PEMODELAN PERISTIWA UNPREDICTABLE UNKNOWN

MENGGUNAKAN PROSES POISSON DENGAN

INTENSITAS FUNGSI ACAK

VIONAMITA SHARA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2017

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK

CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan

Peristiwa Unpredictable Unknown Menggunakan Proses Poisson dengan

Intensitas Fungsi Acak adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi

pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan

tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang

diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam

teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada

Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Oktober 2017

Vionamita Shara

NIM G54130014

ABSTRAK

VIONAMITA SHARA. Pemodelan Peristiwa Unpredictable Unknown

Menggunakan Proses Poisson dengan Intensitas Fungsi Acak. Dibimbing oleh I

WAYAN MANGKU dan WINDIANI ERLIANA.

Stabilitas keuangan biasanya berkaitan dengan pertumbuhan ekonomi yang

stabil, inflasi yang wajar, dan rendahnya tingkat pengangguran. Jatuhnya harga

saham akan memberikan dampak buruk pada stabilitas keuangan. Pada karya ilmiah

ini dibahas mengenai penyebab jatuhnya harga saham yang disebabkan oleh suatu

peristiwa yang langka dan tidak terduga atau unpredictable unknown (UU).

Peristiwa tersebut dapat dimodelkan dengan proses Poisson yang fungsi

intensitasnya acak. Selain itu, dilakukan simulasi untuk mendeteksi kemungkinan

terjadinya peristiwa UU pada indeks saham DJIA dan Nikkei 225 untuk seratus hari

ke depan. Indeks saham DJIA akan mengalami sebuah peristiwa UU pada hari ke-

66 dengan peluang sebesar 0.036, sedangkan indeks saham Nikkei 225 akan

mengalami sebuah peristiwa UU pada hari ke-68 dengan peluang sebesar 0.0175.

Kata kunci: proses Poisson, fungsi intensitas acak, peristiwa unpreditable unknown.

ABSTRACT

VIONAMITA SHARA. A Poisson Process with Random Intensity Function for

Modeling Unpredictable Unknown Events. Supervised by I WAYAN MANGKU

and WINDIANI ERLIANA.

Financial stability is usually associated with a stable economic growth,

moderate inflation, and low unemployment rates. The stock market’s crashes may

danger the financial stability.This paper discusses the cause of stock prices crash

that caused by rare and unpredictable events which are known unpredictable

unknown (UU). The events concidered as UU can be modelled by a Poisson

process with random intensity function. Two stock indices, namely Dow Jones

Industrial Average (DJIA) and Nikkei 225 are analyzed. Simulation was conducted

to detect the possibility of UU on the DJIA and Nikkei 225 stock indices for the

next hundred days. DJIA index will experience an UU on the 66th day with

probability of 0.036, while Nikkei 225 index will experience an UU on the 68th day

with probability of 0.0175.

Key words: Poisson process, random intensity function, unpredictable unknown

event.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PEMODELAN PERISTIWA UNPREDICTABLE UNKNOWN

MENGGUNAKAN PROSES POISSON DENGAN

INTENSITAS FUNGSI ACAK

VIONAMITA SHARA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2017

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wa ta’ala atas

segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga

karya ilmiah yang berjudul Pemodelan Peristiwa Unpredictable Unknown

Menggunakan Proses Poisson dengan Intensitas Fungsi Acak dapat diselesaikan.

Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena

itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1. Ayah Taufik, Ibu Rusmiyati, Kak Hagy Leondra dan Viona Mita Shaly yang

selalu memberikan doa, semangat, motivasi dan kasih sayang yang tiada henti.

2. Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku dosen Pembimbing I dan Ibu

Windiani Erliana, MSi selaku dosen Pembimbing II yang telah memberikan

ilmu, bimbingan motivasi, dan saran selama penulisan skripsi ini, serta Bapak

Ruhiyat, MSi selaku dosen penguji.

3. Alfien Ardyan Chandra dan Refha Dwi Margana selaku sahabat yang selalu

memberikan doa, semangat dan menjadi teman belajar selama penulisan karya

ilmiah ini, serta teman berbagi keluh kesah selama kuliah.

4. Firdaus Saleh, Jihan Nadia, dan Rhea Savista selaku sahabat yang senantiasa

membantu dan teman berbagi keluh kesah selama kuliah.

5. Teman-teman Matematika Angkatan 50 yang selalu memberikan keceriaan,

doa, semangat dan dukungannya.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya

Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian berikutnya.

Bogor, Oktober 2017

Vionamita Shara

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

LANDASAN TEORI 2

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran 2

Nilai Harapan dan Ragam 3

Proses Stokastik 3

HASIL DAN PEMBAHASAN 6

Identifikasi Krisis Keuangan Indeks Saham DJIA dan Nikkei 225 6

Indeks Saham DJIA 6

Indeks Saham Nikkei 225 7

Model Unpredictable Unknown 8

Prediksi Peristiwa Unpredictable Unknown 10

Simulasi 11

Simulasi Indeks Saham DJIA 11

Simulasi Indeks Saham Nikkei 225 12

SIMPULAN 13

DAFTAR PUSTAKA 13

LAMPIRAN 15

RIWAYAT HIDUP 18

DAFTAR GAMBAR

1 Pergerakan Harga Indeks Saham DJIA 7

2 Pergerakan Harga Indeks Saham Nikkei 225 8

3 Kemungkinan UU pada indeks saham DJIA 12

4 Kemungkinan UU pada indeks saham Nikkei 225 13

DAFTAR LAMPIRAN

1 Program untuk menentukan kemungkinan terjadinya peristiwa UU

pada DJIA 16

2 Program untuk menentukan kemungkinan terjadinya peristiwa UU

pada Nikkei 225 17

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Proses stokastik mempunyai peranan cukup penting di berbagai bidang

kehidupan sehari-hari. Proses stokastik dapat digunakan untuk memodelkan suatu

masalah atau fenomena yang mengandung unsur ketidakpastian. Banyak

permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan proses

stokastik, seperti memprediksi kedatangan pelanggan ke pusat servis (misalnya

bank, kantor pos, dan supermarket) dan memprediksi harga saham. Proses stokastik

terbagi menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses

stokastik dengan waktu kontinu. Pembahasan pada karya ilmiah ini difokuskan

pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu yaitu

proses Poisson.

