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Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
LycéeClemenceau
PCSI 1 (O.Granier)
Olivier GRANIER
Régimes transitoires dans les
circuits (RC), (RL) et (RLC)
Un lien vers le TP sur l’étude de ces circuits
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
1ère partie
Olivier GRANIER
Charge et décharge d’un condensateur
Etude du circuit (R,C)
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� Description d’un condensateur :
Un condensateur est assimilable à deux plaques disposées face à face. Enrègle générale, on pourra dire qu'un condensateur est constitué de deuxconducteurs séparés par un isolant (appelé également diélectrique) ; cetisolant peut être l'air, du verre, du plastique … (tableau ci-dessous).
Olivier GRANIER
(relative)
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L’intérieur d’un condensateur :
Ce modèle est représentatif de lastructure de la plupart descondensateurs. Il est constituéd’armatures métallisées.
On augmente sa capacité enbranchant en parallèle des plaques
Olivier GRANIER
branchant en parallèle des plaquestrès rapprochées mais qui ne setouchent pas.
Dans ce condensateur, c’est l’airqui joue le rôle de diélectrique.
Utilisation des condensateurs :
Ils sont utilisés dans pratiquementtous les montages électroniques.Par exemple, on utilise descondensateurs variables dans lescircuits d’accord de postes deradio.
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Soumis à une tension U, un condensateurpossède la propriété de se charger et deconserver une charge électrique q,proportionnelle à U :
q = CU
C’est un réservoir d’énergie.
Olivier GRANIER
C’est un réservoir d’énergie.
Cette énergie est restituée lors de ladécharge du condensateur.
Ces phénomènes de charge et de décharge nesont pas instantanés ; ce sont des phénomènestransitoires.
On peut comparer le condensateur à un réservoir qui se remplit et se vide, ou àun poumon qui se gonfle et se dégonfle...
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� Condensateur plan :
Deux plaques métalliques planes (de surface S) en regard sont distantes de e.Un diélectrique remplit l’espace entre les deux plaques.
+ + + + + + + + + + + +
+ qLa charge q acquise par l’armaturesupérieure est :
q = CU
Olivier GRANIER
Diélectrique (ε =εε =εε =εε =ε0εεεεr)e
Surface en regard : S
ddp U
+ + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - -- q
q = CU
C est la capacité du condensateurplan (exprimée en Farad, F, oumieux, en µµµµF ou nF) :
e
SC rεε0=
εεεε0 : permittivité du vide
εεεεr : permittivité relative du diélectrique
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� Tension, puissance et énergie :
Avec les notations de la figure ci-contre :q C
i
uC
qdt
dqi
C
quC
&=== ;
Olivier GRANIER
La puissance reçue par le condensateur (de manière algébrique) est :
====
2
2
1.. C
CCCCC Cu
dt
d
dt
duCu
dt
dquiup
L’énergie EC emmagasinée par le condensateur s’en déduit :
C
qCuEsoit
dt
dEp CC
CC
22
2
1
2
1===
La charge portée par les armatures est une fonction continue du temps.
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� Charge d’un condensateur par un échelon de tension :
A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :
q Ci
dt
duRCRiu
dt
dqi
C
qu C
RC ==== ;;
du
Olivier GRANIER
uCe(t) R uR
Edt
duRCusoitEuu C
CRC =+=+
)(111
RCEudt
duu
RCdt
duC
CC
C ==+=+ τττ
Si le condensateur est déchargé à t < 0 :
ττ //;)1(
tCR
tC EeuEueEu
−− =−=−=
Simulation Regressi
ττττ est la constante de temps du circuit (RC) : elle donne l’ordre degrandeur de la durée de charge du condensateur.
