pendahuluan

PENDAHULUANMATEMATIKA EKONOMI

Dr. Luluk Kholisoh

Ruang Lingkup : Konsep-konsep Dasar, Hubungan Fungsional, Hubungan Nonlinear, Diferensial fungsi, Integral dan Matriks

Sasaran:Mahasiswa yang menempuh matakuliah Matematika Ekonomi

Tujuan:

Mahasiswa diharapkan mampu memahami Konsep-konsep Matematika dalam penerapannya pada masalah ekonomi.

Kompetensi Lulusan:

Mampu menyelesaikan persoalan Matematika permasalahan Ekonomi dan Bisnis.

LITERATUR

Chiang A.C. 1984. Fundamental Methods Of Mathematical Economics. Third Edition. Mc. Graw-Hill Book Inc. New York

Dumairy. 2004. Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Ekonomi. Edisi Ke dua belas. BPFE. Yogyakarta

Legowo. 1984. Dasar-dasar Kalkulus Penerapannya dalam Ekonomi, Ed. 2. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia

Suryawati dkk. 2001. Matematika Ekonomi. Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi YKPN

Weber, Jean E. 1982. Mathematical Analysis: Business and Economics, Aplication, 4th ed. New York: Harper & Row 1982

RENCANA PENILAIAN

Ujian Tengah Semester (UTS) 35 % Ujian Akhir Semester (UAS) 40 % Tugas Terstruktur 10 % Kuis 10 % Kehadiran 5 %

MATERI

Himpunan Sistem Bilangan, Akar dan Logaritma Deret dan Fungsi Fungsi Linier Fungsi Multivariat Fungsi Non Linier Derivatif Integral Matriks

SILABUS MATERI HIMPUNAN

Pengertian Himpunan Penyajian Himpunan Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Operasi Himpunan Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan

SILABUS MATERI SISTEM BILANGAN Hubungan Perbandingan antar Bilangan Operasi Bilangan Operasi Tanda

- Operasi Penjumlahan

- Operasi Pengurangan

- Operasi Perkalian

- Operasi Pembagian Operasi Bilangan Pecahan

- Operasi Pemadanan

- Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

- Operasi Perkalian

- Operasi Pembagian

SILABUS MATERI PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

Pangkat Kaidah pemangkatan bilangan Kaidah perkalian bilangan berpangkat Kaidah pembagian bilangan berpangkat

Akar Kaidah pengakaran bilangan Kaidah penjumlahan bilangan terakar Kaidah perkalian bilangan terakar Kaidah pembagian bilangan terakar

Logaritma

- Basis Logaritma

- Kaidah-kaidah Logaritma

- Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

SILABUS MATERI DERET

Deret Hitung- Suku ke-n dari DH- Jumlah n suku

Deret Ukur- Suku ke-n dari DU- Jumlah n suku

SILABUS MATERI FUNGSI

Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear

- Penggal- Simetri- Perpanjangan- Asimtot- Faktorisasi

SILABUS MATERI HUBUNGAN LINEAR

Penggal dan lereng garis lurus Pembentukan Persamaan Linear

- Cara dwi- kordinat- Cara koordinat- lereng- Cara Penggal lereng- Cara dwi- penggal

Hubungan dua garis lurus Pencarian Akar- akar persamaan linear

- Cara substitusi- Cara eliminasi- Cara determinan

SILABUS MATERI HUBUGAN NON LINEAR Fungsi kuadrat

- Identifikasi persamaan kuadrat- Menentukan titik maksimum atau minimum

permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar

- Fungsi penerimaan, fungsi ongkos produksi dan analisis BEP

Fungsi Eksponensial dan aplikasinya- Fungsi ongkos produksi- Perhitungan bunga majemuk

SILABUS MATERI DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

Kuosien Diferensi dan Derivatif Kaidah- Kaidah Diferensiasi Hakikat Derivatif dan Diferensial Derivatif dari Derivatif Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya

- Fungsi menaik dan fungsi menurun

- Titik ekstrim fungsi parabolik

- Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik

SILABUS MATERI DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK

Diferensial Parsial Derivatif dari Derivatif Parsial Nilai ekstrim : Maksimum dan Minimum Optimisasi Bersyarat

- Pengganda Lagrange- Kondisi Kuhn-Tucker

Homogenitas Fungsi

SILABUS MATERI INTEGRAL

Integral tak tentu Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu Integral tertentu Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu

SILABUS MATERI MATRIKS

Pengertian Matriks dan Vektor Kesamaan Matriks dan Kesamaan

Vektor Pengoperasian Matriks dan Vektor Bentuk- bentuk khas matriks Pengubahan Matriks

Himpunan Merupakan suatu kumpulan atau

gugusan dari sejumlah obyek. Obyek yang membentuk himpunan

disebut anggota/elemen/unsur Himpunan dilambangkan dengan huruf

besar, sedangkan unsur dilambangkan dengan huruf kecil

Penulisan Matematis p є A A C B A = B p є A A C B A = B

Penyajian Himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5} ; B = {kucing,

anjing} A = { x; 0 < x < 6} ; B = {x; 1 ≤ x ≤

5} { } atau 0 . Merupakan himpunan

kosong. Secara teori, himpunan kosong adalah merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan apapun.