Stabilitas keuangan biasanya berkaitan dengan pertumbuhan ekonomi yang

stabil, inflasi yang wajar, dan rendahnya tingkat pengangguran. Jika keuangan

berada pada kondisi tidak stabil, maka akan berdampak pada fluktuasi harga aset

yang tinggi. Hal ini mengakibatkan bank dan lembaga keuangan untuk bertindak

dengan cara yang lebih bijaksana. Jatuhnya harga saham akan memberikan dampak

buruk pada stabilitas keuangan. Salah satu contoh dari peristiwa ini adalah jatuhnya

indeks saham Nikkei 225 dan Dow Jones Industrial Average (DJIA).

Menurut Ilalan (2015), sejak tahun 1914 hingga 1989, Nikkei 225

merupakan indeks saham yang paling stabil. Namun, pada Desember 1989, suatu

peristiwa yang tidak diprediksi terjadi dan menyebabkan jatuhnya harga indeks

saham secara drastis. Hingga saat ini harga indeks saham Nikkei 225 belum

kembali pulih seperti sebelumnya. Sama halnya seperti harga indeks saham Nikkei

225, harga indeks saham DJIA memiliki tren naik terhitung dari tahun 1986 sampai

2015. Namun, peristiwa tak terduga seperti Black Monday tahun 1987

menyebabkan jatuhnya harga indeks saham DJIA dan masa pemulihan harga indeks

saham DJIA memakan waktu yang cukup lama. Peristiwa jatuhnya harga indeks

saham DJIA dan Nikkei 225 dapat disebut sebagai peristiwa langka atau

Unpredictable Unknown. Peristiwa tersebut dapat dimodelkan dengan proses

Poisson yang fungsi intensitasnya acak. Pada Ilalan (2015), suatu peristiwa

dikatakan Unpredictable Unknown (UU) jika terjadinya peristiwa tersebut tidak

terprediksi sehingga menyebabkan jatuhnya harga saham dan periode pemulihan

harga saham ke tingkat harga sebelum krisis terlalu panjang. Karya ilmiah ini

ditulis berdasarkan artikel yang berjudul a Poisson Process with Random Intensity

for Modeling Financial Stability yang ditulis oleh Ilalan (2015).

Tujuan Penelitian

Tujuan karya ilmiah ini ialah

1. mengidentifikasi jatuhnya harga indeks saham Nikkei 225 dan DJIA,

2. menentukan pemodelan Unpredictable Unknown pada indeks saham Nikkei 225

dan DJIA, serta

2

3. memprediksi peristiwa Unpredictable Unknown pada indeks saham Nikkei 225

dan DJIA.

LANDASAN TEORI

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 1 (Peubah acak)

Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi 𝑋 yang

terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ω ∈ Ω ke satu dan hanya satu

bilangan real 𝑋(ω) disebut peubah acak. Ruang dari 𝑋 adalah himpunan bagian

bilangan real 𝓐 = {𝑥; 𝑥 = 𝑋(ω), ω ∈ Ω} (Hogg et al. 2014).

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X, Y, Z, sedangkan

nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z.

Definisi 2 (Fungsi sebaran)

Misalkan 𝑋 adalah peubah acak dengan ruang 𝓐. Misalkan kejadian 𝐴 =(−∞, 𝑥] ⊂ 𝓐, maka peluang dari kejadian A adalah P(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝐹𝑋(𝑥). Fungsi 𝐹𝑋

disebut fungsi sebaran dari peubah acak 𝑋 (Hogg et al. 2014).

Definisi 3 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah

acak tersebut merupakan himpunan tercacah (Hogg et al. 2014).

Definisi 4 (Fungsi massa peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi 𝑝: ℝ →[0,1] yang diberikan oleh : 𝑝𝑋(𝑥) = 𝐏(𝑋 = 𝑥) (Hogg et al. 2014).

Definisi 5 (Peubah acak kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika semua himpunan nilai dari peubah

acak tersebut merupakan sebuah interval pada garis bilangan real (Hogg et al. 2014).

Definisi 6 (Peubah acak Poisson)

Suatu peubah acak 𝑋 disebut peubah acak Poisson dengan parameter 𝜆,

𝜆 > 0 jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh: 𝑝𝑋(𝑘) = 𝑒−𝜆 𝜆𝑘

𝑘!, untuk 𝑘 =

0, 1, … (Ross 2010).

Definisi 7 (Peubah acak eksponensial)

Suatu peubah acak 𝑋 disebut menyebar eksponensial dengan parameter 𝜆,

jika 𝑋 memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut

𝑓𝑋(𝑥) = {𝜆𝑒−𝜆𝑥, 0 < 𝑥 < ∞

0, selainnya

(Hogg et al. 2014).

3

Nilai Harapan dan Ragam

Definisi 8 (Nilai harapan)

1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋, maka nilai

harapan dari X didefinisikan sebagai

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖𝑝𝑋(𝑥𝑖)

𝑖

jika jumlah tersebut konvergen mutlak. Jika jumlah tersebut divergen, maka

nilai harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).

