pemrograman dinamis dynamic programming · • tentukan solusi optimal dengan backtracking. ti3131...

10/8/2009

1

TI3131 Penelitian Operasional II 1

Pemrograman Dinamis

(Dynamic Programming)

Kuliah 04-05


Materi

• Pengantar

• Masalah pemrograman dinamis deterministik

• Masalah pemrograman dinamis probabilistik

10/8/2009

2


Pendahuluan

• Pemrograman dinamis (dynamic programming)

merupakan teknik matematis yang dapat berguna

untuk membuat suatu urutan keputusan yang saling

berkaitan.

• Pemrograman dinamis tidak mempunyai rumusan

yang baku.

• Tiap permasalahan memerlukan perumusan tertentu.

• Teknik pemrograman dinamis dikenal juga dengan

multistage programming.


Klasifikasi Pemrograman Dinamis

Status diskret Status kontinyu

Tunggal Majemuk Tunggal Majemuk

Deterministik

Probabilistik

10/8/2009

3


Karakteristik

Masalah Pemrograman Dinamis (1)

• Masalah dapat dibagi atas tahap (stage)

dimana keputusan (decision) harus dibuat pada

tiap tahap.

• Tiap tahap mempunyai sejumlah status (state).

• Efek dari keputusan pada tiap tahap adalah

mengubah status saat ini menjadi status yang

berkaitan dengan tahap berikutnya.


Karakteristik


• Prosedur pemecahan didesain untuk

mendapatkan kebijakan optimal (optimal

policy) untuk keseluruhan masalah.

• Diberikan status saat ini, kebijakan optimal

untuk tahap tersisa adalah independen terhadap

kebijakan yang diambil dalam tahap

berikutnya (disebut principle of optimality

dari pemrograman dinamis).

10/8/2009

4

Karakteristik


• Associated with each stage, there is a return function

that evaluates the choice made at each decision in

term of contribution that the decision can make to the

overall objective

• Each stage N the total decision process is related to its

adjoining stage by a quantitative relationship called a

transition function

• A recursive relationship is always used to relate the

optimal policy at stage n to the (n-1) stage.



Pengambilan Keputusan (1)

• Tahap (Stage)

– Titik dimana suatu keputusan dibuat

• Status (State)

– Parameter masukan

• Transformasi (Transformation)

– Aturan yang mengarahkan keputusan

10/8/2009

5


Pengambilan Keputusan (2)

Tahap

Keputusan

Transformasi

KeluaranMasukan


Suatu Tahap Tunggal

nnnn xSrg ,

nx

nS nnS

~

nS = status input (input state)

nS~

= status ouput (output state)

nx = keputusan (decision)

ng = fungsi pengembalian

(return function)

10/8/2009

6


Sistem Banyak-Tahap

(Multi-Stage System)

//

ng

nx

nSn

nS~

//

1g

1S1

1

~S

1x

Ng

Nx

NSN

NS~

1

~ ii SS 1,,2,1 Ni


Prosedur Pemecahan

• Prosedur pemecahan

– Rekursi maju (forward recursion)

– Rekursi mundur (backward recursion)

• Perbedaan prosedur

– Cara mendefinisikan status dalam sistem.

• Prosedur rekursi mundur secara umum lebih

efisien.

10/8/2009

7


Rekursi Maju

//

ng

nx

nSn

nS~

//

1g

1S1

1

~S

1x

Ng

Nx

NSN

NS~

Proses perhitungan mulai dari tahap n = 1

hingga tahap n = N


Rekursi Mundur

//

ng

nx

nSn

nS~

//

1g

1S1

1

~S

1x

Ng

Nx

NSN

NS~

Proses perhitungan mulai dari tahap n = N

hingga tahap n = 1

10/8/2009

8


Fungsi Transisi

(Transition Function)

nnn xSS 1

Rekursi maju :

nnn xSS 1

Rekursi mundur :


