penerapan integral lipat-dua atina ahdika, s.si, m · pdf filepenerapan integral lipat-dua...
TRANSCRIPT
Kalkulus Multivariabel IPenerapan Integral Lipat-Dua
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia
2014
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 1
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua
Penerapan Integral Lipat-Dua
Penerapan lain dari integral lipat-dua antara lain adalah menghitung pusatmassa, momen inersia, dan luas permukaan. Tinjaulah sebuah lembarantipis yang sedemikian tipisnya sehingga kita dapat memandangnya sebagaiobjek berdimensi dua, kita menyebut lembaran ini lamina. Di sini, kitaakan mempelajari lamina-lamina dengan berbagai kerapatan.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 2
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua
Andaikan sebuah lamina menutupi sebuah daerah S pada bidang xy , danmisalkan kerapatan (massa per satuan luas) di (x , y) disimbolkan denganδ(x , y). Daerah S dipartisi menjadi persegi panjang-persegi panjang kecilR1,R2, . . . ,Rk seperti ditunjukkan pada gambar. Ambil sebuah titik(xk , yk) pada Rk .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 3
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua
Maka massa Rk secara hampiran adalah δ(xk , yk)A(Rk), dan massa totallamina tersebut secara hampiran adalah
m ≈n∑
k=1
δ(xk , yk)A(Rk)
Massa sebenarnya, m diperoleh dengan mengambil limit rumus di atassebagai norma partisi mendekati nol, yang tentu saja merupakan sebuahintegral lipat dua
m =
∫∫S
δ(x , y)dA
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 4
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua
Contoh 1:Sebuah lamina dengan kerapatan δ(x , y) = xy dibatasi oleh sumbu x , garisx = 8, dan kurva y = x2/3. Tentukan massa totalnya.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 5
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua
Penyelesaian:
m =
∫∫S
xy dA =
8∫0
x2/3∫0
xy dy dx
=
8∫0
[xy2
2
]x2/30
dx =1
2
8∫0
x7/3dx
=1
2
[3
10x10/3
]80
=768
5= 153.6 �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 6
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Pusat Massa
Pusat Massa
Jika m1,m2, . . . ,mn berturut-turut adalah kumpulan titik-titik massa yangmasing-masing terletak di (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), maka momen totalterhadap sumbu y dan sumbu x dapat dinyatakan dengan
My =n∑
k=1
xkmk Mx =n∑
k=1
ykmk
Lebih lanjut, koordinat (x , y) dari pusat massa (titik keseimbangan) adalah
x =My
m=
n∑k=1
xkmk
n∑k=1
mk
y =Mx
m=
n∑k=1
ykmk
n∑k=1
mk
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 7
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Pusat Massa
Sekarang perhatikan sebuah lamina dengan kerapatan berupa peubahδ(x , y) yang melingkupi daerah S pada bidang xy . Buat partisi sepertipada gambar dan asumsikan sebagai sebuah hampiran bahwa suatu massadari setiap Rk terpusat di (xk , yk), k = 1, 2, . . . , n. Gunakan limitnyasebagai suatu aturan pembagian partisi yang mendekati nol. Cara inimenghasilkan rumus umum,
x =My
m=
∫∫S
xδ(x , y)dA∫∫S
δ(x , y)dAy =
Mx
m=
∫∫S
yδ(x , y)dA∫∫S
δ(x , y)dA
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 8
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Pusat Massa
Contoh 2:Tentukan pusat massa dari lamina pada Contoh 1.Penyelesaian:
Pada Contoh 1, kita telah mendapatkan massa m dari lamina yaitu 7685 .