2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑋, maka

nilai harapan dari X didefinisikan sebagai

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥

∞

−∞

jika integral tersebut konvergen mutlak. Jika integral tersebut divergen, maka

nilai harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).

Definisi 9 (Ragam)

Jika X adalah peubah acak maka ragam dari X didefinisikan sebagai

Var(𝑋) = 𝐸 ((𝑋 − 𝐸(𝑋))2

)

(Ghahramani 2005).

Proses Stokastik

Definisi 10 (Proses stokastik)

Proses stokastik 𝑋 = {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} adalah suatu himpunan dari peubah acak

yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S (Ross 2010).

Definisi 11 (Proses stokastik waktu kontinu)

Suatu proses stokastik 𝑋 disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika

𝑇 adalah suatu interval (Ross 2010).

Definisi 12 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu 𝑋 = {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} disebut

memiliki inkremen bebas jika untuk semua 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛, peubah acak

𝑋(𝑡1) − 𝑋(𝑡0), 𝑋(𝑡2) − 𝑋(𝑡1), … , 𝑋(𝑡𝑛) − 𝑋(𝑡𝑛−1) adalah bebas (Ross 2010).

Definisi 13 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu 𝑋 = {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} disebut

memiliki inkremen stasioner jika 𝑋(𝑡 + 𝑠) − 𝑋(𝑡) memiliki sebaran yang sama

untuk semua nilai 𝑡 (Ross 2010).

Definisi 14 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut proses pencacahan jika

𝑁(𝑡) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu 𝑡.

4

Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan 𝑁(𝑡) harus memenuhi

syarat–syarat berikut:

(i) 𝑁(𝑡) ≥ 0 untuk semua 𝑡 ∈ [0, ∞),

(ii) nilai 𝑁(𝑡) adalah integer,

(iii) jika 𝑠 < 𝑡 maka 𝑁(𝑠) ≤ 𝑁(𝑡), 𝑠, 𝑡 ∈ [0, ∞),

(iv) untuk 𝑠 < 𝑡 maka 𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑠) , sama dengan banyaknya kejadian yang

terjadi pada selang (𝑠, 𝑡] (Ross 2010).

Definisi 15 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 } disebut proses Poisson dengan laju

𝜆, 𝜆 > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(i) 𝑁(0) = 0.

(ii) proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii) banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang 𝑡, memiliki

sebaran Poisson dengan nilai harapan 𝜆𝑡.

Jadi, untuk semua 𝑡, 𝑠 > 0 , 𝐏(𝑁(𝑠 + 𝑡) − 𝑁(𝑠) = 𝑘) =𝑒−λt(λt)𝑘

𝑘!, 𝑘 = 0, 1, …

(Ross 2010). Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen

stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh: 𝐸(𝑁(𝑡)) = 𝜆𝑡.

Definisi 16 (Proses Poisson homogen)

Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju 𝜆 yang

merupakan konstanta untuk setiap waktu 𝑡 (Ross 2010).

Definisi 17 (Proses Poisson takhomogen)

Suatu proses Poisson {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut proses Poisson takhomogen jika

laju 𝜆 pada sebarang waktu 𝑡 merupakan fungsi takkonstan dari 𝑡 yaitu 𝜆(𝑡) (Ross

2010).

Definisi 18 (Gerak Brown)

Suatu proses stokastik {𝑋(𝑡), 𝑡 ≥ 0} dikatakan sebagai proses Gerak Brown

jika

(i) 𝑋(0) = 0

(ii) {𝑋(𝑡), 𝑡 ≥ 0} memiliki inkremen bebas dan stasioner

(iii) Untuk setiap 𝑡 > 0, 𝑋(𝑡)~𝑁(0, 𝜎2𝑡).

Untuk 𝜎 = 1, disebut sebagai gerak Brown baku (Ross 2010).

Definisi 19 (Metode Euler-Maruyama)

Metode Euler-Maruyama (EM) merupakan metode yang digunakan pada

simulasi solusi dari persamaan diferensial stokastik. Diberikan

𝑑𝑋(𝑡) = 𝐺(𝑋(𝑡))𝑑𝑡 + 𝐻(𝑋(𝑡))𝑑𝑊(𝑡), dengan 𝑋(𝑡0) = 𝑋0 dan step size 𝑑𝑡, dapat dilakukan pendekatan dengan

𝑋𝑗 = 𝑋𝑗−1 + 𝐺(𝑋𝑗−1)𝑑𝑡 + 𝐻(𝑋𝑗−1) (𝑊(𝑡𝑗−1 + 𝑑𝑡) − 𝑊(𝑡𝑗−1))

(Dunbar 2016).

5

Definisi 20 (Autoregresi (AR) orde 1)

Misalkan {𝑋𝑡} adalah proses stokastik pada waktu t. Proses {𝑋𝑡} dikatakan

mengikuti model AR(1) jika memenuhi persamaan berikut:

𝑋𝑡 = 𝑐 + 𝑎𝑋𝑡−1 + 𝑏𝜀𝑡

(Montgomery et al. 2008).

Definisi 21 (Proses Ornstein-Uhlenbeck)

Proses Ornstein-Uhlenbeck (OU) dapat dianggap sebagai modifikasi dari

jalan acak (random walk) pada waktu kontinu. Selain itu, proses Ornstein-

Uhlenbeck dapat juga dianggap sebagai waktu kontinu yang bertautan dengan

waktu diskret proses AR(1). Pada persamaan diferensial stokastik, proses Ornstein-

Uhlenbeck memenuhi

𝑑𝑋𝑡 = 𝜃(𝜇 − 𝑋𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡, dengan

𝑋𝑡 : posisi partikel pada waktu 𝑡,

𝜃 : tingkat peluruhan taknegatif,

𝜇 : nilai rata-rata 𝑋, 𝜎 : besar pasturbasi stokastik,

𝑊𝑡 : gerak Brown baku.