Beberapa Contoh Fungsi Transisi

Fungsi Transisi

Maju Mundur

+

-

×

nnn xSS 1

nnn xSS 1

nnn xSS 1

nnn xSS 1

nnn xSS 1

nnn xSS 1

nnn xSS 1

nnn xSS 1

10/8/2009

9


Hubungan Rekursif Maju

NnSfxSrSf nnnnnx

nn

n

,,1 ,,opt 1

*

1

*

nnn xSS 1

00

*

0 Sf

NnSfxSrxSf nnnnnnnn ,,1 ,,, 1

*

1

NnxSfSf nnnn ,,1 ,, **


Hubungan Rekursif Mundur

1,, ,,opt 1

*

1

* NnSfxSrSf nnnnnx

nn

n

1,, ,1 NnxSS nnn

01

*

1 NN Sf

1,, ,,, 1

*

1 NnSfxSrxSf nnnnnnnn

1,, ,, ** NnxSfSf nnnn

10/8/2009

10


Langkah-langkah Pemecahan

• Tentukan prosedur pemecahan (maju atau mundur).

• Tentukan tahap (stage).

• Definisikan variabel status (state) pada tiap tahap.

• Definisikan variabel keputusan pada tiap tahap.

• Definisikan fungsi pengembalian pada tiap tahap.

• Definisikan fungsi transisi.

• Definisikan fungsi rekursif.

• Perhitungan.

• Tentukan solusi optimal dengan backtracking.


Beberapa Contoh Masalah Pemrograman

Dinamis Deterministik

• Stagecoach problem

• Cargo loading problem

• Inventory problem

• Reliability problem

• Nonlinear programming problem

• Linear programming problem

Single-state discrete

deterministic DP

Single-state continuous

deterministic DP

Multiple-state continuous

deterministic DP

10/8/2009

11


Stagecoach problem

A

B

D

E

C

G

F

H

I

J

2

3

3

7

4

6

3

2

4

4

1

5

1

4

6

3

3

3

3

4


A

B

D

E

C

G

F

H

I

J

1 2 3 4

Tahap

n = region (n = 1, 2, 3, 4)

10/8/2009

12


Status:

Sn = simpul saat ini pada tahap n

Variabel keputusan

xn = simpul tujuan berikutnya pada tahap n

Fungsi pengembalian

),( nn xSn cg

nnxS xScnn

simpul ke simpul darijarak ),(


Fungsi transisi (mundur):

Hubungan rekursif (mundur)

nn xS 1

1,,4 ,min 1

*

1),(

* nSfcSf nnxSx

nn nnn

05

*

5 Sf

1,,4 ,min *

1),(

* nxfcSf nnxSx

nn nnn

10/8/2009

13


Tahap n = 4

x4

S4

f4*(S4) x4*

J

H 3 3 J

I 4 4 J

44 ,444 , xScxSf

Perhitungan

05

*

5Sf


Tahap n = 3

x3

S3

f3*(S3) x3*

H I

E 1 + 3 = 4 4 + 4 = 8 4 H

F 6 + 3 = 9 3 + 4 = 7 7 I

G 3 + 3 = 6 3 + 4 = 7 6 H

3

*

4,333 33, xfcxSf xS

10/8/2009

14


Tahap n = 2

x2

S2

f2*(S2) x2*E F G

B 7 + 4 = 11 4 + 7 = 11 6 + 6 = 12 11 E, F

C 3 + 4 = 7 2 + 7 = 9 4 + 6 = 10 7 E

D 4 + 4 = 8 1 + 7 = 8 5 + 6 = 11 8 E, F

2

*

3,222 22, xfcxSf xS


Tahap n = 1

x1

S1

f1*(S1) x1*B C D

A 2 + 11 = 13 4 + 7 = 11 3 + 8 = 11 11 C, D

1

*

2,111 11, xfcdSf xS

10/8/2009

15


n = 1 n = 2 n = 3 n = 4(x1*, x2*, x3*,x4*)