Notasi U digunakan untuk himpunan universal (yang bersifat besar).

Operasi Himpunan Gabungan (Union):

A U B = {x; x є A atau x є B} Irisan (Intersection):

A ∩ B = {x; x є A dan x є B} Selisih:

A – B ≡ A B = { x; x є A tetapi x є B} Pelengkap (Complement):

A = { x; x є U tetapi x є A} = U - A

Matematika Ekonomi 22

2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”

3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d

Kaidah-kaidah Matematika Kaidah Indempoten:

a) A U A = A b) A ∩ A = A Kadiah Asosiatif:

a) (A U B) U C = A U (B U C)b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Kaidah Komutatif:a) A U B = B U A b) A ∩ B = B ∩ A

Kaidah Distributif:a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ ( A U C)b) A ∩ ( B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C)

Kaidah – kaidah Matematika (lanjut) Kaidah Identitas:

a) A U 0 = A b) A ∩ 0 = 0c) A U U = U d) A ∩ U = A

Kaidah Kelengkapan:a) A U A = U b) A ∩ A = 0c) (A) = A d) U = 0, 0 = U

Kaidah De Morgan:( A U B ) = A ∩ B b) ( A ∩ B) =A U B


Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir

A B

S

Sifat-sifat gabungan

a.A U B = B U A Hukum komutasi

b. A (A U B) dan B (A U B)


Operasi potongan (irisan) = ∩

A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B }

A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B

Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 }

A ∩ B = { 5, 15 }

Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir:

A B

s


Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi)

b. (A ∩ B) A dan (A ∩ B) B

Operasi selisih

Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B

A – B = { x / x € A, tetapi x € B }

Diagram Venn A – B sebagai berikut:

A B

S


Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g }

A – B = { a, c } serta B – A = { f, g }

A – B sering dibaca “A bukan B”.

Sifat: a (A – B) A; (B – A) B

b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus


Komplemen

A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A”

Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positip

A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap

Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)S

A A’

A


Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A

Latihan 1Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }A = {2, 3, 5, 7 }B = {1, 3, 4, 7, 8 }

Kemudian selesaikan :a). A – B b). B – A c) A ∩ Bd). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’


Latihan 2

Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau €

A B A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’

€ € 2; 5 U 2,5 {0}

€ €

€ €

€ € 3 ; 7 1 ; 2; 3; 4; 7; 8


Hubungan

Himpunan Hasil kali CartesiusApabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).

Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3.

Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3}

Himpunan hasil kali Cartesius adalah:X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}


Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: X 1 2 3

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3)

X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}

Y


Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut:

Y

3 • • • •

2 • • • •

1 • • • •

0 1 2 3 4 X

Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah

H1

H2 H3

H4

PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin

U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar

Terdapat 4 himp bag

H1 = {malas ttp pintar} H2 = {malas dan krg

mengerti} H3 = {rajin ttp krg

ngerti} H4 = {rajin dan pintar}


Daerah dan Wilayah (Range) hubungan Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius:

H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan

Dh = {1, 2, 3, 4}

Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan:

Wh = {1, 2, 3}


Kesimpulan: Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan

pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y.

X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } Daerah hubungan

Dh = { x / x € X} Wilayah hubungan:

Wh = { y / y € Y}

SISTEM BILANGAN


SISTEM BILANGAN

Nyata+ dan -

Khayal

Rasional Irrasional

Bulat Pecahan

Bilangan

2; -2; 1,1; -1,1

Akar negatip

√(-4) = ± 2

Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0,1492525

Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0,14925253993999… π, ℮

1; 4; 8; termasuk 0

½; 2/7 dsb

1. Pembagian bilangan

Penggolongan Bilangan (lanjut) Bilangan nyata dapat positif maupun

negatif. Bilangan khayal adalah bilangan yang

berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif.

Bilangan rasional= bilangan bulat, pecahan terbatas

Bilangan irrasional adalah bilangan pecahan yang tak terbatas.

Jenis-jenis Bilangan Lainnya Bilangan asli: bilangan bulat positif

tidak termasuk nol Bilangan cacah: bilangan bulat positif

atau nol Bilangan prima: bilangan asli yang

besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri.