Dalam matematika keuangan, proses Ornstein-Uhlenbeck digunakan untuk

memodelkan tingkat suku bunga, kurs nilai tukar, dan harga komoditas stokastik

(Pinsky dan Karlin 2012).

Definisi 22 (Unpredictable unknown)

Suatu peristiwa dikatakan Unpredictable Unknown (UU) jika peristiwa

tersebut tidak dapat diprediksi sehingga menyebabkan jatuhnya harga saham dan

periode pemulihannya ke tingkat sebelum krisis terlalu panjang. Selain itu, jika

pasar saham tutup setelah terjadinya peristiwa tertentu, tanpa mempertimbangkan

masa pemulihan, hal ini juga dianggap sebagai UU (Ilalan 2015).

Definisi 23 (Hukum kejadian langka)

Peristiwa kehidupan sehari-hari yang menyebar Poisson dapat dijelaskan

dengan Hukum Kejadian Langka. Misalkan 𝑁 adalah sebuah bilangan yang sangat

besar dan besar yang menyebar Bernoulli. Dilakukan 𝑁 kali percobaan dengan

peluang sukses 𝑝 pada setiap percobaan adalah kecil dan konstan pada setiap

percobaan. Misal 𝑋𝑁,𝑝 menyatakan total sukses pada 𝑁 kali percobaan, di mana

𝑋𝑁,𝑝 menyebar binomial, yaitu

𝐏(𝑋𝑁,𝑝 = 𝑘) =𝑁!

𝑘! (𝑁 − 𝑘)!𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑁−𝑘, 𝑘 = 0, 1, … , 𝑁. (1)

Dengan menggunakan limit di mana 𝑁 → ∞ dan 𝑝 → 0, diperoleh 𝑁𝑝 = 𝜇 > 0

dan 𝜇 konstan. Jika dilimitkan, sebaran 𝑋𝑁,𝑝 menjadi sebaran Poisson

𝐏(𝑋𝜇 = 𝑘) =𝑒−𝜇𝜇𝑘

𝑘!, 𝑘 = 0, 1, ….

(2)

Ini merupakan bentuk dari hukum kejadian langka atau disebut juga pendekatan

sebaran Poisson pada sebaran binomial. Jika 𝑁 besar dan 𝑝 kecil, peluang binomial

(1) dapat didekati dengan mengevaluasi peluang Poisson (2) dengan 𝜇 = 𝑁𝑝.

6

Jika peluang sukses pada setiap percobaan berubah-ubah, persamaan (2)

tidak dapat digunakan. Untuk menyelesaikannya, ambil peubah acak bebas

𝜖1, 𝜖2, … yang menyebar Bernoulli di mana

𝐏(𝜖𝑖 = 1) = 𝑝𝑖 dan 𝐏(𝜖𝑖 = 0) = 1 − 𝑝𝑖 ,

dan 𝑆𝑛 = 𝜖1 + ⋯ + 𝜖𝑛. Ketika 𝑝1 = 𝑝2 = ⋯ = 𝑝, maka 𝑆𝑛 menyebar Binomial

dan peluang 𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) dapat dihitung dengan mudah. Namun jika peluang 𝑝

tidak sama, peluangnya akan sulit untuk dihitung. Dengan menggunakan

persamaan binomial yang diperumum, maka

𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) = Σ(𝑘) ∏ 𝑝𝑖𝑥𝑖(1 − 𝑝𝑖)

1−𝑥𝑖 ,

𝑛

𝑖=1

(3)

di mana Σ(𝑘) menyatakan seluruh jumlah 0,1 dari 𝑥𝑖 sehingga 𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑘

(Pinsky dan Karlin 2012). Teorema 1

Misalkan 𝜖1, 𝜖2, … peubah acak bebas Bernoulli di mana

𝐏(𝜖𝑖 = 1) = 𝑝𝑖 dan 𝐏(𝜖𝑖 = 0) = 1 − 𝑝𝑖 , dan 𝑆𝑛 = 𝜖1 + ⋯ + 𝜖𝑛. Peluang yang sebenarnya dari 𝑆𝑛, yang diperoleh dari

persamaan (3) dan peluang Poisson dengan 𝜇 = 𝑝1 + ⋯ + 𝑝𝑛 berbeda sebesar

|𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) −𝑒−𝜇𝜇𝑘

𝑘!| ≤ ∑ 𝑝𝑖

2

𝑛

𝑖=1

(4)

(Pinsky dan Karlin 2012).

HASIL DAN PEMBAHASAN

Identifikasi Krisis Keuangan Indeks Saham DJIA dan Nikkei 225

Berikut dijelaskan krisis keuangan yang terjadi pada indeks saham DJIA

dan Nikkei 225 di mana data harga indeks saham tersebut diperoleh dari

finance.yahoo.com (Lampiran 1).

Dow Jones Industrial Average (DJIA)

Sejak tahun 1986-2015, harga indeks saham DJIA memiliki tren naik

kecuali terdapat tiga peristiwa yang menunjukan harga indeks saham DJIA jatuh

(Gambar 1). Hal ini disebabkan oleh peristiwa UU. Pertama disebabkan oleh Black

Monday, 19 September 1987. Harga indeks saham DJIA turun sebesar 22.6% dan

merupakan percentage loss harian terbesar. Hal ini memicu kekacauan pada pasar

saham dunia. Penyebab dari peristiwa ini masih belum diketahui dan dibutuhkan

waktu dua tahun sampai saham kembali normal. Setelah serangan teroris pada 11

September 2001, bursa saham Amerika tutup sampai 17 September 2001. Indeks

saham DJIA mengalami loss 7.1% pada hari pertama pembukaan kembali bursa

saham. Pada akhir minggu, indeks saham DJIA turun 1369.7 poin (14.6%).