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Olivier GRANIER
La charge est continue à t = 0 ; l’intensité est discontinue (passe de 0à E/R de t = 0- à t = 0+)
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Aspect énergétique :
Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation del’énergie, on va montrer que :
CRG EEE +=
Olivier GRANIER
Energie fournie par le générateur
Energie dissipée par effet Joule
dans R
Energie emmagasinée
par C
CRGC
tR
tG
EEEoùdCEE
CER
Edte
R
EdttRiE
CER
Edte
R
EdttEiE
+==
====
====
∫∫
∫∫∞
−∞
∞−
∞
'2
1
2
1
2)(
)(
2
22
0
/22
0
2
22
0
/2
0
τ
τ
τ
τ
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� Décharge du condensateur :
)(/τt
C Eeu−=
Olivier GRANIER
)(/τt
C Eeu−=
)(/τt
CR Eeuu−−=−= Continuité de la charge
Discontinuité du courant
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� Condensateur soumis à une tension créneau :
Tension créneau E/-E :
Olivier GRANIER
Tension créneau E/0 :
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� Associations de condensateurs :
En série :21 CCC uuu +=
qC
qCC
qC
qC
uéq
C
11111
2121
=
+=+=
q C1i
uc1
q C2
uc2
i
Olivier GRANIER
En parallèle :
21
111
CCCéq
+=uc
uc
q1 C1i1
q2 C2i2
2
2
1
1
11q
Cq
CuC ==
i
( )dt
duCC
dt
duC
dt
duCiiii CCC
212121 ; +=+=+=
21 CCCéq +=
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2ème partie
Olivier GRANIER
Bobine d’auto-induction
Etude du circuit (R,L)
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� Bobine d’auto-induction :
Br
Tout bobinage parcouru par un courant crée un champmagnétique proportionnel à l’intensité i.
Lorsque l’intensité i dépend du temps, il apparaît auxbornes de la bobine une fém d’auto-induction (phénomèned’induction).
Olivier GRANIER
Le rôle d’une bobine d’auto-induction est de s’opposer à toute modification du courantdans un circuit (loi de Lenz). En particulier, l’intensité du courant dans une bobineest nécessairement continue.
Bi
i
d’induction).
En convention récepteur, cette fém s’écrit (en supposantla bobine idéale, c’est-à-dire sans résistance) :
dt
diLe =
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� Tension, puissance et énergie :
Avec les notations de la figure ci-contre :
L,ri
uLridt
diLuL +=
La puissance reçue par la bobine (de manière algébrique) est (bobine idéale ici,
Olivier GRANIER
La puissance reçue par la bobine (de manière algébrique) est (bobine idéale ici,soit r = 0) :
====
2
2
1. Li
dt
di
dt
diLiup LL
L’énergie EL emmagasinée par la bobine s’en déduit :
2
2
1LiEsoit
dt
dEp L
LL ==
L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue du temps.
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� Réponse à un échelon de tension : (bobine idéale)
A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :
Li
uLdt
du
R
L
dt
diLuRiu R
LR === ;
duL
Olivier GRANIER
uL
e(t) R uREu
dt
du
R
LsoitEuu R
RRL =+=+
)(1
R
LEu
dt
duu
L
R
dt
duR
RR
R ==+=+ ττ
Si l’intensité du courant est nulle à t < 0 :
ττ //;)1(
tRL
tR EeuEueEu
−− =−=−=
ττττ est la constante de temps du circuit (RL) : elle donne l’ordre de grandeur de ladurée d’établissement du régime permanent (i=E/R). La bobine se comporte ensuitecomme un simple fil.