2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”

3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d

Operasi Bilangan Kaidah Komutatif:

a + b = b + a a x b = b x a Kaidah Asosiatif:

( a + b ) + c = a + ( b + c )( a x b ) x c = a x ( b x c )

Kaidah Pembatalan:Jika a + c = b + c jika ac = bc (c = 0)maka a = b maka a = b

Kaidah Distributif:a ( b + c ) = ab + ac

Operasi Bilangan (lanjut) Unsur Penyama:

a ± 0 = aa x 1 = aa : 1 = a

Kebalikan:a + (-a) = 0a x 1/a = 1

Berbagai Operasi Tanda Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangan Operasi Perkalian Operasi Pembagian

Operasi Bilangan Pecahan Operasi Pemadanan

a/b = (axc)/(bxc) a/b = (a:c)/(b:c) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Operasi Perkalian

(a/x) x (b/y) = (ab)/(xy) Operasi Pembagian:

a/b : c/d = a/b x d/ca/b : c/d = x/z : y/z = x/y z = habis dibagi b dan da/b : c/d = (a/b x z) : (c/d x z)

PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

PANGKAT Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks

yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.

Notasi xn berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sbanyak n kali

Contoh: * 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 cukup ditulis 46

* 100.000 dapat diringkas menjadi 105

* 1/100.000 dapat diringkas menjadi 10-5

* 35.000.000.000 dapat diringkas menjadi 35 x 109

* 4.500.000.000 dapat diringkas menjadi 4,5 x 109

* 0,000.000.34 dapat diringkas menjadi 3,4 x 10-8

Kaidah-Kaidah Pemangkatan

Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satux0 = 1 ( x ≠ 0) Contoh: 50 = 1

Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri

x1 = x Contoh: 51 = 5 Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol

0x = 0 Contoh: 05 = 0 Bilangan berpangkat negatif adalah balikan

pengali (multiplicative inverse) dari bilangan itu sendiri

x-5 = 1/x5 Contoh: 2-5 = 1/25 = 1/32 = 32-1

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Bilangan berpangkat pecahan adalah akar

dari bilangan itu sendiri, dengan suku pembagi dalam pecahan menjadi pangkat dari akarnya, sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari bilangan yang bersangkutan

Contoh: Bilangan pecahan berpangkat adalah

hasilbagi suku-suku berpangkatnya

Contoh:

b ab

a

xx 55,1933 55 25

2

a

aa

y

x

y

x

125

64

5

4

5

43

33

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah

bilangan berpangkat hasilkali pangkat-pangkatnya(xa)b = xab Contoh: (22)3 = 22x3 = 26

=64 Bilangan dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah

bilangan berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya

dalam hal ini c = ab

Contoh:

ca xxb

721.046.4333 1624

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Hasilkali bilangan-bilangan berpagnkat yang

basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah pangkat-pangkatnyaxa….xb …..xz = xa+b+..+z Contoh: 23 x 23 = 23+3 = 26 = 64

Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan

xa . ya = (xy)a Contoh: 32 x 52 = (3x5)2 = 225

Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Hasilbagi bilangan-bilanganerpangkat yang

basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat selisih pangkat-pangkatnya

xa : xb = xa-b Contoh: 55 : 53 = 55-3 = 52= 25

Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan

xa : ya = (x/y)a Contoh: 32 : 52 = (3/5)2 = 9/25

AKAR Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan

bilangan berpangkat Akar dari suatu bilangan ialah basis yang

memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya.

Jika xa, maka x sebagai basis dan a sebagai pangkat

Jika xa = m, maka x dapat disebut sebagai akar pangkat a dari m dan dapat ditulis sebagai:

jika xa = mxma

Kaidah-kaidah Pengakaran Bilangan Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi

bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya

dalam hal ini adalah basis

Akar dari bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi

aa mm1

am1

b

ab a mm

Kaidah-kaidah Pengakaran Bilangan (lanjut) Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari

akar-akarnya

Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya

Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah (selisih) koefisien-koefisien terakar

Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat baru akarnya ialah hasilkali pangkat dari akar-akar sebelumnya

bbb yxxy

b

b

b

y

x

y

x

bc ac ab xx

b ab ab a xnmxnxm )(

LOGARITMA Logaritma merupakan kebalikan dari proses

pemangkatan dan/ atau pengakaran. Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat

yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.

Jika xa = m (dalam hal ini x adalah basis dan a adalah pangkat), maka pangkat a disebut juga logaritma dari m terhadap basis x yang ditulis dalam bentuk:

a = x log m Biasanya logaritma berbasis 10 sehingga

cukup ditulis log m

Kaidah-kaidah Logaritma xlog x = 1 sebab x1 = x xlog1 = 0 sebab x0 = 1 xlog xa = a sebab xa = xa

xlog ma = a xlog m

xlog m n = xlog m + xlog n xlog m/n = xlog m – xlog n xlog m mlog x = 1 sehingga xlog m = 1/mlog x xlog m mlog n nlog x = 1

mx mx

log

Kasus Sederhanakan dan selesaikan:

a) b)

Carilah x jika log x = 1,2304! Selesaikan x untuk log (3x + 298) = 3!

5752510 )42(:)165(

pendahuluan

Documents