S1 x1* S2 x2* S3 x3* S4 x4*

A C C E E H H J (C, E, H, J)

A D D E E H H J (D, E, H, J)

A D D F F I I J (D, F, I, J)

A C E H J

A D E H J

A D F I J

Backtracking


Cargo Loading Problem

(Knapsack Problem)

Item i Berat wi Nilai, vi

1 2 65

2 3 80

3 1 30

Kapasitas karung = 5

10/8/2009

16


n

i

ii xvZ1

Wxwn

i

ii 1

bulatbilangan dan 0ix

maksimisasi

Integer Linear Programming (ILP) Model


Tahap

n = item (n = 1, 2, 3)

Status:

Sn = pada tahap n, kapasitas yang tersedia

Variabel keputusan

xn = untuk tiap jenis item n, jumlah yang dimuat

10/8/2009

17


Fungsi Pengembalian:

Fungsi Transisi:

Hubungan Rekursif:nnnn xwSS 1

1,2,3 ,max 1

*

1

* nSfxvSf nnnnd

nnn

04

*

4 Sf

1,2,3 ,max *

1

* nxwSfxvSf nnnnnnd

nnn

nnn xvg


Tahap n = 3

x3

S3

f3*(S3) x3*0 1 2 3 4 5

0 0 - - - - - 0 0

1 0 30 - - - - 30 1

2 0 30 60 - - - 60 2

3 0 30 60 90 - - 90 3

4 0 30 60 90 120 - 120 4

5 0 30 60 90 120 150 150 5

33333 , xvxSf

Perhitungan

04

*

4Sf

10/8/2009

18


Tahap n = 2

x2

S2

f2*(S2) x2*0 1

0 0 - 0 0

1 30 - 30 0

2 60 - 60 0

3 90 80 90 0

4 120 110 120 0

5 150 140 150 0

222

*

322222 , xwSfxvxSf


Tahap n = 1

x1

S1

f1*(S1) x1*0 1 2

0 0 - - 0 0

1 30 - - 30 0

2 60 65 - 65 1

3 90 95 - 95 1

4 120 125 130 130 2

5 150 155 160 160 2

111

*

211111 , xwSfxvxSf

10/8/2009

19


n = 1 n = 2 n = 3

(x1*, x2*, x3*)w1 = 2 w2 = 3 w3 = 1

S1 x1* S2 x2* S3 x3*

5 2 1 0 1 1 (2, 0, 1)

nnnn xwSS 1

Backtracking


Masalah Persediaan

(Inventory Problem)

Bulan Okt Nov Des Jan Feb Mar

Permintaan 40 20 30 40 30 20

Permintaan:

Biaya pembelian = $4/unit

Ukuran lot yang dibeli dari pemasok: 10, 20, 30, 40 dan 50

10/8/2009

20


Ukuran lot Diskon (%)

10 4

20 5

30 10

40 20

50 25

Diskon harga

Biaya pesan: tetap = $2, variabel = $8/unit

Kapasitas gudang (persediaan) 40 unit

Biaya simpan = $0.2/unit/bulan (dihitung pada persediaan

pada akhir bulan)


Permasalahan

Menentukan jumlah produk yang dipesan (diorder)

pada tiap bulan yang meminimumkan biaya total

(mencakup biaya pembelian, biaya pesan dan biaya

simpan)

Asumsi:

Persediaan pada awal Oktober dan akhir Maret adalah

nol.