7

Peristiwa UU ini membahayakan stabilitas keuangan DJIA di mana proses

pemulihan harga indeks saham DJIA membutuhkan waktu lebih dari tiga tahun

untuk dapat kembali seperti semula.

Pada krisis tahun 2008, telah diketahui ada tanda yang signifikan mengenai

overvaluation pada hipotek perumahan tetapi tidak ditanggapi dengan serius oleh

para investor. Alhasil, investment banker sekelas Lehman Brothers harus menutup

usahanya. Peristiwa UU pada 15 September 2008 ini menyebabkan indeks saham

DJIA mengalami kerugian harian sebesar 7.87% dan diikuti dengan kerugian besar

lainnya. Proses pemulihan harga indeks saham DJIA mencapai waktu tiga tahun.

Gambar 1 Pergerakan Harga Indeks Saham DJIA (1985-2015)

Nikkei 225

Selama 77 tahun (1914-1989) indeks saham Nikkei 225 menunjukkan

kondisi yang stabil. Bahkan Black Monday 1987 tidak menimbulkan krisis. Oleh

karena itu, indeks saham Nikkei 225 dianggap sebagai indeks saham paling stabil

di dunia. Namun pada 29 Desember 1989, sebuah peristiwa yang tidak diprediksi

terjadi yang menyebabkan harga indeks saham turun secara drastis (Gambar 2).

Penurunan sebesar 65% terus terjadi sampai 18 Agustus 1992. Hampir 25 tahun,

pemulihan harga indeks saham belum tercapai.

0

5.000.000.000

10.000.000.000

15.000.000.000

20.000.000.000

25.000.000.0003

0/1

2/1

985

30/1

2/1

987

30/1

2/1

989

30/1

2/1

991

30/1

2/1

993

30/1

2/1

995

30/1

2/1

997

30/1

2/1

999

30/1

2/2

001

30/1

2/2

003

30/1

2/2

005

30/1

2/2

007

30/1

2/2

009

30/1

2/2

011

30/1

2/2

013

30/1

2/2

015

Har

ga

(mil

yar

rup

iah)

Waktu

25

20

15

10

5

0

Har

ga

(mil

yar

rup

iah)

8

Gambar 2 Pergerakan Harga Indeks Saham Nikkei 225 (1987-2015)

Model Unpredictable Unknown

Peristiwa UU dapat dianggap sebagai suatu peristiwa langka. Misalkan

𝑁((𝑎, 𝑏]) menyatakan banyaknya kejadian peristiwa UU yang terjadi pada interval

waktu (𝑎, 𝑏]. Jika 𝑡1 < 𝑡2 < 𝑡3 < ⋯ menyatakan waktu terjadinya suatu peristiwa,

maka 𝑁((𝑎, 𝑏]) adalah banyaknya peristiwa pada setiap 𝑡𝑖, 𝑎 < 𝑡𝑖 ≤ 𝑏. Ada beberapa dalil:

1. Banyak peristiwa yang terjadi pada interval yang terpisah/berbeda merupakan

peubah acak bebas. Oleh karena itu, untuk setiap 𝑚 = 2, 3,… dan jika 𝑡0 = 0 <𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑚, maka peubah acak

𝑁((𝑡0, 𝑡1]), 𝑁((𝑡1, 𝑡2]), … , 𝑁((𝑡𝑚−1, 𝑡𝑚])

merupakan peubah acak yang saling bebas.

2. Untuk sebarang waktu 𝑡 dan bilangan positif ℎ, sebaran peluang 𝑁((𝑡, 𝑡 + ℎ]), banyak peristiwa yang terjadi pada interval (𝑡, 𝑡 + ℎ], hanya bergantung pada

interval ℎ dan tidak terhadap waktu 𝑡. 3. Terdapat konstanta positif 𝜆 untuk setiap peluang paling tidak terjadinya satu

peristiwa pada interval ℎ ialah

𝐏(𝑁((𝑡, 𝑡 + ℎ]) ≥ 1) = 𝜆ℎ + 𝑜(ℎ), ℎ ↓ 0.

4. Peluang terjadinya dua atau lebih suatu peristiwa pada interval ℎ ialah

𝐏(𝑁((𝑡, 𝑡 + ℎ]) ≥ 2) = 𝑜(ℎ), ℎ ↓ 0. Dalil 3 dan 4 merupakan rumusan dari peristiwa langka. Pada dalil 1

disebutkan bahwa selang waktu yang berbeda saling bebas dan dalil 2 menyatakan

bahwa sebaran dari 𝑁((𝑠, 𝑡]) sama dengan sebaran 𝑁((0, 𝑡 − 𝑠]). Untuk

menentukan hukum peluang dari sistem, terlebih dahulu tentukan sebaran peluang

dari 𝑁((0, 𝑡]) untuk sebarang nilai 𝑡, misalkan

𝐏𝑁(0,𝑡])(𝑘) = 𝐏(𝑁((0, 𝑡]) = 𝑘).

0

5.000.000.000

10.000.000.000

15.000.000.000

20.000.000.000

25.000.000.000

30.000.000.000

35.000.000.000

40.000.000.000

45.000.000.000

30/1

2/1

987

30/1

2/1

989

30/1

2/1

991

30/1

2/1

993

30/1

2/1

995

30/1

2/1

997

30/1

2/1

999

30/1

2/2

001

30/1

2/2

003

30/1

2/2

005

30/1

2/2

007

30/1

2/2

009

30/1

2/2

011

30/1

2/2

013

30/1

2/2

015

Har

ga

(mil

yar

rup

iah)

Waktu

45

40

35

30

15

10

5

25

20

0

Har

ga

(mil

yar

rup

iah)

9

Berdasarkan Dalil 1 sampai 4 di atas, akan dibuktikan bahwa 𝑃𝑁((0,𝑡])(𝑘) adalah

fungsi massa peluang dari sebaran Poisson, yaitu

𝐏𝑁((0,𝑡])(𝑘) =𝑒−λt(λt)𝑘

𝑘!, 𝑘 = 0, 1, ….

