BAGIAN III.

ANALISIS KELAKUAN DINAMIK PROSES-PROSES KIMIA

Dalam Bagian III akan dipelajari kelakuan dinamik dan statik beberapa sistem

pemrosesan sederhana. Pemahaman yang baik mengenai kelakuan dinamik sistem-

sistem sederhana ini akan membantu dalam melakukan analisis kelakuan sistem-

sistem yang lebih rumit pada proses-proses kimia.

Pada bagian ini, analisis terhadap sistem-sistem proses dibatasi hanya pada

sistem dinamik yang linier. Meskipun kebanyakan sistem proses kimia sebenarnya

dimodelkan oleh persamaan- persamaan non-linier, pengetahuan mengenai teknik-

teknik penyelesaian persamaan linier sangat berharga dan penting karena alasan-

alasan berikut :

1. Tidak ada teori matematik yang umum menyelesaikan persamaan–persamaan

diferensial non-linear secara analitis, sehingga untuk sistem–sistem non-linier

tidak terdapat perangkat analisis yang komperehensif.

2. Suatu sistem non-linier dapat didekati dengan baik oleh suatu sistem linier

pada beberapa kondisi operasi.

3. Pada teori pengendalian linier telah dicapai perkembangan yang cukup berarti/

signifikan, yang telah memungkinkan sintesis dan perancangan sistem

pengendali yang sangat efektif, bahkan juga untuk sistem-sistem yang non-

linier.

Pada Bagian III ini pertama-tama akan dibahas konsep linierisasi dan cara-cara

untuk mendekati sistem-sistem non-linier menggunakan sistem linier, kemudian juga

akan dibahas mengenai Transformasi Laplace, yang merupakan cara sederhana untuk

menyelesaikan persamaan-persamaan diferensial linier. Pada bagian berikutnya juga

dibahas pengembangan Model Input-Output sederhana untuk proses-proses kimia

menggunakan Transformasi Laplace, dan analisis dinamik berbagai proses yang

umum.

BAB 6.

SIMULASI MENGGUNAKAN KOMPUTER

DAN LINEARISASI SISTEM-SISTEM

NONLINIER

Seperti telah dipelajari pada bagian-bagian sebelumnya, kelakuan dinamik

suatu proses hanya bisa didapatkan jika persamaan-persamaan keadaan yang

digunakan untuk memodelkan proses tersebut diintegralkan. Namun demikian,

kebanyakan sistem pemroses yang perlu dipelajari hanya dapat dimodelkan dalam

bentuk persamaan differensial non-linier, padahal tidak ada teori matematik yang

dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan non-linier tersebut,

karena penyelesaian secara analitis hanya dimungkinkan untuk persamaan diferensial

yang linier.

Hal-hal yang dapat dilakukan untuk mengatasi kesulitan dalam anlisis

kelakuan dinamik sistem non-linier adalah sebagai berikut:

a. Melakukan simulasi sistem non-linier pada komputer analog atau

digital, dan menghitung penyelesaiannya secara numerik.

b. Mentransformasikan sistem non-linier menjadi suatu sistem yang linier

dengan melalui transformasi variabel-variabel sistem non-linier

tersebut.

c. Mengembangkan suatu model linier yang kelakuan dinamiknya

mendekati sistem linier pada daerah kondisi operasi tertentu yang telah

ditetapkan.

Alternatif ke-2 hanya dapat digunakan pada kasus-kasus tertentu, sedangkan

alternatif ke-1 dan ke-3 biasanya selalu dapat digunakan. Simulasi proses

menggunakan komputer hanya akan dijelaskan secara singkat, karena penjelasan rinci

tentang hal ini dapat ditemukan dalam mata kuliah lain. Materi yang akan dibahas

lebih dalam pada bagian ini adalah pendekatan model-model non-linier dengan

menggunakan model-model linier. Pendekatan model non-linier dengan model linier

penting diilakukan karena seluruh teori yang telah dikembangkan untuk perancangan

sistem pengendali seluruhnya didasarkan pada sistem linier, dan hanya sedikit

pengembangan yang telah dilakukan terhadap sistem non-linier.

6.1. Simulasi Dinamika Proses Menggunakan Komputer

Persamaan-persamaan aljabar dan diferensial yang non-linier tidak dapat

diselesaikan secara analitis, sehinggga membutuhkan penyelesaian secara numerik

dengan bantuan komputer. Solusi secara numerik juga dibutuhkan untuk persamaan-

persamaan yang meskipun dapat diselesaikan secara analitis, tetapi penyelesaian

tersebut sangat rumit dan hanya memberikan sedikit pengetahuan tentang kelakuan

sistem.