Momen My dan Mx yang mengacu pada sumbu y dan sumbu x adalah
My =
∫∫S
xδ(x , y)dA =
8∫0
x2/3∫0
x2y dy dx
=1
2
8∫0
x10/3dx =12288
13= 945.23 �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 9
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Pusat Massa
Mx =
∫∫S
yδ(x , y)dA =
8∫0
x2/3∫0
xy2 dy dx
=1
3
8∫0
x3dx =1024
3= 341.33 �
Maka
x =My
m= 6
2
13= 6.15 � y =
Mx
m= 2
2
9= 2.22 �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 10
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Momen Inersia
Momen Inersia
Dari pelajaran fisika kita pelajari bahwa energi kinetik, KE , dari sebuahpartikel dengan massa m, dan kecepatan v , yang bergerak dalam sebuahgaris lurus dirumuskan dengan
KE =1
2mv2 (1)
Jika suatu partikel tidak bergerak dalam sebuah garis lurus tetapi berputardalam sebuah sumbu dengan kecepatan sudut sebesar ω radian per satuanwaktu, maka kecepatan linearnya adalah v = rω, di mana r adalah jari-jaridari lintasan perputarannya. Ketika kita mensubstitusikan ini ke dalam(1), maka kita akan memperoleh
KE =1
2(r2m)ω2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Momen Inersia
Suku r2m disebut momen inersia dari suatu partikel dan dilambangkandengan I . Jadi, untuk sebuah partikel yang berputar
KE =1
2Iω2 (2)
Kita simpulkan dari (1) dan (2) bahwa momen inersia dari benda dalamgerak berputar memainkan peranan yang serupa dengan massa bendadengan gerak linear.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 12
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Momen Inersia
Untuk sebuah sistem dengan n partikel pada suatu bidang dengan massam1,m2, . . . ,mn dan pada jarak-jarak r1, r2, . . . , rn dari garis L, makamomen inersia sistem terhadap L didefinisikan sebagai
I = m1r21 + m2r
22 + . . .+ mnr
2n =
n∑k=1
mk r2k
Dengan kata lain, kita melakukan penjumlahan momen inersia dari setiappartikel.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 13
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Momen Inersia
Misalkan sebuah lamina dengan kerapatan δ(x , y) yang melingkupi daerahS pada bidang xy . Jika kita mempunyai partisi S , membuat hampiranuntuk momen inersia dari setiap bagian Rk , menjumlahkan danmenentukan limitnya, maka akan diperoleh rumus-rumus berikut. Momeninersia (disebut juga momen kedua) dari suatu lamina terhadap sumbu x ,sumbu y , dan sumbu z dinyatakan dengan
Ix =
∫∫S
y2δ(x , y)dA Iy =
∫∫S
x2δ(x , y)dA
Iz =
∫∫S
(x2 + y2)δ(x , y)dA = Ix + Iy
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 14
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Momen Inersia
Contoh 3:Tentukan momen inersia terhadap sumbu x , y , dan z dari lamina padaContoh 1.Penyelesaian:
Ix =
∫∫S
xy3dA =
8∫0
x2/3∫0
xy3 dy dx =1
4
8∫0
x11/3dx =6144
7≈ 877.71 �
Iy =
∫∫S
x3ydA =
8∫0
x2/3∫0
x3y dy dx =1
2
8∫0
x13/3dx = 6144 �
Iz = Ix + Iy =49152
7≈ 7021.71 �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 15
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan
Luas Permukaan
Pada materi ini, kita akan membahas mengenai luas permukaan yangdidefinisikan dengan z = f (x , y) atas sebuah daerah spesifik.Andaikan G adalah permukaan atas sebuah daerah S yang tertutup danterbatas pada bidang xy . Asumsikan bahwa f mempunyaiturunan-turunan parsial pertama kontinu fx dan fy . Kita akan mulaidengan membuat partisi P pada daerah S dengan garis-garis sejajardengan sumbu x dan sumbu y (Gambar kiri).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 16
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan
Misalkan Rm, m = 1, 2, . . . , n, menyatakan persegi panjang-persegipanjang yang dihasilkan dan terletak sepenuhnya di dalam S . Untuk setiapm, misalkan Gm adalah bagian dari permukaan yang diproyeksikan ke Rm,dan misalkan Pm adalah suatu titik dari Gm yang diproyeksikan ke sudutRm dengan koordinat x dan koordinat y yang terkecil. Misalkan Tm
menyatakan suatu jajaran genjang dari bidang singgung di Pm yangdiproyeksikan ke Rm, seperti ditunjukkan pada Gambar kiri, dan perincianselanjutnya ditunjukkan pada Gambar kanan.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 17
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan
Selanjutnya, kita mencari luas jajaran genjang Tm yang proyeksinya adalahRm. Misalkan um dan vm menyatakan vektor-vektor yang membentuksisi-sisi Tm. Maka,
um = ∆xmi + fx(xm, ym)∆xmk
vm = ∆ymj + fy (xm, ym)∆ymk
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 18
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan
Luas jajaran genjang Tm adalah |um × vm| di mana
um × vm =
∣∣∣∣∣∣i j k
∆xm 0 fx(xm, ym)∆xm0 ∆ym fy (xm, ym)∆ym
∣∣∣∣∣∣= (0− fx(xm, ym)∆xm∆ym)i − (fy (xm, ym)∆xm∆ym − 0)j
+ (∆xm∆ym − 0)k
= ∆xm∆ym[−fx(xm, ym)i − fy (xm, ym)j + k]
= A(Rm)[−fx(xm, ym)i − fy (xm, ym)j + k]
Dengan demikian, luas Tm adalah
A(Tm) = |um × vm| = A(Rm)√
[fx(xm, ym)]2 + [fy (xm, ym)]2 + 1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 19
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan
Kemudian, jumlahkan luas dari bidang-bidang singgung jajaran genjang Tm
ini, m = 1, 2, . . . , n, dan ambil limitnya agar diperoleh luas permukaan G .