10/8/2009

21


Tahap:

n = bulan (n = 1, 2, …, 6)

Status:

Sn = jumlah persediaan pada awal tahap n

Variabel keputusan:

xn = jumlah produk yang dipesan pada tahap n


Fungsi pengembalian:

(xn) = biaya pembelian dan pemesanan (fungsi dari xn)

hn = biaya simpan pada tahap n

Dn = permintaan pada tahap n

Fungsi transisi:

nnnn DxSS 1

nnnnnn DxShxg

10/8/2009

22


Hubungan rekursif:

6,,1 ,min 1

*

1

* nSfDxShxSf nnnnnnnx

nnn

6,,1 ,min *

1

* nDxSfDxShxSf nnnnnnnnnx

nnn

07

*

7 Sf


Ukuran lotHarga

($/unit)

Diskon

(%)

Biaya

pembelian ($)

Biaya

pesan ($)

Biaya

pembelian

+ pesan ($)

10 4 4 38 10 48

20 4 5 76 10 86

30 4 10 108 10 118

40 4 20 128 10 138

50 4 25 150 10 160

10/8/2009

23


Tahap n = 6

x6

S6

f6*(S6) x6*0 10 20

0 - - 86 86 20

10 - 48 - 48 10

20 0 - - 0 0

6666 , xxSf

06667 DxSS

Perhitungan:

07

*

7Sf


Tahap n = 5

x5

S5

f5*(S5) x5*

0 10 20 30 40 50

0 - - - 204 186 164 164 50

10 - - 172 168 142 - 142 40

20 - 134 136 122 - - 122 30

30 86 98 90 - - - 86 0

40 50 52 - - - - 50 0

555

*

655555555 , DxSfDxShxxSf

10/8/2009

24


Tahap n = 4

x4

S4

f4*(S4) x4*

0 10 20 30 40 50

0 - - - - 302 304 302 40

10 - - - 282 282 286 282 30,40

20 - - 250 262 264 252 250 20

30 - 212 230 244 230 218 218 10

40 164 192 212 210 196 - 164 0

444

*



Tahap n = 3

x3

S3

f3*(S3) x3*

0 10 20 30 40 50

0 - - - 420 422 414 414 50

10 - - 388 402 392 384 384 50

20 - 350 370 372 362 332 332 50

30 302 332 340 342 310 - 302 0

40 284 302 310 290 - - 284 0

333

*


10/8/2009

25


Tahap n = 2

x2

S2

f2*(S2) x2*

0 10 20 30 40 50

0 - - 500 504 474 468 474 50

10 - 462 472 454 446 452 446 40

20 414 434 422 426 430 - 414 0

30 386 384 394 410 - - 384 10

40 336 356 378 - - - 336 0

222

*



Tahap n = 1

x1

S1

f1*(S1) x1*

0 10 20 30 40 50

0 - - - - 606 608 606 40

111

*


10/8/2009

26


n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6

xn*D1 = 40 D2 = 20 D3 = 30 D4 = 40 D5 = 30 D6 = 20

S1 x1* S2 x2* S3 x3* S4 x4* S5 x5* S6 x6*

0 40 0 50 30 0 0 40 0 50 20 0 (40, 50, 0, 40, 50, 0)

nnnn DxSS 1

Backtracking


Masalah Keandalan

(Reliability Problem)

Komponen I Komponen II Komponen III

Permasalahan: Menentukan jumlah unit paralel yang dipasang

pada tiap komponen agar diperoleh reliabilitas sistem yang maksimum

dengan mempertimbangkan dana yang tersedia.

10/8/2009

27


Jumlah unit

paralel yang

dipasang, k

Komponen

I II III

r1 c1 r2 c2 r3 c3

1 0,6 1 0,7 3 0,5 2

2 0,8 2 0,8 5 0,7 4

3 0,9 3 0,9 6 0,9 5

ri = reliabilitas komponen i (diberikan jumlah unit paralel k)

ci = biaya pemasangan komponen i (diberikan jumlah unit paralel k)

[dalam jutaan rupiah]

Dana yang tersedia untuk perancangan sistem = Rp 10 juta


• Tahap

– Jenis komponen (n = 1, 2, 3)

• Status

– Untuk tiap tahap n, status Sn adalah banyaknya dana yang tersedia yang dapat dialokasikan pada tahap n

• Variabel keputusan

– Untuk tiap tahap (komponen) n, keputusan adalah xn adalah banyaknya unit paralel yang dipasang.