(5)

Untuk membuktikan persamaan (5), bagi interval (0, 𝑡] menjadi 𝑛 subinterval yang

sama, yaitu ℎ =𝑡

𝑛, dan

𝜖𝑖 = {1, paling tidak terjadi satu peristiwa pada interval (

(𝑖 − 1)𝑡

𝑛,𝑖𝑡

𝑛]

0, selainnya.

Kemudian misalkan 𝑆𝑛 = 𝜖1 + ⋯ + 𝜖𝑛, maka berdasarkan Dalil 3

𝑝𝑖 = 𝐏(𝜖𝑖 = 1) = 𝜆𝑡/𝑛 + 𝑜(𝑡/𝑛).

Berdasarkan Teorema 1, diperoleh

|𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) −𝑒−𝜇𝜇𝑘

𝑘!| ≤ ∑ 𝑝𝑖

2

𝑛

𝑖=1

= 𝑛 [

𝜆𝑡

𝑛+ 𝑜 (

𝑡

𝑛)]

2

=

(𝜆𝑡)2

𝑛+ 2𝜆𝑡𝑜 (

𝑡

𝑛) + 𝑛𝑜 (

𝑡

𝑛)

2

(6)

di mana

𝜇 = ∑ 𝑝𝑖 =

𝑛

𝑖=1

𝜆𝑡 + 𝑜(𝑡/𝑛).

Karena 𝑜(ℎ) = 𝑜 (𝑡

𝑛) adalah periode yang lebih kecil dari ℎ =

𝑡

𝑛, dan 𝑛 sangat

besar, kita peroleh

𝑛𝑜 (𝑡

𝑛) = 𝑡

𝑜(𝑡/𝑛)

𝑡/𝑛= 𝑡

𝑜(ℎ)

ℎ.

Jika 𝑛 → ∞, maka ruas kanan pertidaksamaan (6) menuju nol dan

𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) =𝑒−𝜇𝜇𝑘

𝑘!

dengan 𝜇 = 𝜆𝑡.

Selanjutnya, perlu dibuktikan bahwa

lim𝑛→∞

𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) = 𝐏( 𝑁((0, 𝑡]) = 𝑘) = 𝑃𝑁((0,𝑡])(𝑘).

Nilai 𝑆𝑛 tidak sama dengan 𝑁((0, 𝑡]) jika dan hanya jika terdapat paling tidak satu

subinterval yang mengandung dua atau lebih kejadian. Berdasarkan dalil 4, hal

tersebut tidak mungkin terjadi karena

|𝑃𝑁((𝑜,𝑡])(𝑘) − 𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘)| ≤ 𝐏(𝑁((0, 𝑡]) ≠ 𝑆𝑛)

= ∑ 𝐏(𝑁((𝑖 − 1)𝑡/𝑛, 𝑖𝑡/𝑛] ≥ 2)

𝑛

𝑖=1

10

= 𝑛𝑜 (

𝑡

𝑛) (7)

Ruas kanan pada pertidaksamaan (7) akan menuju nol saat 𝑛 → ∞. Dengan membuat 𝑛 sangat besar atau membagi interval (0, 𝑡] menjadi

subinterval sangat kecil, maka dapat diperoleh

𝐏( 𝑁((0, 𝑡]) = 𝑘) =𝑒−λt(λt)𝑘

𝑘!, 𝑘 = 0, 1, …

Dengan demikian, berdasarkan dalil 1 sampai 4, peristiwa UU dapat dimodelkan

dengan proses Poisson.

Proses Poisson menjelaskan peristiwa dengan parameter 𝜆 yang tetap.

Peluang proses Poisson ialah

P(𝑁(𝑡 + 𝜏) − 𝑁(𝑡) = 𝑘) =𝑒−𝜆𝜏(𝜆𝜏)𝑘

𝑘!, 𝑘 = 0, 1, … (8)

di mana 𝑁(𝑡 + 𝜏) − 𝑁(𝑡) = 𝑘 adalah banyaknya kejadian pada selang waktu

[𝑡, 𝑡 + 𝜏], 𝜆 adalah banyaknya jump yang terjadi per satuan waktu. Nilai harapan

dan ragam dari proses Poisson pada persamaan (8) ialah

𝐸 (𝑁((0, 𝑡])) = Var (𝑁((0, 𝑡])) = 𝜆𝜏, 0 < 𝜆 < 1.

Pada karya ilmiah ini dibahas mengenai pemodelan peristiwa UU

menggunakan proses Poisson dengan fungsi intensitas acak. Hal ini cukup berbeda

dengan proses Poisson nonhomogen dengan parameter 𝜆(𝑡) yang diasumsikan

bergantung terhadap waktu. Fungsi intensitas yang digunakan tidak tetap ataupun

tidak bergantung terhadap waktu. Intensitas dari peristiwa ini haruslah sangat

rendah. Oleh karena itu, parameter dapat diperoleh dari sebaran eksponensial

dengan nilai parameter 𝜆 yang mendekati nol. Nilai 𝜆 yang sangat kecil digunakan

untuk memodelkan UU yang tidak diprediksi. Jika nilai 𝜆 tetap atau mengikuti pola

tertentu, maka akan terjadi kontradiksi dengan definisi UU. Berdasarkan fungsi

massa peluang dari sebaran Poisson, walaupun nilai 𝜆 dan 𝜏 (panjang interval)

sangat kecil, untuk 𝑘 = 0 (tidak ada UU) kita peroleh

P(𝑁(𝑠 + 𝑡) − 𝑁(𝑠) = 𝑘) =𝑒−𝜆𝑡(λ𝑡)𝑘

𝑘!=

𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)0

0!= 𝑒−𝜆𝑡 ≠ 1. (9)

Prediksi Peristiwa Unpredictable Unknown

Fluktuasi harga saham sangat berpengaruh pada stabilitas keuangan.