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uR,uL,E
Circuit (RL)
Circuit (RC)
Olivier GRANIER
L’intensité (et la tension uR) est continue à t = 0 ; la tension uL est discontinue(passe de 0 à E de t = 0- à t = 0+)
En bleu : la tension uLEn vert : la tension uR
En rouge (horizontal) : la tension E
RL
CR
uu
qi
uu
⇔
⇔
⇔
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Aspect énergétique :
Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation del’énergie, on va montrer que :
LRG EEE +=
Olivier GRANIER
Energie fournie par le générateur
Energie dissipée par effet Joule
dans R
Energie emmagasinée
par L
+=+=+=+= 222
2
1Li
dt
dRi
dt
diLiRiEidonc
dt
diLRiuuE RL
)(2
1 2
0
2
0 R
EIavecLIdtRidtEi permperm =+= ∫∫
∞∞
En effet :
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� Associations d’inductances :
En série :21 LLL uuu +=
( )dt
diL
dt
diLL
dt
diL
dt
diLu éqL =+=+= 2121
L1i
uL1
L2
uL2
u
i
Olivier GRANIER
En parallèle :
21 LLLéq +=uL
uL
L1i1
L2i2
dt
diL
dt
diLuL
22
11 ==
i
LLL uLL
uL
uLdt
diiii
+=+=+=
2121
21
1111;
21
111
LLLavec
dt
diLu
éq
éqL +==
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3ème partie
Olivier GRANIER
Etude du circuit (R,L,C)
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� Equation différentielle du circuit (RLC) :
iL
uL
)(1
teqC
Ridt
diLuuu CRL =++=++
dt
duCidonc
C
quqi C
C === ;&
Olivier GRANIER
qC
uC
e(t) R uR
dtC
)(2
2
teudt
duRC
dt
udLC C
CC =++
)(11
2
2
teLC
uLCdt
du
L
R
dt
udC
CC =++
L
Ret
LCavecteu
dt
du
dt
udC
CC ===++ 020
20
2002
2
21
)(2 σωωωωσω
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� Les différents régimes : (voir cours sur les oscillateurs en mécanique)
On recherche des solutions de l’équation homogène de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :
)(220
20
0
2
22002
2
teudt
du
Qdt
udu
dt
du
dt
udC
CCC
CC ωωω
ωσω =++=++
Olivier GRANIER
appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :
02200
2 =++ ωσω rr
Dont le discriminant est : )1(422
0 −=∆ σω
),(:10
),(:10
),(:10
0
21
21
ωσ
σ
σ
−===∆
∈>>∆
∈−<<∆
runiqueracinecritiqueeapériodiqurégimesoit
Rrreapériodiqurégimesoit
Crrpériodiquepseudorégimesoit
Il faut ensuite rajouter une solution particulière, qui dépend de la forme de e(t).
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� Réponse du circuit (RLC) à un échelon de tension :
La solution de l’équation différentielle précédente est alors :
Pour t>0 : Eudt
du
dt
udC
CC 20
2002
2
2 ωωσω =++
Olivier GRANIER
[ ] EBtAeu
EBeAeeu
EtBtAeu
tC
tttC
tC
++==
+
+=>
+
−+−=<
−
−−−
−
0
20
200
0
:1
:1
)1sin()1cos(:1
)1()1(
20
20
ω
σωσωσω
σω
σ
σ
σωσωσ
,5
0σω≈tAu bout de le régime permanent est atteint (uC = E)
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Simulation Cabri géomètre :
Résistance critique
(σσσσ=1)
Olivier GRANIER
C
LRc 2=
Simulation Java (JJ.Rousseau) :
Simulation Regressi :
(σσσσ=1)
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Aspect énergétique :
L’état final est : i=0 et uC=E (le condensateur est chargé). Montrons que le bilanfinal énergétique s’écrit :
CRG EEE +=
Olivier GRANIER
Energie fournie par le générateur
Energie dissipée par effet Joule
dans R
Energie emmagasinée
par C
En effet :
+
+=++= 222
2
1
2
1;
1Li
dt
dCu
dt
dRiEi
dt
diLq
CRiE C
CRG EEEsoitCEdtRiEidt +=++= ∫∫∞∞
02
1 2
0
2
0
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
On peut calculer l’énergie fournie par le générateur :
On en déduit que l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance R vaut :
[ ] 2
0000
. CEuCEdtdt
duCEdtqEEidt C
C ==
==
∞∞∞∞
∫∫∫ &
Olivier GRANIER
222
2
1
2
1CECECEEEE CGR =−=−=
Par conséquent :
GCR ECEEE2
1
2
1 2 ===
La moitié de l’énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule. Onretrouve le même résultat que dans le cas du circuit (RC) : ce n’est passurprenant puisque l’inductance n’a aucune influence sur les états initial et final ducircuit.
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� Réponse à une tension créneau :
Animation Java :
Olivier GRANIER
Animation Regressi :
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� Analogies électromécaniques :
Oscillateurs mécaniques Oscillateurs électriques
1
k
xv
x
= &
L
C
qi
q
= &
Olivier GRANIER
0
0
2
2
2
2
1
2
1
ωσ
ω
h
m
k
kxE
xmE
hm
m
k
P
C
=
=
=
= &
0
0
2
2
2
1
2
1
2
1
ωσ
ω
L
R
LC
C
qE
LiE
R
L
P
C
=
=
=
=