10/8/2009

28


• Fungsi pengembalian:

• Fungsi transisi:

• Hubungan rekursif:

nnn xrg

nnnn xcSS 1

1,2,3 ,max 1

*

1

* nSfxrSf nnnnx

nnn

14

*

4 Sf

1,2,3 ,max *

1

* nxcSfxrSf nnnnnnx

nnn


Tahap n = 3

x3

S3

f3*(S3) x3*r3 = 0,5;

c3 = 2

r3 = 0,7;

c3 = 4

r3 = 0,9;

c3 = 5

1 2 3

2 0,5 - - 0,5 1

3 0,5 - - 0,5 1

4 0,5 0,7 - 0,7 2

5 0,5 0,7 0,9 0,9 3

6 0,5 0,7 0,9 0,9 3

33333 , xrxSf

Perhitungan

14

*

4Sf

10/8/2009

29


Tahap n = 2

x2

S2

f2*(S2) x2*r2 = 0,7;

c2 = 3

r2 = 0,8;

c2 = 5

r2 = 0,9;

c2 = 6

1 2 3

5 0,35 - - 0,35 1

6 0,35 - - 0,35 1

7 0,49 0,40 - 0,49 1

8 0,63 0,40 0,45 0,63 1

9 0,63 0,56 0,45 0,63 1

222

*

322222 , xcSfxrxSf


Tahap n = 1

x1

S1

f1*(S1) x1*r1 = 0,6;

c1 = 1

r1 = 0,8;

c1 = 2

r1 = 0,9;

c1 = 3

1 2 3

6 0,210 - - 0,210 1

7 0,210 0,280 - 0,280 1

8 0,294 0,280 0,315 0,315 3

9 0,378 0,392 0,315 0,392 2

10 0,378 0,504 0,441 0,504 2

111

*

211111 , xcSfxrxSf

10/8/2009

30


n = 1 n = 2 n = 3

(x1*, x2*, x3*)c3 = 2 c2 = 3 c1 = 1

S1 x1* S2 x2* S1 x1*

10 2 8 1 5 3 (2, 1, 3)

nnnn xcSS 1


Nonlinear Programming Problem (1)

32

2

1 32 xxxZ

iii xSS 31

ii Sx 0

maksimisasi

dengan pembatas-pembatas:

10/8/2009

31



Tahap n = 3

3333 3, xxSf

30

*

3 3max33

xSfSx

3

*

3 Sx 33

*

3 3SSf



Tahap n = 2

3

*

32222 2, SfxxSf

22

*

320

*

3 32max22

xSfxSfSx

0*

2x

22

*

32 32 xSfx

2220

392max22

xSxSx

220

9max22

xSSx

22

*

2 9SSf

10/8/2009

32



Tahap n = 1

2

*

2

2

1333 , SfxxSf

11

*

1

2

10

*

1 3max11

xSfxSfSx

11

*

2

2

1 3 xSfx

11

2

10

927max11

xSxSx



27S1

9/17

convex fungsi 279 11

2

1 Sxxf

10/8/2009

33



Kebijakan keputusan optimal:

0*

11 xS

3

*

11 SxS

3

*

11 atau 0 SxS

Titik diperoleh melalui:

9 27927 11

2

11 SS



9 ,18

9 ,27

11

2

1

11

1

*

1SSS

SSSf

Kebijakan keputusan optimal tersedia untuk

sebarang status masukan S1.

10/8/2009

34



S1 x1* x2* x3* f1*(S1)

3 27 0 0 81

6 54 0 0 162

9 81(54) 0 0(9) 243

12 72 0 12 360

Nilai solusi untuk beberapa nilai status masukan S1.