Pergerakan harga yang cenderung turun dapat menyebabkan memburuknya

keuangan suatu negara atau bisa juga disebut krisis keuangan. Pada proses stokastik,

krisis keuangan biasa disebut sebagai jumps. Di bidang keuangan, mean

reversion adalah asumsi bahwa harga saham akan cenderung bergerak ke harga

rata-rata dari waktu ke waktu. Proses mean reverting dianggap hal yang penting di

mana standar untuk model ini adalah proses Ornstein-Uhlenbeck (OU), yaitu

𝑑𝑋𝑡 = 𝜃(𝜇 − 𝑋𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡. (10)

Dengan membagi interval [0, 𝑇] menjadi 𝑁 subinterval yang sama, dengan lebar

∆𝑡 > 0, maka diperoleh

11

𝑋𝑡+1 = 𝜃(𝜇 − 𝑋𝑡)∆𝑡 + 𝜎∆𝑊𝑡 (11)

dengan

∆𝑡 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖,

∆𝑊𝑡 = 𝑊𝑡𝑖+1− 𝑊𝑡𝑖

= 𝜀𝑡√𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖

di mana 𝜀𝑡 menyebar normal dan persamaan (11) merupakan diskretisasi Euler-

Maryuama dari proses OU pada saat 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖, 𝑖 ∊ ℝ.

Misal

𝑐 = 𝜃𝜇∆𝑡, 𝑎 = −𝜃∆𝑡,

𝑏 = 𝜎√∆𝑡, maka berdasarkan Definisi 19, di peroleh persamaan AR(1) sebagai berikut

𝑋𝑡+1 = 𝜃(𝜇 − 𝑋𝑡)(𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) + 𝜎𝜀𝑡√𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 . (12)

Persamaan (12) dapat digunakan untuk memprediksi peristiwa UU.

Simulasi

Pada karya ilmiah ini, dilakukan simulasi untuk mendeteksi kemungkinan

terjadinya peristiwa UU pada indeks saham DJIA dan Nikkei 225 untuk seratus hari

ke depan. Simulasi ini menggunakan program yang terdapat pada Lampiran 1 dan

Lampiran 2. Nilai awal indeks saham untuk indeks saham DJIA dan Nikkei 225

diasumsikan bernilai 100 000 000 000.

Simulasi harga indeks saham DJIA

Berdasarkan hasil identifikasi terhadap indeks saham DJIA ditemukan tiga

peristiwa UU dalam jangka waktu 8000 hari. Akan diprediksi peristiwa UU untuk

100 hari ke depan, maka

𝜆 =3×100

8000= 0.0375.

Peluang terjadinya sebuah UU (k = 1) dalam periode ini ialah

P(𝑁(𝑡 + 𝜏) − 𝑁(𝑡) = 1) =𝑒− 0.0375(0.0375)1

1!= 0.036.

Pengaruh UU dapat dilihat dari sebaran eksponensial dengan parameter 𝜆 =0.0375. Dengan peluang 0.036 dapat dilihat penurunan yang tajam sebesar 12.7%

pada hari ke-66 dari 92.77 ke 80.97 (Gambar 3).

12

Gambar 3 Kemungkinan UU pada indeks saham DJIA

Simulasi harga indeks saham Nikkei 225

Berdasarkan hasil identifikasi terhadap indeks saham Nikkei 225,

ditemukan satu UU dalam jangka waktu 8000 hari. Akan diprediksi peristiwa UU

untuk 100 hari kedepan, maka

𝜆 =1×100

8000= 0.0125.

Peluang terjadinya sebuah UU (k = 1) dalam periode ini ialah

P(𝑁(𝑡 + 𝜏) − 𝑁(𝑡) = 1) =𝑒− 0.0125(0.0125)1

1!= 0.012.

Pengaruh UU dapat dilihat dari sebaran eksponensial dengan parameter 𝜆 =0.0175. Dengan peluang 0.012 dapat dilihat penurunan yang tajam sebesar 29.7%

pada hari ke-68 dari 96.78 ke 68.24 (Gambar 4).

75

80

85

90

95

100

105

1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100

Har

ga

(mil

yar

rup

iah)

Waktu

13

Gambar 4 Kemungkinan UU pada indeks saham Nikkei 225

SIMPULAN

Setelah melakukan identifikasi terhadap pergerakan harga indeks saham

DJIA dan indeks saham Nikkei 225 diperoleh informasi bahwa indeks saham DJIA

mengalami peristiwa UU sebanyak tiga kali, yaitu Black Monday tahun 1987,

serangan teroris tahun 2001, dan peristiwa pada tahun 2008, sedangkan pada indeks

saham Nikkei 225 mengalami peristiwa UU sebanyak satu kali, yaitu peristiwa pada

tahun 1989. Peristiwa UU dapat dimodelkan menggunakan proses Poisson dengan

intensitas fungsi acak. Untuk melakukan peramalan peristiwa UU dapat digunakan

proses AR(1). Berdasarkan hasil simulasi dapat dilihat bahwa dalam 100 hari ke

depan, indeks saham DJIA akan mengalami sebuah peristiwa UU pada hari ke-66

dengan peluang sebesar 0.036, sedangkan indeks saham Nikkei 225 akan

mengalami sebuah peristiwa UU pada hari ke-68 dengan peluang sebesar 0.0175.

