penyederhanaan fungsi boolean rangkaian kombinasional
DESCRIPTION
penyederhanaa fungsi boolean dan rangkaian kombinasionalTRANSCRIPT
SISTEM DIGITAL
Penyederhanaan Fungsi Boolean (Tabulasi), Rangkaian Kombinasional
Penyederhanaan dengan menggunakan tabulasi
• Terdapat dua langkah– Menentukan semua prime implicants
• Product terms yang diperoleh dengan mengkombinasikan semaksimal mungkin jumlah terms yang berdekatan
– Menggunakan prime implicants untuk menentukan coverage
2
Penyederhanaan dengan menggunakan tabulasi
• Beberapa implicants yang mirip (berdekatan/berbeda 1 digit) digabung menjadi implicant baru
• Penggabungan dilakukan dalam beberapa tahap/level
• Perubahan digit pada implicant yang baru ditandai dengan ‘-’
• Contoh 1001 dan 1000 menjadi 100- 0101 dan 1101 menjadi -101 1111 dan 1011 menjadi 1-11
3
Penyederhanaan dengan menggunakan tabulasi
• Contoh:F(w,x,y,z)=Σ(0,4,5,6,7,8,9,10,13,15)
Jumlah ‘1’ Minterms biner
0 m0 0000
1m4 0100
m8 1000
2
m5 0101
m6 0110
m9 1001
m10 1010
3m7 0111
m13 1101
4 m15 11114
w x y z F
m0 0 0 0 0 1
m1 0 0 0 1 0
m2 0 0 1 0 0
m3 0 0 1 1 0
m4 0 1 0 0 1
m5 0 1 0 1 1
m6 0 1 1 0 1
m7 0 1 1 1 1
m8 1 0 0 0 1
m9 1 0 0 1 1
m10 1 0 1 0 1
m11 1 0 1 1 0
m12 1 1 0 0 0
m13 1 1 0 1 1
m14 1 1 1 0 0
m15 1 1 1 1 1
Penyederhanaan dengan menggunakan tabulasi
Minterms Biner 2 implicants 4 implicants
m0 0000 m0m4 0-00*m0m8 -000*
m4 0100 m4m5 010- m4m5m6m7 01--*m4m6 01-0 m4m6 m5m7 01--
m8 1000 m8m9 100-*m8m10 10-0*
m5 0101 m5m7 01-1 m5m7 m13m15 -1-1*m5m13 -101 m5m13 m7m15 -1-1
m6 0110 m6m7 011-
m9 1001 m9m13 1-01*m7 0111 m7m15 -111
m13 1101 m13m15 11-15
Penyederhanaan dengan menggunakan tabulasi
0 4 5 6 7 8 9 10 13 15
m0m4 0-00 x x
m0m8 -000 x x
m8m9 100- x x
m8m10 10-0 x x
m9m13 1-01 x x
m4m5m6m7 01-- x x x x
m5m7 m13m15 -1-1 x x x x
6
F = xz + w’x + wy’z + wx’z’ + x’y’z’
Penyederhanaan dengan menggunakan tabulasi
• F(w,x,y,z) = Σ(0,5,6,7,8,10,15)d(w,x,y,z) = Σ d(4,9,13)
Jumlah ‘1’ Minterms biner
0 m0 0000
1m4 0100
m8 1000
2
m5 0101
m6 0110
m9 1001
m10 1010
3m13 1101
m7 0111
4 m15 11117
w x y z F
m0 0 0 0 0 1
m1 0 0 0 1 0
m2 0 0 1 0 0
m3 0 0 1 1 0
m4 0 1 0 0 x
m5 0 1 0 1 1
m6 0 1 1 0 1
m7 0 1 1 1 1
m8 1 0 0 0 1
m9 1 0 0 1 x
m10 1 0 1 0 1
m11 1 0 1 1 0
m12 1 1 0 0 0
m13 1 1 0 1 x
m14 1 1 1 0 0
m15 1 1 1 1 1
Penyederhanaan dengan menggunakan tabulasi
Minterms Biner 2 implicants 4 implicants
m0 0000 m0m4 0-00*m0m8 -000*
m4 0100 m4m5 010- m4m5m6m7 01--*m4m6 01-0 m4m6 m5m7 01--
m8 1000 m8m9 100-*m8m10 10-0*
m5 0101 m5m7 01-1 m5m7 m13m15 -1-1*m5m13 -101 m5m13 m7m15 -1-1
m6 0110 m6m7 011-
m9 1001 m9m13 1-01*m7 0111 m7m15 -111
m13 1101 m13m15 11-18
Penyederhanaan dengan menggunakan tabulasi
0 5 6 7 8 10 15
m0m4 0-00 x
m0m8 -000 x x
m8m9 100- x
m8m10 10-0 x x
m9m13 1-01
m4m5m6m7 01-- x x x
m5m7 m13m15 -1-1 x x x
9
F = xz + w’x + wx’z’ + x’y’z’
RANGKAIAN KOMBINASIONALProsedur desaian rangkaian kombinasional, adder, subtractor
10
Rangkaian logika
• Terdapat dua tipe rangkaian logika– Rangkaian kombinasional
• Output hanya ditentukan oleh kombinasi input saat ini
– Rangkaian sekuensial• Output ditentukan oleh kombinasi input saat ini dan
state saat ini dari media penyimpan (storage)• State saat ini dari media penyimpan ditentukan oleh
input sebelumnya dan/atau state sebelumnya
11
Prosedur desain rangkaian kombinasional
1. Dari spesifikasi yang ada, tentukan jumlah input dan outputnya beserta simbolnya
2. Buat tabel kebenaran dan tentukan hubungan antara input dan output
3. Sederhanakan fungsi boole yang diperoleh dari setiap output sebagai fungsi variabel input
4. Gambar diagram logika5. Periksa kebenaran dari rangkaian yang dibuat
12
Desain rangkaian kombinasional
• Untuk kasus tertentu, desain mungkin mempertimbangkan:– Jumlah gerbang – Jumlah input dari suatu gerbang– Waktu yang diperlukan untuk memproses input