Pemrograman Linier

(Linear Programming)

21 53 xxZ

41 x

122 2 x

0, 21 xx

dengan pembatas-pembatas:

Maksimisasi

1823 21 xx

10/8/2009

35


• Tahap:

n = aktivitas (n = 1, 2)

• Status:

Jumlah ketersediaan masing-masing sumber

pada tahap n (Pn, Qn, Rn) yang dapat

dialokasikan untuk tahap (aktivitas) n, n + 1,…


xn = jumlah dari aktivitas n


Tahap n = 2

22

*

222 ,min

RQx

2222222 ;,, xcxRQPf

2

2

2222

*

2 5max,,

22

22

xRQPf

Rx

Qx

10/8/2009

36


Tahap n = 1

111111111222 ,,,, xaRxaQxaPRQP rqp

11 318,12,4 xx

2

318

212

22222

*

2122 ,min5,min5,,

xRQRQPf

222

*

21111111 ,,;,, RQPfxcxRQPf


2

318

212

1111111,min53;,

xxxRQPf

42 ,95

20 ,653

1123

1

1xx

xx

42 ,45

20 ,303

11215

1

1xx

xx

10/8/2009

37


42 ,45

20 ,303max,,

11215

1

140

111

*

11 xx

xxRQPf

x

42 ,45

20 ,303max

1129

11

40 1 xx

xx

x

36,,

2

111

*

1

*

1

QRPf

x


2*

1 x

12)2(318

12

224

2

2

2

R

Q

P

6,min2

122

12*

2 x

10/8/2009

38


Pemrograman Dinamis Probabilistik

• Dalam pemrograman dinamis probabilistik

(probabilistic dynamic programming), status

pada tahap berikutnya ditentukan oleh:

– Status dan keputusan saat ini

– Probabilitas dari status berikutnya


Struktur Dasar

Pemrograman Dinamis Probabilistik

Sn xn

1

2

S

.

.

.

p1

p2

pS nnn xSf ,

Status:Keputusan

Tahap n Tahap n + 1

C1

C2

CS

1*

1nf

2*

1nf

Sfn

*

1

Probabilitas

10/8/2009

39


• Hubungan antara fn(Sn, xn) dengan f*n+1(Sn+1)

bergantung pada bentuk dari fungsi tujuan

secara keseluruhan.

• Contoh: tujuan adalah meminimumkan jumlah

ekspektasi kontribusi dari tahap individual

• fn(Sn, xn) menunjukkan jumlah ekspektasi

minimum dari tahap n ke depan, dengan

diberikan status dan keputusan pada tahap n

masing-masing Sn dan xn.


1,, ,,1

*

1 NnifCpdSfS

i

niinnn

11

*

1 ,min1

nnx

n xififn

dengan

• Akibatnya,

10/8/2009

40


Beberapa Contoh Masalah Pemrograman

Dinamis Deterministik

• Reject allowance

• Permainan


Reject Allowances

• Perusahaan menerima order untuk membuat

satu item dari suatu jenis produk tertentu.

• Karena pemesan menetapkan standar kualitas

yang ketat, perusahaan harus memproduksi

lebih dari item agar produk dapat diterima.

• Jumlah tambahan item yang diproduksi disebut

reject allowance.

10/8/2009

41


• Perusahaan mengestimasi bahwa tiap item yang

diproduksi dapat diterima dengan probabilitas sebesar 1/2 dan cacat (tanpa dapat dirework) dengan

probabilitas sebesar 1/2.

• Jumlah item yang diproduksi yang dapat diterima dari

suatu ukuran lot L mempunyai distribusi binomial.

• Probabilitas memproduksi item yang tak

diterima dari suatu lot adalah (½)L


• Biaya produksi satuan = $100 per item.

• Kelebihan item = tak bernilai.

• Biaya set-up = $300 per production run.