A(G ) = lim|P|→0
n∑m=1
A(Tm)
= lim|P|→0
√[fx(xm, ym)]2 + [fy (xm, ym)]2 + 1A(Rm)
=
∫∫S
√[fx(xm, ym)]2 + [fy (xm, ym)]2 + 1dA
Singkatnya,
A(G ) =
∫∫S
√f 2x + f 2y + 1dA
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 20
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan
Gambar di atas dibuat seolah-olah daerah S pada bidang xy adalah sebuahpersegi panjang, tapi prakteknya tidak selalu demikian. Gambar berikutmemperlihatkan apa yang terjadi ketika S bukan merupakan sebuahpersegi panjang.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 21
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan
Contoh 1:Jika S adalah daerah persegi panjang pada bidang xy yang dibatasi olehgaris x = 0, x = 1, y = 0, dan y = 2, tentukan luas dari bagianpermukaan silindris z =
√4− x2 yang diproyeksikan ke S .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 22
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan
Penyelesaian:
Misalkan f (x , y) =√
4− x2. Maka fx = − x√4−x2 , fy = 0, dan
A(G ) =
∫∫S
√f 2x + f 2y + 1dA =
∫∫S
√x2
4− x2+ 1dA
=
∫∫S
2√4− x2
dA =
1∫0
2∫0
2√4− x2
dy dx
= 4
1∫0
1√4− x2
dx = 4[sin−1
x
2
]10
=2π
3�
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 23
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan
Contoh 2:Tentukan luas permukaan z = x2 + y2 di bawah bidang z = 9.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 24
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan
Penyelesaian:Bagian G (yang diarsir) dari permukaan tersebut diproyeksikan ke daerahmelingkar S di dalam lingkaran x2 + y2 = 9. Misalkan f (x , y) = x2 + y2.Maka fx = 2x , fy = 2y , dan
A(G ) =
∫∫S
√4x2 + 4y2 + 1dA
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 25
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan
Bentuk S menyarankan kita untuk menggunakan koordinat kutub.
A(G ) =
2π∫0
3∫0
√4r2 + 1r dr dθ
=
2π∫0
1
8
[2
3(4r2 + 1)3/2
]30
dθ
=
2π∫0
1
12(373/2 − 1)dθ =
π
6(373/2 − 1) ≈ 117.32 �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 26
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Latihan
Latihan
1. Tentukan massa m dan pusat massa (x , y) dari lamina yang dibatasikurva-kurva berikut dengan kerapatan yang diberikan.
a. x = 0, x = 4, y = 0, y = 3; δ(x , y) = y + 1b. y = ex , y = 0, x = 0, x = 1; δ(x , y) = 2− x + y
2. Tunjukkan bahwa momen inersia dari sebuah lamina persegi panjanghomogen dengan panjang sisi a dan b terhadap sumbu tegak lurusmelalui pusat massanya adalah
I =k
12(a3b + ab3)
Di sini k adalah konstanta kerapatan.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 27
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Latihan
3. Sketsalah daerah-daerah berikut dan hitung luas permukaannya.
a. Bagian dari permukaan z =√
4− y2 yang tepat berada di atasbujursangkar pada bidang xy dengan verteks-verteks(1, 0), (2, 0), (2, 1), dan (1, 1).
b. Bagian dari permukaan z =√
4− y2 pada oktan pertama yang tepatberada di atas lingkaran x2 + y2 = 4 pada bidang xy .
c. Bagian dari bola x2 + y2 + z2 = a2 di dalam silinder lingkaranx2 + y2 = ay (r = asinθ pada koordinat kutub), a > 0.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 28
/ 28
Penerapan Integral Lipat-Dua Pustaka
Pustaka
Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus danGeometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.
Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of AdvancedCalculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.
Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2.Jakarta : Erlangga.
Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems inCalculus. New York: Mc Graw-Hill.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 29
/ 28