DAFTAR PUSTAKA

Dunbar SR. 2016. Stochastic Processes and Advanced Mathematical Finance.

Linconl (US): University of Nebraska-Lincoln Press.

Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed ke-3. New York (US):

Prentice Hall.

Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2014. Introduction to Mathematical Statistics.

Ed ke-7. New Jersey (US): Prentice Hall.

65

70

75

80

85

90

95

100

1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100

Har

ga

(mil

yar

rup

iah)

Waktu

14

Ilalan D. 2015. A Poisson process with random intensity for modeling financial.

Span Rev FinancEcon. 41:1-8. doi.org/10.1016/j.srfe.2015.10.001.

Montgomery DC, Jennings CL, Kulahci M. 2008. Introduction to Time Series

Analysis and Forcasting. New York (US): John Wiley & Sons.

Pinsky MA, Karlin S. 2012. An Introduction to Stochastic Modelling. Ed Ke-4.

Oxford (UK): Elsevier.

Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Ed ke-9. Orlando (US):

Academic Press Inc.

15

Lampiran 1 Indeks saham DJIA dan Nikkei 225

Indeks Saham DJIA Indeks Saham Nikkei 225

Waktu Harga

Waktu Harga

29/01/1985 1 292 619 995 06/01/1986 13054

30/01/1985 1 287 880 005 07/01/1986 12991

31/01/1985 128 677 002 08/01/1986 13056

01/02/1985 1 277 719 971 09/01/1986 13034

04/02/1985 1 290 079 956 10/01/1986 12898

05/02/1985 128 522 998 13/01/1986 12977

06/02/1985 1 280 589 966 14/01/1986 12929

07/02/1985 1 290 079 956 16/01/1986 13027

08/02/1985 1 289 969 971 17/01/1986 13010

11/02/1985 1 276 060 059 20/01/1986 12952

12/02/1985 1 276 609 985 21/01/1986 12882

13/02/1985 1 297 920 044 22/01/1986 12923

14/02/1985 1 287 880 005 23/01/1986 12889

15/02/1985 128 202 002 24/01/1986 12904

19/02/1985 1 280 589 966 27/01/1986 12983

. . . .

. . . .

. . . .

17/06/2004 10 377 519 531 03/09/2001 10 409 679 688

18/06/2004 10 416 410 156 04/09/2001 10 772 589 844

21/06/2004 10 371 469 727 05/09/2001 10 598 790 039

22/06/2004 10 395 070 312 06/09/2001 10 650 330 078

23/06/2004 10 479 570 312 07/09/2001 10 516 790 039

. . . .

. . . .

. . . .

17/12/2015 17 495 839 844 16/12/2015 19 049 910 156

18/12/2015 17 128 550 781 17/12/2015 19 353 560 547

21/12/2015 17 251 619 141 18/12/2015 18 986 800 781

22/12/2015 17 417 269 531 21/12/2015 18 916 019 531

23/12/2015 17 602 609 375 22/12/2015 18 886 699 219

24/12/2015 17 552 169 922 24/12/2015 18 789 689 453

28/12/2015 17 528 269 531 25/12/2015 18 769 060 547

29/12/2015 17 720 980 469 28/12/2015 18 873 349 609

30/12/2015 17 603 869 141 29/12/2015 18 982 230 469

31/12/2015 17 425 029 297 30/12/2015 19 033 710 938

16

Lampiran 2 Program untuk menentukan kemungkinan terjadinya peristiwa UU

pada DJIA

clear all; clc; T = 100; lambda=input('lambda = '); lambda=random('Exponential',0.0375) e=random('Exponential',1/lambda,T,1) Q(1) = 100; x=round(rand(1)*T); y=round(rand(1)*T); z=min(x,y) w=max(x,y) for i=1:z Q(i+1) = Q(i)+0.0375*randn; end for i=z:w if e(i)<lambda Q(i+1) = Q(i)+0.0375*randn-random('Exponential',1/lambda); else Q(i+1) = Q(i)+0.0375*randn; end Q(w)=Q(i); for i=w:T Q(i+1) = Q(i); end end

17

Lampiran 3 Program untuk menentukan kemungkinan terjadinya peristiwa UU

pada Nikkei 225

clear all; clc; T = 100; lambda=input('lambda = '); lambda=random('Exponential',0.0175) e=random('Exponential',1/lambda,T,1) Q(1) = 100; x=round(rand(1)*T); y=round(rand(1)*T); z=min(x,y) w=max(x,y) for i=1:z Q(i+1) = Q(i)+0.0175*randn; end for i=z:w if e(i)<lambda Q(i+1) = Q(i)+0.0175*randn-random('Exponential',1/lambda); else Q(i+1) = Q(i)+0.0175*randn; end Q(w)=Q(i); for i=w:T Q(i+1) = Q(i); end end

18

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Vionamita Shara lahir di Kabupaten Tanah Datar

pada tanggal 31 Maret 1995 dari Ayah Taufik dan Ibu Rusmiyati. Penulis adalah

putri kedua dari tiga bersaudara. Tahun 2013 penulis lulus dari SMA Negeri 1

Batusangkar dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut

Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di

Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Institut Pertanian Bogor.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan

yaitu sebagai staf Infokom Gumatika IPB pada tahun 2014/2016. Penulis juga aktif

pada komunitas perkusi Gumatika, yaitu Gumakusi. Bersama Gumakusi, penulis

pernah menjuarai beberapa lomba perkusi, seperti SPIRIT FMIPA dan IAC. Selain

itu, penulis juga pernah meraih juara pada Olimpiade Mahasiswa IPB cabang catur.