• Production run berikutnya dilakukan apabila belum dapat diperoleh item yang diterima

• Perusahaan mempunyai kesempatan untuk membuat item hingga tiga kali production run.

• Jika pada akhir production run belum diperoleh item yang dapat diterima maka perusahaan akan kehilangan pendapatan dan dikenakan biaya penalti sebesar $1600.

10/8/2009

42


• Permasalahan: Menentukan kebijakan optimal

terhadap ukuran lot (1 + reject allowance)

untuk production run yang diperlukan yang

meminimasi ekspektasi biaya total bagi

perusahaan.


Perumusan Pemrograman Dinamis

• Tahap

n = production run (n = 1, 2, 3)

• Status

Sn = jumlah item yang acceptable yang masih

dibutuhkan (1 atau 0) jika mulai dari tahap n


xn = ukuran lot untuk tahap n

10/8/2009

43


Pada tahap 1

• Status S1 = 1

• Jika paling sedikit satu item yang dapat

diterima diperoleh berikutnya, status berubah

ke Sn = 0, dimana tidak ada tambahan biaya

yang diperlukan.


fn(Sn, xn) = ekspektasi biaya total untuk tahap

n, …, 3 jika sistem mulai dalam

status Sn pada tahap n keputusan

xn

dengan

f*n(0) = 0

nnnx

nn xSfSfn

,min,1,0

*

10/8/2009

44


Kontribusi biaya dari tahap n (tanpa memandang status

berikutnya)

= K(xn) + 100xn

dimana K(xn) adalah fungsi dari xn

K(xn) = 0 jika xn = 0

= 300 jika xn > 0


011100,1 *

121*

121*

n

x

n

x

nnnn ffxxKxf nn

Untuk Sn = 1,

f4*(1) = 1600, biaya akhir jika tidak ada item yang dapat

diterima yang diperoleh setelah tahap ke-3.

1100 *

121

n

x

nn fxxK n

10/8/2009

45


11min1 *

121

,1,0

*

n

x

nx

n fxKf n

n

Hubungan rekursif

untuk n = 1, 2, 3


Tahap n = 3

x3

S3

f3* x3*

0 1 2 3 4 5

0 0 0 0

1 1600 1200 900 800 800 850 8003 atau

4

3

21

33333 1600100,x

xxKxSf

10/8/2009

46


Tahap n = 2

x2

S2

f2*(x2) x2*

0 1 2 3 4

0 0 0 0

1 800 800 700 700 750 7002 atau

3

1100, *

321

222222 fxxKxSf

x


Tahap n = 1

x1

S1

f1*(x1) x1*

0 1 2 3 4

1 700 750 675 687.5 743.75 675 2

1100, *

221

111111 fxxKxSf

x

10/8/2009

47


Production run Kebijakan optimal (optimal policy)

1 Memproduksi 2 item

2Jika tidak ada item yang acceptable maka produksi

sebanyak 2 atau 3 item

3Jika ada tidak ada item yang acceptable maka produksi

3 atau 4 item

Ekspektasi biaya dari kebijakan = $675


Permainan

• Diberikan suatu permainan mirip Russian Roulette

yang memutar sebuah lingkaran yang diberi n angka

berurutan, yaitu antara 1 hingga n.

• Probabilitas bahwa lingkaran akan berhenti pada

suatu angka j setelah satu putaran adalah pi.

• Seorang membayar $x untuk permainan sebanyak m

putaran.

• Payoff kepada pemain adalah dua kali angka yang

dihasilkan dalam putaran terakhir.

• Tentukan strategi optimal bagi pemain.

10/8/2009

48


• Tahap n dinyatakan sebagai putaran (n = 1, ..,

m)

• Status j dari sistem pada tahap i dinyatakan

sebagai salah satu angka dari 1 hingga n yang

diperoleh pada putaran terakhir.

• Alternatif keputusan pada tiap tahap mencakup

baik pemutaran sekali lagi atau menghentikan

permainan.