Simulasi komputer sekarang telah digunakan secara luas untuk menganalisis

kelakuan dinamik proses-proses kimia atau membantu perancangan perangkat

pengendali dan mempelajari efektivitas suatu sistem pengendali. Jenis komputer yang

pertama kali digunakan untuk simulasi proses kimia adalah komputer analog.

Komputer analog mempunyai beberapa kelemahan,yaitu:

1. Untuk melakukan set-up masalah dan menjalankan analisis numerik terhadap

masalah tersebut dibutuhkan waktu yang cukup lama.

2. Untuk setiap operasi matematik dibutuhkan satu elemen perangkat keras,

sehingga simulasi sistem-sistem yang rumit dan besar menjadi sulit.

3. Sistem-sistem yang non-linier hanya dapat disimulasikan dengan perangkat

keras yang mahal ( generator fungsi ) dengan fleksibilitas yang rendah.

4. Komputer analog tidak memiliki memory seperti pada komputer digital.

Dengan berkembangnya teknologi, komputer analog mulai ditinggalkan dan

digantikan oleh komputer digital. Komputer digital memiliki kemampuan komputasi

yang tinggi dan biaya komputasi yang rendah, sehingga dapat memperlebar ruang

lingkup dan kepraktisan simulasi komputer untuk mempelajari dinamika dan

pengendaian proses.

Simulasi proses kimia menggunakan komputer digital mencakup penyelesaian

kumpulan persamaan differensial dan aljabar yang digunakan untuk menggambarkan

kelakuan proses. Beberapa kategori metoda numerik yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan persamaan diferensial dan aljabar non-linier adalah sebagai berikut:

1.Metoda numerik untuk penyelesaian persamaan-persamaan aljabar

Pada keadaan tunak (stedy-state), persamaan keadaan sistem akan terwujud

persamaan aljabar yang sederhana, karena laju akumulasi akan sama dengan nol.

Dengan demikian, kelakuan proses pada keadaan tunak dapat ditentukan dengn

penyelesaian kumpulan persamaan aljabar yang memodelkan keadaan proses. Seluruh

metode numerik untuk menyelesaikan persamaan aljabar menggunakan cara rial and

error secara iteratif, yang hasil perhitungannya semakin lama semakin mendekatin

solusi yang diinginkan. Pada penyelesaian persamaan aljabar interatif terebut

dibutuhkan pemilihan metode iterasi yang tepat, yang akan menyebabkan persamaan-

persamaan interasi tersebut bergerak secara konvergen menuju solusi yang

diinginkan, karena pada kasus-kasus tertentu suatu metode integrasi seringkali sama

sekali tidak konvergen, atau mendekati solusinya dengan sangat lambat.

Beberapa metode interasi persamaan aljabar yang sering digunakan adalah

metode setengah interval (interval halfing), metode substitusi berurut (successive

substitution), and metode newtor-Raphson.

2.Pengintegrasian numerik persamaan-persamaan differensial

Beberapa metode pengintegrasian secara numerik digunakan adalah metode

eksplisit dan implisit.Kunci pemilihan suatu teknik integrasi yang tepat adalah

kestabilan prosedur dn kecepayamm, dalam mencapai penyelesaiin. Metode integrasi

yang paling populer adalah metode integrasi runge- Orde -4

6.2. Linierisasi Sistem Satu Variabel

Linierisasi adalah suatu cara mendekati suatu sistem non-linier dengan

sistem yang linier. Linearisasi digunakan secara luas untuk mempelajari dinamika

proses dan perancangan sistem pengendali untuk alasan-alasan berikut:

1. Dengan linerisasi akan didapatkan sistem linier yang dapat diselesaikan secara

analitis dan memberikan gambaran kelakuan proses secara lengkap untuk

berbagai nilai parameter proses dan variabel input. Simulasi komputer untuk

proses non-linier hanya akan memberikan gambaran mengenai kelakuan

sistem pada nilai parameter proses dan variabel input tertentu.

2. Perkembangan berarti untuk perancangan sistem pengendali yang efektif baru

dicapai sebatas untuk proses-proses linier.

Persamaan non-linier umum yang digunakan untuk memodelkan proses adalah

sebagai berikut:

= f (x)

Fungsi f(x)b pada persamaan tersebut dapat diekspansikan dalam

bentuk Deret Taylor di sekitar titik x˳ sebagai berikut:

F(x) =f(x˳) +

Jika suku orde kedua dan selebihnya dari Deret Taylor tersebut diabaikan,

maka f(x) dapat didekati sebagai berikut:

F(x) = f(x˳) + x˳ (x-x˳)

Galat / kesalahan yang akan diakibatkan oleh pendekatan diatas adalah sebagai

berikut:

I =