menjadi output– Jenis gerbang yang tersedia
13
Desain rangkaian kombinasional
• Contoh: konversi dari kode BCD ke kode excess-3– Jumlah input: 4 (simbol:
a,b,c,d)– Jumlah output: 4
(simbol: w,x,y,z)
BCD Excess-3
a b c d w x y z 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 0 0 0 1 1 1
0 1 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1
0 1 1 1 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 1 0 0
14
Desain rangkaian kombinasional
d
a
b
c
1
1
1 1
1
x
x
x
x x x
z=d’15d
a
b
c
1
1
1 11
x
x
x
x x x
x=bc’d’+b’c+b’d
d
a
b
c
1 1
1 1 1
x
x
x
x x x
w=a+bc+bd d
a
b
c
1
1
1 1
1
x
x
x
x x x
y=c’d’+cd
Desain rangkaian kombinasional
• Modifikasi terhadap fungsi-tersebut didapatkan desain dengan jumlah gerbang yang berbeda, yaitu:w=a+b(c+d)x=b’(c+d)+b(c+d)’y=cd+(c+d)’z=d’
d
bc
aw
x
y
z
16
Binary adder - subtractor• Half adder
– rangkaian kombinasional yang melakukan penjumlahan 2 bit (2 input, 2 output)
• Full adder– rangkaian kombinasional yang melakukan penjumlahan 3 bit (3 input,
2 output)– dapat dibentuk oleh 2 buah half adder
• Binary adder– n bit binary adder dibentuk oleh n buah full adder
• Binary adder – subtractor– binary adder untuk melakukan operasi pengurangan dengan cara
menambahkan komplemen bilangan pengurangnya
17
Half adder
• Tabel kebenaranc = carry, s = sum
xy
s
c
s
c
xy
18
x y c s
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0
c = xy
s = x’y + xy’
atau
c = xys = x y
Full adder
• Tabel kebenaran
x
y
z
11
1 1
s = x’y’z + x’yz’ + xy’z’ + xyz
x
y
z
1
11 1
c = xz + xy + yz
19
x y z c s
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
Full adder
x’y’z
x’y
z’x
y’
z’
zx
y
s
20
• Digambarkan sebagai:
atau:xy
s
c
z
cxz
z
xy
y
Binary adder
FA FA FA FA
x3 y3 x2 y2 x1 y1 x0 y0
s0s1s2s3
c4c1c2c3 c0
21
• Penjumlahan antara x=x3x2x1x0 dan y=y3y2y1y0 menggunakan 4 full adder (FA) menghasilkan c4s3s2s1s0
Binary adder - subtractor
FA FA FA FA
x3 y3
s0s1s2s3
c4c1c2c3 c0
x2 y2 x1 y1 x0 y0
m
22
• Input: x=x3x2x1x0 dan y=y3y2y1y0
• Output: c4s3s2s1s0
• m=0 untuk penjumlahan (adder) dan m=1 untuk pengurangan (subtractor)
Decimal adder
• Contoh:Penjumlahan dari 2 digit desimal kode BCD (A3A2A1A0 + B3B2B1B0)– Penjumlahan 2 digit dan 1 digit carry
menghasilkan output tidak lebih dari: 9 + 9 + 1 = 19
– Input: 4 bit hasil penjumlahan biner (a,b,c,d) dan 1 bit carry (k)
– Output: 4 bit hasil konversi ke kode BCD (w,x,y,z) dan 1 bit carry (p)
23
Decimal adderDesimal k a b c d p w x y z
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
5 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
6 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
7 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
8 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
9 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
10 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
11 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1
12 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0
13 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1
14 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0
15 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1
16 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0
17 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
18 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0
19 1 0 0 1 1 1 1 0 0 124
Decimal adder
• c = k + ab + ac
Carry inCarry out k
a b c d
4 bit binary adder
w x y z
0
4 bit binary adder
p
A3 A2 A1 A0 B3 B2 B1 B0
25
Referensi
• Morris Mano, Digital Design 5th Edition, Pearson Prentice Hall, 2011
26
Latihan
1. Sederhanakan fungsi berikut menggunakan tabulasi
F(w,x,y,z) = Σ(1,3,5,6,7,8,11,14,15)d(w,x,y,z) = Σ(0,2,4,10)
2. Sederhanakan fungsi berikut dan gambarkan rangkaian logikanyaa) F(w,x,y,z) = Σ(1,2,4,6,7,8,9,14,15)b) F(w,x,y,z) = Σ(4,8,10,11,12,15); d(w,x,y,z) = Σ(9,14)
27