Misal

fi(j) = Ekspektasi return untuk permainan pada

tahap (putaran) i dengan hasil putaran terakhir

adalah j

= 2j, jika permainan berakhir

jika permainan berlanjut)(1

1 kfpn

k

ik

10/8/2009

49


Hubungan rekursif :

jjfm 21

n

k

k kfpf1

21 0

mi

kfp

j

jfn

k

kik

i ,,1,

berlanjutpermainan jika

berhentipermainan jika2

max

1


• Pada saat putaran pertama (i = 1), status sistem adalah

j = 0 (permainan dimulai)

• Maka f1(0) = p1f2(1) + p2f2(2) + ... + pnf2(n)

• Pada putaran terakhir (i = m), permainan harus

berhenti tanpa memandang bagaimana hasil j pada

putaran ke-m. Sehingga,

fm+1(j) = 2j

• f1(0) diperoleh dari perhitungan rekursif, yang

merupakan ekspektasi return dari m putaran.

• Net return adalah f1(0) - x

10/8/2009

50


1 2

3

m-1

m

Berhenti

Berhenti

Berhenti

Putar

Putar

PutarBerhenti

Putar

m+1


• Contoh numerik

– Lingkaran diberi angka berurutan mulai dari 1

hingga 5.

– Probabilitas bahwa lingkaran akan berhenti pada

nomor j adalah sebagai berikut:

p1 = 0,3; p2 = 0,25; p3 = 0,20; p4 = 0,15; p5 = 0,10

– Pemain membayar $5 untuk permainan sebanyak 4

putaran.

– Tentukan strategi optimal dari empat putaran untuk

memaksimumkan net return.

10/8/2009

51


Tahap n = 5

d5

S5

f5*(S5) d5*Berhenti

1 2 2 Berhenti

2 4 4 Berhenti

3 6 6 Berhenti

4 8 8 Berhenti

5 10 10 Berhenti

f5*(S5) = 2j

f5(S5,d5)


Tahap n = 4

d4

jf4*(S4) d3*

Berhenti Putar

1 2 5 5 Putar

2 4 5 5 Putar

3 6 5 6 Berhenti

4 8 5 8 Berhenti

5 10 5 10 Berhenti

f4*(S4) = max{2j, p1f5(1) + p2f5(2) + p3f5(3) + p4f5(4 + p5f5(5)}

= max{2j, 5}

f4(S4,d4)

10/8/2009

52


d3

S3

f3*(S3) d3*

Berhenti Putar

1 2 6,15 6.15 Putar

2 4 6,15 6.15 Putar

3 6 6,15 6.15 Putar

4 8 6,15 8.00 Berhenti

5 10 6,15 10.00 Berhenti

Tahap n = 3

f3(S3,d3)


Tahap n = 2

d2

S2

f2*(S2) x2*

Berhenti Putar

1 2 6,8125 6,8125 Putar

2 4 6,8125 6,8125 Putar

3 6 6,8125 6,8125 Putar

4 8 6,8125 8,0000 Berhenti

5 10 6,8125 10,0000 Berhenti

f2(S2,d2)

10/8/2009

53


Tahap n = 1

d1

S1

f1*(S1) d1*

Putar

0 7,31 7,31 Putar

f1(S1,d1)


Putaran Strategi optimal

1 Permainan mulai, putar

2Lanjutkan jika putaran 1 menghasilkan 1, 2 atau 3; jika tidak

berhenti

3Lanjutkan jika putaran 2 menghasilkan 1, 2 atau 3; jika tidak

berhenti.

4Lanjutkan jika putaran 3 menghasilkan 1 atau 2; jika tidak

berhenti

Ekspektasi pendapatan bersih = 7.31 – 5 = 2.31

pemrograman dinamis dynamic programming · • tentukan solusi optimal dengan backtracking. ti3131...

Documents