 + √3

4. 24

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ14 − จํานวนเชิงซอน

กําหนดให 푧 = 푖 −1

푖 + 2

−1

จงหาคาของ |16푧2 − 8푧 + 3 − 8푖| …

1. 3

2. 4

3. 5

4. 6

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ34 − จํานวนเชิงซอน

ให 푎1 + 푎2 + 푎3 + ⋯ + 푎201 เปนอนุกรมเลขคณิต

ถา 푎1 + 푎2 + 푎3 + ⋯ + 푎201 = 303

แลวจงหาคาของ 푎2 + 푎4 + 푎6 + ⋯ + 푎200 ….

1. 287

2. 290

3. 297

4. 300

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ15 − ลําดับและอนุกรม

คาของ 푥 > 0 ที่ทําให

1 +6

1 + 푥 +15

(1 + 푥) +28

(1 + 푥) + ⋯ =2

74

มีคาเทาไร ..

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4


กําหนดให 1 + 2 + 3 + ⋯ + n

1(2) + 2(3) + 3(4) + ⋯ (푛 − 1)푛 =231228

จงหาคาของ 푛 .

1. 115

2. 120

3. 125

4. 130



คาของ lim푥→0

푥

√푥 + 83 + √푥 − 33 มีคาเทาไร ….

1. 3

2. 4

3. 5

4. 6

Pat 1 − ธ. ค. 54 − ขอ40 − ลิมิต

กําหนดให 푓: 푅 → 푅 โดยที่ (푥) = 푥23

ถา 푁 เปนเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนสัมผัสของกราฟ 푓(푥)

ที่จุด 푎, 푓(푎) , 푎 > 0 และ 푁 มีระยะตัดแกน 푦 เทากับ 52 หนวย

แลวขอใดเปนพิกัดของจุดบนเสนตรง 푁 . .

1. (−2,7)

2. (−1,4)

3. (2, −4)

4. (3, −5)


กําหนดให 퐴(0,0), 퐵(1,0) และ 퐶1

2,√3

2 เปนจุดยอดของ

รูปสามเหล่ียม 퐴퐵퐶 ถากราฟของ 푓(푥) = 푎푥2 + 푏푥 + 푐

ผานจุด 퐴 และ 퐵 โดยที่ 퐴퐶 และ 퐵퐶 เปนเสนสัมผัสของ 푓 ที่จุด 퐴

และ 퐵 ตามลําดับ

แลวพื้นที่ที่ปดลอมดวยกราฟของ 푓 และเสนตรง 퐴퐵 มีคาเทาใด .

1. √36

2. √33

3. √32

4. 2√3

3

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ18 − Calculus

กําหนดให 푓: 푅 → 푅 และ 푓′′(푥) = 0 ทุกๆ จํานวนจริง 푥

ถา 푓(0) = 23 และ 푓(1) = 103

แลว จงหาคาของ 푓(푥)푑푥1

0 .

1. 63

2. 64

3. 65

4. 66


ในการจัดคน 12 คน ซึ่งมี 퐺퐴푇 และ 푃퐴푇 รวมอยูดวย ใหนั่งรับประทานอาหารรอบโตะกลม จงหาความนาจะเปนที่ 퐺퐴푇 และ 푃퐴푇 ไมไดนั่งติดกัน …

1. 1

11

2. 2

11

3. 9

11

4. 1011

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ19 − ความนาจะเปน กําหนดให 퐴 และ 퐵 เปนเหตุการณในปริภูมิตัวอยาง

ถา 푃(퐵 − 퐴) = 0.2, 푃(퐵) = 0.6, 푃(퐴′ ∪ 퐵) = 0.8

แลว 푃(퐴 ∪ 퐵′) มีคาเทากับเทาใด … .

1. 0.2

2. 0.4

3. 0.6

4. 0.8

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ20 − ความนาจะเปน


สุมเลือกจํานวนตั้งแต 1 ถึง 15 มา 5 จํานวน จงหาจํานวนวิธีที่ จะไดจํานวนซึ่งมีผลรวมของทั้ง 5 จํานวนหารดวย 3 ลงตัว . .

1. 1000 วิธ ี

2. 1001 วิธ ี 3. 1002 วิธ ี 4. 1003 วิธ ี


บัตร 8 ใบเขียนหมายเลขดังนี้ 1,1,2,2,3,3,4,4

เลือกมา 4 ใบ เพื่อสรางเปนจํานวนเต็ม 4 หลัก

จะสรางไดทั้งหมดกี่จํานวน

1. 204 จํานวน





จากตารางแจกแจงความถี่

คะแนน ความถี่ 10 − 14 2 15 − 19 5 20 − 24 8 25 − 29 6 30 − 34 4

ถา 푎 เปนคาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบ และ 푏 เปนเปอรเซ็นไทลที่ 8 ของคะแนนสอบ จงหาคาของ |푎 − 푏| ..

1. 8.50

2. 7.75

3. 6.50

4. 6.25

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ21 − สถิติ

กําหนดให 푥푖 = 1125

푁

푖=1

, 푁 = 45,

푥̅ เปนคาเฉล่ียเลขคณิต และ ความแปรปรวนเทากับ 6.25

ถา 퐴 และ 퐵 เปนนักเรียนของหองนี้ โดยที่ 퐴 ได 30 คะแนน

และ คามาตรฐานของ 퐴 มากกวา คามาตรฐานของ 퐵 อยู 0.8

แลว 퐵 สอบไดคะแนนเทาใด ..

1. 26

2. 27

3. 28

4. 30

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ22 − สถิติ

คะแนนสอบของนักเรียน 500 คน กลุมหนึ่ง มีการแจกแจงปรกติ โดยมีคาเฉล่ียเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 60 คะแนน

และ 6 ตามลําดับ กําหนดพื้นที่ใตโคงปรกติดังตารางดังนี ้푍 0.5 1.0 1.5 2.0

พื นที 0.191 0.341 0.433 0.477

จงหาจํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 51คะแนน

แตนอยกวา 66 คะแนน …

1. 385 คน

2. 386 คน

3. 387 คน

4. 388 คน

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ47 − สถิติ


ขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปรกติ โดยมีมัธยฐานเทากับ 12 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 8 และ

(푥 − 10) = 5440

จงหาคาของ 푁 .

1. 80

2. 82

3. 85

4. 90

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ48 − สถิติ

pat1 54-10+key

Education